（基础数学专业论文）两类退化椭圆不等方程弱解的不存在性.pdf

摘要 本文 研究了h e i s e n b e r g 群 上相 应于p -s u b - l a p l a c e 算子 f f .p 的不等方程和 由 广义b a o u e n d i- g r u s h in向 量场构成的退化椭圆岛。 不等方程非平凡弱解的 不存在性. 在第一章， 我们 通过改进欧氏空间上容许函数方法， 研究了h e is e n b e r g 群 上p -s u b - l a p l a c e 算子 h ， 所 对 应 的 不 等 方 程以 及抛 物 型 不 等 方程非 平 凡 弱 解 的不存在性. 在第二章， 我们 建立了对应于广义 b a o u e n d i- g r u s h i n向 量场的极坐标变 换， 并计算了 拟 球的 体积和面积; 研究了 相 应于 广义b a o u e n d i- g r u s h i n 向 量 场 的， 一次退化椭圆不等方程. 关键词: h e is e n b e r g 群， 广义b a o u e n d i- g r u s h i n 向 量场，p - s u b - l a p l a c e 算 子，弱解，不存在性，不等方程， ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , w e d is c u s s s o me n o n e x i s t e n c e s r e l a t e d t o ps u b - l a p l a c i a n i n e q u a l - i t i e s o n t h e h e i s e n b e r g g r o u p a n d pd e g e n e r a t e s u b - e l l i p t i c i n e q u a l i t i e s c o n s t r u c t e d b y g e n e r a l i z e d b a o u e n d i - g r u s h i n v e c t o r fi e l d s i n c h a p t e r 1 , w e o b t a i n s o m e n o n e x i s t e n c e r e s u l t s f o r w e a k s o l u t i o n s o f i r s u b - l a p l a c i a n i n e q u a l i t i e s a n d r e l a t e d p a r a b o l i c i n e q u a l i t ie s o n t h e h e i s e n b e r g g r o u p . i n c h a p t e r 2 , w e e s t a b l i s h p o l a r c o o r d i n a t e s r e l a t e d t o g e n e r a l i z e d b a o u e n d i - g r u s h i n v e c t o r fi e l d s a n d s o m e n o n e x i s t e n c e s f o r w e a k s o l u t i o n s o f p d e g e n e r a t e s u b - e l l i p t i c i n e q u a l i t ie s . ke y w o r d s : h e is e n b e r g g r o u p , g e n e r a l i z e d b a o u e n d i - g r u s h i n v e c t o r fi e l d , p s u b - l a p l a c i a n , pd e g e n e r a t e s u b - e l l i p t i c i n e q u a l i t y , w e a k s o l u t i o n , n o n e x i s t e n c e i v 引言 1 9 6 7 年以来， 由于h 6 r m a n d e : 的经典文章 h y p o e l l i p t ic s e c o n d o r d e r d i ff e r - e n t i a l e q u a t i o n s 1 8 的 发 表， 使得由 非 交换向 量 场构成的 线 性及拟线 性偏微 分方程的研究受到国际数学界的广泛关注，并得到了迅猛的发展.