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东北大学硕士学位论文摘要 关于二次亚正规加权移位算子 摘要 在算子理论中，对于二次亚正规加权移位算子的研究是十分重要的，它是一个 为了建立算子的f 规、次f 规、亚币规之间理论体系的桥梁。而这其中又对正的二 次亚正规加权移位算子的研究尤其重要。 令口：a o ，q ，为一个正的加权序列，令吸是关于这个序列口的一个单侧加权 移位算子。在参考文献 2 中，c u n o f i a l k o w 讨论了这样的加权序列 & ：；f 二，石，孑) 。，其中( o x a a b c ) ，给出了递归生成的加权移位算子睨是 正的二次巫正规的一个充要条件。在本文中，我们讨论了更加复杂的情况：对于加 权序列歹。；，( ：，石，：) “，我们讨论其2 亚正规性和正的二次亚正规性，从而给 出了x 和y 的范围。而在特殊的情况下，关于b e r g m a n 加权移位算子 歹，；，冉，詈兰的二次亚正规性，我们也给出了很好的结果。 为了以后的继续研究，关于三次亚f 规加权移位算予，针对目前已经有了一些 结论基础之上，我们又讨论了半三次亚正规加权移位算子的平坦性。 关键词：加权移位：2 一亚正规；二次亚正规；正的二次亚正规；三次亚正规：半三 次亚正规 一i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t o nq u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a lw e i g h t e ds h i f to p e r a t o r a bs t r a c t i t i s i m p o r t a n tt os t u d y q u a d r a t i c a l l yh y p o n o m o r a lw e i g h t e ds h i f to p e r a t o ri n o p e r a t o rt h e o r y i ti sab r i d g et os e tu pn o r m a la n ds u b n o r m a la n dh y p o n o r m a lo p e r a t o r t h e o r ys y s t e m m o r e o v e r ，i t i s s i g n i f i c a n te s p e c i c a l l y t o s t u d y t h e p o s i t i v e l y q u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a lw e i g h t e ds h i f to p e r a t o r l e t t 2 ：，q ，b eaw e i g h ts e q u e n c eo fp o s i t i v er e a ln u m b e r sa n d 睨b et h e u n i l a t e r a lw e i g h t e ds h i f to p e r a t o r sw i t haw e i g h t s e q u e n c e 口i nr e f e r e n c e 【2 】， c u r l o - f i a l k 。wd i s c u s s e d w e i g h ts e q u e n c e 。f t h e f o r m ，口：五，( 石，拓，石) 。 ( 0 x a b c ) a n d p r e s e n t e d a n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rw h i c h r e c u r s i v e l yg e n e r a t e dw e i g h t e ds h i f t b e i n gp o s i t i v e l yq u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a l t n t h i s p a p e r ，w e c o n s i d e rm u c hm o r e c o m p l i c a t e dp r o b l e m s w e c o n s i d e rt h e 2 - h y p o n o r m a l i t ya n dp o s i t i v e l yq