（基础数学专业论文）微分方程（组）边值问题的正解.pdfVIP

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c a ! x b0 【。t ( 。) ，玑( 。) ) i l 。，( 。2 1 ，2 ，3 ) 定理4 2 2 设( 皿) 一( 凰) 成立，且存在o o b 警6 sc 使得，( ，z ，) ，9 ( t ，z ，h ) 满 足如下条件 ( q ) t 【o ，1 l i i ( x ，y ) l l 型t 3 坤，刚) 。再蒜怖( 斋) g ( 如，) 赢妒a ( 赢) ( 砭) t i t l ，t 2 ，b t l ( x ，y ) i is 鲁6 坤，噩啦再洲鲁) 卵，刎) 三丽1 洲去) ( 珥) t 【0 ，1 ，a ，sl | ( z ，y ) l i 8 弛，训) 丽丽1 妒，( 斋) “t e 们 巧蒜嘞( 志) 则方程组( 4 - 1 1 ) 至少存在三个正解( 。l ：y ，) ，( z z ，y 。) ，( 黝，蜘) 使得o m t a x ll l ( x ( t ) ，y - ( ) ) l l n ， 。罂。( 2 ) ，y 2 ( 洲 d 螂r a i n 。：( 。) ，y 3 ( 洲i 口，z ( + o o ) = y 。日； w h e r e 口d e n o t e st h ez e n oe l e m e n to fe ，坤，z ，z 。) m a y b es i n g u l a ra tt = 0 ，t h “i s - l i m o + j i ，( t ，训= 。f ：j o 尸p p ) s a t i s t i c sc a r a t h d o d o r y 5c o n d i t i o n s ，( i e ，f o re a c h 5 堕塑蔓盔鲎堡主堂堡堡壅 a ne x a m p l ei sw o r k e do u tt oi n d i c a t eo u rc o n d i t i o n sa r er e a s o a b 】e i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t a n c eo fa ll e a s tt h r e e p o s i t i 、r es o l u t i o n sf o r t h es e c o n do r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e m i ( 怖( z ，) ) ( t ) + 4 t ) f ( t ，z ( ) ，( t ) ) = 0 ，( o ，1 ) ， 群r 襟g b 。( 3 3 繁雠bi0 ；擎0 u ， z ( o ) 一，( 0 ) ) = z ( 1 ) + o ( 一( 1 ) ) ：； 卜。j l ( o ) b i ( y ( o ) ) = ( 1 ) + b l ( 9 ，( 1 ) ) = o ； u 8 i “gt h ef i v ef u n c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e n l ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep 。s i t i v e s o l u t i o n s t h em a i nr e s u l ti sg i v e nb e l l o w ： t h 8 0 r e m4 2 1 s u p p o s e ( 吼) 一( 凰) h o l d ，a n de x i s t0 n 6 磬6 cs u c ht h a t f ( t ，z ，掣) ，9 ( ，z ：可) s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 t 4 jt i 0 1 川ky ) lj 茎i c f ( t , 3 3 , f ) 赤怖( 煮) 目( 如，g ) 赤m 瓦c ) ) t 辟，t 2 ，b 到( z ，y ) i i 馨6 坤，砌) 之赢跏( 署) 非 啦丽1 洲鲁) 坪删 丽蕊1 吻i a 一燕) 9 ( 抽，可) 酾1 ( 昙一而m c ) t h e n ( 4 - 1 - 1 ) h a sa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u r i o n s ( 。