（基础数学专业论文）非负ricci曲率与riemann流形的拓扑有限性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s v 4 ii i i i i ii i i i ii i l l1 1 1 1 1i l l l1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 0 9 7 15 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 乏易 日期：呻年6 月争日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：毛缘 日期：7 年1 月日 导师叛巷2j 每 日0 年易月年日1 埘c j 汐了 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的规定享受相关权益。园童途塞逞童蜃进卮；旦坐生；旦二生；旦竺生蕉查! 作者签名： 毛艺 日期：即年月日 锄始套土i 名 日期山刃年6 月甲 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要对r i c c i 曲率非负的完备开流形的拓扑结构进行研 究，利用比较定理和r i e m a n n 流形上距离函数的临界点理论得到 了有关其拓扑结构的一些结果具体地说，我们证明了 定理i 设m 为完备非紧具非负r i c c i 曲率和大体积增长的n 维r i e m a n n 流形，且k m 一c ( c 0 为常数) ，如果存在p m 使 得 n ms u p ( 絮掣一) 扣) 仃n 8 l o 厢9 2 、i 扣1 q m ， 则m 具有有限拓扑型 定理i i 设m 为r i c c i 曲率非负的n 维完备非紧r i e m a n n 流 形， o m 0 ，且存在p m 满足b ( 7 ) 一赤，v r 0 ，其中 c 0 ，q 【o ，2 】为常数，则存在e = e ( 几，e a ) 0 ，使得只要 v o l _ b ( ：p f , r ) 0 都成立，则m 与舭微分同胚 定理i i i 设府是完备非紧的r i e m a n n 流形，芦府，离散群 g 纯不连续等距作用于厨，丌：府_ 府g 是自然投射如果流形 m ：= i c 非紧且 l i m s u p r + 则g 是有限群特别地，如果厨是m 的万有复叠空间，则7 r l ( m ) 有限 关键词：非负r i c c i 曲率；临界点；有限拓扑型；基本群 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h et o p o l o g yo fc o m p l e t eo p e nm a n i f o l d s w i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e w eu s ec o m p a r i s o nt h e o r e m sa n dt h e t h e o r yo fc r i t i c a lp o i n t so fd i s t a n c ef u n c t i o n s o nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s t 0 聆ts o m es t r u c t r u a lr e s u l t so ft h e s em a n i f o l d s s p e c i f i c a l l y ，w ep r o v e t h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e mil e t ( m ，9 ) b eac o m p l e t en o n c o m p a c tn - m a n i f o l d s w i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dl a r g ev o l u m eg r o w t h s u p p o s e t h a t - t 船 ( 掣一) 一) 一o 。 t h e o r e mi il e tmb eac o m p l e t eo p e nr i e m a n n i a nn - m a n i f o l d w i t hr i c f 0 ，a 彳 0 a s s u m et h a tk p ( r ) 2 一订研c f o rs o m ep m a n da l lr 0 , w h e r ec 0 a n da 【0 ，2 1a r ec o n s t a n t s i ft h e r ei sa c o n s t a n te = e ( n ，c ，a ) 0s u c ht h a t v o l b ( p , r ) 0 t h e nm i sd i f f e m o r p h i ct o 鼢 t h e o r e m1 1 1l e t 廊b eac o m p l e t en o n c o m p a c tr i e m a n n i a n m a n 。 