（基础数学专业论文）非等谱可积系统以及相应孤立子方程的若干结果.pdf

摘要 本文的研究对象为非等谱n n 型a k n s 系统为代表的多项式型谱问题 及其对应的孤立子方程非等谱a k n s 系统比等谱a k n s 系统复杂的多等谱 a k n s 系统对应的孤立子方程通常是微分方程，而非等谱a k n s 系统则对应了 积分方程甚至是积微分方程我们证明了，在一定的渐近条件下，可以定义非等 谱的a k n s 系统以及带各种约束条件的a k n s 系统对这类可积系统，我们构造 了一类统一的d a r b o u x 变换，并证明了，这一类d a r b o u x 变换保持a k n s 系统 的渐近性质，仅仅改变了原系统的积分常数最后，我们用这类统一的d a r b o u x 变换，得到了一些由非等谱可积系统导出的孤立子方程的非平凡解 关键词：非等谱a k n s 系统，d a r b o u x 变换 中图分类号：0 1 7 5 2 9 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h en o n - i s o s p e c t r a lp o l y n o m i a ls p e c t r a lp r o b l e ma n dt h ec o r r e s p o n d i n gs o l i t o ne q u a t i o n sw i l lb ed i s c u s s e d ，e s p e c i a l l yt h en na k n ss y s t e m n o n - i s o s p e c t r a la k n ss y s t e mi sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h ei s o s p e c t r a lc a s e t h e s o l i t o ne q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h ei s o s p e c t r a la k n ss y s t e ma r eu s u a l l yt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i l et h ee q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h en o n - i s o s p e c t r a l c a s ea r et h ei n t e g r a le q u a t i o n sa n dt h ei n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ep r o v e t h a tt h en o n i s o s p e c t r a la k n ss y s t e ma n dt h er e d u c t i v ea k n ss y s t e ma r ew e l l - d e f i n e dw i t hs o m ea s y m p t o t i cc o n d i t i o n s w ec o n s t r u c tt h eu n i v e r s a ld a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nf o rt h i ss y s t e m w ea l s op r o v et h a tt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n o ft h i st y p ec o n , b e r v e st h ea s y m p t o t i cp r o p e r t ya n do n l yt h ei n t e g r a lc o n s t a n t sa r e c h a n g e d b yu s i n gt h i st y p eo fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，t h es o l i t o ns o l u t i o n so f t h ec o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e d k e y w o r d s ：t h en o n - i s o s p e c t r a la k n ss y s t e m ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ， c l c n ：0 1 7 5 2 9 u l 前言 随着科学技术的发展进步，需要用非线性模型来反映客观世界的变化规律 2 0 世纪5 0 年代以来，人们在研究非线性现象的过程中提出了。