（基础数学专业论文）射影平面上关于低次曲线位置特殊的点集的分类.pdf

摘要 射影平面上关于d 次曲线位置特殊的点集的分类是代数几何中很有意义的问题 我们知道，d 次曲线的方程组成一个维数为，l ( 田= 丝兰罢型的向量空间通过平 面上个给定点，对d 次曲线来说给出了个线性条件，如果这些条件不是线性独立 的，那么称这些点关于d 次曲线位置特殊当点的个数超过聊( 由时，这些条件总是线性 相关的当点的个数正好是m ( 力时，这些点关于d 次曲线位置特殊当且仅当这些点落 在一条d 次曲线上，因此我们总是排除这些平凡的情形，即总假设点的个数 m ( 力 众所周知， 6 个点关于2 次曲线位置特殊当且仅当其中有4 个点共线 l o 个点关于3 次曲线位置特殊，当且仅当要么有9 个点落在两条不同的3 次曲线上，要么 有7 个点落在一条2 次曲线上，要么有5 个点共线 谈胜利【4 ，5 】利用代数曲面上半稳定秩2 向量丛【3 】的b o g o m o l o v 不等式【l o 】给 出了解决这类问题的一个有效方法，即给出了点的个数兰时的特殊点集的 分类方法特别地，他列出了4 d 8 时的完整分类【6 】 我们试图运用不同的方法给出点的个数满足兰 m ( d ) 时的特殊点 集的分类本文的主要目的是给出曲线次数为4 ，5 ，6 时的特殊点集的完整分类( 定理 a ，b ，c ) 我们的方法是n o e t h e r 的基本定理和c a y l e y b a c h 嬲l c h 定理 概型 关键词：独立条件，位置特殊的点，线性系，c 缈z 缈肋如口m 咖条件，o 维子 a b s t r a c t i ti sas i g n i f i c a i l tp r o b l e mi na l g e b r a j cg e o m e t 巧t 0c l 嬲s i f yt h es e t so fp o i n t si ns p e c i a l p o s i t i o nw i mr e s p e c tt oc u r v c so fg i v e nd e g r e ed i np 删e c m ep l a l l w bk n o wm a tm es e to f e q u a t i 。n so fp l a n ec u e s 。fd e g r e ed i sav e c t o fs p a c e 。fd i n l e i l s i 。nm ( 功= 丝掣 f o ra 西v e ns e to f p o i n t si nt h ep l a i l e ，i tg i v e s l i n e a rc o n d i t i o n s0 nm ev e c t o rs p a c ei f w er e q u i r et h ec u r v e sp a s st i l r o u g ht h e s ep o i n t s t h e c o n d i t i o 鹏a r el i n e a r l yd e p e n d e n t ， t h e nw ec a l lt h a tt l l es e to f p o i n t si si nas p e c i a lp o s i t i o nw i t l lr e s p e c tt oc m v e so fd e g r e e d w h e nt h en u 耐b e ro fp i n t si sb i g g e rm a i l ，l ( 回，t 1 1 e nt l l ec o n d i t i o n sa r ea l w a y sl i n e a r l y d e p e n d e n t w h e nt l l en u i r t b e r i se x a c ym ( 国，m e nt h e s ep o i n t sa r ei ns p e c i