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哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 b o x 样条小波和二维正交多小波的构造 摘要 小波分析是一本小波基的字典。小波基的构造是小波分析的一个重要研 究方向，尺度函数与小波函数的种类和数量有很多，其构造法也有许多种。 小波的构造在小波分析中起着尤为重要的作用。特别是多小波不仅具有单小 波的良好性质，而且克服了单小波不能同时具有对称性、正交性、紧支撑性 的缺陷。多小波在进行完美重构的同时，可以保持能量，在边界具有良好的 性能，具有高阶逼近。因此，近年来多小波被广泛应用着。本文给出两种小 波构造的方法，具体工作如下： 基于二元b o x 样条函数的性质，分别利用h a a r 尺度函数和h a a r 小波 函数，通过卷积运算构造了一类新的尺度函数和小波函数。然后给出了该小 波函数为二元b o x 样条小波的几个充分条件，最后给出了二元b o x 样条小 波的表达式。 基于酉矩阵，提出了由二维正交单小波函数构造二维正交多小波函数的 构造方法。本文将小波分析理论和酉矩阵结合，利用它们的一些相关性质构 造了二维正交多小波函数，这种二维正交多小波函数可由所给的二维正交单 小波函数的线性组合得到，只要给出一个二维正交单小波和一个酉矩阵就可 以构造一个二维正交多小波，此构造法使得多小波的构造更加简便。 本文着重利用不同的单小波，分别结合二元b o x 样条函数和酉矩阵构 造了二元b o x 样条小波和二维正交多小波。这为解决一般的小波构造问题 提供了理论基础。 关键词尺度函数；二元b o x 样条；f 交多小波 哈尔滨理丁大学理学硕十学位论文 co n s t r u c t i o no fb o x - s p l i n ew a v e l e t a n db i v a r i a t em u l t i 一v e l e t u l t i - w a v e l e tm a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sad i c t i o n a r yo fw a v e l e tb a s e s c o n s t r u c t i n gw a v e l e t b a s e si sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c to fw a v e l e ta n a l y s i s t h e r ea r em a n yk i n d s o fs c a l ef u n c t i o n sa n dw a v e l e tf u n c t i o n sa sw e l la sc o n s t r u c t i o nm e t h o d s c o n s t r u c t i o no fw a v e l e t sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nw a v e l e ta n a l y s i s i n p a r t i c u l a r ，m u l t i - w a v e l e t sn o to n l yh a v eg o o dp r o p e r t i e so fs i n g l ew a v e l e tb u t a l s oo v e r c o m et h e d e f e c tt h a ts i n g l ew a v e l e tc a nn o ts i m u l t a n e o u s l yp o s s e s s s y m m e t r y ，o r t h o g o n a l i t ya n dc o m p a c ts u p p o r t w h i l em u l t i - w a v e l e tp r o v i d e s p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，i tc a ns i m u l t a n e o u s l yp r e s e r v ee n e r g y ，g o o dp e r f o r m a n c e a tb o u n d a r i e s ，a n dah i g ho r d e ro fa p p r o x i m a t i o n h e n c e ，m u l t i w a v e l e ti sw i d e l y u s e dr e c e n t l y t w om e t h o d so fc o n s t r u c t i n gm u l t i - w a v e l e ta r eg i v e ni nt h i sp a p e r , c o n c r e t e l y , t w oa s p e c t sf i n i s h e di nt h i st