u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a l i t yo fw e i g h t e ds h i f to p e r a t o r 睨w i t h 万，石，( 石，拈，石) a n dw ea l s op r e s e n tag o o dr e s u l tf o rp o s i t i v e l y q u a d r a ：t i c a h yh y p o n o r m a l i t yo fb e r g m a l aw e i s m e as h i r tw i t h 万，石，冉， t h es p e c i a ls t a t e 1 n a tp r e s e n l t h e r eh a v eb e e ns o m ec o n c l u s i o n so nc u b i c a l l yh y p o n o r m a lw e i g h t e d s h i f t s a n df o rm o r es t u d yi nt h ef u t u r e ，w ea l s oc o n s i d e rt h ef l a t n e s so fs e m i - c u b i c a l l y h y p o n o r m a lw e i g h t e ds h i f t s k e y w o r d s ：w e i g h t e d s h i f t s ；2 - h y p o n o r m a l ；q u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a l ；p o s i t i v e l y q u a d r a t i c a l l yh y p o n o r m a l ；c u b i c a l l yh y p o n o r m a l ；s e m i - c u b i c a l l y h y p o n o r m a ! i i i 暖 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意。 学位论文作者签名：孝廷试 日期：州1 i ，吕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 学位论文作者签名：，参釜奠式 意。 日期：7 一罗 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 设日是一个复h i l b e r t 空间，l ( h ) a 日上有界线性算子全体。算子t e ( 日) 称 为正规( n o r m a l ) 的，如果r t = t t ；t 称为次正规( s u b n o r m a l ) 的，如果t = n i h ， 其中n 在某个h i i b e r t 空间k 2 嚣上是正规的：算子t e ( h ) 称为亚正规 ( h y p o n o r m a l ) 的，如果r t t t ；t 称为二次亚正规的，如果对于任意的j c ， t + s t 2 是亚正规的。 对于a ，b l ( n ) ，记m ，明：= a b b a ；我们称h 重算子t = ( 正，瓦) 在h j 2 j l ! 正规，如果矩阵( 巧，z e ，。o 。对t 1 ，r 工( 日) ，丁称为七一亚正规，如果 u ，r ，t ) 是亚正规的。，称为弱j i 一亚正规，如果对任意次数小于等于七的多项式 p ，p ( t 1 是亚正规的。特别地，弱2 一亚正规通常称为二次亚正规( q u a d r a t i c a l l y h y p o n o r m a l ) ，弱3 一亚正规通常称为三次亚正规( c u b i c a l l yh y p o n o r m a l ) ，弱一亚 正规通常称为多项式亚正规( p o l y n o m i a l h y p o n o r m a l ) 。 1 2 预备知识 令k ) 是，2 ( z + ) 上的标准正交基，且口= ) 二是一个正的有界序列a 睨是 定义在，2 ( z + ) 上的单侧加权移位算子，即，睨- 岛+ 】，其中，= o ，1 ，2 ，睨的矩 可定义为： g o # l ， 2 ，托t ：铴2 彳，靠：= 嗡2 口l ， 众所周知，既是亚正规的当且仅当吼+ l ，其中珂= o ，1 ，2 ，。 对于s e c ，我们令d ( s ) - 【( 睨+ s 赡) ，睨+ j 睨2 】。