（基础数学专业论文）量子李超代数uqosp12n的中心与无零因子性的刻画.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0u n i vc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 6 0 7 0 1 0 1 6 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y o nt h ec e n t e ra n di t sn o n z e r od i v i s o r so f q u a n t u ml i e - s u p e r a l g e b r au q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：l i ea l g e b r a sa n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y s u p e r v i s o r s ：p r o f e s s o r s h ub i n a u t h o r ：d uh u i m a r c h2 0 1 0 郑重声明 子性的刻画 下进行的研究 华东师范大学学位论文原创性声明 lq l q l111 1 1il l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q l l1 1 1 m y 17 4 2 3 2 2 超代数u q ( o s p ( 1 ，知) ) 的中心与无零冈 士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导 已经注明引用的内容外，本论文不包含 作者签名：耙彳 日期：切p 、t 乙 华东师范大学学位论文著作权使用声明 量子李超代数巩( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的l f j 心与无零因子性的刻画系本人在华东师范 大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士膊士( 请勾选) 学位论文，本论文的研 究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学 位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的 印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅； 同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学 位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉 密”学位论文水，于年月日解密，解密后适用上述授权。2 不保密，适用上述授 权。 学位论文作者签名： 日期。 仞f 口乡、 导师签名： 日期： 伽、o b z 杜卉硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名 职称单位备注 于炙倦徼旋辙怦芘大j 妒 主席 蔷目7 j 缸数稻年系1 乒荔杞子_ ， 惶徐愚烈稳糯争囊y 爷落7 ( 争 目录 摘要n a b s t r a c t h i 第一章研究背景i 第二章o s p ( 1 ，2 n ) 及u q ( o s p ( ，知) ) 的定义1 第三章小秩的u d o s p ( ，2 ，1 ) ) 无零因子性5 第四章 ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的中心的刻画 4 1 定义 4 2 生成元之间的关系 4 3 u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的p b w 基 4 4 u q ( o s ? ( 1 ，2 ) ) 的中心 附录 u d o s p ( 1 ，2 ，1 ) ) 的中心刻画 j 致谢 i ：j屹h：2 抄 勰 摘要 本文l f j 我们证明了量子李超代数u q ( o s t , ( 1 ，4 ) ) ( 当q 为非单位根) 及u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) ( 当q 为单位根) 