h e s i sa r e a sf o l l o w s ： s i n c et h eg o o dp r o p e r t i e so fb i v a r i a t eb o x s p l i n ef u n c t i o n ，ak i n do fn e w s c a l ef u n c t i o na n dw a v e l e tf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db yu s eo fh a a rs c a l ef u n c t i o n a n dh a a rw a v e l e tf u n c t i o n s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nw h e nt h en e w w a v e l e ti sb i v a r i a t eb o x s p l i n ew a v e l e t a tl a s t ，t h ee x p r e s s i o no fb i v a r i a t eb o x s p l i n ew a v e l e ti so b t a i n e d a na p p r o a c ho fc o n s t r u c t i n gb i v a r ia t eo r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tf u n c t i o ni s p r e s e n t e db yg i v e nb i v a r i a t eo r t h o g o n a l u n i w a v e l e tf u n c t i o nb a s e do nt h e u n i t a r ym a t r i x c o m b i n i n gt h es t r e n g t ho f w a v e l e t sa n a l y s i st h e o r ya n du n i t a r y m a t r i x ，t h eb i v a r i a t eo r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e du s i n gt h e p r o p e r t i e so fw a v e l e t sa n a l y s i st h e o r ya n du n i t a r y m a t r i x t h eb i v a r i a t e o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tf u n c t i o ni sal i n e a rc o m b i n a t i o no ft h eg i v e nb i v a r i a t e o r t h o g o n a l u n i w a v e l e tf u n c t i o n b i v a r i a t eo r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e tc a nb e c o n s t r u c t e ds ol o n ga so r t h o g o n a lu n i w a v e l e tf u n c t i o na n da n yu n i t a r ym a t r i x a r eg i v e n t h i sm e t h o dm a k e sb i v a r i a t eo r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e te a s yt ob e - i i 哈尔滨理丁大学理学硕i ：学位论文 c o n s t r u c t e d t h i st h e s i sf o c u s e so n c o n s t r u c t i n gb i v a r i a t eb o x - s p l i n ew a v e l e ta n d b i v a r i a t e o r t h o g o n a l m u l t i w a v e l e t u s i n gb i v a r i a t eb o x - s p l i n ef u n c t i o na n d u n i t a r ym a t r i xr e s p e c t i v e l y t h e s em e t h o d ss u p p l yt h e o r e t i c a lb a s i sf o rs o l v i n g g e n e r a lw a v e l e tc o n s t r u c t i o np r o b l e m k e y w o r d s s c a l a rf u n c t i o n ，b i v a