（基础数学专业论文）半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨跟踪性.pdf

摘要 伪轨跟踪性概念是微分动力系统稳定性理论的重要概念之一，它存数值逼近 理论中也有广泛的应用我们讨论了如下半线性抛物型偏微分方程： u t 一“。= ，( “) ，0 0 ， “( 。，0 ) = u o ( x ) ，0 茁 1 ， 研究了满2 = u ( z ，t ) = ( s ( t ) 咖) ( 茹) 的非线性半群s ( t ) 1 9 8 1 年，d h e n r y 证明了非线 性半群s ( t ) 全局吸引子的存存性；1 9 8 8 年，c f o i m s 雨q g r s e l l 构造了该方程的惯性 流形；1 9 9 8 年，s y u p i l u g i n t l t 明ts ( t ) 存全局吸引子附j 丘具有l i p s c h i t z 伪轨跟踪 陛本文主要讨论了这类半线性抛物型偏微分方程全局吸引子的极限伪轨跟踪 性问题 本文由五个部分组成 在第一部分中，我们简单介绍了微分动力系统及本文的背景和意义 存第二部分中，我们介绍了极限伪轨跟踪性的相关概念和性质 在第三部分中，基于半线性抛物型方程全局吸引子的存存性及基本性质，我 们提出全局吸引子的极限伪轨跟踪性问题，并引入了系统惯性流形的概念 存第四部分中，我们主要讨论全局吸引子在惯性流形上某邻域内的极限伪轨 跟踪性与全局吸引子存整个空间中某邻域内的极限伪轨跟踪性的关系，从而将问 题简化为惯性流形上的极限伪轨跟踪性问题 存第五部分中，我们证明了全局吸引子存惯性流形上的某邻域内有极限伪轨 跟踪性，从而证明了全局吸引子存整个空间中的某邻域内有极限伪轨跟踪性 关键词：半线性抛物型方程；全局吸引子；极限伪轨跟踪性 a b s t r a c t s h a d o w i n gp r o p e r t yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e g e n e r a lq u a l i t a t i v et h e o r y o fd y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r yo fs h a d o w i n g p r o p e r t yw a sd e v e l o p e di n t e n s i v e l y r e c e n ty e a r sa n dh a sal o to f a p p l i c a t i o ni nt h e t h e o r yo f n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sa k i n do fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n t h ef o l l o w i n g i st h ee q u a t i o n ： u t t = ，( u ) ，0 0 ， u ( x ，0 ) = 铷( z ) ，0 。tl l z 仉$ 0 ，是h 的一个子集，如果序歹赡= 伽 ) + 一v 要c 满足f w 只 d ( m ) ，。1 ) 0 ，w 是h 的一个子集如果对f 在w 上的任意渐近6 一伪 鞔= ) 器p 中o 6 0 ，0 0 及一个有界集bc 咒，使得对所 有u o 1 3 0 ，( 4 ) 有唯一解“( ) = s c t ) u o b ，t1 5 【o ，州我们进一步假设f 令( 4 ) 整 体有界，即对任意有界集b 0c7 - 1 ，存在有界集bc7 - i 使得 s ( t ) b o c b ，t 【0 ，o 。) 4 ( 5 ) 半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨跟踪性 例如，满足条件：存在一个常数g 使得 s f ( s ) c ，8 r ( 6 ) 则局部解沿延拓到全局，因此s ( t ) 是咒上的非线性算子半群此外，若s ( f ) 伽连续 依赖于咖，则对于取定的丁 o 及任意有界集bc 存在c ( lb ) 使得 s ( t ) u s ( t ) wi 0 ，任意有界集bc7 1 ，存在t o 使 得 d i s t ( s ( o b ，a ) e ，t2r ； a 3 a 是l y a p u n o v 稳定的，即对a 的任意邻域w 。存存a 的邻域u 使得对t 【0 ，) ，7 移( t ) 【，cw 满足公式( 6 ) 的系统s ( t ) 具有全局吸引子【1 7 1 由全局吸引子4 的存在性可知， 存在有界吸引集h o ，即对任意有界集b oc 冗，存在常数t 使得 s ( o b o c ，t 陬o o ) 介绍第二个性质之前先引入以下定义 设s c t ) 的不动点p = p ( z ) 是边界值问题 p 。+ ，( p ) = 0 ，p ( o ) = p ( 1 ) = 0 ，( 8 ) 的解设s ( o 的不动点壤双曲的，p 的稳定流形定义为 h 售( p ) = 让 i t ：s ( t ) 札，p ，t _ + o o ) ， 不稳定流形定义为 v g 6 v ) = t 乱7 - ：s 0 ) “+ p ，t + 一o 。) 