对于行0 ，令 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 其中 见( s ) = 只【( 睨+ s 嘭) ，睨+ s 孵圮 q o 昂 ，0 吼 0 ： ： 00 o o o 鼋2 ：。 0 o 0o oo o0 吼一l 一1 一i吼 吼：= 蚝+ 衍唯， 声，瓦， u k # 一1 2 “2 ， 吒- 昕2 c 吒2 + l 一何2 - 1 口1 2 2 ， w k _ ( 吐。一吐。) 2 ( 七o ) ， 并且观= 啦：= 0 ，只表示为由，气生成的子空间上的正交投影。因此，睨是二 次亚正规的当且仅当对任意的j c 及任意的, 0 ，见( j ) 0 。直接计算我们有 d o = 吼， + ：= 吼+ ：+ 一i + 1 2 印o ) 显然，以是关于f # 奸的以+ 1 次多项式，其中 t ( f ) # c ( n ，i ) t ( 1 2 ) 如果对于所有的行，i 0 。0 s i n + l ，有c ( n ，i ) 0 ，且对于所有的，0 ，有 c ( n ，甩+ 1 ) 0 ，那么我们就说是正的二次亚正规的。 在单侧加权移位算子中，递归生成的加权移位算子用来检测二次亚正规移位算 子的性质起到了很好的作用“3 。我们这里讨论的单侧加权移位算子仅仅是由三个权 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 0 嘞 q 生成的( 2 ，p 3 7 0 是一般的情况) a 给定a ：，q ，啦，其中 0 嘞 0 ( n o ) ( e l ，定理3 5 的证明 ) ，我们定义幺：= ( 丘。i l ) “2 芝o ) ( 所以当 0 n 2 1 对，吃= 吒) 。因此我们得到一个有界序列a ：= 画 二和加权移位算子( 或 者写成矿、) 。很容易知道d e t a ( k l ，2 ) = 0 ，这里 i 唧q 吒j l y | a ( i ，) = l ； l 一+ ，吲 1 3 本文的主要工作 关于二次亚正规加权移位算子的理论前人已经做了一些了，但是为了建立算子 的次正规和亚正规之间的联系，我们必须得对算子的二次亚正规性做更深层次的探 3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 讨。正是基于这种情况，才有了本文如下的主要结果： 1 、c u r t 。f i a l k 。w 讨论了这样的加权序列口：石，( ：，i ，石) “，这里的未知数是 一个，而我们讨论的是具有两个未知数的加权序列d ：歹，；，( ：，, g ，石) “的二 次亚正规性； 2 、针对加权序列口( x ，y ) ：歹，；，( ：，石，石) “，证明t 算g w ( 叫的正的二次 亚正规和二次皿正规小是，寺哲r 阴； 3 、关于b e r g m a n 加权移位算子的二次亚正规性，前人也只是讨论了这样的加 权序列；，矗，兰( ”2 ) ，而本文将要讨论的将是含有两个未知数的加权序列 歹，；，据，_ 轰芝( 丹2 ) 。其复杂性明显增加了许多； 4 、半三次亚正规加权移位算子的平坦性，类似于二次亚正规加权移位算子， 佃县比官百留杂所以我们先简单的讨论其平妇性。 4 东北大学硕士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 第二章二次亚正规加权移位算子 2 1 算子睨的正的二次亚正规性 在 2 中，c u r t o f i a l k 。w 讨论了具有一个未知数的加权序列口：；，( 二，石，石) ， 其中( o 工s 口 6 c ) ，给出了睨是正的二次亚正规的一个充要条件，那就是x 劈。 在这一节中，对于加权序列口( 工，y ) ：歹，；，( i ，石，石) “，我们讨论算子睨。) 的2 一亚正规性和正的二次亚正规性之间的联系。 定理2 1 令o y x a b c ，且令口( 工，力：歹，；，( ：，石，石) 6 是一个加权序 列。设 且 h ：( x ，_ ) ，) _ ( x ，y ) ：睨“，) 是2 一亚正规 p q h ( x , 力_ ( y ) ：睨 。】是正的二次亚正规 ， y 坐l 。 曲一2 a x + x 2 ( i i ) p q h ( x , j ，) 车 ( x ，y ) ：工 塔，y m i l l 乃，( k ，k ) ，这里 骘= 口2 6 2 c + a b 2 0 一a ) k + a b ( c b ) k 2 再石瓦二河瓦万瓦j 二丽 x ( a b x b c x a 2 b + 6 2 c + 船2 一b x 2 1 舻一1 i 丽i 云。