（基础数学专业论文）（aab）型三维除数问题余项的平方积分均值.pdf

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f r e ei n t e g e r s ，a l i dp 扛) t h ee r r o rt e r i no ft h eg a u s s c i r c l ep r o b l e m l e t q 3 ( z ) ：= 9 3 ( n ) r ( n ) ， n 兰 i ti se a s yt oc h e c kt l l a tq 3 ( n ) r ( n ) d e n o t e st h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o n so fac u b e - f r e en u m b e rb yt w os q u a r e s w bw i l ls t u d yt h es 1 1 0 r ti n t e rv 娃c a s ea n dp r o v et l l a t i f t h ee s t i m 8 t ep ( z ) = o ( z 毋jh o l d s ，t h e nf o rz 9 + rs z ，啪h a v e q 3 扛+ 鲈) 一q 3 ( z ) = c 掣+ o ( z 一2 + z 8 + ) ， w h e r ec 主sac o n s t a n t i np a r t i c u l a rt h i s 嬲y m p t o t i cf o r m u l ai st r u ef o r 口= 1 3 1 4 1 6 k q r w o r d s ：t h r e e - d i m e i l s i o n a ld i v j s o rp r o b j e m ；m e a i lv 丑d u e ； g a u s sc i r c l ep r o b l e m ；c u b e - f r e en u m b e r c l a s s i 丘c a t i o n ： 0 1 5 6 4 2 扣 舅 杀 一 砣 。删 山东师范大学硕士学位论文 符号说明 m ，n h p c d ( n ) ：= 踟1 d ( 口l ，n 2 ，钆；n ) ：= 。弘世l d i ( n ) ：= d ( 1 ，1 ，1 ；n ) u ) m 妒( 坩) e 扛) ，( z ) = 0 ( 9 ( z ) ) n 一 axb a b ( m ，n ) s e ( ) x 0 ，s t i ，( z ) i e 9 ( z ) j 、r n 0 s f a 0 ，有 ( z ) = d ( 一一+ 。) 该猜想所依据的是蕈光吕f 5 j 证明的经典平方均值结果： 1 2 拈锱膨+ d ( 丁l 0 9 5 n 将d i r i c l l l e t 除数问题推广，我们设1 6 c 为三个实数，定义函数 d ( n ，6 ，c ；z ) = 地6 一z ) = 1 n n n 2 n 。 对于任意( n ，6 ，c ) 组合，研究d ( n ，6 ，c ；z ) 的广义估计即著名的三维除数问题。 很多数论问题均与三维除数问题相关。其中，当( n ，6 ，c ) = ( 1 ，l ，1 ) 时，即p i l t z 经典除数问题如( n ) ；当( n ，6 ，c ) = ( 1 ，2 ，3 ) 时，则对于不计i 司构意义i 卜网定阶 a b e l 群的估计问题具有重要意义。 对于三维除数问题的一种比较特殊的形式，我们写 d ( n ，n ，6 ；z ) = 日( ，6 ；z ) + ( n ，8 ，6 z ) ，口 6 其中主项 日c n ，a ，6 z ，= ：( ( ：) - 。