（基础数学专业论文）关于长方矩阵几何的一些问题研究.pdf

s t u d y o fs o m ep r o b l e m so fg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a r m a t r i c e s b y x i a ox u b e ( z h o u k o un o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 7 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e i n b a c k g r o u n dm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gl i p i n g m a r c h ，2 0 1 1 l 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导卜独立进行研究所取得的研究 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：武 也 日期：沙f 1 年! 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属丁二 i 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：试也 日期w1 年5 月讼日 翩签名景矸 嗍圳年厂月呷日 摘要 自华罗庚七个世纪4 0 年代开创矩阵几何这。数学方向以来，中外数学家在长方 矩阵几何的条件化简与等价条件方面取得了很多成果2 0 0 4 年，黄文玲和万哲先证明 了体上长方矩阵几何中的单向保粘切的双射是双向保粘切的2 0 0 6 年，黄礼平证明了 在一些条件下的b e z o u t 整环上长方矩阵几何基本定理最近，黄礼平定义了“好的距 离图”，并应用它讨论了矩阵几何基本定理中的各种等价条件但是在特征等于2 的体 上情况还有一些问题有待解决 在这些二r ：作的基础上，本文研究长方矩阵几何中各种映射的等价性或不等价性本 文分为三章，本文第一章介绍本文的研究背景、发展动态及本文的主要结果第二二章研 究了有限域f 2 m 黼的一些性质，证明了f 2 上长方矩阵几何中各种映射的等价性，证 明了( 咿2 m 加，一) 不是好的距离图如果冗是整环并且它的每个有限生成的左( 右) 理 想都是主理想，则称兄为b e z o u t 整环本文第三章得到好的距离图的充分条件，证明 了下面结果： 设冗是b e z o u t 整环且兄2 ，设m ，亿均为2 的正整数，则图g ：= ( 舻加，一) 是好的距离图，其中a b 兮r a n k ( a b ) = 1 ，v a ，b 舻黼 关键词：矩阵几何；长方矩阵；b e z o u t 整环；粘切；距离 a b s tr a c t t h es t u d yo ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sw a si n i t i a t e db yh u al 一k i nt h em i d d l e f o r t i e so ft h el a s tc e n t u r y f r o mt h e no n ，m a t h e m a t i c i a n sa th o m ea n da b r o a do b - t a i n e dm a n yg o o dr e s u k so nt h ec o n d i t i o n sr e d u c t i o na n de q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o r t h eg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e s i n2 0 0 4 h u a n gw 一l a n dw a nz 一x p r o v e d t h a ta na d j a c e n c yp r e s e r v i n gm a pi sa na d j a c e n c yp r e s e r v i n gm a pi nb o t hd i r e c t i o n s o nt h eg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e so v e rad i v i s i o nr i n g i n2 0 0 6 h u a n gl 一p 。 