（基础数学专业论文）一类一阶椭圆型方程组的schauder估计.pdf

摘要 本文考察了在两维平面上，当边界并非光滑的情况下，一类一阶椭圆型方程组 的边值问题文中采取了s e h a u d e r 估计的方法，选取了一种加权的h 6 1 d e r 范数，通 过将一阶椭圆组化为二阶的形式，利用二阶椭圆方程相关结果，得到了方程组的正 则性和n e d h o l m 型可解性结果 关键词：椭圆型方程组，s c h a u d e r 估计，h 6 1 d e r 范数 中图分类号：0 1 7 5 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rab o u n d a r yp r o b l e mf o rf i r s to r d e re l l i p t i cs y s t e mo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt w od i m e n s i o n a ld o m a i nw i t hn o n s m o o t hb o u n d a r y t h e p r o b l e mi sc h a n g e dt oac o r r e s p o n d i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra ne l l i p t i ce q u a - t i o no fs e c o n do r d e r b yu s i n gt h ee s t i m a t e si naw e i g h t e dh s l d e rs p a c ef o rs e c o n d o r d e re q u a t i o n s ，w ee s t a b l i s h e dap r i o r ie s t i m a t e sf o rt h ef i r s to r d e re l l i p t i cs y s t e m t h e nw ep r o v e dt h er e g u l a r i t yt h e o r e ma n dd e d h o l ma l t e r n a t i v ee x i s t e n c et h e o r e m f o ro u rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m k e y w o r d s ：e l l i p t i cs y s t e m s o f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s c h a u d e re s t i m a t e s ，h 6 1 d e r n o r m s c l cn u m b e r ：c 1 1 7 5 2 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外。不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作者签名 互穆 论文使用授权声明 日期：鲨i ：! ! ：! ? 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 第一节引言 一阶椭圆型偏微分方程组作为偏微分方程理论中的一部分，在分析，物理，力学 等领域起到重要的作用例如o a u c h y r i e m a n n 方程 ra 札a l 瓦一万2 ia 让0 v 【万+ 瓦2 即为解决很多问题的基础关于在边界光滑的情况下的一阶椭圆型偏微分方程组的 边值问题的理论，s a g m o n ，a d o u g l i s & l n i r e n b e r g 在1 9 5 9 年的 4 】和1 9 6 4 年 的 5 中已经作了详细的分析本文主要考虑在具有非光滑边界的平面区域n 中， 一阶椭圆型偏微分方程组 a u = + b + c u = f ， 在1 2 中 ( 1 2 ) 当边界上满足 0 1 1 1 , l + p 乱2 = 9 ， 在a 口上 ( 1 3 ) 的边值问题 这时在4 ，5 1 中建立的c o 类型或w t p 类型的s c h a u d e r 估计并不适用但可以 引入带权的h 6 1 d e r 模，并按这种模建立s c h a u d e r 估计，从而导出解得可解性和正则 性结果本文中采用一种含双指标的h s l d e r 型范数对开集力r ”，将和边界a 口 的距离大于d 的点集记为珐，取范数为 i u i = s u p 6 + b l u l 。，伪 ( 1 4 ) o 这样的范数是d g i l b a r g 与l h s r m a n d e r 在讨论含非光滑边界区域上的二阶椭圆 型方程的边值问题时首先引入的【1 】 本文第二节主要介绍含双指标h s l d e r 型范数和函数空间的一些定义和性质，第 三节将一阶椭圆型方程组化成含一个未知函数的二阶方程并导出s c h a u d e r 型的估 计，第四节即导出一阶椭圆型方程组的f r e d h o l m 性可解性和正则性结果 第二节预备知识 这里先介绍一下本文所涉及的一些相关的函数空间和范数的概念和定义，以及 一些后文将会用到的一下性质设口为舻中的有界凸开集，记凰( n ) 是疗上的连 续函数空间，并且有范数 川o = s u pi u ( z ) 1 ( 2 1 ) 定义1 对非负整数k 若k 0 对任意d 0 ，则定义胖( 口) 为力中满足川有限的函数的集合 由上面定义可知，若a + b 0 可得= 0 ，所以这里我们恒假设a + b 0 ，而 且还有联- a ) ( 力) = 日。