孤立子”的概念， 并已在流体物理、固体物理、基本粒子物理等离子物理凝聚态物理超导物 理、激光物理、生物物理等诸多领域中得到证实，成为非线性科学中的重要课题 早在1 8 3 4 年，英国科学家r u s s e u 偶然发现了一种奇妙的水波1 8 4 4 年， 他在英国科学促进协会笫1 4 届会议报告发表。论波动”一文中，对这一发现 作了生动的描述 我正在观察一条船的运动，这条船被两匹马拉着沿着狭窄的河道迅速前进 着突然，船停了下来，河道内被船体带动的水团并不停止，它们积聚在船头周围 激烈地扰动着，然后水浪呈现出一个滚圆而平滑，轮廓分明的巨大孤立波峰，它 以巨大的速度向前滚动着，急速地离开了船头，在行进中它的形状和速度并没有 明显的改变我骑在马上紧跟着观察，它以每小时约 - # l 英里的速度滚滚向前，并 保持长约三十英尺，高约一至一英尺半的原始形状渐渐地，它的高度下降了。 当我跟踪一至二英里之后，它终于消失在适迤的河道之中( 摘自1 ) r u s s e l l 当时未能证明并使物理学家相信他的发现，之后有关孤立波的阿题在 当时许多物理学家中引起了广泛的争论直到1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和 他的学生d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，建立了 单向运动的浅水波运动方程 鲁= 新鑫( 争尹2 + 1 3 塑0 2 2 、 ， ( 0 t ) 瓦2 互v 了丽i j q 。+ i q 叩+ 一一， ( 0 1 ) 并发表在d ev r i e s 的博士论文上( 【5 0 】) ，这就是著名的k d v 方程，适当简化后， 我们可将它等价地写为 毗+ t z z z + 6 u u z = 0 ( 0 2 ) d ev r i 求出了方程( 0 2 ) 的特解，其分析性质与r u s s e l l 的描述完全一致，从而 证实了r u s s e l l 的发现然而这种波是否稳定，两个渡碰撞之后是否会变形，这种 孤立波是否会出现在流体力学以外的其它领域中，长期以来没有得到解答一部 分人认为这种波不稳定，从而没有物理意义，于是对孤立波的研究暂时搁浅 直到2 0 世纪5 0 年代，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m ( 【2 2 ) 在研究非线性 弹簧连结下的质点系统时，再次发现了类似孤立波的性质，之后t o d a 继续研究 该问题，得到了孤立波解( 5 9 1 ) ，从而迸一步激发起人们对孤立波的兴趣 1 9 6 5 年，物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y ( 【6 2 ) 用数值模拟的方法详细地分析 了等离子体中的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，证实了这类孤立波相互作用 前言 2 后不改变波形的论断由于这种孤立波的相互作用具有类似于粒子碰撞的性质， 因此他们将这种孤立波命名为孤立子在之后的2 0 多年中。孤立子被陆续在多 个领域发现并证实，理论的研究工作迅速发展，逐渐形成了较为完整的孤立子理 论 几乎与孤立波现象被物理学家发现的同时，人们在研究经典力学中的运动方 程时，发现了一些可以精确求解的力学方程和l i o u v i u e 意义下完全可积的力学系 统( 【1 ，8 】) ，例如j a c o b i 关于椭球面上测地线方程的积分，k a v a l e v s k a y a 型陀螺 等然而到了1 9 世纪后期，以p o i n c a r 6 为代表的数学家意识到多数h a m i l t o n 系 统并不是完全可积的，特别是三体问题后来又发现完全可积系统在小扰动下。 就不再可积了于是，可积系统被认为是个别的例外情形，动力系统的研究转向 定性理论，可积理论进入低潮 2 0 世纪6 0 年代，随着孤立子理论的兴起，发现了许多不同背景下与孤立子有 关的非线性微分方程，竟然是l i o u v i l l e 意义下完全可积的后来，进一步得到， 在小扰动下，虽然完全可积性被破坏，但原问题的不变环面的一个具有正测度的 c a n t o r 子集却是保持的，这就是著名的k a m 理论( f 5 l 】) 之后，p s s c h e l 进 一步证明，在w h i t n e y 可微意义下，扰动系统在上述c a n t o r 集上仍是完全可积 的于是，对可积系统研究再度兴起，并且与孤立子理论紧密联系起来一些完 全可积的非线性方程陆续被发现，而且领域从经典力学经典物理学发展到了微 分几何学( 【2 ，1 l ，5 5 ，6 0 】) 和宇宙学( 【1 9 ，2 0 】) 完全可积的微分方程，从某种意义上说，就是可以显式求解的很多孤立子 方程都有多种显式求解的方法，其中反散射方法( 【9 ，1 0 ，1 7 】) 和b 乱k l u n d 变换 ( f 1 8 】) 是常见又有相当历史的两种反散射方法利用非线性偏微分方程的l a x 对 和常微分方程的谱理论，把微分方程的c a u c h y 问题转化为求解线性积分方程， 在退化核的情况下，能给出显式解，但是，在积分方程的核非退化时，解的显式 表达式很难得到b a c k l u n d 变换是通过已知的特解( 我们称之为种子解) 得到新 解的一种求解方法这种方法最初是由几何学家b 莒c k k m d 在研究负常曲率时， 从s i n e - g o r d o n 方程中得到的( 【1 i ) 。