（基础数学专业论文）一类四次多项式填充julia集的连通性.pdf

一类四次多项式填充j u l i a 集的连通性 基础数学 研究生孔玲指导教师周吉 论文摘要：本文在j u l i a 集的局部连通性和偶四次多项式j u l i a 集的连通 性理论的基础上，讨论了一类四次多项式填充j u l i a 集的连通性首先， 本文利用推广了的b r a n n e r - h u b b a r d 和y o c c o z 的p u z z l e 技巧研究这类四 次多项式，深度为0 的拼图片的个数其次，在四次多项式有3 个有限 的临界点，一个临界点为超吸性不动点，一个临界点有界，另一个临界点 趋于无穷的条件下，得到这类多项式的填充j u l i a 集的一个连通分支是 非平凡的( 即至少有两个点) 充要条件是该分支是周期临界分支，或是某 个周期临界分支在，迭代下的逆像最后我们验证了具有上述性质的多项式的存在 关键词：填充j u l i a 集；连通性；局部连通性；p u z z l e ；临界环阵 第i 页 c o n n e c t i v i t yo ff i l l e dj u l i as e t sf o ra k i n do fq u a r t i c p o l y n o m i a l s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：k o n gl i n g s u p e r v i s o r ：z h o uj i a b s t r a c t ：i nt h i sp s p e r b a s e do i lt h et h e o r yo fc o n n e c t i v i t yo f 丘f l e dj u l i as e t s f o re v e nq u a r t i cp o l y n o m i a l s ，a n dl o c a lc o n n e c t i v i t yo fj u l i as e t s ，c o n n e c t i v i t yo f f i l l e dj u l i as e t sf o rac l a s so fq u a r t i cp o l y n o m i a l sa r ec o n c e r n e d f i r s t l y , b yt h e e x t e n dp u z z l et e c h n i q u eo fb r a n n e r - h u b b a r da n dy o c c o z ，w es t u d yt h ed e e p o ft h ep u z z l ep i e c eo f0o fak i n do fq u a r t i cp o l y n o m i a l sf sf i l l e dj u l i as e t s s e c o n d l y , e v e nq u a r t i cp o l y n o m i a lh a st h r e ef i n i tc r i t i c a lp o i n t s i nt h ec a s eo f t h ef i r s tc r i t i c a lp o i n ti ss u p p e r a t t r a c t i n ga n df i x e d ，t h es e c o n di su n b o u n d e d a n dt h el a s to n ei sb o u n d e d i ti so b t a i n e dt h a tac o n n e c t e dc o m p o n e n to ft h e f i l l e dj u l i as e t si sn o n - t r i v i a l ( t h a ti s ，i th a st w op o i n tsa tl e a s t ) i fa n do n l yi j f i t i sap e r i o d i cc r i t i c a lc o m p o n e n t o ta ni n v e r s ei m a g eo fs o m ep e r i o d i cc r i t i c a l c o m p o n e n tu n d e rt h ei t e r a t i o no f f i n n y lw ed e m o n s t r a t eae x a m