（基础数学专业论文）有限群给定亏群p块的存在性.pdf

互坠登竺墨主壁垒些塑查查丝 1 摘要 有限群亏d 块的存在性的研究，一直是模表示论研究的重要问题 之一本文正是对这一问题进行了研究特别地，对d = 的 情形，即亏零块的存在性我们给出了若干群论条件 首先我们利用石生明提出的( g ，d ) 一对的概念，建立了i m ( 9 ) l 与g 的( 9 ，d ) 一对的个数之间的联系，从而给出了亏d 块的存 在性新的群论刻画同时还给出了群g 中以d 为亏群的块幂等 元之和与g d 的亏零块幂等元和的关系 其次我们给出了一些特殊群的亏零块存在的群论条件，如幂 零群被交换群扩张的群，p 一幂零群，p 一阶子群均共轭的群等 并且对具有一定条件的偶阶群的亏零块的存在性进行了研究进 而推广了i t o ，张继平等人的部分结果， 最后我们给出了群与正规子群的特征标之间的关系，特别是 亏零特征标之间的关系 关键词：有限群表示，常不可约特征标，亏零块，亏群 查! 垦登丝壅至壁芝兰盟查垒壁 2 a b s t r a c t i nw h a tc o n d i t i o n sap - s u b g r o u pdo faf i n i t eg r o u pgc a r lb ea d e f e c tg r o u pf o rs o m ep - b l o c ko fg ，t h ep r o b l e mi si m p o r t a n ti nt h e m o d u l a rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t eg r o u p s t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n s t u d i e so nt h ea b o v ep r o b l e m ，e s p e c i a l l yi nt h ee a s ed = ，i e o nt h ee x i s t e n c eo fp - b l o c k sw i t hd e f e c t0 ，w eo b t a i ns o m eg r o u pt h e o - r e t i cc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fb l o c k sw i t hd e f e c t0i naf i n i t eg r o u p a p p l y i n ga ( g ，d ) - p a i rd e f i n e db ys h e n g r a i n gs h i ，f i r s t l y , b ye s t a b - l i s h i n gt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ni 西( 9 ) ia n dt h en u m b e r so f ( g ，d ) 一p a l s ， w eg i v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o raf i n i t eg r o u pgh a v i n g ap - b l o c kw i t hd e f e c tg r o u pd s e c o n d l yw ee s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h es u n lo fp - b l o c ki d e m p o t e n t so fgw i t hd e f e c tg r o u pda n d t h es u mo ft h ep - b l o c ki d e m p o t e n t so fd e f e c tz e r oo fa d n e x tw eo b t a i ns o m eg r o u pt h e o r e t i cc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o fp - b l o c k sw i t hd e f e c t0i ns o m es p e c i a lg r o u p s ，f o ri n s t a n c e ，i na ne x - t e n s i o ng r o u po fan i l p o t e n tg r o u pb yaa b e l i a ng r o u p i nap - n i l p o t e n t g r o u p ，i nag r o u pw i t ha l ls u b g r o u p so fo r d e