r i a t eb o x - s p l i n e ，o r t h o g o n a lm u l t i - w a v e l e t i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文( b o x 样条小波和二维正交 多小波的构造，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集 体均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者虢罗搏 吼叫年钿彦日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 ( ( b o x 样条小波和二维j 下交多小波的构造系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理 工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部 或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密由 。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 罗孵 叩移 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题研究的目的和意义 小波分析理论与应用的研究已取得了丰硕的成果，被广泛应用到工程的各 领域，尤其是在信号处理、图像处理、地震勘测、语音识别、c t 成像等领域被 广泛地应用。随着小波分析理论的兴起，不但再生核理论越来越引起社会各领 域学者的关注，而且多小波也被越来越多的学者提及。 m e y e r 曾说，小波分析是一本小波基的字典n 1 。小波基的构造是小波分析的 一个重要研究内容，尺度函数与小波函数的种类和数量有很多，其构造法也有 许多种担，3 引，但由已有的尺度函数与小波函数构造新的尺度函数与小波函数， 这方面的工作尚少。因此由已有的尺度函数和小波函数来构造新的小波函数， 无论是对于理论分析还是实际应用都具有重要的意义，而样条小波是一种常用 的小波基函数，利用多分辨分析( m r a ) 构造出来的样条小波，其表达式较为繁 杂。自从d e b o o t 与d e v o r e ，d e b o o r 与h o l l i g 引进b o x 样条之后怕，引，由于 b o x 样条具有良好的性质及丰富的结构，所以它很快成为一个活跃的研究方 向。由此本文针对二元b o x 样条和h a a r 小波函数的良好性质构造了一类新的 小波函数，使得二元b o x 样条小波的构造更加简便，这为一般的小波构造提供 了理论基础。 多小波同时具有对称性、正交性、紧支撑性，而这些性质单小波不可能同 时具有。多小波在进行完美重构的同时，可以保持能量( 正交性) ，在边界具有 良好的性能( 线性相位对称) ，具有高阶逼近( 消失矩) 。多小波的构造通常可转化 为厂，的矢值滤波器矩阵系数的求解。与单小波相比，由于矩阵中的运算要比 实数中繁琐，这就使得多小波的构造明显比单小波困难。 多小波是单小波的推广，它既保持了单小波所具有的良好时域与频域的局 部化特性，又克服了单小波的缺陷，多小波相对单小波的优势在于 ( 1 ) 多小波同时具有对称性、j 下交性、光滑性和紧支性，这些性质是图像处 理中十分重要的性质。 ( 2 ) 多小波滤波器组没有严格的低通和高通划分，通过对多小波预滤波，能 够将高频能量转移到低频，从而有利于提高压缩比。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 2 国内外在该方向的研究现状及分析 1 2 1 小波分析发展简史 小波分析和应用是当前数学和信号处理领域一个迅速发展的新兴学科。与 f o u r i e r 变换相比，小波变换是时间( 空间卜频率的局部变换，能够通过m a l l a t 算 法快速处理并可以从信号中有效提取信息，克服了f o u r i e r 变换的缺点，被誉为 “数学显微镜”。它被认为是继f o u r i e r 分析之后，调和分析发展史上的又一里程 碑。 小波理论的发展从一开始就与f f ( r ) 正交基的构造紧密联系在一起。小波基 的多样性、灵活性是它的最大优点。从某种意义上讲，传统的f o u r i e r 分析是以 工具为主体来解决问题的，而小波分析是一种“面向对象”的数学工具。不同的 小波函数往往具有不同的时间( 空间卜频率特性，具体表现为消失矩、正则 度、支撑性以及对称性等性能指标的多样性。 小波分析是f o u r i e r 分析发展的一个新阶段，它被认为是调和分析，即现代 f o u r i e r 分析这一重要学科半个世纪以来的工作之结晶。1 9 1 0 年，h a a r 构成了一 个正交规范基，从现在来看，它是最简单的小波规范正交基，有好的局部性， 但基函数缺乏光滑性 1 。1 9 8 4 年，法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部 性质时发现传统f o u r i e r 变换难以达到要求，因此它引进小波的概念，并用于信 号分析中对信号进行分解，这为二进紧支撑小波构造提供了契机m 1 。