（基础数学专业论文）柯西积分定理的推广及应用.pdf

摘要 单复变函数是综合性大学或高师院校理工专业的必修课，它的核心内容是柯西积分 定理即解析函数沿围线的积分值为零。利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分 公式。 本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的推广。我们研究了积分路径上有有限个 奇点的解析函数的积分问题，建立了类似于柯西积分定理和柯西积分公式的结果。进而， 给出了我们的结果的若干应用。 关键词：柯西积分定理；柯西积分公式；解析函数；积分路径；奇点 a b s t r a c t f u n c t i o nt h e o r yo fo n ec o m p l e xv a r i a b l ei sar e q u i r e dc o u r s ei nt h ep o l y t e c h n i c u n i v e r s i t ya n di nt h ep r o f e s s i o n a lt e a c h e r sc o l l e g e o n eo fi t si m p o r t a n tc o n t e n t si st h e c a u c h yi n t e g r a lt h e o r e m ，w h i c hs a y st h a tt h ei n t e g r a la l o n gac o n t o u ro fa na n a l y t i cf u n c t i o n i sz e r o t h ef a m o u sc a u c h yi n t e g r a lf o r m u l ac a nf o l l o w se a s i l yf r o mt h ec a u c h yi n t e g r a l t h e o r e m s o m ee x t e n s i o n so ft h ec a u c h yi n t e g r a lt h e o r e ma n dt h ec a u c h yi n t e g r a lf o r m u l aw i l lb e s t u d i e di nt h ep r e s e n tp a p e r w ec o n s i d e rt h ei n t e g r a lo fa n a l y t i cf u n c t i o n sw h e nt h e r ea r e f i n i t es i n g u l a rp o i n t si nt h ei n t e g r a lc i r c u i ta n de s t a b l i s ha na n a l o go ft h ec a u c h yi n t e g r a l t h e o r e ma n df o r m u l a a l s o ，s o m ea p p l i c a t i o n so fo u rr e s u l t sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：c a u c h yi n t e g r a lt h e o r e m ；c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a ；a n a l y t i cf u n c t i o n s ； i n t e g r a lp a t h ；s i n g u l a rp o i n t i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的e p , 届u 本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以 允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的 前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规 定) 日期：翮吲 e l 期：砂0 6 办彳 髫引诱咱纷饼 签硝0粼场 作 ： 文期 锄& 学m彬嘶 者导阼旨 1 弓f 言 1 引言 复变函数论是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学 理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展。