a lp o i n t si f a i l do i d yi ft h e yl i ei nac u e0 fd e g r e ed t h e r e f o r e ，w ea l w a y sm l e0 u tt h e s et r i v i a lc a s e s ， n 锄e l y w ea s s u m et l l a t m ( 田 i ti sw e l l k n o w nt l l a t 6p o i n t sa r ei ns p e c i a lp o s i t i o nw i t l lr e s p e c tt 0c o i l i c si fa n d o i l l yi f4p o i n t sa r ec o u i n e a r l op o i n t sa r ei ns p e c i a lp o s i t i o nw i t hr e s p e c tt oc u b i c si f a n do n l yi fe i m e r9p o i n t sl i ei n 铆od i 能r e n tc u b i c s ，o r7p o i n t sl i ei nac o n i c ，a r e5p o i n t s a r ec o u i n e a r s h e n g - l i 吼i 4 ，5 】g i v e sa ne n e c t i v em e t h o dt od e a lw i t l lt h i sp f o b l e mb a s eo nb o g 伊 m o l o v si n e q u a l i t y 【3 ，1 0 】f o rs e i i l i s t a b l er a n k 铆ov e c t o rb u n d l 譬o na i la l g e b r a i cs u 嘲c e ， n a l l 呛l yam e m 。dt 0c l a s s i 匆m o s es p e c i a ls e t sw i t h 掣p 。i n t s i i lp a r t i c u l 碣h e g i v eac o m p l e t el i s to f n l es e t s0 f p o i n t si nas p e c i a lp o s i t i o nw i t hr e s p e c tt 0c u e so fd e g r e e 4 d 8 w e 时t og i v ead i 腩r e n tm e t i l o dt 。d e a lw i t i lm ep r o b l e mf o rm e c a s ew h e n 堕 m ( 功t 1 l em a i np u 印o s ei st oc l a s s i f yt l l es e t so fp o i n t si nas p e c i a lp o s i t i o nw i mr e s p e c t t 0c u r v e so fd e g r e ed = 4 ，50 r6 ( t l l e o r e i l l sa ，b ，c ) o u rm e t h o di sb a s e do nn o e t l l e r s f u n d a m e n t a lt h e o r e ma n dc a y l e y b a c h a r a c h7 n l e o r e m k e yw o r d s ：i n d e p e n d e n tc o n d i t i o n ， s e t so fp o i n t si ns p e c i a lp o s i t i o n ， l i n e a r s y s t e m ， c a y l e y b a c h a r a c hc o n d i t i o n ， o d i m e n s i o n a ls u b s c h e m e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 裳轻彩 日期： 学位论文授权使用声明 刎善。