i f o l da n dd i s c r e t eg r o u po fi s o m e t r i e sg a c tp r o p e r l ya n dd i s c o n t i n u o u s l y o n 厨乒府7 r ：府_ 廊gi s t h en a t u r a lp r o j e c t i o n i ft h eq u o t i e n t m a n i f o l dm ：= 厨ci sn o n c o m p a c ta n d i i m s u p r d i a mo b ( p ，7 ) r 0 时，s 是单点集，从而m 与时微 分同胚，这是g r o m o l l m e y e r 的结果c h e e g e r - g r o m o l l 曾猜测如果m 的 截面曲率拟正( 即k m 0 且在某点p m 处 0 ) ，则m 也与r ”微分同 胚这个猜测在1 9 9 4 年被p e r e l m a n 证明 对r i c c i 曲率的研究则始于将有关截面曲率的结果推广到曲率条件较弱 的r i c c i 曲率情形，在此过程中发展了许多工具和技巧，如平均曲率比较， ， 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l a p l a c e 比较以及重要的b i s h o p - g r o m o v 相对体积比较同时人们构造了许 多例子表明截面曲率和r i c c i 曲率之间的差异值得注意的是在研究截面曲 率有下界的流形中起着重要作用的t o p o n o g o v 比较定理被证明在r i c c i 曲 率条件下一般并不成立 s h a - y a n g 1 0 1 的例子表明b e t t i 数定理在r i c c i 曲 率情形也不成立 1 9 8 5 年，g r o m o l l m e y e r 5 1 构造的例子表明灵魂定理在 非负r i c c i 曲率的条件下也不成立 1 9 7 2 年，c h e e g e r - g r o m o l l 4 1 将t o p o n o g o v 分裂定理成功地推广到非 负r i c c i 曲率，得到了著名的c h e e g e r - g r o m o l l 分裂定理：设m 是几维完 备非紧r i c c i 曲率非负的r i e m a n n 流形，如果m 含有一条测地直线，则m 与n ”1 酞等距同构，其中是他一1 维流形且r i c 0 根据b i s h o p 体积比较定理我们知道，在具非负r i c c i 曲率的n 维流形m 上以p m 为心7 为半径的测地球b ，r ) 的体积满足v o l b ( p ，r ) 】p ， 其中表示 中单位球的体积在刚性( r i g i d i t y ) 情形，即等号成立时m 与r n 等距同构而且如果r i c m n 一1 且v o l ( m ) = v o l ( s ”) ，则m 与铲 等距同构由这些刚性结果我们自然会问，在等号几乎成立时会有什么情况 发生 1 9 9 7 年，c h e e g e r - c 0 1 d i n g 证明了下述稳定性结果：存在e ( 礼) 0 ， 使得如果n 维完备r i e m a n n 流形m 满足r i c m 凡一l 且v o l ( m ) ( 1 一) v o l ( s “) ，则m 与伊微分同胚这个结果首先为p e r e l m a n 所证，但 他得到的结果要较这里弱 在三维情形，非负或正r i c c i 曲率有很强的拓扑含义h a m i l t o n 证明 了紧致单连通具有正r i c c i 曲率的流形必微分同胚于s 3 s c h o e n y a u 用极小 曲面证明了任意完备r i c 0 的开流形都与r 3 微分同胚1 9 9 4 年， z h u 将这个结果加强为如果r c 0 且在某点处 0 ，则m 就与r 3 微分同胚 早些时候，z h u 1 8 】还证明了如果r i c m 0 且v o l b ( p ，r ) 】c r 3 ，则m 是 可缩的m e n g u y 6 1 的例子表明这个结果在4 维时是不成立的 1 1 1 非负r i c c i 曲率与基本群 基本群作为最简单的拓扑不变量，r i c c i 曲率对它的影响是深刻的经典 的m y e r s 定理告诉我们，如果m 完备紧致且r i c m 0 ，则7 r l ( m ) 有限有 例子表明其中的正r i c c i 曲率条件不能减弱为非负，如平环p ，7 r 1 ( p ) = 舻 由c h e e g e 卜g r o