（基础数学专业论文）带有耗散项的浅水波方程的cauchy问题.pdf

摘要 本文分四章：第一章为引言；第二章主要研究带耗散项的浅水波方程的c a u c h y 问题 的局部解的存在唯一性；第三章对带耗散项的浅水波方程进行先验估计，并通过先验估计 来证明第二章所述问题的整体解的存在唯一性；第四章讨论第二章所述问题解的渐近性 和爆破具体情况如下： 在第二章中，我们研究如下一类带耗散项的浅水波方程的c a u c h y 问题 ， j a t - - u z ：x t + 轧一2 口( u ) z + 。( 2 “z z 4 - a u x 3 ) ，。r l , t o ，( 1 1 1 iu ( z ，0 ) = 妒( z ) ， z r 1 的局部解的存在唯一性，其中n ，6 0 为常数，未知函数u ( x ，t ) 是指。方向上的流体速 度函数9 ( ”) 是“的已知函数，妒( z ) 为已知的初值函数 为此，注意到j 一磋在日3 ( r 1 ) 上是可逆算子，我们将对( 1 1 ) 等价变形为； 蛳一。= ( j 一磋) 一1 巩( g ( u ) ) 一o ( j 一磋) 一1 如( “2 + ( u 。) 2 ) + u 一磋) ( 3 a u u z 一：) 一n “z ，x r l ，t 0 ， u ( x ，0 ) = 妒( z ) ， 霉r 1 ( 1 5 ) 我们将先证明热传导方程的c a u c h y 问题 慨泛x e r 1 。, 仁- ， 的局部解存在唯一性，然后利用压缩映像原理，来证明问题( 1 5 ) 的局部解的存在唯一性， 从而可得问题( 1 1 ) 的局部解存在唯一其主要结论如下； 定理2 1 设妒h s ( s 1 ) ，g c ( 兄1 ) ，k = 【s 】一1 ，且9 ( o ) = 0 ，则问题( 1 5 ) 存在唯 一的局部解u ( x ，f ) e ( 【0 1 而) ；h s ) ，其中【o ，t o ) 是解存在的最大时间区间且若 s u pi l u ( ，t ) l l h o o ( 2 2 ) 则 定理3 1 假定妒h s 扣1 ) ，g c 。( r 1 ) ，9 ( o ) = 0 ，= 【s 】+ 1 ，u c ( 【o ，而) ；h 5 ) 是 c a u c h y 问题( 1 5 ) 的解， 若 则 n 1 = s u pl l u ( ，圳p + s u pi l u 。( ，0 il l - o 。 ( 2 3 ) t 【0 ，t o ) t e o t o ) t o = o o 定理3 2 设妒h s 0 1 ) ，g c 。( r 1 ) ，= 【8 】+ l ，9 ( 0 ) = 0 ，则c a u c h y 问题( 1 5 ) 存 在唯一的整体解“( z ，t ) g ( 【o ，o o ) ；h 8 ) 定理4 1 设妒h s ( 8 1 ) ，g c ( 科) ，= h + 1 ，g ( o ) = 0 ，则c a u c h y 问题( 1 5 ) 的 解u ( x ，亡) c ( 【0 ，o 。) ；日8 ) 具有渐近性 。当m ，t ) 1 1 20 ( 2 4 ) 定理4 2 ( 1 ) 假定妒h 5 ( s ；) ，g c ( r 1 ) ，k = 【s 】一1 ，9 ( o ) = 0 ，存在牙r 1 使 得妒( 牙) ( i 。，- 磋) 一1 以( u 2 + ( u z ) 2 ) + ( j 一锑) 一1 ( 3 a u 。一“$ 2 ) ，旷- ，p ，x e r l , t o , ( 2 1 ) 1 “( z ，o ) = 妒( ) ， $ r 1 。1 3 t h e o r e m2 1 s u p p o s e t h a t 妒h 5 扣1 ) ，g c ( r 1 ) ，k = f s 】一1 ，a n d g ( 0 ) = 0 ，t h e n t h ep r o b l e m ( 1 5 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o nu ( x ，t ) g ( 【0 ，) ；h 8 ) ，w h e r e 【o ，t o ) i sam a x i m a l t i m ei n t e r v a l m o r e o v e r ，i f s u p0 “( ，0 1 1 - o 。 ( 2 2 ) t e o ，t o ) t h e n t o 。o o t h e o r e m3 1 s u p p o s et h a t 妒h 8 ( s2 1 ) ，g c ( r 1 ) ，g ( 0 ) = 0 ，k = 【s 】+ 1 ，牡 c ( 1 0 ，) ；h 8 ) i st h es o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 5 ) ，i f 1 = s u pl t u ( ，t ) l l l 一+ s u pi l u 。( ，t ) l l l * o o ( 2 3 ) t e o ，t o )t 【o ，t o ) t h e n t o = 。 t h e o r e m3 2 s u p p o s e t h a t 妒h 8 ( 8 1 ) ，g c ( r 1 ) ，k = s 】十1 ，g ( 0 ) = 0 ，t h e nt h e c a u c h yp r o b l e m ( 1 5 ) h a sau n i q u eg l o b a ls o l u t i o nu ( z ，t ) e ( 【o ，。) ；h 8 ) t h e o r e m4 1 s u p p o s e t h a t 妒h 8 ( s 2 1 ) ，g c 七( r 1 ) ，k = 【8 】+ 1 ，g ( 0 ) = 0 ，t h e n t h e s o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 5 ) u ( x ，t ) g ( 【o ，o 。) ；h 8 ) h a st h ea s y m p t o t i cp r o p e r t y 一l i + m 。1 1 ( ，t ) l l h - 2 o ( 2 4 ) t h e o r e m4 2 ( 1 ) s u p p o s e t h a t 妒h 5 ( s ；) ，g c 6 ( r 1 ) ，k = 8 1 1 ，9 ( o ) = 0 ， 以妒忙) 0 为实数，未知函 数u ( x ，t ) 是指t 时刻z 方向上的流体速度，函数g ( u ) 是u 的已知函数，妒( z ) 为已知的初 值函数 此浅水波方程的原始模型是经典的c a m a s s a - h o l m 方程【1 】，若( 1 1 ) 中的6 = 0 ，q = l ，g ( “) = 一“2 ，则得到c a m a s s a - h o l m 方程 u t t b 甜+ 3 “t b = 2 t b “描+ t 正z 船：( 1 2 ) 从8 0 年代以来，国外已有许多学者关于c h 方程进行了研究，如h i m o n a s 对c h 方程 的c a u c h y 问题进行了证明 2 】，c o n s t a n t i n 对c h 方程的周期c a u c h y 问题作了讨论，随 后，c o n s t a n t i n ，m o l i n e t ，e s c h e r 关于此类方程的整体解作了大量的研究【3 1 1 5 1 1 6 】，近几 年，国内也有很多学者对此类方程提出了许多新的理论和方法，如x i nz h o u p i n g ，z h a n g p i n g 利用粘性消去法讨论了c h 方程初值问题弱解在口1 ( r 1 ) 中的性质【8 】【9 】【1 2 】，w a n g h u a ，c u is h a n g b i n 利用i - 能量方法( f 1 5 1 6 】) 讨论了h 5 ( r 1 ) ( s 芷车堂) 中五阶浅水 波方程的整体适定性1 1 0 】，d i n gs h i j i n ，m as h i ) 【i a n g 利用k a t o 理论讨论了浅水波方程 ( 1 2 ) 的初边值问题整体解在日2 ( r + ) n 础( r + ) 中的存在唯一性【1 1 】，g u ob o l i n g ，y a n g l i n g - e 对方程( 1 1 ) 带有非线性边界条件的初边值问题的整体解在边界的稳定性进行了研 究，并讨论了方程( 1 1 ) 的整体吸引子【1 3 1 1 1 4 通过s c a l i n g 变换“( z ，t ) = v ( y ，r ) = v ( x ，o r ) ，我们可以把问题( 1 1 ) 转化为； j 嘶一 y y r + v 2 g + n ( 2 “甜“z 3 ) 】，y r l , r 刈( 1 3 ) l ( f ，0 ) = 妒( y ) ， r 1 我们把( 1 3 ) 写为： ( 1 4 ) 妒 uu + z虹柚 u 口 o +b u g i i 1 + 妒 科 = 一 f ( 让 ，、l 其中( 1 4 ) 和( 1 1 ) 中的函数g ，常数n 是不同的注意到j 一谚在日8 ( r 1 ) 上足可逆算子， 问题( 1 4 ) 又可以等价变形为 i 一u 。