是无零因子代数同时我们对当q 为f 次单位根时，u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的 中心进行了详细刻画，并计算了f r a c ( z ) 在f r a c ( z o ) 上的域扩张次数为z 在附录中， 对于q 为f 次单位根情况时的u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的中心给予初步讨论 关键宇：量子李超代数零因子中心域扩张次数 u a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ep r o v et h a tt h e q u a n t u ml i es u p e r a l g e b r a s ( o s p ( 1 ，4 ) ) ( w h e nqi s g e n e r i c ) a n du q ( o s p ( 1 ，2 ) ) h a v en oz e r od i v i s o r s a n dw ee x p l i c i t l yd e s c r i b et h ec e n t e r o fu q ( o s p ( 1 ，2 ) ) a n dc a l c u l a t et h a t 【f r a c ( z ) ：f r a c ( z 0 ) 】= fw h e nqi st h er o o to fu n i t y f i n a l l y , w ed e s c r i b et h ec e n t e ro fu q ( o s p ( 1 ，2 疗) ) w h e nqi st h er o o to fu n i t y k e y w o r d sq u a n t u ml i es u p e r a l g e b r a s z e r od i v i s o r sc e n t e r d e g r e eo ff i e l d se x t e n s i o n i 第一章研究背景 2 0 世纪7 0 年代，源于对物理学中相对论的探讨，物理学家vea k u l o v , d v v o l k o v , y u a g o l f a n d ，e pl i k h t m a n ，b z u m i n o 以及数学家b e r e z i n ，l e i t e s ，m a n i n ， k a c 等发展了超对称性的数学理论，从而对李超代数的研究推入到了迅速发展的轨 道随着人们对量子群的理论越来越关注，典型量子李代数的表示理论已日趋完善 同样对于量子包络超代数的研究受到了更多的关注【1 9 】 2 3 】已经研究了量子李超代 数与p a r a b o s e 算子之间的关系，【6 】研究了它的几何意义然而由于对于单位根处的 量子李超代数的研究仍然有限，我们对于单位根处的量子李超代数的零冈予性及其 表示还不是很明朗在这些研究中以邹异明的研究比较全面本文中我们就是在邹异 明以及郑立笋论文【2 5 】【2 6 】的基础上研究单位根处量子李超代数u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的中 心及其零因子性的刻画 在对量子群表示的研究中其中心又有重要的意义由于量子群的表示与包络代 数的表示联系密切，所以它们之间的中心结构也有密切联系尤其是当q 为非单位根 时，【2 0 】中已经有详细的描述但当q 为z 次单位根时，量子包络代数的中心变得更加 复杂比如说当z 为奇数时，所有生成元的z 次方也是中心元，而且它们与c a s i m i r 算 子满足一定的代数式【1 5 】【7 】【1 3 2 】【l 】从代数儿何的角度看，我们知道此时中心为 非平凡的仿射簇，而且由量子群的无零冈子性【7 】，我们可以讨论量子群中心及其它的 一个大的标准中心代数的分式域之间的关系，从而刻画量子群的表示对于包络超代 数，无零因子性并不能得到保证所以对于无零因子性的讨论与甄别变得必要，甚至 困难本文对于小秩的正交辛型o s p ( 1 ，2 ) 及o s p ( 1 ，4 ) 的量子包络超代数给予了充分 的讨论，证明了无零因子性质成立对于更一般的正交辛型o s p ( 1 ，2 n ) 的量子包络超 代数的中心也给予了讨论 本文共分四个部分，注意在本文中我们用z 表示量子包络超代数的中心，第一 部分主要介绍了李超代数o s p ( 1 ，2 n ) 及其量子李超代数u q ( o