m o l l 分裂定理可知r i c m 0 的紧致佗维流形m 的基本群 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 有一个指数有限且秩n 的自由交换子群 研究非负r i c c i 曲率与基本群的关系一般有两个方向，即研究基本群的 增长和刻画基本群的结构，特别是其子群的性态利用复叠空间和体积比较 定理m i l n o r 7 1 证明了7 r 1 ( m ) 的任一有限生成子群都有阶不超过n 的多项式 增长率g r o m o v 证明了有限生成群r 具有多项式增长率当且仅当r 是几 乎幂零的，即r 有一个指数有限的幂零子群结合m i l n o r 和g r o m o v 的结 果我们知道7 r l ( m ) 的任意有限生成子群都是几乎幂零的由此我们自然会 问是否任一幂零群都可以作为某个完备非紧r i c c i 曲率非负流形的基本群 w e i 1 5 1 的结果表明任意有限生成无挠幂零群都可以作为某个r i c 0 的流形的基本群w i l k i n g 进一步证明了任意有限生成几乎幂零群具有这个 性质这就让我们对r i c c i 曲率非负流形的基本群的结构有了较好的了解 然而，m i l n o r 7 1 在1 9 6 8 年提出的下述猜测至今未获解决 m i l n o r 猜测完备非紧具非负r i c c i 曲率流形的基本群是有限生成的 事实上，有关r i c c i 曲率与基本群关系的研究始终都是围绕这个猜测进 行的，并已取得了一定的进展如果m 满足r i c m 0 且具有欧氏体积增 长( 即存在c 0 ，使得v o l b ( p ，r ) 】c r 住) ，利用热核估计，l i 于1 9 8 6 年 证明了丌1 ( m ) 是有限的a n d e r s o n 2 】用体积比较也得到了同样的结果在 没有曲率条件的假设下，a n d e r s o n 还在m 及其万有复叠空间满足一定体 积增长的条件下证明了m 的基本群是有限的1 9 9 9 年，s o r m a n i 1 4 1 证明 了如果m 满足r i c 0 且具有小线性直径增长，即 d i a m o b ( p , r ) 0 ，凰( m ，z ) 却是无限生成的因此，要想对r i c c i 曲率非负的 非紧流形得到拓扑有限性结果，必须附加其它条件 这方面的第一个重要结果是a b r e s c h g r o m o l l 1 1 在1 9 9 0 年得到的他们 证明了如果r i c c i 曲率非负的完备非紧流形m 的截面曲率k m k 一o 。 且直径增长满足d i a ma b ，r ) = d ( r 去) ，则m 有有限拓扑型值得注意的 是，a b r e s e h - g r o m o l l 在证明上述结果时得到了重要的e x c e s s 估计，这是在 r i c c i 曲率条件下得到的第一个距离估计，有着广泛的应用 鉴于r i c c i 曲率和测地球体积增长之间的关系，人们自然想到用体积增长 条件取代a b r e s c h - g r o m o l l 的直径增长条件s h e n w e i 证明了如果r i c m 0 ，k m k 一，v o l b ( p ，7 - ) 】= o ( r l + 去) 且i n 匕m v o b ( x ，1 ) 】v 0 0 ， 则m 具有有限拓扑型随后，s h e n 1 2 1 利用m o r s e 理论证明了如果m 是 正常的( p r o p e r ) 且r i c c i 曲率 0 ，则它与一个维数扎一2 ( 胞腔个数可能 无限的) c w 复形同伦等价特别地，凰( m ，z ) = 0 ，i n 一1 进一步，p e r e l m a n 8 1 证明了v n 0 ，存在一个只依赖于流形维数的正 数e ( 几) ，只要r i c m 0 ，q m 1 一e ，则m 可缩，其中o l m ：= 等掣为 大体积增长常数 2 0 0 0 年，m e n g u y 6 1 构造了一个r i c c i 曲率 0 具有欧 氏体积增长的4 维流形m ，- 2 ( m ，z ) 是无限生成的，这表明上述e ( n ) 必须 充分小沿着这一方向，1 9 9 6 年s h e n 1 3 1 证明了在一定曲率条件或共轭半 径条件下，只要流形满足等警釜鲁业= o t m + d ( 由) 就有有限拓扑型随后， s h a - s h e n 9 】，x i a 1 6 ，1 7 等人在此基础上又作了进一步的研究 s h a - s h e n 9 1 研究了具非负r i c c i 曲率和二阶曲率衰减的流形，得到了下 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 面的结果：具非负r i c c i 曲率和大体积增长的的完备非紧流形m 如果存在 p m 满足( r ) 一再知( b ( r ) 的定义见第3 节) 且 、v o l b r ( p , r ) = a m + o ( 高两) ， 其中c 0 ，q 【o ，2 】为常数，则m 具有有限拓扑型在大体积增长和相 同的曲率条件下，我们得到了下述较强的结果：即存在e = e ( n ，c ，a ) 0 ， 使得只要 掣 0 都成立，则m 与舯微分同胚 x i a 在【1 6 】中改进了s h e n 1 3 】的结果，证明了如果r i c m 0 ，口m 0 ，k m 一c ( c 0 ) 且存在p m 满足 n m s u p 0 ，使得只 要q m 1 6 ( n ) ，则m 就与瓞n 微分同胚 1 2本文安排 本文基于比较几何和r i e m a n n 流形上距离函数的临界点理论，将继续 研究非负r i c c i 曲率与流形的拓扑结构之间的关系 本文的安排如下： 第2 节是预备知识，简要介绍介绍了比较几何的基本内容和r i e m a n n 流形上距离函数的临界点理论以及r i a m a n n 流形上复叠空间理论 第3 节我们研究了非负r i c c i 曲率与流形的拓扑型及基本群间的关系， 给出了本文的主要结果及证明 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第2 节预备知识 本节我们给出第3 节中要用到的一些定义，定理和命题，这也是比较几 何的基本内容 2 1比较几何基础 首先我们给出测地射线和测地三角形的定义 定义2 ，l 测地线1 ：f o ，+ o 。) _ m 称为测地射线，如果对于任意的 s ，t 0 ，都有d ( y ( s ) ，y ( t ) ) = is t1 丫o ，t 1 ，讹) 称为m 上的测地三角形，如果每个m 都是正规测地线且 y i ( 1 i ) = + l ( 0 ) ，其中l i = ! ( 讹) 下面的t o p o n o g o v 比较定理在研究截面曲率有下界的流形中起着重要 作用 定理2 2 ( t o p o n o g o v 比较定理) 设m 为佗维完备r i e m a n n 流形且其 截面曲率h m h 为常曲率日的2 维空间形式，d 和d h 分别为m 和m 月上的距离函数 ( 1 ) 设 丫o ，t x ，y 2 是m 上的测地三角形，t o , y 2 是极小的且f l + 2 2 f o ( 若h 0 ，设l o 南) 则在m h 上存在测地三角形 ( 响，吼，吼) 使得每 一吼都是极小的且如= 2 ( 吼) = 如， 么( 梳7 ( o ) ，一亿( 匠) ) 么( y ：( o ) ，一7 ：( f 2 ) ) ， z ( 1 7 1 7 ( o ) ，一吼7 ( 石) ) 么( y ：( o ) ，一y ：( f o ) ) ( 2 ) 设 t o ，t 2 ，q ) 为m 上的h i n g e ( ；若h 0 ，设l o 卉) ， 怕，吼，q ) 为m h 中满足如= 云的h i n g e ，则 d ( t o ( z o ) ，1 ，2 ( 0 ) ) ( 吼( z o ) ，吼( 0 ) ) 对于r i c c i 曲率有下界的r i e m a n n 流形，我们有下面重要的体积比较 定理 定理2 3 ( b i s h o p g r o m o v 相对体积比较定理) 设m 为n 维完备r i e - m a n n 流形，r i c m ( 几一1 ) h ，则对任意p m 和0 0 设是p m 的单位球丛昂( m ) 中的闭子集，令 b e ( p ，r ) = z b ( p ，r ) i 存在从p 到z 的极小测地线丫，使得1 ，7 ( o ) ) 对任意0 7 ，令 耳( r ) = ”i 测地线v ( t ) = e x p p ( 切) 在【o ，r ) 上极小) 易知 pr 2 ) c p ( r 1 ) ，0 0 ，则 有 业掣q m ( , g n l 。 下面我f t i l l 进剩余函数( e x c e s sf u n c t i o n ) 的定义，这是一个在研究r i c c i 曲率中起着重要作用的函数 定义2 7 给定p ，q m ，vz m ，定义关于p ，q 的剩余函数e p i g ：m r 为 e p , q ( z ) ：= d ( p ，z ) + d ( q ，z ) 一d ( p ，g ) 设1 ，： 0 ，十) 一m 为一条从p 出发的测地射线且z m ，易知 勺，1 ，( t ) ( z ) = d ( p ，z ) + d “( ) ，z ) 一t 关于t 单调递减且e p ，丫( t ) ( z ) 0 ，定义关 于p 和1 ，的剩余函数 e p ，1 ，( z ) 2 l i m 。