rpa r ec o n u g a t e ) a n ds o o n a l s ou n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f p - b l o c k sw i t hd e f e c t0o fe v e no r d e rg r o u p s ，a n dc o n s e q u e n t l yw eg e n e r a l i z et h ep a r tr e s u l t so fi t oa n dj i p i n gz h a n g f i n a l l y w ee s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc h a r a c t e r so fa f i n i t e g r o u pga n dt h a to fan o r m a ls u b g r o u po fg ，e s p e c i a l l yo nc h a r a c t e r s w i t hp - d e f e c t0 k e y w o r d s ：r e p r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u p ，o r d i n a r yi r r e d u c i b l e c h a r a c t e r ，b l o c ko fd e f e c tz e r o ，d e f e c tg r o u p 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：铖万堡 一 日期；2 0 0 6 年4 月1 5 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：撼女n 俐刖卫 日期：2 0 0 6 年4 月1 5 日 第一章前言 有限群的表示论是一个重要的代数分支，特别地，它是研究 有限群的重要工具通过研究有限群的表示论性质从而刻画其群 论性质是b r a u e r 当年研究模表示论重要目的之一块论一直是模 表示理论所研究的核心正是对以块论为核心的模表示论的研究 才使有限群表示论又焕发了新的生机在块论的理论方面，结果 已非常丰富这些结果在有限单群分类中起了非常重要的作用， 使人们对有限群有了更深刻的认识 模表示论中块论是其核心部分，而亏群在块论中起到关键的 作用它是联系群论性质和表示论性质最重要的对象因而，下 列问题一直是模表示论研究的核心问题： “一个p 一予群d 何时是有限群g 的p 一块的亏群? 如果d 是亏群，用群论性质来计算以d 为亏群的p 一块的个数” 这个问题在有限群表示论中具有重要意义，r b r a u e r 在文献 b r 】中将它列为问题1 9 ，而在文献 f e 7 4 】中被w f e i t 列为问题5 b r a u e r 和f o w l e r ( 1 9 5 5 ) ，t s u s h i m a ( 1 9 7 7 ) ，i i z u k a 和w a t a n a b e ( 1 9 7 2 ) 以 及w w i l l e m s ( 1 9 7 8 ) 都对此作过贡献1 9 8 3 年g r r o b i n s o n 在文 献 r o 】中得到一个精确的公式来计算这个数目公式中该数目等 平某矩阵的秩，其矩阵元与g 的( p ，p ) 双陪集的集合有关，其中 p 为g 的s y l o wp 一子群从这以后，人们从不同的角度对这一结 论给出了新的证明或推广例如：石生明在文献【s h 8 4 】中给出一个 推广的公式和若干结论，但去掉了限制d 司g 但是以上公式还是 难于进行具体计算故对于一个具体的p 一子群d ，计算以d 为 查堕壁堡塞主墅e 堡笠查垒些 2 亏群的p 一块的数目或找出有这样的p 一块存在的充分必要条件 仍是一个重要的课题所以对这个问题的研究仍然继续1 9 8 3 年 以来，张继平和石生明在特殊亏群的p 一块的存在性方面做出了 有意义的工作( 参见【z h 8 7 ， z h s 8 ， z h 9 3 ，1 z h 9 3 2 ， z h 9 4 ， s h 8 4 ， s h 9 1 ， s h 0 1 ， s h 0 2 】) 1 9 9 4 年，s p s t r u n k o v 在文章【s t 】中引入了( 9 ，p ) 一向量的概念，并用它对亏零块的存在性给出了一个新的刻画 对于亏零块的存在性，在【m u 】中，j c m u r r a y 简化了文 t s 】中关 于亏零块所对应的中心幂等元的和的一个结果，且给出亏零块存 在的一些充要条件最近，石生明在文章 s h 0 1 】中引入了( g ，d ) 一对的概念，对一般的块的存在性又给出了一个新的刻画，这种 