钾 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：耋话彩导师签名辟刍_ 互 日期：2 暑1日 1 1 研究背景 第一章引言弟一早ji 百 射影平面上关于给定次数曲线位置特殊的点集的分类问题是代数几何中受到广 泛关注的问题众所周知， 6 个点关于2 次曲线位置特殊当且仅当其中有4 个点 共线 m ( 田时，任意点集关于d 次曲线都没有给出 独立条件，当n d + l 时，点集关于给定次数的曲线给出独立的线性条件，上述情形都 不是我们所关心的，我们感兴趣的n 的范围是d + 2 n 历( 力，而当n = 聊( 力时，这 些点关于d 次曲线没有给出独立条件当且仅当这些点在一条d 次曲线上，进一步当 n 竺三芝时，谈胜利 6 】利用半稳定秩2 向量丛的脚硎d 胁1 ，不等式给出了具体有 效的分类方法特别地，他列出了4 d 8 时的完整分类【6 】我们主要运用不同的方 法研究竺三兰 矿( o i p 2 ( 力) 一d p g d ，即| 1 1 ( 厶( d ) ) 0 我们称为射影平面 上关于d 次曲线d 位置一般的点集或称关于线性系d m 没有给出独立条件 定义2 设z 是x = p 2 上余维数为2 的子概型即o 维子概型z 是局部完全交给定子 概型z i z z i 在z 中的“补”是闭子概型z i 对应理想层iz ，r = 啦z ：i z r _ 、即对任伺开 集ucx 我们定义 乃，( ：= k 仇( u ) ig 易( u ) c 厶( u ) 或等价地 i 口| i z = 吼o m o x 姻z ，o 窃 我们称z 是z i 在z 中的余子概型记作z = z z i ，d e g z i = d e g z d e g z i 易证z 在z 中的余子概型是z i 即z i = z z 设e 是x 上秩2 向量丛，j 是e 的整体截影，令z = z ( s ) cx 是其零点集，假设z 余维数是2 。因此是局部完全交对除子l 和z 中一个子概型cz ，我们研究x 上满 足以下方程组的平面曲线f ： 5 o fd坝 廿 d 坦 及 如 = 兰 l ，ij、【 第二章预备知识 对给定和厶如果z ( s ) 的余维数刚好是阳，l 七( e ) = 2 ，同时上述方程组成立，则称 陋，s ，) 是上述方程组的一组解 g r w f 砌和胁州j 找到了0 维概型z ( s ) 的显著的性质 定理1 ( g r i m m h a r i i s ) 如果z ( s ) 包畲互异的简单点则任一经过z ( s ) 中除一点外的所 有其它点的曲线一定也经过该点 这叫做射影平面上曲线的铆切，一肋c 加阳砌性质 下面的c 缈姆一肋c 砌僦| l 定理是一些经典定理的推广，如砌即“s 定理、砌卵口z 定理、铂跆s 定理等，它们都是关于3 条射影平面曲线的几何的理论 定理2 ( c a y l e y b a c h a r a c h ) 设a ，ec 是矽上3 条平面射影_ 曲线次数分别为口、6 和 口+ 易一厶假设a 和b 耜交于曲个点，z 3 如果c 经过其中的动一2 个点则c 经 过所有曲个点 下面的推论是经典c 缈切一砌c 砌厂口c 定理的一般推广 推论1 设e 是射影平面上的秩2 向量丛，整体截影s 的零点概型余维数为2 h 是x 上的口，印跆除子，z 是正整数，l d p 坦一坍i ，如果f 经过z ( j ) 的一个一2 ) 维的子概 型该子概型的度数大于等于d e g z 一- + 2 则f 经过z t 谈胜利【6 】运用向量丛的方法研究方程组( 木) 有解的等价性问题，得到了方程组 ( 宰) 有解与上同调群之间的等价关系 定理3 设是x 上o 维子概型f 包括空集) l 是x 上一个除子则丁列条件等价： 1 ) 存在秩2 向量丛毋及非零整体截影6 铲够、) 满足 z ) = ，如谚= l ( a ) ( 2 ) 存在3 条曲线f fl 。