e m ) ( z ) ， ( 2 3 ) 则 邰，丫( z ) e p ，1 ，( ) ( z ) ， v 0 ( 2 4 ) 关于剩余函数，a b r e s c h g r o m o l l 证明了下面重要的e x c e s s 估计： 定理2 8 1 1 】设m 是几维完备r i e m a n n 流形，r i c m o ，7 ：【0 ，t 】一m 是任意一条从p 到q 的极小测地线，则对任意z m 有 扣( 等) 由 ( 2 5 ) 其中r = m i n ( d ( p ，z ) ，d ( q ，z ) ) ，s = d ( x ，y ) 命题2 9 剩余函数在下述意义下是单调的：设叮和t 分别是连接p ，z 和q ，z 的测地线，少，亘分别是叮和下上的点，则唧，4 ( z ) e m ( z ) 8 硕士学位论文 m a s t e r st l q 【e s i s 证明：由三角不等式易知 e p , q ( z ) 一e 庐，4 ( x ) = d 0 ，痧) + d ( 痧，审) + d ( 尊，q ) 一d ( p ，q ) d ( p ，牙) + d ( 牙，q ) 一d ( p ，q ) 0 故得证 2 2r i e m a n n 流形上距离函数的临界点理论 口 r i e m a n n 流形m 上关于点p m 的距离函数岛在点p 的割迹g 上 是不光滑的，它仅在m ( 如) u g ) 上光滑，但是我们仍然可以对其建立一套 与光滑函数的m o r s e 理论类似的理论，这个思想首先是由g r o v e - s h i o h a m a 在证明直径球面定理时引进的，随后被g r o m o v 所发展并用其得到了著名的 b e t t i 数估计 定义2 1 0 点口m 称为如的临界点，如果对于任意的单位向量u 正m 都存在从q 到p 的极小测地线丫使得么( 丫7 ( o ) ，v ) 詈，或等价地， ( 7 7 ( 0 ) ，v ) 0 通常也简单地说g 是p 的临界点不是临界点的点称为正则 点 注：根据上述定义，点p 显然也是c f d 的临界点由于临界点和角有密 切联系，因此应用中常要结合t o p o n o g o v 比较定理 命题2 1 1 设m 是完备的r i e m a n n 流形，p m ，则如的正则点集是 开集 证明：设q 是出的正则点，则存在单位向量写m 使得对任意一条 从g 到p 的极小测地线盯都有( v q ，一( 0 ) ) 0 将u 口延拓为g 的某个开邻域 u 上的光滑向量场y ，则有 ( k ，0 ，( o ) ) 0 ，v 百矿 若不然，则存在收敛到g 的点列 吼) 和从岱到p 的极小测地线族矾满 足( ，( o ) ) 0 ，设吼_ 仃，则。是一条从q 到p 的极小测地线且满足 ( k ，一( o ) ) 0 矛盾 口 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 1 2 流形m 称为具有有限拓扑型，如果存在一个紧致区域qcm ， 使得a q 是一个拓扑流形且m q 同胚于0 f lx 【o ，+ 。) 合痕引理2 1 3 1 3 设p m ，r 1 o 为常数) ，如果存在p m 使得 h m s u p 0 代替 1 3 】 设m 是n 维完备非紧r i e m a n n 流形，固定p m ，v r 0 ，令 讳( 7 ) _ m i 晰n f ) k m 易知( r ) 0 且是7 的单调函数 定理3 3 设m 为r i c c i 曲率非负的佗维完备非紧r i e m a n n 流形， o m 0 ，且存在p m 满足( 7 i ) 一研c ，v r 0 ，其中c o ，q o ，2 】 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为常数，则存在e = e ( n ，c q ) 0 ，使得只要 v o l _ b 磊( p , 一r ) 0 都成立，则m 与舯微分同胚 ( 3 2 ) 定理3 4 设庇是完备非紧的r i e m a n n 流形，多府，离散群g 纯不 连续等距作用于厨，7 r ：府_ 府g 是自然投射如果流形m ：= 厨a 非 紧且 l i r as u p d i a mc 0 b ( p , r ) j 口 证明：根据合痕引理，只须证vz m ，只要d ( p ，z ) 充分大，则z 不是 p 的临界点由( 3 1 ) 可知，je 0 和充分大的r l ，使得 由 r + - i 丽l o g 2 飞vr r 2 8 c8 q c 令r o = m a x ( r l ，r 2 ) ，则对vr r 0 ，由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 得 一v o l b ( p , r ) 1 + 2 - “( p l i f 1 + 2 - n l r e ) “+ 击一1 ) a 憎 击。g1 2 丽 1 3 r l ，( 3 6 ) ) ) 皓1 卜 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 力一 堕旷 6 | 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 任取。