自2 0 世纪 7 0 年代中 期始， 以s t e i n 和f o l l a n d 的著名文章8 为标志， 对偏微分方程的 研 究进入了一个以幂零李群上的平移不变的l p d o为主要研究对象的新阶段， 在分层幂零l i e 群中， 一类重要的非交换二步群是h e is e n b e r g 群.h e is e n b e r g 群 h . 上的向量场 a_ a_ ，a_ a ai = 花 犷 一 +4i r-, , y i = 二 一 一l x i n吸 e = 1 , 2 ， 一 ， n , 口 x i口 职口 y i a p 记 v h=( x i ,， x n , y， 一 ， y) 是相应于h e is e n b e r g 群上的梯度. h e is e n b e r g 群上的s u p - l a p l a c e 算子 h定义如下: 一 艺x ; 十 y i2 . i =1 定义如下: h勺 h 粉 乙 其相应的p - s u p - l a p l a c e 算子 a h ,p 4 1 =d i v es ( i， 二 。 i p - 2 v h a ) , 其中d i v es= 兄 几 1 ( x i + y i ) 二 满 足h o r m a n d e r 有 限秩 条 件， 成为 研究h 6 r m a n d e r 型 算子及重特征偏微 分算子的 最重要的 模型 算 子.p o h o z a e v 和v e r o n 在【 1 7 中， 讨论了h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 不等方程 一 n (a u ) : 嘿 o reii r 1 引h ( 0 . 0 . 1 ) 其中a 是一个有界可测函 数， 证明了 对。 2 , 1 二 _ 0 , 。 0。 ，在h f 0 上( 0 . 0 . 2 ) u0 , 其中 h ,p , d , 妈见下文介绍. 二 葬。 ，在h o 上.( 0 .0 .3 ) 我们 将分别证明当a p , l p q ( q是齐次维数) ， 。 ， 一 1 时，( 0 -0 .2 ) 不存在非平凡弱解; 并且ap , 1 p q , m a x ( 1 , p 一1 1 _ 0 , 。 ， 在ii $ + m f ( 0 , 0 ) 上.( 0 . 0 . 4 ) “ 一 l p ,a u 464 ,o p . ._0 , u00 ,在p n + m f ( 0 , 0 ) 1 x ( 0 , + 0 o ) 上， u ( -, 0 ) = ( 0 . =叼的 我们将分别证明当 ap , 1pq ( q是齐次维数) , p 一1 q s q- p 和qsp , p 一1q 时;以及 。= p , q :5 p , ， 一1 不存在非平凡弱解;以及。 p , 1 p q , m a x 1 , p 一1 ) x ( 0 , + 0 0 ) 上 类似问题也有很多的研究: 在适当的初值条件假设下， 当 者1 、 9 o ) ， 时 ， 方 程( 1 .1 . 1 ) 和( 1 .1 .2 ) 没 有 非 零 正 解 ， 以 及方程.( 参见m it id e r i 和p o h a z a e v 文献1 4 , 1 6 ) 最近，在1 u 12 , 。 全 。 ， 。 笋 。在 ii 1 ” 上， - d i v ( ld u ip - 2 v u ) ! a ix i- 0 u 9 , 。 全 。 ， 。 0 。在 r ” 上 . m i t i d e r i 和p o h a z a e v 在 1 5 中， 利用 容许函 数法证明了 ( 1 . 1 .2 ) a 2 , 1 4 ! - 。 。 ( 或 这儿4 。 依赖于 二 ， a ( 1 . 1 .3 ) ( 1 . 1 .4 ) 1p 0 , a p , 1 ， 。 ， “ 。 :n - o - 1n - p 时 ， 方 程( 1 .1 .4 ) 没 有 非 平 凡 弱 解 ， 他们并证明了。p 的一些结果. 在h e i s e n b e r g 群 上，g a r o f a lo 和l a n c o n e l l i 在 1 0 中 讨论了 不 等方程 一 x u : , l- -i,d在 h n 上 这儿 y ( k a h n - l a p l a c e 算子) ，d 和v, 在下 一 部 分定义. 