（基础数学专业论文）算子代数的lie理想.pdf

摘要 摘要 算子代数的l i e 结构理论是上世纪5 0 年代以来算子代数中富有成果的领域之 一。对于算子代数的l i e 结构( 如l i e 理想、l i e 导子、l i e 同构等) 的研究人们一 直进行着，这是因为它对于全面揭示各种算子代数的结构具有重要的意义。 在许多代数中，l i e 理想是可以完全确定的，或l i e 理想与结合理想之间有着密 切的关系。近年来，对于某些特殊的算子代数的l i e 理想的研究取得了丰硕的成果。 对于非自伴的算子代数，n e s t 代数中弱闭l i e 理想、t u h f 代数中的范数闭l i e 理想 及三角a f 代数中l i e 理想结构都有了很好的结果，而且m a r c o u xl w 进一步确定 了u h f 代数中的闭l i e 理想仅有4 个。但对一般的a fv n 代数中的三角子代数及 g - r o u p o i dc 一代数的l i e 理想的研究到目前为止还没有任何结果。 本文首先描述了a fvonn e u m a n n 代数b 中对角为c a r t a n 子代数d 的矿一弱闭 的三角子代数a 的仃一弱闭l i e 理想。其次刻画了单的g r o u p o i dc + 一代数日中的有 限c s l 代数a i g f m l 的闭l i e 理想。 关键词：a fv n 代数；l i e 理想；盯一弱闭三角子代数；g r o u p o i d c + 一代数；有限c s l 代数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h et h e o r yo fo p e r a t o ra l g e b r a s l i es t r u c t u r ei so n eo ft h ew e a l t h i e s tf i e l d so f o p e l a t o ra l g e b r a sf r o m1 9 5 0 s m a n yp e o p l eh a v eb e e ns t u d y i n gt h el i es t r u c t u r e ( l i e i d e a l ，l i ed e r i v a t i o n s , l i ei s o m o r p h i s m ) b e c a u s ei ti sv e r yi m p o r t a n tt or e v e a l t h e s t r u c t u r eo f v a r i o u s0 1 ) e 哺1 0 fa l g e b r a s i nm a n yi n s t a n c e s t h el i ei d e a l sc a nb ee x a c t l yd e t e r m i n e d , o rt h e r ea r ec l o s e c o n n e c t i o n sb e t w nt h el i ei d e a ls t r u c t u r ea n dt l l ea s s o c i a t i v es t r u c t u r eo f a l g e b r a s t h i s c o n n e c t i o nh a sb e e ni n v e s t i g a t e df o rs o m es p e c i a la l g e b r a si nr e c e n ty e a r s ，a n dg e ta p l e n t i f u lh a r v e s t i nt h ec a s eo f n o n s e l f - a dj o i n to p e r a t o ra l g e b r a s t h ew e a k l yc l o s e dl i e i d e a l si nn e s ta l g e b r a s ，t h en o r m - c l o s e dl i ei d e a l si nt u h fa l g e b r a sa n dt a fa l g e b r a s h a v eb e e nf u l f i l l e d m a r c o u xh a sd e t e r m i n e dt h a tt h e r ea r eo m yf o u rc l o s e dl i ei d e a l si n u h f a l g e b r a s b u ts of a r , t h e r ei sn oc h a r a c t e r i z a t i o no f t h ec l o s e dl i ei d e a l si na fv n a l g e b r a sa n dg r o u p o i dc 一a l g e b r a i nt h i sp