z = ( j 一磋) 一1 以( 9 ( u ) ) 一n ( j 一锷) _ 1 0 z ( 1 5 2 + ( ) 2 ) + ( j 一磋) ( 3 c i u u 。一u x 2 ) 1 1 ，蚝r l , t 0 【1 正( z ，o ) = 妒( 茹) ， z r 1 ( 1 5 ) 通过上述( 1 1 ) 到( 1 5 ) 的变换，我们就可以把四阶非线性抛物型方程转化为二阶的 抛物型方程，从而可以引用热传导方程的理论来对问题( 1 5 ) 在日8 ( s 1 ) 中的解进行讨 论 在第二章中我们利用压缩映像原理证明c a u c h y 问题( 1 5 ) 在h 。0 1 ) 中的局部解 的存在性和唯一性；第三章中对方程( 1 5 ) 作先验估计，并证明问题( 1 5 ) 在日8 扣21 ) 中 的整体解的存在性和唯一性；第四章我们讨论整体解的渐近性和爆破 下面介绍这篇论文中用到的一些记号：扩( r 1 ) 表示定义在r 1 上的p 空间，s ( r 1 ) 表 示r 1 上的s c h w a r t z 函数类叫i 表示“的三2 模，日5 是r 1 上实指数的s o b o l e v 空间，s 为实 数，其范数记为i 伊= 1 1 ( i 一) 训i = i i ( 1 + 2 ) 训，其中f ( u ) = 砬= ( 2 ”) 一2j 岛e 一。 u ( z ) 如 表示u 的f o u r i e r 变换 我们首先引入几个本文中经常用到的引理； 引理1 1 【1 8 】假定u 日s n l ”，f ( u ) c 。( j r ) ，f ( 0 ) = 0 ，且= m 8 + 1 ，821 ，则存在 一个不依赖于“的常数c 使得 f i ( “) l b ，sc ( 1 + | | “lj 簧) i l 训i 仃， 其中【s 】表示不超过s 的最大整数 引理1 2 【18 j 假定h s n l ”， h 8 n l ”，f c ( r ) ，= h + 1 ，0 0 , ( 2 1 ) 1 ( z ，o ) = _ p ( z ) ， z r 1 。1 存在唯一的解u ( z ，t ) e ( 【0 ，司；h 8 ) f 3c 1 ( i o ，司；h 8 - 2 ) ，且有估计式 俐日，s+o。(历+浩)11r(z,rtdr,tt,ztlr ) l i h d r , 0 ( 2 2 ) h “f f 日，s + ( 甄+ j ；：乌 一t ( 2 2 ) 、i r 卅u ti h , - 2 0 ， u ( x ，0 ) = 0 ， z 矗1 ， ( 2 1 5 ) 8 由引理2 1 ，1 2 ，1 4 ，l 5 ，1 6 ，( 2 1 3 ) 式和s o b o l e v 嵌入定理可得 0 “9 h 。j ；( 、蕲+ 孑g ；) | 1 ，( 。，r ) i i h 一，d r j ：；( 磊+ 了岳) i i ( ，一霹) 一1 良囟( ”1 ) 一9 ( ”2 ) 川h s 一+ 号1 1 ( i 一磋) 一1 融( w i w 2 2 ) l l h 一- + 譬l l ( j 一磋) 一1 以( 叫乞一叫乞) 0 h 。一- + 1 1 ( i 一磋) 一1 磋枷0 h 卜- + n l l w l w l z w 2 w 2 z l l 伊一1 ) d r 露 ( 骄+ 孑告) 【叫o h 一。+ 叫o l ( 1 + | i 叫l i j l + l | 叫2 l i l ) 似一1 + x ( 1 1 w 1 i l h 卜：+ 1 1 w 2 1f h s - 2 ) 】- 4 - 考| i 叫l + w 2 1 1 l 1 1 w l i h 卜：+ 考i i 叫0 l 0 1 + 2 l l h s 一。 + 号【1 w z i lh l t | | 叫l + w 2 。