制条件下， 得到( 1 . 1 . 5 ) 的正 解不存在性. 后来， 在4 1 中， ( 1 .1 .5 ) 他们在对。 有一些限 b i r i n d e l l i ，c a p u z z o ， d o l c e t t a 和c u t r i 在很少限制的假定下， 证明了 对 时，( 1 . 1 .5 ) 不存 在非 平凡 正 解. 1 a 2 和1 x ( 0 , + 0 0 ) 上 类似问题也有很多的研究: 在适当的初值条件假设下， 当 者1 、 9 o ) ， 时 ， 方 程( 1 .1 . 1 ) 和( 1 .1 .2 ) 没 有 非 零 正 解 ， 以 及方程.( 参见m it id e r i 和p o h a z a e v 文献1 4 , 1 6 ) 最近，在1 u 12 , 。 全 。 ， 。 笋 。在 ii 1 ” 上， - d i v ( ld u ip - 2 v u ) ! a ix i- 0 u 9 , 。 全 。 ， 。 0 。在 r ” 上 . m i t i d e r i 和p o h a z a e v 在 1 5 中， 利用 容许函 数法证明了 ( 1 . 1 .2 ) a 2 , 1 4 ! - 。 。 ( 或 这儿4 。 依赖于 二 ， a ( 1 . 1 .3 ) ( 1 . 1 .4 ) 1p 0 , a p , 1 ， 。 ， “ 。 :n - o - 1n - p 时 ， 方 程( 1 .1 .4 ) 没 有 非 平 凡 弱 解 ， 他们并证明了。p 的一些结果. 在h e i s e n b e r g 群 上，g a r o f a lo 和l a n c o n e l l i 在 1 0 中 讨论了 不 等方程 一 x u : , l- -i,d在 h n 上 这儿 y ( k a h n - l a p l a c e 算子) ，d 和v, 在下 一 部 分定义. 制条件下， 得到( 1 . 1 . 5 ) 的正 解不存在性. 后来， 在4 1 中， ( 1 .1 .5 ) 他们在对。 有一些限 b i r i n d e l l i ，c a p u z z o ， d o l c e t t a 和c u t r i 在很少限制的假定下， 证明了 对 时，( 1 . 1 .5 ) 不存 在非 平凡 正 解. 1 a 2 和1 q 。 。 = 1 + 豁 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 p o h o z a e v 和v e r o n 在 1 7 中 ， 讨论了 不等 方程 一 二 (a u ) : 缪 在 h 上 a- ( 1 . 1 . 6 ) 其中a 是一个有界可测函 数， 且对。 没有任何假设. 他们证明了对。 2 , 1 他们 证明 了。 1 u 1 9 “ 一 示 a h (a u ) lu lq 在h o , 在h0 x ( 0 , + o o ) 上， u ( - , 0 ) =、 。 ， ( 1 . 1 . 9 ) ( 1 . 1 . 1 0 ) 一d2 o h+g(二 ， 全 ， ，“ 在h 0 x ( 0 , + o o ) 上， u ( , 0 ) =u 0 , u t ( , 0 ) =。 ， ( 1 . 1 . 1 1 ) 他们没有假定解的非负性条件下， 证明了( 1 . 1 .9 ) ，( 1 . 1 . 1 0 ) 和( 1 .1 . 1 1 ) 不存在 非平凡弱解的结果. 我们研究相应于h e i s e n b h ,p u u q , h ,p u u 9 , u e r g 群上的p - s u b - l a p l a c i a n 0 , 。 0。 ，在h o 1 上， 、_ 0 , 、祥0 , u ( # , 0 ) =u o w, 不等方程: ( 1 . 1 . 1 2 ) 在h 0 1 x ( 0 , + c o ) 上， ( 1 . 1 . 1 3 ) 其中 x ,p , o p 见 下 文 介绍. 我们 分 别 证明 当。 p , i p q ( q 是齐次维 数) ， 。 。 : ， 一 1 ap一 ; 一 1 时 .( 1 .1 .1 2 ) 不 存 在 非 平 凡 弱 解 ; 以 及 当。 p , 1 ， q , m a x 1 , ， 一 1 1 。 三 ， 一 1 + 样 时 ，( 1 .1 .1 3 ) 不 存 在 非 平 凡 弱 解. 本章的组织如下: 第二节， 我们将介绍一些h e i s e n b e r g 群的基本性质. 