（基础数学专业论文）具有加权hardysobolev临界指数的椭圆方程的正解与多解的存在性.pdf

智 f 一 i l i j i l l f l l l r l r u l l f l l f lr j l f i i l l f r i j l l l i l l l l l l l l l i j i y 18 810 7 5 两南大学硕十学位论文 目录 i ii i 目录 目录i 摘要 i i a b s t r a c t v 第一章引言和文献综述? 一1 1 1 引言 1 1 2 文献综述2 ： 。 第二章预备知识4 第三章无穷多个任意小解的存在性 8 3 1 主要结果8 3 2 主要结果的证明8 第四章正解和非平凡解的存在性1 5 4 1 主要结果1 5 4 2 主要结果的证明1 6 分析与思考2 5 参考文献2 6 发表文章目录2 9 致谢3 0 盘一 两南大学硕十学伊论文摘要 摘要 本文首先利用对称山路引理，以及运用变分方法和分析技巧研究了一类具有 加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程，并得到了一列收剑于零的无穷多 个任意小解；然后利用山路引理，强极大值原理，以及变分方法和分析技巧研究了 一类具有加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数的奇异半线性椭圆方程，并得到了其正解与 非平凡解的存在性 首先，考虑如下带d i r i c h l e t 边界条件的半线性椭圆问题 忙0 l 砌砜h 南2 譬时州刚) 三茎掣c r ， i i u = ，z a q ， 其中qcr ( 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，0 q ，0 。 疖，万全叫4 ， 0 p ( 诈一。) 2 ，愁s 2 ( 1 - 4 - n ) ，c ( 瓦兄，r ) ，2 + a , 8 ) = a 丙2 一( n 2 ( - 1 + s ) 万，入是 一个正常数 我们有以下主要结果： 定理1 假设0 o 循，0 p 0 ，使得对任意的a ( 0 ，入+ ) ，问题( p 1 ) 都有一列收敛于零的非平凡 解 注1 文中的定理l 推广了文献 1 】的结果，在文献 1 】中，作者仅研究了a = 0 时的情形 ， 其次，考虑如下带d i r i c h l e t 边界条件的奇异半线性椭圆问题 憾0 ，2 叼小p 南2 学帮三茎掣c 伤， lu = ， z a q ， 其中qcr ( 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，0 q ，0 o 行，万：a 、，嘶 k 两南大学硕十学伊论文 摘要 q 丝4，0 p ( 行一。) 2 ，丙2 n 忑a s 2 ( 1 + o ) ，0 口 2 ( 1 + 口) ，c ( sxr ，r ) ， 2 4 a , 8 ) 全丽2 ( 丽n - s ) f ( z ，) 。= ，( x , s ) d s ( z q ，t r ) 是，( z ，) 的原函数 我们有以下主要结果： 定理2 假设0 a 瓦，0 p ( 、面一o ) 2 1 ， 0 仃 2 ( 1 + n ) ， ( ) ，c ( 孬矿矾并且。磐掣 成立： 而2 n a s 2 ，使得对所有的z 豆，t r + 都有0 m a x 2 ， n on o 一2 8 7 疖一a ，一j2 ，0 口 鹘， 忙t2 ( 。，伊) ，鹘仃乏( 1 + n ) ， 2 + = 硒2 n ，卢= 瓦霄二面f i ，y = 诉一口+ p 那么问题( 岛) 至少有一个正解 推论1 假设n 4 ( 1 + 西) ，0 n 、瓦，0 p ( 、万一o ) 2 一( 1 + n ) 2 ， 而2 n a s 2 ( 1 + 口) ，0 盯 2 ( 14 - 口) 又假定( ) a n d ( ) 成立，那么问题( r ) 至少有一个正解 定理3 假设0 o 声，0 p ( 、声一n ) 2 ，而2 n a s 2 ( 1 + 口) ， 0 盯 2 ，使得对所有的z 豆，t r ( o ) 都有0 p f ( x ，t ) f ( x ，t ) t 又假定( 1 ) 成立，那么问题( 岛) 至少有两个非平凡解 推论2 假设n 4 ( 1 + o ) ，0 a 、面，0 肛( 、霄一n ) 2 一( 1 + a ) 2 ， 矬s 2 ( 1 + d ) ，0 盯 2 ( 1 + o ) 又假定( ) 和( 厶) 成立，那么问题( 岛) 至 少有两个非平凡解 k ， 己 两南大学硕十学伊论文摘要 注2 文中的定理2 ，定理3 推广了文献 2 】中的结果，在文献 2 中作者只研 究了盯= 0 时的情形及一般形式的f ( x ，) 同时定理2 也推广了文献 3 中的定理 1 1 ，在文献 3 中作者只考虑了a = 0 时的情形及f ( x ，t ) = a 口1 t 的特殊形式 关键词：加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数；( p s ) 。