他导出一个完全可积的偏微分方程组，可 以从种子解得到一个新解，并可以利用多个有一定关系的解，给出新解的显式表 达式，称为“非线性迭加公式”然而使用这种方法，非线性迭加公式只是在特殊 情形下才会出现之后，人们着力于寻找更有效的b 址a d u n d 变换方法，d a r b o u x 变换方法( f 2 】) ，h i r o t a 直接方法( 4 1 】) 、延拓方法( 【2 l ，6 l 】) 和l o o p 群方法 ( f 5 6 1 ) 等相继出现 本文所要研究的d a x b o u x 变换用于孤立子理论首先出现于2 0 世纪7 0 年代 当时人们注意到d a r b o u x 在1 9 世纪提供的处理二阶常微分方程谱问题的一个方 法( 1 1 5 1 ) 对于非线性偏微分方程的显式求解有很重要的作用，这便是d a r b o u x o 前言 3 变换法由于d a r b o u x 变换法对非线性方程显式求解简单，有效，很快引起人们 的注意，并且得到迅速发展不仅很多孤立子方程都可以用d a r b o u x 变换求显式 解，而且很多几何中的偏微分方程，饲如s i n e - g o r d o n 方程，r 2 ，r 1 ，1 到酉群的调 和映照方程，也可以用d a r b o u x 变换求解( 【i ，2 ，6 0 ) 因此如何将d a r b o u x 变 换方法应用于尽可能多的非线性方程的求解中，是值得研究的课题 本文的研究对象是非等谱的a k n s 系统及其对应的孤立子方程，全文共分七 部分第一章将对谱问题a k n s 系统，d a r b o u x 变换、等谱与非等谱问题做 一初步介绍第二三章将分别推导非等谱的a k n s 系统和带约束条件( 特别是 实条件) 的非等谱a k n s 系统的构造方法，从推导过程中，可以看出等谱问题与 非等谱问题所需分析条件的差别第四五章将推导非等谱多项式型谱问题和带 约束条件的多项式型谱问题的d a r b o u x 变换，特别，a k n s 系统是一种特殊的 多项式型谱问题第六章将给出上述的这种d a r b o u x 变换保持基本解渐近性质的 一个充分条件，同时证明这种d a r b o u x 变换对a k n s 系统积分常数的影响第 七、八章我们用这种d a r b o u x 变换，给出若干非线性方程的孤立子解 一 第一章谱问题、a k n s 系统和d a r b o u x 变换 早期在使用反散射方法寻求孤立子方程的显式解时，都是将孤立子方程转化 成一个与之等价的谱问题于是，人们意识到谱问题或许是不同的孤立子方程之 间的一个桥梁大部分常见的谱问题都可以由下面的方式定义 定义1 1 我们把如下形式的一个线性微分方程称为一个谱问题， 垂。= c 厂( z ，a ) 圣 ( 1 1 ) 这里，圣是一个依赖于z 的维向量值函数，u 是一个依赖于z 和谱参数a 的nxn 的矩阵如果圣同时依赖于时间变量t ，我们把联立谱问题 卜却o ，砷西 ( 1 2 ) i 吼= v ( x ，t ，a ) 西 称为一个l a x 对，这里以y 是依赖于z ，t 和谱参数a 的n n 矩阵 对于联立谱问题。由线性偏微分方程的知识立即得到，西有可微解当且仅当 配y 满足相容性条件， 巩一k + 暇卅= 0 ( 1 3 ) 满足相容性条件的线性偏微分方程组，我们称其为l a x 意义下的可积系统如果 我们将( 1 2 ) 的线性无关解看作r 中的标架场，则以y 可看作定义在该标架场 上的一个联络，那么( 1 3 ) 的左端即为该联络对应的曲率，因此( 1 3 ) 也称为l a x 对( 1 2 ) 的零曲率方程许多孤立子方程都可以等价于某个l a x 对的零曲率方 程，我们下面给出一些例子 例1 2 ( k d v 方程和相应的谱问题) 令( 1 2 ) 中的 三) a a ， 其中缸= u ( z ，t ) ，a 不依赖于z ，t ，则此时方程( 1 3 ) 等价于k d v 方程 啦+ t z z z + 6 u u 。= 0 4 ( 1 5 ) 也如 缸o 4 o ， o _ f o o，=_、 0(狞 “b a t 、m o 以 o 4 ， 。 4 。 嘞轧 例1 3 ( 非等谱的非线性导数s c h r s d i n g e r 方程和相应的谱问题) - 令( 1 2 ) 中的 一仃( ：三) n 仃0 ，小 z 屈1 三) 籼屈0 ，0 q ) a a + 雁础1 2 ( ：二) a 2 + “问扩墓俪k l 硅卜札i 问口1 2 一e 磊一纂 o 其中g = g ( z ，t ) c ，a = a ( t ) 且满足微分方程 、二k + ( 。