g z + c 。7 一，e ( ：) + ：e ( ：) ) z ；+ c 2 ( ：) z ； 6 山东师范大学硕士学位论文 利用懈析方法很容易得到，则我们只需对余项( 口，n ，6 ；z ) 寻求更好的上界估 计。翟文广在l l 】中证明了 ( 1 ，l ，6 ；z ) = d ( 矿砷“) f m a x ( 糌，x ( 口一蠢) 荫渤) ，3 6 l p g ( 6 ) 2 m a x ( 黼，蔷) 2 6 0 ，或，7 ( 。) s m 0 为任意固定常数，= = r 1 - c ，r 矿t 4 为待定参数，根据v j r o n o i 公式，设 则自 ( “) = d ( n ) 一t l l o g u 一( 2 ，y 一1 ) u ， “2 n “ 酬2 参d ( n ) n - 扎刚7 r 瓜一 2 ( u ) = ( “) 一l ( “) ， 厂2 ，；( n ) 如y ；z 一 l 。9 3 矿+ y l 。9 5 y j y 8 山东师范大学硕士学位论文 证明参见f 3 j 引理3 1 弓i 理1 2 3 设妒( t ) = f ) 一；，则 妒( t ) = 。( ) e ( t ) + d ( 6 ( ) e ( m ) ) ) 其中 n ( _ 1 1 ) 南， 6 ( _ 1 ) 击 证明参见恻。 引理1 2 4 设6 o ，令且( d 1 ，d 2 ，l ，j ；j ) 表示满足不等式 悟同“ d 1 d l ，d 2 d 2 ，n l l ，k k ( 1 2 1 ) 的解的个数，则： 4 ( d l ，d 2 ，l ， 2 ；6 ) j ( d l d 2 ) 1 + 击( 川肫) i + ( d l d 2 r 1 2 ) l o g ( 2 d 1 d 2 f 1 ) 证明 此引理的证明采用了f 0 u v r y 和1 w a n k c l 9 l 思想。设u ，v 为整数，令 一4 。( d t ，z b ， i ：6 ) 表示不等式( 1 2 1 ) 满足0 l ，玎2 ) = 珏，( d l ，如) = f 的解的 个数。设“j = m j ，吨= b p0 = 1 ，2 ) ，南 得到 f 层一同a 席一廖卜v f ；”：v 粕：r 。 上式两端同乘( “m 2 ) 一 ( 本”) ，有 同理可证 压一黔扩 ( f 砧瓜删 。固 屈辟m m l ) ；( 和) 叫谚， 。 9 山东师范大学硕士学位论文 又易知嚣为铲町5 f 5 s p a c e 的，则在f - ，1 2 固定的情况下，m l ，他的个数 。( + 鬻) = 。( t + 掣) 此时对2 z ，如的个数采用显然估计，即o ( 学) ，从，得到， a “d 。，d 2 ，l ，2 艺拿+ 坚掣 同理可知，磊为舻3 町5 - s p a c e 的，由( 1 2 3 ) 式，有 a d 。，现，l ，2 旧譬+ 丝学 a “d l ，d 2 ，批，飓旧孚+ 等譬m ；n ( d 声飓神，谚m 磅) 警+ 警( d 孛神) 5 ( 磅1 ；) 5t ，口“o 、 ， 警+ 垫芝笋型， ( 1 z t ) 另一方面，若对f 1 ，f 2 考虑s p a c e 问题。易知、筹为f 2 d 声。d ；击s p a c e 的，则在l ，r 2 2 匿l 定的情况下，f t ，f 2 的个数为2 。( - + 器) = 。( - + 掣掣) 对m l ，m 2 采用显然估计，即d ( 瓮笋) ，从而得到 bi ，nn r r 、，脯尬j d ld 2 班。孵l 丸。( d l ，d 2 ，l ，奶；6 ) 等手+ 兰竺鼍象出 同理由( 1 - 2 p ) 式，还可证得： 。