p l eo f p o l y n o m i a lw i t ht h ea b o v ep r o p e r t y k e yw o r d s ： f u ho fj u r as e t s ； c o n n e c t i v i t y ；l o c a lc o n n e c t i v i t y ；p u z z l e ； c r i t i c a lt a b l e a l l 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师旦直熬攫指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 第一章绪论 当人们发现一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性时，数学家们 就对这个表达式的动力系统产生了极大的兴趣正如南巴黎大学的a d o u a d y 讲述的一样，这只是一种二阶多项式，由它却得到了许多新的结果它们揭示了 一些非常值得注意的现象，而把它们搞清楚是理解更复杂的动力系统的前提上 世纪7 0 年代中期，一些数学家如美国的j m i l n o r 曾研究过单实变数二阶多项 式的迭代但后来证实只有放在复数的框架中才有更多的结果事实上。一个复 数z 被写成z + i y 的形式，其中z 和是实数，就能把它和平面上的一点等同起 来，以便从几何的角度考虑问题此外还可以借助于复分析的丰富宝库，让其中 强有力的定理发挥作用在实数范围内无解的种种问题当置入于复数框架中以 后，很快就能找到答案当对二阶多项式的动力系统趋于成熟时，数学家们又把 研究领域扩充到高阶多项式的动力系统 1 1 填充j u l i a 集 现在我们来看看有关动力系统的定义和性质：当对多项式五( z ) = z 2 + c ( c 为给定的复数) 进行迭代时，则序列徇，魂，勿，勿，可能逃逸到无穷点，而且这 过程进行很快，但它们也可能保持有界，即离出发点不超越一个有限的距离迭 代序列保持有界的复数绚的集合叫做该多项式的填充j u l i a 集( 用法国数学家 g a s t o nj u l i a 的姓命名，他与p i e r r ef a t o u 在本世纪初曾进行“有理函数”的迭 代研究) ，这种集记为琏集致是平面的一个闭子集( 即包括它的边界) 且有 界人们称这样的集是“紧”的可以想象，根据c 的值，它的形状具有很大的变 化，通常是美丽的；j 0 有可能是连通，即它构成单一的一片，可能是非连通的；而 在后一种情况，它完全象粉末一样分散，人们称这是一个c a n t o r 集若它是连通 的，它可能具有一个内部，也可能成为丝状填充j u l i a 集k 的边界称为j u l i a 集，记作五 1 2 对多项式填充j u l i a 集研究的若干进展 对于填充j u l i a 集的研究，要追述到复动力系统研究的开始复动力系统的 第1 页 第一章绪论 研究初创于第一次世界大战期间p i e r r e f a t o u 和g a s t o nj u l i a 受n e w t o n 迭代 法以及m s b i u s 变换群的子群的极限集的启发，产生了r i e m a n n 球面上复解析 动力系统的研究思想两人独立地发表了相当数量的研究简报，此后又发表了很 长的学术论文j u f i a 的主要工作发表于1 9 1 8 年【l 】，f a t o u 的主要工作发表于 1 9 1 9 至1 9 2 0 年【2 】当时，他们运用新的正规族理论( 如m o n t e l 定理等) 于动力 系统，证明了一系列非凡，漂亮的结果，完成了复动力系统的奠基工作，形成了经 典的f a t o u - j u l i a 理论【3 - 5 直到2 0 世纪8 0 年代，由于理论上的突破以及计算 机图形化的展现，才被广泛关注，吸引了大批学者的研究兴趣，涌现出来深刻而 又丰富的成果 值得一提的是，动力系统、分形几何以及混沌学是紧密相关的三个学科事 实上，动力系统理论中的主要研究对象j u l i a 集一般具有分形结构，而用于产生 动力系统的映照在j u f i a 集上呈混沌状态已经发现，这三个学科在采矿、信息 处理、石油勘探及力学中有很大的应用价值 2 0 世纪9 0 年代，在国际上已有四本复动力系统方面的专著，它们是a f b e a r d o n 的 i t e r a t i o no fr a t i o n a lf u n c t i o n s ”( 1 9 9 1 年) ，l c a r l