与此同 时，d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 矛l m e y e r 对完全重构的非讵交小波基进行了详细的研 究，给出了小波的可容许性条件并证明了一维小波函数的存在性。 2 0 世纪8 0 年代后期，是小波发展的又一重要时期。1 9 8 6 年，m e y e r 创造 性的构造出一个快速下降的无穷可微的函数，它的二进伸缩与平移系 h ( 加2 彤y ( 2 - j x _ k ) ：舻z 构成厶( r ) 的规范正交基，同时也是所有s o b o l e v 空间的无条件基。1 9 8 7 年， l e m a r i e 幂l b a t t l e 又分别独立的构造出具有指数衰减的k 次可微的小波函数，并具 有k 次消失矩，其平移和二进伸缩构成厶( r ) 的规范正交基旧1 ，同时，也是 s o b o l e v 空间日。( s 0 ，工r( 2 8 ) 以 由于伸缩因子和平移因子都是连续变化的，因此沙州( f ) 为连续小波基函 数。它们是由同一母函数( f ) 经伸缩和平移后得到的一组函数系。 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 将 厂( f ) r ( r ) 在连续小波基下展开，称这种展开为函数的连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m c w t ) ，其表达式为 ( r 似州) = ( 饨) ，旷砸) ) = 口1 ，。饨) ( 等) a t ( 2 9 ) 若伸缩因子和平移因子分别取为离散形式的2 一。和2 一后，其中，k z ，令 伸缩平移后的函数为雎( f ) ，则有 y j ，t ( f ) = 2 - j 2 ( 2 t 一尼) ，k z 由于伸缩因子和平移因子都是离散的，因此擎j , k ( 力为离散小波基函数。特 别地离散币交小波函数族在小波分析中占据重要地位，它形成了平方可积函数 厂( f ) 的一组正交基，即 r ( r ) 一p a n l g j ，女( f ) k 。z 当一定时，y 触构成了l 2 ( r ) 上闭子空间形，的正交基。即 彤2s p a n _ l g j ( f ) k 这样，空间l 2 ( r ) 被分解为一系列子空间，的直和 亭( r ) 2 昱 从而f ( t ) 的小波级数表示为 生 厂( f ) = d j k 肌( f ) k = - a o 在c w t 条件下研究小波变换的像空间的意义在于，这些小波基形成一组 非j 下交过度完全基，其任意函数的小波展开系数之问有一个相关关系。而对于 f 交离散小波，因为其形成了平方可积函数空问r ( r ) 的一组j 下交基，任意函数 的小波展开系数可由基底唯一确定，它们之间不存在相关关系。 因为连续小波变换小波展开系数之问具有相关关系，使得连续尺度和时移 半平面a x ( a 0 ) 上的某一点似。，x 。) 的小波变换值( r 厂) ( 口。，工。) 都可以看成 半平面上其他各点小波变换系数的总贡献。 ( t w a ”f ) ( a o , x o ) = 古r 。d 利af + 。p ( 邮) k ( a , x ；a o , x o ) d x ( 2 - 1 0 ) 一w 一 称公式( 2 1 0 ) 为重建核方程，其中 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 k o ，x ；a 0 ) = ( 吵4 ”，沙钿丙) = r 妙4 。而 为再生核或重建核( 再生或重建的含义是尺度和时移相半平面上的已知点可根据 重建核方程再生或重建出一点) 。k ( a ，x ；a 0 , ) 表征了连续尺度和时移半平面 a x ( a 0 ) 的两个不同点之间的c w t 的相关关系。它的结构取决于小波的选 取，实际上这个重建核度量了每个小波以。( f ) 的空间和尺度的选择性，因此将 非常有助于选择最适于给定问题的小波。正如可容许性条件指出的，并不是任 意函数f ( t ) 均可作为小波一样，从a x 看，也不是任意f ( a ，工) 都可作为 仃一厂) ( 口，x ) ，它必须满足重建核方程。由重建核方程可知，连续小波是一种冗 余度很高的基。 2 3 多分辨率分析 如果有一个j 下交小波，它的二进尺度伸缩平移函数族 ， 吩，。( x ) = 2 一j ( 2 x - k ) j , k z 构成亭( r ) 的f 交规范基，即r ( r ) 可由g s j ，。( x ) 线性张成 r ( 尺) = c l o s f 沙m ( x ) ；j , k z 进而任何函数( 石) i _ 7 ( r ) 可以展开为二重求和的小波级数 丁( x ) = 嘭，。，。( z ) 其中d j ，。= ( 厂，。) 。 现将公式( 2 1 3 ) 改为 i ( x ) = 毋( z ) = 乃，。吩，。( x ) 其中g j ( z ) = 嘭，。吩，。( 工) 。 