稳定流形和不稳定流形都是竹的光滑浸入子流形【l8 1 设p ，口为s ( t ) 的双曲不动 点，若对于点v w 爹( p ) nw ；( q ) ，切空间瓦w 孑( p ) 和咒w g ( q ) 的直和等于h ，则 称w 俘( p ) 和w ；( q ) 横截相交【l7 1 5 半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨跟踪性 性质3 2 s ( t ) 存一4 上具有m o r f ；e s m a k 结构，即 b 1 s ( 0 有有限个不动点矶，n ，r 它们都是双曲的； b 2 每个孰道趋向s ( t ) 的一个不动点，即 1 - i = u 嵋) ； 1 i b 3 吸引子a 是s ( o 的所有不动点不稳定流形的并即 4 = u 嘴( 仉) ； l o 使得d i s t ( u ，a ) d o ，而 日矿( ) 岛，n20 设i n 为一4 的d 0 一邻域日p 将其映射到n 1 上 下面将圹的渐近小伪轨极限跟踪性问题诱导为盯t 的渐近c d - 伪轨极限跟踪性 问题 任取口的渐近d - 伪轨 嘶：j 2o ) c n ，d d o 令句= u i t 7 半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨跟踪性 l i i 4 1 z 4 - c 2 = 1 + c 1 + + 凹一1 ，g = g ( 1 一p ) ，贝口 ( i ) ，笋歹；u z j ：j2o ) 是，的渐近q d 一伪轨j ( i i ) - 若d i s t ( z o ，m ) 2 d ，月! ( i ) 成立，则 d i s t ( z j ，m ) 2 c 3 d ，j2o ； 旦反s t ( ，m ) = o 证明：( i ) ，设d o 及满足扩( 嘶) 咒o ，n 0 由定义2 1 ， h。i，z(勺zj)-)-usr+ll：=jla骧(ust)-utjt)-+lld，,lira u s t + l lf f t + i ：0 ( 1 7 ) h 。a ( 勺) 一2 j 里，( 嘶t ) 一 - 2 ” 则 j 盯2 ( 刁) 一t j 2 1 + 2 i l a ( u s t + 1 ) 一珥2 i + i 盯( 盯( 嘶t ) ) 一e ( u s r + 1 ) i sd + a d 因为嘶升“a ( u j r ) 7 1 0f t 满足( 1 7 ) ，所以 i 盯3 ( 乃) 一嘶n 3j j a ( u j t + 2 ) 一r + 3 l + i 盯( 盯2 ( t b t ) ) 一a ( u j t + 2 ) i d + c l ( d + a d ) = d + c t d + 研d 以此类推， i 口r ( 勺) 一句+ i d ( 1 + q + + 凹- 1 ) = c j d ， h l i r a 。旷( z d z s + l = o 因此 刁：j o ) 是矿的渐近q 小伪轨 ( i i ) ，令b ，= d i s t ( z j ，m ) 因为6 0 2 d ，所以 + 1 d i s t ( a r ( 刁) ，乃+ 1 ) + d i s t ( a t ( ) ，a d ) d i s t ( a t ( 句) ，+ 1 ) + u d i s t ( z j ， 1 ) c j d + 吩 由( 1 1 ) ( 1 2 ) 及引理的条件知， 畦2认幻2c2d,b卅lc2删d+vbo 0 ，取j = 孝e ，则由( i ) 可知存在，当j j i v 时有击时( ，( 勺) ，毫+ 1 ) o 满足 暂1 r ( ，) p 一i r ( v ， 7 ) ， ，朋 那么由( 2 5 ) 可知，r ( + l ，( 吻) ) sk a c 9 d 又由，! 卑k d i 鲥( ， 1 ) = o 得 j 旦7 ( + 1 ，妒( 吩) ) 2 0 由此证得 吩：j o ) 是砂在m 上的一个渐近j 6 岛正伪轨 定理4 1 设存存一4 ：拖m 上的邻域m 及大于零的常数秕，使得t 吩cm ： j2 吣是牵的渐近d 一伪轨( dsd ) ，则存在一点”h i 满足 r ( ( 口) ，) sl d ，j o ； 旦( ( ) ，v a = 0 此定理将存5 1 中进行证明 1 0 半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨罪踪性 5 惯性流形上的极限伪轨跟踪性 5 1惯性流形上的极限伪轨跟踪性的证明 由口的吸引子一4 的性质3 2 得( 1 6 ) 中定义的映射1 在朋上有如下性质： b l 4 含1 的不动点7 r 1 ，7 r ，f t 都为双曲的( 记w 矗( 仉) ，w 嚣) 为它们的 稳定流形和不稳定流形) ； b 2 朋= u 嵋。) ； ( 2 6 ) 1 b 3 4 = uw 嚣( 仉) ； 1 0 ，九( 0 ，1 ) 使得 d p ( 仉) 口f k , a ? l v l ，盯曰，m 0 ， j d i ”( 仉) i s 甄凡川， 1 z 掣，m 0 取, x o ( 0 ，1 ) 和整数使得 恐母 0 ，存移0 2 0 ，使得当p ，z 扩( 砚) 月! r ( ) n 2 时 存存线性同杓n ( p ，z ) ：瓦m 一疋朋，满足 0 0 ，：) 一z l i 口l ， ( p ，z ) 【d 1 ( q ) d 矿( p ) s ( p ) 】cs ( 。) ， 及线性同构e 慨z ) ：耳朋一耳朋，满足 0 e ( p ，z ) 一i i i 0 ，及风上的投影最，仉闻最= r 风，巩= q k h k ) 使得 f l r ，i l q 0 ，最+ q k = i ， 0 凡i 鼠0 a ，a k & c 鼠+ 1 ； 1 4 半线性抛物型方程全局吸引子的极戳伪轨跟踪性 ( i i ) 存存线性映射吼：u k + 1 一上k 使得 b k u k + 1cu k ， i i b k l isa ， a b k i “+ 。