r 儿= 器， 5 东北大学硕士学住论文第二章二次亚正规加权移位算子 g i ( x ) = x ( a b 3 c + a b - b 2 一+ 2 a b 2 c 2 + 口2 b c 2 4 a 2 b 2 c + x ( 4 3 b 一2 a 3 c + b c 3 3 a b c 2 + 5 a 2 b c 一2 a 2 b 2 ) 十x 2 ( 2 a b 2 一a b c 一2 a 2 b 一钟2 + 2 a 2 c + b c 2 一b z c ) ) 9 2 ( x ) = 2 a b 2 c 2 - b 2 c 3 一a 2 b 2 c - x ( a 3 b + b c 3 + 6 3 c 一3 a b 2 c a 2 b c + a 2 b 2 ) + 工2 ( 6 a b c 一矿一a b 2 一a 2 b 一2 a c 2 + 口2 c b c 2 一b 2 c ) + 工3 ( 口2 一口1 c b c a b + b 2 + f 2 ) ， f ( x , k 卜意等等等躲， x = 一熹( 即何瓦) 一= 百b ( c - a ) = 百a b ( c - b ) 证明：( i ) 我们知道如果呒是关于口= ( ) 4 n - - o 的加权移位算子，则睨是2 一亚 正规的当且仅当 靠。( ：一) 2 ( 。一彳) ( ：矗，一晖2 + 。2 ) 伽o ) ( 2 1 ) 因此睨是2 一亚正规的当且仅当 那就是， 因此 且 彳( 口；一彳) 2 ( 彳一彳) ( 彰霹一砰露) ， 口；( 碍一彳) 2 ( 口；一彳) ( 彳一口：2 q 2 ) 工( 4 一y ) 2s ( x - y ) ( a b - x y ) ， a ( b 一工) 2 ( 口一x ) ( 6 c d 1 x ) xajb(c丽-b)(abc2 a ba ) ， x 1 f 0 因此，当o s 疗2 ，o s f s 疗+ l 时，c ( n ，n 0 。 由 c ( 3 ，2 ) = u 3 t ? ( 2 ，2 ) + b c ( 2 ，1 ) - w 2 c ( 1 ，1 ) 0 我们有 蟠胪一x ( a b l xi 蕊五c 二r b x 一6 “一口2 6 + 6 2 + 甜2 2 1 由 c ( 4 ，3 ) = u 4 c ( 3 ，3 ) + h c ( 3 ，2 ) - w ，c ( 2 ，2 ) 0 我们有 嘲= 器 断言2 1 鲍b 一 o 。 由( 2 1 ) ，当疗= 1 时，显然成立 7 东北大学硕士学位论文第二章二次亚正规咖权移位算子 断言2 2 当k 3 时， 事实上， 毪1 2 魄 唯。一毗= ( q 一瓯一。) ( + 。+ ：一铆瓯一) 一嘶( 吼+ 。一吼一) 2 = 2 a k a j 一j 吒f 一l 一吒j + a k c t k “a k + 2 - a k i 吒+ i 吒+ 2 ：d e t a ( k - l , 2 ) ：o “一i 以儿“ 断言2 3 当珂3 ，0 s i n + l 时， c ( n ，f ) c ( 挖一1 ，f ) + 匕 屹c ( 1 ，i - , , + o - w , c ( o ，i - n + 1 ) 断言2 3 可以通过递归月3 来证明。当厅= 3 ，0 s i 4 时。 c ( 3 ，f ) = 甜，c ( 2 ，f ) + 码c ( 2 ，i 一1 ) - w 2 c ( 1 ，i - i ) = 坞c ( 2 ，f ) + v 3 “：c o ，i - 1 ) + v 2 c ( 1 ，i 一2 ) 一w 。c ( o ，i 一2 ) 一w 2 c ( 1 ，i - i ) = u 3 c ( 2 ，f ) + ( 码z 岛一w 2 ) c ( 1 ，i 一1 ) + v 3 e v 2 c ( 1 ，i 一2 ) 一一c ( o ，i - 2 ) 吩c ( 2 ，i ) + v ， v 2 c ( 1 ，f 一2 ) 一w l c ( o ，i - 2 ) 当甩 3 时的递归类似可以证明，由递归假设，我们可以得到断言2 3 。 口 令 p = v 2 c ( 1 ，1 ) 一w , c ( o ，1 ) ，f = v 2 c ( 1 ，o ) 一w l c ( o ，0 ) 所以由断言2 2 ，当嚣3 时，我们有， 直接计算我们有， ( i = _ ，+ 1 ) ( f = y t ) o = n - i ) ( 0 i 厅一2 ) p = y x a ( x 一6 ) o 一口) o ，f = 一y ( 咖一a b x 一2 a x y + a 2 x + x 2 y ) 因为当o n u 。