e s o n 和t g a m e l i n 所著的“c o m p l e xd y n a m i c s ( 1 9 9 3 年) ，n s t e i m n t z 所著的“r a t i o n a l i t e r a t i o n c o n p l e xd y n a m i c ss y s t e m ”( 1 9 9 3 年) ，以及r l d e v a n e y 所著的“ c o m p l e xd y n a m i c a ls y s t e m ：t h em a t h e m a t i c sb e h i n dt h em a n d e l b o r ta n dj 曲a s e t s ”( 1 9 9 4 年) 这些书都各有特色，但它们只讨论有理函数的动力系统 在复解析动力系统中，多项式的动力学有其特殊的地位，f a t o u 早就对多 项式的迭代有研究过，近年来m a a d e l b r o t 在研究分形几何时，考察了多项式 厶( z ) = a z + 名2 ，并介绍了著名的现今以他的名字命名的集合- m a n d e l b r o t 集 m a n d e l b r o t 集复杂而又完美的结构吸引了众多的学者去研究它，d o n a d y 和 h u b b a r d 的开创性工作f 6 ，7 】使得我们对多项式动力系统有了更深刻的了解，他 们所发展的理论对多项式动力系统的研究提供了相当有力的工具 而在多项式的动力系统中，f a t o u 集有较为稳定的动力学性质，j u l i a 集的 动力学性质极为复杂，所以数学家们更倾向于研究j u l i a 集 关于多项式动力系统p f a t o u 有一个著名的定理【8 ，9 】：一个多项式的j u l i a 集是连通的当且仅当它的所有临界轨道是有界的如果所有的临界轨道都趋向 无穷远点，那么这多项式的j u l i a 集是完全不连通的因为二次多项式只有一个 第2 页毕业论文 第一章绪论 有限临界轨道，f a t o u 定理给出了二次多项式j u r a 集连通性的完整的刻画对 于高阶多项式情况要复杂得多，因为存在一些临界轨道趋向无穷远点，而另 一些临界轨道是有界的中间情形在这种情况下，j u l i a 集有不可数个连通分 支因此，在什么情况下j u l i a 集是完全不连通的就成了动力学的一个基本问题 b r a n n e r 和h u b b a r df 1 0 】研究了三次多项式的情形，他们发展了一种强有力的工 具一拼图技巧( p u z z l et e c h n i q u e ) 来处理三次多项式有一个临界轨道是有界的， 而另一个临界轨道趋向无穷远点的情况，y o c c o z 用类似但更复杂的技巧研究了 二次多项式j u l i a 集的局部连通性但b r a i m e r - h u b b a r d - y o c c o z 拼图技巧只能 处理只有一个阶为1 的临界轨道是有界的情况【1 1 1 ，对于有一个高阶临界轨道或 者有两个或两个以上的i 临界轨道是有界的情况，一般来说是无效的譬如四次多 项式的j u l i a 集在什么情况下是完全不连通的就仍不清楚 1 3 本文的主要工作 文献【1 2 】中推广了这种p u z z l e 技巧来处理 f ( z ) = z 2 d + a z d + b ( d 2 ) a 和b 是复数的j u f i a 集特别是，当d = 2 时，即，是偶四次多项式时，证明了： ，的j u l i a 集连通性的充要条件是，的所有临界点都在，的填充j u f i a 集 内： ，的j u s a 集完全不连通的充要条件是，的填充j u l i a 集的周期分支内没 有临界点我们在此基础上利用这种p u z z l e 技巧处理一种特殊的四次多项式 y ( z ) = z 4 + 芸z 3 2 a 2 夕一4 a 2 名一丢一2 a 2 ( 1 ) 的填充j u l i a 集 设，是任意一个阶数大于或等于2 的多项式，k ( f ) = z c i 【广( z ) ) 有 界) 是，的填充j u l i a 集，的j u l i a 集j ( f ) 是k ( f ) 的边界k ( f ) 的一个连通 分支称为是临界的，如果该连通分支含有，的临界点k ( f ) 中包含z 的连通分 支记为k ( z ) ，如果存在正整数扎，使f n k ( x ) = g ( x ) ，则称k ( z ) 是k ( f ) 的一 个周期分支 式( 1 ) 中的函数f ( x ) 有三个临界点，分别为：e ，= 一l ，e 2 = 一a ，e 3 = 入，其 中e 】= - 1 是超吸性不动点 定义尸= ，( z ) = z 4 + i 4 2 3 2 a 2 严一4 入2 z 一一2 a 2 i a gf n ( e 2 ) 有 第3 页毕业论文 第一章绪论 界，广i ( e 3 ) _ o o ，n _ o 。) 