刻画推广了文 s t 中的主要结果 对d = ，以d 为亏群的p 一块我们常称为亏零块亏数零 的p 一块的问题一直是模表示论中一个十分重要的问题a l p e r i n 猜想本质上是要通过局部子群的商群的亏数零的p 一块来研究群 的表示论性质b r a u e r 证明亏数零的p 一块在代数结构上与域上 全矩阵代数相同张继平、m i c h l e r 等人证明对任何素数p ，李型 单群具有亏数零的p 一块 z h 8 8 对于对称群晶，人们证明了当 且仅当i 1 是三角数时鼠有亏数零的p 一块；对p 5 ，g r a n v i l l e 与o n o 利用模形式( m o d u l a rf o r m s ) 的理论证明如有亏数零的p 一块；而对于p = 3 ，情况较为复杂事实上，对任何有限3 一群 d ，均存在一个正整数n 使得厶的所有3 一块的亏数群包含同 构于d 的子群对这样的n ，a 。没有亏数为零的3 一块；对于 任意有限群g ，张继平给出了当g 的s y l o w p 一子群循环时，有 亏数零的p 一块的充要条件 z h 8 7 ，并对只有全亏p 一块的群的刻 画【z h 8 8 ；对于有限可解群g ，首先张继平给出了有亏零块的一 些充分条件 z h 9 3 ，随后h b q a k t t s h i m a 给出了一个可解群有亏零块 的充要条件 f u 0 0 ，还有其他一些人在这方面也作了一些工作；胡 磊、石生明、王立中等对具有p 2 阶s y l o wp 一子群的有限群研究 了其何时有亏数零的p 一块的问题f l h g s ， w a n g 查堡鳌堡塞主登堡些箜墨垒垦 3 在本文中，首先对一般块的存在性给出了几个新的群论刻画 ，接着确定出了亏零块的存在性，最后给出了一些关于群与正规 子群特征标之间的关系 本论文组织如下： 在第二章中，集中研究了一般块的存在性问题。首先我们建 立了l 蛋( g ) i 与g 的( g ，d ) 一对的个数之间的联系，正是这个关键 的联系，在文章 t s 7 9 】和文章 s h 0 1 】的基础上，我们给出了给定亏 群的p 一块存在性的一些新的充要条件这是本文给出的最漂亮 的结果同时给出了群g 中以d 为亏群的块幂等元之和与g d 的亏零块幂等元和的关系 在第三章中，把石生明和赵忠平在文章 s h 0 2 】中的结果推广 到了幂零群被交换群扩张的群上 在第四章中，给出了一个p 一幂零群有亏零块的充要条件， 并推广了i t o 定理在推论中，推广了张继平的部分结果 在第五章中，对p 一阶子群均共轭的群的亏零块的存在性给出 了一些刻画同时对偶阶群亏零块的存在性也给出了一些刻画 在第六章中，给出了群与正规子群特征标之间的关系，特别 是亏零特征标之间的关系 本文主要结果如下 首先我们给出了一个一般结果 查堡壁堡塞主壁堡些堕查垒丝 4 定理2 2 9 设g 是有限群，d 是g 的正规p 一子群1 d i = p 4 则g 有以d 为亏群p 一块的充分且必要条件是存在g 的一个p 一正则元素g ，其中d 是( 9 ) 的s y l o wp 一子群，有 圣( 9 ) o ( m o dp d + 1 ) 其次我们给出了群g 中以d 为亏群的块幂等元之和与g d 的亏零块幂等元和的关系 定理2 2 1 3 设d 是有限p 一可解群g 的正规p 子群， l d l = p d p 是g 的一个s y l o w p 一子群且满足p d c u ( d ) e d 为 g 的所有以d 为亏群的块幂等元之和，面为召= g d 的所有亏 零块幂等元之和则 一e d = 面 进而有 e d = ( i 西( 9 1 ) l ) 芴+ + ( i 西( 9 s ) i p 4 ) + 兹 其中g ，q ，戗是g 的所有以d 为亏群的p 一正则共轭类， 且对每个g 固定一个元素吼，1 冬i s 推论2 2 1 4 设d 是有限群g 的正规p 一子群，p 是g 的 一个s y l o wp 一子群且满足p d c c ( d ) 则g 有以d 为亏群的p 块当且仅当召= g d 有亏零p 一块 接下来我们给出了关于特殊群的亏零块存在性的若干结果 定理3 2 3 设g 是有限群，g 是幂零群被交换群扩张的群 则g 有亏零p 一块的充要且必要条件是o p ( c ) = 1 查! 垦壁堡窒要壁卫：垫堕查垒些 5 推论3 2 6 设g 是有限群，g 是幂零群被交换群扩张的群 若p 是整除群g 阶的一个素因子，则g 存在以。p ( g ) 为亏群的p 一块 定理4 2 6 设g 是有限群，g 有幂零的正规p 一补，其中p 是 奇素数但不是m e r s e n n e 素数则g 有亏零p 一块的充分且必要 条件是q ( g ) = 1 并且存在元素。