s p ( 1 ，2 ，1 ) ) 的定义，第二 部分主要证明了( d j 以l ，2 n ) ) 的p b w 基及其生成元之间的关系以及证明了当q 为非单位根时u q ( o s p ( 1 ，4 ) ) 的无零因子性第三部分详细刻画了u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的中 心，并证明了它的无零因子性以及f r a c ( z ) 与f r a c ( z o ) 的关系附录部分证明了当 u o ( o s p ( 1 ，2 ，z ) ) 的l f j 心足偶次元时，z 与z b 的关系 阵： 第二章o s p ( 1 ，2 n ) 及u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的定义 我们本文引用 2 5 1 中对于u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的定义令a = ( a i j ) 为以下疗，l 对称矩 作为一个逆步李超代数，令o s p ( 1 ，知) 上的生成元为e i ，五，h l ( 1si ，1 ) ，定义它们上 的z 2 分次为： d e g e i = d e g j 5 = 0 ( 0 f n 1 ) ， d e g h f = o ，d e g e n = d e g 厶= i ( 0 f ，1 ) 定义它上面的生成元关系式为： 【| i l f ，h j 】= 0 ，l f ，j n ； 【e i ，f j 】= 6 i j h i ，1 i ，j n ； 【j i l f ，e j 】= a i j e j ，l f ，j ，l ； 【胁，f 1 】= 一a l j e j ，1 i ，j ，l ； ( a d e i ) 1 - a i j e j = 0 ，( a d j s ) 1 叫u 乃= 0 ，f 工( f ，力( ，l ，l 1 ) ； ( a d e n ) 3 e n l = 0 ，( a d f n ) f n i = 0 令g ：= o s p ( 1 ，2 咒) ，则g 有一个自然的三角分解：g = g eheg + , 且“( g ) 表示为g 的 普遍包络代数 令q 为复数域c 中的非零元素，且令= c q ，q - i 】，莎为的扩域c ( g ) ，则对 任意的n z ，令 【n 】= ( 矿一q - n ) ( q q - 1 ) ， 且对任意的，l z + = 0 ，1 ，2 ， ，令 【n t = m i n 一1 】【l 】， 进一步地，对任意的j z + ，令 阱高吼 2 o 0 0 ；o o 0 0 ；2 o 一 一 一 o o 2 ；0 o q 2 o ；0 o 2 o o ；o o 特别地。 舯 于是我们可以定义“( g ) 在罗上的作为7 - , 2 分次结合代数的q 形变u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) ，它 的生成元为最，f i ，矸1 ，且其分次次数为 d e g e = d e g f i = 0 ( 0 i n 1 ) ， d e g k i = d e g k 7 1 = 0 ，d e g 岛= d e g f n = i ( 0 isn ) 这时的生成元满足以下的关系式： 墨髟= 巧局，局酊1 = 1 ；1 f ，j ，l ， k i e j k i l = 矿i j e j ，r f f j r 7 1 = f 4 i j f 矗1si ，js n ， k i k j l e i ，f a = 巧“哥；1 f ，s 厅， i 萎- a o c 叫1 叫e ；- a o - s e j e 剐；以蒯邶叫， 1 蚤- - a l l c 叫1 叫一删”乃彤= o ；“蒯邶叫， 爵e n l 一( q + q 一1 ) e 2 晶一l 晶一( g + q 一1 ) 邑磊一1 爵+ 晶一1 = o ； 一r l 一( g + q 一1 ) 砰n l 死一( g + q 一1 ) f n f n 一1 砖+ 死一i 露= 0 以下我们可以记为w = u q ( o s p ( 1 ，2 ，1 ) ) w 为z 2 分次h o p f 代数，且它上面的余乘法，余逆s ，余单位8 定义如下： a e i = e i 。1 + k i 。e f ，a f i = 乃。耳1 + 1 。r ，局= 蜀。