c ( n - i ，1 ) + - b 尸0 【cn ，i ) = “u i , 2 c ( i + 1 ，i ) ( 月3 , 0 i 月一2 ) 所以为了分析系数c ( n ，i ) ，我们只需要研究满足c ( n - i ) o ( n 3 ) 时的x 和y 值。 现在对于r l 4 ，我们有， c ( n ，n - 1 1 z n c ( n 一1 ，n - 1 ) + v 1 7 3 z 一c ( n - 2 ，n - 1 ) + v 一。- v 3 p + v 一b f 又因为 c ( n - 2 ，n - i ) = 一2 - 我们得到 c ( n ，n - 1 ) z n ( n t 一2 一+ i v 3 p ) + v b f 如果 5 ，我们可以分解一：b 得到 瓣 c ( n ，n - 1 ) 2 rv 3 ( v o v t v 2 u u 。一，+ j p + l f ) 我们容易看到c ( 以，厅一1 ) o ( 厅3 ) c ( 3 ，2 ) o ，c ( 4 ，3 ) o 和4 o ( 打5 ) ，其中 ： 4 ，- v o v l v z u n “卜l + 甜n 。p + h j f 当5 时，通过计算v o ，v j ，v 2 ，p ，f 。我们有， 4 | = ( 口2 b x 2 嵋一i + ( 口2 6 x 一口2 工2 ) 一l + ( a b x 一口2 z ) 1 一( 凹u 。t l n 一1 + ( a b x 一瓜2 ) - 1 + ( 曲一2 烈+ 工2 ) _ 一i ) y ) y 因为y 的系数总是负的，所以我们有4 0 当且仅当 )，中。(x)=磊02bx瓦2uu忑_l+而(a2b孑x-a而2xz)了u,vn面_l+(五abx-两a2x)vv_l(22) 当n - 4 时，我们令乙_ 毒( o ) 。把( 2 2 ) 式中的分子分母同时除以1 当月5 时， = 等22 兹2 篆筹22 嚣篆鬻2 断缸4 乙x ，这里肛熹( 即肝瓦) 。看 2 9 东北大学硕士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算予 令 ，( 毛们：= 孑a 2 i b x 2 万+ a 2 鬲x ( b i - x 面) z + j a x i ( b - 了a ) z 面w 断言2 5 i n f y = ，( x ，k ) 这个结论从断言2 4 和下面的一个基本事实很容易可以得到： 如果p l , q l , p 2 , 吼，见以 。，鲁罢罢，并且如果 磊 是一个非递减的正数序 列，则有 g 。- 型卫鱼燮 g i + 9 2 乙一- + 吼乙一i z n 因此，睨是正的二次亚正规的当且仅当 y f ( k ，k ) 。如图2 1 所示a 图2 1 ：2 一亚正规( 浅色区域) 和正的二次亚正规( 深色区域) 2 2 算子。l 的正的二次亚正规和二次亚正规不是等价的 在这一节里，针对加权序列口“) ，) ：4 7 ，；，( ：，石，石) “，我们证明了加权移位 算子。) 的正的二次亚正规和二次亚正规不是等价的。 令口：瓦，i ，乏，i ，是一个加权序列，其中q r + 、 o ，我们首先看一个 关于二次亚正规加权移位算子的引理。 引理2 11 5 令既是关于序列口的亚正规加权移位算子，则下列的条件是等价 的： ( i ) 睨是二次亚正规的； ( i i ) 对于任意的j c ，c ，i = 1 ，2 ，胛o 2 ) ， ( i i i ) 对于任意的s r + ，五r + ，i = 1 , 2 ，l ( 疗2 ) ， 0 一 j 咋 。 + 而瓦 + 一v 1何 h + 坼 ， 东北大学硕士擘位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 窆虬# 一2 ，芝再_ k ，+ s z nv f # o ； j c 0t = of ，m ( i v ) 对于任意的s r + ，r + ，i = 1 ，2 ，聆( 玎2 ) ， n1 1 - - 1 q , x 2 , 一2 玉+ l o i = o1 1 0 为了计算方便，对于任意x 0 ，x i ，s r + ，我们令 c - e ( x o ，x 1 ，毛，j ) - - x q j x 2 , - 2 r , x , x j + l ：窆“，# 一2 s 艺再x + s 2 窆v j # 定理2 2 i s l 令睨是关于序列口的加权移位算子，则下列的条件是等价的： ( i ) 是二次亚正规的： ( i i ) 对于任意，而，毛，s e r + ( n 2 ) ，只( ，而，毛，s ) o ： ( i i i ) 存在一个正整数n ，使得对于任意x 0 ，耳，j e r + ( n n ) ，满足 e ( x o ，而，x n ，s ) 2 0 引理2 2 当n 3 时，我们有 e ( 而，墨，毛，s ) = ( j ，+ 班2 ) 写+ ( ( x y ) + 傩2 ) 彳+ ( ( a - x ) + s 2 ( 口b 一砂) ) 霹 + ( 缸一瓤) s 2 霉一2 s , c y x x o 一勉；( 口一) ，) 墨邑 之s 石( h ) 拍+ 霎( 而一s 而“2 + u n 证明：根据引理2 1 ，并且我们已经知道坼q + 。