【l h s - l + 0 h 卜l + o i i 叫1 z u h 卜1i l 叫0 h 。 + n 0 毗0 h l l 忱0 肿 d t 厝( 磊+ 器) e 扣，o ) l i 叫0 h s 打 c ( a ，a ) ( v f 骄t + 2 以、厅) 0 | | 圩， ( 2 1 6 ) 其中c ( a ，0 1 ) 是仅依赖于n ，a 的常数， 取t m i n 【c ( m ) 、哇2 7 r 【- ( 2 a + 一1 ) + ；卢一击，【面丽1 + ；弘一击) ，则有 俨s 扣 ( 2 _ 1 7 ) 所以，s 足严格压缩的 定理2 1 设妒h s ( s 2 1 ) ，g c k ( r 1 ) ，k = i 司一1 ，且9 ( o ) = 0 ，则问题( 1 5 ) 存在唯 一的局部解( z ，) e ( 【o ，t o ) ；h s ) ，其中i o , t o ) 是解存在的最大时间区间且若 则 s u pi l u ( ，t ) l l n 一 0 ，映射s 有唯一的不动 点“y ( t ) 是问题( 1 5 ) 的解“x ( t ) ，所以对于任意， o 来说，至多有一个x ( t ) 是问题( 1 5 ) 的解 下面证明其唯一性 9 设“1 ( z ，t ) ，u 2 ( 。，t ) 是问题( 1 5 ) 的两个解，令u ( x ，) = u l ( x ，) 一u 2 ( x ，t ) ，则“满足 毗一。= ( j 一磋) 一1 如( g ( u 1 ) 一9 ( “2 ) ) 一n ( j 一) 一1 以旧+ ( l 。) 2 一“；一 ( u 缸) 2 】 十3 n ( j 一) 一1 ( “1 “l $ 一钍2 缸) 一( j 一霹) 一1 礞u n ( u l u l z u 2 t 正2 z ) 兰，( ，t ) ，z r 1 , t 0 ， u ( 。，0 ) = 0 ， z r 1 ( 2 1 9 ) 结合( 2 1 3 ) 式，类似可得 ，( 文t ) l l h 。- c ( m ) t u 1 1 ，( 8 1 ) 其中c ( m ) 是依赖于m 的常数，又因为 岳0 “i i 备，= ( ( ，一磷) “，( f 一磋) 毗) = ( ( ，一磋) 5 “，撕) = ( ( j 一谚) ”1 ( ( “一“。) ，毗) ) = ( ( ，一磋) ”1 “，u t ) 一( ( j 一磋) 5 。， i t t ) ：( ( j 一霹) s l u ，u 。：+ ，( z ，t ) ) 一( ( j 一础2 ，8 - 。1 ( 毗一，( z ，t ) ) ，( ，一2 ，j - - 1 地) 1 1 ( i 2 jj - 。i 1 1 2 + 1 i u i l h ，一，l l ，0 h 。一，一i i t “l i 备。一。+ i l u t l l h s - ii i ，| l h 卜 f | “。0 备卜。+ l i ”j j 备。一。+ l i ，0 h s t 一0 “t 1 i 备。一- + i i u c i i 备卜，+ 0 ，0 h ，一- 曼c ( m ) l l u l i e h 。 故得到 愀，t ) 怖 2 c ( m ) f o m ，r ) 临d r 由g r o n w a l l 不等式可得 0 “( ，t ) l l 备。0 于是 l l ( ，t ) 1 1 = 0 即 蜘知，t ) = u 2 ( x ，t ) a e 1 0 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 现在令【0 ，t o ) 是u x ( t o ) 存在的最大时间区间，假设s l l pl l u ( x ，t ) 幢。 o o ，而。 t 1 0 ，而) t o t o 与【o ，t o ) 是最大 的时间区间相矛盾 故 第三章问题( 1 5 ) 整体解的存在性和唯一性 本章我们将对方程( 1 5 ) 进行一些估计，并利用估计来证明c a u c h y 问题( 1 5 ) 的整 体解的存在性和唯一性 为了计算简便起见，我们用g ( s ) = n s 2 ，来代替方程( 1 5 ) 中的一部分，可等价为 如下形式； u t 一札z 矾+ “一= 9 ( ) z + g ( “) z 十n u 一 弓i 理3 1 假定妒日( m 1 ) ，g c ”( r 1 ) ，g ( o ) = 0 ，贝0 i l u l l 备。