f 2 使得flnf 2 是q 维子概型并且 = n 兄一只n r nf 俾， 【l 三f l + r f f 功下列方程组有解( e ，s ，) ，即存在秩2j 句量丛e 及非零整体截影s 上，o ( e ) 使得 d f ，n z ( j ) = o ，且 = 以d z ( d n ， f c j il 兰d 8 绁一， 6 第二章预备知识 ( 4 ) 或者& = 氇或者存在菲零元素h 使砷h 、姐雌x + 科使得对任意真子概型( 包括 空集) n q 不在下述自然的包含映射的象中： 日1 眠，( 戤+ d ) vq 日1 阢( 戤+ l ) ) vr 驯 等价地 u 日( 厶，( 酶+ l ) ) v 日1 眠( 舷+ l ) ) v a c 显然条件( 4 ) 等价于 1 1 ( 厶，( 酶+ l ) ) ，1 1 ( 厶( 妊+ d ) ( d ，) 下面我们考察条件( d ，) 与线性系i 甄+ 纠的独立条件的关系不妨设7 = 一弘抛厶，= 咖一1 ，由余子概型的定义，有正合列 o _ 厶_ 厶，_ 忌( p ) 叶o 从而有 o 叶厶( 臌+ d _ 凡( 最+ d 一七p ) p 仇( 峨+ d _ o 进而得到上同调群的长正合列 0 _ 日o ( 死( 酶+ l ) ) _ 日o ( 厶，( 酶+ d ) 一日o ( p ) o 仇( 如+ l ) ) 一日1 溉( 酶+ l ) ) _ h 1 ( 厶，( 缸+ d ) _ o 由上同调群的维数得到等式( 足( p ) 兰c ，矿( 忌( p ) od x ( 鲰+ l ) ) = 1 ) ， | i l o 魄( 最+ l ) ) + 办1 ( 厶，( 戤+ d ) + 1 = 矿( 厶，( 酶+ d ) + 1 ( 厶( 最+ l ) ) 所以有 1 ( 厶，( 酶+ l ) ) | 1 1 ( d x ( 巍+ d ) ，但对任意子概型，办1 c 如，( 麟+ l ) ) = 办1 ( 仇( 酶+ d ) ? 。 ( 3 ) 方程组( b ) 对给定和l 有组解即存在曲线f l 。f 2 f 3 使得f if 、f 2 是。维子概 型且方程组( b ) 成立扶丽是f lnf 2f 、f 3 在f inf 2 中的余子概型但对任意子概 型k i b ) 对公和l 都无解 谈胜利【6 】中利用肋g 伽d f d ，不等式给出了下述定理及推论 定理s 设l 是一个秩2n e f 除子即除子和x = 萨i 任意不可约曲线的相交数都非 负) 设定理3 中4 个等价条件中的一个成立如果d e g ；则或者氏= q 或者存在 经过的有效除子d 使得 说一咖d 2 o ( c k ( 4 ) ) 一咖= o ，关于i 厶( 4 ) i 没 有给出独立条件，因此这种情况存在 ( 2 ) d = 1 4 时s 4 ，i l o 口( 4 ) ) = 7 l o ( c k ( 4 ) ) 一d 昭+ 1 ( 厶( 4 ) ) 2 ，至少有两条4 次曲线经过若i 厶( 4 ) i 无固定部分，易知= c 4 一c 4 伊c 1 = c 4 c 4 一1 2 个点) ，由 1 3 第三章i 要结论的证明 n o e 吐1 e r 定理c 4 = a + 同，所以| l o ( 厶( 4 ) ) = o ( j 0 c 4 ( 4 ) ) = 2 | l o ( 仇( 4 ) ) 一咖= l ， 关于i 厶( 4 ) i 没有给出独立条件，因此这种情况存在 若i 厶( 4 ) f 有固定部分，i 厶( 4 ) | = a + 俨( 俨为固定部分) ，由引理2 知矗o ( 厶( 4 ) ) = o ( k a n 俨( 4 一口) ) 2 而对任意除子a 人，我们可以得到如g a + 口= 4 再由a 陋i 可知若口4 ，则d 锄l a i l ，l o ( 仇( 5 ) ) 一咖= o ， 关于j 厶( 5 ) l 没有给出独立条件，因此这种情况存在 ( 2 ) d = 2 0 时j 5 ，j l o 口a ( 5 ) ) 2 ，至少有两条线性无关的5 次曲线经过若 i 厶( 5 ) i 无固定部分，易知= c 5 一c 5 c 2 = c 5 c 5 一 5 个点在2 次曲线上l ，若i 厶( 5 ) i 有固定部分，l 厶( 5 ) l = 人+ c a ( c 口为固定部分) ，类似以前的讨论口4 1 4 第三章主要结论的证明 ( i ) 口= l 时，伊为直线，咖( n 俨) 6 ，咖( 一n 俨) 1 4 ，阢一厶n 伊( 4 ) i 无固定 部分， o 魄一n 伊( 4 ) ) = | l o ( 厶( 5 ) ) 2 ，一n 俨关于i 厶一n 伊( 4 ) i 没有给出独立条件， 由已知结果知一nc 口= c 4 伊一 2 个点l ，所以= 伊一 2 个点) + 6 个共线点1 此 时7 l o ( 厶( 5 ) ) = 1 7 l o ( 厶一n ( 4 ) ) 7 l o ( c k ( 4 ) ) 一d 昭，此种情况存在 ( i i ) 口= 2 时，俨为2 次曲线，咖( n 伊) 1 1 ，咖( 一n 俨) 9 ，i 厶一n 伊( 3 ) f 无 固定部分，| l o ( ，一a n 伊( 3 ) ) 2 ，一n 俨关于i 厶枷c 口( 3 ) i 没有给出独立条件，由已知 结果知一n 俨= c 3 c 3 ，此时= c 3 c 3 + 1 1 个点在2 次曲线上 ，由n o e t h e r 定理c 5 = a c 3 + 召c 3 ，其中a ，b 都是2 次曲线， o ( 厶( 5 ) ) = j l o ( j - c 3 c 3 ( 5 ) ) = 1 2 o ( 0 k ( 5 ) ) 一咖， 此种情况存在 ( i i i ) 口= 3 时，c 口为3 次曲线，如g ( nc 口) 1 4 ，如g ( 一n 俨) 6 ，l 厶一n 伊( 2 ) i 无固定部分， l o ( 厶一n 伊( 2 ) ) = o ( 厶( 5 ) ) 2 ，一n 俨关于i ，一n 俨( 2 ) i 没有给出独立 条件，由已知结果知这种情况不可能发生 ( i v ) 口= 4 时，c 口为4 次曲线，咖( n 俨) 1 6 ，如g ( 一nc 口) 4 ，i 厶一n c 口( 1 ) l 无 固定部分，7 l o ( 厶一n 伊( 1 ) ) = 矗o ( 厶( 5 ) ) 2 ，一n 俨关于l ，一n 口( 1 ) l 没有给出独立条 件，由已知结果知这种情况不可能发生 ( 3 ) d = 1 9 时，s 5 ， o ( 厶( 5 ) ) = 矗o ( c x ( 5 ) ) 一d 昭+ ，1 1 ( 厶( 5 ) ) 3 ，至少有三 条线性无关的5 次曲线经过若i 厶( 5 ) i 无固定部分，易知= c 5 c 5 一c 5 c 5 俨= c 5 c 5 一 6 个点在2 次曲线上l ，若i j ( 5 ) l 有固定部分，l j - ( 5 ) l = 人+ 俨( c a 为固定部分) ， 类似以前的讨论口4 ， o ( ，一a n 伊( 5 一口) ) = | l o ( 厶( 5 ) ) 3 ( i ) 口= 1 时，伊为直线 咖( n 俨) 6 ，咖( 一n 俨) 1 3 ，若一r 、伊关于 i 厶一n 伊( 4 ) l 给出独立条件，庇o ( 厶一n 伊( 4 ) ) = o ( 仇( 4 ) ) 一咖( 一n 俨) 2 ，矛盾若 办。