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) 可以看出，g j ( x ) 是信号i ( x ) 中含有的以第j 级小波的平移函数族为基的 展开式，可简称为厂( z ) 的第j 级小波分量。于是可以定义由 肚，尼z l 线性张 成的空间 = c l o s f ，。( x ) ，k z ( 2 15 ) 为j 级小波空间。它是r ( r ) 的一个子空间，r ( r ) 空问可分解为各级小波空间 的和，即 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 ( r ) = + 矿l + w o + 彬+ ( 2 1 6 ) 在缈( x ) 是正交小波的情况下，由于它们的基是相互正交的，所以各小波空 间也是相互正交的。因而，基于正交小波，r ( r ) 可被分解为小波空间的正交 和，即 ( r ) = o 矿iow 0o 噬o ( 2 一l7 ) 虽然从理论上看，公式( 2 1 6 ) 和公式( 2 1 7 ) 的分解是完美的，但从信号分析 的实践来看，小波展开式的双重无限和是难以实现的，且对于实际信号而言， 其最高频率总可以认为是取有限值，所以在正整数域中取值的上限总是有限 的，而一个实际信号可以含有任意低的低频成分。因此为了获得f ( x 1 中的低频 信息，小波展开式中的，在负整数域中取值至，专一是不可避免的，除非能将 f ( x ) 中的低频成分用另外一类基函数作展开。这样就引入尺度函数，尺度空间 及多分辨率分析等一系列概念。 定义2 1 函数矽( f ) r ( r ) 为尺度函数( s c a l a rf u n c t i o n ) ，若其整数平移系列 苁( t ) = 矽( f 一后) 满足 ( 织( t ) ，以，( f ) ) = ，七，k 7 z ( 2 18 ) 定义2 2尺度函数矽( f ) 在平移的同时又进行尺度伸缩，得到一个尺度和 位移均可变化的函数集合 ， 办。( ) = 22 矽( 2 f k ) = 吮( 2 - j t ) ( 2 1 9 ) 则称每个固定尺度上的平移系列苁( 2 - j t ) 所张成的空间匕为尺度空间 巧= c l o s f 办。t ( f ) ，七z ，j z ( 2 - 2 0 ) 定义2 3 多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间 ) ，z ( 1 ) 一致单调性：c ckcv ock lck 2 ： ( 2 ) 渐近完全性：n 一= 0 ；u = r ( r ) ； j e z j e z 。 ( 3 ) 伸缩规则性：( f ) 圪营s ( 2 7 f ) v o ，j z ； ( 4 ) 平移不变性：( t ) v ojf ( t - n ) z o ，对所有n z ； ( 5 ) 正交基存在性：存在矽，使得 伊( f 一刀) ) 膻是的正交基，即 g o = s p a n c o ( t - n ) ) l 伊( 卜，z ) 妒( 卜m ) d t = 8 m 。 其中，正交基存在性条件可放宽为r i e s z 基存在性，因为r i e s z 基可构造出一组 哈尔滨理t 大学理学硕l ：学位论文 正交基来。 由多分辨率分析概念知，矽( f ) ，( f ) 分别为尺度空间v o 和小波空间w o 的一 个标准正交基。又由于c 圪。，w oc 眨。，所以矽( f ) ，沙( f ) 也必然属于f 。，故 矽( f ) ，杪( f ) 可用圪。的正交基正。，。( f ) 线性展开 矽( o - - e h oo ) 丸( f ) = 压j i z o ( n ) 矽( 2 卜刀) ( 2 2 1 ) 沙( f ) = j l l ( 刀) 丸。( f ) = 2 7 l i ( n ) q k ( 2 t - n ) ( 2 - 2 2 ) 其中i j l o ( n ) = ( 矽( f ) ，丸。( f ) ) ，( 刀) = ( y ( f ) ，丸。，。( f ) ) ，称公式( 2 - 2 1 ) 和公式( 2 - 2 2 ) 为两 尺度方程。 2 4 正交多小波 由于多小波具有更大的自由度和灵活性，因而也成为人们用以解决正交单 小波与同时具有正交性、对称性、紧支撑性等多种性质之间矛盾的一种方法。 所谓正交多小波系统是指相应的多尺度分析不止由单个函数生成，即它相 应的尺度函数不止一个函数，而是由多个函数构成的函数向量，相应的小波也 是由多个函数构成的函数向量。首先给出，重多分辨率分析的概念。 定义2 4 如果 1 ) n = 0 ；u = 寥( r ) ； 斥zy e z 。 2 ) _ c + l ，w z ： 3 ) f ( t ) 巧c f ( 2 t ) 巧+ l ，w z ； 4 ) 存在，个所谓的正交尺度函数唬( f ) ，办( f ) ，痧一，( f ) 使得 谚( t 一尼) ，k z ，f = o ，1 ，一1 构成v o 的标准正交基，称r ( r ) 中的闭子空间串 圪) ，e z 为r ( r ) 的，重多分辨率 分析。 设 l 皿为r ( r ) 的r 重多分辨率分析，p ( f ) = ( ( f ) ，诌( f ) ，痧一。