a p e r , w ef i r s ts o l v e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no f l i ei d e a li naa - w e a k l yc l o s e d u - i a l 【l g u l a rs u b a l g e b r aao fa na fv na l g e b r abw i t hc a f t a ns u b a l g e b r ad s e c o n d ， w eg i v ead e t a i l e dd e s c r i p t i o no f t h es t r t l o t 唧eo f c l o s e dl i ei d e a l si naf i n i t ec s la l g e b r a a l g ( m lo f s i m p l eg r o u p o i dc - a l g e b r a b k e y w o r d s ：a i rv na l g e b r a ；l i ei d e a l ；o - - w e a k l yc l o s e dt r i a n g u l a rs u b a l g e b r a ； g r o u p o i dc 一a l g e b r a ；如i t ec s la l g e b r a 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 己属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：私- - 、最主日期：b 吖年6 月b 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密哳 ( 请在以上方框内打“、，”) 论文作者签名： 分景主 导师签名：矗衍j 日l 钆 日期：知司年6 月b 日 日期：2 0 0 7 年6 月6 日 3 1 引言 引言 算子代数是指h i l b e r t 空间上的有界线性算子构成的结合代数，如c 一代数，v n 代数及其非自伴的子代数，如t u h f 代数、n e s t 代数、t a f 代数等。算子代数的l i e 结构理论是上世纪五十年代以来算子代数中富有成果的领域之一。对于算子代数的 l i e 结构( 如l i e 理想、l i e 导子、l i e 同构等) 的研究人们一直进行着，这是因为它 对于全面揭示各种算子代数的结构具有重要的意义。h e r s t e i n 于1 9 5 5 年建立了素环 中的l i e 理想与结合理想之间的关系川，这一奠基性的工作，使得算子代数的l i e 结构成为现代算子代数理论中蓬勃发展的领域之一。特别地，l i e 理想成为非常活跃 的课题。近二十几年来，围绕着算子代数的l i e 结构的研究，尤其是在某些特殊的 算子代数( 如n e s t 代数、u h f 代数、a f 代数等) 方面，取得了丰富的成果。 设彳是一结合代数，任给工，y e a ，定义括积i x , y 】= x y - y x ，其中砂是结合代数 中的乘法，则彳按括积构成一个l i e 代数。由于括积的定义是有赖于结合代数的乘 法的，所以自然地，结合代数的结构与l i e 代数的结构有紧密的联系。我们在此考 虑的是算子代数的l i e 理想与结合理想之间的关系。 算子代数的l i e 理想 设4 是一个结合代数，_ ，是彳的一个线性子空间，如果满足任给口a ，k i 都 有a ，k 】i ，则称，是彳的l i e 理想。设z ，y 是a 的子集，记 【z ，明= 即册 【x ，y 】：x e x ，y y ， 显然j 是彳的l i e 理想当且仅当【，a 】i 。在许多代数中，l i e 理想是可以完全 确定的，或l i e 理想与结合理想之间有着密切的关系。各种算子代数中的l i e 理想 已被大量研究。 h e r s t e i n 于1 9 5 5 年证明了： 定理f q 若爿是有非零的局部幂零理想的环，且在彳中，由2 x = o 可推得工= 0 ，那 么若彳的结合子环u 是4 的l i e 理想，则要么u 包含着4 的一个非零理想，要么( ，包 含在z 的中心里。还证明了若彳是特征不等于2 的素环，u 是彳的l i e 理想，则u 包 含在彳的中心里，或u ：【a ，卅。 1 9 8 4 年，m 呐【2 】给出了2 x 2 矩阵单位代数的所有l i e 理想以及它们与结合理 l 青岛大学硕士学位论文 想之间的关系。 1 9 8 2 年，c k f o n g 、c r m i e r s 与a & s o u 舢【3 j 刻画了当日是无限维可分的 h i l b e r t 空间时，曰( 日) 中的l i e 理想并且给出了l i e 理想与结合理想的关系： 定理a 纠设三是b ( 日) 中的线性流形，则下列条件等价： 1 ) l 是l i e 理想； 2 ) 对任意酉算子u ，u l u 三； 3 ) 对任意可逆算子r ，r 一乜r = 上。 