（基础数学专业论文）轧件速度场与温度场的耦合理论及计算.pdf

一 n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y m a y 2 0 0 8 叁 i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 6 二 思。 学位论文作者签名：孩你稀 日 期：川五锣 学位论文版权使用授权书 。l 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ，；_ 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：孩饼，柿 签字日期：卅z 缪 导师签名：康藏屋 签字日期：沙。孑。7 乎 i ， ，j _ l 。 东北大学硕士学位论文 摘要 轧件速度场与温度场的耦合理论及计算 摘要 在轧制过程中，温度是影响金属变形和材料性能的重要因素，而且金属变形的同时 往往伴随着温度的变化。另外，变形过程中塑性功也转化为热。因此，要提高轧制过程 数值计算的精度，将温度和变形耦合起来进行综合模拟计算是非常必要的。本文采用刚 塑性有限元模型，对板材热轧过程中的热力耦合进行有限元模拟计算。主要内容如下： ( 1 ) 侧自由表面形状的求解。采用沿流线积分法计算自由面节点的宽展，对其逐步 迭加得到轧后宽展。在迭代求解中，用计算的宽展来修正宽度方向上节点的坐标，从而 可修正基本的计算数据，提高计算精度。 ( 2 ) 轧制过程三维温度场的计算。对自由面边界条件分别按非线性和线性求解温度 场，并对计算结果进行比较。在线性边界条件下可直接求解温度场，避免了迭代中的累 积误差。非线性边界条件虽是真实条件，但迭代中的累积误差不可避免，影响收敛效果。 ( 3 ) 轧件速度场和温度场的耦合计算。在轧件速度场、温度场有限元计算的基础上， 对轧件速度场和温度场的耦合进行模拟计算。为建立联立方程组在程序中的通式形式， 对其组合顺序进行调整。编制相应的程序，利用现场数据验证耦合的计算精度。 ( 4 ) 探讨线性方程组的求解方法。对大型带状不对称线性方程组，采用部分选主元 的工u 分解法和不选主元的纵分解法分别求解，并对其稳定性和计算量进行比较分析。 关键词：刚塑性有限元；宽展；g a l e r k i n 有限元：耦合分析；非对称 i i _ 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o u p l i n gt h e o 拶a n dc o m p u t i n go fv e l o c 时f i e l da n d t e m p e r a t u r ef i e l do fw o r k d i e c e le m p e r a t u r erl e l do 士w o n ( d 1 e c e a b s t r a c t t b r n p e r a ：t u r ei sa ni i n p o r t a n tf a c t o ro f i n n u e n c em e t a l sd e f o r m a t i o n 锄dm a t e r i a l sp e r 一 ，f - o 肌a 1 1 c e i nr o l l i n gp r o c e s s ，m o r e o v e r ，i to r e ng o e s 谢t ht e m p e r a t u r e s 饥m s f o m a t i o nw h e n t l l em e t a li sh 印p e m n gd e f o n i l a t i o n i na d d i t i o n ，t h ep l a s t i cw o r ka l s o 仃a i l s l a t ei n t oh o t ，t l l e r e f o r e ，i ti sv e 巧n e c e s s a r ) rt h a tt e m p e r a t u r ea n dd e f o m a t i o na r ec o u p l e dt oc 邺7t l l r o u 曲 i n t e g r a t i v es i m u l a t i o nc o m p u t i n gi i lo r d e rt oi i i l p r o v e t l l ep r e c i s i o no fi m m e r i c a lc o m p u t i n g a b o u tr o l l i n gp r o c e s s f i i l i t ee l e m e n ts i m u l a t i o nc o m p u t i n go ft h et h e 锄。