( ) ) 。为相 应的正交尺度函数，( f ) = ( 弘o ( f ) ，。( f ) ， 一。( f ) ) 。相应的正交小波函数，相应 的二尺度方程为 函( f ) = 2 h 。a 0 ( 2 t - k ) ，( f ) = 2 g 。t ： ( 2 t k ) ( 2 2 3 ) k e z k e z 其中风= ( 红, k r + v ) 。钆时- l ，q = ( g u , i r + v ) 怄”妒。，后z 均为r x r 的数量阵。 尺度函数( f ) 和小波函数y ( f ) 在下面的意义下正交 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 1 f r q k u ( t ) q k ( t - k ) d t = c r u ，c r o 。 r g u ( t ) 沙v ( t 一后) 出= q o - o 。t ( 2 - 2 4 ) 1 f n c k u ( t ) g ，( t 一七) 出= 0 定义如下正交投影算子 r ，一ir 一 i乞：r ( r ) 专巧，e = ( 厂，虼) 虼= 。织 6 2 7 ， k 5 z p = o ，一。 ( 2 - 2 5 ) lg ：r ( r ) 专髟，q j = t - | ( ，蜕。) 蛾。= 彤。蜕。 lk e z 2 0 k e zu 2 0 其中 ，二( f ) = 2 专丸( 2 7 卜后) ，缈，：( f ) = 2 j j ( 2 7 卜后) ，吃= ( ，虼) d p 。= ( ，气) 相应的正交多小波的分解算法和重构算法为 1 ) 分解算法 2 5 本章小结 。：压r - i 吃眦帅哆。p 衅舻? ( 2 2 6 ) 一 r - ! 嘞= 2 g ，眦。) 州哆。p 本章讲述f o u r i e r 变换、连续小波变换、多分辨分析以及j 下较多小波在信号 处理中的应用，从而更清楚地了解小波、多小波的优点。所以作为全文的预备 知识，本章不仅包括f o u r i e r 分析理论，也包括小波分析理论的基本概念和性质 定理。这些对于下文的研究都起到了很重要的作用。 乃 乏 q p蟛m纠”邑 川脚阻 压 + p m 功卜 一脚衅 厄 = 法略 算构重 芍 哈尔滨理工人学理学硕上学位论文 第3 章基于h a a r 小波的二元b o x 样条小波 3 1 引言 m e y e r 曾说，小波分析是一本小波基的字典。小波基的构造是小波分析的 一个重要研究方向，尺度函数与小波函数的种类和数量有很多，其构造法也有 许多种，但由已有的尺度函数与小波函数构造新的尺度函数与小波，目前的工 作较少。本章应用h a a r 尺度函数和小波函数的一些良好性质，结合二元b o x 样条小波，构造了一类新的尺度函数和小波函数，并给出了新的尺度函数和小 波函数为二元b o x 样条和b o x 样条小波的充分条件，借助一元b 样条得到了二 元b o x 样条的表达式。这种构造方法使得二元b o x 样条小波的构造更加简便， 并为一般的小波的构造提供了理论基础。 3 2 二元b o x 样条函数 用r 2 表示整个实平面， v c o = ( q ，吃) t r 2 ，x - - - = ( x i ，艺) 7 r 2 ， 令 x = ( 而，恐) 7 表示r 2 上的点。 对于 定义内积为x 缈= 五( 0 1 + 而哆。 e ( r 2 ) = ( z ) r 2 ：r ：i 厂( x ) 1 2d x = r ：i 厂( 五，乇) 1 2 奶呶 f ( 2 x ) 巧+ i ，j z 3 ) 厂( x ) v o 亡，f ( x 一七) v o ，足z 2 4 ) 存在函数g v o ，使得 g ( x - k ) ，后z 2 ) 构成的r i e s z 基。 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 定义3 3 若( x ) r ( r 2 ) 满足i r 2y ( x ) 出= o ，则称沙( x ) 为小波函数。 定义3 4 令聊= ( _ ，坍：，m 3 ) ，其中m 。，m 2 均为自然数，为非负整数， 嚣= 秭+ + 铂，q = ( 1 ，o ) r ，乞= ( 0 ，1 ) r ，乞= ( 1 ，1 ) r ，则矩阵 a = ( q ，q ，乞，乞，e 3 ，乞) 所对应的二元b o x 样条函数为 b ( xl 川2 ( 。m 怕) ( x ) = n c x ) 2j 。以。( 而一r ) 以：( 吃一f ) 虬，( r ) d r 且 r ：似) b ( xi a ) d x = k 。f ( a t ) d t = p ：f ( 艺t , e l + o + 艺t 3 e 3 ) d t l a t r f l i m t + r t l ,-n 。、一、 i f f i l i f r a i + ii = m i + 小2 + i 其中vf c o ( r 2 ) 。 引理3 1 令m = ( m l ，m 2 ，m 3 ) ，其中m i ，m 2 均为自然数，鸭为非负整数，并 且c = ( + 鸭，m 2 + m 3 ) r ，如果 q 。( 缈) = q ( 。