定理b ”设l 是召( 日) 中的线性流形，则是b ( 日) 中的l i e 理想的充要条件 是存在结合理想，使得 ，b ( 日) s 工，+ a 若用置( 日) 表示占( 日) 中的紧算子全 体，则由此可得到t o p p i n g 的三个推论： 1 ) 若工是b ( 日) 中的l i e 理想，则要么上= 曰( 日) ，要么上量x ( n ) + c a ； 2 ) c 1 是c a l l d n 代数b ( h ) k ( h 1 中唯一的非平凡l i e 理想； 3 ) b ( 日) 中只存在三个非平凡闭“e 理想，分别为c l 、x ( 日) 、r ( h ) + c a 1 9 8 1 年，c i l m i e r s 同又刻画了v n 代数中的一致闭l i e 理想，证明了： 定理嘲若m 是、r n 代数，u 是膨中一致闭的l i e 理想，当m 是真无限、，n 代 数时，存在闭双侧理想，膨，使得，u ，+ z 0 ；当m 是有限v n 代数时，存 在闭双侧理想，m ，使得，u + 乙，+ 乙，其中乙是m 的中心 1 9 8 4 年，c k f o n g 与g j m 呐川证明了对于b ( 日) 中的l i e 理想三，满足 i , b ( h ) c l c i + c i 的结合理想，是唯一由上确定的 1 9 9 1 年，k h f o r s t e r 与b n a g y d 目将c k f o n g 、c 1 l m i e r s 与a r s o u r o u r l 3 】中 关于b ( h ) 中的l i c 理想的结论进行了推广，证明了对复b a n a c h 空间c 0 或 ( 1 p 茎a o ) , p l 中的结论在口( c 0 ) 与口( ) 中也有适当的形式。 对于非自伴算子代数中的l i e 理想的研究始于上世纪九十年代。1 9 9 6 年， 2 引言 t d h u d s o n 、l w m m c o u x 与a r s o u r o u t p 研究了两类特殊的三角算子代数：n e s t 代数与三角u h f 代数中的l i e 理想。证明了： 定理【9 】若三是n e s t 代数的弱闭l i e 理想，则存在相对应的弱闭结合理想，及对 角子代数q ，使得l _ c 上g i + 见；而在n i i 皿代数中，对每一个范数闭l i e 理想上， 存在对应的结合理想，及对角c + 一代数见，使得，量l c l + q 。 2 0 0 2 年，l w m a r c o u x 与a r s o u r o t 0 0 l 又给出了非自伴算子代数中共轭不变 子空间与l i e 理想问的关系，主要讨论了三类非自伴的算子代数，即n e s t 代数、t l r r l f 代数及无穷重数代数。其中4 的线性流形工称为共轭不变的，是指对任意可逆元 a a ，a - 1 l a l 。证明了： 定理州若上是n e s t 代数( 或脚代数) 中的弱闭( 或范数闭) 线性流形， 则三是l i e 理想当且仅当三是共轭不变的。( 进而更进一步的刻画了n e s t 代数中弱闭 的l i e 理想。) 同年，a h o p e n w a s s 盯与v p a u l s e n o q 描述t - - 角a f 代数中的l i e 理想结构。 对于三角a f 代数，利用了g r o u p o i d 方法，将三角a f 代数z “坐标化”来刻画l i e 理想。设d 为对角4 a a ，s = s p e c ( a ) j p e c ( d ) ，设置是彳的结合理想满足 k a d = 0 ，则印卵( 置) n 妒卵( d ) = 妒且妒卵( k ) s ，自然地，k 是4 的l i e 理想。 令 e = ，0 1 只要( x ，y ) s s p e c ( k ) ，x ) = 厂( 弘j ，) 若f 是e 的任意子空间且工= f + k ，则工是l i e 理想；反过来，若工是彳的t i l e 理 想，则l = f + k ，其中足是彳的与对角d 不交的结合理想，f 是 乓= ，d 1 只要( x ，y ) s 、印即( 置) ，( 五x ) = ，( 弘y ) 的子空间 对非自伴的极限代数的l i e 理想的刻画已经取得了丰硕的成果，自然地，对自 伴的极限代数的l i e 理想的研究就引起了人们的兴趣。m a r e o u xl w i 叼确定了u h f 代数中的闭l a e 理想仅有4 个，并且刻画了形式为a o c ( x ) 的代数的l i e 理想，其 中4 是全矩阵代数或u h f 代数。对一般的v n 代数中的三角子代数的l i e 理想的研 究到目前为止，还没有任何结果。 3 青岛大学硕士学位论文 2 0 0 4 年，h o p p e n w a s s e r 和p a u l s e n 在文献n q 中确定了两类算子代数：有向图代 数和t a f 代数中的所有l i e 理想。 