， a 。( d 。，d 2 ，1 ，2 ；6 ) 苎芸+ 坚坚型辫 综合以上两式，又有 讪u “d 。，d 2 ， ，l ，飓：瓮磬+ 笔譬m i i l ( d 声m 耐，_ d 声2 一) t 上“岫 、 。， 等+ 警( 谚m 砖) 5 ( d 产l ) 5“ 、 。 、 一 。 掣+ 型喜型塑( 1 删 1 0 山东师范大学硕士学位论文 将( 1 2 4 ) ( 1 ，2 5 ) 式相结合，有 刖巩玩m m 型掣n ( 警，等) 型掣+ ( 警) 5 ( 等) 2 t 可 、 口 ，、 u 。 ， 丛里! 堡! l 二墼丝丝韭+ ! 些里! 些坐 t t 工口 最后，对u ，v 求和，得到 a “d 。，d 2 ，1 ，2 6 ( d 。d 2 ) 1 + 嘉( m 2 一南+ ( d t d 2 l 2 ) 去 6 ( 口i d 2 ) 1 + 击( l 2 ) + ( 翻岛i 飓) l o g ( 2 i 2 d l d 2 ) 引理得证 引理1 2 5 设a ，口。b ，岛 o ，0 l 趣，令 仇n ( h ) = a 。胃6 。+ 易一岛， 括1 j = 1 则存在唯一一个h ，日i 日sj ，2 ，使得 l ( 日)( 以，骘，) ：南+ l = 1j = 1 证明参见f l q 引理4 1 。 1 3( n ，口，6 ；z ) 的表达式 为了证明定理，= 耷：节我们首先给出( 口，n ，6 ) 的一种表达式。设， z ；一c 为一待定参数，我们写： = d ( z ；d 一：) + d ( n ) l d s n y 鲁， p 由以上结论可以得到： 瘩刊咖“删f 士1 ) s - = 詈1 。g z 一 d s = 缸z ( e ( ：) 一筹叫咖山。( ”专1 ) ) ：害e ( ：) t o g z 一笔v t e o g z 一譬妒( ，) v 一：，o g z + 。( z ：v 一：一- - 。s z ) 岛3 = ( 2 ，y 一 = ( 2 7 一 = ( 2 7 一1 ) ( 一譬删v 山。( ”牛) ) 竺! ；z ：1 一一( 2 7 1 ) z ；妒( y ) i ：+ d ( $ j 轳一：一1 ) 一黔，一 蛳h卜 山奎堑至奎竺堡主兰垡堡奎 一一 同样，利用e u l e r - m a c l a u 咖公式，有： ；警= _ ( ，一警 d f 叫n ) + 锷一赫一学+ d ( v 小1 1 0 酬 由以上结论可以得到： s t z = 荟警 ；纠一f ( ：) + 哿一茜一学叫擎专1 t 昭力) ：一致护+ 南南心- o s v 一南南心一知毛删唱” 从而，由( 1 3 1 ) 式，可以得到： 我们注意到，翟文j 。f 5 i 中曾对任意的整数k ，证明了下式 三伽矿2 ( ：) + 等等 n ， “ ( 1 3 2 ) 一尚+ 簧坤川，簧一f 哥十可卯一卜 + ( ) m 一 + 。( m 一 ) 成立。事实上，埘于任意的正实数k ，以上结果仍成立由此，及吲= z 一 一 1 3 l 【i 东师范大学硕士学位论文 妒( z ) ，我们写： = d ( n ) ( 。 一一l 2 一妒( z n 一2 ) ) “d ( n ) n 1 一；dg ：y 毫) 一；。m ) 1 ；f ，g n _ 2 ) 矧r 0 6 ) + 志南心l 删一一南南。 + 圭z j 广：+ ( 2 7 1 ) 吉。；广：+ 必g y 毛) + o ( 沪；d ( z ：可一：) 一莓m ) 妒( 勘畸) ( 1 3 3 ) 最后处理3 ，有： 一莓= 伽( z ；，世) + ；d ( z ”。) 刊加( z j y 畦) = 一，o j 一：l 。