0 妒i i 备。e c ( 1 l ”i i l ”, i i “2 0 。) t ( 3 1 ) 证明方程( 1 5 ) 两端同乘以2 ，并在j r 上积分，由引理1 3 和c a u c h y 不等式可得 2 ( u t 一“。耐+ u x 4 ，札) = 2 ( g ( “) 。+ a ( u 。k + q u 。3 ，h )( 3 2 ) 岳( 1 l u l l 2 + i l u 。0 2 ) + 2 1 1 u x 。1 1 2 2 i l g ( u ) l l l l u 。| i + 2 1 1 g ( u 。) l l l l u 。0 4 a ( u u 。，u 。) 2 l i dj l i i “i t k 0 + 2 1 i v i l l m i l u 。i i i l u 。i i + 4 , 1 l l u l l l 一| f t b t b 。8 ( 3 3 ) | | 9 7 i l l i l u l l 2 + ( 2 i i g l 一+ i l a l l l 一+ 2 0 2 l l “| 1 z 。) l l u 。1 1 2 + 2 1 1 1 , 。| 1 2 勃u 吩( 2 j i g p + 2 i g p + 2 。2 2 一) 备，- - - c ( 1 l “忪) 备t( 3 4 ) j l u i i 备，c ( i m i l 一) 1 1 u ( ，r ) 1 | 刍，d r + 0 妒l | 备， j 0 由g r o n w a l l 不等式可得 i i u 0 备t i i 妒i i 备，e c ( 叫i 。) r 同理，方程( 1 5 ) 两端乘以2 u z 2 并在r 上积分可得 i i , , l l 备。i i 妒0 备：e c ( 1 i “| f c 。，f “z “c ”) r ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 方程( 1 5 ) 两端乘以2 ：( m - i ) ，( m 3 ) ，并r 在上积分，由引理1 3 和c a u c h y 不等式可得 2 ( u t + t h z t + “一，u 。2 ( m 一1 ) ) = 2 ( g ( k + g o , x ) z + q u 一，2 k 2 ( m 1 ) )( 3 8 ) 1 2 岳( i i t 正。m 一1 1 2 + l i “。m l l 2 ) + 2 | i “。m + ，1 1 2 2 i g ( u ) 。一。洲t k 。+ 0 + 2 1 1 c ( “。) 。m 一。洲“。m + ，| l + 2 0 ( ( 一) ；i i m - - 。，u x m + 1 ) 2 c b 銎乎( i i g p i i l l i “i f p l - - 。i ) “。一：0 i i “。m + t0 + 2 1 等2 ( i | g 9 l i l 一0 u 。0 p l - 。i ) 0 u 。m t i i i i u 。m + - 0 + 2 0 ( 凳著c 幺_ j 一一，“卅，m + 1 ) s2 c o e 筹_ - ( i l g p l i l * 0 “0 留) i i u 。m 一：洲“。m + - 0 + 2 c b 銎早( | | g 一0 l i l t b i l 留) l i m 一- 川“。m + t0 + 2 0 e 翟著i i 一a jl i l i l u 一，i “。m + - u c ( i l u i i l m ，u u 。0 l * ) 罂著i i u 。”，0 2 + i u 。m + - 1 1 2 ( 3 9 ) 其中一 是l e i b n i z 展开系数 爰( i l “。一t 2 + l | “。m 喃sg ( i p ，o o p ) j = 01 1 a + 州2 ( 3 ，1 。) 由( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 1 0 ) 联立可得到 知u 幅m sc ( 1 l “怯，b ) 备m( 3 1 1 ) l l 。l l 备。sg ( i i “1 | l 。，| l t b 0 l 。) t0 u 0 备。d r + 0 妒i i 备。 ( 3 1 2 ) 由g r o n w a l l 不等式可得 0 “i l 备。