= w ，( i - 3 ) 。经过简单的计算， 我们有 1 2 东北大学硕士学位论文第二章二次亚正规加权移位算子 e ( 而，而，s ) = u j x 2 , 一2 s w 薯+ ，+ 5 2 e # = + “l 彳+ “2 而2 - 2 s w o 而而一2 s x - 百x i x 2 2 j 而x 3 + s 2 v o + s 2v l 彳+ s 2 v 2 x ；+ j 2 v 3 毒 + f 芝坼砰一z ，芝瓦x i t i + s 2 窆v f + 。，1 + # - - ( u 。+ s 2 v o ) 一2 s 瓦k + ( + s 2v 1 ) # 一2 s 诵而 + ( “2 + s 2 i 2 ) 屯2 2 j w 2 工2 b + j 2 屹 + f 艺。# 一知n - i 而+ ，n - i 。1 + = ( y + 习糟2 ) + ( ( z y ) + a x s 2 ) x + ( ( 口x ) + s 2 ( 口6 一砂) ) + ( 施一甜) s 2 - 2 s f - y x x o x l - 2 s , - ；x ( a - y ) x _ l x 2 2 s ：p x ) 屹毛+ 艺( 砜一s ；+ ) 2 + 2 证毕。口 我们把引理2 2 中的第一部分用如下的函数表示： 二 石= 石( x o ，_ ，x 2 ，_ ，5 ) = ( y + 驴2 ) + ( ( 工一y ) + 船2 ) 砰+ ( ( 口一工) + s 2 ( 动一砂) ) + ( 抛一戚) s 2 毛2 - 2 s 4 r y x x o x l 一2 s 6 x ( a y ) x t x 2 2 s 石( 6 一x ) x 2 x 3 ， 也就是 五= 吼靠- 2 r o x o x ，l + 吼# 一2 吒 毛+ 9 2 一2 r 2 x 2 x 3 + b s 2 巧2 为了计算方便，不失一般性我们假设口= l ，在本节剩余的部分也都是用这个假设。 因此 并且 石= ( y + 缈2 ) + ( ( x y ) + x s 2 ) 彳+ ( ( 1 一x ) + s 2 p 一砂) ) x ；+ ( b c - 工) s 2 霉 _ 2 j 历涡一2 s x ( 1 一y ) x t x 2 2 s ( b x ) 而而 e = 五+ 善n - i ( 瓜一s 而+ ) 2 + ( 删) ( 2 3 ) 引理2 3 假设玎4 ，则下边的两个结论是等价的 1 3 东北大学硕士学位论文 第二幸二次亚正规加权移位算子 ( i ) 对于任意的，墨，只( ，而，j ) o ； ( i i ) 对于任意的知，五，屯，弓，j 足， ，；(，而，而，而，s)+i乏了了乏乏7譬而。 这里乙：兰，= j 2 。 因为 证明：因为m h 。= w j ( f 3 ) ，根据( 2 3 ) 式，我们有 我们有 = 石+ ( i 毛一s 诵) 2 + # = 六+ f 屿霉一2 s f 西3 x 3 x 4 + s 2 v 4 x ：) + u 4 x ： 啪( 约一希) + ( 毛一而 2 亿4 ， 钳( 纩扣盼一一 2 坞一耋= u 3 - - 羔一而w 3 tq 4u 4 + v i s u 4 + v i 叩嚣2 尚 榭嚆+ 胁一而 2 因为是任意的非负实数，如果我们令 则有 居， 铲戎菰 1 4 ( 2 ，5 ) ( 2 6 ) 磊 东北大学硕士学位论文第二章二次亚正规加权移位算子 f 4 ( x o , x t , x z , x 3 , x 4 , s ) 。营低m 矾一+ 高2 。 当n 5 时，我们重复上边的这个过程，考虑( 2 4 ) 式，则有 霉+ 虑而县 + b 一瓜 21 意一瓜j 如果我们像满足( 2 6 ) 式那样，为- 和鼍取相应的值，则我们就有 盹，丙啦。丙咖卜毒q 4 - w 用数学归纳重复上边的过程，我们就会得到 这里 0 c ( 而，j ) 0 工( x o ，而，x 2 ，而，s ) + g z o ( 2 7 ) 弘旷= 吼一f q 5 一。t 一 吼r 矗 另一方面，应用( 2 5 ) 式相似的计算方法，我们就有 同理， 一言h ，一糟w 一面u t z t = v _ l l q u + n 石- i 一r f f i - 2 巩：h 瓦而u n - 2 绯广丝 ”“一1 ”。