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中学数学区别化课程研究 摘要 专业名称：基础数学 指导教师：宋乃庆教授 张广祥教授 研究方向：数学教育 研究生：闵兰 在数学教育中，区别化有着特殊的意义。一方面，数学是应用十分广泛的一门学 科各行各业都需要数学，而不同职业对人才的数学智能和数学素质、数学水平有着不 同的要求，高校各个专业对于数学基础的需要也有较大差异。另一方面，学生的兴趣 爱好、认知水平的差异，在数学学习中往往表现得最为明显，有的出类拨萃，有的却困 难重重。因此要对所有学生用同一的要求来进行教学是不适当的。只有实行f ， 化，才能使每个学生在其自身合适的方向上最大可能地得到发展，达到教学目的迪世 社会需要。 随着数学教育改革的深入区别化已引起各国数学家和数学教育家的关注，提出 各种各样的方案，进行这样那样的试验，取得不少的经验。区别化已成为数学教育的 一个主要趋向。 在我国地域辽阔、人口众多、区域经济发展很不平衡，学生各方面的差异很大，对 所有学生用同一种教材，同一种模式，同一种要求，造成大面积的数学后进生，对学生 的发展显然是一种障碍。对学生而言，每个人所需要的数学是不一样的，每个人的数 学才能也有区别。因此不可能，也没有必要使每个人都达到同样的数学水平。数学教 育必须照顾到所有人的需求，并使得每个人都从数学教育中尽可能多地得到益处使 学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的数学 知识的同时，不同的学生可以达到不同的水平。给对数学有特殊才能和爱好的学生 提供更多的发展机会。在中学数学教育中实行区别化，构建区别化的数学课程，是实 一1 一 现这一目标的最有效的手段。 数学教育应该使数学成为一个“泵”来促进人的发展，而不是作为一个“筛子”来淘 k o - - a - 本文包括三个部分。 第一部分问题的提出。这一部分论述了在史堂熬堂教育中为什么要实行区别化 以及区别化的理论依据。 第二部分国外中学数学匡剔i 匕透攫研究。这一部分着重介绍了英国中学数学课 程的一个显著特点一区别化。简略介绍了韩国、瑞典、日本、美国、前苏联在中学数学 建立区别化课程概况。 第三部分我国中学数学区别化课程构想。这一部分根据我国( 国家数学课程标准 ( 征求意见稿) ，作了初中阶段水平区别化的数学课程构想。根据 ，作了高中阶段，分流区别化的数学课程构想。 ( 本文中提到的课程主要指学科课程，更多地特指中学数学区别化课程。卜一 一2 一 ar e s e a r e l ao ni n m v l d u a l i s m i nt h ec o u r s ed e s | g no fm s t l a e m a t l e sf o rm r l d l es c h o o le d u c a t i o n m 吣 ： s p e c i a l i t y ： s u o e r v i $ o r s ： a u t l a o r ： b a s l em a t l a e m s t | e s m a t h e m a t l e a le d u c a t i o n p l o t s o n gn a r l l n g l 。r o f z h a n gc u a n x l a n g m i nl a n a b s t r a c t i n d i v i d u a l i s mh a 8 鄄e d a ll i i g l 曲c s n c ei nm a t l t e a c h i n g m a t h e m a t i c sh a s 酬a p p l i e a t i o m i na v a r i e t yo ff i e l d s 。b u td i 】f b 啷吐p r o f m i , mh a v ed i v e r s i f i e dd e - m a n d 8l t h ea p t i t u d ef o r ，a n dt h ec o m p e t e n c eo f 。m a t h e m a t i c = ，t h ep 8 r to ft h e p r a e t i t i o t a e r si nt h e 托雄坞c 心l 陀8 r e s , s o nt h eo t h e rt u m d 。t i 聆l i e sag l e a td i 妊e r e n e e a m o n gt h es t u d e n t si nt h e i ra p t i t u d e j fm a t h e m a t i c s 。w h i c hb r i n g aa b o u ta 岫 o o d a t l r a s tb e w t e e nt h o b ew h oa r eo u t s t a n c l i n gi nd 城rm 丘t h sl m i n ga n dt h o s ew h om s i m p l y a tab 鸥t h l 剃o l - e ，i ti st m d e 曩i 】n i b l et op u t e 商n g k 咖e 1 1 ti 耐o t , ea l l t h es t u d e n t s h 【b t 嘲d 。