i 力1 ) ，( z 2 ，啦) ，( z 3 ，崩s u c ht h a t 娌訾( 2 ) ，9 - ( 圳 m 蜓r a 吲i n ：1 1 ( 岱z ( 啪。( 训 b ， o m t 缸 正。r a 蛐i n ( ( 洲l b ，。m 蛳a xi i ( 3 3 t ( t ) 舢) ) 忙c ，( 惜1 ，2 ，3 ) 6 山东师范大学硕士学位论文 l h e o 。e m4 2 2 8 u p p 0 8 e 【h i ) 一( 爿3 ) h o l d , a n de x i s t0 乜 b 嚣6 cs u c ht h a t s ( t ，z ，g ) ，g ( t ，5 9 ，y ) s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 磁) t o ，1 川( z ，9 ) | i 茎警 m ，圳) 丽丽1 妒，( 斋) g ( 柚，) 赢( 赢) ( 噬) t i t , ，t 2 ，b 茎l l ( z ，) j | 鲁6 ) 隔1 t 妒，( 詈1 )j1 、j u “ o 北z ，们丽1 洲币b ) ( 联) t 【0 ，1 】1 ：1 l ( z ，y ) l | s 。 巾，刎) 鬲蒜怖( 斋) g ( 扣，) 百丽1 ( 志) t h e n ( 4 1 1 ) h a sa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s ( z l ，y 1 ) ，( z 2 ，y 2 ) ，( z 3 ，9 3 ) s u c ht h a t 啤m a s x l ( 。) ，y 1 ( 洲 。，憋。( 咖驰( 驯 d ， “驾：i i ( x 3 ( 。) ，y 3 ( 训 6 ，唧m a c 3 x ( t ) ，y d t ) ) l l c ，( 江1 ，2 ，3 ) k e yw o r d s ：n o n c o m p a c t n e s sm e a , s 1 i r e ；b o u n d a r yv a l u e ；p o s i t i v es o l u t i o n ； c o n e c l a s s i f i c a t i o n 0 1 7 58 山东师范大学硕士学位论文 第一章b a n a c h 空间中二阶三点奇异边值问题的多个正解 1 1 引言及预备知识 常微分方程多点边值问题起源于多种不同的数学和物理领域，1 9 9 9 年，马如云【11 率 先研究了三点边值问题 lz ”+ o ( t ) ，( z ) = 0 ，te ( 0 ，1 ) ， 【z ( o ) = 0 ，a s ( r ) = z ( 1 ) ，1 ( 0 ，1 ) n q ( o ，1 ) ； 正解的存在性，但对于研究三点边值问题 iz ”( t ) + f ( t ，。( t ) ) = 0 ，te ( 0 ，1 ) ， 【z ( o ) = 0 ，o z ( q ) = z ( 1 ) ，q ( 0 ，1 ) ，( 0 ，1 ) ； 其中，( ：z ) 在t = 0 ，t = 1 ，z = 口点有奇异性的文章，还比较少见。 设( e ，1 ) 是实b a n a c l l 空间，p 为e 的一个正规体锥，假设t f 规常数为l ：用p 表示p 的 对偶锥令j = 0 ，扎p r = z p ：忙1 | r ) 下面列出第二节要使用的五个引理 z j l ：理1 1 1 【2 】设dcg ze 有界r d 在j 上等度连续，则q 。( d ) = s u p 盘( d ( t ) ) 引r i 1 2 【3 】设v = 。) l i ，e ，k g 在g el i ，r + ，使对一切z 。v ，i i x 。( 圳 9 0 ) ，a et ，贝0 血( ，z 。( s ) d 8 ：n ) ) s2 ，0 1 ( v ( s ) ) d s ，t ，= 【a ，纠 引理1 1 3 【2 】设a ：pnq _ p 为严格集压缩算子，那么 若z p - 1a q = = 争4 z 釜x 贝t j i ( a ，p nn ，p ) = o ； ；i 理1 1 4 【5 】设a 卵 r 0 ，q ：p 日) - 一 尸连续且在再i p r 。