p r o v e dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e so v e ra b e - z o u td o m a i nw i t hs o m er e s t r i c t i o n s b u tt h e r ea r es o m ep r o b l e m so v e rad i v i s i o nr i n g o fc h a r e c t e r i s t i ct w o b a s e d0 nt h e s ew o r k ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h ee q u i v a l e n c eo fs o m em a p so nt h e g e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r 1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h ed e v e l o p m e n t so fr e c e n tr e s e a r c h e sa n dt h em a i n r e s u l to ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ep r o v es o m ep r o p e r t i e so nt h ef i n i t ef i e l d 2 m n a n dr e s e a r c he q u i v a l e n c eo fd i f f e r e n tm a p so ft h eg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e so v e r t h ef i e l d 砸2 ，a n dp r o v et h a t ( f 2 m 黼，一) i sn o tag o o dd i s t a n c eg r a p h i fri sa d o m a i n i nw h i c he v e r yf i n i t e l yg e n e r a t e dl e f t ( r i g h t ) i d e a li sp r i n c i p a l ，t h e nr i sc a l l e dab e z o u t d o m a i n i nc h a p t e r3 ，w eg e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fag o o dd i s t a n c eg r a p h ，a n d p r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： l e trb eab e z o u td o m a i ns u c ht h a tr f 2 ，a n dl e tm ，扎b ep o s i t i v ei n t e g e r s 2 t h e nt h eg r a p hg ：= ( r m n ，一) i sag o o dd i s t a n c eg r a p h ，w h e r ea b 铮 r a n k ( a b ) = 1 o r a l la ，b r m 黼 k e yw o r d s ：g e o m e t r yo fm a t r i c e s ；r e c t a n g u l a rm a t r i x ；b e z o u td o m a i n ； a d j a c e n c y ；d i s t a n c e i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 符号表 第一章绪论 1 1 本文研究背景1 1 2 论文的研究内容6 第二章。上长方矩阵几何的等价条件研究 2 1 一些引理8 2 2 ( f 2 m 加，一) 不是好的距离图1 1 2 3 砸1 2 m 黼上一些等价条件的研究1 4 第三章b e z o u t 整环上关于长方矩阵的好的距离图 3 1 一些引理1 7 3 2 ( 舻黼，一) 是好的距离图( 当冗 2 时) 。