( g ) ，使得c c ( x ) 是一子 群当g 是奇阶群时，可去掉p 是“不是m e r s e n n e 素数”的条件 推论4 2 7 设g 是有限群，g 有幂零的正规p 一补，其中p 是奇素数但不是m e r s e n n e 素数若o 妇( g ) = q ( g ) 吩( g ) ，则g 有以q ( g ) 为亏群的p 一块当g 是奇阶群时，可去掉p 是“不 是m e r s e n n e 素数”的条件 推论4 2 8 设p 是整除有限群g 阶的素因子，且p 是奇素数 但不是m e r s e n n e 素数若吩( g ) 是幂零群，g ( g ) 是超可解 群则g 有以q ( g ) 为亏群的p 一块当g 是奇阶群时，可去掉 p 是“不是m e r s e n n e 素数”的条件 推论5 2 3 设g 是有限可解群若g 的所有p 一阶子群均共 轭，则g 有亏零块的充分且必要条件是q ( g ) = 1 。特别地，存 在x 。p ，( g ) ，使得( z ) 是p 7 一子群 定理5 2 4 设g 是偶阶群，p 是奇素数a 是g 的p 阶元， ( 血) 是奇阶的若存在对合歹，使得a 。= a j 且( n ) n ( j ) = 1 。，。则g 有亏零p 一块的充分且必要条件是( g ) = 1 最后我们给出了群与正规子群特征标之间的关系 定理6 2 5 设g 是有限群，且n 司g 是p ，一子群则n 有 查堡壁堡垒量登旦二垫塑查垒些 6 g 的亏零类充分且必要条件是存在i r r ( n ) ，使得七( 砂) 是p l 一子群，特别地，g 有亏零块 定理6 2 7 设g 是有限群1 nqg 是p l 子群 i p i r r ( n ) 若i r r ( a l o ) 均是亏零特征标，则坛( 妒) 是p 7 一子群 特别地，中存在g 的亏零类 第二章给定亏群p 一块的存在性 2 1 引言 在这一章中，我们主要研究了给定亏群的块存在的群论充要 条件 设g 是一个有限群，f 是一个特征为p 0 的域且f 是g 的所有子群分裂域把元素g g 看作群代数f g 中的元素 若x g ，则记又= 。x x 为x 中的元素在f g 中和，且记 q = 茹g x p = 1 ) 设e o 为f g 的所有亏零块幂等元之和 在1 9 7 9 年，t s u s h i m a 证明了 引理2 1 1 ( i t s 】定理1 ) e 0 = ( 瓦) 2 其中q 表示g 中所有p 一元素的集合 进一步，在1 9 9 9 年，j o h nc m u r r a y 证明了 引理2 1 2 ( m u 】定理5 7 ) e o = ( ) 2 ，当p 2 ； e 0 = ( 孬) 3 ，当p = 2 壹堡壁竺墨i 壁堡些塑查垒：堕8 则 令垂( 夕) = ( o ，b ) g pxq l a b = 办 ( g ) 2 = j 圣( 9 1 ) l + + + j 圣( 9 0 ) l + j 0( 1 ) 其中k 1 ，拖，是g 的所有以 为亏群的p 一正则共轭 类对每个i ，我们固定一个元素g l 甄这里i 西( 吼) i 表示圣( m ) 中元素的个数，是非负整数，而i 垂慨) i + 是i 西b ) l 在f 中的象，或 为i 西慨) 臣 r 是f 的单位元易知，f 西慨) r 0 充分且必要条件 是i 圣( 鲰) 】o ( m o d p ) 显然l 圣( 9 ) i 是g 的个类函数由引理2 1 1 ， 我们知g 有亏零p 一块充分且必要条件是存在某个i ，l i s ，使得i 西( g d l + 0 对于有限群g 的一个元素g ，s p s t r u n k o v 定义了( 9 ，p ) 一向 量( 在本文我们把g 的( 9 ，p ) 一向量称之为( 9 ，p ) 一对) ，即它是g 的s y l o wp 一子群的一个有序对( 以，b ) ，其中a a b = 1 且g a b 并且s p s t r u n k o v 证明了 引理2 1 3 有限群g 有亏零p 块的充分且必要条件是g 存 在元素g ，使得g 的( 夕，p ) 一对的个数与p 互素 在2 0 0 1 年，石生明给出了( 9 ，d ) 一对的概念，即( 9 ，d ) 一对是 指g 的s y l o w p 一子群的一个有序对( a ，b ) ，且a f ) b = d ，夕a b 当d = 时，g 的( 夕，d ) 一对就是g 的( 9 ，p ) 一对并证明了 引理2 1 4 设d 是有限群g 韵正规p 一子群，则g 有以d 为亏群的p 一块充分且必要条件是g 存在一个p 一正则元素g ， 使得( 9 ，d ) 一对的个数与p 互素，其中d 是( 9 ) 的s y l o wp 一 子群 查堡墅竺塞量壁堡些塑盘查：堡 9 本章中我们将建立l 圣( 夕) i 与g 的( g ，d ) 一对的个数之间的关 系，由此给出了给定亏群的p 一块存在性的一些新的充要条件， 这是本文的主要结果已将这些结果写成论文，并被a l g e b r ac o l - l o q u i u m 录用 q i a n 0 6 2 2p 一块的存在性 在下面引理中，我们首先建立了i 币( 9 ) i 与g 的( 9 ，p ) 一对的个 数的联系 引理2 2 5 设g 是有限群，g 是g 中的一个元素令m 是 g 的( 9 ，p ) 一对的个数，则 西( 9 ) l 三r e ( r o o dp ) 证明：设s y l 为g 的所有s y l o wp 一子群构成的集合设a 是 g 的一个p 一元素，则定义s y l 。