g0 ；p 一：) + ( 2 7 一l 净；一；+ g 可一：) ) + ；d ( 南一：) 删y ) p p 南o g ( 南t ) + ( 2 1 - 1 ) 南畦 + ( z v o ) ) = l ，( ) z j 一：l 。g ( z ；可一：) + ( 2 7 一1 ) u ( 口) z ：一鲁+ 妒( y ) ( z ：掣一：) + ；d ( z ：目咭) 一广：1 0 9 ( z 口心) 邮7 _ 1 ) z j 广； 一必( 南一：) 综合( 1 3 ，1 ) 一( 1 3 4 ) 式，与( 1 1 | 1 ) 式相比较，只考虑余项，则有： ( m d ，6 ：z ) = 扛j d 一：) 一d ( n ) 妒 n 一 ) f n z 一 + d ( 卅o ( z j 1l o g z ) + d ( i ( z f 一：) i )、，、ll ， 由熟知结论( ) “，我们有 ( z ： 南奴v ；( 著) 5 m 才和- 鸭z ( 1 3 4 ) 坚坚壁壁塑 因此我们得到 剐叩6 ；扯蓦( 嘲丢卜。；导；州妒) d 白 7 6 + d ( f ) + 。0 ；筝一：一】i o g 刁 l 4 足理的证明 由二分法，我们只须证明伊2 ( 口，。，6 ；z ) 如。根据上一节的结果： ( n f n ，6 ；z ) 2 1 汹：) + 2 ( z 讲) 一互。酬妒e k 。) + d + o 防扣l o g 。) n 9 女p 一 、 7 。 。 其中 篡蝥? 2 翕驴p n 氐。s d 如 、 7 ，r 2 箸! 么，、“。l 尼( z ) = z 0 d 一：) ， 、 d ” 、 7 刚q = 。量m 沁。) + d ( 卅。附扣嘶) n 9 一 。 7 。 。 摩一办 i 再先，利用弓理1 2 2 以发c 8 c j 妒不等式，来估计鬈7 f 贾2 忙j | 2 出，有 办。胁f 睁1 ) ：) j 2 ) 出 j 0 9 乏d z “f 氆p ；d ) f 2 妇 妇1 嘲哩，p 心辰 。阳。d n ，o do 墨篙麓舞巍婀2 乙。 ( 14 1 ) ( 1 4 2 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 要估计层ri 飓( z ) 1 2 出，需估计。如 ，一 d ( n ) 妒g n 一 ) 的平方积分均 值。分段求和，写 j s ( z ) = 毋扛) + o ( 1 ， j = 0 s j ( z ) = d ( n ) 砂( z n 一 ) ， 2 一j _ l $ 吾p 一 n 2 一j # 壬，一鲁 其中，= ：l o g _ 12 l o g ( 巧。) 】令 肘( 删) = d ( n ) 1 ；f ，( z n 一2 ) ， ( n s 2 1 其中r 一 日 击为实数。则毋( ) = ，2 。一1 挈一：) ， 歹= o ，1 ，t ，下 面考虑铲2 ( z ，q ) 如，令叩t ；= 日，由引理1 2 3 ，有 ( m ) = n ( )d ( n ) e ( b n o ) 。 l ( l d ( 九) e ( z n 一 ) l d ( n ) u0 n 一2 ) q z n 妄2 1 z j f + di 1 0 鲥 1 + 一 一； 1 ( h 则利用c a u c l i ，j 不等式。有 d ( n ) e ( 。 n q z n 曼2 q 善 私 n s 2 胪水十( ，三一一 l + l o g 丁 。1 l 蔓 s d ( n ) e ( i l z n 一2 ) 社 r s 2 伊 d ( n ) e ( h z n d ( n ) e ( k n 一 ) p ( n s 2 口z 2 畔。