厨， s e i = 一耳1 e i ，s 丹= 一乃局，s k i = r 7 1 ， s 厨= 1 ，e e l2e f i2 0 定义w 的一个c 一代数反白同构u ：w - w w e i = f i ，毋= e i ，u 西= 何1 ，w q = q 我们可以看出w ( u v ) = ( y ) u ( “) ，对所有的蹦，v 4 再引入研上的如下元素： 【硒；，l 】= ( r i q n 一尺f 1 q 叫) ( q q - ! ) ( 1 ) ( 2 ) 对于1 i 疗一1 ，k z + 令 。= 【明r 1 砖，曩= 【明i 1 砖 我们可以有生成元之间如下的公式：( 参考 1 6 】， 1 7 】) e料=艺力叫础了pp。，l 0 时，z ( ；弘r ；0 为 k n ；q - i q _ ( 力，矿q + ( 川中的次数为t 的整系数多项 式，其中0 f m i n ( p ，厂) 一t ，1 j r 且z ( ；p ，r ；0 ) = 1 特别地，如果psr 我们 有： p ，- i z ( 蜀；p ，r ；p ) = ll 【蜀；q 一( r - d ，q + ( ，一力】 ：= 6 证明：要证明第一个等式，我们可以对r 应用归纳法 当r = l 时，晶r + r 晶= 斧k n - k - 1 = k n ；q - ( 1 ) ，q + ( 1 ) 】等式成立 假设当r 为m l 时，等式成立：那么当厂为m 时 晶昭= 邑昭一1 r = 砰一2 【；q 一一1 ) ，q + 伽一1 ) g n + ( 一1 ) 卅一1 碟一1 晶r ( k n ( q 一小一1 + ( 一i ) m 一2 q 一2j 婿1 ( q m + 1 + ( 一1 ) m 一2 q 2 ( q 一1 + 1 ) ( 日一q - 1 )( q + 1 ) ( 留一q 一1 ) + ( 一1 ) 卅一1 砰i k n - f k n l + ( 一1 ) 卅砰磊 = 弼m - ! k n qm “- 1 + 1 ) ( ( - 州1 ) m - 2 - i ) q - 2 + 筹) 一霸m - i 。- 1 q ( m q + + l + 1 ) ( ( _ 口l 一) m - 2 q 2 一( 口- - 一1 ) 州m - i + ( 一1 ) m 矸磊 = f r o - 1k n 若崭卅熊) * 岍m 。m 邑 = 矸一1 【畅；q 一( ，1 ) ，q 十( m ) 】+ ( 一1 ) m 聊e n 而对命题中的第二个等式，我们只需要应用第一个等式，并对p 进行归纳即可 令w + ，吖一，卵为w 的子代数，分别由e i ，f i ，群1 ( f = 1 ，2 ，九) 生成，则 , = , 一卯w + 利用【2 l 】中的余乘法，我们可以得到似兰w 一 卯。似+ 作为向量空 间同构 下面，类似【1 7 】中讨论，我们引入似的自同构瓦： - a u t i e i = - f i k i ，乃而= ( 一1 ) 5 嘶留一。鼋一叼吖e j e ：i s ) , ( j 力 s = o - a 0 乃凡= 一巧1 毋，乃乃= ( 一1 ) 5 9 - 5 曩- 4 玎一曲乃巧蚋，“) s = o t l k j = k j n 蓟 且 乃叫= 山瓦 5 第三章小秩的u q ( o s p ( 1 ，2 ，z ) ) 无零因子性 我们知道在 7 】中，k a c 与c o n c i n i 已经就量子包络李代数的无零因子性有了一 个深入的刻画我们知道当q 为非单位根及单位根时，李代数g 的量子包络代数 均为无零因子代数从而对于刻画( g ) 的中心与表示有很大的帮助但是对于李超 代数的情形时，无零因子的证明确是异常复杂的一般情况下李超代数的包络代数 与量子包络李超代数并不一定是无零冈子代数在【5 】中我们可以知道o s p ( 1 ，2 n ) 的 包络代数为无零因子代数但对于u q ( o s p ( 1 ，2 n ) ) 的情形，在本文中我只能给出小秩 的u o ( o s p ( 1 ，2 ，1 ) ) 的无零因子性质的讨论这一章我们主要给出当q 为非单位根时， v q ( o s p ( 1 ，4 ) ) 的无零冈子的证明对于u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的无零因子性我们在下一章l f j 有 更简单的证明 回忆我们在h o p f 代数 ) 中，当g 为李代数时，定义过( g ) 的伴随表示如下： a d q x ( y ) = a i y s ( b f ) ， i 其中 ( j ) = a i 。