本文首先描述了a f y o n n e u m a n n 代数b 中对角为c a f t a n 子代数d 的仃一弱闭 的三角子代数a 的口一弱闭l i c 理想。其次刻画了单的c - r o u p o i dc - 代数口中的有 限c s l 代数彳l g ( m ) 的闭l i e 理想。 4 第一章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 第一章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 第一节引言 各种算子代数中的l i e 理想已被大量研究。h e r s t a i n 在文献【1 l 中描述了素环中的 l i e 理想与结合理想之间的关系。m u r p h y 在文献f 2 】中给出了2 x 2 矩阵单位代数的所 有l i e 理想以及它们与结合理想之间的关系。f o n g 、m i e r s 和s o u r o u r 在文献【3 】中及 f o n g 和m u r p h y 在文献【1 中给出了b ( 日) 中的这两类理想，其中b ( 日) 是h i l b e r t 空 间日上有界线性算子的全体。m i e r s 在文献阿中刻画了v n 代数的l i e 理想。m 卸c o 在文献【6 】中确定了u h f 代数的所有l i e 理想且刻画了形式为a o c ( x 1 的代数的l i e 理想，其中爿是全矩阵代数或u h f 代数。至于c 一代数更深的相关结果已在文献【1 和【s 】中建立。 近年来，对于特殊的非自伴的算子代数中的l i e 理想已经刻画得比较清楚了， 例如，1 9 9 8 年，t d h u d s o n 、l w m a r c o u x 与a 1 l s o u r o u r 在文献1 9 】中给出了n e s t 代数、1 r i i l 心代数中的弱算子拓扑闭的l i e 理想的描述；m a l c o u x 和s o u r o u r 在文献 f l o j 中详细地描述了n e s t 代数中的所有l i e 理想：h o p p e n w a s s e r 和p 锄n s 胁在文献【1 1 l 中确定了有向图代数和t a f 代数这两类算子代数中的l i e 理想。 本文描述了a fv o nn e u m a n n 代数丑中对角为c a r t a n 子代数d 的仃一弱闭的三 角子代数彳的盯一弱闭l i e 理想。证明了4 中的仃一弱闭子空间三是爿的l i e 理想当 且仅当存在彳的仃一弱闭结合理想k 和d 的子空间z 使得k k + z 。 青岛大学硕士学位论文 第二节预备知识 百先介绍几个概念： a fc 一代数是一类特殊而重要的c 一代数，即逼近有限维的c 一代数，它是 u i - f 代数的直接推广。 定义2 1 设丑是c 一代数，如果占中存在有限维c 一子代数升列 最) ，使得 u ：一e 在占中依盯一弱闭算子拓扑( 叮一w o t ) 稠密，即丑= u 乙e ，则称曰为a fc 一 代数。 定义2 2 曰的c a m m 子代数d 是口的一正则极大交换子代数且存在正规的忠 实的条件期望p ：b 斗d 。 定义2 3d 的正则性是指d 的正规化子虬( d ) 必须生成整个占，其中( d ) 定义为由使得u d u = d 的酉元甜b 构成的群。 定义2 4p ：b _ d 称为正规期望是指，为范数l 的盯一w o t 连续的投影。p 称 为忠实的是指如果p ( r ) = o ，t 0 ，那么，= 0 给定口的有限维c 一子代数的符合定义2 1 中条件的序列 玩：吣，我们可以选 取集 露：f ，疗) 使得对每个栉，集彻：_ ， 是e 的通常意义下的矩阵单位，并且每个 为 苟“：f ，歹 中某些元的和令d 表示集 ：i ，捍 g j c r 一弱闭线性扩张，则d 为b 的 c a r t 孤子代数。我们称翰：，胛 为占的关于d 的矩阵单位集当称b 的矩阵单位时， 我们通常假设其含于b 的关于d 的一个矩阵单位集。 定义2 5 【1 2 1g n 。( d 1 ( d 在占中的广义正规化子) 是指b 中所有使得1 ， ，和v v 均属于d 且v 三= d v v 的部分等距v 构成的集合。 如果曰是有限的，则v g ! k ( d ) 当且仅当存在砧e ( d ) 及投影p d 使得等 式1 ，= 印成立，显然每个属于g 心( d ) 。 我们将用刭下面的引理，此引理由矩阵单位 ：i ，歹，珂 定义了条件期望 第章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 ，：上- - 9 d 引理2 6 设丑，d ， ：l 工万 如上所述。定义收缩投影只：丑曰为 只( 6 ) = 6 其中6 b 。 j 那么 ：一) 依盯一弱算子拓扑( 盯一w d ，) 有一聚点一。进一步，p 7 为正规的忠实 的条件期望p ：b d 。 