上有 界，且m 1 三：，s k ( s ) d s + ，m 2 三：，( 1 一s ) ( s ) d s o ，使得s u pi i q ( 茁) l l 。其中n = 蒜溉 t e t - o ( h 。) 存在。 卢 ，s 。1 及p 4 j 吏。l 。i r a 。生警= + 。c 1 3 , 7 ( h 。) 存在o p ，y 0 ，使对任意的有界集d 再_ 只。，有n ( ，( ，_ d ) ) 三( _ d ) 成立，如= d ，1 一刚，m = 。学。f a ( t ，s ) d s 一 考虑奇性问题( 1 2 1 ) 的等价问题 j ( a x ) ( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ： ( 1 2 2 ) 6 其“p g ( t ，8 ) 已由( 11 3 ) 式给出 问题( 1 2 1 ) 的在a 。，j e nc 2 ( o ，1 ) ，明中的解等价于算子a 在e 。，吲中有不动点，所 以要说明问题( 1 2 1 ) 的正解的存在性，只需说明a 在g e 】中有非平j 、b d o ) 证明：首先证明a 。连续 对于任意z 。，z 珥，当l l 。一z l i g _ o 时， l 1 a n z m ) ( 。一( a n z ) ( 茚l l = j j og ( ，s ) ，( s 】z m ( s ) + 昙) d s 一g 。，s ) ，。，z ( s ) + ；) d s 。 i s a ( t ，s ) i j ，( 驴m ( s ) + ；) 0 ” 因为1 i ，( 5 0 z 竺) + ：一。i 竺，! ( 皇j ：沙斗o ( m 寸) ，s ，z ( s ) + ：) j s 女( s 1 1 w u l l 叭r h ( n t i tj ，g 理1 及勒贝格控制收敛定理得 r i ( )llq(x+；)tli 15 ( a n z ) ( t ) = 。! 粤乙( a n z m ) ( ) 而由( 1 2 3 ) 式可以看出( 4 。z 。) ( t ) 在j 上等度连续，可得l i mi i a 。z 。一a x l l 。：0 ，事实 上，若不成立，则存在。 o 和 z 。，) c 。) 满足_ 1 1 a 。z = a 。z l i 。印，( i ：l ，2 ，) ，因 为 a n 。m 相对紧，所以存在 a 。) 的子列在q 中收敛于某口q ，不失一般性，仍殴 。羔a n z m 2y ，即i 骂f | 厶z m 。洲。= o ，这样与= a 。z 矛盾所以a 。连续同样的可 以证明4 。为从g 到q 上的有界算子 对于任意r 0 ，设s 口，因为a 。( s ) 有界且在j 上等度连续，所以由引理1 11 知 o c ( a n ( s ) ) = s u p q ( a 。( s ) ( t ) ) ，( 1 2 4 ) 其中a n ( s ) ( t ) = a 。( z ) ( t ) ：。es ) ，te ，取充分小的正数d 满足d 7 7 1 一d 令 由条件( h t ) 知对v z s ，t z 有 zes ) f 。c ( t ，s z ( s ) + s d e n szs ， s ，【 g d lo ，i = j d s m e n + s 缸 s “曲 ；g 卜o 山东师范人学硕士学位论文 = i ii c ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) + ：) d s + g ( ，s ) ，( s ，z ( s ) + i ) d s i i d1 sj rg ( t , 4 k ( s ) o q ( z + ；) i d s + g ( ，s ) a ( s ) ) i g ( z + ：) j | d s 则m ( h 1 ) 及( 1 2 4 ) 式知，风与a ，。( j ) 的h a u s d u r 黜巨离妇( d 6 ，a 。( s ) ) _ o _ o 0 ，故 ( a n ( s ) ) 2n l i 卅m 。