一m e c h a i l i c a lc o u p - 1 i n go ff l a th o tr o l l i n gp r o c e s si sc o n s i d e r e dw i mt h ea i do fr i g i d - p l a s t i cf e mm o d e li l lt h e p 叩e r - f o u o 、丽n ga r et h em a i nc o n t e n t s ： ( 1 ) s 0 1 v i n go f t h es i d e 舭es u r f a c e sf i g u r e n l es p r e a do fn o d e si nt h e 舭esu r ：f a c ea r e 。 c a l c u l a t e db ym a k i n gu s eo fi n t e g r a la l o n gt l l en o 、) v i ll i n e ，l er o l l e ds p r e a di so b t a i n e db y i t e r a t i v ea d d i t i o nw i t hr e g a r dt ot h es p r e a do fn o d e s i ni t e r a t i v cc o m p u t a t i o i l s ，t l l ec a l c u l a t e d s p r e a di su s e dt o 锄e n dc o o r d i n a t e so fn o d e si n 谢d t h ，b yw r h i c hc a i lr e v i s eb a s a lc o m p u t i n g d a t aa i l di m p r o v et h ec o m p u t i n gp r e c i s i o n ( 2 ) c a l c u l a t i o no ft h r e ed i m e n s i o n a lt e m p e r a t u r ef i e l di nr o l l i n gp r o c e s s t h et e m p e r a - t u r ef i e l di ss o l v e da c c o r d i n gt ol i n e a ro rn o n - l i i l e 盯b o u n d a 巧c o n d i t i o no fm e 丘e es u r f 缸e ， a n dc o m p a r i s o no fc a l c u l a t e dr e s u l t so fl i n e a ra i l dn o n - l i n e a ri sa i l a l y z e d o nc o n d i t i o nt h a t t l l eb o u n d a 巧i sl i n e a r ，m et e m p e r a t u r ef i e l dc 孤b ed i r e c t l ys o l v e ds o 弱t oa v o i dt h ei t e r a t i v e e r r o r s a l t h o u g hn o n - l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o ni sa c t u a j ，t h e i t e r a t i v ee r r o r sca nn o tb e a v o i d e d ，w h i c hi m p a c tc o n v e r g e n te f r e c t ( 3 ) c o u p l i n gc 对c u l a t i o no fv c l o c i t yf i e l d 锄dt e m p e r a n 鹏f i e l do f 、o r k p i e c e ac o u p l i n g s i m u l a t i o nc a l c u l a t i o no fv e l o c i t yf i e l da n dt e m p e r a _ t u r ef i e l do fw o f k p i e c ei ss t u d i e db a s e do n m ef e m c o m p u t i n go fv e l o c 时f i e l da 1 1 d t e m p e r a t u r ef i e l do fw o r k p i e c e t i l ec o m b i n a t i o n s e - q u e n c eo fe q u a t i o n sa r ea 由u s t e dt 0e s t a b l i s ht l l ec u n e n tf o m a t o ft l l es i n m l t a l l e o u se q u a t i o n s i nt h ep r o g r 锄c o 盯e s p o n d i n gp r o g r a mi sc o i n p i l e d ，a i l dt l l ec o m p u t i n gp r e c i s i o no fc o u p l i n g i i i - 目录 中文摘要i i a b s t r a c t 。