m b ( p ，t o ) ，令r = d ( p ，。) ，则由( 3 4 ) 和( 3 8 ) 得 d ( z ，局) 2 q 二坐掣一q m ) 击r ( 赤魄( 南) ) 瓢叶扣r ：( 壶魄( 未) ) 1 + 争；声者 9 ， 因为局是m 的闭子集，故存在q 马，使得 8 ：= d ( x ，q ) = d ( x ，局) 由( 3 9 ) 可知，d ( x ，g ) r 任取从p 出发通过q 的测地射线y ：【0 ，+ 。) _ m ，利用三角不等式易知 m i n ( d ( p ，z ) ，d ( 1 ，( ) ，z ) ) = r ，v t 2 r 因此q 1 ，i ( o 2 ，) 且d ( x ，yl 【0 ，2 ，】) = 8 从而由( 2 4 ) ，( 2 5 ) 和( 3 9 ) 有 勺，7 ) e p ，1 ，( 2 ，) ( z ) 8 ( 等) 由 0 和任意 一条从z 到- r ( t ) 的极小测地线叮：【0 ，d ( x ，1 ，( t ) 】_ m ，因为z 是p 的临界 点，故存在从z 到p 的极小测地线下，使得么( 一( o ) ，r ( o ) ) 三对测地三角 形“i o i f 】 盯，t ) 应用t o p o n o g o v 比较定理得 c o s h ( v 否t ) c o s h ( x c d ( x ，7 ( ) ) c o s h ( x 否r ) ， 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st i - i e s i s 在上述不等式两边分别乘以2 e v 它( 川) 并令t _ + o 。得 e , - c rs e x p ( v 雷e p ，v ( z ) ) c o s h ( v c r ) ， 即 ( z ) 而1 。g ( 百) 与( 3 1 0 ) 矛盾，故z m b ( p ，r o ) 不是p 的临界点，由z 的任意性可知， 在m b ，r o ) 中不存在p 的临界点证明完成 口 3 3定理3 3 的证明 证明：设6 = 6 ( q ，c ) 嘉充分小是下列不等式的解 c o s h 2 ( 2 。而j ) 一c o s h ( 2 。厄兰6 ) o 取定理中的e 满足 嘛 m i n b 去( 南) 欲证m 与舯微分同胚，根据圆盘定理，只须证vz ( p ) m ，z 都不是p 的临界点令r = d ( p ，z ) ，由( 3 4 ) 知j 口b ，满足 d c z ，q ，= d c z ，f b ，2 q ! 旦芝掣一a m ) 丢r 从而由e 的取法知 s ：d ( z ，嘞) 2 q 1 ( e q m ) 击r r - 詈 所以当6 充分小时，vt 【0 ，d ( 庐，亘) 】，都有d ( p ，j d ( ) ) ；，即v ( t ) m b ( p ，i ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 理得 在m b ( p ，i ) 上对h i n g e ( 仃i 【o 打量 ，下1 i o , 6 r 基j ) 应用t o p o n o g o v 比较定 c o s h ( 警铂) _ c o s h 2 ( 2 a v c 沪s i n 哦2 响m c s 埘 其中曰：= 么( 一( o ) ，一( o ) ) 且我们利用了m 的截面曲率在m b 0 ，；) 上满 足k m 一譬，利用三角不等式和命题2 9 得 故 d ( j 5 ，z ) + d ( 4 ，z ) 一d ，亘) = e 】两( z ) e p ，1 ，( 2 ，) ( z ) 6 垒 2 6 r 暑一三j r 詈 ：0 考 = 一rz 2 s i n h 2 ( 2 。扼6 ) c 刚c o s h 2 ( 2 。厄6 ) - - c o s h ( 2 。而兰6 ) 三 1 7 ( 3 1 6 ) 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 4定理3 4 的证明 证明：设丌) = p 因为m 非紧，故存在从p 出发的测地射线1 ，： f o ，+ o o ) _ m 设测地射线彳：f 0 ，+ 。o ) 一府是1 ，在厨中满足7 ( o ) = p 的提升任取孟= g p l o g ) 令r = d ( 乒，牙) ，则 d 府( 牙，7 ( r ) ) d m ( p ，y ( r ) ) = r ( 3 1 7 ) 假设g 是无限群，则由g 在府上的作用是纯不连续的可知g f 是无界的， 故存在 磊】cg 痧，使得 从而有 又由( 3 1 7 ) 得 7 i = d 侈，磊) _ + 。