畔 恻 ，il、 旧 山东师范大学硕士学位论文 从而 f 舻c 删，如n 。蠹警f l 三，；批( 妇碍) l 如 i1 2 = n 。三警f ，点，；卿，如 + 。蠹竿f 稿乏。d ( m 磁咖( 硝m 屯编一) 寥 利用熟知的结果。垒d 2 ( n ) ”l 0 9 3 “r 上式第二项的贡献为 钔。蒹。譬序出l 。1 丁i 0 9 5 r 将原式第三项交换积分求和顺序，义出厂( t ) = z ( m 一；一n 一) ，易知 ( z ) xr 1 肺一1 日i m 一；n 一 i ， 则由一阶导数估计，其贡献为 。萎。警。如m n 呶咂嗍e ( 脒( m 。一n 一2 ) ) 出 l s h 口r 帆。e 2 州2 r ， 。( m “j 1 1 1 2 1j 。 ，萎。警。俐高南 l s h ! h ( ( 2 l + “i “。 胪科_ l o g ? 护篙 1 3 “：月 月 m 2 i + h m n 片2 + t l 一 l o 矿r 综合以上估计，有 ， m 2 ( z ，q ) d ：c t h l 0 9 5 丁+ h 2 + 一一 l 0 9 5 r j r 1 7 山东师范大学硕士学位论文 从而 f 丁昨肌f b 。，卜。，订刁 l o g t 厶母( 。) 出+ t l 。酽t i o g ? 厶材2 纯2 十1 矿一! 廊+ r l 0 9 4 t t 1 + 一害l o 矿丁+ ? 1 + ：掣一l 一譬l 0 9 6z 综合岛( z ) 的表达式，有 厂2 了磁( z ) b 丁1 + ：y 一：l 。矿丁+ 丁i + i p l 一警1 。9 6r磁( z ) b 丁1 + ：y 一：l o 矿丁+ 丁1 + i p 一1 一警1 0 9 6r j r + 丁1 + ；一2 一警i 0 9 2r + 吁 丁1 + 吾掣一言l 0 9 6 丁+ ? 1 + ：掣一1 一警l 0 9 6 丁+ 丁矿2 ( 1 4 3 ) 最后。我们来处理冗l ( z ) 。利用初等公式 我们写 c o s “c o s ”= ；( c o s ( u + c 。s ( “一”) ) 州圳2 = 未毳隶等c 。s ( a 丌 匝。、i 、j 百。 未聂素毳掣c o s”以毫本怎札i ：生f 三一r 塑! 巡粤 4 d ，乞，( d l d 2 ) 击。急：( n l n 2 ) ( t 丌厣一；) m 悸岫罔锄卜脬仙旧 = 兄1 i ( z ) + r 1 2 ( z ) + r ”仁) 山东师范大学硕士学位论文 其中 晰，= 柰磊，赤。是：谢， 。糟。辞 一。善，。赤。磊。背七居岫同， = 杀。磊，赤。磊：鬻咖( a 丌脬仙罔“q 令 则 f 7 晰炉瓮掣f r 础j t q l j r 即对r l l ( z ) 平方积分均值的估计归结为对b ( 。 ) ( ，z ) 的估计 甫一阶导数估计，我们有 ( 1 4 5 ) 卜如序善：裂赫e ( 知击( 层一闫) 出 注意到了指数函数的一阶导数批j = ，及一阶导数估计。再由显然估计 1 9 鬻 一 l 舻一 暑 屠屠 蒜啬 畸l 卵嚣 叱“ 妇 山东师范大学硕士学位论文 有 小z 如f 驴札邑揣咖 n 。专机辞 引“邑器t 蕾 t 屯“1 “2 、，、。一， 。菇。0 综合以上两个估计式，则 ，2 r ，扁2 ( z ) 出t ，6 ) ( ，z ) ， j r 铀扣扎赢烈咖( 嚏悟厨) 卅a 6 ， 即对r 1 2 扛) 平方积分均值的估计归结为对且。，6 ) ( ，。) 的估计 利州初等公式s i n 。= ( e 。+ e ) 2 及+ 6 磊，有 伽驰髓：墓烈孙f e 层+ 闫) 出 甜：曩：岽赫( 层+ 同 。怎，( ( f l 如) 云( n i n 2 ) o vc f ；v 西 n l n 2 ： tf 塑! 