i i i 第1 章绪论1 1 1 有限元在现代轧制理论中的发展1 1 1 1 有限元软件在轧制中的应用1 1 1 2 有限元法在轧制中的发展1 1 2 轧制理论中的数值方法概述2 1 2 1 轧制问题的3 维变形3 1 2 2 轧制过程温度场的数值计算4 1 2 3 轧制过程耦合数值计算5 1 3 本文的主要研究工作6 第2 章刚塑性有限元法与3 维理论7 2 1 刚塑性可压缩材料7 2 2 刚塑性可压缩材料的变分原理8 2 3 刚塑性有限元的求解途径9 2 3 1 轧制变形区的有限元离散化l o 2 3 2 总能耗泛函的离散化1 0 2 3 3 总能耗率泛函的最小化1 l 2 4 板材轧制的3 维有限元及程序分析1 2 2 4 1 板材轧制的3 维变形特点1 2 2 4 2 板材轧制3 维有限元分析的基本问题1 3 2 4 3 板材轧制的3 维有限元程序1 5 第3 章非稳态温度场的3 维有限元分析1 7 3 1 非线性方程组的求解方法1 7 v 目录 3 2 含内热源的热传导基本方程及边界条件 3 3 轧制过程温度场的有限元计算 3 3 1 非稳态3 维温度场的有限元方程 3 3 2 轧制过程温度场的线性化有限元计算 3 3 3 轧制过程温度场的非线性有限元计算 第4 章轧件速度场和温度场的耦合计 4 1 温度场和速度场的耦合计算方法 4 1 1 调整非线性方程组的组合顺序 4 1 2 非对称j a c o b i 矩阵的分解 4 2 温度场和速度场的耦合数值计算3 2 4 2 1 变形抗力模型3 2 4 2 2 现场轧制及模拟计算条件3 3 4 2 3 耦合计算步骤3 4 4 3 耦合计算结果分析3 5 4 3 1 耦合计算结果3 5 4 3 2 计算方法的比较分析3 9 4 3 3 轧制过程中金属纵、横流动之比的分析4 0 第5 章结论4 3 参考文献4 5 致谢4 7 v i 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 现代金属轧制过程是个非常复杂的过程，它涉及到压力、速度、流量、温度等物理 参数，还有弹性变形、塑性变形、热力耦合、工件内部组织结构与性能的变化等多方面 的问题。为求解这些轧制问题，人们采取了很多数值计算方法，其中有限元法( f e m ) 是应用比较广泛的方法之一。 1 1 有限元在现代轧制理论中的发展 1 1 1 有限元软件在轧制中的应用 目前国际上大约有6 0 种有限元软件，其中应用比较广泛的主要有a b q u e s 、m s c m a r c 、m s c s u p e i 强o i 讣压、a n s y s l s d y n a 、a u t o f o r m 、e a t ，d y n a f o i 己m 、 d e f o i 己m 和n i k e 3 d 等。 李学通等1 1 应用非线性有限元软件d e f o r m 开发了带钢热连轧过程热、力、组织 耦合三维刚塑性有限元模型。对低碳钢s s 4 0 0 的现场实际轧制情况进行了数值模拟计 算，得到了轧件三维变形、温度场及显微组织的分布规律，模拟计算的轧制力能参数、 轧后温度与现场实测结果吻合较好。 张德丰等2 1 采用更新的l a g 捌1 9 e 法研究了板材热轧过程弹塑性有限元模型。在v o n m i s e s 屈服准则和p m d t l r e u s s 流动法则下，利用m s c m a r c 软件对板材q 2 3 5 热轧 耦合计算进行了有限元模拟，得出了m s c m 6 眦可以模拟板材热轧，计算结果和实际 基本符合的结论。陈林等【3 】也进行了类似的热轧耦合计算。 随着轧制过程自动化、人工智能化的发展，有限元软件的专业化和智能化必将成为 另一个研究热点。目前有限元分析软件的应用一般都是离线模拟，并且有限元软件的计 算效率达不到在线应用所需要的速度。由于计算机科技水平的飞速发展，有限元法的在 线应用已经成了可能，并且应用有限元法能够更好地进行材质预报。 1 1 2 有限元法在轧制中的发展 以有限元法为代表的现代数值模拟计算方法曾为轧制理论树立了里程碑。由于传统 轧制理论的误差和缺憾，为满足现代轧制要求，人们转而求助于3 维变形理论，而3 维 7 第l 章绪论东北大学硕士学位论文 轧制过程中的许多棘手问题借助于有限元法都可得到成功解决，使有限元法在各种轧制 中的应用变得更为广泛。