= ，； ( i i i ) 存存g 费， o 使得 i t “+ 1 ( u ) 一t 魄+ 1 ( 0 ) i k 1 u u i ，i 训，1 0 lsa ，( 3 7 ) r k n ( 1 ，其中n = n ￥s 则存在常数毋，l o ( 依赖于x ，n ，) 当 i 妒isd s 矿，k 0 耽存在点锹日k 使得饥( ) = 慨+ 1 并引“i l + d 下面证明定理4 1 取0 ，令p = 讥，z = 1 ，风= m 取j c 2 ，由 r ( z ，) ) d ，( 3 8 ) 得 f 。( z ) 玩( p ) ( 3 9 ) 设存在仪依赖于的常数6 ( o b 0 ，使得i i d f ( z ) l l ，0 d - 1 0 ) 0s 2 ，z m 取n = m a x ( n l ，2 ) ( 1 由引 理5 2 给出) ，令7 = 培存在常数峋( o ，1 ) 使得a = ( 1 + 峋) 2 a 1 0 ，则可找到 v o 使得 n ( 3 n + i ) 互i 疗 因为由( 3 4 ) 可知 d = d e ；1 ( q ) d ( p ) ， 1 5 ( 4 0 ) ( 4 1 ) 半线性抛物型方程全局吸引子的极瞅伪轨跟踪性 所以存在彳，当满足( 3 8 ) 时有下列不等式成立： i d e v ( t ) 伽ls ( 1 + 扩) i 叫i ， 驯； i d e ：c q ) w f ( 1 + v ) 1 w l ，加墨m ； i d e ；c t ) w l ( 1 + p ) i t t ，i ，w t t a 4 ； f i d d ，0 ； i i r i c v ，z ) 一i i i ，i i o c p ，z ) 一川，i i e 一1 p ，z ) 一t l i b o ( 由( 3 4 ) ，( 4 1 ) ，d e = ，d e ；1 的一致连续性及引理5 2 得来) 定义a k ：风_ f k + 1 ， a = n c p ，z ) d q 8 p ) + d 0 _ 1 ( p ，z ) q “( p ) 因为对埘s ( p ) ，有= a k w = n ( p ，z ) o w s c z ) ( 参见引理5 2 ) ，所以 a k s c p ) cs ( z ) 因为由( 3 5 ) 有i d a ：( p ) 叫isa 1 i t f i ，又由( 4 3 ) 和( 4 6 ) 有 i v y i 墨( 1 + ) 2 a a w l = a l w l ， 所以 l l a l s 0s a 同理，定义b k ：u c z ) _ h k ，b k 叫= o ( p ，z ) g w ，则w u = b k w u c p ) ， 风u ( z ) cu c p ) 因为j 叫“i a i 叫| 所以 | i b k l v ( ；) 0 a 所以 a 女b k i u ( ：1 = i 设仇) = d w + p c w ) ，则存在使得 ) 一p ( 叫7 ) i ；1 w - w l ，mm j 1 6 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) 埘 | | wg = wg孑 p，i e 习p，l o ed | | u 叫 k a 为因又 半线性抛物型方程全局吸引子的极瞅伪轨跟踪性 设 妒k ( 叫) = a i , t t ，+ x c w ) ，( 5 3 ) 则x ) = ( d a k ) w + p c w ) ，x ( o ) = 饥( o ) 下面估计0 d a 0 的大小 1 l d a k l i = i i d ( q 5 ( p ) + 矿( 纠) 一a k l i si i d 矿( p ) 一n o , ，z ) d q 5 ( p ) 0 + i i d q “p ) 一d q “) 0 十0 d 7 矿( p ) 一d ，e 一1 ( p ，z ) q “( p ) 1 1 。 因为i i q 5 ( p ) l l ，i i d i i n ，而f t i i r i ( p ，z ) 一x l l ( 参见( 4 6 ) ) ，所以等号右边第一部 分小于等于n 2 同理第二部分小于等于( 参见不等式( 4 5 ) ) 因为由d 的定义 和不等式 i 得i i d 0 0 使得对满足( 5 5 ) f 勺x ，y ，p 有以下不等式成立： r ( x ，e ；( ) ) sn + i x y l ；i z e ；1 ( ) i n + r ( x ，y 7 ) 因为仇( o ) = 巧1 f f c p ) ) ，r 嬉，z ) o ( 仪依赖于和m ) 使得：当 ：k2o ) 是 的渐近d 伪轨( dsd ) 时，存在一个序 列 饥凰：k o ) 满足机( 峨) = 叫1 而日| 叫k i d 令以= 岛。