条件；奇异性；山路引理；对称山路 引理；强极大值原理 0 二f ， a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y ，as e q u e n c eo fi n f i n i t e l ym a n y a r b i t r a r i l ys m a l ls o l u t l o n s c o n v e r 西n gt oz e r oa r eo b t a i n e df o ra c l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t l o n sw l t h c r i t i c a lw e i g h t e dh a r d y - s o b o l e ve x p o n e n t sb yu s i n gt h es y m m e t r i cm o u n t 锄p 掇 1 e m m a 、t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n ds o m ea n a l y s i st e c h n i q u e s s e c o n d l y ，s o m e s 0 1 u t i o i l s 缸e0 b t a i n e df o rac l a s so fs i n g u l a rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hc r i t i c a l w e i g h t e dh a r d y - s o b o l e ve x p o n e n t sb yu s i n gt h em o u n t a i np a s sl e m m a t h es t r o n g m 戚m u mp r i n c i p l e ，t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d s ，a n ds o m ea n a l y s i st e c h n l q u e s f i r s t l v 他c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mw i t h d i r i c h l e t b o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s 等r 2 叼小弘南_ u + a f ( x ，仳) ，z q _ o ) ， z o f f ， ( p 1 ) w h e r eqi sa no p e nb o u n d e dd o m a i ni nr ( 3 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r y0 f l a n do q ，0 o 、霄，万= a 坐丝4，0 p ( 、位一n ) 2 ，簧鼍s 2 ( 1 + ) ， ，c ( 一n r ，r ) ，2 ( n ，s ) 全黼，入i sap o s i t i v ep a r a m e t e r t h e n 瓢他c a no b t a i nt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a t0 口 霄，0 p a 【，a + ) ， 1) n as e q u e i l c e o fn o n - t r i v i a ls o l u t i o n s 乱nt e n d i n gt oz e r oa s 礼一o 。 r e m a r klt h e o r e m i nt h ep r e s e n tp a p e rg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 【1 1w h e r e t h ea u t h o ro n l ys t u d i e dt h ec a s ea so = 0 w i t hg e n e r a lf o r m ，( z ，u ) i ns u i t a b l e c o n d i t i o n s 。 s e c o n d l y ，w ec 。