其中柯匿积分定理帮橱西积分 公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是1 9 世纪最独特的创造， 是抽象科学中最和谐的理论之一，许多重要的性质定理都毒它们直接或间接推导出来 的 一般情况下，从复积分求解出发，橱谣积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意 一周线的积分值为零的问题，并由此导出了著名的柯西积分公式，即解析函数，q ) 在c 所围的区域内任一点z o 的函数值均可由f ( z o ) 他一z o ) 在c 上的积分值完全确定，这也 只给出了求解光滑周线域蠹有一个( 或有限个) 奇点的复积分方法，两复积分的范围 很大，有很多问题都超出了柯西积分定理的条件，现有的资料中对柯西积分定理的条 件进行深层次的挖掘的文献又很少，故在教学过程中，一般都是用复积分的概念来求 解，很少有找到简捷方法考虑到柯西积分定理是复变函数积分的基础，也是连接其 它其他学科的枢纽，对其研究具有较强的理论价值和现实意义。， 本文在收集和整理已有的文献资料的条件下，认真分析了柯西积分定理的相关条 件，结合柯嚣积分公式、留数定理、高阶导数公式进行了比较研究，特别是针对复变 函数奇异积分对柯西积分定理作了简单推广 首先，柯西积分定理与复交涵数的积分有着密切的联系，为了能更好的对柯西积 分定理应用和推广，通过文献【2 0 】留数定理与复变函数的积分之间的关系，我们不难得 出：柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数酶留数定理；柯西积分 公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理；高阶导数公式实际上是 被积番数在积分区域内有嚣+ l 阶点的留数定理。对其进行比较总结，并与文献【3 】有效 的结合，归纳出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导 关系。 其次，柯西积分定理只是回答了解析函数沿闭域内任周线的积分值为零的积分 问题，也即是在阁线域肉一个或有限个奇点的复积分闻题，丙对于奇点在积分路径上 的复积分问题，柯西积分定理不能应用通过对文献【1 6 】的阅读与理解，归纳总结出在 湖北大学硕士学位论文 此特殊条件下的柯硒积分公式：f ( z o ) 。三i 赵生如，z o 岜c ) ，它是经过几个预备知识 霹1 ，o z z “ 中的柯西积分定理、推广的柯西积分定理和复周线柯西积分定理，并与柯西积分公式、 奇异积分、橱谣主使积分以及，满足h o l d e r 条件，这几个内容裙结合所推导出来的。 最后，柯西积分定理和柯西积分公式是在简单闭周线或复周线的前提下得出的结 论，但是警这些阙瘸线形成骞限次或无陵次巍褶交的情况下黧积分来麓褥之，予是通 过文献 2 2 里有关复积分的问题进行理解并归纳，总结出闭围道c 成有限或无限次囱 耱交对的积分值药零，繇，0 净一0 2 2 预备知识 2 预备知识 柯西积分定理设f ( z ) 在复平面上的单连通区域d 上解析，c 为d 内任条周 线，则上厂( z 皿1 0 推广的柯西积分定理 设c 是一条周线，d 是c 的内部，( z ) 在d 内解析，在 d = d + c 上连续，则f 厂。边l 0 复周线柯西积分定理设d 是复周线c c 0 + c f + c ；+ + g 所围成的有界多 连通区域，f ( z ) 毛ed 内解析，在d _ d + c 上连续，贝, l j f c f ( z ) e z _ 0 柯西积分公式设区域d 的边界是周线( 或复周线) c ，函数厂( z ) 在d 内解析， 在万一。+ c 上连续，贝| j 有心) 一去正咎多( z d ) 柯西留数定理 ，( z ) 在周线( 或复周线) c 所范围的区域d 内，除a ，口：，a 。外 解析，在闭域d = d + c 上除口- ，口：，口一外连续，则i 厂g ) e z _ 2 m 荟r e s f ( z ) 高阶级导数公式设区域d 的边界是周线( 或复周线) c ，函数厂( z ) 在d 内解析， 在d ；d + c 上连续，函数厂( z ) 在区域d 内有各阶导数，并且有 广k ) 一是净亭( z e d ) 3 湖北大学硕士学位论文 3 柯西积分定理与复变函数积分之间的关系 3 1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 ，( z ) d z 。互f ( z ) d z + f ：f ( z ) d z + + f f ( z ) d zj c 钰0 霉t 任意固定z d ，f 皓) ；善盟作为誊的函数在d 内除点z 外均解析以点z 为心， 芒一z 充分小的p o 为半径做圆周y p ，使y p 及其内部均含于d ，对于复周线r c + ，；及函 数f ( 誊) 应用复周线橱西积分定理得： 避- - z 毒；l j 警鼍j x f ( z ) 与积分变量誊无关，焉扳一；：，毒_ 一l z ，于是有 k 罄母埘。枇罄咖，。珥，割 一k 等笋蠢叫 根据，g ) 的连续性，对任给的0 ，存在6 0 ，只要掺一z | - p 6 ，就有 l 雕) 一f ( z ) t 去，( 亭，p ) 所以 k 笔露剖 上连 续，在z 。附近无界，在c 上z 。的两边各取一点z 。，z ：，若 l i mr f ( z ) d z z i ，z 2 - + z 0 ，c z l z z 2 存在，则称此极限值是，沿c 的奇异积分，记为 f f ( z ) d z2 罂f c - - z i zf ( z ) d z z l - , z o j c z i z 2 ，2 2 、定义2 设c 是复平面内的简单逐段光滑曲线，z 0 c ，函数厂( z ) 在c 一口。) 