熊尚武等【4 ，5 1 利用有限元法对3 维v - h 轧制过程进行了热力分 析；m o n t r i l i t o n n e tp 等【6 1 利用有限元法研究了3 维热轧；c a v a l i e r ema 等【7 1 利用有限元 法分析了轧钢过程。 在轧制过程自动化中，很多轧制参数都是应用有限元法进行数值求解。比如，在板 形调控机构设定计算中，就可应用有限元法将辊缝离散为很多单元，将轧辊所承受的载 荷及轧件也离散化，先对每个单元分别计算，再迭加求和得到整体关系的方程组，应用 计算方法和优化方法得到设定结果。 有限元法与智能化方法的结合是当前轧制研究领域里的一个重要内容。神经网络是 一种有效的数据处理工具，有限元法与其结合可收到快速、有效预报和控制的效果，因 为有限元法可为神经网络计算出所需的基础数据。 有限元法在轧制过程中起着非常重要的作用，其主要发展趋势如下： ( 1 ) 轧制过程总是伴随温度变化，特别是对热轧而言，温度是影响变形抗力的最主 要因素之一。对冷轧板型的控制，随温度升高，轧辊热凸度增加，这些都必须总体考虑， 即速度场与温度场联合求解。 ( 2 ) 在上述研究基础上，对轧制过程的温度、轧制力能参数和冶金学性质进行一体 化的综合模拟，实现材质预报。 ( 3 ) 为工艺、技术服务。接近成品形状的连铸技术及其连续加工，是钢材生产的重 要技术，为使这种加工过程技术逐渐走向成熟，需要利用三维数值解析方法对半凝固状 态加工、液芯轧制过程开展大量的理论研究工作。 ( 4 ) 处理并解决c a d 、c a m 、c a e 、专家系统等计算机辅助工具及人工智能应用 于轧钢生产过程的控制和管理工作中遇到的轧制理论方面的新问题。 ( 5 ) 开发出考虑因素多、经济而又精度高的通用型解析方法及其程序。在当前技术 飞速发展的情况下，需要研究出短时间进行多种数值实验的解析技术，并有效利用它们。 1 2 轧制理论中的数值方法概述 轧制过程是一个非常复杂的系统，其主要研究内容包括轧件3 维变形理论、轧辊变 形理论、温度场计算理论及耦合计算理论等。这些轧制问题的理论研究是伴随着轧制技 术的发展出现的，在不同的时期对轧制技术的发展有着不同的意义，从而促进了轧制技 术的快速发展。 2 - 东北大学硕士学位论文 笫l 章绪论 1 2 1 轧制问题的3 维变形理论 求解轧制问题的数值方法很多，最早的是初等解析法，后来出现了滑移线法、能量 法、弹塑性有限元法以及应用广泛的刚塑性有限元法。它们是伴随着生产的需要先后出 现的，从而促进了轧制理论的发展。 早期，人们就用初等解析法对轧制问题进行了多方面的研究，其中包括带宽展的平 辊轧制问题、不对称轧制过程、轧板时的3 维压力分布等问题。一般它能够定性分析金 属流动规律和轧制力分布规律，但其计算精度还有待进一步的提高。 滑移线法是上世纪2 0 年代出现的，它是数学、力学、几何学等巧妙的结合，人们 用它研究了厚件和薄件问题以及异径不对称轧制等问题。但它只能处理平面变形和轴对 称问题，不能求解宽展、前滑等变形参数，也无法求解温度和材料性质等参量的不均匀 分布问题。 能量法就是根据变分原理对塑性问题中的能量泛函求变分并置零，得到以待定参数 为变量的方程组，从中解出全部待定参数，得到满足变分原理的速度场或位移场。它被 用来研究了轧制过程中的多种轧制问题，比如，带宽展的平辊轧制3 变形问题、复杂断 面型钢轧制过程等多种金属成形过程。但其不能直接得出静水压力，所以不能直接得出 应力分布。此外，能量法也无法处理温度、变形抗力等不均匀分布问题。 弹塑性有限元法是在结构分析中弹性有限元法基础上发展起来的。它利用刚度概念 和屈服条件来求解弹塑性问题，并成功地应用于求解锻压、挤压、拉拔和轧制等各种塑 性加工问题。弹塑性有限元法可以求出塑性区的扩展、轧件的弹性恢复、应变应力分布 等问题，特别是轧后的残余应力，这些优点是其它方法无法比拟的。但由于其计算中要 把应力、应变、位移增量迭加到前一迭代步中，存在累积误差，细化单元又会增加计算 机的负担，减小计算速度和时间，这就是弹塑性有限元法不如刚塑性有限元法在求解轧 制问题时应用广泛的原因。 在轧制过程中，既有弹性变形，又有塑性变形。但弹性变形所占总变形量的比例很 小，一般不超过总变形量的5 。实践经验表明，如果忽略这部分弹性变形的影响，采 用刚塑性材料模型求解，会使求解过程大为简化，并且得出的结果一般都能达到令人满 意的精度。 用有限元分析金属成形过程中，采用刚塑性材料模型的方法就是刚塑性有限元法 ( 硒g i d - p l a s t i cf i n j t ee l e m e n tm 劬o d ) 。 3 一 第l 章绪论东北大学硕士学位论文 自从刚塑性有限元法应用于轧制过程以来，己成为应用最为广泛的有限元方法之 一，目前已经成功应用于求解各类轧制问题。在板材轧制中，比如，平辊轧制的稳定变 形和非稳定变形、带宽展轧板、带凸度板的轧制及非对称轧制等问题，应用刚塑性有限 元法都已很好地解决这些问题。 