第 三节， 证明。 p 的 情形下，( 1 . 1 . 1 2 ) 非平凡弱解的不存在性. 第四节， 证明 o = p , 1 q p 的 情形下，( 1 .1 . 1 2 ) 非平凡弱解的不存在性. 第五节， 我们延 伸我们的结论到抛物型不等方程， 即证明。 p , 1 p q的情形下， 研究不 等方程( 1 . 1 . 1 3 ) 弱解的不存在性. 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 互 1 . 2 记号和预备知识 在这一节， 我们将介绍一些h e i s e n b e r g 群的 有关知识. 读者可以 参见!8 , 1 0 以及其里面的文献. 令七 =( z , 0 ) =( x , y , (k ) =( 二 ， , x 2 ， x n , y l , e y . , 0 ) , : 二( x , y ) ， 二 e r n , y r n , e lib ， 二 )l . h e is e n b e r g 群h n 是赋予如下群法则的 r 2 n + ， 集合 # o = ( ; + i , y + 乡 ， 毋 + + 2 又 (s iy i 一 x iy i ) 在 h ” 上定义的距离为: d ( ) 一 ( (x ; + y 2 ) 2 + o 2 ) 4 一 ( z i4 + o 2 ) 整 章 中 我 们 记: 一 ( e 袅 i ( x e + y 2 ) ) 定义h e i s e n b e r g 群上的向量场 二 一 具+ 2 y ; 具 ， : 一 其一 2 x i具 . (、 一 1 , 2 ， 二 ，。 ) v xi u p o y i 0切 其梯度表示为是v h =( x i , , x n , y, , y) . h e i s e n b e r g 群上的s u p - l a p l a c e 算子 h定义如下: 气而 透 其相应的p - s u p - l a p l a c e 算子 一 艺 x 2 + y 2 . i =1 定义如下: o h ,p u = d i v ( b io h u p - 2 v h u ) = d i v h ( o h u ip - 2 v h u ) , 其中d i v h =艺-_ i a + y ) , b -2 x 计算可得 坑2y， 2了，.几、 vh d lz l x + y t iz i2 ， 一 x t iv h d h 一 iz ipd r 一 、 1谕 在h “ 上的自 然伸缩: 的1 一 维齐次伸缩: x : ( h ) = 的2 一 阶齐次维伸缩: a h ( 6 a ) 5 a ( 6= a ha ) . ( 厄沐 岁 ， 护 润 . 不难检验x ; , y是关于6 a y ( j a ) =a j a ( y ) . 因此，o h是关于6 a 二尸 么 ( 如) .h “ 上的齐次维数为q= 2 。 十 2 . 3 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 以原点为心， 半径为r的开球记为b h ( 0 , r ) = e h n id ( ) r . 函数。 : qch - , 1r 称为是圆 柱对称的， 如果u ( 0 = u ( i川 , 4 ) ( 二 只依赖于 : 和哟. 特别地， 如果。 ( ) = u ( d ) ， 即。 只 依赖于d ， 那么称二 是径向的. 设。 l 2 ( 卿. 如果。 是径向 的， 则容易 验证 ia h u l2 = v) !二 12 .( 1 . 2 . 1 ) h u= 、 ( 一 + q 1 ,d ， o h ,，一、 一 ，一 ( (， 一 1)一 + q d i u ) ，(1.2.2) iv h 邓 =,0 , iv h d ip =哪. 下面我们引 入文献15 中的 变量变换. 设sz =b ( 0 , r 2 ) b h ( 0 , r 1 ) 的函数.我们引入变量变换 石 0 r 1 r 2 + 0 o ，。 e l 1 ( sl ) 是圆柱对称 =( x , y , 0 ) 二 ( p , 0 , 0 1 , ， 0 2 n - 1 ) ，定义为 !一 y1 = p1s111仁 ” 一 “ 一h ll , “ ” 一 p18111记 l 0 =p c o s b c o s 0 1 , s i n 0 1 c o s 0 2 , ( 1 . 2 . 3 ) s i n b e n - 2 c o s 0 2 n _ 1 , s i n 0 2 -1 . 