为g 的所有包含元素a 的s y l o w p 一子群构成的集合由群论的一般性质知 s y l 。l 三1 ( r o o dp ) 从而若( 凸，b ) 圣( 9 ) ，则恰好存在i s y l 。jj s 掣如1 个s y l o wp 一子群对 ( p ，q ) 使得( o ，b ) e ( p ) q ) 且l s y l 。i i s y l b l 三1 ( r o o d p ) 因此 。 i 币( 9 ) i 三f s y l 。i l s y l 6 ( m o dp ) ( n 6 ) 蛋0 ) 若存在pes y l 。和q s y l b ，使得p n q = m 则对m 中 的任意元素x ，有( a x ，x - l b ) ep q ，且有( n z ) ( z - 1 b ) = a b = g ，从 而( a x ，。- 1 6 ) 西( g ) 若存在( c ，d ) 圣( 西，使得( c ，d ) pxq ，则 查堡壁堡塞主壁堡垫塑查垒：些 1 0 有a b = g = c d 即a - i t = b d _ 1 p nq = m 设x = a - i t = b d ， 则zem 即c = a x 和d = x - l b 另一方面( o 茹，x - l b ) = ( a y ，y _ 1 b ) 当 且仅当x = y 于是( 只q ) 在( 。，6 ) 。圣( ，) i s y z 。i i s y l b i 中出现的次数是 p 的倍数即 l ( p iq ) l a 只b q 且p nq l 州三o ( m o dp ) 恤，6 ) 垂( 9 ) 进而 j s y l 。l | 勖f 6 ( ，6 ) 壬( 9 ) = l ( p q ) i aep b q ) i ( 口，6 ) 壬0 ) ( p , q ) e s y z s y i = l ( p q ) l a p b q i ( p , q ) e s u l s y l ( o ，6 ) 西0 ) = ，三 l ( p iq ) i a p b q 且p nq = 1 ) i ( 只口) 8 y l s y l ( 8 ，砷垂( 尊) + ， i t ( p q ) l a p ，b q 且p nq 1 ) ) ( 只q ) 8 y l x s y l ( d ，6 ) 圣细) 。 三、萎， j ( p ) q ) i 口p ，b q 且p nq = 1 ) i ( 尸，0 ) s 蕾l x s y l ( b ，圣( g ) ( m o d p ) 于是 引理证毕 西( 夕) f 兰r e ( r o o dp ) 口 说g 的p 一正则共轭类k 是e o 的成分是指露在e 。中的系 数不为零易知是亏零p 一正则共轭类 定理2 2 6 设k 是有限群g 的p 一亏零共轭类，则对k 中 的任意元素g ，下列条件是等价的： ( 1 ) k 是e o 的成分； 查! 垦壁堡窒至壁堡堡堂查查竺u ( 2 ) i 圣( 9 ) i o ( m o dp ) ； ( 3 ) ( ( 9 ) = f _ 1 鼎x f ( 夕) ( x f 1 ) 刍o ( m d d p ) 其中x 2 ，骼 是g 的所有常不可约特征标 ( 4 ) g 的( 9 ，p ) 一对的个数与p 互素 证明：由引理2 1 1 和式子( 1 ) 知，( 1 ) 和( 2 ) 是等价的由引理 2 2 5 ，( 2 ) 和( 4 ) 是等价的由( s t l 知，e ( 9 ) o ( m o dp ) 当且仅当g 的( 9 ，p ) 一对的个数与p 互素故( 3 ) 和( 4 ) 是等价的定理证毕口 由定理2 2 6 有下面的推论： 推论2 2 7 设g 是有限群，则下列条件是等价的 ( 1 ) g 有亏零p 一块； ( 2 ) 存在元素g g 0 ，使得l 圣( 9 ) i o ( m o dp ) ； ( 3 ) 存在元素g 白，使得( 9 ，p ) 一对的个数与p 互素； ( 4 ) 存在元素g g ，使得 的) 。耋鼎删( 删；o ( r o o d p ) ， 其中x ，x 。，骼是g 的所有常不可约特征标 注：当p 2 时，有( 莓) 2 = g o = ( 孬) 2 而 ( 莓) 2 = 巾( 9 1 ) i + 薪+ + 1 西( 9 。) l + 蕺 ( 荭) 2 = i 圣7 ( g o i 弱+ + l 西( 9 。) j + 瓦 其中西7 ( 吼) = ( 。