i n d i v i d t u d i 啦m u s t b ep r a c t i s e d , w h i c hc a nm o s t a e i h t a t e t h e i rm a t h s l e a r n i n gi nt h ew 町b e s ts u i t m gt h e i ri n d i v l d t u d i t y n 出w i l le v e n t l l a l l y f u l f i l lt h eu l t i m a t ep u r p eo fm a t h 8 自潍她a n dm e e tt h en e e d so ft h ea o e i e t y i nt h ea 砌攒dt h er e h l - mi nm a r l = t e a c h i n g 。m o 球a n dm 僦a t t e n t i c t lh a sb e e n g i v e n t oi n d i v i d u a l i mi nm a n yc , n t r i e s v a r i o u sp r o g r a m 8a 坤d 冒电n e da n de x l 弛r i i n e l a t l ba 地m a d e ，a n di n d i v i d u a l i mh a sb 锄e 矗p 哩m l 丑rm i n di nm a t h b t e a 4 l i n g i nc 1 l i 强。t h el a r g et e r l f i t 缉y ，t h eb i gp o p t t l a t i o l aa n dt h er e g i , m li m b a l a n c ei ne e o n o m i ed e v e l o p m e n tr e d t l l t l li nt h e g l e a td 迁如啪c eb e t w e t h es t u d e n t s 8 h o r r i d e a i n g l et e x t l o k ，锄e h i n g 删da n dr e ( 1 m e t x tb ea p p l i e dt oa l lt h es t u d e n t s ，8 l a r g en t t m l 蛔rdp o o ri l t l l d e n t sw i l lb e 掣o d l - o e d 矾出i io b 诚删l l yu n a v o r a b l et ot h e d m 1 0 l n n e n to ft h es t u d e n t s n ot w oi l t u d m t 8h a v et h e 蛐et l l tl 蕾m a t h e 口t a t i e s a n dt h e 彻en e e df i 晖i ti n 锄o f a l p p l i e a t i o n i ti si m p a j b l ea n di t r l n e e e u a r yt h a t 】 e a c hs t u d e n th a st h e8 1 自1 n em a t h e m a t i c a lo o a p e t e n e e m a t h at e a d ：l i i l gs h o u l dc o v e rt h e i n d i v i d u a li l e e d 8o fa l lt h es t u d e n t sa n d 口山剐mt h a ta l lt h es t u d e n t ml e a r nm a t h e - m a t i c st ot h ee x t e n tt h a tt h e i rm a t h e m a t i c a ll e a r n i n gi sa c l e q t ef o rt h e i rd a i l yl i f e ， w o r ka n d u r t h e r 或柚d i 麓；i ts h 础a l s oo f e rm m 趣期弛i nm a t h e m a t i c a lk i , l c d o mf o r t i l e 幽h a v eg r e a t e ra p t i t u d ea n dp r e f e r e 峨l a rm a t h e n 璩矗i n d i v i d u a l i mi n m i d d l es c h o o lm a t l 皓t e a e h i 旭c 蛆b e s th e l pa c h i e v ed l i 8c o a l m a t h st e a e h i z 培o t 喀h tt om a k em a t h e m a t i c sa 。p 如叩”t oh e l pp e o p l et og oa n d n o ta 。