( 桃) ，由机的 定义有w k + l = ( 以) ，所以序列 w k ：七2o 是的一个轨道，即”：= p ( ) 日口= 砒再由的定义知，存在d 0 ，使得当 垤：k o ) 是f 的渐近d - 伪轨( d d o ) 时，下 列不等式成立 r ( 七( ) ，t 慵) = r ( 叫：，t ) sn + i 叫b lsl d ， k20 。r ( p ( ”) ，) 2 。r ( 越，仇) = 0 ， 这里l = f 到此定理4 1 得证 1 7 半线性抛物型方程全局吸引子的极瞅伪轨跟踪性 5 2 定理3 。1 的证明 令嘶如定理3 1 中所述，定义乃，毋和吩如上文由引理4 1 得 ：j o ) 是在m 上 的渐近c d 一伪轨再由定理4 1 知存在 m 满足 所以 下面估计 r ( 矿( 口) ，吩) l d ，j 0 ( l 7 = l d d ) j 叫l i m 。7 ( 矿( ”) ，吩) = 0 州v ) - v i i _ 、l d 。, l j o (57)li j m 佃i ( ) 一蚴i = 0 i 勺一l 曼l 一w j i + l 屿一蜥i 由( 1 9 ) ，第一部分小于等于2 岛d ；由叼= 嵋+ 西( 吗) ，吩= 弓+ 垂( 弓) ，第二部分小 于等t 2 c s d ( 1 + j 已) 所以由( 5 7 ) 得 1 句一t 扣) i = l 句一扣) i 冬( 工+ 2 c s ( 2 + 鲍) ) d = l d ， 再由引理4 2 得 ( 秽) 一吩isg r d = l d ，1 i r ai a j ( v ) 一嘶1 = 0 定理3 1 得证 ，一t 本文结论证明结束 1 8 ( 10 】 【1 1 】 【1 2 】 【1 3 】 f 1 4 】 1 5 】 【l6 】 1 17 】 参考文献 r b o w e n l i m i ts e t sf o ra x i o mad i f f e o m o r p h i s m s j d i f f e q 1 9 7 5 ，1 8 ：3 3 3 - 3 3 9 j r p a l m e r s h a d o w i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s t h e r o r ya n da p p l i - c a t i o n s ，k l u m e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s 2 0 0 0 s y u p i l y u g i n s h a d o w i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ， s p r i n g e r ，1 9 9 9 ：1 7 0 6 s y h p i l y u g i n s h a d o w i n gi ns t r u c t u r a l l ys t a b l ef l o w s j d i f f e q i l l s ，1 9 9 7 ，1 4 0 ：2 3 8 - 2 6 5 r f t h o m a s s t a b i l i t yp r o p e r t i e so f o n e - p a r a m e t e rf l o w s p r o c l o nd o nm a t h s o c ， 1 9 8 2 4 5 ：4 7 9 - 5 0 5 p ，w a k e r s o nt h ep s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t ya n di t sr e l a t i o n s h i pt os t a b i l i t y l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r ，1 9 7 7 ，6 6 8 ：2 3 1 - 2 4 4 j m l b l a n k m e t r i cp r o p e r t i e so f - t r a j e c t o r i c so fd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hs t o c h n s - t i cb e h a v i o u r e r g o d i ct h e o r ya n dd y n a m i c a ls y s t e m s 1 9 8 8 8 ：3 6 5 - 3 7 8 t e i r o l a ，0 n e v a n l i n n a 。