巡! 尘 d j 毳， m n 2 所以，余下的工作就归结为估计且。”( 玑。) 和且。，6 ) ( ，z ) 。 l n 东师范大学硕士学位论文 1 5对b ( 。扣) ( 可，z ) 的估计 铀加。是，赤。是；篇掣 ：r 堑! 巡型( 垡! 生生 札。 ( 研避碍毋) 杀 = 量m 瑶喙鼬麟) ( 磊，如洲0 = m 一击元，”( m m 。) ， 其中 g ( 州m ；舭) = d ( n ) d 击 恕蒋 令 9 ( ) ( m ) = d ( n ) 硅 m = n 4 一 显然 g ( 。6 ) ( m ；，z ) g ( 。，6 ) ( m ) ，m 1 易见当m 幻= 矿时。有 9 ( 。6 ) ( m ；y ，：) = g ( 。， ( m ) 所以我们有 b ( 。，6 j ( ，。) = 仇一叠9 二朋( m ；p ，2 ) + m 一杀g 乙 ) ( m ；，2 ) m s ：o l s 如 m 曼z 4 矿 = m 一击9 五f 6 ) ( m ) + o ( m 一吾9 五，”( m ) ) ( 1 5 1 ) m s 砷 却 m 曼一矿 下面我们将估计下面这种类型的和 i k 。， ( 以y ) =m 一叠g 五砷( m ) ， vl c ， y + o o ( 1 5 2 ) ， ，r i y 2 l ij i 东师范大学硕士学位论文 易知口o ，( m ) 为可乘函数，事实上，设( m 1 ，仃k ) = 1 ，令 则 g ( 圳( m 1 ) = d ( n 。) d 孛 m l = n t 田 g ( 。m ( m 。) = d ( n 。) 孝 m 2 = t l 耋畦 9 ( 口，6 ) ( m i ) g ( 。棚( m 2 ) = 烈n t ) d ( n 2 ) ( 盔如) 去 m - = n 畸 m 2 = n ；畦 = d ( n t n 2 ) ( d - 如) 去 m l m 2 = ( “l “2 ) 4 ( d l 如) 6 = 9 ( 。 ) ( m i m 2 ) ， 从而验证了鼬”的可乘性。显然t 元6 1 ( 嘏) 亦为可乘函数，利用欧拉乘积公 式，可写 薹掣= 耳( z + 耋学) s 现将a 分段讨论。当n 6 时，只有p 口= n 8 1 这种情况，设n = n 故 g 之b 1 ( 矿) = ( ( f ( d “) ) 2 = ( + 1 ) 2 ，n 6 ， o 当6 n 2 b 时。分为两种情况矿= n d 一1 或矿= n 8 矿，故 靠) = 协，嚣锄6 蚌。 当2 6 n 3 6 时，分为三种情况矿= n d 1 ，矿= 扎4 矿或者矿= n 4 矿，放 i + 1 ) 2 ， 2 6 s 口，l ( 3 6 ， o 元朋( 矿) = ( + 1 ) 2 p ：，6 砒 2 6 l ( + 1 ) 2 p 警，n 6 当3 6sn 4 厶时，分为四种情况矿= ，1 4 l ，矿= n 缈，矿= n o 矿或者 矿= ，2 n 矿，故 矗扩球三 【+ ) 2 3 6 sn _ f l 4 6 ， 0 ) 冶；，2 6 s 口 3 6 ) 2 p 警，6 s 曲 2 6 ) 2 p 警，如 ：+ 绝对一致收敛，利州p e r r o n 公式，有 黟爪m ) 一嘉z z ：小一批如，扣。( 声) 移动积分曲线至口= j + 去，根据帘数定理，易知被积函数在s 一：+ 的帘 数为e 1 ( o ，6 ) z j + ，其巾 湖= 熹g h 砷( ：+ ；) 则我们有 嘉( z 麓。+ z 笔= + 名警。+ z 裟) ( ( b ! s ：) ) g c 。