仇，y x , y u q c g ) f 同样我们也可以在似中定义伴随表示如下： a d q x ( y ) = ( - 1 ) d e g ( y ) d e g ( b ) a i y s ( b i ) ， f 其中x ，y 为w 中的齐次元，( 曲= f a i o b i 在【9 】【1 0 】中，我们知道o s p ( 1 1 2 n ) 的正根用6 l ，以刻画如下： j = 1 6 i + 6 j ，6 i 一6 j ( 1 f d e ga n , 1 经过计算，对n 4 时前4 项的系数的最高次数分别是： n1234 ( d e ga n ，d e ga n , 1 ，d e ga n , 2 )( 1 ，0 ，1 )( 2 ，0 ，2 )( 5 ，2 ，5 )( 1 3 ，9 ，1 3 ) ( d e gb 月，d e gb n , l ，d e gb n 2 ) ( 1 ，0 ，1 )( 3 , 2 ，3 )( 8 ，7 ，8 )( 2 1 ，2 0 ，2 1 ) 假设对f 一1 ， ( d e ga i ，d e ga i ，1 ，d e ga i ，2 ) = ( x i - i ，而，x - 1 ) ( d e gb i ，d e gb i ，1 ，d e gb i ，2 ) = t y i - 1 ，嫡，y i - i ) 其中商 x i - i ，丽 y i 一1 由a i2a i - l b i - i a i - i 。l b i - i 。2 ，民l2a i - i ，l b i 一1 1 ，a i , 22a i - 1 ，2 b i - i 知： d e ga i2x i - i + y i - i ，d e ga i , i2x i - i + y i - i ，d e ga i , 22 蠢f - l + y f - 1 同理，由b i2a i b i 一1 ，b i i2a i b i - i 。1 + a i ，i b i - i 。2 ，b i , 22b i - n ，2 a i , 2 知： d e gb i = 曩一i + 2 y i 一1 ，d e gb n ，i = 犯l + 丽+ y i i ，d e gb n ，2 。x - i + 2 y i 一1 也就是说 如果我们有以下记号： ( d e ga i ，d e ga i , 1 ，d e ga i ，2 ) = ( x i ，焉，x i ) ，( d e gb i ，d e gb i ，1 ，d e gb i 。2 ) = t y i ，蟊，y i ) ， 则由羁 x i 一1 ，丽 m l 可以看出焉 x i ，两 磊 所以由归纳可以看出上述所有系数的最高次数均不为零 9 厶 一 j ； 一 o以加加 m o 一 卜 跏 严铲 ，iilii_，、_-_ 同样对霹弓，由归纳同样可以知道： e z 日= 或c 2 1c 4 i n 一1 + - - 。2 l v , 3 1c r ：, 4 l n 其中兹= 一l l + d l l ，兹= 一l a 一线一l q 一叱9 可见，兹的最高次项均为矿， 也不为零 于是，在此基础上又可以得到： 础e ，= t jp i - j 二嚣善 其中j ( g ) 1 ：啦川o ，s ( q ) 2 ：竺若辫由前面的讨论知道所有 的c f ，c f 1 均不为零而a 学的最高次数为q 掣0 故j ( g ) 2 0 同理，由关系式 l e 7 3 e i = 最弓+ ( 口一一a ) 蟹目可得： 霹砭= 以e ；掣+ 彰“嘭 其中 il a n l 扫：一l b 。专一2 + “锄一2 ，1 一l ，l 嘞一l ( q 一1 ) b n l “一2 + a n - 1 c ：n 一2 ，1 易：一l ，l ( q - 2 一1 ) 2 b n 1 2 1 啄z 荔一 c n 一2 ，i “一1 ，2 锄一l 国一，1 ) + 锄一l “一1 c n 一2 ，2 ( q 一1 ) + l 唯i c n 一2 一l c n 一2 + 业甓, 1 2 b 篇2 型 票c n1 ( 堑半l b) + 警c n2 】 n l 锄一 l 一 易肛n j 由前面的讨论知以，的分母均不为零而分子的最高次项中以的最高次 数为1 + 3 粕一2 + 4 y n _ 2 + 轨一i + x n 一1 + 羁，分子的最高次项中的最高次数为 2 + 2 而一2 + 而一3 + x n l + 确一1 + 一3 + 3 y n 一2 + 2 z n - 2 + 羁故以，均不为零 再继续下去可得： e 爹彰= ( 武) j 彰弩+ 低阶项 此时我们把( 以y 记为“q ) ，且可见“q ) 0 由关系式日呸= a e ；日一( q 一a ) e ；砰，可假设磷砭= “- - f 凸2 p l 4 t i + 嘶。