其 中r 1 p r 2 , 0 e ( 0 ， 二 ) ， 0 i ( 0 ， 二 ) ,0 2 . - 1 , e ( 0 , 2 7r ) . 记j ( .d ) 是。 的 雅 可比 矩阵，易得 d e t j ( -d ) =p 2 n + 1 s i n n - 1 0 s i n 2 -2 b 、 二s i n 0 2 二 一 2 - 因此 其中 单位 f, - 一 ，“ 一i, db 广 pe - 1(sin b)一(p2 sin b, p2 cos b) dp , (1.2.4) w= f o d 9 1 f o d 0 2 f o d b 2 _ 2 f 02 d 8 2 _ 1 s in 2 - 2 0 1 . . . s in 9 2n - 2 ， 是r 2n 上 e u c l i d 球的2 n - l e b e s g u e 测度. 如 果。 (0= l p v ( d ) ， 那么 j o p v (dn ) 一 ， ft j r i p l - lv (p )d p , ( 1 . 2 . 5 ) 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 其 中s 。 一 rz f o ( s in 0 ) ” 一 + a d b . 用 表 示r 2 n + 上 的 设l e b e s g u e 测 度 . 用端( x ) 记g 2 ( q ) 中 具紧 支集的函 数构成的集 合. 在后文中 我们 将用到 满足以下性质的函数 x0 0 任 c 02 ( r + ) : 0 1 . 当我们说这些量有限时， 意味着可以选择一个合适的p o ， 它具有性 质( 1 .2 s ) ， 且使得上边的 积分有限( 关于这一点的 更进一步细节， 参见 【 1 4 和 1 5 ) . 满足上面假设的函 数x0 0 称为容许函数. 1 . 3 o, 0 , 。 0。 ，在 h 0 0 上，( 1 .3 . 1 ) 非 平 凡弱 解的 不 存 在 性， 其中p 1 , 4 。 首先， 设/3 。 ， 称。 是 1 .3 . 1 ) 的 弱 解 ， 如 果二 。 l 几 c ( h 0 ) , + p 哪。 l 饭 ( h o ) , iv h u ip u )3 - e l 板 ( o ) ， 且 对 任 意 的 非负 函 数x ( ) e c o ( h 0 ) 均有 d o o px ( ) d “无 。 io h u ip- 2(o h u , o h x (c) “ ( 1 . 3 .2 ) 定理 1 . 3 . 1 . 设 op , 1 p q ， 若下面条件之一成立: ( 0一o ) ( v一1 ) 卜 ( i ) p一1q -一， 一 二 ， k 心 一 p ( i i ) 0 三4 三p 一1 , 那么 1 . 3 . 1 ) 没有柞 平凡弱解. 证明:我们先证明 ( i ) 成立. 设 。 是 ( 1 .3 . 1 ) 的一个非平凡弱解， 沪eo 印 ( h 1 0 ) ) ，o 。 为一 个容许函 数， 后面我们 将 具体选定w ， 以 便推出 矛 盾. 在( 1 .3 周式中 令双 的= 俨试 在后文中 除了 特 别指出 外， 积分 都是在区 域 h ” 上) ， 我们有 j w d l p , p d j iv h u jr - z (v h u , v h (u i 0 )d 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 其 中s 。 一 rz f o ( s in 0 ) ” 一 + a d b . 用 表 示r 2 n + 上 的 设l e b e s g u e 测 度 . 用端( x ) 记g 2 ( q ) 中 具紧 支集的函 数构成的集 合. 在后文中 我们 将用到 满足以下性质的函数 x0 0 任 c 02 ( r + ) : 0 1 . 当我们说这些量有限时， 意味着可以选择一个合适的p o ， 它具有性 质( 1 .2 s ) ， 且使得上边的 积分有限( 关于这一点的 更进一步细节， 参见 【 1 4 和 1 5 ) . 满足上面假设的函 数x0 0 称为容许函数. 1 . 3 o, 0 , 。 0。 ，在 h 0 0 上，( 1 .3 . 1 ) 非 平 凡弱 解的 不 存 在 性， 其中p 1 , 4 。 首先， 设/3 。 ， 称。 是 1 .3 . 1 ) 的 弱 解 ， 如 果二 。 l 几 c ( h 0 ) , + p 哪。 