刚塑性有限元法在轧制领域的应用是广泛的。随着对刚塑性有限元法的收敛性、收 敛速度及误差估计理论问题研究的日渐完善，使刚塑性有限元理论的发展得到进一步完 善，从而它的应用性也将会更加广泛。 为求解应力并处理体积不可压缩条件对运动许可速度场的限制，人们先后提出几种 不同的处理方法，典型的有l a g m g e 乘数法、罚函数法和体积可压缩法。目前，应用最 多的是体积可压缩法和l a g r a n g e 乘数法，一般在用非线性有限元软件进行数值模拟时， 应用l a g r a n g e 乘数法的较多，应用有限元法自行编制程序模拟计算时，多采用刚塑性有 限元法，尤其是刚塑性有限元法与现代轧制技术的结合，为现代轧制技术提供了可靠的 理论依据。 1 2 2 轧制过程温度场的数值计算 轧制过程的传热现象是一个很复杂的问题，除了有热量交换，还有很多干扰因素和 塑性功转化的热，要用解析法求解轧件温度是很困难的。一般采用数值方法求解轧件温 度场，主要是有限差分法和有限元法。 轧制问题的温度场求解最早采用的数值方法是有限差分法。熊野征晴8 】采用有限差 分法计算了厚板轧制过程中的钢板温度，并根据计算结果制成了可以进行在线计算的简 易温度模型。 k e i n pip 【9 1 利用有限差分法对棒线材过程的温度场进行了分析，并考虑了材质对温 度的影响。 有限差分法虽然有简单、方便等优点，但由于采用直交网格划分，使边界变成阶梯 形，所以对复杂边晃形状的问题，一般不能很好地进行处理边界。因此，在轧制过程温 度场的求解中多采用有限元法。 用有限元法计算温度场时，一般假设节点间的温度呈线性分布，根据m t z 有限元法 或g a l e r k i n 方法【1 0 l 推导出节点温度线性方程组，从而求解节点温度的值。 小森和武f l l 】利用g 2 l l e r k i n 加权余量法求解了热轧型材定常变形时纵横断面上的温 度；刘相华等【1 2 ，1 3 1 利用有限元法求解了h 型钢、窗框钢温度场；孙卫华等求解了热轧 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 带钢横断面温度分布。 随着计算机科学技术的发展，各种大型非线性有限元软件开始应用于轧制过程的模 拟计算，对各种轧制的待轧、轧制过程的温度场进行了模拟分析。兰勇军等【i5 】用有限元 软件数值模拟了带钢热轧过程中温度演变；李传瑞等【l6 】用有限元软件进行了热力耦合 c s p 连轧过程温度场的有限元分析。 轧制过程温度场的有限元解析，主要有两种方法：种是带对流项的热传导方程； 一种是非稳态的热传导方程。对于非稳态热传导方程，温度关于时间梯度的处理对求解 温度场很重要，尤其是轧制过程变形区温度场的求解，一般是采取细化轧制方向的单元， 并可用逐列咬入法进行更好的处理。再就是塑性功转化的热对温度场的影响，由于很难 找到它们之间的解析表达式，一般都是采用给定塑性功转化比例的方法。 1 2 3 轧制过程耦合数值计算 在板材热轧过程中，由于板材热轧过程实质上是三维大变形热弹塑性问题，变形过 程中塑性功转化为热，从而在变形体内产生较大的温度梯度，而温度、应变、应变率和 流动应力相互影响，并进一步影响到变形后金属的微观组织及其力学性能。从这个角度 讲，热轧过程是高度非线性的热力耦合问题。 轧制过程中有多种耦合关系，其中以轧件与轧辊的变形耦合关系和轧件速度场与温 度场的耦合关系起主要作用。 在轧制过程的耦合计算中，轧件速度场和温度场的耦合计算是研究的一个重要内 容。由于有限元法在轧件速度场和温度场的计算中显示的优越性，将轧件速度场和温度 场有限元计算结合是耦合计算的广泛应用方法。 山田健二等和森谦一郎掣1 8 】利用可压缩材料刚塑性有限元计算轧件变形，利用 g a l e 越n 有限元计算轧件温度场，求解了2 维平板轧制问题。 吕程1 9 1 和熊尚武【2 0 】利用有限元法分别耦合计算了板带热轧和板坯立轧时轧件的速 度场和温度场；姜正义也用此方法求解了纵筋板轧制问题：b o n t c h e v an 等【2 2 1 在有限 元分析的基础上实现了热塑性变形和显微演变的耦合。 在大型非线性有限元软件广泛应用于轧制问题的情况下，随着二次技术的开发和轧 制产品的需要，应用有限元软件进行热力耦合分析成了重要研究内容。周维海等【2 3 】进行 了板带热轧过程中温度场的三维热力耦合有限元模拟；韩斌等【2 4 】做了热轧板带钢冷却 过程中热力耦合计算及变形分析；藏新良【2 5 1 ，李学通【2 6 j ，w e m l e i m e rtb 【2 7 】等都分别应 5 第l 章绪论 用有限元软件研究过耦合分析。 由于三维变形的复杂性和计算条件的限制，目前工程上进行2 居多，3 维有限元耦合分析将成为一个重要的发展方向。 1 3 本文的主要研究工作 目前，采用有限元法对三维热轧问题进行求解仍处于探索阶段 形接触情况复杂，网格划分技术要求高，计算存储量大。