叮一a n 伊( 4 ) ) 庇o ( c i x ( 4 ) ) 一如g ( 一n 俨) ，且i 厶一n c - r ( 4 ) i 无固定部分，一n 俨关于 l 厶_ n 伊( 4 ) i 没有给出独立条件，由已知得一n 俨= c 4 c 4 一1 3 个共线点 ，所以 = c 4 一 3 个共线点l + 6 个共线点 此时，l o 魄( 5 ) ) = 办o c 厶n 俨( 4 ) ) = l o ( c x ( 4 ) ) 一 如g ( 一n 俨) + 1 帆一a n 俨( 4 ) ) 3 | l o ( 仇( 5 ) ) 一如g ，此种情况存在 ( i i ) 口= 2 时，c 口为2 次曲线，比g ( n ) 1 1 ，咖( 一n 俨) 8 ，l 厶一n 俨( 3 ) i 无 固定部分，若一nc 口关于i 厶一n 伊( 3 ) l 给出独立条件，j l o ( 厶一n ( 3 ) ) = 庇o ( g k ( 3 ) ) 一 d 绍( 一n 俨) 2 矛盾若一n 俨关于i 厶一n 俨( 3 ) i 没有给出独立条件，即 ，l o ( 厶一n 俨( 3 ) ) j l o ( c k ( 3 ) ) 一出g ( 一nc 口) ，且l 厶一n 伊( 3 ) i 无固定部分，这种情况不可 能 1 5 第三章主要结论的证明 ( i i i ) 口= 3 时，俨为3 次曲线，出g ( nc 口) 1 4 ，d 昭( 一nc 口) 5 ，若一n 俨 关于i 厶一n 伊( 2 ) i 给出独立条件， o c 厶一n 伊( 2 ) ) = j i l o ( g l x ( 2 ) ) 一如g ( 一n 俨) 2 ，矛 盾若一nc 口关于l 厶一a n c 口( 2 ) l 没有给出独立条件，即矗。溉一a n c 口( 2 ) ) 矗。协( 2 ) ) 一 d 昭( 一nc 口) ，且i 厶一n ( 2 ) l 无固定部分，由已知结果这种情况不可能 ( i v ) 口= 4 时，c 口为4 次曲线，如( n 俨) 1 5 ，咖( 一n 俨) 4 ，同理一n 俨 关于i 厶一n 伊( 2 ) l 不可能给出独立条件，所以办1 ( 厶一n 伊( 1 ) ) o ，且i 厶一n 伊( 1 ) l 无固定 部分，由已知结果知这种情况不可能发生 ( 4 ) d = 1 8 时，s 5 ， o 魄( 5 ) ) = o ( c k ( 5 ) ) 一如+ 矗1 c 厶( 5 ) ) 4 ，至少有四 条线性无关的5 次曲线经过若l 厶( 5 ) l 无固定部分，易知= c 5 c 5 一c 5 c 5 c 2 = c 5 一 7 个点在2 次曲线上 ，若l 厶( 5 ) i 有固定部分，阢( 5 ) i = 人+ c 口( c 口为固定部分) ， 类似以前的讨论口4 ，| l o ( 厶一n 伊( 5 一a ) ) = i l o 魄( 5 ) ) 4 ( i ) a = l 时，俨为直线，如g ( n 俨) 6 ，咖( 一n 俨) 1 2 ，若一np 关于 i 厶n 伊( 4 ) i 给出独立条件，矗o ( 厶一n 伊( 4 ) ) = 办o ( 仉( 4 ) ) 一咖( 一n 俨) 3 ，矛盾若 一n 俨关于i 厶一n 伊( 4 ) i 没有给出独立条件，且i 厶一n 伊( 4 ) l 无固定部分，由已知得 一尘n 伊= c 3 c 4 ，所以= c 3 c 4 + 6 个共线点1 此时，l o ( 厶( 5 ) ) = o ( ，c ，c ( 5 ) ) = 9 o ( c k ( 5 ) ) 一出g = 3 ，此种情况存在 ( i i ) 口= 2 时，俨为2 次曲线，d p g ( n 俨) l l ，如g ( 一nc 口) 7 ，i 死一n c 仃( 3 ) i 无 固定部分，若一n 俨关于i 厶一厶n 伊( 3 ) l 给出独立条件，办o ( 死n 俨( 3 ) ) = a o ( c x ( 3 ) ) 一 d 昭( 一n 俨) 2 矛盾若一nc 口关于l 厶一a 缈( 3 ) i 没有给出独立条件，即 o ( 厶缈( 3 ) ) j l o ( 0 k ( 3 ) ) 一d 昭( 一n 俨) ，且f 厶一n 伊( 3 ) l 无固定部分，由已知结果这 种情况不可能 ( i i i ) 口= 3 时，俨为3 次曲线，如g ( nc 口) 1 4 ，咖( 一n 俨) 4 ，若一nc 口 关于i 厶a 缈( 2 ) l 给出独立条件， o ( 厶一懈( 2 ) ) = | l o ( d x ( 2 ) ) 一蛔 ( 一n 俨) 2 ，矛 盾若一n 俨关于1 7 一a n 伊( 2 ) l 没有给出独立条件，即| l o ( 厶n ( 2 ) ) h o ( d x ( 2 ) ) 一 如g ( 一n 俨) ，且i 厶一n 伊( 2 ) l 无固定部分，由已知结果这种情况不可能 ( 5 ) d = 1 7 时，s 4 ，矗。