一 用数学归纳重复上边的过程，我们就得到 1 5 乎j 舔 一 吼 一 坞 东北大学硕士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 因此， 吼一。吖+ 瓦再瓦考毛而 q s 一乞一 。”。“ - 吼- l - 血 = 均一空 一v d + 百万瓦孑 百万 = 码一上等一 ( 2 8 ) 印+ 百万瓦孑i i i 巧而 ：j ! ! ! 一 l + z 4 l + z j z e ，2 + + z 4 z 由式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 即可得此引理。 口 引理2 4 对于任意的，毛，s 墨，c ( 而，毛，一) 2 。并且丢 1 ) 。所以， 。l i r a 1 + z 4 i 0 + z 4 z 茹t ob z , l o 一” ，2 + + 毛o ” 并且由于石( 而，互x 2 ，蜀，) 0 ，则存在一个整数n 4 ，满足 因此我们有 忑磊摹i瓦 壶) 4 ( ，) 。( ， 妻) 因为y + x y t 0 ，并且 1 7 东北大学项士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 断言2 6 出r 窿。工东盯卜叫+ t 2 x 2 y + 咖 det融女y)+xt小(1-懑y),a70(1-y),a-， l 一面( x 一 一 i l 一 ( 1 一x ) + ( 6 一砂) fi = x y - y 2 + x y 2 一x 2 y + t 3 ( 缸2 y - x 3 y 2 + t ( b x y b y 2 + 矿- x 2 y ) “2 ( 姊一，j ，一脚2 + x 2 y 2 ) o 事实上确实如此， 而且， x y - y 2 + 砂2 一工2 y = y ( x - 1 ) ( y - x ) _ 0 b x 2 y - x ”y = 一芦2 ( x y - b ) 0 b x y - b y 2 + 砂2 一x 2 y = y ( b - x ) ( x y ) o b x y x 3 y b x y 2 + x 2 y 2 = y x 2 v x y x b - b y + x y - x 2 ) b ( 1 - y ) - x ( x - y ) ) b ( x - y ) - x ( x - y ) ) = - y x ( b x ) ( x y ) o 击圳( ，) 卅x y - 啦6 戗j y + b 2 “2 ) + r 2 x ( 叻一b x + b c x y + b 2 c + 2 b x 2 - b 2 x - - x 2 y b o x 2 一b y y ) + r ( 工一6 ) ( k x y b c x + b c y b x y + x 2 ，) + ( y 一石) ( x b c 一2 b x + b c x + b 2 ) = p 3 t 3 + p 2 t 2 + a t + p o 由此可得到我们的结论。 口 下边的这个例子就说明了加权移位算子睨( 。j 是二次亚正规的，但它不是正的 二次亚正规的。 例子2 2 令a ( x ，力：痧，石，( 沂，压，压) “。则 1 8 东北大学硕士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 删圳咔抓帅叫办= 磊篙赫 ， 这里蟛z o 7 3 3 2 1 ，k = 8 4 2 + 1 6 。如果我们选择x = 0 6 ，那么h ( 0 6 ) * o 5 3 0 3 9 。 所以，如果我们令y = o 5 4 ，则( 0 6 ，0 5 4 ) 叠p q h ( x ，) ，) 。但是由定理2 3 可知，对于 所有的t o ，尸( ，) = 3 2 5 8 1 t 3 + 2 1 5 8 6 t 2 0 0 8 7 3 6 t + 0 0 1 2 0 都成立。因此睨( ，n 是二 次亚正规的，但它不是正的二次亚正规的。口 2 3b e r g m a n 加权移位算子的二次亚正规性 关于b e r g m a n 加权移位算子的讨论对于研究算子的二次亚正规性是很有帮助 的，下面我们就对于一个新的给定的加权序列万，正，污，磊( 以2 ) ，讨论算 子乙的性质 定理2 4 对于。 