证明把看成上( b ) 中的元素，其中三( 占) 是指b 到自身的有界线性映射构 成的集合在此空间上考虑逐点盯一w o t 。这个拓扑可以看成将三( b ) 嵌入到 兀m ( b , o - w o o 的子集得到的拓扑，其中的嵌入是将。对应于 o ( 缈：6 踢。b 的闭单位球依 o - w o t 因此，由1 y c l l o 疗定理知兀。 j 占：忙旧1 6 吣为紧集。所以，上( 占) 的 闭单位球依逐点仃一伽f 紧。又序列 只 含于上p ) 的闭单位球，所以依盯一w o f 有聚 点1 , 1 。因此0 p 7 i 阵l 。 至此，我们不妨设 只 依逐点盯一删收敛于一，否则，可用 蹦的子列代替 织 。 我们要证尸7 是b 到d 的条件期望a 首先证明n e o ( , ) - - z , a 事实上，假设d n 。( 口) 。对任何矩阵单位，由于d = 只( d ) = 面： 所以 蟛= 爵沈麓= 嘭= 哆弼= 弓d jl 因为d 是集 吃：，刀 的盯一w o t 闭线性扩张，所以出= 耐对所有c d 成立 由d 是口的极大交换的自伴子代数( m a s a ) ，可得d d 。因此n 。只( b ) d a 如果d e d ，那么只( d ) = d 对所有的正整数万成立a 故有d n 只( 口) 。 至此已证明了n 。只( b ) = d 。 7 青岛大学硕士学位论文 其次证明p 7 ( 占) = d 。 如果d d ，如上，则对所有的正整数n ，有只p ) = d 所以p 7 ( d ) = d 因此 d c _ p ( b ) 。如果d ( 占) ，那么p 7 ( d ) = d 。取定疗，可得 ( 回= e ；t a e ：= z e z p 7 ( d ) ll = | c r - w o t - t i m k 最( d ) = 盯一w d f l i m i n k “k n i ， = 盯一们f - l i 巩k “k = p 7 p ) = d 因此p ( 召) n ，只( b ) 。所以p7 ( 口) = d 最后证明= p 设6 丑。因为只( 6 ) 依口一删收敛于p 7 ( 6 ) 且p 依盯一w o t 连： 续，所以p ( 只p ) ) 依盯一m ，o r 收敛子p ( 户7 ( 6 ) ) = 一( 6 ) 。从而可得 p ( p 。( 6 ) ) = p l 蟛| - p ( 6 ) = ，( 6 ) = 户( 6 ) l i j 因此p 7 = p 。 8 第一章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 第三节主要结果及证明 本部分中，b 表示有c a r t a n 子代数d 的a fv n 代数且a 为b 的对角为d 的 口一w o t 闭的三角子代数。( 即4 n = d ，其中= 口：a c a ) 为证明此文下面的一些结果，我们将用到彳的坐标。v n 代数的坐标化在文献【1 2 】 中f e l c l m a n n 和m o o r e 已详细讨论了。有关在非自伴代数上的应用的详细介绍见 m u h l y ，s a i t o 和s o l e l 的文献【1 3 j 。下面我们给出坐标的相关方面的一个简明描述。 假设曰是有c a f t a n 子代数d 的v n 代数。在文献1 1 2 】中f e l d m m m 和m o o r e 从测 度的等价关系的角度给出对( 忍d ) 的一种构造。设( x ，q ) 是标准b o r e l 空间且是 有限的。设r 是x x x 的一b o r e l 子集，如果丑是x 上一等价关系，且所有的等价 类可数，则称五是z 上一可数标准关系。如果似y ) 足，我们称x 等价于y 且记作 x - y 工的等价类记作r ) 。考虑从r 到x 的自然投影乃和砟，它们的定义为 万，( x , y ) = y ，乃( 毛y ) = x 足上测度1 ，= v ，( 右计数测度) 定义为 v ，( 】，) = l 乃1 ( x ) n 】，i 啡f o ) 。( 类似地，可定义左计数测度岣) 从而可得 ，( 置y ) 西( 而y ) = 上( 薹厂卅 d 。) 。 代数丑中算子可由r 上函数厂( 五y ) 表示。此表示需有善一y z 定义的有序复值三元 组“2 - c o c y c l e ”s ( x ，y ，z 1 。最简单的情形( 例如，r 是a f 的) j = 1 。 可测函数f ( x ，力称为左有限的，如果厂 有界且存在整数n ，使得对任给 x , y e x ，集合 z ：厂( 毛力o 及 z ：厂( ：，力o 的势都不大于函数厂( 易y ) 可定 义r ( 尼i ，) 上有界算子( 仍记为，) ，其定义式为 ，孝( 五y ) = 厂( 五y ) 善( y ，= ) j ( 而乃z ) 。 此类算子集的盯一弱闭包是2 ( 甄v ) 上一v n 代数，记作m ( 见j ) 。膨( 置，s ) 中运 9 青岛大学硕士学位论文 算可用工2 ( 尼, ) n r f r ，v ) 中函数来表示。