3 v 凸4 t i + 1 若 令础+ 1 呸= a i + l e 2 e ：州+ 磊弓才2 ，则可得： a i + i2 面a + b i ，b i + 12 面a a f q 一2 一b i q 一1 1 0 其中而：a ，面= a q - 2 ，依次下去，可见面一b i 的最高次项为矿均不为零 同理我们可得： 磷彰= 面彰磷+ 低阶项 这里我们令 q ) = 面j 0 而由于最= e i 亦可得f i 之间也有上述类似关系式 定理3 3 当q 为非单位根时u q ( o s p ( 1 ，4 ) ) 是无零因子代数 证明：首先我们令a ，b 为u q ( o s p ( 1 ，4 ) ) 中的任意两个非零元素，其中： a = b = 。 ，s ；， s 诹i l 磁2e b 磁h 露窿f t l t l 、或2 啭。或4 b 铸t 曲毋毋西t ，- - 蠹1 ，、f 。2 吒f 3 曲 不妨设e l 。f t e e 夕印k ：1 磁2 f ； f 2 t t 2 f 爹砰为a 中的最高项； e ，e 彰k i t ：f ，蟹学砰为b 中的最高项 再根据关系式( 见 2 5 】) ： 可得： 砰耳= 耳砰+ 低阶项( f ，1 ) ， 硝磁= ( 一1 ) p 7 砰+ 低阶项 a b = ( 口r t , s t , t t e ；7 蟹窖印k ；1 磁2 f p 2 2 t t 2 f 3 i t 3 砰+ 低阶项) ( ，；，吒e ，e e 彰k ；f ，誓f 爹群+ 低阶项) 再根据关系式( 见【2 5 】) ： 则有： f f e ；= e ；砰+ 低阶项( f ，堍 琉 谨，( z = 1 ，力 g = g r 十g r - i + + g o = 卢( 腓州。f 南+ 州。p “+ 气硝。p c ；：1 ) + k 船2 ( 靠，啦。如p 如+ b r s a z 唼2 p 兜+ + ，嘞。哿p 哿) 1 5 又由于 所以 + k 嘞( ，嘞，如p 。1 + ，嚏一哟+ + 嘞。卺p ) ) o：l t q + 关于，的低阶项 ( f n k # le t n o ( f r k s r je t r j ) m i n ( r ，“) = f n k s # l ( ( 一1 ) t # f - t ) f r - z ( k ；r ，“；f ) 水一) k s r j p t r j i = o = 卜、铲t n pk s m f r z ( k ；r ，t 吼；一tk s r j0 r j + 关于f 蚋低险硕 = ( 一1 ) 妣g 咄哪一唧“户+ k 5 坼+ s r j e t n l + t r j + 关于，的低阶项 f g = f g 牟+ 关于厂的低阶项 di n 。qi r 。a = ，( 髟( a n , s n m 岛n p 龟) 卢( k ( ，名p ) ) + 关于，的低阶项 = f n k s n - a ，l e 广k 姐k 舰。，喽p + 关于字典序的低阶项+ 关于厂的低阶项 = ( - - i ) r t n , 口- r s n l - s r i t i n t a n , s t q , 易尺，啊，喽。广+ k 3 l + 姐- p + 哇- + 关于字典序的低阶项 而 ( 一一- q - r s n i - - s r i t 。i a n , s n i , ，即。，喽。o ， 故f g 中的最高次项不为0 ，所以f g 0 证毕 我们考虑u q ( o s l ：, o ，2 ) ) 的由七，七l ，s 生成的交换子代数，由生成元的关系，我 竹】失口。譬c 【足，k - l , s 】 引理4 6u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 为自由模，它上面的基为1 ，y , e ，尸，p 2 ， 证明：由命题( 4 3 ) 知，u q ( o s p ( 1 1 2 ) ) 的一组线性基为护1 矿妒i 口，b z ，c n 记 j ( ，竹) ：= s ( _ ，1 ) ( 一叩) m i l 疗m ：- o i ( s q m q l 2 k + q 一”q 一1 2 k 一1 ) 令m = m i n ( a ，易) ，则 当a = b 时，我们有厂矿胪= s ( 口) 胪e ； 1 6 当b a = m 时，对于尸矿胪= f a 矿矿一4 k c = s ( a ) e b - 口k c = s ( a ) q ( a - b 弦胪矿- 口而 s ( a ) q ( a - b ) c k c ： 当a b = m 时，对于尸矿妒= 尸- b 广矿妒= f a - ( b ) k c 由f , k ，s 之间的关系，上 式= 扩一班，( 6 ) 胪广，其中( 6 ) ，为尸而与s ( m ) 交换后所成的中单项式， 同样口( 沪b ) c s 7 ( b ) k c 结论得证 在【3 】中，我们首先对q 为f ( f 为奇数) 次单位根时的中心作了描述同样由生成 元关系式，可知当z 为偶数时，e j ，e ，也是中心元也就是说，此时的中心要复杂一些了 为方便记，规定以下：e = 一，f = f 1 事实上，【3 】l f j 已对u q ( o s p o ，2 ) ) 的l f j 心有了比较细致的刻画 定理4 7 ( 参考【3 】) 当q 为z 次单位根时，u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的中心z 包括c 嘣，k - l , c , e ，用 ( 1 ) 当l 为奇数时，c k t ，k ，c e ，f i 就是它全部的中心； ( 2 ) 当f 为偶数时，中心为自由c 【，k - l , c , e ，f 】模，基为1 ，胆s 由前面的分析可以知道p 烈，f 2 ，为u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 中的中心元，我们令面表示 为由e 2 l ，厂2 0 ，生成的z 的子代数有了对中心的刻画，且我们对u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 无 零因子性质的证明可以看出历，z 为无零因子代数所以我们可以考虑它们的分 式域f r a c ( z o ) ，f r a c ( z ) ，令f r a c ( u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) ) = f r a c ( z ) 睨u q ( o s p o ，2 ) ) ，而此代数在 f r a c ( z ) 上是有限维的下面，我们计算一下f r a c ( z ) 对f r a c ( z o ) 的可分次数冈为由 历的构造及u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的p b w 基可以看出u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 在历上是有限秩的，由 此可以看出z 在而上整，故可分次数有限 我们不妨只对z 为奇数时进行考虑 对z 作分式化后，我们可以有f r a c ( z ) = f r a c ( z o ) ( c ) 下面我们通过k t , k ，ee ，f 之间的一些关系式，还可以看出c 在面上整 令h 为不定元，m 为某一正整数，令j = u 一“我们有： ( + ( - u - 1 ) 小) = t m u m + ( 一1 ) m t m ( u - 1 ) m om om o = 而1 + 南1t u1 = 兰1t st 2 ：= ( 趴 = 一+ 一= 一：= ，r ，一j 1 一砌。+ 一一一。厶“、” 由上述等式，我们可容易看出p 2 ( s ) = u 2 + “一2 = + u - 1 ) 2 + 2 一c ，i i i r ： 丕= 南+ 南= 羔2 磊， 所以， q m ( c ) = p 2 。( s ) = 比加+ ( 一“一1 ) 加= ( + ( 一1 ) m “- m ) 2 + 2 ( 一1 ) m + 1 = 厶( j ) 2 + 2 ( 一1 ) m + 1 考虑等式( 1 ) 及上述p t ( s ) 的等式，我们可以得到： p l ( s ) = 4 2 + ( 一1 ) g 一。2 r - + s ( d ( 一功，p 7 于是我们再比较只q 两个等式，上式则可以变成： ( 一1 ) q t ( c ) = 一萨一七- 2 + 矿。