，( s ) ；c f s = a ( n ，6 ) z j + ( 1 5 ，5 ) 首先处理( 1 5 5 ) 式中第二个积分式，有 杀z 芝芝“( ( 6 ( s m 啪知，等幽 ；：如5 嘉曲 以+ + 。万丽曲 。j + ，j一一，一 山东师范大学硕士学位论文 同理，( 1 5 5 ) 式中第四个积分式有相同的估计，即 熹z 芝( 批州等出净 最后处理( 1 5 5 ) 式中第三个积分式，有 熹z 警“郫一跏啪小，等如 综合以上估计及( 1 5 5 ) 式，有 刍z ：( 一批咖小，知咧啪廖“。( 声扣) 再南( 1 5 2 ) 式，利用分部积分，我们有 ”( u l p u 一击d ( g 孙m ) ) u 一击“ ( 1 删 。u m 柚 2 三m 略( m ) + d ”+ 1 ) 。 m 一杀g b ( m ) ) 如 2 n 知嘶。( 阢y ) 收敛，故可记 m 一杀9 b ( m ) = q ( ，6 )j。、o ，o ，、7 m = l 蜀。，”( 玑2 ) = c t 扣，6 ) + 白一去+ 1 ) ( 1 5 7 ) 持 山东师范大学硕士学位论文 1 6 对虽。，6 ) ( 3 ，z ) 的估计 本节，将估计置。，( ，= ) 。注意到d ( n ) ，有 渤。一) 矿“邑赢d t d 2 “i “2 、州， 、， ”l 霄n 2 卵 居一 分别对血，如，“l ，采用二分法，使得d l d l ，d 2 一d 2 ，n 1 “l ，“2 一2 且 1 d 1 ，d 2 玑l l ，2 ：，则分别有o ( 1 0 9 2 p ) 和o ( 1 0 矿。) 个形如 由。功和。j ，j = 1 ，2 的和，将d ( 1 0 9 2 z ) 并入，有 其中 写 其中 蜀。，6 ) ( 矿，z ) 蜀。，6 ) ( 口i ，现，麓，7 ) ；5 l 0 9 2 譬 臣时) ( 。td 2 ，a r l ，尬) = 瓦南 ( 1 6 1 ) 面巾悟 s c ( ) ：( f l d 。，出一d 。，n ，一l ，n 2 一2 ，n 。d ；n 2 d ； 臣。朋( d i d ：，n - ，m ) = + 67 s e ( ) ： 6 以d 1 ，如一d 2 ，“l 一 1 ， ( 1 6 2 ) 一飓f 层一压f2 ( 疼间5 御 s c ( ) ： 7 d l d l ，d 2 一d 2 ，n l 一l ，“2 一j 、，2 f 屠一层i ( 层闫5 舢 山东师范大学硕士学位论文 则 ；南曲( 畦悟 莩南l 居一屑i 现眯萨。渤 ii l 下面估计，令n2 、摹一享，若m m ( t 击，i q | - 1 ) = t 击，则有i q l r 一击，利用引理1 2 4 ，则 莩丽蒜丽眠仍m 啪匈+ 面 若m i n ( t 去，| q | 一1 ) = lq l ，则有皿j ? 一击，利用二分法，将7 写为d ( 1 0 9 丁) 个求和区间为丁一击 j i q i 2 j 的和，则 莩咿 纛筋南h 1 万1 0 孚乏了i “唑6 1 _ ( d l ，d 2 ，m ，：2 d ) 瓦雨蒜6 冀扩旧1 d 2 ，m 。2 如姚丁+ 南 综合两个估计式，有 莩卵锯+ 南 下面给出，的另外一种估计方法注意到摹v 茅则 q i i 籍h 笋i c 啦一吨m 时 ( 1 6 4 ) 山东师范大学硕士学位论文 再次利用二分法，有 7 莩丽赢丽m i - 1争( d l 如) 去( n l 砌) 面未研；。蒹甜( 耽d 2 ) 去( m 、| 2 ) i 。惫甜” 面历鼢毋) 一战地物- 璺+ l 4 ( 。，。