上连 续，在z o 附近无界，以气为心、充分小的正数s 为半径做圆周，使它与c 的交点恰为z ， z 2 若极限烛丢正4 ，幻挚存在，则称此极限值是，沿c 的柯西主值积分，记为 三正盟d z ，l i r a 土r 盟如 2 面3 c z z n e o2 厩山一z i z 2z z “ 定理1 设c 是光滑曲线，取正向，若，满足h o m e r 条件，即 i f ( z ，) 一f ( z ：) js k i z 。一z 2 i 。，( o s 口 1 ) ( 其中k ，a 都是实常数，z ，z 2 是c 上任意两点) 则称柯西主值积分存在，且有 寺罄出。土产型盥d z + ! ，( z o ) ，( z oec)2(4)zi 2 2 蠢 l c z z n j c z z 。 。、 证：土r 盟出。土r 盟型出+ 趔r 鱼 2 n i 3 c 一：f 2z z o2 n i h 一毛：2 z z o 2 a ij c 一：f 2z z o 7 湖北大学硕十学位论文 又 l ：去比= 1 嘶- _ z o ) - 1 0 9 ( z ：- z o ) - i a r g ( z 。一z o ) 一a r g ( z ：一z 。) 】- 磊，p _ 0 ) ( 其中l o g ( z z o ) 为c z 。z ：上任意取定的连续分支，i z ，一l i z ：一z 。i 一) ， a r g ( z 。一z o ) 一a r g ( z ：一z 。) 】为当z 从z ：沿c z ，z ：变动到z 。时z z 。的幅角改变量当 - 0 即z l ，z 2 - z o 时，它的极限值为万 又因为若，满足舶触，条件，即 i 等剿z os 寿i z il z z n i 一 而0s 口1 ，则积分 去晔 存在 于是，得 去謦一觋阻邵：等掣虮杈毫去】 。土压避+要，o。)2 0 一_ 1 z z 十一j i z - a i j 。 z z o 2 。、”7 定理2 若c 是简单逐段光滑封闭曲线，d 是以c 为边界的有界单连通区域，( z ) 在d 内解析，在d - z o 上连续( z oe c ) ，在z o 的邻域有 i 厂o ) lsr j ! f 0s 口 0 为半径作圆，在c 上取下一小段弧c 。，在d 内得 到圆弧，取正向，由柯西积分定理 8 4 奇点在积分路径c 上的柯西积分公式7 故 上。m ) d z + 丘他) d z = 0 ， 设l 。的参数方程为z z o = g e 坩，岛s0 吼， k , f ( z ) d z is e f 芝了出= f f 2 e - 一- 茎- d z = k e l - a ( q 一吼) 一。，。一0 ) 上心) d z = 1 l m j 。一q 厂( z ) d z - l 。i ，m 呲f 。f ( z ) d z lo 定理3 设区域d 的边界是周线( 或复周线) c ，0 ) 在d 内解析，在万一d + c 上连续，且在c 上厂满足h o l d e r 条件，则有 扣卜辫，( z o e c ) 那么( 6 ) 式称为z 。在边界c 上的柯西积分公式 证：厂满足h o m e r 条件，则有 那么由定理2 知： 而 l f ( z ，) 一f ( z ：) i k i z ，一z ：l 口，( os 口 1 ) 于是由定理3 得 故有 i 等剖5 赤，( o l - a z 一董在c 嚣交黧，菇。在c 酶签罄；( 粼) z o a 都 在c 的内部下面根据分析的四中情况分别求出其积分值 解：( 1 ) 著嚣一0 , 1 都在c 的外部，则被积溢数f 一= b 在以c 为边界酌溺 z 1 1 一z i 。 ”域d 主察攒，由橱疆积努定理翔 知 存礤 ( 薹薹) 差z o 雀c 麴内部，z 一董在c 麴磐郝，剿壹复周线豁磊酶瓤嚣积分囊理 e 2 奇端i 严= 等魄= 捌南扣执 其中氏是以z 一0 为心且包含在c 内部的任意小圆周。 掰) 著霉一熏在e 熬凑韶，zs0 在的舞蒸，醚毽煮 e 。 奇亲严= 点寿= 詈争雩斌一捌 其孛c 1 是淡茗一熏梵心显卺含在c 蠹豁熬经意小嚣瘸。 ( ) 若z10 , 1 都在c 的内部，则由复周线c + + c i 的柯西积分定理知 湖北大学硕士学位论文 奇= 正i + 上i = 抚一e 硝 例2 计算积分正| _ 3 石= 籍 分析：此题可以用留数定理直接求，由柯西积分定理与留数定理的内在联系，也 可以用柯西积分定理来求解，同时在计算时还相对篱单些 解：正f 心f 耪 = “瓦籍+ k 必瓦籍 e 。上 = 互一霉。多i 主! ：；铲+ 互+ ：| 。多簪 = 掀磊) | 一缄石e z 矿b = ! 喇+ 三p 一 99 = 詈( 孙a t e - 2 埘 例3 计算积分秘去+ 击，( 1 i “+ 刍泣2 分析：( i ) 和( 1 i ) 的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，( 1 ) 的结果很好求， 符合柯西积分定理条件，可直接使用柯西积分定理，( i i ) 因为有奇点z 一一4 在积分路 径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3 条件，可利用定理3 求值。 