g ) 。+ e 、= t ( z q i q l 2 ) 。一言如= 0 蝣 ( 争耋卜( 熹幸卅 峥 ( 崇毫卜( 塞争小 这里 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 厍磊身- ， 卜 务一f ， 1 枷；南c a 一如 卜“叫 斜；南+ ；南岛= 器 竭 对可由联立谱问题导出的孤立子方程，我们在已知某一特解的情况下，我们 第一章谱问题、a k n s 系统和d a r b o u x 变换 寻找一个n n 的矩阵m ( x ，t ，a ) ，使得如下定义的【， 6 ：2d u d - i + d z d - ，i ， ( 1 1 3 ) = d v d 一1 + d t d ， 。 具有与以y 相同的形式如此定义的，一定也满足( 1 3 ) 事实上，若将阢y 看作标架场的联络矩阵，y 7 恰为经坐标变换d 后得到的联络矩阵，由于曲率 的变换是齐次的，因此联络c ，7 ，y 的瞌率仍为0 在d 非平凡的情况下，y 7 将是与仉y 不同的两个矩阵，从而等价地得到孤立子方程的另一个解变换 ( 阢y ) 一( ，y )( 1 1 4 ) 要求，对谱问题( 1 4 ) 而言，我们要求变换后的u 7 ，v 仍可写成以下形式 啦( ：二) 0 。t ，0 ) ， 儿( ：+ ( 并) 肌( 差砂蚴 + ( 2 0 如此得到的7 也一定是k d v 方程的解 构造一个系统的d a r b o u x 变换是一件技巧性很强的工作，人们希望某种 d a z b o u x 变换的构造方法，有尽可能多的应用范围2 0 世纪7 0 年代，v e z a k h a r o v ，a b s h a b a t ( 【6 3 】) 和m j a b l o w i t z ，d j k a u p ，a c n e w e u ，h s e g u r ( f 7 】) 首先引入的一种比较一般的l a x 对，我们称之为a k n s 系统 定义1 5 n n 的a k n s 系统是指如下形式的l a x 对， f 西。= u ( z ，t ，a ) 圣= a j 圣+ p ( 。，) 壬 沁叫刈，啦：壹阶棚”壬 o j 6 其中，a 为谱参数，正p k 均为n 阶方阵，且满足以下条件 ( 1 ) t r ，= t r 巧= t r p = 0 ( 2 ) j 为一常对角矩阵，且对角元互不相同 ( 3 ) p 的对角元均为零 第一章谱问题，a k n s 系统和d a r b o u x 变换 7 很多孤立子方程都可以通过a k n s 系统及其约化导出比如( 1 4 ) ，就是 a k n s 系统在n = 3 时的一种特殊情形当n 取其他整数时，也可以导出一系列 非线性微分方程 矩阵玑y 中的谱参数a 在此起了重要作用在j 可逆的情况下，令雪= j 西， 则( 1 1 6 ) 的第一式可等价地写为 ( 色一p ) j 一1 霍= a 皿( 1 1 7 ) 于是a 恰为算子( 磊一p ) j - 1 的谱，这正是我们称a 为谱参数的原因如果a 不依赖于自变量，我们称这类谱问题为等谱问题( 或谱不变的) ，例如例1 2 ； 如果谱参数是自变量的函数，我们称这类谱问题为非等谱问题( 或谱可变的) ( 【4 】) ，例如例1 3 和1 4 对波方程对应的两种谱问题，我们有通俗的物理解释 对绝大部分l a x 对，尸都对应了与孤立子方程的解有关的量，在经典力学的范 畴中，当孤立波在均匀的介质中传播时，波的形状通常是不随时间改变的，数学 上说就是对不同的t ，p 只相差在。轴上的平移于是算子( 如一p ) j _ 1 的谱也 应当不随时间改变，这就是等谱问题( 例1 2 ) ；而在非均匀介质中，波的形状通 常随时间发生改变，从而算子( 如一p ) j _ 1 的谱也发生改变，这就是非等谱问题 ( 例1 3 ) 对应的，m 是算子( 0 。一p ) j _ 1 的特征函数，而( 1 1 6 ) 的第二式恰 恰描述了特征函数随时间的变化情况在相对论范畴下，由于时空是对等的，会 出现谱参数同时依赖于多个自变量的更加复杂的情形，如例1 4 以及非等谱自对 偶y a n g - m i l l s 方程( 【4 】) 2 0 世纪8 0 年代，谷超豪对等谱的a k n s 系统构造了统一的矩阵形式d a r b o u x 变换( 【2 3 1 ) ，并用这种d a r b o u x 变换得出了一系列孤立子方程的解( 2 4 - 4 0 ) 之后，胡和生( 4 2 - 4 8 ) 、周子翔( 【6 5 - 7 6 ) ，东瑜听( 【1 6 ) ，嵇庆春( 【4 9 ) 等 分别将这种d a r b o u x 变换用于自对偶y a n g - m i l l s 方程豫2 ，r 1 ，l 到酉群的调和 映照方程，波方程。