l 饭 ( h o ) , iv h u ip u )3 - e l 板 ( o ) ， 且 对 任 意 的 非负 函 数x ( ) e c o ( h 0 ) 均有 d o o px ( ) d “无 。 io h u ip- 2(o h u , o h x (c) “ ( 1 . 3 .2 ) 定理 1 . 3 . 1 . 设 op , 1 p q ， 若下面条件之一成立: ( 0一o ) ( v一1 ) 卜 ( i ) p一1q 1 , 去 + 奇 = 对( 1 .3 .4 ) 右 端 再 用y 、 二不 等 式 i 7 h 例 ” 沪- 1 _ ! . 3+ p - 1 ( il w ) 六 io h w ip ( d 0 ) 一 1i j “ 口 / w p - 之 l ,p p i 一 p + 口 叹 厂矛 : c3 (e) i u a l ( 口 + p - 1 ) d 0、 ， 、 + 。 () i i v h w ip a i _ 1 q -1 w p 0 1 / d 0 0 - 1 i1 d f 1p p 1 ( 1 .3 . 5 ) 这里记 c 3 ( e ) = c 2 ( e ) c 3 ( e ) =1 一 e q 1 , c 4 ( e ) - 渝 我 们 选 定 2 1 一 刀 g+ a)3 + p - 1 令 ce - e p ( 1 - 1 ) p口1 o , c e = c 2 ( e ) c 4 ( e ) ， 把( 1 . 3 .5 ) 式 代入( 1 .3 .4 ) 可 得 可 u9+pd 0 op w、 十 ci (e) 1 io h u ipu-1w d : 汀 i留i pai,pa, -1 ( 黝 “气一 d. 另 一 方 面 ， 在( 1 .3 .2 ) 式 中 、 ()一 w , 并 设、 1 , 六 十 六 二 不等式 ( 1 . 3 .6 ) 利用h o l d e r j aa 0 , pw df : j id h u ip- 2(v h u , v h w ) d : .i ，、 、 一 ，二 、 _( f .， .二 。 _ ， 、 昭 f n _ e v _ n 泛口v “ “ “ .op u s 口“ 、一 尸 一 i v h w ip “ 石)沪 p - t 一 j )v h u 二 ，一 w 4 ), t j -(1-i3)(p- 1)m- w )ol ( pj da da )一 “ 七 p- 、 ) w (j jv h-jp-pd) 昭 (f u-2(1-0)(p-1)p dv5pa ) jv h w jp 健 洲 ， -l o p l / d 一 _ 、 众 i - , i叱 i w p / ( 1 . 3 . 7 ) r/j /.!、 x 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 我们选取a 2 ( 1 一 0 ) (p 一1 ) =4 +/3 . 合并( 1 .3 . 6 ) 和( 1 .3 .7 ) 我们可得 了 , v), v df tu , : ( a, mj e l,(, )-c, (r) lplle- l v i-i “一 、 ld) p (ce) =(- ) 00zce(/ io x p ip0 ( d0 ) a p0- 1 ( p ) “一 ) 002 (f 一 二 (了 io n p ipai ( d0 ,- 1 ( p )a“一 、 p-,+ =p p0z iv h w jp z 尹. 2 一 1 iv h v i- ,p p a z - 1 (t p )0“一 “， 1d#) 00z (d 0p )a“一 d) a , 8)一- 忍悦 1，廿 r健、p d 其 中 c e 一 ( c e ) 六c,) p02 . 我们先要求沪二v ( d ) . 这样，o h w=4p d v h d , iv h d ip a = 诸，、 二 1 , 2 . 于 是 我 们 利 用 坐 标 变 换( 1 .2 .5 ) 可 得 (vii 厂iv h v ipa ( d 0 ) “ 一 d 一 厂 ipd(d )v rrd jpa ( d0 ) a,- 1n, _ , d d s - p p ( ox 0犷，y p / ,i l l甲( a ) - . 一 4 p / ip d ( d ) ik ,p ( d ) p .- 1 d 0 (a;- l)d 一 ， 。 / “ 。 。 一 iw p (p ) i续 p 0 (a;- l)d ,o j d甲叱 户 ) r 一 ， 一关 一 。