y 工三，令乃为一加权移位算子，其加权序列为c r 0 # 歹， 引= 正， a _最她2 o ( i ) 巧是次正规营x = ；，o y i 1 ( i i ) 弓是2 一亚正规营o z 等，o y s 丽1 3 z x u 工十斗6 ( 工) ( i i i ) l 是正的二次亚正规 0 y 5 膏一4 x 2 3 x 3 11 2 x - - 1 3 8 x 2 + 6 0 x 3 3 2 4 1 x 一7 9 x 2 + 3 7 x 3 4 2 0 z 一4 7 5 2 2 + 1 8 4 工3 1 2 8 一4 2 0 x 篇4 7 5 筹x1 皂7 4 x 1 5 x1 2 8 矿三3 石s 三4 ，一 2 +3 +4 一 。 这里而 o 5 4 0 8 ) 是方程1 4 0 x 一2 0 3 x 2 + 9 9 x 3 3 2 = 0 的一个根。 证明：( i ) 该结果很容易得到验证。 1 9 写 2 3 v i 0 ，c ( 5 ，4 ) 0 ( 口) c ( 2 ，1 ) = 而3 y ( 5 x - 4 ) ( j ，一x ) o 叭( ，2 ) 2 。y 一而嵩簧 ( 。，) 。y 一赢筹嚣 ( s ，4 ) 2 。营睁丽焉筹鞣 结论：l 是正的二次亚正规 这里 j ，n l i i l 石( 工) ，正( x ) ，石( x ) z ( x ) - - 5 工一4 x 2 3 ， 1 1 2 x 一1 3 8 x 2 + 6 0 工3 3 2 五( x ) = 一衰篆蓦嚣毫 五( x ) = 一丽杀等等砀 ( 1 ) 因为 胁m ，阿等罴罢篙翟篙厕 并且4 2 0 x 一4 7 5 x 2 + 1 7 4 x 3 + 1 5 x 4 1 2 8 0 ，5 x 一4 0 ，我们得到，当 o x 而时，z ( x ) 五( 工) ；当而工丢时，z ( x ) 2 ( x ) ，这里五* o 5 4 0 8 。 2 1 东北大学硕士学位论文 第二章二次亚正规加权移位算子 ( 2 ) 因为 石c 工，一石c 工，= i 1i!；：；：!昌；：!；ii；：；：i；：；崭 并且4 2 0 x 一4 7 5 x 2 + 1 7 4 x 3 + 1 5 x 4 1 2 8 0 ，5 x 一4 0 ，我们得到，当 o x x 2 时，石o ) 五( x ) ；当毛x i 3 时，石( x ) 工( x ) ，这里而* o 5 7 4 5 。 ( 3 ) 因为 瓣瓣阿等罴等端苌 并且在区间( o ，3 k ， 4 2 0 x 一4 7 5 x 2 + 1 7 4 x 34 - 1 5 x 4 1 2 8 0 ，4 2 0 x 一4 7 5 x 2 + 1 8 4 x 3 1 2 8 0 ， 1 2 6 帆一1 2 2 0 x 2 - i - 1 5 7 x a + 1 8 5 x 4 _ 3 8 4 o ，我们得到当o 2 ，有q = = + ：= 吒+ ，成立，则有q 一一瓯。 证明：不失一殷性我们可以假设n = 2 ，也就是= 吻= a 4 = 码= 1 。 断言q = 1 。 同定理3 1 的计算一样，我们有 d 。( ，) ；簖+ 线2 嵋2 ， 4 ( f ) = 研彳一4 + ，( 彳口卜瑶彳口；) 十，2 嗡2 1 4 ， 盔( f ) = 爵砰一簖一嗡2 “。4 t 4 “2 - t ( 。2 “2 一0 4 一2 吒4 一咖? + 口? ) + f 2 ( 露口卜嗡2 q 4 一4 q 2 一磊口? ) + f 3 2 4 ， 喀( f ) = ，4 ( 2 呸4 一砰) 十f ( 3 彰彳一彰一3 咏4 q 4 + 4 码6 ) + ，2 ( 彳彳一霹一彳口? + 2 口卜毹口卜霹口? + 爵口? ) + ，( 露盯? 一彳彳一簖口? + 球可一司? + “口? ) ， 因此 姆堕竽= 3 彳一彳一3 口卜耐口? = 耐( 彳一1 ) 3 因为对于所有的，o 有每( ，) 0 ，所以有口i 。因此q = l 。口 2 6 东北大学硕士学位论文第四幸总结 4 1 本文的主要结论 第四章总结 对于序列口：；，( ：，i ，石) ( o x 口 6 。，令c 是关于序列声捱+ f ( 0 s l ，6 ) ，_ 属( 一1 ) 的加权 移位算子，则是半三次亚正规的当且仅当0 f ? ? ? 也就是g 的范围我们还没有找到，这个问题的计算量是相当大的，将来会继续 研究这个问题。类似于这样的问题还有很多，都值得我们去关注。有兴趣的读者也 可以去做这方面的问题。 2 7 东北大学硕士学位论文参考文献 参考文献 1 r c u r t oa n dl f i a l k o w , r e c u r s i v e l yg e n e r a t e dw e i g h t e ds h i f t sa n dt h es u b n o r m a l c o m p l e t i o np r o b l e m j ，i n t e g r a le q