( 风) 因为1 j 6 g ( t ，。) ，( s ，z ( s ) + ：) d s ( 1 2 d ) 丽 g ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) + ：) ：s 正1 一川) 从而 n ( 功) = ( g ( t ，s ) m ，z ( s ) + ：) d s z s ) ) 血( g ( ，s ) m ，z ( s ) + i ) ：s m 一硼，z s ) ) sm 。( ( ，( s ，互( s ) 十i ) ：s m 一州，z s ) ) m l v r ( s ( 如) ) o ，n o o 当n 三7 2 0 ，0 0 1 使| 刮。 盟 1 一n 盟乃x o ( 。) + ； 故盟型氅三半l ，所以慨而习萧辆，与( 1 26 ) 式矛盾因此( 1 25 ) 式成立由 引理1 3 知当扎充分大时， 。q ，l l z l i 。= r ，a 。t 。 以下证明： v x a q 一，a 1 ，a 。( z ) a z 反证：若存在。a q 爿及a 1 ，使如( z ) = a z ，即z = 去a 。( 。) 当t ? 7 时，由( h 1 ) ，( h 2 ) 及引理1 1 5 知 z ( t ) = ； 0 l7 + x g ( z ，s ) ，( s ，z ( s ) + 昙) t(。1-、s)-。a(7-s)l 1 一o 妊；业等 1 3 十；鞣仆禹+ 掣 鹄 p 出 e n + 0 0扛 m 们一 q 面 型卜 烈一 + 、j s ，【 0 z p，0 0 sd 、) e n + 0，【 o z 【 咖 了 8 2 2 姐 0 山乐师范大学硕十学位论文 从而 l k ( t ) l l + s ( s ) 愀。十三) 1 ( 叩一t ) 7 坠篙掣婚川巾嘲幽+ ；f 等 等1 s k ( s ) d s + 高弘i 刊郴冲 ：2 a ( 1 + 。- 2 a z ) m l + a m 2 反证：若存在工o q ，l l x o l l 。= r ，有a 。( z o ) sz o ， 由j ：- z o ( t ) 詈f l ( 1 7 ) ( 1 一叩) z o ( s ) ，t 【卢，7 ，故t n l l x o ( t ) i 号卢( 1 ) ( 1 一q ) f | z o ( s ) 蛳r a i n ，1t l 跏( ) 抡杀卢( 1 7 ) ( 1 一_ ) i c = 杀卢( 卜 ) ( 1 一) 月 西c 。c t ，+ i ，叟1 掣7 庐c ，c s ，z 。c s ，+ i ，a s 2 譬驾妣+ 一 1 一a ” j7 礼7 8 1 = 盟普掣风0 ( s ) + l 一门 ，n 1 4 ，0 山东师范大学硕士学位论文 因为? 庐( 。( s ) + ：) 出 。，从而坐止鼍生茅止盟 叶同理可证 对于t 1 q t 2 忙以。h 小。川刮业删翌 1 七! 。 叶l 十 。乞 一 。q 一 h l 一 r l 芈鲁，( s ，洲+ 晏) 如 兰坠型! 坚剑m ， 1 一曲竹 。 业竿掣，( s 尚( s ) + l 一凸：n 芈寻m 而( s ) + i i 舢m 砒) 第二种情况：当t - o + 时，因为z 。( o ) = o ，所以只须证当n 趋y o o 时，z 。( t ) 一致收敛于o x n ( t ) j z 。0 从而当1 1 趋 又由z 。( 1 ) ，( s 禹( s ) + ：) d 3 m + 渺夕等 川7s 忡川咖嘲d s 譬甚剑 + 7 坠篙掣郇川咖嘞d s + ! it 。( i 一- s 叩) m ( s 川a 扛+ i 川d s 一+ 。 于。时，z 。( f ) 一致收敛于0 j f 掣m 而( s ) 蚓d s + ? 掣，( s ，州s ) + 泓s ，得 1 6 如 拈 。扎 塑 必 二 二 兰一 曲1 0 一l薹 韭 业 t，o，0 = + 山东师范大学硕士学位论文 f z n ( t ) 一o n ( 1 川 i 崞业舞删m ，州s ) + ：) d s ? 掣，( s i “卅：) 酬l + | ；韭瓮p m ，茁n ( s ) + 渺一? 掣m ，z n ( s ) + 渺l i + f f ，警等，( s ，( 5 ) + ：) 出| | _ + o ，t _ l 一，n _ 。 因而z 。( t t ) 一致收敛于z 。( 1 ) ，_ 1 一，n 。