一;一 ，i ,p(p)ipa.p (p )p0- 1 dp 现 在， 我们 选定 p ( p ) =0 a ( r ) ， p ( 1 . 3 . 9 ) = r t . 这里w 。 是满足 ( 1 .2 . 6 ) 的容许函 数. 我们 有w p = 壳 蛇( 匀= 大 蛇( -r ) . ( 1 .3 .9 ) 可 变 为 j. . (二*，尸 舞 票 (瓮 ) “一成 一 4 2r pq -i+,(, ;一 镊 群 :dp 一。 j 2 (r r)q - i+ (.，一 ) a 0,0 (t )pa.- i w o m = s h 从r q - i + a ( a : - 1 ) - p a 卜 i = s h 从r q + a (a , - 1 ) - p a i 其 中 m ; = f, tq - 1+ v(a:- 1)黔 “ 由 ， 的 构 造 ， 可 ” 、限 并 “ ( 1 .3 . 1 0 ) r无关， 事 实 上， 我们 选 取的 容 许函 数w =w 0 ( 劲. 这 样， 在b h (0 , r ) 上 ，w 二 ， 。 ( 劲= 1 . 把( 1 .3 .1 0 ) 代 入( 1 .3 .8 ) 式 我们 可 得 i w o,r) 粼“ 一 众 (0, r) 黔 、 丛 态 、 *。 uadq gpw 一 f iv h w lp n ( d 0 l a一 ，八 p- 1p 十 pot 互.( /一一 . . -1 - (不 ， 1 a 1 j e - p p ( v h n )犷一 、 饰/ 、 _ j s u p p l v h ip )i ipa (l) a-1 “一 月 _1 一 。 (一 。 1r q + a(a“一 ，一 ) n + a (一 、 r q + o(a“一 ，一 “) _3 二 c i r y o ( 1 . 3 . 1 1 ) 西 北 工 业 大 学 硕 士 论 文 其 中 我 们 用 到e 7- 1 + -.l + p 2 pa ， 二 。 tl7 p- + 002 111 0 a , 。 、 - 一 v (p - 1 + -z + q ) 一 ， ， c ， 一 c (3 h a i 1) n + p02 (s h :112) p0 2 = a 2 q - p +1 + p 口 y o 叭 ， 、 、， ， p 一1， 1、 。 。， ， =n 一。l a i 一 i 一p a i l l 十 了 了. 十 1 w 十 c r l a 2一 1 ) 一p a 2 1 尹f2 p a s 一q + o (a l 一 1 ) 一 。 i h 1 一 1 ( 1 一 1 )1 + q + v (a z 一 : ) 一 ， p a 2 一 ，q + ; 一 ， 一 ， “， 一 q + (“ 一 ， 一 ， ;“众 + !q + o (a 2 一 ， 一 ， “ 1a z) p ai t 一 q + (a 一 ， ，“ 一 ， 一 iq + 一 ; ， “ 一q 一 一 ， )a 2 + 众 一 。 一 + (一 ， ): 一 (一 ， ) ; 一 (一 ， )a z 1 p a 2 一 。 一 + (一 p )， 、( 一 1 )p at + ; “ 11-p + = q一。 +( 0 - 一p )i p q - q + p - 1 p ( q一p+ 1 ) 一 q 一 + (。 一 p )p q - q + p - i + q - p + 1p (q - p + 1) “ q 一 + (a - p )44 - p + 1 现在， 分两种情形讨论( i ) . ( 1 ) . 若 q 0 - p ) ( p -1 ) ( q- q- p 时，y o q一。 + p -1 ) ( q - ) - ( p - 1 ) ( q - p =q一。+ -p) ( p - 1 ) ( q- a p -1 ) ( p -o =q一。 一q+a =。 ，由m1 , m2 有限，可知c 1 有限.在不等 式( 1 .3 . 1 1 ) 两端关于r取极限可得 lim i ， (; 。 u v pdr - oo h h (0, r) aoq “ 一 f ， u 4 cjo d, v)p9 _ “ 这与假设矛盾， 故。 =。 ， ( 2 ) 若， 一p - 1 q - ap 时 ， y o = a .由( 1 .3 . 1 1 ) 式可得 f u q， 几 。 d - v p r ， 去 j h h ( o , r ) =1结合( 1 .3 .2 ) 和h o t d e : 不等式我们 有 纂 “ 一 jh h (o,r ) 纂 ipw d _ 儿 h (0,2r )攀 、 ， 、 碳 。 是