，b ) q a a b = 吼) ，i = 1 ，2 ，s 进而 i m ( g o i + = l 垂b i ) i + ，因此，当p 2 时，引理2 2 5 ，定理2 2 6 和推论2 2 7 中的西( 绑) 用由，( 夕。) 来代替时结论也成立但当p ；2 时，上述结论一般是不成立的例如，采用 c 0 1 的记号m a t h i e u 群m 2 2 有一个实类5 a 和4 个非实类7 a ，7 b ，1 1 a ，1 1 b 是2 一亏零 查! 垦壁堡室量壁堡些堕查垒壁 1 2 的由【m u l 的命题4 1 有i 垂，( 9 ) r 0 ，其中g 5 a 由于m 2 2 没 有亏零2 一块，因而西( 9 ) i + = 0 下面来讨论一下一般的亏d 一块问题，其中d 是g 的一个 p 一子群由b r a u e r 第一主要定理，不妨假设d 是g 的正规子 群设- g = g d 对g g ，g 在召中的像记成歹，即可= g d 设 a ，q ，是g 的所有以d 为亏群的p 一正则共轭类对每 个i ，1 i m ，我们固定g 的一个元素肌因为d 是g 的正规 子群，所以g c g ( d ) 对任意的g a ，g 是g d 中的唯一p 一 正则元素，于是西= 矧9 g 有l g l 个不同的元素，且砭恰好 是召的包含甄的共轭类易知研是召的亏零类 为了确定亏d 一块的存在性我们需要下面的引理： 引理2 2 8 设g 是有限群，d 是g 的正规p 一子群i d l = ，则 i 圣b ) = p d i 垂( 可) i ， 其中西( 蓟= ( 瓦，劢砩碣f _ _ = 办 证明：由于d 是g 的正规p 一子群，因而对任意的p iq s y l p ( g ) ，有d p n q 设( 。，b ) 西( 9 ) ，并设圣f 0 ，计( 9 ) = ( n t ，x - 1 b ) l x d ) 取( c ，d ) 圣( 9 ) 西( 。，6 ) ( 夕) = ( e ，f ) l ( e ，f ) 圣( 9 ) 且( e ，f ) 中( 。，6 ) ( 夕) ) ， 则圣) ( 9 ) n 垂k d l ( 9 ) = 否则，存在z ，y d ，使得( a x ，x - l b ) = ( c y ，y - 1 d ) ，于是a x = c y ；x - l b = y - 1 d 从而a - i t = x y ， d b - 1 = y x 令z = x y ，则有z d ，即有c = a z ，d = z - l b 于是( c ，d ) 西( 。一) ( 箩) ，与( c ，d ) 西知) 圣( 。，曲( 口) 的取法矛盾因而 西( 9 ) = u ) 。壬( 。) 由( a , b 1 ( 口) 是不相交集合的并 设圣( 夕) = 蛋( 。，( 9 ) l ( a ，6 ) 垂( 夕) ) 对任意的( c ，d ) 西( 。，砷( 9 ) ， 查! 垦塞竺奎量壁翌二垫堕生查坚 1 3 有( 己西= ( 面，6 ) 且蔚= 亘= 五云因此，有映射 妒：硒) 一圣( 功 圣( 。，6 ) ( 9 ) 一( 面，- ) 若妒( 西( 。，6 ) ( 9 ) ) = 妒( 圣( 。，d ) ( 夕) ) ，贝0a b = g = c d 且( a ，5 ) = ( 已，西由 于d 是g 的正规p 子群，于是存在。，y d ，使得c = a x ，d = y b 从而有c d = ( a z ) ( 掣6 ) = o ( z 剪) 6 由0 6 = c d ，有a ( z y ) b = a b 进而 x y = l ，即y = x - 1 于是圣( 。，6 ) ( 9 ) = 垂( 。，d ) ( g ) 故妒是单射 下面我们证映射垂( 。，6 ) ( g ) r 一( 五，_ ) 是满射若( a ，5 ) 垂( 雪) ，则 雪= 五5 因此存在h d ，使得a b = g h ，g = ( a b ) h 一1 一a ( b h 一1 ) 由 ( a ，b ) q g p ，及d 是g 的正规p 一子群，知( a ，b h - 1 ) g p q ， 因而( ，b h _ 1 ) 垂( 9 ) ，即妒( 圣( “b h 一) ( 9 ) ) = ( a ，_ ) 从而妒是满射 综上所述妒是一个双射再由对任意( 。，6 ) 圣( 9 ) ，有l 西( 。