随着计算 轧制计算已开始成为重要的研究方向，解决了传统轧制理论中许多 中一个重要研究内容就是轧件速度场与温度场的耦合分析。当前，应用非线性有限元软 件进行耦合数值模拟计算的居多，其中在参数设计时一般都简化了轧制过程的条件，比 如，轧件速度场和温度场的同时相互影响简化为先后相互修正，特别是对温度关于时间 梯度的近似处理误差大，这必然影响数值计算结果的精度。本文从更逼近真实轧制条件 和3 维有限元的角度，对轧件速度场与温度场的耦合进行模拟计算。具体工作如下： ( 1 ) 3 维和2 维求解问题的本质区别就是宽展问题。计算宽展的经验公式很多，但 在3 维轧制过程必须知道自由面的轮廓线方能更好地提高求解精度。本文将采用沿流线 积分法计算每个节点的宽展，通过迭加得到轧件轧后宽展，并用以节点宽展为插值点的 线性插值来描述侧自由面的轮廓线。 ( 2 ) 从预测真实的轧件轧后温度角度，研究三维温度场的求解对自由面边界条件分 别按线性化和非线性进行求解，从而可得辐射放热系数在求解温度场中的影响情况。分 析非稳态热传导方程中的温度关于时间梯度的近似处理对求解温度的影响，细化轧制方 向单元和分列咬入法可使对梯度的差分更加逼近真实梯度。 ( 3 ) 从解方程组的角度联立两个非线性方程组，应用解非线性方程组的n e 叭o n 迭 代法进行求解。在程序中，为使方程组和未知数序列( 一个节点4 个未知数) 的排列顺 序一致以便形成方程组的通式形式，对方程组的组合顺序进行调整，使速度方程组、温 度方程组由顺序排序变为速度方程、温度方程相间排序。 ( 4 ) 在n e 吼o n 迭代法中，非线性方程组的j a c o b i 矩阵是带状不对称的，其不对称性 使计算量增加，从减少计算量出发，采用三u 分解法求解j a c o b i 矩阵的线性方程组。为 验证部分选主元的u 分解法在求解大型带状不对称线性方程组时的稳定性，采用有一 定稳定性的舛分解法进行对比分析。 6 东北大学硕士学位论文第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 2 1 刚塑性可压缩材料 刚塑性可压缩材料也称为微可压缩材料( s l i g h t l yc o m p r e s s i b l em a t e r i a l ) ，它首先是 大矢根守哉等【2 8 】提出的。由于利用这种材料模型能够直接从变形速度场中求出应力，所 以在用刚塑性有限元法求解轧制问题中得到了广泛应用。 刚塑性可压缩材料在屈服条件中假设屈服与静水压力有关，即屈服条件不仅取决于 偏差应力二次不变量以，也取决于应力一次不变量以。表达式为： 苫= 弦川 l ， 以= 吒+ 仃。+ 吒= 3 ， 以= 丢【( q 一哆) 2 + ( q 一吒) 2 + ( 吒一吒) 2 + 6 ( 弓+ + ) 】， 这里g 为可压缩参数。g 值越小，屈服条件越接近m i s e s 屈服条件，材料的体积变形越 小，这可从体积变形速度叠矿的表达式看出，即下式： 孛 s r2 = o m g 从上式可见，材料的体积变形速度亡矿与可压缩参数g 和静水压力盯。有关，当静水压力 盯朋一定时，g 越小，体积变形速度营矿越小，当g = o 时，如= o ，此时刚塑性可压缩材 料的屈服条件就退化为m i s e s 屈服条件，应力一变形速度的关系也就退化为l e v y m i s e s 流动法则。 由上可见，传统的刚塑性不可压缩材料可作为刚塑性可压缩材料在g = 0 时的特殊 情况，从而也可看到刚塑性可压缩材料的普遍性。 实际的金属成形过程中，体积是近似不变的。在刚塑性可压缩材料中，材料的体积 是发生变化的，如上所述，体积变形速度乱和可压缩参数g 有关。根据下式 唧= f ( 9 + g ) 一 g ， 可计算出在不同的等效变形程度万之下g 对体积变形程度的影响。一般在1 0 一3 0 的等 效变形程度之下，g 值在0 0 l - o 0 0 0 1 之间时，材料的体积变化不超过0 1 ，可看作近 笫 似 g 2 体 其 以 又有 将式( 2 1 ) 、式( 2 2 ) 相减得到 吒 r 江 = 厅享， 万( 享。一享) 吒) r ( 一 岛 ) 利用变形速度与位移速度关系式和求导公式可得 两边积分得 o 4 宅q = o t j = 如p 3 、j o 口、一i ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) m 屯d y = m ( _ ) 。一m 。v d y ( 2 4 ) 根据力平衡微分方程= 0 ，又由骶e n 公式有 - 8 - 东北大学硕士学位论文第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 m ( v d 矿= j j l 一，仃以力搬， ( 2 5 ) 这里刀，为曲面的外法向单位向量。