垆e 2 7 = 一萨一k 一复+ 矿f 2 e 2 即 q t ( c ) = 七2 + k 一甜一q 2 t f 2 e 2 而q i ( c ) = p k s ) 2 + 2 ，所以转化为我们只需看p i ( s ) 展开成s 时的项即可 不妨令z = 2 k + l ，则 p 船) = h 舭1 一“一撕1 ) = ( “一u - i ) ( “纵十“戥_ 2 + + “2 + “o + h 以+ + “一纵) = s 【( “放+ “一拙) + ( 1 l 强一2 + u - 2 k + 2 ) + + ( 蹦2 + u - 2 ) + l 】 用归纳法，我们可以证明“孤+ “一2 七为最高次为k 的关于c 的多项式 k = 1 时，“2 + u 一2 = c ，易见 假设当k l 时结论正确，则当k 时，u 2 k + u 一孔= ( u 2 + g 一2 ) 2 七以+ “一抽+ 2 ) 一( “孔一4 + u - 2 j “) ，由归纳假设，可得结论正确 所以q i ( c ) 为最高次项为z 次的关于c 的多项式 由上面论述可知c 不仅在而上整，且【f r a c ( z ) ：f r a c ( z o ) 】， 以下类似k a c 的研究，我们详细说明【f r a c ( z ) ：f r a c ( z o ) 】z 令m ( a ) 为u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 上的v e r m a 模，以1 ) 为m ( a ) 的极大不可约子模，蝴为极 大权向量由生成元之间的关系式，我们有f 2 蝴以a ) 我们称k f ( a ) = m o ) ( 尸) 为与m ( a ) 对应的对角模 因为对于v q ( o s p o ，2 ) ) 来说，z 在历上整，于是我们就有历cz 我们诱导以下 映射： vf r e p ujs p e c zjs p e c z o 其中r e p u 表示为u q ( o s p ( 1 ，2 ) ) 的所有不可约表示同构类的集合，s p e c z 记为代数同 态z _ c 对应的仿射代数簇，s p e c z o 记为代数同态历_ c 对应的仿射代数簇，由于 1 8 z 在历上整，所以1 - 为有限态射其中x 的定义如下叙述：任意取丌r e p u ，z 在 i 上为纯量作用，则对任意的“z ，我们有t r ( u ) = x r t ( u ) i ，这里肠( h ) c ，于是定义 x ( 丌) = 肋 同d ec o n c i n i k a c 对于单位根处的量子包络代数的讨论类似( 见文献 7 】) ，我们可 以证明x 是一个广点式双射( g e n e r i c a l l yb i j e c t i o n ) ，即存在s p e c z 的稠密开子集， 使得x - 1 ( v d _ w 是双射根据文献【2 2 】中的定理5 1 6 ，所求证的不等式转化为求存 在“w ，) 中的开集，使得1 o x 的纤维中所含元素个数恰为f 即可 令q = a s p e c z o l ( ro 鄹_ 1 a 有z 个不可约对角表示，且维数为2 饥 首先，若肘( 抛为乩( o s p ( 1 ，2 ) ) 上的v e r m a 模，庸( a ) 是其对应的对角模令 h o = ( o ，0 ，z o i z ；1 ) cs p e c z o 以下证明h ocq ，也就是要证对y h o = ( 0 ，o ，z 1 ) 蜀o ，( z ；1 ) ，有( fo 幻- 1j i l o 包含z 个维数为2 z 的不可约对角表示即可类似k a c 文中， 当i ( 砝) 2 1 时，府( a ) 为不可约对角模，l ( 妇) ：= l a ) ，其中五c 钇p 所以我们只 需说明z ；1 l ( 砭) 2 l 即可 ( 仁) 令a = f a i w i ( a i c ，w i p ) ，只需令a = ( 0 ，0 ，q t ( j 蚴) = ( 0 ，o ，z 1 ) ，则由 a ( 砭) 2 1 即可得z ；1 ( 号) 对v h o = ( 0 ，o ，z 1 ) ，( z ；1 ) ，则了a i c ，使得矿瑚w f 物= z l ，所以，存在 ，t ：z ：d - c ，使得l ( 知) = g ( z 细w f 协= 协，则由z l 即得l ( 磁) 2 1 所以我们可以找到z 个维数为2 z 的不可约对角模：m ( , t ) f v aom ( , t ) f 2 o o m ( a ) f 2 7 ，于是可知n ocq ，而且类似k a c 中，我们还可以得出q 包含s p e c z o 中的 一个非空开子集 综上，我们可得 f r a c ( z ) ：f r a c ( z o ) 】z 所以【f r a c ( z ) ：f r a c ( z o ) 】= z 附录 u q ( o s p ( 1 ，2 ，