乘法及伴随运算可有下面的公式得到 z 五( 而力= 厂，( x ，y ) f 2 ( y ，z ) s ( 工，y , z ) 一l 厂( x ，y ) = ，工) r ( x ，) 中函数可以看作盖上在对角上有支集的函数。 文1 1 2 1 的结果可描述如下： 设b 是有c m 曲m 子代数d 的v n 代数，则存在可数标准关系r 及上链j 使得 b = m ( r ，s ) 且在此同构意义下d 兰p ( x ，) 。映射6 - - h i ，是口到d 的正规的忠实 条件期望。 设易f 是x 的两个b o r e l 子集，o ：互寸f 为b o r e l 同构，如果1 1 ( ) r ，这里 r ( m ) 为m 的图，则称。为部分r 一同构，且琊) e g n n ( d ) 反之，如果1 ，6 1 k ( d ) 则存在x 的部分置一同构m ，。使得对震中几乎所有的( 弘x ) 有 ( 1 ) d y , o - - o , ( y , o 叠r ( ，) ； ( 2 ) i v ( y , x ) l = l ，似工) r ( ，) 。 此种情况下，( v 洲) ( 曲= ( 口m - 1 ) ) v v ( x ) 从而得，对虬，g ( d ) ，有 中。= o ，o 。 设c 为置的b o r e l 子集，r ( c ) 表示集 m ( 五，j ) ：朋支集含于c 。设m 是b 的 子集，筋表示集 b 】，) r ：存在厂m 使缈似y ) o 文献1 1 的主要结果可表述如下；假设m 是口的口一弱闭的线性子空间且是d 双 边模，则肘= 丁( 蔚) 。 在文献n 4 1 中m e r c e r 证明了任何d 上的盯一弱闭的双边模髟均有g ( d ) 中部 分等距构成的正交基。当b 是有c a _ r t a n 子代数d 的a fv n 代数时，m 的矩阵单位 形成一组正交基。因为d 是集 ：甩 的口一弱闭的线性扩张，由正交基的定义，我 们可得到下面的引理： 第一章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 引理3 1 设b 是有c a r t a n 子代数d 的a f 、，n 代数，m 是盯一弱闭的d 一双边 模，则m 是集 ：，啦的矿一弱闭的线性扩张。进一步，记鸩= m n e ，则 肘= 叨瓦。 下面我们记为集合尔x 。 设x 是爿的盯一弱闭的结合理想且使得置n d = o 。因此意n z = 妒，盒，并 s i e ( s ) = 0 对所有置成立。我们称此种盯一弱闭的结合理想置为a 的对角不交 的结合理想。显然足是 彳 的l i e理想。令 乓= 厂d ：，( x ，刁= f ( y ，j ，) ，“y ) 就2 ，为e 的任一子空间，l = k + ，则 有下面的命题： 命题3 2 上是彳的“e 理想。 证明首先，我们证明对任意的，及矩阵单位p 4 均有【，p 】_ o 上。故 我们假设p 是非对角的。把p 看作r ( o 。) 上的特征函数撕叱) ，显然r ( 。) c 。既 然【六p 】的支集与x 不相交，故含于s 如果我们证得它属于x ，贝l j f , e 】k l 所以设y ) 虱露，则 i f ，e 】( x ，y ) = 户( x ，) ，) 一矿( x ，y ) = 厂( 而工) e ( 工，y ) 一e ( x ，y ) ，( 乃y ) = ( 厂( 五工) 一，( 乃y ) ) e ( 五j ，) = o 这就证明了【 p 】置。 由于k 为玎一弱闭的且4 是z 中矩阵单位的d r 一弱闭线性扩张，从而有 f f ，g 】芷量三对任何厂e f 及g 彳成立。故三是的l i e 理想。 下一个定理证明了所有仃一弱闭的l i e 理想有此形式。 定理的证明中我们需要下面的引理： 引理3 3 设凰，i = 1 ，2 ，k ，是有限维的h i l b e r t 空间，a 是 曰( 马) o 曰( 呜) o e s ( n , ) 的c s l 代数，d 是爿的对角部分，s 是彳的非对角部 青岛大学硕士学位论文 分，三是一的l i e 理想且k = 三n s ，则k 是4 的结合理想。 证明对任意f ，令4 = 彳n 占( q ) ，厶= 工n 口( e ) ，五= k n s ( h , ) 显然， a = 4 0 4 0 0 4 ，l = 工1 0 岛o o 厶，足= 五。局o 0 墨。易证工。是4 的 l i e 理想及k 是厶的对角部分。n h 1 l ，命题2 4 】知，对任何i ，k 是4 的结合理想。 因此k 是爿的结合理想。 定理3 4 设上是彳的仃一弱闭的子空间。如果上是爿的l i e 理想，则存在彳的 一0 - - 弱闭对角不交的理想k 及& = ，d ：，似工) = ，( 弘) ，) ，( x ，y ) 氩露 的一子 空间，使得上= 足+ f 。 证明假设工是a 的仃一弱闭的l i e 理想。我们可用几种等价的形式定义置。 置= 厂三：户( ，) = o = 厂一p ( ) ：f c l = f e l ：s u p p ( f ) c s 。 