s i f t ”t ok e 印a w a yt i 饿t m q u a l i f i e d mt h e s i bh ut h r e ep a r t s p a r to n e - l s l t r o d u e t i o l l i nt h i sp e r t 。i n d i v i d u a l i l mt h em , i si n t r o d u e e da u dd i a m s i o ni sm a d e 媳t h et e 皇簟m 矗蕾o ri n d i v ；a u a l t s t l em a r l i nt e a c h i n gi nm i d d l ea e h a o l 8 p a r t lab r i e f 越l - b 出雌t h er n m l v ha f 歧雌西窖矗5l i 堪喀t h el i n eo fi n - d i v i d i j a l i 啦i em a t l 啮协曲妯薯毡如咖e o t m t a i e s ab r i e fi n t r o d mi s 蜘o lt h ee - d u e a t i mi nt h i a 托窖耐i ns 翻曲g a r e a , 8 ，耐皤j i 弹屿t h eu s a ，l i n dt h e 蕾a 眦茁 s o v i e tl j n i c d a ! t h e 蛔慧t l 砸b r l 伽he d u e a t i o l a p a r t ：a n o u t l i n ea fc k l n a 0c o u l - 幽j 驭妇l n d i v l d t u d l l t i cm a t l mt , t 耐l - i n gi nm i d d l es c h o o l s i n 曲p a r t , b 融d 髓tm c r l a l n d 氍枷d | 畦睥f o r j t m i o r 也j d d l e 暑d 的o ka k , , g 籼妇d 。“黼删、a 蝌妇鼬啦m 翻糕蛐垴嚏， d i v e r s i t y o r i e n t e d 峨幽峨h8 i r m a ，捌b 岫嚏t k 弹i 翻唾ka fl h e 。s y l l a l 她o f l t h a l e t i e sf o rf 蠲一t i m e & 嫩n m & 幽甜 t h e “c o u t l l 基mm e n t i o a l e dj nt h et l 岫d 岫r e f e r 协嘲d _ n i c a 棚嗍。e l l 3 e c i a l i yt ot h e w i t hb 进诚由- b 啦隐l e 雠眦 2 一、问题的提出 l 一) 、我们的数学教育是为了所有学生吗 1 我们的学生学会了数学吗 事例1 ：工厂的朋友谈到了这样一件事。他所在的机修车间分来一位重点中学的 高中毕业生。当老师傅请他画一个法兰盘的纸样，并在一个圆周上均匀地标出6 个螺 栓的位置时。 我们的这位高中生对6 等分圆周问题感到无能为力，因为现场没有量角 器! 其实这是个很简单的尺规作图问题。这是每个初中生就应该掌握的。 事例2 ：有一位同事的女儿，高中毕业后做营业员。她的领导让她制作一张能一 目了然的了解1 9 9 8 年下半年和1 9 9 7 年下半年的销售额逐月递增对照图表。她很紧 张。因为她根本想像不出这张图表是什么样子。 事例3 ；电视台播放某大奖赛实况，总要去掉一个最高分一个最低分，现在要去掉 两个最高分两个最低分，这是为什么? 学生不了懈这类活生生的身边的数学事实。 类似的例子很多。我们的很多高中生不会使用计算器，不会搞报表，搞不清简单的 收支问题，不会计算利率。搞不清保险，折旧和税利率而这些，恐怕都和我们的数 学课程、数学教材、数学教师有关。或者说和我们的数学教育有关，我们不禁要问，是 不是我们的数学教育存在一些问题? 我们的每个学生到底学会了他们应该学会的数 学没有? 2 为什么让所有的学生学习同样的数学 学生在发展上是存在差异的，而对有差异的学生应实施有差异的教育，实现有差 异的发展。北京教育学院数学教育专家王长沛教授为此特别列举了一个关于学生对 字母表示数的几种认识水平的研究实例，指出学生对字母的抽象理解分好几个水平： 从最初把字母当成具体的东西，到忽略字母，再刭把字母当作特定的一个数，把字母当 作一个未知数。把字母当作可以取不同的数。最后到把字母当作变量。研究还发现，儿 童到1 4 、1 5 岁。真正达到把字母当成变量这一缀抽象学习水平的儿童只占1 0 - - 2 0 ， 学生的个体差异很大。间一年级的差异有时可以达到7 岁。 根据心理学的智力理论，人的智力结构是多元的。有的人善于形象思维，有的人擅 长计算。有的人擅长逻辑。没有什么好坏之分。另外，每个学生都有自己的生活背景、 家庭环境，这种特定的生物的和社会文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式和 解决问题的策略。不能要求一个模式。要求没有差异就意味着不要求发展。 我国城市和农村，沿海地区和内地，经济发展很不平衡。