，6 ) ( 9 ) i = d i = p d ，于是有 垂( g ) i = p d j 西( 功| 引理证毕口 由引理2 2 8 和文 s h 0 1 】中的引理1 ，我们就建立i 圣( 9 ) i 与g 的( g ，d ) 一对的个数之间的关系，从而得到了本章的主要定理： 定理2 2 9 设g 是有限群，d 是g 的正规p 一子群，f d l = p 4 则g 有以d 为亏群p 一块的充分且必要条件是存在g 的一个p 一正则元素g ，其中d 是c r g ( 9 ) 的s y l o wp 一子群，有 垂( 酬o ( m o dp d + 1 ) 证明：由引理2 1 4 知，g 有以d 为亏群p 一块的充分且必 要条件是对g 的某个p 一正则元素g ，g 的( g ，d ) 一对的个数 与p 互素，其中d 是( 9 ) 的s y l o wp 一子群，由 s h 0 1 引理 1 知，其充分且必要条件是g 的( 蚕，p ) 一对的个数与p 互素，即 i 巾( 互) j o ( m o dp ) ( 参见定理2 2 6 ) ，也就是i 圣( 9 ) l o ( m o dp d t l ) 壹堡壁竺塞主登坐些堕查垒些 1 4 ( 参见引理2 2 8 ) 。定理证毕 定理2 2 1 0 设g 是有限群，d 是g 的正规p 一子群， l d l = p d 令而是f _ 的所有亏零块幂等元的和则 而= ( 1 圣( 夕。) 1 ) + 荔+ + ( 1 圣( 夕3 ) l p d ) + 露 其中q ，q ，是g 的所有以d 为亏群的p 一正则共轭类， 且对每个g 固定一个元素9 i ，1 冬i s 口 证明：由面= ( 弓) 2 和引理2 2 8 可知定理成立 口 下面我们给出群g 中以d 为亏群的块幂等元与- g = a d 中 亏零块幂等元之间的关系为此我们先给出一些记号和一些基本 事实 记i r r ( g ) 为g 的所有常不可约特征标的集合，i b r ( g ) 为g 的所有模不可约特征标的集合b i ( g ) 为g 的所有块的集合 若b 是g 的一个块，令i r r ( b ) = b n i r r ( g ) ，i b r ( b ) = b n i b r ( g ) 设是g 的一个正规子群则i r r ( g n ) 和i b r ( c n ) 可 分别看成是i r r ( g ) 和i b r ( g ) 的子集由 n a 定理7 6 知，若 百b l ( g n ) ，则存在唯一的块b r e ( c ) ，使得百sb 但是，在 一般情况下，g 的块b 不一定包含g n 中的块g 的块b 包 含g n 的块充分且必要条件是存在) ( b ( 可以是常不可约特征 标，也可以是模不可约特征标) ，使得x 的核包含 设召= g n ，令 兄g 一r g 壅! 垦壁垒窒至壁墼：堡塑查垒竺 1 5 是自然r 一代数同态( r 是任意环) 其中吩r 我们知道若 xez ( r g ) ，则虿z ( 嬲) 因此，若b b z ( g ) ，则西= 0 或西 是z ( f 西) 的幂等元，其中e b 表示块b 对应的幂等元若西是 z ( 府) 的幂等元，则我们可以写成 西= 晦+ + 8 巨 其中e y b l l - ，噬是百的块幂等元，且由b 唯一决定( 参见 n a 】定 理3 1 1 ) 这时我们称b 控制磊若百eb i ( - g ) ，则b 控制百当且 仅当百b 关于这样块的亏群我们有下面引理： 引理2 2 1 1 ( 【n a 】定理9 9 ) 设日g ，召= g i n ( a ) 假设百b ，其中百是百的块，b 是g 的块若万是 块吾的亏群，则块b 存在亏群p ，使得面p n n ( b ) 若是一个p 一群，则g 的每个块b 都包含召的一 个块百，使得d ( - b ) = p n i p 6 ( b ) ) 其中6 ( b ) 表示块b 的所 有亏群的集合 ( c ) 若n 是一个p t 一群，且百b ，其中百是百的块，b 是g 的块则i r r ( b ) = i r r ( - b ) ，i b r ( b ) = ，b r ( 两且6 ( b d = p n n i pe 巧( b ) 于是我们有下面的定理： 定理2 2 1 2 。设d 是有限群g 的正规p 一子群，e d 为g 的 所有以d 为亏群的块幂等元之和，则 琶西28 百】+ + 8 百， 其中瓦是召的亏零块，1 i s 证明：设b ”，屏为所有以d 为亏群的块则 一e d = 瓯+ + 一e b r 2e 百1 + + 8 瓦 其中瓦是被某个岛控制的百的块，1 i 冬s ，1 j r 由于d 是g 的正规p 一子群，而岛又是以d 为亏群的块，因而由引理 2 2 1 1 有百1 1 一，瓦均是召的亏零块定理证毕 口 定理2 2 1 3 设d 是有限群g 的正规p 一子群，j d i = p 。