2 0 3 3 好的距离图的充分条件2 2 参考文献2 5 致谢2 8 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 2 9 符号表 兄有单位元1 0 的结合环 舻nr 上所有m 佗矩阵的集合 舻r 上所有伽维行向量组成的集合 g l 钆( 兄)r 上所有扎n 可逆矩阵的集合 1 x l集合x 的基数 r 冗n左冗一模，其元素是r 的n 一维行向量 g 惫( r 即)r 舻上七一维g r a s s m a n n 空问 岛表示( t j ) 位置为1 ，其它位置的元素为0 的矩阵 a矩阵a 的转置 厶 佗x 礼单位矩阵 r a n k ( a )矩阵a 的秩 a d ( a ，b ) 矩阵4 与b 的算术距离 d ( a ，b )矩阵a 与b 的距离 f 2仅有两个元素0 和1 的有限域 a b矩阵a 与b 粘切 r 环r 中所有非零元构成的集合 a 型b矩阵a 和b 等价 d i a g ( a 1 ，4 )对角块为a 1 ，4 的对角矩阵 i v 1 1 本文研究背景 第一章绪论 矩阵几何的基本问题就是用尽可能少的几何不变量来刻画矩阵空间的变换群，这 是数学各学科领域普遍关注的问题，有较强的实际背景和实用价值各类矩阵几何基 本定理在代数、几何、图论、多复变函数论等中均有较广泛的应用，它们可以叙述成图 自同构定理例如，长方矩阵几何基本定理可叙述成长方矩阵组成的图的自同构定理 自华罗庚上个世纪4 0 年代开创矩阵几何这一数学方向以来，中外数学家在矩阵几何 的条件化简与等价条件方面做了很多研究，取得了很多成果，但是在特征等于2 的体 上情况还有一些问题有待解决，所以研究特征等于2 的体上矩阵几何基本定理的条件 化简与等价条件有重要的理论意义和应用背景 先介绍一些数学符号与定义在本文，用冗表示有单位元1 0 的结合环环r 上所有mx 扎矩阵的集合记作舻n ，冗上所有nxn 可逆矩阵的集合记作g l n ( r ) m n 矩阵a = ( a l ，) 的转置矩阵记为o a 设矩阵0 a 舻加，则存在一个最小的 正整数r 使得a = b c ，其中b 舻r ，c 形n ，称r 为a 的内秩，记作r a n k ( a ) 定义零矩阵的内秩为0 环上矩阵的内秩是著名数学家p m c o h n 定义的( 见参考文 献【2 】) ，它有一些好的性质，这给研究环上矩阵几何带来可能性 定义1 1 1 设a ，b 舻加，我们称r a n k ( a b ) 为矩阵a 与b 的算术距 离，记作a d ( a ，b ) = r a n k ( a b ) 当a d ( a ，b ) = 1 时，称矩阵a 与b 粘切，记作 a b 显然，对任意x l ，恐，x a 舻加，我们有a d ( x 1 ，x 2 ) 0 ，若a d ( x 1 ，) = 0 咎 x 1 = x 2 ( 正则性) ；a d ( x 1 ，x 2 ) = a d ( x 2 ，x 1 ) ( 对称性) ；a d ( x 1 ，x a ) a d ( x 1 ，恐) + a d ( x 2 ，x 3 ) ( 三角不等式性) 定义1 1 2 设x ，x 是r m n 中两个不同的点定义x 与x 的距离为满足下列 性质的最小正整数r ：存在r + 1 个点x o ，x 1 ，墨舻加，其中x o = x ，x r = x 7 ， 使得五一l k ，i = 1 ，2 ，r 记点x 与x 7 的距离为d ( x ，x ，) 定义d ( x ，x ) = 0 定理1 1 3 ( 见【4 5 】中的定理4 3 6 ) 设冗为任意一个环，m ，礼均为2 的正整 数，则 a d ( a ，b ) = d ( a ，b ) ，v a ，b 矽黼( 1 1 1 ) 因此，对于环上长方矩阵来讲，算术距离与距离是相等的距离有时又称为图的距 离 1 设y = r 舻，如果y 的一个p + 1 ) 维子模m 是y 的一个直和项，则称m 为 y 中的一个( 射影) 7 一平面维数为0 ，1 的平面分别称为点，线用g k ( y ) 表示y 中 的七一平面的集合，称它为k 维g r a s s m a n n 空间设a ，b g 知( y ) ，定义a 与b 的 算术距离为a d ( a ，b ) = k d i m ( a nb ) 类似地可以定义粘切性与直径对于环h 射 影对称、交错矩阵几何，类似地可以定义上述概念以上矩阵几何中所讨论的集合可 以作为一个图g = ( v 一) 图g 的一个子图m 称为一个( 秩1 的) 极大集，如果m 是具有顶点互相粘切的性质的一个极大子图 设v = 舻黼，v 7 = 影删肌，记d m o 霉= m i n m ，礼】，m 口茁= r a i n m 7 ，n 7 ，其中 仇，佗，m 7 ，死7 均为2 的正整数设妒：v y 7 为一个映射，用a b 表示y 中的粘 切关系，用a 一7b 表示y 7 中的粘切关系( 按定义1 1 1 ) 射 定义1 1 4 如果4 一b 兮妒( a ) 一7 垆( b ) ，v a ，b v ，则称妒为保粘切的映射 定义1 1 5 如果a 一b 营垆( a ) 一7 妒( b ) ，v a ，b v ，则称妒为双向保粘切的映 定义1 1 6 如果o d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = a d ( a ，b ) ，v a ，b v ，则称妒为保算术距离的 映射 定义1 1 7 如果a d ( a ，b ) = a d ( a ，c ) + a d ( c ，b ) 甘n d ( 垆( a ) ，妒( b ) ) = o d ( 妒( a ) ， 妒( c ) ) + 刹( 妒( c ) ，妒( b ) ) ，v a ，b ，c v ，则称妒为双向保算术距离可加性的映射 定义1 1 8 若存在两个固定的正整数1 r 妃口z ，1 8 m 使得 a d ( a ，b ) r 营口d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) 8 ，v a ，b v ，则称妒为双向保有界算术距离 的映射 定义1 1 9 如果a d ( a ，b ) = 如口z 今o d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = d ，m v a ，b v ，则称 妒为保最大算术距离( 直径) 的映射 定义1 1 1 0 如果a d ( a ，b ) = z 营a d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = d ，m v a ，b v ，则称 妒为双向保最大算术距离( 直径) 的映射 定义1 1 1 1 如果存在桌个固定的正整数1 k 如口z 使得a d ( a ，b ) = k 兮 o d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = 后，v a ，b v ，则称妒为双向保算术距离七的映射 定义1 1 1 2 如果4 一b 可逆兮妒( a ) 一妒( b ) 可逆，姐，b v ，则称妒为双向 保可逆性的映射 2 对于连通图g = ( k 一) ，其中y 为顶点集，一为y 中两点之间的粘切关系设 d ( x ，y ) 为点z 与y 之间的距离( 其定义类似于定义1 1 2 ) ，d ( x ，y ) 就是z 与秒之间的 最短路的长度对于两个连通图g = ( v 一) ，g 7 = ( v 7 ，一，) ，我们可以类似地定义下列 概念：双向保粘切的映射；双向保有界距离的映射；双向保直径的映射；双向保距离k 的映射，等等 1 9 5 1 年，华罗庚证明了体上长方矩阵几何基本定理，即华的基本定理，定理内容如 下： 定理1 1 1 3 ( 见 2 9 ) 假设d 是任意除环，m ，佗均为2 的整数设妒：d m n _ d m 煳是双向保粘切的双射，则有 ( i ) 如果m 礼，则妒形如 妒( x ) = p x 盯q + zv x d m n ，( 1 1 2 ) 其中p g l m ( d ) ，q g l n ( d ) ，t d m n ，盯是d 的自同构； ( i i ) 如果m = 佗，则除了上式外，妒还形如 妒( x ) = p ( x 下) q + 正v x d m 姗，( 1 1 3 ) 其中丁是d 的反自同构，p ，q 和t 与( 1 1 2 ) 式的意义相同反之，形如( 1 1 2 ) 和 ( 1 1 3 ) 的映射都是双射，且它们和它们的逆都保粘切 1 9 6 2 年，万哲先和王仰贤【4 4 】修正了华的基本定理中d = f 2 的情形的一个遗漏 华罗庚应用此定理首次刻画了单阿廷环之间的若当同构与李同构华的这项重要成果 意义重大，影响至今之后，国内外一批学者继续了对长方矩阵几何的研究，得到了更 多的结果 2 0 0 2 2 0 0 4 年，欧州著名数学家p a x e m r l 【3 8 ，3 9 ，4 0 】等讨论了域上长方矩阵几何 的条件简化与等价条件，还讨论了矩阵几何的一些应用2 0 0 2 年，t p e t e k 、p s e m r l 1 1 将长方矩阵几何基本定理扩充到泛函分析中的无限维算子2 0 0 4 年，德国黄文玲教授 和我国著名数学家万哲先院士f 3 0 化简了体上长方矩阵几何基本定理的条件，证明了 单向保粘切的双射是双向保粘切的，这是一个重要的成果定理内容如下： 定理1 1 1 4 ( 见【3 0 ) 假设d 是任意除环，m ，n 均为2 的整数设妒：d m n _ d m n 是保粘切的双射，则妒一1 保粘切 定义1 1 1 5 如果r 是整环并且它每个有限生成的左( 右) 理想都是主理想，则称 冗为一个b e z o u t 整环 3 b e z o u t 整环包含几种重要类型的环，比如每个主理想整环都是b e z o u t 整环，每个 赋值环都是b e z o u t 整环，等等b e z o u t 整环有很好的性质，c o h n 2 】证明了b e z o u t 整 环上任意矩阵的内秩、行秩、列秩相等( 见命题2 3 4 1 6 ) 黄礼平教授证明了对b e z o u t 整环上的任意方阵a ，存在一个可逆矩阵p 使得p a 是上三角矩阵( 见定理2 3 1 5 1 6 ) 2 0 0 6 年，黄礼平教授f 6 1 在其专著“环卜矩阵几何”中证明了在些条件下b e z o u t 整环上长方矩阵几何基本定理，开拓了环上矩阵几何的研究定理内容如下： 定理1 1 1 6 ( 见 6 中的定理4 3 1 ) 假设r 是b e z o u t 整环，m ，n 均为2 的整 数设妒：妒n _ 舻n 是双向保粘切的双射进一步，假设妒和妒一1 郝保持秩1 极大集对的平行 生，或者假设兄是j a c o b s o n 半单的且垆和妒一1 都保持矩阵对的幺 模性，则有 ( i ) 如果m 礼，则妒形如 垆( x ) = p x 盯q + zv x r m n ，( 1 1 4 ) 其中p g l m ( 兄) ，q g l n ( 兄) ，t p n ，盯是r 的自同构； ( i i ) 如果m = n ，则除了上式外，妒还形如 妒( x ) = p 。