o ，( i _ + 。) d i a m o b ( 痧，n ) d 府( 磊，彳( n ) ) 7 i ， 与( 3 3 ) 矛盾，故g 是有限群如果肘是m 的万有复叠空间，则z q ( m ) 与g 同构，从而z r l ( m ) 有限 口 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 u a b r e s h ，d g r o m o l l ，o nc o m p l e t em a n i f o l d so f n o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e , j o u r n a lo fa m s ，3 ( 1 9 9 0 ) ，3 5 5 3 7 4 【2 】m a n d e r s o n ，o nt h et o p o l o g yo fc o m p l e t em a n i f o l d so fn o n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r e ，t o p o l o g y , 2 9 ( 1 9 9 0 ) ，4 1 5 5 j c h e e g e r c r i t i c a lp o i n t so fd i s t a n c ef u n c t i o n sa n da p p l i c a t i o n st og e o m e t r y , l e c t u r en o t e si nm a t h ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 5 0 4 ( 1 9 9 1 ) ，1 3 8 【4 】j c h e e g e r ，d g r o m o l l ，t h es p l i t t i n gt h e o r e mf o rm a n i f o l d so fn o n n e g a t i v e r i c c ic u r v a t u r e ，j d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , 6 ( 1 9 7 1 ) ，1 1 9 - 1 2 9 【5 】d g r o m o l l ，w t m e y e r ，e x a m p l e so fc o m p l e t em a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c i c u r v a t u r e , j d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , 2 1 ( 1 9 8 5 ) 1 9 5 - 2 1 1 【6 】x m e n g u y , n o n c o l l a p s i n ge x a m p l e sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ea n di n f i n i t e t o p o l o g i c a lt y p e g e o m f u n c t a n a j ，1 0 ( 2 0 0 0 ) ，6 0 0 6 2 7 【7 】j m i l n o r ，an o t eo nc u r v a t u r ea n df u n d a m e n t a lg r o u p ，j d i f f e r e n t i a lg e o m e - t r y , 2 ( 1 9 6 8 ) ，1 - 7 【8 g p e r e l m a n ，m a n i f o l d so fp o s i t i v er j c c jc u r v a t u r ew i t ha l m o s tm a x i m a lv o l - u m e ，j o u r n a lo fa m s ，7 ( 1 9 9 4 ) ，2 9 9 - 3 0 5 9 】j s h a ，z s h e n ，c o m p l e t e m a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dq u a d - u a t i c a l l yn o n n e g a t i v e l y c u r v e d m f i n i t y , a m e r j o u r m a t h ，1 1 9 ( 1 9 9 7 ) ，1 3 9 9 - 1 4 0 4 1 0 】j s h a ，d y a n g ，e x a m p l e so f m a n i f o l d so f p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e ，j d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , 2 9 ( 1 9 8 9 ) ，9 5 1 0 3 。 【1 l 】z s h e n ，c s o r m a n i ，t h et o p o l o g yo fo p e nm a n i f o l d sw i t h