n s i d e rt h ef o l l o w i n gs i n g u l a rs e m i l i n e 甜e l l i p t i cp r o b l e m w i t h v 两南大学硕十学伊论文a b s t r a c t d i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s 僻磐缸_ 旷p 南2 学时帮嚣柳 ( 死) w h e r eqi sa no p e nb o u n d e dd o m a i ni nr ( 3 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r ya q a n d0 q ，0 n 、声，可= aq 唑4 ，0 p ( 、瓦一n ) 2 ，斋氅s 2 ( 1 + 口) ， 0 盯 2 ( 1 + q ) ，c ( 豆r ，r ) ，2 ( a t8 ) 全丙2 j ( n 而- s ) f ( z ，) i sap r i m i t i v e f u n c t i o no f ，( ，t ) d e f i n e db yf ( x ，t ) = ，( z ，s ) d sf o rz q ，t r t h e nw ec a no b t a i nt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m2 s u p p o s et h a t0 n 、面，0 p ( 、瓦一n ) 2 1 ，硒2 n a s 2 ( 1 + 口) ，0 仃 2 ，s u c ht h a t0 m a x 2 ， n 一盯n 一盯一2 臼 7 行一a j ，2 + 0 口 然， 怍t2 + ( 。，盯) ，而2 n a 盯- i v ；( 1 + 。) ， 2 = 器，p = 订万j 矿彳a n d7 = 疖一n + p t h e np r o b l e m ( 伤) h a s a t l e a s tap o s i t i v es o l u t i o n c o r o l l a r y1s u p p o s et h a tn 4 ( 1 + 口) ，0 a 、面，0 ( 瓦一o ) 2 一 ( 1 + n ) 2 ，斋竖s 2 ( 1 + o ) ，0 仃 2 ( 1 + 口) a s s u m et h a t ( ) a n d ( ) h o l d t h e np r o b l e m ( 仍) h a sa tl e a s tap o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m3 s u p p o s et h a t0 n 、秀，0 p ( 、面一o ) 2 ，妥氅s 2 ( 1 + o ) ，0 盯 2 ，s u c ht h a t0 p f ( x ，t ) y ( x ，t ) tf o ra l l z q ，t r o ) a s s u m et h a t ( 2 ) h o l d s t h e np r o b l e m ( 伤) h a sa tl e a s tt w od i s t i n c tn o n t r i v i a l s o l u t i o n s c o r o l l a r y2 s u p p o s et h a tn 4 ( 1 + o ) ，0 a 、面，0 肛( 、瓦一o ) 2 一 ( 1 + o ) 2 ，斋骂s 2 ( 1 + a ) ，0 仃 2 ( 1 + o ) a s s u m et h a t ( ) a n d ( 办) h o l d t h e np r o b l e m ( r ) h a sa tl e a s tt w od i s t i n c tn o n t r i v i a ls o l u t i o n s r e m a r k2t h e o r e m si nt h ep r e s e n tp a p e rg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 2 w h e r e t h ea u t h o ro n l ys t u d i e dt h ec a s ea s 仃= 0w i t hg e n e r a lf o r m ( x ，亡) m o r e o v e r ， t h e o r e m1a l s og e n e r a l i z e st h e o r e m1 1i n 3 jw h e r et h ea u t h o ro n l yc o n s i d e r e dt h e s p e c i a ls i t u a t i o nt h a ta = 0a n d ( x ，t ) = 入l t l q tw i t hs u i t a b l eq k e y w o r d s ：c r i t i c a lw e i g h t e dh a r d