反d es i t t e r 时空中的y a n g - m i l l s - h i g g s 方程、m z m 方 程等的研究中，得到了大量结果 在实际应用中，介质都不可能是绝对均匀的，因此有必要研究非等谱情形下 的孤立子方程非等谱的a k n s 系统也可以导出一系列非线性方程，但不一定 都是微分方程，而且要考虑的问题比等谱的情形复杂的多1 9 9 0 年，田畴和张 友金研究了一种特殊的2x2 非等谱a k n s 系统和m k d v 梯队。得到了相应的 b i e k l u n d 变换( 【5 7 ，5 8 】) 1 9 9 1 年，陈炜良和y z h e n g 研究了非等谱的变系数 k d v 方程( 【1 4 1 ) 1 9 9 5 年，陈炜良和张晓得出了变系数k d v 方程和m k d v 方 程的对称同年，j c i e l i f i s k i 用代数表示的方法，给出了非等谱导数s c h r s d i n g e r 方程的d a r b o u x 变换矩阵( 【1 2 ”，c r o g e r s 和w k s c h i e f 在其著作【5 4 】中 用同样的方法研究了e r n s t 方程1 9 9 8 年，乔志军研究了h a r r y - d y m 谱问题下 ，&l f i 第一章谱问题，a k n s 系统和d a r ) o x 变换 8 i 的非线性方程，在等谱与非等谱情形下1 分别得到了一系列非线性方程( 【5 3 1 ) 这些工作的共同特点是，谱问题都是( 茸2 ) 型的，而且以v 都是2 阶方阵，且为 关于a 的矩阵多项式，而a k n s 系统正是这类谱问题的代表我们在本文中，将 使用【2 】中的方法导出非等谱的杜k n s 梯队和实条件约束下的a k n s 梯 队，将【2 3 】中的矩阵形式的d a r b o u x 变换推广到非等谱n 的a k n s 系统， 并给出孤立子方程存在自b 5 , c k h m d 变换的条件和孤立子解的构造方法 第二章非等谱a k n s 系统的构造 构造a k n s 系统的方法有很多，比如 2 】中的直接方法， 5 6 】中的l o o p 代数方法上述方法对等谱的情形，都得到了很好的结果但对非等谱情形，由 于l o o p 代数方法所依赖的( 1 1 6 ) 的基本解分析性质不够好，很难得到精确的结 果而直接方法不需要考虑基本解的分析性质，我们本章采用这一方法 分别记g l ( n ) = 9 l ( n ，f ) ，s l ( n ) = s t ( n ，f ) 为域f 上的一般线性l i e 代数和 特殊线性l i e 代数( 关于l i e 群，l i e 代数的各种定义及记号，参见【5 ，6 ) ，域 f 通常为实数域或复数域，根据不同的对象有所不同用l i e 代数的记号，前面 a k n s 系统的定义1 5 中，条件( 1 ) 可以等价地写为正巧，p s l ( n ) 对a s t ( n ) ，以 黝蒜i 8 s “l ( n ；等翥y 芝s l ( n ) a 一：2 n t r ( y x 问， “( ) 土= x ) ：对所有 ，v x ) =) = o ) 分别记a 在s t ( n ) 中的中心化子和a 在s l ( n ) 中k i l l i n g 型下的正交补不难得 到以下几个代数引理( f 5 6 】) 引理2 , 1 对任何非零矩阵a s l ( n ) ，s l ( n ) 作为线性空闻，存在直和分解 8 z ( n ) = s ( n ) aos l ( n ) 上a ( 2 2 ) 只需注意到“( ) 是半单l i e 代数，故其上k i l l i n g 型非退化，从而直和分解 引理2 2 设j s t ( n ) 为特征根互不相同的阶对角矩阵，则 “( ) j = x “( ) ，且x 为对角阵 ， 扰) 士：? x 鲥( ) ，且x 的对角元乌为0 1 。 如此我们可将a k n s 系统定义1 5 中条件( 3 ) 等价地写为p “( ) ，并 分别以f r o 和7 r 1 记s t ( n ) 到子空间8 z ( n ) s 和“( ) 的投影映射对这样的， 我们进一步可以得到下面结论 引理2 3 以a d 记l i e 代数上的伴随表示，则对任何对角阵a ，有 a d ( a ) ( 鲥( ) ) “( ) ( 2 4 ) 引理2 4 a d ( j ) ：8 1 ( n ) 一s z ( ) 士是线性空间的同态，且k e r ( a d ( - ，) ) = 8 1 ( i v ) j 。 于是a d ( j ) 限制在s f ( ) 士是同构 9 第二章非等谱a k n s 系统的构造 1 0 以下假定a k n s 系统( 1 1 6 ) 中的( 以y ) 满足零曲率方程( 1 3 ) ，谱参数 a = a ( ) 满足微分方程 n = m ) = ，i ( 2 5 ) i = 0 则对任意取定的【厂，比较此时( 1 3 ) 两端a 的系数，有 记 a 1 的系数：k 1 = o ， ( 2 6 ) 膏的系数； 五，一k ，+ 【正k 一1 】十【只吲= 0 ( 1 i n ) ，( 2 7 ) 常数项z，0 ，+ 只一，。