，p 是g 的一个s y l o wp 一子群且满足pcd c c ( d ) e d 为g 的所有 以d 为亏群的块幂等元之和，葡为- g = g d 的所有亏零块幂等 元之和则 一e d 2e o 进而有 e d = “垂( 9 1 ) l p 8 ) 4 荔+ - - - + ( i 西( g , ) l p d ) + 荭 其中q ，q ，g 是g 的所有以d 为亏群的p 一正则共轭类， 且对每个g 固定一个元素g i ，1 is 8 证明：设g ，g 是g 的全部以d 为亏群的正则类，m = au c ：u u c s 由dqg ，则有m c o ( d ) 设 m 1 = g d c a ( d ) i d s 掣f p ( c f d ( b ( d ) ( 夕) ) ，g ( d g ( d ) ) 由m ( d ) ，有m 尬再由尸d c c ( d ) ，有尬m ，故 m = 蚴令c i = a tu ug 。是g 按d c g ( d ) 的共轭类的分解， 1siss 因为m = 蝎，故 ) 是四( d ) 的全部以d 为亏群 的p 一正则共轭类令g i j ，且设仇= g i l 再设西( 9 ) 是g 中( g ，d ) 一对的个数由于d c g ( d ) 司g ，p d c a ( d ) ，故g 的任意s y l o wp 一子群皆在d c a ( d ) 中于是对 查堡登丝塞! 壁堡堡塑查垒鉴 17 g d c o ( d ) ，g 中( g ，d ) 一对的个数等于d c c ( d ) 中( g ，d ) 一对 的个数，即( 舫) 也是d c c ( d ) 中( g i j ，d ) 一对的个数g i j 与鳓 在g 中共轭，故妒( 妨) = ( 鲫) 设 e = ( 等) + 萌+ + ( 等) + 反f g 由引理2 2 5 和定理2 2 1 0 有 葡= 吲等) + 苈- - - - m r ( 等) + 茸 是而的亏零块幂等元之和现来证e = e d 是f _ 的亏d 一块 幂等元之和 由m = 尬，故g 中亏d 正则类与d c a ( d ) 中亏d 正贝类 的g 共轭轨道一一对应，且g 的亏d 块幂等元等于d ( d ) 的 亏d 块幂等元的一个g 共轭轨道中的块幂等元之和故g 的亏 d 块幂等元之和等于d c g ( d ) 的亏d 块幂等元之和等于e d 又 d ( d ) 的亏d 块幂等元与d c o ( d ) d 的亏零块幂等元是一一对 应的，且设b 是d c g ( d ) 的亏- d 块幂等元则云是d c c ( d ) d 中对 应的亏零块幂等元设d c a ( d ) d 的亏零块幂等元之和为百，则 e = 一e d 于是 e 。= 吾( 掣) + 西= 莩( 等h 磊+ + 瓦) = 莩( 等婀 故e - d = 葡定理证毕口 推论2 2 1 4 设d 是有限群g 的正规p 一子群，p 是g 的 一个s y l o wp 一子群且满足p d c c ( d ) 则g 有以d 为亏群的p 一块当且仅当召= g d 有亏零p 一块 互! 垦壁垒塞i 登巴些塑查垒壁 1 8 例1 设g = a 4 ，d = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) 则d 是 g 的s y l o w2 一子群且dqg ，g 中唯一亏d 由元素( 1 ) 组成 于是e d = ( 1 ) 召= g d = ( 1 ) d ，( 1 2 3 ) d ，( 1 3 2 ) d ) = 蕊( 1 2 3 ) ，丽 是2 一 群故全是亏零2 一块它的亏零块幂等元的和葡等于全部块幂 等元的和等于西正好有可= 丽 下面例子说明定理2 2 1 3 关于g 的假设条件是必要的 例2 设g = & ，d = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ) 则d 是 g 的2 - q 三f $ i ld i g 由c o ( d ) = d ，p = d u ( 1 2 ) d 是g 的s y l o w 2 一子群，知p 不包含在d c c ( d ) 中，这时g 无亏d2 正则 元，放e d = 0 而- g = g d = 可，砸，丽，( 1 2 3 ) ，西砩垒岛，n 一 两， ( 1 2 3 ) ，丽) 是它的正规2 7 一子群，包含召的全部2 一正 则类，即 面) 和 丽，丽) 召的亏零块幂等元之和是丽： ( 1 2 3 ) + ( 1 3 2 ) ( 注意此时f 是特征2 的) ，于是有茚0 ：r 5 第三章幂零群被交换群扩张的群 3 1 引言 石生明与赵忠平给出了有限超可解群有亏零块的充要条件是 q ( g ) = 1 ( 参见 s h 0 2 】) 我们把这一结果推广到了幂零群被交 换群扩张的群上，并且给出了一个推论 3 2 幂零群被交换群扩张的群 首先我们来看两个引理 引理3 2 1 ( 【s h 0 2 】定理1 ) 假设g 是有限可解群，p 是g 的s y l o wp 一子群且是交换的，( g ) 是幂零的，其中p 是整除 群g 阶的素数则下列条件是等价的： ( 1 ) g 有亏零p 一块； ( 2 ) 存在元素z g ，使得p n p = 1 ( 3 )