i i 妒i | 备。e c ( | | ”。t o “z i l l 。) ? ( 3 1 3 ) 定理3 1 假定妒h 5 ( s21 ) ，g c 。( r 1 ) ，g ( o ) = 0 ，k = s 】+ 1 ，“g ( 【0 ，蜀) ；日3 ) 是 c a u c h y 问题( 1 5 ) 的解，若 l = s u pf l u ( - ，t ) l l l 一+ s l i pj i ( ，训p o o ( 3 1 4 ) t e 【o ，t o ) t e o 函7 ) 则 则 证明由( 3 1 3 ) 可得，若 t o = o o s u p0 “1 1 2 。+ s u p0 t b 0 2 。 o o f f o ，t o ) t a 0 ，t o ) s u pf i 幢。 o 。 t 【o ，t o ) 1 3 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 由实指数s o b o l e v 嵌入定理可以推出 s u p0 0 备。s 。o ( s 1 ) ( 3 1 7 ) t e o ，t o ) 由定理2 1 可知，结论成立 定理3 2 设妒h s 0 2 1 ) ，g c ( j r l ) ，k = 【8 】+ 1 ，g ( 0 ) = 0 ，则c a u c h y 问题( 1 5 ) 存 在唯一的整体解“( z ，t ) c ( 【o ，。) ；h 3 ) 证明 我们下面证明整体解的存在性 由定理2 1 可知道u ( x ，t ) a ( 【o ，t o ) ，h 8 ) 是( 1 5 ) 的解 定义： e ( t ) = 1 2 + l l 1 1 2 + 2 8 ：0 2 d r ( 3 1 s ) ju 我们可以证明e ( t ) = e ( o ) 事实上，方程( 1 5 ) 两端同乘以2 “，并在r 上积分可得 即 所以 由上式可得到 2 ( u t 一钍z z t + u 一，u ) = 2 国( “k + 2 0 u z “z $ + n u “z 3 ，u ) 岳( 1 1 u 1 1 2 + l k + 2 0 “。1 1 2 = 2 ( 9 ( “) 。，“) + 4 n ( u x u “) + 2 a ( u 2 ，u 一) = 一2 ( 9 ( u ) ，u z ) + 4 0 ( t b u z z ，) 一4 n ( l t b ，t 甜) = 一2 如爰詹g ( s ) d s d x = 0 d ( 1 l ”1 1 2 删训2 + 2 厢。“r ) 1 1 2 ) = 。 a e ( t _ a ：o 出 。 e ( t ) = z ( o ) s u p ( 1 1 “1 1 2 + | o o 拒【o ，t o ) 1 4 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 即 s u pi l u l l s , 。o t e l o ，t o ) 方程( 1 5 ) 两端同乘以2 t b 。，并在r 上积分可得 2 ( 啦一z z t + l k 4 ，“甜) = 2 0 ( u ) z + 2 w u z i t x z + o t “一，u 船) 所以 蛊( i i u 。1 1 2 + i | “。0 2 ) + 2 | l u 。s 2 = 一2 国( k ，姓。) 一4 n ( 札乞，u 。) 一2 c 4 u u 。3 ，。) = - 2 1 t g ( u ) 。i 。0 + 8 a ( u 。一，t 1 ) 一2 a ( u u x 3 ，“一) si i g ( u ) l l l ( 0 u 。1 1 2 + i i “。2 ) + 9 n 2 i i 0 2 l | 。0 2 + 0 a i l 2 于是有 爱( 0 “。f 1 2 + i l u x ：1 1 2 ) sc ( i n i i l 一) ( i l u z i l 2 + 0 “。：1 1 2 ) 由( 3 2 0 ) 和g r o n w a l l 不等式可得 l l 0 备。sf i 妒f | 备。e c ( “o c ) t 由( 3 2 3 ) 和s o b o l e v 嵌入定理可得 i i “i i l 一c 1 1 “| i h ， o 。 