y - s o b o l e ve x p o n e n t s ；( p s ) cc o n d i t i o n ；s i n g u - l a r i t y ；m o u n t a i np a s sl e m m a ；s y m m e t r i cm o u n t a i np a s sl e m m a ；s t r o n gm a x i m u m p r i n c i p l e v l l 两南大学硕十学何论文第一章引言和文献综述 ， 第一章引言和文献综述 1 1引言 微分方程中的变分法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在， 解的个数及求近似解的方法j o h a n nb e r n o u l l i 于1 6 9 6 年提出了第一个著名的变 分问题一最速下降线问题，引起了许多数学家的兴趣，经过他们的努力，逐渐形成 了一个解决数学物理问题的数学分支一变分法最初的变分法主要指古典变分法， 其基本内容是确定泛函的极值和极值点随着变分法的应用和发展，近几十年来， 近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善地发展起来，并在解决拟线性椭圆 方程边值问题中取得了很多有意义的结果近代变分法主要包括极小极大理论和 m o r s e 理论1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 和p h r a b i n o w i t z 得出了山路定理，在非线 性微分方程各种问题中的应用取得了很多有意义的新结果，是临界点理论发展史 上的一次重大突破而随后的鞍点定理和环绕定理对山路定理进行了进一步的推 广应用拓扑度和指标理论，由极小极大原理还可以建立山路引理的各种变形及推 广，这些广义及变形的山路引理不仅能应用于一些非线性椭圆方程的边值问题，而 且能应用于半线性波动方程及h a m i l t o n 方程组并得出了重要的周期解存在定理 然而最初的山路引理要求研究问题所对应的能量泛函满足紧性条件，即p s 条件 但在很多实际问题的研究中，问题相应的能量泛函不满足p s 条件的现象大量存 在，如具有临界指数的半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题，只能得到临界序列的存在 1 9 8 3 年，b r e z i s 和n i r e n b e r g 发现了新的工具和技巧( 参见文献【4 1 ) ，即通过选择特 殊的山路并进行能量估计，验证问题相应的能量泛函满足局部的p s 条件，从而得 到一个临界点，这是临界点理论发展史上的又一个重大突破 本文主要研究了具有加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程的正解 与多解的存在性，由于嵌入凰q 厶2 ( q ) 缺乏紧性，问题相应的能量泛函在日口中 不满足经典的p s 条件，因此本文主要通过验证能量泛函满足局部的p s 条件，一 方面通过构造截断泛函并利用对称山路引理来证明问题( 乃) 的无穷多个任意小解 的存在性；另一方面通过文献 4 】中的方法进行能量估计并利用( p s ) 。条件的山路 引理来证明问题( r ) 的正解的存在性 两南大学硕十学位论文第一章引言和文献综述 1 2文献综述 考虑下面这个半线性椭圆问题 一，2 ，( z ，缸) ，z q o ，( 1 1 ) 。 【u = 0 ， z a q ， 、。 其中qcr ( 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，( x ，t ) 满足一定的假设条件 问题( 1 1 ) 与许多数学物理问题，如热力学中的气体燃烧理论，非线性源的 非线性扩散理论，以及量子场论和统计力学等都有着密切的联系从b r e z i s 和 n i r e n b e r g 开始，很多学者已经对该问题空间础( q ) 中的正解与多解的存在性进行 了广泛的研究，并得到了一些有趣的结果 当，( z ，t ) 对( x , t ) 满足连续性条件，对t 满足一定的增长性条件，即对所有的 z 豆一致有 1 i m 丝掣：o ，l r 2 t - - - * + o o t r 一1 那么问题( 1 1 ) 的非平凡解与相应能量泛函 1， 厶( 札) 2 壶上i v u l 2 d x zf ( z ，乱) 哆，u 硪( q ) 的非零的临界点一一对应，其中y ( x ，t ) = f ( x ，s ) d s ( z q ，t r ) 是t 厂( z ，t ) 的 原函数 因此，当y ( x ，t ) 为次临界增长，即7 i 2 + 时，厶满足p s 条件，故厶( 札) 有非 零的临界点当( x ，t ) 为临界增长时，即7 = 2 时，由于嵌入硪( q ) ql 2 ( q ) 缺 乏紧性，故1 1 不满足p s 条件，但我们由文献【4 】中的方法可知如果c 丙1o n _ z 时 厶( u ) 有非零的临界点1 9 8 4 年，p l l i o n s 给出了集中紧性原理，同年m s t r u w e 给出了更好的全局紧性结果，近些年很多学者利用山路引理与集中紧性对包括各 种边界条件以及有界或无界区域的临界增长问题进行了研究，并得到了一些精彩 的结果( 参见文献【4 】- 【8 】) 对于具有h a r d y 项和s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆问题 ：全_ p 许2l 训2 一2 u _ 入，( “) z q 0 ) ， ( 1 2 ) z a q 、7 其中qcr n ( 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，0 q ，万= a 螋4，0 p 0 近年来一些学者对形如问题( 1 2 ) 的方程的解的存在性进行了研究，通过变分 方法，得到了正解，变号解，无穷多解等存在性结果( 参见文献 9 一【14 】) 两南大学硕十学伊论文第一章引言和文献综述 问题 还有些学者进一步对具有h a r d y 项和h a r d y - s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆 ，2 学川m ， z q 0 ) ， ( 1 3 ) z a q 、7 进行了研究，其中qcr n ( n 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，0 q ，万全皑4， 0 a t 瓦2 ( s ) = 2 n a k 一生2 ，0 s 0 并且得至0 - j 正解，无穷多解等存在性 结果( 参见文献f 1 1 ，【1 5 一【1 9 ) 但对于具有加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数的半线性椭圆方程的正解与多解的 存在性的研究结果目前还比较少( 参见文献f 2 1 ，f 2 0 1 ) ，本文主要研究了更一般的具 有h a r d y 项，加权h a r d y - s o b o l e v 临界指数项，以及一般形式的f ( x ，t ) 的半线性椭 圆问题 和 忙秽2 吼h 南2 华川m ， 忙她乳h 南2 牛帮， 三茎掣l c 剐 三锄en 扣l ( 伤) 其中qcr ( 3 ) 是有光滑边界的有界开区域，0 q ，0 n 疖，万全i n - 4 2 ) 2 ， 0 p ( 声一n ) 2 ，男墨8 2 ( 1 + 口) ，0 盯 0 这里不但嵌入凰ql 2 + ( q ) 缺乏紧性，而且方程具有奇异性，尤其是问题 ( 伤) ，因此我们在选择特殊山路和能量估计证明( p s ) 。条件时，还要克服解的奇异 性所带来的困难 3 两南大学硕十学伊论文 第二章预备知识 第二章预备知识 为了准确地说明本文的主要结果，我们给出一些符号，不等式和估计式，以及 需要用到的定义，定理 在本文中，我们用c 或g ( i = 1 ，2 ，3 ，) 表示不同的正常数，m e s ( e ) 表示 e 的l e b e s g u e 测度，万= ( n - 4 2 ) 2 ，2 4 ( 口，s ) = 币2 ( 而n - s ) 是加权h a r d y - s o b o l e v 临界指 数，2 + = 2 + ( o ，o ) = 尚是s o b o l e v 临界指数f ( x ，t ) = ，( z ，s ) d s ( z q ，t 冗) 是厂 ，) 的原函数 用也= 础( q ，一2 口) 来表示曙( q ) 关于范数 。 | l u l 一( 上( 砌附一肛眄u 2 ) 如) i 的完备化空间，并且由加权h a r d y 不等式可知，该范数与硪( q ，i x l 一2 口) 中通常的 范数等价 。a=a纵s，pcq，全巩inf、t。，i眷 q 1 ) 是最佳h a r d y - s o b o l e v 常数 下面我们给出文中要用到的几个重要不等式 c a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r g 不等式( 参见文献 2 1 ) ( 小i - s 川2 沁，8 ) d z ) 一鲰以叫也l 砜 2 d z ，蜒肾( ) ( 2 2 ) 其中一。n 疖，愁s 2 ( i + 口) 对于最佳常数和极值函数可参见文献 【1 2 】 。 加权h a r d y 不等式( 参见文献 1 2 ， 2 2 1 ) 上尚如丽与厶圹i l v 仳四( ) ( 2 3 ) 其中一o 。