s y u p i l y n g m l i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t y n u - m e t f u n c t ，a n a l o p t i m a l ，1 9 9 7 ，1 8 ：7 5 - 9 2 o b p l a m e n e v s k a y a s h a d o w i n ga n dl i m i ts h a d o w i n g o i l t h ec i r c l e v c s t n k p a l m e r s h a d o w i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ， k l u m e rs p b g u 1 9 9 7 w - j ，b e y n o nt h en u m e r i c a la p p r o x i n m a t i o no fp h a s ep r o t r a i t sn e a rs t a t i o n a r y p o i n t s s i a mj n u m e r a n a l 1 9 8 7 2 4 ：1 0 9 5 - 1 1 1 3 w 一j b e y n t h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no fc o n n e c t i n go r v i t si nd y n a m i c a ls y s t e m s i m aj n u m e r ，a n a l ，1 9 9 0 ，9 ：3 7 9 - 4 0 5 f a l o u g c sa n da d e b u a s c h e o nt h eq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro fap a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n di t sd i s e r e t i z a t i o ni nt h en e i g h b o r h o o do fah y p e r b o l i e 丘x e dp o i n t n u m e r f u n c t a n a l o p t i m ，1 9 9 1 ，1 2 ：2 5 3 - 2 6 9 f a l o u g e sa n da d e b u s s c h e o nt h ed i s c r e t i z a t i o no fap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h en e i g h b o r h o o do fap e r i o d i co r d i t n u m e r m a t h ，1 9 9 3 ，6 5 ：1 4 2 - 1 7 5 s l a r a s o na n dj m s a n z - s e r n a t h eb e h a v i o ro ff i n i t se l e m e n ts o l u t i o n so fs e m i - l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m sn e a rs t a t i o n a r yp o i n t s s i a mj n u m e r ，a n a l ，1 9 9 4 ，3 1 ： 1 0 0 0 - 1 0 1 8 s l a m s o na n dj m s a n z - s e r n a as h a d o w i n gr e s u l tw i t ha p p l i c a t i o n st of i n r ee l e - m e r i ta p p r o x i m a t i o no fr e a c t i o n d i f f u s i o nq u a t i o n s m a t h c o m p ，1 9 9 8 ，t oa p p e a r 朱土竣具有双曲不变集系统的极限跟踪性数学年刊。2 0 0 4 。5 ：6 1 3 _ 6 2 0 d h e n r y s o m ei n f l n i t s - d i m e n s i o n a lm o m e - s m a l es y s t e m sd e f i n e db yp a r a b o l i cp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 8 5 ，5 9 ：1 6 5 2 0 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 半线性抛物型方程全局吸引子的极限伪轨跟踪性 【1 8 1d h e n r y g e o m e t r i ct h e o r yo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s l e c t u r en o t ei n m a t h e m a t i c s ，v 0 1 8 4 0 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 1 f 1 9 s n c h o w ，k l u ， a n d g r s e l l