容易看出对任意的多项式厂p jk ( e 1 ) 是一个周期i 临界分支 定理设，p ，k ( f ) 是其填充j u l i a 集，k ( f ) 的一个连通分支是非平凡 的( 即至少有两个点) 充要条件是该分支是周期临界分支，或是某个周期临界分 支在厂迭代下的逆像 本文第二章是c 上的动力系统f a t o u - j u l i a 理论，主要介绍轨道，周期，临界 点与分支覆盖，f a t o u 集，j u l i a 集的基本概念，以及f a t o u j u l i a 理论的基本结果 第三章是拼图理论的一些概念和结论，主要介绍p u z z l ep i e c e 的构造，环阵的规 则以及环阵的分类最后一章是主要定理的证明及举例验证 第4 页 毕业论文 第二章预备知识 2 1周期点 设多项式 y ( z ) = z d + 口d - 2 z d 一2 + + 口1 z + a o ， 下面引进一些重要术语 定义2 1 设多项式，d e g ( f ) 2 ，z o e ，称序列 翔= y o ( 纫) ，z 1 = ，1 ( 徇) ，磊= ，n ( 幻) ，) 为，在点z o 的轨道( 或称为正向轨道) ，记为q ( 翔) 或简记为0 ( 翔) 称点集 z 1 ，f _ 1 ( 2 j d ) ，_ 2 ( 劲) ，f - ( 2 j d ) ，) 为，在点z o 的逆 轨道( 或称为逆向轨道) ，0 7 ( z o ) 或简记为0 一( 徇) 这里广( 知) = ( 广) - 1 ( z o j 表示 z o 在广下的逆像全体而序列 翔，2 1 ，z n ，) 若满足f ( z n ) = z 一( 俨1 ) ， 则称为点劲的逆像轨道分支 一类重要的轨道是周期轨道，定义如下 定义2 2 称7 - 0 e 为，的周期点，如果存在正整数k 使得，七( 徇) = z o ， 满足该式的最小的k 称为z o 的周期这时，z o 的轨道是一条有限轨道：o ( z o ) = 询，z l = f 1 ( 幻) ，z k l = f k - 1 ( 翔) ，) 称其为周期轨道或循环，k 为其周期 显然，周期轨道内每一点都是周期点，具有相同的周期 定义2 3 设z o 0 是，的周期点，周期为k ，则称入= ( f k ) ( 翔) 为z o 的 乘子( 或特征值) 若z o 的轨道为o ( z o ) = 劲，z l ，魂一l ，) ，则 a = i i ，7 ( 乃) j - - - o 因此，d ( 徇) 内每一点都有相同的乘子，故入也称为周期轨道0 ( 翔) 的乘子 注当z = 。或f ( z ) = 0 0 时，在。邻域内取局部坐标；1 ，这时，求导运算 在0 0 的邻域内也有定义例如，如果，( o 。) = 0 0 ，则。的乘子为 熙南 ：_ j i zj 下面给出周期点的分类 第5 页 第二章预备知识 定义2 4 设z o 是，的周期点，周期为k ，乘子入= ( ，七) 7 ( 翔) ，那么 1 ) 如果0 1 ，则称细是排斥性周期点； 4 ) 如果= 1 ，则称2 0 是中性周期点，此时入= e 2 , n - , 0 ，p r ，进一步，如果 p 是有理数，则称绚是有理中性周期点；如果p 是无理数，则称徇为无理中性周 期点 上述分类对周期轨道d ( 绚) 也适合，对应地称为吸性周期轨道、超吸性周期 轨道等等 2 2 临界点与分支覆盖 多项式动力系统的另一重要概念是临界点 定义2 5 设2 0 ，如果，( z ) = 0 ，则称2 为，的临界点临界点z 的 像c = f ( z ) 称为临界值，即，一1 的支点临界点的轨道称为临界轨道直接计 算表明，若d e g f = d ，则，的临界点个数不超过2 d 一2 个如果z e 不是， 的临界点，那么，在z 的邻域内是局部同胚的若2 是，的临界点，则，在z 的邻域内不再局部同胚，这时存在局部共性映射妒，妒，妒( z ) = 0 ，矽( ，( z ) ) = 0 ， 使得妒ofo 妒一1 ( z ) = ( 七2 ) 称k 为，在点z 的局部度，k 一1 是临 界点z 的重数若记c ( f ) 是，的临界点集，v ( f ) 是，的临界值集，那么， f ：c f 一1 ( y ( ，) ) hc v ( f ) 是覆盖映射 定义2 6 设s 1 与岛是两个r i e m a m a 曲面，解析映射f ：& h 岛称为d 层分支覆盖( d 。