显然，k 是盯一弱闭的，由于工是盯一弱闭的且p 是口一弱连续的。我们须证k 是4 的结合理想，首先证明置是d 一双边模。为此，先给出下面的引理： 引理3 5 设三是彳的l i e 理想，厂l ，嗄，吐，以是见中的极小对角投影， 则对任意f ，( d , s - d , s 4 1 l 。 证明固定f 。若，f ，则 【嘎，】，力 = z ，一崩，嘭 = 4 码+ 嘭尼工因此， ，z 羁+ ，。嘭尼e l 。我们又有 心，门= 喀一s a , = 窆碣羁一艺乃崩= 吐玛一乃弼工 j = lj = l 卅j f 取平均值可得码玛= 4 f ( 1 一z ) = 4 f a , f 4 l 。 设足。固定疗，有厂一只( ) = 群上及群+ 呓孵e l ，任给f ，j 且 l - 0 f _ ，。要证足是左d 一模，、i ：i 。 。( ，n ，n + 啄弼) 置对所有的d d 及f ，jj l i * j 都成立。从而有矽一蛾( ，) k 。 由于k 是盯一弱闭的，所以 矽= 口一w o t l i i n ( 矽一圮( 厂) ) k 要证上式对所有的d 成立，只需证当j 是玩中 第一章a fv n 代数中三角子代数的l i e 理想 极小投影且脚n 时d ( 群+ 艺弼) 置即可。取定研2 疗，设d 是见中极小投影， 由于研珂，所以d 是绉中某一个的子投影。特别地，由于f ，故要么d e i 。, = 0 ， 要么蟛= o 无论哪种情况均有d ( 弼+ 吒孵) d = o 再由引理3 5 可得 d ( n ，n + ，n n ) ( n 。n 一，n n ) 一( 一。n ，一，n 一。，一。n ) d 三 又 p ( 矗( 群+ 斌) ) = 卯( 弼+ 艺硝) = o 所以 d ( 筋+ 力属) 足a 这就证得x 是左d 一模。类似地，可得k 是右d 一模。因此，k 是上中非对角 矩阵单位的盯一弱闭线性扩张。 设4 = a n 最且厶= l o b = l f 1 4 。由于三是的l i e 理想，所以对任意疗， 厶是4 的l i e 理想。由k 的定义，可得瓦= 厂厶：p ( 厂) = o 。再由引理3 3 ，可得 对任意刀，屯是4 的结合理想。 欲证趸是a 的结合理想，由于x 是芷中非对角矩阵单位的盯一弱闭线性扩张， 只需证对所有足中矩阵单位厂及彳中矩阵单位e 满足矿，力k 。假设岛e ，则 ，毛r e 以。由于疋是4 ，的结合理想，故矿，乃蜀，从而玑f e k 。 我们已经证明了若三是a 的盯一弱闭的l i e 理想，则工的对角不交部分k 是彳的 结合理想。设f = l f i d ，若，工，则由k 的定义，可知f - p ( f ) k ，且 尸( ，) = 厂一( 厂一p ( 厂) ) f 。因此工= 芷+ f a 现只需证明若，工，则，( 五x ) = ，( 弘j ，) ，j ，) 氨2 。 设( 而y ) 氢2 ，p 是a 中矩阵单位且使得仁y ) 册p p ( p ) 。由于厂e 工， 上是彳的o r - 弱闭的 “e 理想，所以【f , e 】三 由于 青岛大学硕士学位论文 户( 【工e 】) = p ( 启一) = 归( e ) 一v ( e ) f = o ，可得【，e s c 因此 o = l 厂，e 】( x ，力= f e ( 苴，y ) - e f ( y , 力 - - f ( x ，x ) e ( x , y ) - e ( x ，y ) f ( y ，y ) = ( x ，x ) 一，( 弘y ) 从而 ( 五x ) = 厂( y ，y ) 。( 工，y ) 、它。 至此，我们完成了证明。 第二章单的g r o u p o i dc 一代中的闭l i e 理想 第二章单的g r o u p o i d 矿一代数中的闭l i e 理想 第一节引言 对于某些特殊的算子代数中的l i e 理想的研究，已经取得了丰硕的成果，尤其 是对三角算子代数的l i e 理想。例如，1 9 9 8 年，t d h u d s o n 、l w m a r c o u x 与 a r s o u r o u r 【9 】研究了两类特殊的算子代数：n e s t 代数与n 珏玎代数中的l i e 理想。 证明了：若三是n e s t 代数的弱闭l i e 理想，则存在相对应的结合理想，及对角子代 数4 ，使得f e l c _ j + 见；而在t u h f 代数中，对每一个范数闭l i e 理想三，存在 对应的结合理想f 及对角c 一代数玻，使得i c “砬。2 0 0 2 年，i v x a r 0 3 t l x 和 s o u r o u r 在文献f l o 】中详细地描述了n e s t 代数中的所有l i e 理想；2 0 0 4 年， h o p p e n w a s s e r p a u l s e n 在文献【1 1 】中确定了有向图代数和1 a f 代数这两类算子代数 中的l i e 理想。 本文描述了单的g r o u p o i dc 一代数曰中的有限c s l 代数d l g ( m ) 的闭l i e 理 想。