其它方面的差异也非常 一1 一 大不可能让所有的学生都升入高中学习，升入大学学习。我国实行的是九年义务教 育，学生初中毕业后，一部分人走向生活、走向社会，参加工农业生产和从事其它职业； 一部分人进入职业高中学习；还有一部分人进入普通高中学习。学生的走向不同，所 需要的数学知识是不同的。我们应该为学生的不同需要，设计多样化的、区别化的数学 课程。 每个人所需要的数学是不一样的，每个人的数学才能也有区别，因此不可能也没 有必要使每个人都达到同样的数学水平。 数学课程的设计应适应一个国家中不同层次、不同能力的学生的不同要求，而不 能像过去的几次改革那样“用一个专家课程代替另一个专家课程”。 3 数学教育应该属于每一个人 数学是由于现实世界的需要而发展起来的，数学绝不是什么符号游戏，而是人类 生活、生产经验的总结。生活需要数学，生产需要数学，科学技术需要数学，社会的发 展需要数学，而作为现实社会的每一个人，不论是工程师、艺术家、还是工人，营业员都 必须掌握一定的数学，并能为自己的需要服务，而这种服务的本身就是对生产发展和 社会进步的促进，我们对社会上的每一个人进行数学教育的宗旨正应该在于此，就象 荷兰数学家费赖登塔尔说的“数学源于现实，就必须寓于现实，并且用于现实”。“数学 是属于所有人的，因此我们必须将数学教给所有的人”。 不同的人有不同的思维方式，不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。数学课程应 该面向每一个人，在使所有学生获得共同的数学教育的同时，让更多的学生有机会接 触、了解乃至钻研自己所感兴趣的数学问题，最大限度地满足每个学生的数学需要。 为对数学有特殊才能和爱好的学生提：供更多的发展机会。 以信息社会和市场经济为基本形态的未来社会，全球经济一体化进程急剧加快， 科学技术迅猛发展，人类生活高度社会化，而这一切都有赖于定量化的研究。 2 1 世纪的公民面临着更多的机会和挑战。人们需要在大量纷繁复杂的信息中作 出适当的选择与判断。因此未来社会的公民应该。也必须具有基本的收集整理数据、加 工处理数据、获得结论、作出选择。并能进行有效的表示和交流的能力。 2 0 世纪中叶以来，随着计算机的出现及其与数学的结合，数学得到了空前的发 展，极大地改进了数学的面貌： 教学帮助人们把握客观世界的各种模式。整理客观世界的秩序。数、形、关 。事囊才：初中鼓学麓材麓法 膏辱麓青出簟社1 驰s 年麓 一2 一 系、可能性、数据处理等等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本的反映。 数学作为一种普遍适用的技术，可以帮助人们在收集、整理、描述、探索和创 造中建立模型，研究模型，从而解决问题，作出判断，它为人们交流信息提供了一种有 效的、简洁的手段。 数学是在人们对客观世界定性把握和定量刻划的基础上，逐步抽象概括，形 成模型。方法和理论。并进行应用的过程。这一过程充满着探索与创造，如今观察、实 验、模拟、猜测、矫正与调控等等。已经成为人们发展数学、应用数学的重要策略。 数学可以帮助学生更好地认识自然和人类社会。更好地适应日常生活、理解周围 世界；数学可以促进学生有条理的思考、有效地进行表达和交流，运用数学描述问题、 分析问题和解决问题；同时通过数学实践活动还可以发展学生的主动性、责任感和自 信心，培养他们实事求是的科学态度和勇于探索创新的精神。总之，数学直接影响着 国民的基本素质和生活质量，良好的数学修养将为人的一生可持续发展奠定基础。 同时，基础教育的性质决定了每一位少年儿童拥有平等的、接受教育的权利。这 种意义下的数学课程，在义务教育阶段应该与人的生存发展息息相关，其内容应该对 每一个人的终身发展有价值，并且是人人都能够获得的；高中阶段，则应尽可能充分反 映学习者对数学的不同需求，使每个学生都能学习适合于他们自己的数学。 因此，面向新世纪的中小学数学课程应为学生的终身发展奠定良好的基础：使学 生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的价值，增进对数学的理解和应 用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会去解决日常生活中的 问题。进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展 所必需的重要数学事实( 包括数学知识、数学活动经验) 以及基本的思想方法和必要的 应用技能。 儿童有一种与生俱来的。以自我为中心的探索性学习方式。他们的知识经验是在 与客观世界的相互作用中逐渐形成的；有意义的学习应是儿童以一种积极的心态，调 动原有的知识和经验。认识新问题。同化新知识，并构建他们自己的意义；每个儿童都 有各自的知识背景，家庭环境和特定的社会文化氛围，这种差异导致不同的儿童有不 同的思维方式和解决问题的策略。 为此，好的数学教学应该是从学习者的生活经验和已有的知识背景出发，提供给 学生充分进行数学实践活动和交流的机会，使他们在自主探索的过程中真正理解和掌 握数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。学生应是数学学习的主人 一3 一 教师的作用在于成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。 ，公民的数学修养，最为重要的标志是看他如何理解数学的价值，以及能否运用数 学的思维方式去观察、分析日常生活现象，去解决可能遇到的现实问题。因此，在进行 评价时，既要评价学生数学学习的结果，更要评价学生在数学学习过程中的变化和发 展；既要评价学生数学学习的水平，更要评价学生在数学实践活动中所表现出的情感 和态度。评价的目的是为了促进每一个学生的全面发展，应为学生的学习活动和教师 的教学活动提供自主的空间。评价的方法应多样化，可以将测验、实习作业、撰写论文 及日常观察等各种方法结合起来，形成一种科学、合理的评价机制。 数学教育应该面向所有学生的一般发展。义务教育阶段的特点决定了数学教育 必须充分体现普及性和发展性，必须有助于人的情感、态度、价值观念和一般能力的发 展，必须有助于学生获得作为一个公民所必须的基本数学修养，为学生终身可持续发 展打下基础。 4 让孩子们喜欢数学，让不同的孩子学习不同的数学 张莫宙先生在 义务教育呼唤新的数学教学法) ( 数学教育1 9 9 6 年( 3 ) ) 一文中谈 到：“新时期对数学教育的最大挑战，莫过于九年义务教育。初中数学教育的重点，必 然要放在多数不升学的孩子身上，与此同时，努力帮助一些优秀学生成长。我想未来 的数学教育家也许大半会出自初中教师。因为让大多数学生，包括后进生学好数学， 确非易事。在义务教育阶段。不可用考试威压学生。不能以留级、开除为手段惩罚 学生。于是让学生喜欢数学、把主动权交给学生就成为教师搞好教学的必由之 路。时势造英雄，新一代的优秀数学教师。恐怕不会只是解考题能手的同义词 了”。 在经济条件具备之后，义务教育的核心是“后进生”问题。一方面我们强迫父母把 孩子送入学校九个年头，另一方面却强迫学生学他们不喜欢的东西。这是一个矛盾。 因此，我们的目标是“让孩子们喜欢数学”! “让不同的孩子学习不同的数学”。 i 二) 学校数学教育的根本目的是为了满足拳生今后成人生活、就业和进一步 学习的需要 1 为什么袭获学 学生从小学一年级一直到高中毕业都必须学习数学。要正常地生活在二十一 世纪世界上的很多地区。不应用某种形式的数学是很困难的。也许是不可能的。这个 事实本身提供了教数学的充足理由。 一4 一 数学只是学校课程所包括的很多学科之一，但是对儿童来说，在数学上取得成 功比在其它学科( 例如历史或地理) 压力更大。即使人们普遍认可这些学科也应该成为 学校课程的一部分。这说明了数学在某种意zi - - _ 被认为具有特殊的重要性。如果我 们问一问为什么应该如此常常给予的理由之一是数学是“有用的”，也很清楚的是，这 种有用性在某些方面看来，与学校课程的很多其它学科的有用性不同。人们以不同的 方式感受到数学的有用性，很多人根据在日常生活、办公室或在工作场所需要使用的 算术技能认识到数学的有用性；一些人把数学看成是科学发展和现代技术的基础；一 些人则强调数学技术作为一种管理工具在商业和工业中日益增多的应用。 所有这些对数学有用性的理解都来源于这样的事实，即数学提供了一种有力 的、简洁的和准确无误的交流信息的手段。正是它提供了对所有儿童都要教数学的主 要理由。 数学可以用很多方式来表示信息，不仅是用数字和字母，而且也使用各种表格、 图表、图形以及几何和技术制图。此外，数学中使用的数字和其它符号用系统的方法 进行操作和结合。使得常有可能推断出与数学相关的情况的进一步的信息。同样的数 学命题能与不止一种情况相联系，因此，人们经常可以看到。解决从某一情况中所产生 的问题得到的结果被用于不同的情况。用这种方式数学不仅可用来解释已发生事情 的结果，而且，也许更主要的是可预测会发生的事情的结果。事实上，正是数学预测的 能力使得很多技术的进步成为可能。 教数学的另一个重要理由一定是它在其他很多领域的重要性和有用性。它对 于自然科学和各种工程学的学习是基本的。它在医学和生物学、地理和经济学、商业 和管理学中的应用正日益增长。数学对商业和工业的运用无论是在办公室还是在工 怍场所都是不可缺少的。 数学内在的趣味性和它对许多儿童和成人所产生的吸引力提供了学校需要教 数学的另一理由。 科学技术的迅速发展，特别是，以计算机为标志的信息时代的到来要求人们具 有更高的数学修养。大多数职业必将要求从来人员具有收集、分析和处理资料、信息 的能力。市场经济需要人们掌握更多有用的数学。成本、利润、投入、产出、贷款、效 益、市场预测、风险评估等一系列经济名词将成为人们社会生活中使用得最为频繁的 词汇。同时，人们日常生活中的经济活动更为丰富多彩，买与卖、存款与保险、股票与 债券几乎每天都会碰到。相应地与这一系列经济活动相关的数学：如比和比例、 s 一 利息与利率、统计与概率、运筹与优化以及系统分析与决策理应成为数学课程中 的“坐上客”j 人们的生活质量有待数学知识的丰富而提高，数学语言正在生活化，或 者说生活需要越来越多的数学语言。 2 成人生活的数学需要 成人生活的数学需要是什么呢? 首先，很清楚，几乎不存在每个人都要使用的任 何数学内容。例如，不乘公共汽车或火车旅行者可能不需要查看时间表；不开汽车者 不必去买汽油；不在饭店或餐馆用餐者无需会算服务费。然而，很少有人不需要在某 种时候读数、计数、看钟点或买小鼍的商品。