o ) ，如果对任意的u 岛，存在u 的邻域w ，使得 1 ) f - x ( 彬。) = u ( ，乃) ，这里z j 是u 的逆像，k 是乃的邻域且knv j = d ( i 歹) ； 2 ) 存在同胚：ha ，( 勺) = 0 ，吻：wh ，吻p ) = 0 ，使得 吻o ，o 妒7 1 ( 名) = z 巧； 3 ) l b = d j = 1 岛称为，在点勿的局部度如果岛2 ，称为乃是，的分支点，此时岛又 第6 页毕业论文 第二章预备知识 称为勿的分支指标，向一1 为分支点的重数无分支点的分支覆盖为覆盖映射 下面定理中的r i e m a n n - h u r w i t z 公式经常要用到记x ( s ) 为曲面s 的 e u l e r 示性数 定理2 1 设，：& h 岛是d 层分支覆盖，d ，那么，对任意的f 箩，f ：uh 3 ，分别用 a 【，( z ) l d z i 和a 。( z ) l d z l 表示u 和3 上在自然坐标下的双曲度量，由s c h w a r z 引理，a 。( ，( 名) ) i ，( z ) l l d z i a v ( z ) l d z l 现在设k 是u 内任意给定的紧集，那 么a v ( z ) m o 。( m 为常数) ，因此，入。( ，( z ) ) i ，7 ( z ) i m o 。注意到z 趋 向于三个边界点时入f ，( z ) 是趋向于无穷大的，故存在常数c ，使 2，、 r 玎瓦丽c a e a l 八z ) ) ， 这就证明了 搿钵以s ( f i 硼i ，( 圳出 o 。， 莎为正规族证毕 正规族的定义是局部的，设莎是uhc 的解析映射族，称莎在一点z u 是正规的，如果存在z 的邻域，罗是上的正规族显然，若莎在u 内每一 点是正规的，那么莎是u 上的正规族 现在我们可以定义f a t o u 集和j u l i a 集了 第8 页毕业论文 第二章预备知识 定义2 8 设f ：dhc 是多项式，d = d e g ( f ) 2 ，如果序列 广) 在 z o 0 是正规的，则称z o 是，的正规点，的正规点集称为，的f a t o u 集，记为 f ( f ) ( 或简记为f ) f ( f ) 的余集称为，的j u l i a 集，记为j ( ，) ( 或简记为j ) 由 定义可知，f ( f ) 是开集，j ( f ) 是闭集f ( f ) 的连通分支称为f a t o u 分支或稳定 域 定理2 4 如果d e g ( f ) 2 ，则，的j u l i a 集j ( f ) 谚 证明如果j ( f ) = 仍，则_ ( 广) 在整个c 上正规，因此，存在子列_ 0 0 使p 一致收敛于解析映射夕：chc ，那么，夕也是多项式，且夕不为常 数，d e g ( g ) r 】由b s t t c h e r 定理的证明，妒，( z ) 可表示为 姒垆l i m ( ( j n ( z ) ) ) v 1 一亟筹， 它定义在o 。的邻域厂( o 。) 内 现设 h ( 2 ) = l i m d 咄l o g + i 广( z ) i ， ，i + 这里l o g + z = m a x ( 1 0 9x ，o ) h f ( z ) 是定义在c 上的实值函数，具有引理2 1 所述 的性质 引理2 1 1 ) h ，是0 上的连续函数； 2 ) h f ( f ( z ) ) = d b ( z ) ； 3 ) k ( f ) = z c j h i ( 名) = o ) ，且b 在c k ( f ) 上调和 第1 1 页 毕业论文 第二章预备知识 证明1 ) h i ( z ) 由公式九，( z ) 2 熙d n l o g + i f n ( z ) i 给定，我们证明上式之 极限在c 上一致收敛将 r ( 名) 写成级数形式： h i ( z ) = l o g + + ( d 一州l o g + i p + 1 ( z ) l - d - 1 0 9 + i f n ( z ) 1 ) ， n - - - - - - o 由于 掣= 1 + 等- 4 - + i a o ，_ d_ d 存在连续依赖于，但不依赖于z 的常数c ( 厂) ，例如 c ( f ) = d l o g2 + d l o g ( 1 + l a d 一1 l + + l 知1 ) ， 使得 il o g + i ，( 2 ) i - dl o gi z l l c ( 厂) ， 因此 l d - ( n + 1 ) l o g + l - + 1 ( z ) i - d 吨l o g + i 广( z ) | l c ( f ) d - ( n + x ) ， 故级数一致收敛，b 在c 上定义且连续 2 ) 是显然的 3 ) 在o 。