，d 等度连续 由引理1 - 1 1 ，引理1 l 2 f f ( ( h s ) ，z n ( t ) = ( 4 n z n ) ( t ) = 。fg ( t ，s ) m ：z n ( s ) + ；) 出 1 。 。( t ) ：n n 。) = 。( g ( f ，s ) ，( s ，z 。( s ) + ：) d s ：n n 。) ) 0 1 _ 2 f a ( t , s ) o = 馋而( s ) + i ) 0 _ 2 lf g ( t ，s ) 。( d ( t ) ) d s ， 因为口c ( d ) 2 嚯口( d ( t ) ) ，故 1 d 。( d ) 茎2 lfc ( t ，s ) d s 。( d ) 2 l m 。( d ) 。( d ) o 。( d ) = o ，o ( d ( t ) ) = o ，d ( t ) 相对紧所以 z 。) 有收敛子列，不妨设为( z 。) ，当t 棚于 。( t ) ：，g ( t ，。) ，( 。，。；( 。) + i ) d 。：! ! i ! 二二；l 警。( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，z 。；( s ) + i ) d s = ! ! i ! 二二；! 警 00 + 业芸掣馋，+ 渺矧仆 如，咖 因而由勒贝格控制收敛定理得 。( t ) = g ( t ，5 ) 作，z ( s ) ) d s 0 t2 叩时类似所以问题( 1 1 ) 在q r 西上有正解，同理在q 硝珥上也有正解从而问题( 121 ) 至 少有两个正解 1 3 应用 1 7 山东师范大学硕士学位论文 作为定理i 2 2 的应用，下面给出一个例子 例p 2 南( 儿+ 2 纽2 n 十垆( e “。) ) ，挺“。1 ) ， ( 1 31 ) lz 。( o ) = 0 ，z 。( 1 ) = z 。( 1 ) ，卵( 0 ，1 ) ，。( 0 ，1 ) ，( n = l ，2 ，n ) 满足z m + n = z 。，( n = l ，2 m ) 结论边值问题( 1 3 ，1 ) 在【o ，+ ( ) 。) 上至少有两个正解。 i 一 证明令j = 0 ，1 1 ，e = r = z = ( z l ：x 2 茹。) ) ，l 。| 1 = 、| | z 。| 1 2 贝0 问题( 1 3 i ) n 以被看成是问题( 1 2 - 1 ) 的形式其中，= ( 厶) ，厶( t ，z ) 2 了者i ( 、知。+ 2 t z l 。+ 垆( e 如”- 一1 ) ) 容易验证问题( 1 3 1 ) 满足定理122 的条件所以结论成 立 1 8 山东师范大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 空间中半直线上奇异脉冲微分方程正解的存在性 2 1引言及预备知识 b a n a c h 空间中带脉冲的奇异微分方程的研究近年来获得重大发展，但对于研究半 直线上二阶奇异脉冲微分方程正解存在性的文章，还比较少见 设( e ，”i i ) 是实b a n a c h 空间，令j = 【0 ，+ 。) ，0 t 1 t 。 0 设4 ： p r 。- p 为严格集压缩算子并满足下列两条之一， ( i ) 当z p 1 忙i i = r 时，a x 芝z 且当z p 】l i x l i = s 时，a 。z ( i i ) 当z p 】i i x l l = r 时，a xgz 且当zep 】恻i = s 时，a z 芝z 则a 在锥p 中有一不 动点z 满足r i i x l i 目，则 称。为问题( 2 2 1 ) 的正解其中j 7 = 八( t l ，t 2 k ) 1 9 山东师范大学硕士学1 1 f ) = 论文 设z ( 。) ：( o ，1 j _ e 连续，如果极限躲f z ( t ) d t 存在，则称抽象j 。义积分蔚z ( f ) 出收 敛，类似可定义其它各种广义积分的敛散性 用。表示k u r a t o w s k i i 非紧性测度e 中与a 一别的有界集的非紧性测度分别用o ( ) 和o t ( - ) 表示，有关非紧性测度的定义及性质参见f 7 1 为方便起见，先给出下列假设： ( h ) 存在两个非负函数“，b c g o 卅满足 ，( f ，z 川n ( # 川z f f + 6 ( 印，任意f 山z ，e ，并且 8 ( 1 + s ) a ( s ) + 6 ( s ) 】d s + o 。 + 。 ( 1 + s ) 口( s ) + 6 ( s ) d s o ，使 广曲c s ，a s + 厂。c s ，a s + ，。十薹卢t 山东师范大学硕士学位论文 引理2 2 1 若( h - ) 成立，则z d c j , b i nc 2 ，司是问题( 2 2 1 ) 的解当且仅 2 2e e l ( a x ) ( t ) = a ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ) d s + t y o 。+ ( z ( 拓) ) 右 o “ o ot = t ，( s ，z ( s ) ) d s + s ，( s ，g ( s ) ) d s + t y 。+ k 扣( “) ) ( 2 _ 2 2 ) 在d c j , e 】中的不动点其中g ( ，5 ) = m i n t ，s ) 证明仅证( 2 2 2 ) 式收敛 o 。1o 。 g ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s s ，( s ，z ( s ) ) d s + t ，( s ，。( s ) ) d s 所以m ( h ，) i s ，( s ，z ( s ) ) d s fr _ s 1 1 00 i if ，( s ，z ( s ) ) d s i i 一 t 。 0 ，使得 i i ( a l x 十) ( h ，) - 一( a z + ) ( t 2 ) 1 1t2el 十1 + ” 关于z y 一致成立，t l ，t 2 n 、b 永师堕查堂堡主堂堡堡奎一一 一一 f ( s ，x ( s ) ) d d l + 1 j t ( z ( “) ) o t r ( 石( “) ) l lo 0 t 所以( a z 。 在以上等度连续，其他可仿照1 7 3 中引理2 3 的证明过程 引理2 2 3 若( h 1 ) ( h 2 ) 成立，则算予a 映厨入k 连续，有界 证明 则 南，0 t ，r s ； 2 击， o t s f 1 击，0 r 0 2 2 曲 ，c，jj0 f + 出 曲 时 八 o 一，。，南 “ ， 鄂 卜 以 坊 h 血 k o 叫 l “ 一 意 0 筒 m 雀 功 亍 d 对 甜 l 一十 明 r 证 i 点汕囊砭一点 。一 咿 。一“ 一， “ 一，器陲量 酬啪 川 烨 s ， 出。 s l 一十。胁。南 一 南击 一 卜 h 删 引 叫 。产i断 十 一 = 曲一曲他 g g 扛k 啾 上h 如 阿 象上m蒜南 + + 据 吣 + 0 鹏 0 盯 州。产。 一_ g 0 一士 。胁。南 = a 山东师范大学硕士学位论文 毒0g ( r 训s ，删蚪南r 蚶毒。篆。琳t ) ) k 、o = n 兰，( a z ) ( r ) ，t 【“，1 】，r j 凼而a ( k ) ck 任惹z 矗r ，由( h 2 ) 知 将有界集映成有界集 l i 幽l + t i i = 1 1 南f g ( 。，s ) ，( 叩( s ) ) d s + 虹l + t + 南。岳。 ( 。( 靠) ) l l 南f 。i l l ( s ，。( 3 ) ) 忪+ 南f8 i l l ( s ，z ( s ) ) 1 i 如+ y o o + 。羞。慨( 茁( “) ) | | 由( h - ) 可以推出 s | | ，( s ，z ( s ) ) l i d s 8 ( 1 + s ) 。( s ) d s | l z f | + rs 6 ( s ) d s + f ( 1 十s ) n ( s ) d s l z f - + t 6 ( s ) d s 从而 “掣忙蚶。郎州啪钏刮缈+ z 一。驯嫩跏” 所以a 有界 对于任意z 。，卫瓦：，当l i z 。一z lj 1 斗。时，由，厶的连续性及( h ，) 得 i i 雨i ( 如m ) 一雨i ( 雠) il ：l l 南o o m ，州s ) ) d s + 南s m ，州s ) ) d s + 熹+ 南。象。驰小圳 1 。雨+ 而。免+ “1 1 川 刈南风小) ) d s 一熹s ，( s ，小) ) d 。 一器t 南1 。象。琳川i | 1 + t 。j i “、一 曼南 m ，z n ( s ) ) 一m ，。(