+ 【p 吲= 0 ( 2 8 ) - 由( 2 6 ) 可得 妒叼= 丌0 ( k ) ， 17 0 ，7 = 7 r 1 ( i 、， ( 2 9 ) 嵋7 ，= a a ( j ) 0 = 0 再由( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，得到递推式 k 尹= - ，+ 丌。( p 口7 ， ) ( o n ) ， k 口，7 = a d ( ，) 一1 ( v 一霄- ( 【p k + ，1 ) ) ( o l n - i ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 以及p 满足的方程 p , - v l ：7 十 p i 俨】_ o ( 2 1 3 ) 如此，在p 取定的情况下，k 可根据递推式( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 依次确定而且 此时，中a 的最高次数只能是n ，否则a ”，的系数将不可能为零 由递推关系可以看出，k o ”可以由k 十1 直接定义，而v 尹哪则要通过关于 嵋7 7 的微分方程确定在等谱的情形下( 即所有的 均为0 时) ，可以证明k 可 以写成p 及p 关于z 的偏导数的多项式( 参见【2 ，5 6 1 ) ，在这种条件下，( 1 3 ) 等价于一组微分方程在非等谱的情形下，k 般只能写成含有p 及其各阶导 数的一个积分表达式当p ( z ，t ) 在z 一一o 。时速降，即p 满足如下条件时 。墅i i o t ( p ( x ，t ) ) = 0 对任何t 以及非负整数，m ， 我们可以如下定义k 蛔， 俨一胁0 i ( 归仁加( p ，叫) 如， 其中积分常数吼( f ) 为t 的任意函数这种情况下，我们有以下结论 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 第二章非等谱a k n s 系统的构造 1 1 定理2 5 设a k n s 系统( 1 1 6 ) 的谱参数适合( 2 5 ) ，其中p 在霉一一o o 时 速降，则存在只依赖于t 的矩阵o t o ( t ) ，( t ) s t ( n ) ，使得对任何非负整数 k ，m ， l i ml $ l 凹( 一五儿一啦( t ) ) = 0 ( 0 曼 礼) ( 2 1 6 ) 特飘 。 。( y 一善 如”) 2 要吼( t ) ， ( 2 1 7 ) t = ul = u 若p = 0 ，则v 为对角阵 证明因为呼，= 0 ，所以由( 2 1 1 ) 知存在( t ) s t ( n ) 满足 讶叫= 厶j t + 岛。( t ) ( 2 1 8 ) 故显然有对任何非负整数k ，m ， l i mi z i 刀( k 一厶，z a 。( t ) ) = 0 ( 2 1 9 ) 归纳假设存在o 。( t ) ，a i ( t ) ，使得，k 均满足( 2 1 6 ) ，则 l i m 计露( 【p ，吲) 一一。 ( 2 2 0 ) = l i m a p ( 【p k f , j z q ( t ) l + 【p ，f , j x + o ( ) 】) = 0 从而 一l i m 。l 。防馏= a d ( j ) 一。坩凹( o f f - - ”l ( 【p ，k 1 ) ) _ o ( 2 _ 2 1 ) 于是 噶一f , - 1 j = v o ( p i 瞄 ) ( z 忽) 当茁一一o o 时速降两边取积分，取积分常数为q ，1 ( t ) ，就有 堵9 一“加刊归伽( p 】啷 ) d z ( 2 z 。) 且两端在z 一一o o 时速降从而 l i r al 。i 霹( k 一1 一 一l j 0 一o q _ l ( t ) ) = 0 ( 2 2 4 ) 等价地有 。旦巴一a j x a ) = o z ；( t ) ( 2 2 5 ) 特别，在p = 0 时，由( 2 1 2 ) ，立即得到对所有的0st n ，k o ，= 0 ，即y 为 对角阵 口 第二章非等谱a k n s 系统的构造 1 2 这个定理说明了，对可积的a k n s 系统，在尸速降的情况下，取定积分常 数后，y 可以由p 唯一确定当p 非速降时，我们也可以根据不同的情况，选 择其他的积分算子来定义y 一般情况下，( 2 8 ) 对应了一个矩阵积微分方程， 写成分量的形式，即为一个积微分方程组，通常这一方程组是非线性的，我们称 之为广义a k n s 梯队，特别的当n 。o l l0 时，称为标准a k n s 梯 队由于a k n s 系统中的系数矩阵都属于l i e 代数s l ( n ) ，故也称a k n s 梯队为 8 z ( ) 一梯队许多有用的孤立子方程，如k d v 方程，m k d v 方程，s i n e - g o r d o n 方程，非线性s c h r s d i n g e r 方程等，都可以通过a k n s 系统导出下面我们推导 一下n = 2 ，n = 3 时的a k n s 系统。 