于是由( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 可得 s u pi i u l i l * + s u p0 t b i i l m g l i “f l h 2 o 。 t e 0 ，7 b )蚝l o ，t o ) 则由定理3 1 可证结论成立 由定理2 1 的证明可得整体解的唯一性 1 5 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 第四章问题( 1 5 ) 解的渐近性和爆破 本章我们将讨论问题( 1 5 ) 解的渐近性和爆破 引理4 1 设s 1 ，妒h 8 ，e ( 【0 ，明；h 5 ) 是初值问题( 1 1 ) 的解，则初值问题 警一啡一( 蛳刈 ( 4 1 ) 【z ( o ) = 圣，孟r 存在唯一解z ( t ) c 1 ( 【0 ，邪) 且映射t 一( t ) 是r 1 到r 1 一个同构映射 证明由题设可知，u ( z ，t ) e ( i o ，刀；h 8 ( r 1 ) ) ，由s o b o l e v 嵌入定理可得 h 8 ( r 1 ) qc o , x ( 兄1 ) ，( 0 0 ，使得f q ( t ，。) 一q ( t ，z o ) i 0 ，存 一 要( q ( t ，z ) 一q ( t ，z 。) ) s 一。 面( 啪。) 一啪。o j ) 5 上式两边对t 积分，可得 z x 0 一e t 0 ，使i z 一跏i j ，有 l 口( t ，z ) 一q ( t ，z 。) i m i n ( 昙，s 。) 0 ，所以，q ( t ，z ) 关于z 在r 1 上是单调连续函 数，故q - 1 存在且连续，并且由( 4 4 ) 可得 。一l i m + 。q ( t ，z ) = 十o 。，。里罂。a ( t ，z ) = 一o o 所以，d ( q ) = r 1 ，且q 的值域为r 1 ，因此z r 1 一z ( ) r 1 是同构映射 定理4 1 设妒h 8 ( s21 ) ，g c 1 ) ，k = m + 1 ，g ( 0 ) = 0 ，则c a u c h y 问题( 1 5 ) 的 解n ( z ，t ) e ( 【o ，o o ) ；h 8 ) 具有渐近性 因为 所以 一l i + r a o 。m ，t ) 1 1 1 20 证明方程( 1 5 ) 两端同乘以2 u 并在r 上积分 2 ( u t t b z f + “z 4 ，u ) = 2 国扣b + 2 a u z “。z + o u “$ 3 ，u ) 由( 3 2 0 ) 可得 知圳备。刊 知= 2 备- i h t k l l u l i h = ( 0 k 1 ) 勃“幢。兰2 ( 一去州“o 备， 丢( e - 2 ( 1 一去) 。i i u 5 o 1 7 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 上式两端从0 到t 积分司得 | u | i 备。i i 妒l l 备，e 2 ( 1 - - 古h ( 4 1 1 ) 所以有 觊1 1 u l i h - 2 q 定理4 2 ( 1 ) 假定妒日8 ( s 5 ) ，g c 。( r 1 ) ，k = 纠一1 ，g ( o ) = 0 ，存在牙r 1 使 得如妒( 牙) 一、兰( o m 胁+ 1 ) ，则问题( 1 5 ) 的解u ( z ，t ) g ( no 。) ；日8 ) 在有限时刻乃爆 破，即 l i r a i l u ( ，t ) l l h 。= + o 。 f 一丌 其中矸= 去l n ( 蚤寰) ，s o = 巩妒( i ) ，= 夏西面丽 ( 2 ) 假定| p 日5 ( s ) ，g c ( r 1 ) ，= g ( o ) = 0 ，存在i r 1 使得魄妒( 雪) ) c l l u l l 备。+ 10 之m + 3 ) 其中e 是一个常数即有 面d s + 互1 q s 2 e l l u 怖+ 1 讯怖+ 1 ( 4 1 6 ) 根据常微分方程理论， i ) 若一1 s 2 + d l | 妒i i 备，+ 1 0 ，爿s 詹 当8 o ，= 亭- k s 七， i l u 。