( x r ) q + zv x 胪n ，( 1 1 5 ) 其中丁是r 的反自同构，p ，q 和t 与( 1 1 4 ) 中的意义相同反之，形如( 1 1 4 ) 和 ( 1 - 1 5 ) 的映射都是双射，且它们和它们的逆都保持矩阵对的粘切和秩1 极大集对的平 行性 2 0 0 8 年，黄文玲等3 1 1 研究了关于长方矩阵的保直径的满射2 0 0 9 年，马来西哑 大学l i m 教授等f 3 6 】证明了关于域上长方矩阵的双向保粘切的双射等价于双向保有 界距离的双射，黄礼平教授将这个结果推广到b e z o u t 整环上长方矩阵几何。2 0 0 9 年， 黄礼平教授f 3 l 用几何观点刻画了b e z o u t 整环上g r a s s m a n n 空间的双向保粘切的双 射，同时证明了条件“双向保粘切的双射 等价于“双向保直径的双射”，这是射影长方 矩阵几何研究的重要突破，定理内容如下： 定理1 1 1 7 ( 见【3 】) 设r ，s 均为右b e z o u t 整环，钆为2 的整数且0 k 礼一2 如果9 9 ：g 庇( r 研) 一g 南( | s 研) 是一个映射，则下列命题是等价的： ( i ) 妒是双向保粘切的双射 ( i i ) 妒是双向保直径的双射 ( i i i ) 妒是双向保距离的双射 4 定理1 1 1 8 ( 见【3 ) 设兄，s 均为b e z o u t 整环，礼为2 的整数且0 k 扎一2 如果妒：g 南( 冗研) 一g k ( s r “) 是双向保粘切( 直径) 的双射，则有 ( a ) 当扎2 ( k + 1 ) 时，妒由从p ( r r ”) 到p ( s r ) 的直射导出 ( b ) 当扎= 2 ( k + 1 ) 时，妒由从p ( r 舻) 到p ( s r “) 的直射导出，或由从p ( r 即) 到p ( s r “) 的直射的对偶映射导出 最近，黄礼平教授f 7 】用图论观点定义了好的距离图，好的距离图具有下面好的性 质：单向或双向保粘切、双向保距离、双向保直径、双向保有界距离、双向保距离可加 性的满射或双射是相互等价的具体内容如下： 设y 是一个集合( 顶点集) 如果我们有y 上的粘切关系一，则存在图g = ( v 一) 在连通图g = ( k 一) 中，两个顶点z 和秒之间的距离是从z 到y 的最短路的长度 由此可知，z y 当且仅当d ( x ，y ) = 1 称图g 中的两点之间的最大距离为图g 的直 径，记作d i a m ( g ) 设g = ( v 一) 是连通图，s 是y 的非空子集对任意正整数k 且1 k d i a m ( g ) ，我们定义 s 上知= t z v ：d ( x ，y ) k ，v y s ，( 1 1 6 ) s h 的几何意义为：所有以s 中的点为圆心的半径为k 的圆盘的交集如果s 上- 历， 定义s 上七上知= ( s 上) 上k 如果s 上k = 彩，贝l j 定义，s 上k 上k = 历如果s 上k 历，贝i j a s l k l 女当且仅当“对任意z v ，d ( z ，y ) k ，v y s 兮d ( x ，a ) k ” 定义1 1 1 9 ( 见f 7 ) 图g = ( v 一) 称为好的距离图，如果g 满足下列条件： ( d 1 ) g = ( v 一) 是连通图且d i a m ( g ) 2 ( d 2 ) 设点x ，y v ，如果k ：= d ( x ，y ) d i a m ( g ) ，则存在一个点z v 使得y z 且 d ( x ，z ) = d ( z ，y ) + d ( u ，z ) = k + 1 ( d 3 ) 设k 是正整数且2 k 上* 上* i = 2 ( 注意：当d i a m ( g ) = 2 时，条件( d 3 ) 不存在) ( d 4 ) 设r 是正整数且1 r 上r 上r l 3 ( d 5 ) 设尼是正整数且k d i a m ( v ) 2 ，如果点z ，可v 满足d ( z ，y ) 2 k ，则存在一 个点z v 使得d ( z ，名) = d ( z ，y ) = k ( 注意：当d i a m ( g ) = 2 时，条件( d 5 ) 不存 在) 5 定理1 1 2 0 ( 见【7 中的定理2 1 ) 