( n ) 下面列出本文可能需要用到的关于此函数空间的一些 性质，这些性质的证明可参见【1 1 引理1 如果0 a 7 a ，a 7 + b 0 ，非整数6 ，b 0 ，则有 川? l 札i ? ( 2 4 ) l u i 妙 ( 2 5 ) 引理2 如果0 c j n + b ，a 0 ，则 i 让 i 乎c ( 1 u 伊。，川3 c 1 + 川护川垆一)( 2 6 ) 引理3 若6 ，o ，0 n 7 ( 雌：| + i ：笼i ) 2 蚴 对边界条件( 2 8 ) ，我们要求0 2 + p 2 0 可以验证在这时，( 2 8 ) 作为方程组 ( 2 7 ) 的边界条件满足s a g m o n a d o u g l i s l n i r e n b e r g 意义下的c o m p l e m e n t i n g 日 9 黝 方分微啸型圆j 錾为7 ，2 ，l 口王 方陡 o 欲 = i | i b 他 姑 a n n 卜 0 a 机抛 l 2 2h 屯 o = a a 2 2机抛 + + 他 嬲 n 0 第三节先验估计与解的正则性 本节主要通过将方程组( 2 7 ) 化成二阶椭圆型方程，利用【1 】和【2 】中y e t - - - 阶 椭圆型方程的结论来得出关于方程( 2 7 ) 解得先验估计 首先给出f 2 1 中关于二阶椭圆方程在斜微商边界条件下的s c h a u d e r 估计式，以 便下文引用， 定理1 设a 和b 为非整数的实数，且有1 2 ，口r “为一有界开 集且具有风边界假设 p = 只d 。 在力中 l o i 2 m = m 。d 。 在o y 2 e ! d l l 其中有正的常数c 满足 只。c l , 1 2 f r “ i o i = 2 m 0 i o i = i 最后若有 p 。吃芝6 i fl o i 2 ， m 。h b l ( a 力) z ，i n 1 ， m h o - 。o ；i f 川= 2b 0 有 e ( 5 1 ) 满足 l u 2 l 。( 1 一- 1 b s 1 l “2 6 + c ( e 1 ) l u 2 l o ( 3 2 6 ) 又因为有b a ，以及通过引理l 我们可以得到 c l u 2 ib 一1 ，a 口= u e l l u 2 l r 6 ( 一l - 1 b a ) 口 c l u 2 ( 1 - 1 b ) ， ( 3 2 7 ) 所以伺 e i u 2l ：譬+ c 阻21 6 1 ，a n e i u 2l 砷+ o l u 2l o ， ( 3 2 s ) 其中 1 综上可得到 m 。k l 。旷e ( 怫i a nw - i 掣m i 卿+ i 呲i + i u 。i 。) ( 3 2 9 ) 上面所有都为针对札。所做的运算，相同的计算过程可以得到关于u 2 的估计式，即为 i r 6 ) _ ii 扩吣c 一外i 矿川卿m i 卿仆- i 。讹i i 。) ，( 3 3 0 ) 、一 士2但p 岛 +垃 以 ，：_ 、 譬 临p 州 卜 岛 + + 埘o “p 以 川 。警 ，一，一 e c 曲2但p l 第三节先验估计与解的正则性9 ：j ：i a 。1 ：2 芝i ，设q = l ：芝芝i ，将两个方程乘以q 然后再分别作用岛和允并相 三t = ( 良( q i 。a 。l 。ln a 。1 。2 i ，) + 岛( q j a 。l 。l 芝i ) ) 或札z + ( 以( q i ：圳) + 奠( q l ：芝耋! | ) ) 岛：t + ( 吼( q k ：到) + 岛( q 巨：芝：1 ) ) 札- 氏= o x ( q a 2 2 ) f i o 。( q a l 2 ) 1 2 + o u ( q b 2 2 ) f l o u ( q b l 2 ) ，2 一以( q 1 ：乏i ) 地一吼( q i ：菱：i ) “。， 。3 印 i o , ( q a 2 2 ) f d 。( 2 - 2 b c ( 1 良( q n 2 2 m 、l ( 2 一- 2 b i f i i o + i o x ( q a 2 2 ) i5 c ) i i 。( 2 - 2 b 一一) ( 3 3 6 ) 由此可知或中的项可以与户一样，被( 3 2 2 ) 所控制，所以剩下的过程同前面常系 数的做法一样，从而得知估计式( 3 3 ) 对于方程组( 2 7 ) 为变系数的情形也成立口 由s c h a u d e r 估计以及逼近方法( 见【l 】) ，我们即可建立关于边值问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) 定理3 在定理2 的条件下，设札c ( o ) 满足边值问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，若 ，日：与6 ( 口) 及g h b ( a 仃) ，则有日：一 第四节关于解的存在性的讨论 关于问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的存在性，可以建立如下的两择性的结论 定理4 对于方程( 2 7 ) 以及边界条件( 2 8 ) ，满足定理2 中的条件假设，则对 ， h o - 扪，9 h b ，方程组有f r e d h o l m 两择性的可解性结果：如果齐次方程即 = g = 0 时只有平凡解，则原非齐次问题在臃一6 中有唯一解；如果齐次方程有非 平凡解，则此解空问为威“中一个有限维的子空间 证明 由第三节，方程组的解札l ，“2 满足 l l u l = f 1 + k l u 2 l ：u 2 = 尼+ k 2 t c i 其中左边l 1 为( 3 8 ) 中的二阶椭圆算子，而 l 。