：，l ，2 ；2 6 )面历再；i 丽鼢毋) 一宾写札物一+ l 扩( d 1 闺2 1 2 2 6 ) ( d 1 d 2 ) 学( m 飓) 譬l 0 9 2r + y 2l o g r 综合( 1 6 4 ) ，0 6 5 ) 式有 莩押o s t 埘m - ( 丽赫，c 掣凯飓，孚) 押小订( 淼) 黼( 蚴凯彬) 揣 y 2 l o g r + 丁揣1 0 9 2 r ( 1 6 5 ) 综合( 1 6 1 ) ，( 1 6 2 ) ，( 1 6 3 ) 及( 1 6 6 ) 式，有 置。，6 ) ( f ，：) ( 口2 ，+ ? 鑫南，) 1 0 9 4 丁 1 7定理的证明( 完成) 综合( 1 4 5 ) ( 1 5 5 ) 式，有 ( 1 6 6 ) f 晰肛掣厂砌刖( t h 材匆 ( 1 ，1 ) 综合( 1 4 6 ) ( 1 6 7 ) 式，有 厂圩兄1 2 0 ) d z t 1 * 2 + r 鼍 j 辞芦+ 。 上蜀。( 壮引1 + 勺2 耵糊押 综合( 1 4 4 ) ( 1 4 7 ) ( 1 7 1 ) ( 1 7 2 ) 式，有 ( 1 7 2 ) r 丁忡炉如= 譬笋r r z 去如+ 0 ( p 材嘲+ 0 ( 丁m n t 粼“) = e ( 8 ，6 ) 丁1 + 去+ 0 ( ? 1 + 去1 一去) + o ( 丁1 + e 暑，2 + ? 穹；：；掌芦“) ( 1 7 3 ) b 东师范大学硕士学位论文 其中g ( 。，6 ) = 世嘉拦产 综合( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 7 3 ) 式，利用c a u c h y 不等式，我们有 汀兄l ( z ) ( 霆2 ( $ ) + 忍( 。) ) 如? l + 去“矿+ 丁1 + 击“彭一去+ r 1 + 击“鲈一 一缸1 7 4 ) j t 最后，综合( 1 4 1 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 7 3 ) 及( 1 7 4 ) 式，我们得到，当6 4 口 时，有 ，2 r 2 ( n ，d ，6 ；$ ) d z ：c ( d ，6 ) t l + 去+ o ( 丁1 + 击y 1 一去+ t 1 扩+ t 萼鲁；￥铲+ c j r + r 1 + 牝掣一：+ 丁1 + 詈枉一1 一警+ 丁1 + 击托可+ r 1 + 杀+ 暑，一击 + r 1 + 嘉+ c 掣一 一：) 当2 0 6 4 n 时，有 ，2 了2 0 ，n ，缸z ) 如= c ，6 ) r 1 + 击+ d ( 丁i + 击可l 。击+ 丁1 + r y 2 + 丁马毛警乒+ s2 0 ，n ，缸z ) 如= c ，6 ) r 1 + 击+ d ( 丁1 + 击可1 击+ 丁1 + y 2 + 丁马 ：；擎乒+ 5 ，了 + t + 击“2 一去+ 丁1 + “一 + 丁1 + ；+ f 一1 一警 + 丁1 + 击+ 。g + t 1 + 击+ 。一击+ 丁1 + 击“一l 一：) 易知，当6 她或者缸 6 她时，均有r 矗p 丁击，根据引理1 2 5 ， 我们得到 当6 4 n 时，有 2 7 2 0 ，“，抚z ) 如：e 缸，筇r 1 + 击+ d ( z 1 + 嘉执“+ ? 1 + 矗 等妥) 上2 ( 舐瓯抚弛_ e 池+ 砉+ d 1 + 赫+ f + + 丧糍) 当2 o ，均有估计 p ( z ) ：= 。 ：r ( 住) 一7 r 。= d ( 。+ ) 成立。高斯首先证明了p ( ) = d ( z 1 2 ) 后 来许多数学家将指数l 2 进行了改进。目前最好的结果是t z 2 e 【6 l 证明的 p ( z ) 。1 3 1 4 1 6 ( 1 0 9 z ) 2 鲫5 7 韶2 0 ( 2 1 1 ) 猜测有q = l ，4 。对于圆法问题的详细介绍参见e 衙t 职f f l