例2 6 = 3 时的非等谱a k n s 系统) 设 j = 。1 二) ，p = ( ：) ，k = ( ：) ，c 。z 。， 其中p = p ( x ，f ) ，g = q ( x ，t ) 此时积分常数q ( t ) = a ，( ) za 。( t ) 为一数值函数。 由递推式，依次得到 = ( 。乞西。一厶z ：a 。) ， = ( ( 善：酬a 2 ( 啪t ) q ( 咖h x + 瑚a s ( o ) 玲i v q = i ( z + a 3 ( t ) ) q一，2 z a 2 ( t ) b l ；( ，3 z + a 。( ) ) m + ( ； + f 2 z + & 2 ( t ) ) p ， c - = 一；( 厶。+ a a ( t ) ) + ( 一； + ，2 z + a ：( t ) ) 口， 。l2 。一i ( f 3 z + a 3 ( t ) ) 加一；厶a 1 ( p q ) + a 1 ( t ) ， f 2 2 7 1 6 0 = ；f 3 p z + ；( z + 面( t ) ) p 。+ ；，2 p + ；( ，2 z + a 。( t ) ) m + a x p 一；( ，3 z + 耐啪p 2 q 一- j 3 1 0 。+ a l ( 咖， c d = ；，3 + ；( ，3 z + a s ( t ) ) 一；，2 q 一；( ，2 。+ a 。( t ) ) q x + f l z q 一；( ，3 z + 西( 啪p q 2 一；，3 q a - 1 ( p 口) + a - ( ) q ， n o = 厂0 z 十i ( z + a 3 ( ) ) o 啦一q p z ) 一i ( ，2 z + a 2 ( t ) ) p q 11 + ；厶a 一1 ( p q z 一k ) 一丘a 一1 0 口) + 矗。( t ) ， 其中a - 1 记由一o o 至。的积分其导出的菲线性方程为 p吼t：=匈bo，,z+一。2p。ao。, c 。z s ， 第二章非等谱a k n s 系统的构造 岛) ，k = ( 黧黧) 1 3 2 ( 尝絮况黧二嚣) 亿：。， 6 0 = ；a 3 ( 力( m 。一2 p 2 9 ) + 寺a 2 ( ) 仇+ a l ( f 汩， c 0 = ；a 3 ( ) ( 缸。一2 p q 2 ) ；a 2 ( t ) 缸+ a l ( t ) q ， a o = ；a 3 ( t ) p q 。一q p x ) 一言矗2 ( t ) p q + a o ( t ) 这恰为等谱的a k n s 系统，故等谱的a k n s 系统的确是非等谱a k n s 系统的特 殊情形 口 注2 7 在一定条件下，y 还可以包含a 的负幂次项，此时情况比较复杂，不易 作统一的讨论 从推导过程可以看出，在盯取定的情况下， y 可由零曲率方程，从高次项 系数到低次项系数依次确定在这过程中，我们并未本质的用到u 是一次矩阵多 项式的条件对c 厂是高次多项式的l a x 对，可以用完全相同的方法证明，在u 和积分常数取定的情况下，y 被唯一确定 需要指出的是，我们之所以可以假定p 速降，是因为通常与孤立子方程联系 的l a x 对中，p 恰好对应了孤立子方程的解，而孤立子解常常都是速降函数我 们完全可以研究在p 属于其他函数类时的情形，但之后构造d a r b o u x 变换时， 必须另行讨论在后面的章节中，我们将会看到其中的差别 t “o q 虮， 吣 = = ， 当 剐特 第三章带约束条件的a k n s 系统 从上一章的讨论可以看出，可积的a k n s 系统等价于个非线性积微分方程 组，对一般的阶a k n s 系统，方程( 2 1 3 ) 中包含了n ( n 一1 ) 个未知函数， 这种方程组经常过于复杂为了从谱问题导出有用的孤立子方程，我们常常需要 在原有的谱问题上增加约束条件以减少未知函数的个数 增加约束条件后，必须不影响可积性根据上一章的结论，对a k n s 系统 ( 1 1 6 ) ，p 和积分常数取定后，y 将被唯一确定因此我们不能对尸附加某种 约束条件后，再同时对y 附加任意的约束条件而在应用中，我们希望p y 要 同时满足某些约束条件因此我们必须证明，附加哪些约束条件，才会不影响可 积性我们仍然使用直接方法 我们首先需要引入l i e 代数上线性( 或共轭线性) 对合的概念【5 6 】 定义3 1 称口：s l ( n ，c ) 一s t ( n ，c ) 为l i e 代数s t ( n ，c ) 上的一个线性( 或共轭 线性) 对合，如果对任何a c ，a ，b s t ( y ，c ) ，盯满足以下条件， ( 1 ) 线性( 共轭线性) 口+ b ) = a ( a ) + 口( b ) ，a ( a a ) = a ( r ( a ) ( 或口( a a ) = a a ( a ) ) ； ( 2 ) 保持李括号o ( 【a ，引) = p ( a ) ，盯( b ) 1 ； ( 3 ) 对合性= i d 对s z ( c ) 中的矩阵，可以利用共轭线性对合定义一类约束条件( 【5 6 】) 定义3 2 我们称9 为s l ( n ，c ) 的一个实形式。