设g = ( v 一) 和g ，= ( v 7 ，一7 ) 均为好的距离 图设p ：v _ 为一个映射，则下列命题等价： ( p 1 )妒是双向保粘切的双射，即妒是图同构 ( p 2 )妒是双向保粘切的满射 ( p 3 ) 妒是保距离的满射 ( p 4 )妒是双向保距离可加性的双射 ( p 5 ) 妒是双向保有界距离的满射 ( p 6 ) 妒是双向保有界距离的双射 - h - 果( p 1 ) 一( p 6 ) 的某个命题成立，则有d i a m ( g ) = d i a m ( g ，) 进一步，当d i a m ( c ) 5 且d i a m ( g ) 5 时，命题( p 1 ) 一( p 6 ) 中的任意一个都等价于下面的命题? ( p 7 )妒是双向保距离k 的满射，其中k 是固定的正整数且k d i a m ( c ) 2 定理1 1 2 1 ( 见 7 中的定理2 3 ) 设g = ( v 一) 和g ，= ( v 7 ，一7 ) 均为好的距离 图且d i a m ( g ) 。o ，d i a m ( g 7 ) 1 ) 的双射；等 等，其中双射改成满射、单射各种情况也有所研究 本文分为三章： 第一章：介绍本文的研究背景、发展动态及本文的主要结果 第二章：证明了( 2 m n ，一) 不是好的距离图定理内容如下： 6 如果4 ，b 如仇期满足a b ，则有i a ，b 上t 上i = 2 因此，图g = ( i f 2 m 煳，一) 不是好的距离图，其中a b 兮r a n k ( a b ) = 1 ，v a ，b f 2 m 肌 研究了f 2 仇黼的一些性质证明了在域f 2 上长方矩阵几何中，双向保粘切的双 射、双向保粘切的满射、保距离的满射、双向保距离可加性的双射是相互等价的 第三章：证明了( 舻黼，一) 是好的距离图，其中兄是元素个数3 的b e z o u t 整 环最后，用图论方法给出了好的距离图的一个充分条件 本文的主要结果为： 设冗是b e z o u t 整环且兄飓，设m ，佗均为2 的正整数，则图g ：= ( 砂黼，一) 是好的距离图，其中a b r a n k ( a b ) = 1 ，v a ，b 胛加 7 义 第二章f 2 上长方矩阵几何的等价条件研究 以下设d 为一个除环( 体) ，m ，佗均为2 的整数设r 为个b e z o u t 整环定 d i a m ( r m 黼) = m i n ( m ，礼) ， 称d i a m ( r m 煳) 为舻姗的直径 2 1 一些引理 若m 佗矩阵的( i ，歹) 一位置元素为1 ，其它位置元素为0 ，则记该矩阵为宵黼 ( 简记为) 令砖= 砖煳，则m 礼矩阵a = ( a i j ) 能被唯一表示成 a = o 巧 ( 2 1 1 1 ) t = lj = l 设o m n 是mxn 零矩阵且0 m = 0 m m ，设aob = d i a g ( a ，b ) ，其中a ，b 是 r 上的方阵 引理2 1 1 ( 见【6 6 中的定理2 3 1 0 ) 环r 是b e z o u t 整环当且仅当r 上每个非零 矩阵a 有因子分解 a = pf ，a 1 f。) q ( 2 1 2 ) 其中p ，q 是r 上的可逆矩阵，a 1 是r 上的rxr 非奇异上三角矩阵，r = r a n k ( a ) 引理2 1 2 设r 是b e z o u t 整环，m ，佗为2 的正整数如果a ，b r m n 满 足克：= d ( a ，b ) a 茁，则存在一个矩阵c r m 黼使得b c ，且 d ( a ，c ) = d ( a ，b ) + d ( b ，c ) = k 4 - 1 ( 2 1 3 ) 证明 由引理2 1 1 可知， a b = p ( a 1 三) q ， c 2 1 4 ， 其中p jq 是r 上的可逆矩阵，a 1 是r 上的k 非奇异矩阵取 c = b + p 最- t - 1 ，惫+ l q 矽黼， 8 ( 2 1 5 ) 显然b c 因为 所以 d ( a b ，尸邑+ l ，k + l q ) = r a n k ( a b p 最+ l ，矗+ l q ) = k + 1 ，( 2 1 6 ) d ( a ，c ) = d ( a b ，c b ) = r a n k ( a b p e k + l ，七十1 q ) = k + 1 ( 2 1 7 ) 从而有d ( a ，c ) = d ( a ，b ) + d ( b ，c ) = k + 1 口 引理2 1 3 设r 是b e z o u t 整环，a ，b 胛n 满足k ：= d ( a ，b ) 口茁设s 是任意正整数且k 8 。