= 一i a i 磋一i b | 需一i 。i 以。+ l ：i ( 4 1 ) ( 4 2 ) c 2 2 h ( 4 引 d 2 1 也同样为二阶椭圆算子右边的 日= a 2 2 以 一a t 2 巩丘十6 2 2 巩，l 一6 1 2 乱厶， ( 4 4 ) 令 f 2 = 0 2 1 巩，i a l l 如，2 + 6 2 l 吼1 1 一b l l 吼，2 ， ( 4 5 ) k - = 七 尬= 七 l = ( 吉三) k ：f ，o 甄、i ， f ： ，20 ( 2 ) ，制 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 2 1 e 6 良 船 虬 c 0 以 屯 2 2 l l 2 2 2 2 c 6 c b 2 2 1 l c b c 6 一 一 瓦 以 础 蚴 例 蚴 第四节关于解的存在性的讨论 1 1 则( 4 1 ) ，( 4 2 ) 可写成为一个二阶椭圆型偏微分方程矩阵的的形式 l u = f + k 矿 ( 4 8 ) 由( 3 1 4 ) 在边界上满足条件 m u l = g l + g 2 u 2 m u 2 = g l + g 2 t l ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 的边值问题将这两个条件合起来写成 ( m 7 一a ) u = 0 在a n 上 ( 4 1 1 ) l。u。,=一f。，+。k：u。 在口中 ( 4 1 2 ) 在0 仃上 其中f h a ( - ”，0 h b 一1 j 现欲将边界条件齐次化，将0 延拓为h a ( - 6 上的函 数，作使 ( m 7 一g ) u o = 0 ，( 4 1 3 ) 从而u o 满足u o h a ( 1 - 们将u u o 记为v ，则问题( 4 1 2 ) 等价于 i l v = f + k v 【( m 7 一g ) v = o 在脚 ( 4 1 4 ) 在a 力上 其中f = f + l u o k ，且有f 7 日嵩 考虑对于充分大的c ，当f l 日野，9 1 风一1 ，方程 f ( l ，一e ) 札。：凡 在力中 1 m u l = 9 i 在a 口上 有解1 哦山存在同理方程 f ( l 2 - c ) 也= f 2 在口中 1 廊u 2 = 卯 在a 门上 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 在同样意义下可解故当f h 一( 2 - 。b ) ，0 现一1 对于方程 ( l - c ) t j ：f l ( m ，- g ) c ，= 。 关于解的存在性的讨论1 2 在口中 ( 4 ，1 7 ) 在a 力上 有解u 臃山1 存在所以取c 充分大，将方程写成 ( l c ) v = f 1 + k v c v ( 4 1 8 ) 则由上面问题( 4 1 7 ) 可解性的的讨论可得( l e ) - 1 是紧算子的性质，从而得到 v = ( k e ) ( l c ) 一1 v + ( l e ) 。f 7 ，( 4 1 9 ) 且有v 碰三，从而问题( 4 1 2 ) 有解u 珥三” 由定理2 的估计可以提高u 的正则性当五或1 一- l ，g h b 即只 h ：譬，0 h b l 时，我们有u 磁与扪可令一”哦- b ) ，9 ( ”风+ 1 满足 z “一 ( 碰妄6 ) ，9 一9 ( 凰) ，这样可得u ( “) 臃一满足问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) 所以 对c 厂( n ) 一u ( ) 使用定理2 中的估计有u ( “) 收敛于u 越1 ) ，它即为( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的 解 所以由上述讨论，由于( k e ) ( l g ) 一为全连续算子，所以对问题( 4 1 8 ) 有 f r e d h o l m 两择性结果，即当齐次方程只有平凡解时方程有解v 哦叫，由此可得 原方程组的存在性的结果，从而定理得证口 参考文献 【l 】d g i l b a r ga n dl h 6 r m a n d e r i n t e r m e d i a t es e h a u d e re s t i m a t e s a r c h r a t w n a l m e c h a n a l ，7 4 ：2 9 7 - 3 1 8 ，1 9 8 0 2 jg a r ym l i e b e r m a n i n t e r m e d i a t es c h a u d e re s t i m a t e sf o ro b l i q u ed e r i v a t i v e p r o b l e m sa r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，9 3 ：n o 2 ，1 2 9 1 3 4 ，1 9 8 6 3 】陈恕行现代偏微分方程导论科学出版社，2 0 0 5 【4 s a g m o n ，a d o u g l i sa n dl n i r e n b e r g ，e s t i m a t e sn e a rt h eb o u n d a r yf o r s o l u t i o n so fe l l i p t i cp a