证明了a i g ( m ) 的每一个闭l i e 理想三有形式三= k + f ，其中x 是一个闭的对 角不交理想，f 是d ( 材) 的闭l i e 理想。 青岛大学硕士学位论文 第二节预备知识 首先给出相关的g r o u p o i d 的概念： 定义2 1 设g 是一个集合，在g 上定义有乘积映射 ( x ，) ，) 一砂：g 2 寸g ( 其中g 2 是g g 的子集，称为可结合的对的集合) ，及逆映射 x x - 1 ：g - - k g ，满足下列条件： 1 ) ( x - 1 ) 一1 = x ； 2 ) 若( 工，y ) ，( ) ，2 ) g 2 ，贝u ( 妙，z ) ，( x ，y z ) g 2 9 ( x y ) z = z o , z ) ； 3 ) ( x 一，工) g 2 且如果 ，力g 2 ，则r 1 ( 砂) = j ，； 4 ) 工一1 ) g 2 且如果0 ，功g 2 ，则( 刀咖= z ： 则称g 是一个g - r o u p o i d 定义2 2 设g 是g r o u p o i d ，若g 上带有满足下列性质的拓扑： 1 ) 善一一：g - 9 , g 是连续的； 2 ) 化力- - x y ：g 2 _ g 是连续的，其中g 2 上的拓扑是作为g x g 的子集所带有 的相对拓扑。则称g 是带拓扑的g r o u p o i d 。 下面给出定义在等价关系上的带拓扑的g r o u p o i d 的概念： 定义2 3 设x 是满足第二可数公理的局部紧的h a u s d o 旧空间，g 是石上的等 价关系，对x = ( 毛，屯) ，y - - ( y 1 ，n ) g ，定义g 上的g r o u p o i d 结构为：善= ( 毛，屯) 与y - - 0 , , ，儿) 可结合当且仅当而= m ，且“，屯x 咒，耽) = ( 而，耽) ；z = ( x 2 ，毛) 。 若g 上带有的拓扑满足下列性质： 1 ) g 是局部紧的h a u s d o r f f 空间； 2 ) 工寸工1 ：g 斗g 是连续的； 3 ) 沁力- - x y ：g 2 一g 是连续的，其中g 2 上的拓扑是作为g x g 的子集所带有 的相对拓扑； 4 ) x 寸o ，工) ：z 斗g o 是同胚，其中g o = x ) g 是g 的单位空间； l 第二章单的g r o u p o i d ( ? 一代中的闭l i e 理想 5 ) g o 是g 的开子集； 则称g 是r 一离散的基本的o r o u p o i d 。 事实上，g o 为g 的闭子集且工_ r 1 ：g 哼g 为同胚。对x e g ，我们记 d ( 力= z 。1 z ，称d ( x ) 为x 的定义域；，( 功= 积，称为善的值域。 贝0 有g o = j ( g ) = r ( g ) 。 对雄，v e g 。，我们记酽= r 。 ) ，g = d 。( 刁，则酽，q 均为可数的离散空问。 g 的子集s 称为一个g 一集，如果，l ，d l ，均为1 一l 映射。如果岛，是均为g 一集，则 墨是= 秒l 工e 墨凰e 屯 也为g 一集。所以一= 善一1 l 工s 也为g 一集a 关于这些运 算，所有g 一集构成一个可逆的半群。记q 为所有紧开g 一集构成的子半群，称q 为 g 的a m p l e 半群。对s e q ，i 云d ( s ) = r l s ，r ( d = 嬲。显然由s 定义了一个部分同胚； 甜寸d ( u s ) ：，( s ) - - 4 d ( s ) ，仍记为s ，j ( “) 表示j 在u g o 处的值。 对矿石子集，j q ，记即= “s ( v ) ) ：v 矿 ；s n 缈工) 下面我们定义g 的左h a a r 测度为g 上的测度系 舻：“g 。 且满足 i ) s u p p 。) = g 。： 2 ) 对任何，c c ( g ) ( g 上的连续的、有紧支集的函数的全体) ，映射 群卜五( 豁) = p 擞。为g 。上连续的、有紧支集的映射； 3 ) 对任给工g ，f e c a o ) ，有j 氘力d a m ( 力= p u ) 以r f s ) 0 9 我们只考虑有开紧g 一集覆盖的r 一离散的基本的g r o u p o i dg 。此种情况下，g 有左h a a r 测度。事实上，由于g 为，一离散的，所以每个酽为离散的空间且五”可 以看成g i 上的计数铡度。 令z 2 ( g ，d 表示g 聿r 的所有连续2 一上链构成的集合，即：所有连续映射o r ： 俨_ z 使得对任给满足( 而，毛) 瓴，x 2 ) g 2 的，毛，毛有 1 7 青岛大学硕士学位论文 叮( 五，而) 旷，葺) = 盯( 毛，屯) 口，x l x 2 ) 给定一上链盯z 2 ( g ，t ) 喇t - - c 一代数c ( g ，盯) ( 对应于g ，盯) 如下： 对g e g ( g ) ，定义占，f 为 厂+ g ( x ) = i f ( x y ) g ( y 一1