的邻域【厂( o 。) 内，我们有共形同胚妒，( z ) 由定义h f ( z ) = l o gi 妒，( z ) i ， 故九，在u ( o c ) 内调和对于任意2 c k ( ，) ，存在竹充分大，使得广u ( 。) 由2 ) ，h j ( z ) = d 咄h i ( 广( 2 ) ) ，故九，在c k ( f ) 内调和自然，对z c k ( ，) ，危，( z ) 0 另一方面，若z k ( ，) ，则l 产( z ) l 有界，因而 h ( z ) = l i md l o g + l 厂佗( z ) l = 0 ， 所以k ( ，) = 2 c i h i ( z ) = o ) 证毕 从证明中可以看出：z ) = l o g + o ( 1 ) ( z _ o o ) ，因此，由引理， ，是 c k ( f ) 上的g r e e n 函数 定义2 1 1 称九，为多项式，的势函数，曲线 z c k ( f ) l h ( z ) = r o ) 为等势曲线，其正交轨线r ( f ，0 ) 为外射线 在u ( o 。) 内，r ( f ，0 ) = z l a r g 妒f ( z ) = 2 7 r p ，等势曲线为 z i 妒，( z ) l = c 1 ) ， 因此，等势曲线在c 厂( o o ) 内是简单闭益线 引理2 2 九，：c k ( f ) h 风= ( 0 ，0 0 ) 的临界点( 等势曲线的非光滑点) 是，在c k ( f ) 中的临界点及其逆轨道 第1 2 页毕业论文 第二章预备知识 证明由于妒，：u ( ) hu ( 。) 是共形映射，故h s ( z ) = l o g l 妒，( z ) f 在 g ( o o ) 中没有临界点由h f ( z ) = d - 1 h l ( f n ( 名) ) 可知，z 是危，的临界点当且仅当 z 是尸的临界点或者广( z ) 是九，的临界点 设z c k ( ，) ，锄= 广( z ) ，当佗充分大时，钿汐( ) ，故不是危，的临 界点，因此，2 是h ，的临界点当且仅当z 是广的临界点，即z 是，的临界点或其 逆轨道中的点证毕 当r ( f ，0 ) 不碰撞到危，的临界点时，n ( f ，0 ) 可以从u ( o o ) 无分叉地延拓直 到危，_ o ，即r ( f ，0 ) 趋向于k ( ，) ，我们称这样的r ( f ，口) 是非碰撞的此时，如 果r ( f ，0 ) 趋向于k ( f ) 上的一点口，则称n ( f ，0 ) 在a 点可达如果n ( f ，0 ) 趋向 于k ( f ) 时的聚点集是非单点的连通性，则称之为游移的 若r ( f ，0 ) 是非碰撞的，有f ( r ( f ，伊) ) = n ( f ，d p ) ，故如果r ( ，口) 在a 点可 达，则r ( f ，d 口) 在f ( a ) 点可达；如果r ( f ，p ) 是游移的，则r ( f ，d 0 ) 也是游移 的 定理2 9 设0 = i p o 是有理数，如果r ( f ，0 ) 是非碰撞的，则r ( f ，0 ) 在点 a k ( f ) 可达，且存在凡，使广( 口) 是排斥的或有理中性的周期点 2 6j u l i a 集的局部连通性 定义2 1 2 称一个紧度量空间( x ，p ) 在z o x 处是局部连通的，如果对于 任意 0 ，存在0 a e ，使得玩( z o ) = z x l p ( z o ，z ) 0 ， g 的临界点是e 3 ，及e 3 在，迭代下的逆像g 的临界值则是数a ( e 3 ) 4 k ( k o ) 选择数r ，使得g ( e 3 ) 4 f 的e u l e r 示性数为 2 一k ，z ：g ( z ) 4 r 的e u l e r 示性数为2 1 ，对f ：【z ：v ( z ) ，- ) h z ： g ( z ) a t ，应用r i e m a n n - h u r w i t z 公式有 2 一k + 4 = 4 ( 2 1 ) ( 4 ) 所以k = 2 第1 4 页 第三章p u z z l e 和环阵 设p k ( z ) 和最+ l ( z ) 分别是包含k ( f ) 中z 点深度为k 和k + 1 的p u z z l e ，显 然，r ( 名) ) p k + l ( z ) 定义3 1 如( z ) = i n t c p k ( z ) ) p k + l ( z ) ( 5 ) 式( 5 ) 是一个有正模的环，称为z 点深度为k 的环环a k ( z ) 称为非临界的 ( o f f c r i t i c a l ) ，e j ( j = 1 2 ) ，临界的( 勺一c r i t i c a l ) 和勺一半临界的( e j s e m i c r i t i c a l ) ，分别指的是r ( z ) 不含任何临界点，r + 1 ( z ) 包含临界点勺和a k ( z ) 包 含临界点勺在第一种情况下，：a k ( z ) ha k 一1 ( ，( z ) ) 是一个共形映射，这时 m o d a k ( z ) = m o d a k ( f ( z ) ) ；在第二种情况下，f ：a k ( z ) ha k 一1 ( ，( z ) ) 是一个度 为2 的覆盖映射， m o d a k ( z ) = 言伽d a 一1 ( ，( z ) )( 6 ) 二 在最后一种情况下， m o d a k ( z ) 去- 刎m k 一1i f ( z ) ) ( 7 ) 所有e j 临界环( 或( 勺一半临界环) 均称为临界环，( 或半临界环) 在深度为 k 中，我们有两个临界环，且m o d a k ( e 1 ) = m o d a k ( e 2 ) 引理3 2 【1 5 】给定z k ( ) 和它的端 c p k ( z ) cr l ( z ) c p o ( z ) ， 如果 m o d a k ( z ) = o 。， k = o 那么nr ( z ) = z ，即np k ( z ) 由单点z 组成 3 2 环阵的规则 对z k ( ，) ，记a k l ( z ) = a k ( f t ( z ) ) 是，。( 名) 点深度为k 的环，a k o ( z ) = a k ( z ) ，z 点的环阵定义为无穷环阵( a k z ( z ) ) k ，r o 引理3 3 环阵( a w ( z ) ) 七j o 有如下规则 第1 5 页 毕业论文 第三章p u z z l e 和环阵 规则1 给定t ( t 0 ) ，第f 列的环a i n ( z ) 满足： 或者存在某个歹0 = 1 ，2 ) ，使得所有a 就( z ) ( 七0 ) 均是勺临界的； 或者存在k 0 及某个j ，使得a b t ( z ) 是勺一临界的；当k k o 时，a l ( z ) 是非临界的 在第种情况下，称第l 列是完全e j 临界的；在第二种情况下，称第z 列有 一个半临界深度 规则2 如果a k t ( z ) 是勺临界的，即a k t ( z ) = a 加( 勺) ，那么，当0 m 亿| 时，有 a ( k n ) “+ m ) ( z ) = a k n t ( 勺) 规则3 如果a k l ( z ) 是e 2 一半临界的，且当0 7 n n 时，a ( k m ) m ( e 2 ) 是非 临界的，但a ( k n ) n ( e 2 ) 是e j 临界的则当0 m 0 时，a k l ( e 2 ) 是非临界的，那么称临 界环阵( a 烈( e 2 ) ) 球o 是非回归的否则，称临界环阵( a 联( e 2 ) ) “o 是回归的 第1 6 页毕业论文 第三章p u z z l e 和环阵 如果e 2 的临界环阵( a k l ( e 2 ) ) k , l o 中存在一列，如第f 列( z 0 ) 是完全e 1 临 界的，那么称临界环阵( a 奄t ( e 2 ) ) 七，z o 为预周期的当第z 列是完全e 2 临界时，临 界环阵( a k t ( e 2 ) ) 蠡，f o 称为周期的 如果临界环阵( a k z ( e 2 ) ) 七，z o 的第k 行有一个e t ( i = 1 ，2 ) 临界环，使得 f ：a k + 1 ( e 2 ) ha k ( e 趋) 是度为2 的覆盖映射，那么称临界环阵似斛( e 2 ) ) ，l o 的第 k + 2 行为第k 行的子行 如果第k 行没有半临界环，那么临界环阵( a k l ( e 2 ) ) 七。z o 的这一行称为“好 的” 引理3 4 假设临界环阵( a k t ( e 2 ) ) 蠢l o 是回归的但不是预周期的，那么： 临界环阵( a k l ( e 2 ) ) 七，l o 的任意一行至少有一个子行 如果第k 行是“好的”，那么第k 行至少有两个子行 如果第k 行是“好的”并且第k + 1 行是它的子行，那么第k + 1 行也是 “好的 如果第k 行只有一个子行，设为第k + 1 行，那么第k + 1