也许这是最低限度的范围 成人生活的数学需要中应该包括下列能力：读数和计数、看钟点、购物付款和找 零、计重和测量、会看浅易的时间表和简单的图表和图示、以及完成与它们有关的必要 的计算。能够对数作合理的估计和近似。学校数学教育应该尽可能使学生具备上面 所列的这些能力，作为他们数学知识的一部分。 更为重要的是，需要有充分的信心去有效地使用已拥有的数学技能和理解，不管 是多是少。能够运用数学的知识和思想方法去观察、分析日常生活现象去解决日常 生活中的问题。 3 就业的数学需要 计算几乎所有就业类型的数学需要中都包括能够完成若干算术计算的需要。 完成这些计算有时用心算、有时喟笔算、更多的是用计算器。一些工作特别需要具有 完成各种心算的能力。对几乎所有工作而言，具有某种心算的能力是有用的。百分数 的使用在办公室和实验室里相当普遍，但在其他地方则用得甚少。百分数最常见于有 关钱的计算，例如折扣、增值税、利润和损耗；它们也用于在办公室和实验室其它范围 广泛的计算中。 计算器的使用在各行各业中普遍使用计算器，包括范围很广的办事员和行政性 的工作，诸如信用部、银行、保险公司和生产控制的人员也广泛地使用计算器。这些工 作都需要大量的计算和数据分析。在所有这种情况下计算器被认为是提高速度和精 确度的理想的助手。很多在商场工作的营业员也越来越多的使用计算器。 分数分数在工程和一些另外的技术性工作中仍广泛地被使用。分数记号也常 常出现在一些办事员和零售员的工作中。例如4 号表示4 个星期又3 天，或2 素表示 2 打又5 个。 代数技术人员、技工、办事职员和一些操作工广泛使用代数公式。通常只要在公 。6 式中代入数字，有时也要用到计算器。护理工作也经常地使用一些代数公式。如：儿 驯量：萼群。 估计工业和商业部门广泛地依赖估计能力。这能力的两个方面都是重要的。 首先是判断已求出的计算结果或已完成的测量是否合理的能力。这可以帮助找出或 避免错误；例如，一个月总量与前几个月有显著的差异，或配出的药剂量出人意料地大 或小。其次是对各种度量作出主观判断的能力。这在测量有困难或不方便，可以尝试 有错，或误差值允许范围较大等情况时都是有用的。估计技能在工作中可以培养。 计量虽然估计是重要的，但最重要的是计数和计量。就业中使用的绝大多数数 学与很多这种或那种形式的计量有关，但所有这些与计量工具的使用决没有直接的关 系。计量可由各种方式指定，例如根据项目或钱的总数；根据长度、重量或容积；根据 比率、百分数或比例。计量有两个不同的方面一是必须确定现存的计量，诸如长 度、重量或数量，二是需要确定所要求的计量。在任何情况下，都必需知道计量需要的 精确度；有些情况还必需能够选择和使和适当的计量工具。劳动者可能用几吊桶或铁 锹来计量。熟练工程技工对工作的不同部分可能在不同的误差限度内工作，在每种情 况下都需要选择合适的工具或仪器定出或检查出所要求的计量。出纳员则需要极端 精确地清点钱款。还有一些职业要求从业人员对计量的意义有敏锐的意识，即使他们 自身很少直接计量任何东西。这些人包括人事管理或成本计算、计算营业额和利润盈 余等工作的职员。 无论进行多么大的努力，对今后将从事很多不同类型工作的学生说明数学在就业 中的实际应用并不能赢接提供实际工作本身。重要的是一旦遇到必需的就业情形，课 堂里提供的数学基础应该能够使得对特定应用的能力在一个合理的短时间内得到发 展。 很大部分的就业的数学需要可归结为“对计量的感觉”。这远非仪指计算、估计和 使用计量仪器的能力，虽然所有这些也是其中的一部分。它是指对计量的本质和目的 的理解，对所有使用的很多不同的计量方法的理解以及对得到每种方法情形的理解； 它也指解释各种方法表达的计量的能力。 4 继续和高等教育的数学需要 科学技术的迅速发展特别是以计算机为标志的信息时代的到来，要求人们具有 更高的数学修养。事实上，现代高技术越来越表现为一种数学技术。可以预测。未来 的几十年，大多数职业必将要求从业人员具有收集、分析和处理资料、信息的能力。人 们需要以各种方式自信地使用计算技能。这些技能包括心算的精确和速度以及检验 答案合理性的能力；有时需要扩展性和复杂的计算。 数据的收集、分类、表示和分析，概率分布的运用、假设检验、相关和回归分析、调 查方法和抽样技术，这些都是继续和高等教育所需要的数学知识。 概率统计、矩阵初步、数学建模以及通俗的集合语言和直观的极限思想，体现优化 思想的规化、对策、网络分析等内容都是学生接受继续教育和高等教育所必需具备的 基础知识。 决定一个人数学修养的高低最为重要的标志是看他如何看待数学，如何理解数 学。以及能否运用数学的思想方法去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活中的问 题。 二、国外中学数学区别化课程研究 ( 二j 区别化英国中学数学课程的一个显著特点 区别化是英国中学数学课程的一个显著特点。英国不少数学教育家的研究表明， 儿童对于概念的理解存在着明显的差异，这是实行区别化的主要理论依据。并且，在 多年的实践中积累了丰富的、有创造性的经验，这在英国中学数学课程大纲、教材和教 学方法等方面有明显的反映。 