，则存在一个矩阵c 舻n 使得 d ( a ，c ) = d ( a ，b ) + d ( b ，c ) = s ( 2 1 8 ) 证明 设8 = k + m 且k 上t 上i = 2 所以i a ，b 上，上t i = 2 由定义1 1 1 9 可知，( - 2 m 加，一) 不满足条件( d 4 ) ，所以( f 2 m 黼，一) 不是好的距 离图口 定理2 2 3 设k 是正整数且1 k “使得c 0 ，b ，则我们有d ( c ，b ) 忌且t ：= 1 1 d ( g 0 ) k 因为d ( b ，0 ) = l 1 ，由引理2 1 3 可知，存在d f 2 m 黼使得 d ( d ，0 ) = k t + 1 ，d ( d ，c ) = k + 1 ( 2 2 5 ) 因为 d ( b ，d ) d ( b ，0 ) + d ( o ，d ) = 1 + ( k t + 1 ) k ， ( 2 2 6 ) 所以我们有d o ，b h 由c o ，b 】上七“，可得d ( d ，c ) k ，矛盾因此t 1 ， 又t 1 ，所以d ( c ，0 ) = 1 对v x l f 2 七肌，我们有 ( 茗1 ) f 0 肿 2 设 c = ( 盼舯a 巩， 2 劫 僦( qc - ，x 1 卜吼耐黼， c = ， 所以r a n k ( e 1 ) = 1 设y 砸2 m 跏，m 为y 的行向量如果r a n k ( y ) q - 1 且 m = b ，t ，j = 1 ，2 ，m 不失一般性，我们可以分两种情况讨论 情况1 设( 2 2 4 ) 中的b 1 形如 耻， 设f 2 2 1 0 1 中的g 形如 i c 2 坼2 o 1 2 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) m ，酶0 ，则有 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 其中岛，岛如1 n 且b 2 c 2 则存在x o f 2 七n 使得 d ( 弱，a ) = k ，d ( x o ，0 ) ke t d ( x o ，b 1 ) k ，( 2 2 1 3 ) 其中的第一行为0 ，岛是蜀的某一行，且r a n k ( x o ) = k 一1 情况2 设( 2 2 1 0 ) 中的g 不是( 2 2 1 2 ) 的形式，不妨设 研：厂詈、，其中岛现hn， ( 2 2 1 4 ) 即g 的第i 行为g ( 2 i 七) ，其余各行全为0 则存在x o f 2 舨n 使得( 2 2 1 3 ) 成立，其中弱的第i 行为0 ，且r a n k ( x o ) = k 一1 综上所述，我们总有( 2 2 1 3 ) 成立易知存在6 r 1 n 使得 r 蚴尼( jq ) = 七+ 1 设 局= e = ( 、， ，e 1 、 l o ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 则有 d ( e ，c ) = k + 1 ，d ( e ，0 ) k t d ( e ，b ) k ( 2 2 1 8 ) 因此e o ，b 】- n ，所以d ( e ，c ) k ，但是我们有d ( e ，c ) = 七+ 1 ，矛盾因此 o ，b 】= o ，b ，上- n 综上可知，我们有i a ，b 上- 上* i = 2 ，其中1 k 2 ，k 是正整数且1 k d i a m ( f 2 r e n ) 2 ，如果 a ，b f 2 m n 满足d ( a ，b ) 2 k ，则存在c f 2 仇n 使得 d ( a ，c ) = d ( b ，c ) = k 1 3 ( 2 2 1 9 ) 证明 不失一般性，假设d i a m ( f 2 m 跏) = m 设k 是 d i a m ( f 2 m 跏) 2 的正整 数，且对a ，b f 2 m 煳有8 ：- - a d ( a ，b ) 2 k 不失一般性，我们假设2 k 8 2 k m 根据引理2 1 1 ，存在可逆矩阵p q 使得 a = b lp ( ) 【1 1 羔：篓! ) 日b 。m 一。m 一。 q ， c = b + p ( 0 8 一七点。笔0 ：) 。m 一。一一。 q d c a ，c ，= r 肌忍( p卜气霄 d c b ，e ，= 7 ，。n 尼( p ( 。8 一南 口1 = 七， j 曼z 耄0 ：) 曰日。m 一。一一。 q ) = 忌 从而有d ( a ，c ) = k = d ( b ，c ) ，引理得证 口 由引理2 2 5 可知，( f 2 m 黼，一) 满足好的距离图定义中的条件( d 5 ) ( 见定义1 1 1 9 ) 2 3 f 。似竹上一些等价条件的研究 定理2 3 1 设d i a m ( f 2 m n ) 5 ，k 是正整数且1 k d i a m ( f 2 m n ) 2 设 妒：f 2 删n f 2 m 期是双向保距离k 的满射，则妒是双向保有界距离的满射 证明 不失一般性，我们假设k 2 设任意a ，b f 2 m 加且满足d ( a ，b ) 2 k d i a m ( f 2 m 加) ，则根据引理2 2 5 ，存在c