解( i ) 可直接用柯西积分定理得 品去+ 击边咱熹+ 互沁刍= o m ，因为 “击+ 去皿= “鲁刍 又由柯西积分公式有f _ 。獗1 。兢 卅：| 1 4z 一3 由定理3 有 f 坠= 蠢，q o ) = 蠢 i l z l - 4z + 4 。、”7 所以 正沁i b + i b ) 比= 抚+ 赢= 抚 1 4 6 举例应用 实际上r l 用复积分概念做结果也一样，我们可以以( 一4 ，o ) 为圆心，以为半 ，l z l - 4 z + 4 径，在( 3 嚣- ，一争闻作一圆弧c ；，并记去点( - 4 ，的圆弧为c ， 则有州d z o ，氮去= 蚍熹， 嘴凡去一l 瑚i m f ，五d z = 一廖x i o 旁硝 例4 计算积分r 型坚出 ，ur 分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化 为复数，利用定理3 来求解就简单多了 解：广= 三r j o 搿2 j 一* x = 三l i m 广翟垫三矗= 三l i mf 翟兰玉 2r o + * j - rx2 r 。+ * 一rx 3 得 设，0 ) - g 缸，q ) 满足= h o l d e r 条件，且塑的奇点z 。在积分路径上，由定理 z 辟+ 争= 兢掣一面 由约当引理知e 名= o 所以i 。争= 1 复月1 i m + 。f 冀= 言面一薹 湖北大学硕士学位论文 7 结束语 本文通过收集并整理相关资料，从柯西积分定理和柯西积分公式入手，归纳出它 们与复变丞数积分之闻的内在联系，总结出奇点在周线上的橱西积分公式，并得到积 分路径c 为闭围道且自相交有限多次或无限多次时的积分值仍为零 焉利用柯谣积分定理和柯西积分公式导出解析丞数沿不闭的、有重点趣线的积分 问题的简捷求解方法，这方面没有查到相关的文献资料，不过应该容易证明：积分路 径的始末两点给定后，积分值有路径无关，敖此不闭的、有重点曲线的积分路径可转 化为简单直线段或其他简单曲线来求 对以上闻题的提出与解决从而深化了橱西积分定理的精髓，使柯露积分定理在数 学、力学、电学、光学及工程技术等学科有着更广泛的用途 1 6 参考文献 参考文献 【1 】钟玉泉，复变函数论【m 】，2 版，北京：高等教育出版社，2 0 0 0 【2 】钟玉泉，复变函数论【m 】，3 版，北京：高等教育出版社，2 0 0 3 【3 】钟玉泉，复变函数学习指导书【m 1 ，北京：高等教育出版社，1 9 9 6 【4 】李庆忠，复变函数【m 】，北京：科学出版社，2 0 0 0 【5 】盖云英等，复变函数与积分变换学习指导f m 】，北京：科学出版社，2 0 0 4 【6 】6 余新荣，复变函数【m 】，3 版，北京：高等教育出版社，2 0 0 0 【7 】孙清华，赵德修，新编复变函数题解 m i ，武汉：华中科技大学出版社，2 0 0 1 【8 孙清华，孙昊，复变函数内容、方法与技巧【m 1 ，武汉：华中科技大学出版社，2 0 0 3 【9 1 西安交通大学高等教学教研室，复变函数【m 1 ，4 版，北京：高等教育出版社，1 9 9 6 【l o 普里瓦洛夫，复变函数引论【m 】，闵嗣鹤、程民得译，北京：人民教育出版社，2 0 0 3 【1 1 1 韦煜，高阶导数公式的证明【j 】，黔南民族师范学院学报，2 0 0 3 ，6 【1 2 三e 伟荣，奇异积分和解析函数边值问题的若干结果与问题【j 】，宁夏大学学报，2 0 0 3 ，9 【1 3 1 杨伟军等，复变函数论典型环路积分的理论分析【j 1 ，四川大学学报2 0 0 1 ，8 【1 4 俞一，关于极点处的留数的计算【j 1 ，河北建筑工程学院学报，2 0 0 0 ，1 2 【1 5 钟寿国，复积分课中若干逻辑命题思考【j 】，工科数学，2 0 0 2 ，4 【1 6 1 朱茱、刘敏，z o 在积分路径c 上的柯西积分公式【j 】，阜阳师范学院学报，2 0 0 4 , 2 1 ( 4 ) ：6 0 - 6 3 【1 7 史君贤，含点的区域的c a u c h y 定鳓l c a u c h y 公式的改进形式【j 】，乐山师范学院学报，2 0 0 0 ， 8 【1 8 1 3 e 信松、陆斌，柯西积分定理的一个新证明【j 1 ，数学的实践与认识，2 0 0 5 ，9 【1 9 杨丽、张伟伟，柯西积分公式的应用【j 】，沧州师范专科学校学报，2 0 0 6 ，2 2 ( 3 ) ：6 5 - 6 7 【2 0 张昆实，留数定理与复变函数的积分【j 1 ，高等函授学报，2 0 0 3 ，1 6 ( 1 ) ：1 3 1 4 、1 7 【2 1 1 l a r sva h l f o r s c o m p l e xa n a l y s i s ( t h i r de d i t i o n ) c h i n am a c h i n ep r e s s 2 0 0 4 【2 2 j a m e sw a r db r o w n ，r u e lvc h u r c h i l l c o