考虑已知外力的作用项，得到 弧。u 宅。d y 一蛙事y i d s = 蛙口n j p i p i d s 七溉a ，t d s ， q q 再代入外力和速度的边界条件： 乃一磊= 0 ( 在昂上) ， v 。= e ( 在品上) ，( 2 7 ) 可得 m 岛一皿磊v 勰= 几气_ 可峦， ( 2 8 ) 式中厄和瓦分别为边界上已知的外力和速度。同样可以推导出 1 1 0 。亡j d y l l s p p d s = l k ，仃。玎只d s q 对式( 2 3 ) 积分并整理得 m 菇d y m 菇m 厅勃y m 乞d y ， 把式( 2 8 ) 、式( 2 9 ) 代入上式得 m 菇d 矿一，历搬m 于动y j j i ，历v f 搬， ( 2 1 0 ) 上式左侧为运动许可速度场的总能耗率，右侧为真实速度场的总能耗率。令 爷= 孓方言d v l k p y p s ， 则以上证明了以下刚塑性可压缩材料的变分原理：在满足刚塑性可压缩材料的屈服条 件、位移速度与变形速度关系式 叠= 寺( q + ，f ) 和速度边界条件式( 2 7 ) 的一切运动许可速度场中，使总能耗泛函矽取最小值的速度场为 真实速度场。 2 3 刚塑性有限元的求解途径 前述的变分原理指出了一条塑性加工问题的求解途径，即在运动许可速度场中找出 满足泛函驻值或最小值条件的速度场就是真解。利用刚塑性有限元法求解塑性加工问 题，其基本思想是根据有限元中化整为零的思想。若单元的尺寸足够小、数目足够多， o 将式( 2 1 1 ) 对所研究变形区域的全部单元求和，设单元总数为刀，得到的总能耗率泛 函为 矽= 喜统= 喜( 去m 。方d y + 瓜f ，_ 搬+ 瓜以搬) 由于每个单元的能耗率泛函都是其节点速度的函数，所以总能耗率泛函是全部节点速度 的函数，即 - 1 0 东北大学硕士学位论文第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 矽= 厂( v 州，y l ，：l ，耐，1 ，v 矗，1 ，d ，1 ，硝) ， 这里f 为节点的整体编号，为节点总数。 对3 维变形问题，虽然z 个节点有3 ，个速度分量，但并非全部速度分量都是未知数， 比如，在接触面上的节点须服从速度边界条件 v y = | g 母v x ， 这里矽为节点所在处的轧制特征角，因此，接触面上节点的速度分量就只有一个是未知 的。去掉已知的速度分量，未知速度分量统一用1 ，。表示，则可把总能耗泛函写成未知速 度分量e 的函数 矽= 厂( ，l ，v f ，v 。) ， 这里f 为未知数序号，m 为未知数总数。 2 3 3 总能耗率泛函的最小化 刚塑性可压缩材料的变分原理指出，使总能耗率泛函取最小值的速度场是塑性加工 中真实解，应用变分原理求泛函的驻值可得所求解。那么总能耗率泛函的驻值点是不是 唯一呢? 宋叔尼【3 0 】运用非线性泛函知识证明了总能耗率泛函极小值点的唯一性，由此就 可去掉工程上数值求解时的附加检验条件静力学条件检验。 把离散化的能耗率泛函按照多元函数求极值的方法，求变分并置零 恭= o ) ， 这里 v = ( v l ，一，1 ，。) 为未知速度向量，可得到小个关于和) 的大型非线性方程组，再运用 计算方法和最优化方法可以求出收敛范围内的速度场。在工程计算中，普遍运用的就是 改进的n e 、哟n 法，因为在较好初值的情况下，n e 眦o n 法收敛速度很快，这很符合工程 计算的实际需要。 把未知数序列( v l ，一， ，) 记为矢量y ，以表示第后个迭代步中得出的近似解，将泛 函矽= ( y ) 在y = 的领域内按t a y l o r 级数展开并取前三项 矿= 厂) q p ) = 厂( 圪) + 可( ) 一屹) + 去一咋) r v 2 厂( 心) p 一心) ， ( 2 1 2 ) 这罩 y 一圪= 屹 ( 2 1 3 ) - 1 1 第2 章刚塑性有限元法与3 维理论东北大学硕士学位论文 称之为速度修正量，可是厂( y ) 的梯度，v 2 厂是厂( y ) 的h e s s i a i l 矩阵， 夥讥，= 忙墟，川， 亿 v 2 何v ，= 老 ( f ，川幺川 亿 q p ) 是咋的二次函数，它的极值可由将其梯度置零所得到的线性方程组中求得： v q ) = v 2 厂( 屹) 屹+ 耵( ) = 0 或 v 2 ( 屹) 唯= 一w ( 屹) ， ( 2 1 6 ) 由上式求出的可使q p ) 到达极值，能耗率泛函接近其极值。由式( 2 1 3 ) ，取第七+ l 迭代步中 屹+ l = 咋+ ， ( 2 1 7 ) 新的速度场+ 将更接近一步真实解，直到经过丹次迭代之后达到收敛条件，y 一0 ， 此时y 。就是逼近解。这是n e 、舶n 迭代法求解过程。改进的n e 、m n 迭代法就是在修正 量l ，前加一个阻尼因子口，使式( 2 1 7 ) 变为 屹+ i = 屹+ 必圪， 在最优化方法里，确定口的方法很多。 