i l l 府， 求解不等式( 4 1 6 ) ，同理我们可以得到此时u ( z ，t ) 的爆破时刻是不确定的 1 9 ( 2 ) 根据条件假设，类似于( 1 ) 的证明可得 蛊s + n s 2 = ( ，一磋) 一1 碑( 9 ( 让) ) 一o u 2 一o ( f 一磋) 一1 ( u 2 + ( “z ) 2 ) + a a ( 1 一磋) _ 钍2 一( j 一群) - 1 磋“ i l ( ，一磋) 一1 磋0 ( “) ) i | l o 。+ a i l ( j 一磋) 一1 u 2 | i l 一 l l ( i 一磋) 一1 谚0 ( “) ) i i h s 一+ 0 0 ( f 一磋) 一1 u 2 i - s g i i “i | 备。+ 1 ( 8 ) 同理可得 l i ml u 。( 毛t ) i l i r ai l “。( z ，t ) l l l 一l i r a0 u ( 。，t ) l l h ，= + o 。 扣巧h 丐一巧 其中t 2 = 矗l n 【群1 ，k = 、鲁( o i i 条+ 1 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 参考文献 【1 】r c a r a a 船a ，d h o l m ，a ni n t e g r a b l es h a l l o ww a t e re q u a t i o nw i t hp e a t e ds o l i t o n s ， p h y s r e v 1 e f t 7 1 ( 1 9 9 3 ) 1 6 6 1 1 6 6 4 【2 1 2a a h i m o n n s ，g m i s i o l e k ，t h ec m m h yp r o b l e mf o ras h a l l o ww a t e rt y p ee q u a t i o n ， c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 3 ( 1 9 9 8 ) 1 2 3 - 1 3 9 【3 ja e o n s t m l t i n ，l m o l i n e t ，g l o b a lw e a ks o l u t i o n sf o ras h a l l o ww a t e re q u a t m n ， c o n l n l m a t h p h y s ，2 1 1 ( 2 0 0 0 ) 4 5 6 1 【4 | a c o n s t a n t i n ，o nt h ec a u e h yp r o b l e mf o rt h ep e r i o d i cc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ， j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s1 4 1 ( 2 ) ( 1 9 9 7 ) 2 1 8 - 2 3 5 1 5 】a c o n s t a n t i n ，j e s t h e r ，g l o b a lw e a ks o l u t i o n sf o ras h a l l o ww a t e re q u a t i o n ， i n d i a n au n i v m a t h j 4 7 ( 1 9 9 8 ) 1 5 2 5 - 1 5 4 5 【6 】a c o n s t a n t i n ，j e s c h e r ，g l o b a le x i s t e n c ea n db l o w - u pf o ras h a l l o ww a t e re q u a t i o n ， a n n s c u o l an o r m s u p p i s a2 6 ( 1 9 9 8 ) 3 0 3 - 3 2 8 7 】o e t a v i a ng m n s t a f a ，o nt h ec a u c h yp r o b l e mf o rag e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t m n ， n o n l i n e a ra n a l y s i s6 4 ( 2 0 0 6 ) 1 3 8 2 1 3 9 9 f 8 z x i n ，p z h a n g ，o nt h ec a n e h yp r o b l e mf o ran o n l i n e