魄( 5 ) ) 5 ，至少一条5 次曲线和一条4 次曲线经过若 i 厶( 5 ) i 无固定部分，易知= 伊c 5 一c 4 c 5 c 1 = c 4 c 5 一 3 个共线点) ，若i 厶( 5 ) i 有固定部 分，设l 厶( 5 ) i = a + 俨( c 口为固定部分) ，类似以前的讨论知a 3 ， o 阮- n 俨( 5 一a ) ) = 庇。溉( 5 ) ) 5 一n 俨不可能关于l 厶一n 伊( 5 一口) f 给出独立条件 ( i ) 口= l 时，c 恤为直线，d p g ( nc 也) 6 ，d p g ( 一nc 口) 11 ， 一n 1 6 第三章主要结论的证明 伊关于阢一6 n d ，( 4 ) i 没有给出独立条件，且i 厶一n d | ( 4 ) i 无固定部分，由已知结果知 这种情况不存在 ( i i ) 口= 2 时，俨为2 次曲线，矗昭( n 俨) 1l ，如g ( 一厶np ) 6 ，一n 俨关 于i 厶一a n 伊( 3 ) l 没有给出独立条件，即j l o ( j - a n c 口( 3 ) ) j l o ( c k ( 3 ) ) 一d 绍( 一nc 口) ，且 i 厶一厶n 伊( 3 ) i 无固定部分，由已知结果这种情况不可能 ( i i i ) a = 3 时，俨为3 次曲线，如g ( n 俨) 1 4 ，咖( 一nc 口) 3 ，一nc 口关 于l 丁a 一n 伊( 2 ) i 没有给出独立条件，即 o ( 厶一厶n c 口( 2 ) ) 庇o ( c k ( 2 ) ) 一d 昭( 一nc 口) ，且 l 厶一n 伊( 2 ) i 无固定部分，但由已知结果这种情况不可能 ( 6 ) d = 1 6 时，s 4 ，1 7 l o ( 厶( 5 ) ) 6 ，至少有六条5 次曲线和一条4 次曲线经过若 i 厶( 5 ) l 无固定部分，易知= c 4 c 5 一c 4 c 5 c 1 = c 4 c 5 一f 4 个共线点) ，即经过n 厶 由n o e t h e r 定理得，c 5 = a c 4 + 砚，再由相交数( c 4 ，c 5 ) = ( c 4 ，召) + ( c 4 ，己) ，即c 4nc 5 的 2 0 个点是c 4nb 的1 6 个点和nl 的4 个点，所以= c 4 c 5 一 4 个共线点) = c 4 若i 厶( 5 ) l 有固定部分，设i 厶( 5 ) i = a + 俨( 俨为固定部分) ，类似以前的讨论知 口3 ， o ( 厶一n c 口( 5 一口) ) = 矗o c 以( 5 ) ) 5 一n 俨不可能关于i 厶一n 伊( 5 一口) i 给出 独立条件 ( i ) 口= l 时，c 口为直线，矗昭( n 俨) 6 ，矗昭( 一厶n 俨) l o ， 一n 俨关于l 厶n 伊( 4 ) i 没有给出独立条件，且i 厶一n 伊( 4 ) i 无固定部分，由己知结果知 这种情况不存在。 ( i i ) 口= 2 时，俨为2 次曲线，如g ( nc 口) 1 1 ，如g ( 一nc 口) 5 ，一n 俨关 于i 厶_ a n 伊( 3 ) i 没有给出独立条件，即i l o 阮一厶n 伊( 3 ) ) o ( c k ( 3 ) ) 一d 昭( 一n 俨) ，且 l j 一n c 口( 3 ) i 无固定部分，与已知结果矛盾 ( i i i ) a = 3 时，俨为3 次曲线，如g ( n 俨) 1 4 ，出g ( 一nc 口) 2 ，一nc 口关 于i 厶一n 伊( 2 ) i 没有给出独立条件，即 o 仃一a n 伊( 2 ) ) j l o ( c k ( 2 ) ) 一d 馏( 一n ) ，且 i 厶一n 伊( 2 ) i 无同定部分，与已知结果矛盾 定理c 的证明：已知日1 阢( 6 ) o ，关于l 厶( 6 ) i 没有给出独立条件，z = 8 ， 2 1 d 2 8 ，满足d 筹，由定理7 ，j 三。