m ，1 3 ) ( q ，吐) = z 2 2 s i n 堕 2 q 一2 k 1 7 那么存在以 o ，吃 0 ， 且有如下恒等式成立 1 一使得对所有缈r 2 有 以q 。( c o ) 吃 ( 3 一1 ) q 。( 缈) 三2 。( c - 1 ) e 胁 i e z 2 引理3 2 若定义 哕= q 2 7 虬( 2 7 x - k ) ， q ) 1 2 ( z 2 ) 七z 2 则 ，z 构成r ( r 2 ) 的熊+ l 阶正则的多分辨分析，其中为纸( z ) 的光滑度。 引理3 3 氓( x - k ) ，k = ( k l ，k 2 ) z 2 构成曙的r i e s z 基。 证明 由引理3 1 知，存在厶 o ，吃 0 ，使得 q 。( 缈) = 2 。( c - 1 ) e 肋= l 矾( 国+ 2 k 万) 1 2 女z ok e z 2 满足 以q 。( 缈) 吃 竺上锄 n 一，_ 曼卸2 一吱 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 k 驴帅卅卜1 1 1 剐磊b 咿肋怕，卜 执k 磊i 钒矿m c 砷牡 去巩s 囊矿卜州缈 钉蚶9 嚷m ( x 一足) 9 吃蚶 旧i s 凡。 k 2 s n 2 i i 降i | s 一，k i s 蚀0 2 隔i s 一，i 女2 i 也 所以 m ( x - k ) ，k z 2 ) 构成曙的r i e s z 基。 引理3 3 b o x 样条心( x ) = ( m ) ( 工) 具有如下性质：【：u m x ) d x = 1 。 3 3 二元b o x 样条小波的构造 定理3 1 若妒( 石1 ) ，缈( x 2 ) 三2 ( r ) 为h a a r 尺度函数，历( 工) f f ( r 2 ) 为二元 b o x 样条，如果( 功= 妒( 五) 矽( 恐) ，则。( 石) = 拼( x ) 冰中( x ) 为一尺度函数，其 中m = ( ，z l + 1 ，m 2 + 1 ，m 3 ) 。 证明由定义3 1 和定义3 4 ，知 。，( x ) = 乙( x ) 宰缈( x ) = j r ：n m ( x f ) 6 p ( t ) d t2 j r 2 j r 虬。( j c l t l f ) n m ：( x 2 一t 2 一f ) 帆，( r ) d r 切( t ) d t = ，i ，1 ， j 。j 。j r ( 五一一f ) 之( 屯一t 2 一r ) 蠢( f ) 缈( ) a p ( t 2 ) d r d t - 必= j 。虬i + i ( 而一f ) 虬：+ - ( 艺一f ) 。 r ) d r 2 批叫也+ l 码) ( 功= 虬，( z ) 令- - t c k 2 7 以，( 2 7 石一后) ，慨) 1 2 ( z 2 ) ，则由引理3 2 和引理3 3 知 虬，( x ) 为一尺度函数。 冈此 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 。，( 功= 虬( x ) 奎( x ) 为一尺度函数。 定理3 2 若沙( x 1 ) ，少( x 2 ) l 2 ( r ) 为h a a r 小波函数，虬( 工) l 2 ( r 2 ) 为 二元b o x 样条，如果甲( 功= 沙( 玉) 缈( 恐) ，则甲。( 工) = m ( x ) 木甲( x ) 为一小波函 数。 证明由定义3 3 和引理3 4 ，知 j r ：甲。，( x ) d x 2j 。：帆( x ) 木q ( x ) d x2 j r ：j r ：虬“一f ) w ( t ) d t d x = p i ，i ， j 。j o 沙( ) y ( f z 础- 必j r ：虬( x t ) d x = 0 因此 甲。( x ) = 二( x ) 木甲( x ) 一定为小波函数。 3 4 构造二元b o x 样条小波的充分条件及其表达式 在多分辨分析 巧 越中，给定序列 以，。) ， q m ) ，2 ，则驴( x ) 和g t ( x ) 的两尺 度关系为 乒( 工) = n x i ，x 2 ) = p m q 3 ( 2 x , 一咒，2 x 2 - m ) 妒( x ) = 痧( _ ，而) = e q 。，驴( 2 _ 一，z ，2 x 2 - m ) 且称 户( z ) = 去以，。z 1 2 2 2 刁- - 1 m 耍( z ) = 去吼。肼彳虿 为相应的两尺度符号，其中户( z ) 和亘( z ) 为以2 万为周期的二元函数，则两尺度 关系的f o u r i e r 变换为 参( 缈) ：户( z ) 参( 罢) 汐( 缈) ：亘( z ) 参( 罢) 哈尔滨理下大学理学硕上学位论文 3 4 1 构造二元b o x 样条小波的充分条件 定理3 1 3 若中( 工) ，。，( 工) 和甲( 工) ，甲。，( x ) 分别形如定理3 1 和定理3 2 中的 ( x ) ，。，( 力和甲( 工) ，甲一( 力且歹( z ) 为甲。，( z ) 的尺度符号，如果o ( d e ( r 2 ) 为 甲。