如果g 是l i e 代数s l ( n ，c ) 上 某一共轭线性对合a 的不动点集若映射u ：c 一“( c ) 称为满足g 实条件 或小实条件，如果对所有的a c 满足 口( c ，( 天) ) = 矿( a ) ( 3 1 ) l a x 对( 1 2 ) 称为满足9 一实条件或乒实条件，如果将c y 看作c 到s t ( n ，c ) 映射，分别满足乒实条件 根据上面的定义，立即得到以下命题 命题3 3 9 是s t ( n ，c ) 的子代数矿( a ) = k 巩妒满足g 一实条件，当且仅当 对所有k ，仉9 我们给出几种常见的实条件 例3 4 设a ，巩s t ( n ，c ) ，矿( a ) = 巩k 。 ( 1 ) 取矿) = 一a 丁，则盯是一个共轭线性对合，s u ( n ) 为盯的不动点集u 满足s t ( ) 一实条件，当且仅当c ，( a ) ? + u ( a ) = 0 ( 2 ) 取a ( a ) = 一m 互r m ，其中m = d i a g ( i ，一i n 一) ，则盯是一个共轭线性对 合，s u ( k ，n k ) 为盯的不动点集矿满足s u ( k ，n 一) 一实条件，当且仅当 1 4 第三章带约束条件的a k n s 系统 1 5 矿( a ) r m + m u ( a ) = 0 ( 3 ) 取，( a ) = a ，则，是一个共轭线性对合，s z ( ，r ) 为盯的不动点集扩满 足8 l ( n ，r ) 一实条件，当且仅当c ，( a ) = u ( a ) ，即u 的系数矩阵均为实矩阵口 对于由共轭线性对合定义的实条件约束，我们有下面的定理 定理3 5 设a k n s 系统( 1 1 6 ) 的谱参数适合( 2 5 ) ，其中的阢y s l ( n ，c ) 且 满足可积条件( 1 3 ) ，g 是某个共轭线性对合盯决定的实形式如果矿满足9 一 实条件，为实系数多项式，且所有的积分常数啦( t ) 蛋，则y 一定满足g 实条件 证明由矿满足夕实条件，故z 尸9 注意到对任何矩阵a 夕， u a d ( j ) ( a ) = 一【za 1 = p ( ，) ，一( a ) i = 【正一( a ) 1 = a d ( j ) a ( a ) ，( 3 2 ) 故a a d ( j ) = a a ( j ，从而 a a d ( j ) 一= a d ( j ) - 1 a d ( ，) 口a d ( 刀一= a d u ) - 1 口a d ( ，) a d ( j ) - 1 = a d ( j ) - 1 n ( 3 3 ) 显然口m = 丌0 = 0 ，1 ) ，w 7 ，= 0 分于是由归纳法及( 2 1 5 ) 一( 矿卜州 p ，曙， ) d z 川胁州嘞 = 珊( 叫，) + 工如倒力 ( 3 4 ) = ( p ，伽胁圳归俨， 再由递推式( 2 1 2 ) 矿( k 篡) = g a d ( j ) 一1 ( k ：7 一丌- ( j r , v , d ) = a d ( j ) 一1 ( a ( 昭7 ) 一”- ( p ( p ) ，a ( k ) 】) ) ( 3 5 ) = a d ( ，) 一1 ( 哆一”- ( 【p i k i ) ) = k 鼍口 从证明过程可以看出，对，的假设是必须的。否则y 将肯定不适合g 一实条 件在，是实系数的前提下，对可积的a k n s 系统和任何实条件，只要积分常 数属于相应的实形式g ，阢y 就一定满足相同的实条件这使得附加实条件约 束后的a k n s 系统可以导出简单的非线性微分方程以= 2 为例，扩满足 s u ( n ) 一实条件，那么p 只依赖于一个自由变量，如此导出的积分方程也将是只 含有个未知函数的方程 我们也可以利用线性对合，类似的定义约束条件注意到线性对合可以限制 在实l i e 代数s l ( n ，r ) 上，因此由线性对合定义的约束条件也适用于系数矩阵为 s l ( n ，r ) 中元素的情形 。 第三章带约束条件的a k n s 系统 定义3 6 设为s l ( n ，f ) 上的某一线性对合7 ( i d ) 的不动点集 f s l ( n ，f ) 称为满足n 实条件，如果对所有的a f 满足 1 - ( c ，( 一a ) ) = u ( a ) 1 6 若映射u ： ( 3 6 ) l a x 对( 1 2 ) 称为满足p 实条件，如果将y 看作f 到8 l ( n ，f ) 映射，分别满 足卜实条件 事实上，咒为线性映射r 对应特征值1 的特征子空间，记咒为r 对应特征 值一1 的特征子空间，则存在线性空间的直和分解s g ( n ，f ) = 尼。肜下面给出 一些例子 例3 7 设a ，u k s i ( n ，f ) ，c ，( a ) = k 巩k ， ( 1 ) 取r ( a ) = 一a t ，则7 - 是个线性对舍 s o ( n ，f ) 为口的不动点集u 满 足卜实条件，当且仅当矿( 一a )