一1 + 厕) ( 1 ) d = 2 8 日寸j 6 ，庇o ( 酝( 6 ) ) = | l o ( ( 奴( 6 ) ) 一c 据g + j l1 ( ，( 6 ) ) = 2 8 2 8 + j l1 ( ，( 6 ) ) 1 ， 则在一条6 次曲线上，此时7 l o ( 厶( 6 ) ) o c k s ( 6 ) ) = 办o ( c k ) o ( c k ( 6 ) ) 一如g = o ， 关于l 厶( 6 ) l 没有给出独立条件，因此这种情况存在 1 7 第三章主要结论的证踢 ( 2 ) d = 2 7 时s 6 ，| l o ( 厶( 6 ) ) = o ( 0 k ( 6 ) ) 一d e g + 1 ( j a ( 6 ) ) = 2 8 2 7 + 1 ( 以( 6 ) ) 2 ， 至少有两条6 次曲线经过若i 厶( 6 ) l 无固定部分，易知= c 6 c 6 一c 6 c 6 c 3 = c 6 c 6 一( 9 个点在3 次曲线上 若阮( 6 ) i 有固定部分，设阢( 6 ) i = a + 俨( 伊为固定部 分) ，类似以前的讨论知a 5 ，7 l o ( 厶一6 n 伊( 6 一叻) = | l o ( 厶( 6 ) ) 2 易知一n 俨不可 能关于i 厶一厶n 俨( 6 一口) i 给出独立条件 ( i ) 口= l 时，c 哆为直线，据g ( nc 恤) 7 ，d 昭( 一nc ) 2 0 ， 一n 伊关于i 厶一n p ( 5 ) l 没有给出独立条件，且l 厶一a n c 。( 5 ) i 无固定部分，由已知结果知一 n 俨= c 5 c 5 一 5 个点在2 次曲线上l ，从而= c 5 一 5 个点在2 次曲线上) + 7 个共线点l ， 此时 o ( 厶( 6 ) ) = j l o ( 厶一n 伊( 5 ) ) = o ( 仉( 5 ) ) 一如g ( 一n 俨) + 1 ( 厶一n 伊( 5 ) ) 2 ，所 以此种情况存在 ( i i ) 口= 2 时，c 口为2 次曲线，d p g ( nc 口) 1 3 ，d p g ( 一nc 口) 1 4 ，一n 关于i 厶枷俨( 4 ) l 没有给出独立条件，且i 厶枷c l f ( 4 ) i 无固定部分，由已知结果知 一n 俨= c 4 一 2 个点l ，从而= c 4 c 4 一1 2 个点) + 1 3 个点在3 次曲线上 ，此时 矗o c 厶( 6 ) ) = o 玩一n p ( 4 ) ) = j i o ( ( k ( 4 ) ) 一咖( 一nc w ) + 矗1 ( 厶一n 伊( 4 ) ) 2 ，所以此 种情况存在 ( i i i ) 口= 3h 寸，c 口为3 次曲线，咖( nc 口) 1 7 ，咖( 一nc a ) 1o 一nc 口 关于l ，一m 。( 3 ) i 没有给出独立条件，且l 厶一n 伊( 3 ) i 无固定部分，由已知结果知这种情 况不存在 ( i v ) 口= 4 时，c 盯为4 次曲线，d 昭( n c 口) 1 9 ，咖( 一n c 口) 8 ，i 厶一n 伊( 2 ) l 无 固定部分，7 l o ( 死一6 n c 口( 2 ) ) = l o ( 死( 6 ) ) 2 ，一np 关于i 厶一厶n c 口( 2 ) i 没有给出独立条 件，由已知结果知这种情况不可能发生 ( v ) 口= 5 时，俨为5 次曲线，同样的讨论知这种情况不可能发生 ( 3 ) d = 2 6 时s 6 ，办o ( 酝( 6 ) ) = o ( 九(