2 4 板材轧制的3 维有限元及程序分析 2 4 1 板材轧制的3 维变形特点 在传统的轧制理论中，为使轧制过程的理论分析能顺利进行，把轧板过程看成平辊 轧平板，所以一些力能参数的计算公式也是以此理论推导的。虽然由此计算出的轧制力、 力矩、前滑基本符合实际情况，但随着轧制技术的发展和节约原料的需要，不断地提出 了一些实际问题，比如，轧件宽展的精确计算及影响因素分析、板形控制、横向厚差控 制和板质控制等问题，这是以理想轧制状态为基础的传统轧制理论无能为力的。 近年来，由于3 维刚塑性有限元法在板材轧制3 维变形研究领域的应用，特别对轧 件的变形过程、温度变化、组织结构的演变进行综合模拟，这些问题已逐步得到解决。 东北大学硕士学位论文 第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 因为这些问题涉及到轧板中的横向金属流动、辊型曲线、板凸度以及变形区内速度和温 度的分布，而3 维刚塑性有限元法都可以很好地处理这些问题。 2 4 2 板材轧制3 维有限元分析的基本问题 一般板材轧制时的变形区都是很规则的，所以关于有限元网格的自动生成和节点坐 标的计算都是很容易的。下面主要阐述两个最基本问题速度边界条件和宽展。 1 ) 速度边界条件 r a 图2 1 边界面伺图 f i g 2 1s k e t c ho f b o u n d a l 叮f a c e ( 1 ) 在轧件与轧辊的接触表面脚上，v = o ，这里代表接触表面劂的 法线方向。 ( 2 ) 在轧件的左右对称面彳_ 肋上，1 ，= 0 ，即有对称性条件，金属在该面上没有 左右流动。 ( 3 ) 在轧件的上下对称面彳b c 仞上，1 ，：= 0 ，即有对称性条件，金属在该面上没 有上下流动。 ( 4 ) 在后外端界面么7 彳肋上，认为面上各点的水平速度相同，且速度的横向分量和 垂直分量为零，即 叱= ，( 未知常数) q = 0 ，屹= 0 ( 5 ) 在前外端界面d 仞c c 上，与( 4 ) 情况类似，一般情况下可取边界条件如下： 叱= 吃l ，( 未知常数) b = o ，屹= 0 ( 6 ) 在侧自由表面b 留c c 上，是自由流动表面，但在稳定轧制过程中，合速度的方 - 13 - 第2 章刚塑性有限元法与3 维理论东北大学硕士学位论文 向应与轧件表面的方向相切，即v = o ，这里为侧自由表面召b c c 的法线方向。 ( 7 ) 在后外端上表面彳b 舒上，该表面也是外力为零表面，即1 ，：= o 。 ( 8 ) 在前外端上表面删上，与( 7 ) 类似，即v ：= o 。 2 ) 宽展及侧边轮廓线的计算 在3 维轧制理论里需要解决的一个重要问题就是宽展，这也是三维轧制理论和传统 轧制理论的本质区别。理论上，每个轧制过程的自由表面都有一个轮廓线厂( x ) ，但每个 轧制过程不尽相同，轮廓线也会不同，所以没有统一的轮廓函数。能够计算宽展的经验 公式很多，但能很好地描述整个变形区宽展变化的方法却很少。于是针对这个特点，人 们开始研究适合计算每个轧制过程的轮廓线的方法，即随着轧制条件的变化，轮廓线也 作相应的变化，比如，用抛物线来近似代替轮廓线；用速度矢量向边界面上法线投影3 1 j 来计算每个节点的宽展。但这些方法要么计算精度不高，要么计算过程烦琐，其实用性 不是很好。理论上，在平辊轧制条件下，轧件的宽展可由宽度方向速度场沿流线积分得 到；若想进一步描述轮廓线，则可采取逐步积分的方法。刘相华在文献 2 9 】中给出了逐 步积分法近似计算每个单元宽展和轧件轧后宽展的公式，并应用其进行了数值实验。 从轧件入口侧开始，首先各个节点向前运动一个单元长度，计算出所需时间垃；， 再通过积分计算出各节点在宽度方向运动的距离的，逐个单元递推直到轧件出口处， 则可得轧后宽展。以第z 节点为例，设第f 节点的y 方向坐标为岛，其从时刻到0 。时刻 运动到f + 1 ，如图2 2 所示。 fl f x 产r | ji m f； 包 图2 2 沿流线积分计算宽展 f i g 2 2c o m p u t i n go fs p r e a db yi n t e g r 乏“a l o n gt h ef l o 、v nl i n e 为计算的方便，这里积分采用插值近似替代，其具体公式如下： - 1 4 东北大学硕士学位论文第2 章刚塑性有限元法与3 维理论 6 i = 包一。+ 6 f ， ( 2 。1 8 ) 其中 6 j = 卜y 衍 = 卜y v x d 1 = 瓦瓦越， ( 2 1 9 ) 这里吒、吒分别表示从f 节点到f + 1 节点之间工方向和y 方向上的平均节点速度。按线 性单元的速度插值关系有： 吒= 圭( v 毛+ v “) 和瓦= 圭( + 飞“) 故宽展为 一p5 2 莩骁噼 ( 2 2 。) 在初设速度场条件下，根据式( 2 1 8 ) 就可初步计算出变形区侧自由面节点的坐标， 并以其为插值点进行线性插值可得近似的轮廓函数。