1 国家数攀课程的水平区别化 每 矿一 ，十 英国的学制 主要学段年龄学年 5 6l 第一学段 6 72 7 83 小学 8 94 第二学段 9 1 05 1 0 1 16 1 l 一1 2 7 第三学段 1 2 一1 3 8 1 3 1 49综合制中学 1 4 一1 51 0 第四学段 1 5 一1 61 1 1 6 1 71 2 第六学级 1 7 1 81 3 8 ， 一 英国对5 1 6 岁的儿童实行十一年制义务教育，国家课程就是针对义务教育而建 立的，它适用于英格兰和威尔士的公立学校。 在国家课程中，数学是一门核心课程( 另外还有两门核心学科。它们是科学和英语 在威尔士则是威尔士语) 。 国家数学课程的目标与教学进度是按照水平来决定的，而不是依照年级或年龄。 国家课程将整令义务教育阶段分为四个学段( k e y s t a g e 简称k s ) ，数学课程将目标分 为8 个水平对于每一学段，国家课程规定了该学段的数学学习应达到目标水平的范 围，在每一学段末，将举行国家统一的考试评价。在第四学段末，即义务教育结束时， 学生参加g c s e ( g e n e r a lc e r t i f i c a t eo fs e c o n d a r ye d u c a t i o n 中学教育普通证书) 考 试。国家数学课程实际上也为测试评价提供了明确的标准。 国家数学课程的内容结构： 基本结构 国家数学课程由学习大纲和教学目标两部分组成。其中教学目标按照五个知识 块展开，学习大纲则按照学生在知识和能力方面的发展划分为八个水平。对于每个水 平的学习要求，国家数学课程作了明确规定。 学习大纲和教学目标是国家数学课程的两条主线，在阐述学习大纲时，围绕着教 学目标，按照不同的学段，对每个不同的知识块提出不同的学习要求；在阐述教学目标 时，又根据学生在数学上的不同发展水平分别提出要求。二维坐标架的形式可以作为 数学课程结构的一个比喻。 国家数学课程把义务教育年限分为四个关键学段，其中学生在每个学段的发展水 平如下表： 表1 各个学段的学习水平 k s 41 0 1 1 1 4 一1 6 岁初中三一高中一水平8 或更高 第六学级1 2 2 1 31 6 一1 8 岁高中二一高中三 ( 非义务教育为升学作准备) 对于第四学段，还提出特别优秀表现的标准，它是为高于水平8 的学生设定的，它 9 帮助教师区分学生的差别以便因材施教。对于第四学段的学习水平，没有作出规定， 以便体现教学上更大的灵活性。 教学目标 按照国家数学课程，数学教学目标分别根据五个知识块予以叙述，不同的学段涉 及不同的知识块如表2 ： 表2 各个学段的教学目标 教学目标涉及的学段 1 使用和应用教学学段1 学段2 ，学段3 ，学段4 2 数学段1 学段2 ，学段3 学段4 3 代数学段3 学段4 4 外形空间和度量学段1 ，学段2 ，学段3 学段4 5 数据处理学段2 。学段3 ，学段4 使用和应用数学 目标1 是关于使用和应用数学知识及其思想方法，以处理实际任务，解决现实生 活中的问题，并对数学本身作调查。目标1 伸延与渗透到其余教学目标中，它提供一 个框架，数学教学以此框架为基础，并围绕以下方面展开。 ( 1 ) 通过处理问题以及运用物质材料获得数学知识和技能，并提高理解能力。 ( 2 ) 应用数学解决一系列现实生活问题，以及中小学课程各科目提出的问题。 ( 3 ) 对数学本身作探索和调查，引导儿童投身于一系列活动在此过程中使用和应 用数学，这些活动包括： a 分析问题，制定行动计划； b 选择和利用适当的材料及数学知识； c 选择适当的策略，并检查其合理性： d 认识和利用有关的模式和关系； e 作出并检查预见； f 对结果作出分析和说明。 上述活动是数学教学的核心，据此可帮助所有学段的儿童。通过适当的功课达到 教学目标的要求。 从表1 可以看出，对同一学段的学生，所要求达到的目标水平有很大的弹性，例 一1 0 如。同样是1 4 岁的儿童( 即在第三学段末) ，学得好的可达第8 水平，而学得最差的，只 要达到第3 水平也认为符合要求，差别是何等的大! 这样做，旨在按照学生的实际能 力选择适合他们的水平目标合理安排教学进度，从而取得最大可能的学习效益。 为了全面地，系统地培养学生的数学应用能力英国国家课程委员会( n c c ) 提出 一条途径，从以下三个方面由低年级起就对儿童进行能力训练。同样是针对教学目标 1 ( 使用和应用数学) ，提出了不同水平的学习要求，从中可以看到不同水平学习要求之 间的差异。 在实际任务中学习 儿童应从早期起就逐步接触和处理实际问题，通过实践，其应用能力逐步提高举 例如表3 。 表3 处理实际任务 目标水平学习要求课例 用天枰比较两个物体的重最，并预 11作出基于经验的预告。 告哪个更重些。 为完成某项任务，选用适当的材利用自己的标准，对所收集的彩色 12 料和数学知识。平面图形进行分类。 利用连接立方体的办法，探索三维 l3 利用例子检查命题和定义。 图形的多样性。 设计，计划和执行一项任务。以获 运用统筹方法探求盖一幢简易房子 18 得成功的结论提出不同解法，检 查所采用的路线。 所需要的时间。 处理现实生活的问题 实际生活的问题常常没有唯一的解答，解决它们要用到范围宽广的知识，这对儿 童来说并非易事。即使对掌握较多知识和技能的学生。处理此类问题仍感辣手。因此， 要让学生逐步形成这方面的经验，国家数学课程为教师提供了经验如表4 。 