，( x ) 所对应的尺度函数，h ( z ) 为其尺度符号，当h ( z ) 和t ( z ) 满足 【l z 1 ) ( 1 一z 2 ) 月【么) = ( 1 + z i ) ( 1 + z 2 ) ? ( z ) ( 3 2 ) 时，甲。，( x ) 为二元b o x 样条小波。 证明由题意知 $ 。( 彩) = 日( z ) $ 。( 詈) ( 3 3 ) 每( 缈) = ? ( z ) $ 。( 詈) ( 3 4 ) 设尸( z i ) 和q ( z 1 ) 分别为缈( 五) 和沙( 五) 的两尺度符号，p ( z ：) 和q ( z 2 ) 分别为 f o ( x ：) 和( 而) 的两尺度符号，则有 ( 1 + z ，) q ( z ) = ( 1 一互) p ( 互) ，i = l ，2( 3 - 5 ) 由甲。，( x ) = 帆( x ) 枣甲( x ) 知 审。，( 缈) = 矾( 国) 晕( 缈) = 矾( 缈) 痧( q ) 汐( 呸) = 丸( 缈) q ( z 。) ，( 等) q ( z ：) 多( 等) ( 3 6 ) 由公式( 3 2 ) ( 3 6 ) 知 $ 。( 彩) = h ( z ) 6 。( 要) = 箬1z 桨鲁耶灿。( 刍2 ： ( 一。) ( 1 一z 2 ) 一 一7 1 zz 婶。排 ( 一。) ( 1 一：) ”一。 黼，积( 堋z 1 ) q ( z 2 ) 俄爷( 争 矾( 缈) 尸( z 1 ) p ( z 2 ) ( 等) 痧( 冬) = 矾( 缈) 痧( 缈) 则有 。( x ) = l ( x ) ，i c ( x ) = 。，( 石) 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 因此。，( x ) 为甲。，( 工) 所对应的尺度函数。 又。( x ) 为二元b o x 样条，所以甲。，( 力为二元b o x 样条小波。 定理3 4 若o ( 工) 和，( x ) 形如定理3 1 中的( x ) 和。( x ) ， 伊( 一) ，缈( j c 2 ) l 2 ( r ) 为h a a r 尺度函数，( 五) ，缈( 而) r ( r ) 为h a a r 小波函数， m ( x ) e ( r 2 ) 为二元b o x 样条，甲( 石) = 伊( 五) y ( 屯) ，甲。，( x ) = 虬( 工) 木甲( 工) ， t ( z ) 为甲。，( x ) 的尺度符号，如果。( z ) l 2 ( r 2 ) 为甲，( z ) 所对应的尺度函数， h ( z ) 为其尺度符号，当h ( z ) 和t ( z ) 满足 ( 1 一z j ) h ( z ) = ( 1 + z 2 ) 丁( z ) ( 3 7 ) 时，甲。，( 工) 为二元b o x 样条小波。 证明由题意知 $ 。( 缈) = ( z ) $ 。( 罢) ( 3 8 ) 审( 缈) = 丁( z ) $ 。( 等) ( 3 9 ) 设p ( z i ) 和q ( z 。) 分别为r p ( x 。) 和y ( 一) 的两尺度符号，p ( z ：) 和q ( z ：) 分别为 缈( ) 和( 屯) 的两尺度符号，则有 ( 1 + z i ) q ( 互) = ( 1 一互) p ( z f ) ，i = l ，2 ( 3 1 0 ) 由甲。，( 石) = 虬( x ) 木甲( x ) 知 9 ，( 缈) = 矾( 缈) 巾( 缈) = 机( 彩) 痧( q ) 汐( 哆) = 矾( 甜) p ( z 。) 痧( 等) q ( z ：) 痧( 等) ( 3 11 ) 由公式( 3 7 ) - ( 3 - 11 ) 知 面。( 缈) = h ( z ) $ 。( 詈) = 鼎叫z ) $ 。( 刍2 ： ( 1 一z ，) 、7u、7 譬关阜( ) ： ( 1 一z ) ”、7 鲁暑矾( 缈) p ( z i ) q ( z 2 ) 俄等) 俄等) = 矾( 国) p ( z 。) p ( z 2 ) 痧( 等) 多( 冬) = 矾( 缈) 痧( 缈) 哈尔滨理下大学理学硕 ：学位论文 则有 。( 功= 卅( x ) 木( x ) = 。( x ) 因此，( 功为甲。，( 工) 所对应的尺度函数。 又。，( x ) 为二元b o x 样条，所以甲。( x ) 为二元b o x 样条小波。 定理 3 5 若o ( 石) 和。，( 工) 形如定理3 1 中的巾( 工) 和( x ) ， 矽( 五) ，缈( 而) l 2 ( r ) 为h a a r 尺度函数，( 五) ，( 恐) 亭( r ) 为h a a r 小波函数， 虬( 工) f f ( r 2 ) 为二元b o x 样条，甲( z ) = y ( _ ) e ( x 2 ) ，甲。，( z ) = 虬( x ) 奉甲( x ) ， 丁( z ) 为甲。，( x ) 的尺度符号，如果。( 工) l 2 ( r 2 ) 为甲，( x ) 所对应的尺度函数， h ( z ) 为其尺度符号，当h ( z ) 和r ( z ) 满足 ( 1 一z 。) h ( z ) = ( 1 + z 1 ) r ( z )( 3 - 1 2 ) 时，甲。，( x ) 为二元b o x 样条小波。 证明由题意知 哦( c o ) = h ( z