表4 解决现实生活的问题 目标水平学习要求 课例 儿童正在发展他们自己解决问题的 为学校音乐会设计1 个排位力粢 l4策略，把它们用于数学工作中，又把 运用坐标系的思想排定座号。 数学应用于实际线索中。 l4 桑掌信息 清楚而有条理地提出结 利用汽车和火车时刻表设计一个旅 行方案。 鉴别与获取必须的信息，俭查所得根据实验考虑当图钉从一定的高度 l5的结果考虑这些结果是否合理。 落下时，钉头着地的概率，考虑什么 回顾所取得的进展。因素会影响结果。 说明一个猜想是真的。假的或未被 证明的，定义和推理，证明与反驳。 考虑公共停车场的汽车容量。检查 18运用反例。使用符号。提出不同见 猜想：“无论如何安排停车位和转弯 解。认识和使用充分条件和必要条 轨道，只要它们符合标准，那么公 共停车场将能停放同样多的汽车”。 件 通过调查，为城市中心设计一个交 1 篓别优翥冀鎏螽雾擎篓盏；害 通灯设置和单行线系统，检查街道 交通流向计划。提出并分析系统的 有效性，设计一个最佳方案。 调查和探索数学本身的问题 数学提供了观察和感知现实世界的途径也提供了探索新的虚构世界的方法。成 功的数学教学，应该帮助学生认识数学的概括性和统一性，应该提供给儿童对数学创 造的鉴赏，应该让学习者感受到数学发现的兴奋和欢乐。教师要帮助学生探索数学的 类型，结构和关系，逐步形成正确的数学观，这方面的例子如表5 。 表5 对数学本身的探索 目标水平学习要求课 例 利用计算器或徽机探索不同分数的小数表 跟随数学的推理链，认出矛盾。 达式，用不同的方法探索不同的分母。并对 l7 利用不同途径遵循新的调查路结果作分类。探索关于小数表示式的命题 线。 的有效性，如“1 1 3 是一个以六个小数位 为循环节的循环小数。” 设计一个数学任务选取适当 探索边数不同的多边形中，最多可能有几 的数学知识和资源，检查信息个直角? 16 是否充分，所得的信息是否遗多边形边数34567 漏。使用尝试与改进的方法。最多古有直角敦 1 4 3 i 作出并检查概括。作出并检查 探索模式：第一级一个方块1 = 1 16 简单假设，在某个简单线索中 第二级五个方块2 = 5 第三级十三个方块3 = 1 3 以某种准确性作定义和推理。 第四级十五个方块4 = 2 5 1 2 以不同的方法去伸延上述模式，确定并检查序列法则。 目标水平学习要求课例 设计一个数学任务，作出详细的工利用沿不同路线由多面体一个面到别 作计划，检查信息是否完整，考虑所一个面，探索三维图形两点间的距离， 18 得的结果是否正确。求出以下图形中由一点沿棱到达另一 点的最短路线。 在对数学本身进行调查，或者运用 重排方程：x 2 5 x + 3 = 0 数学来分析任务的时候，学生能对 得到迭代公式 恃别优他们的选择说明理由。通过推理。 1 x 。+ l = ( x ：+ 3 ) 5 异表现说明为什么要遵循某条特殊路线而 抛弃其它路线，能在他们所熟悉或 并探讨对于不同初始值，这个数列的 不熟悉的线索中运用数学。 收剑性。 国家数学课程为学校数学提供了一个公共的框架，学校能够据此作出计划，亦能 据个别学生的需要作出适当的伸缩。国家数学课程所确立的教学目标与学习大纲是 教师制定教学计划的基础，也是评估学生进步的明确标准。 必须认识到，数学本身的宽广性，以及数学学习的个别性。因此，在数学教学中，应 该采取多样性的风格和柔和性的特点。 2 第六学级数学课程的分流并实行强修加选修的结构 ( 第六学级( 1 6 1 8 岁) 已不属于义务教育，有时也称为第五学段) 。 英国对5 1 6 岁的儿童实行义务教育1 6 岁以后的教育实行分流。一部分人接 受职业技术教育，准备就业一部分人学习第六学级课程( 也称a 水平课程) ，参加 g c e 考试( g e n e r a lc e r t i f i c a t eo fe d u c a t i o n 。教育普通证书) 。准备升大学。因此，第六 学级尚未有统一的国家课程，但是由于g c e 考试，使第六学级的课程有一定的统一 性。 义务教育阶段数学课程英国在1 9 8 9 年颁发了国家课程( n a t o n a lc u r r i c u l u m ) 建立了统一的课程框架，自1 9 8 9 年以来，根据各学校实施国家课程的实际情况，英国 教育部对数学课程作了两次修改，1 9 9 1 年作了第一次修改，1 9 9 5 年作了第二次修改。 a 水平数学课程的评价体系也逐渐由分散趋向统一。 针对大学不同专业的要求，除了标准的a 水平外，1 9 8 9 年起又增添了一个要求较 低的a s 水平( a d v a n c e ds u p p l e m e n t a r y ) ，相当于过去的“半a ”水平。其所学的内容约 为a 水平的一半。另外在a 水平的学生中，约有四分之一的学生学习第二门数学课 “进一步的数学( f u r t h e rm a t h e m a t i e s ) ”。 著名的s m p ( s c h o o l m a t h e m a t i c sp r o j e c t ，学校数学设计) 编制了1 6 1 8 ( 岁) 的数 学课程。它包括四种可能的课程： 数学( a 水平，纯粹与应用) 一1 3 数学( a s 水平，纯粹与应用) 进一步的数学( a 水平) 进一步的数学( a s 水平)