a 0 ，最佳 h a r d y - s o b o l e v 常数a 的值能够由函数 以垆煮嚣赣 达到，其中7 7 = 疖一a p ：而且函数魄( z ) 是方程 一d i v ( i x l 一2 a v u l 在冗 o ) 上的解，并满足 现在令 u p z 1 2 ( 1 + - )= 1 u 1 2 研* ( a , s 一) - 2 乱 = t 8 “ “打2 删圳2 一肛辩= 上学如= a 端 q = ( 2 e 2 ( q ，s ) p 2 ) 开南乏， 嘶) = 訾 定义一个截断函数妒( z ) 曙( q ) ，且0 妒( z ) 1 ，使得 妒( z ) = 1 0 ， z f r ， z i 2 r ， 这里b 2 r ( 0 1cq 我们记 钆( z ) = 妒( z ) ( z ) ， ( z ) = 仳：( z ) ( 上i 札。1 2 。t 口，s i z i 一8 如) 1 7 2 口 8 ， 那么便有 i v 。| 2 ( 口，8 一d x = 1 js 2 利用与文献 1 6 】中类似的方法，我们可以得到下列估计式： a + g 歹百2 万乏i i i | 2 a + a f 茄， 最后我们给出一些定义，定理 5 1 q 华 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 口幡 ，盘一 啦唆一 一铲一蓦嘲 一止垆k 如剧州址 卜r 儿 c =虹 ：b 是闭的，b = - b ，7 ( b ) 后) 山路引理( 参见文献 2 4 ) 设e 为b a n a c h 空间，泛函i c 1 ( e ，r ) 满足 ( 1 1 ) i ( o ) = 0 ，存在r 0 使得o b r ( o ) 口 o ； ( 1 2 ) 存在e e b n ( o ) 使得i ( e ) 0 令t 是e 中联结0 与e 的道路的集合，即 t = 夕c ( o ，1 】，e ) ：g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) ， 再记 c n f m a ，x 。li ( g ( t ) ) g e t t e o ，l j 那么c 口，i 关于c 有临界序列如果，再满足( p s ) 。条件，则c 是，的临界值 对称山路引理( 参见文献f 2 5 1 ) 假设x 是一个无限维b a n a c h 空间，i c 1 ( x ，r ) 满足下面的条件( b 1 ) 和( b 2 ) ( b 1 ) i ( u ) 是偶的，下方有界的，并且i ( o ) = 0 ，( u ) 满足p s 条件； ( p s ) x 中任何满足【，( u 七) ) 是有界的并且在x + 中当k _ o 。时，7u k ) _ 0 的点列 u 有一个收敛的子序列； ( b 2 ) 对任何k n ，存在一个b k n 使得s u p 鼠i ( u ) 0 那么x ( u ) 有一列临界点【札七) 满足z ( u j c ) 0 ，u k 0 且l i m k - - - o o 仳= 0 为了本文证明的需要，我们再给出亏格的一些性质( 参见文献 2 5 】) 命题1 假设a 和b 是e 中的两个不包含原点的对称闭子集，那么有 ( i ) 如果存在_ 个从a 到b 中的连续奇映射，那么7 ( a ) 7 ( b ) ； 6 两南大学硕十学位论文 第二章预备知识 ( i i ) 如果存在一个从4 到b 上的奇同胚，那么7 ( a ) = ，y ( b ) ； ( i i i ) 如果- y ( b ) o 。，那么一y ( 硒) 7 ( a ) 一7 ( b ) ； ( i v ) 由b o r s u k - u l a m 定理知，礼维球面酽的亏格为佗+ 1 ； ( v ) 如果a 是紧的，那么7 ( a ) 0 ，使得7 ( ( a ) ) = 7 ( a ) ， 其中n 6 ( a ) = x e ：l z a i n 7 两南大学硕+ 学位论文第i 章无穷多个任意小解的存在性 第三章无穷多个任意小解的存在性 3 1主要结果 本章考虑了带d i r i c h l e t 边界条件的半线性椭圆问题： r 删z i 嘞v u ) 一p 南= 晖产缸- i - ) f ( 碱z q 0 ) ，( r ) 【乱= 0 ， z a q 、。 我们有以下主要结果： 定理3 1 假设0 n 疖，0 p 0 ，使得对任意的入( 0 ，a ) ，问题( r ) 都有- y u 收敛于零的非平凡 解 注3 文中的定理3 1 推广了文献 1 】的结果，在文献 1 】中，修者仅研究了 n = o 时的情形 3 2王要结果的证明 问题( p t ) 对应的能量泛函为： ，( 让) = 去上( 吨n l v u l 2 一p 网u 2 ) 如一丽1z 丌l u l 2 * ( a , s ) 如一a 上f ( z ，u ) 出， 其中u h a 由不等式( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和条件( 厶) ，可以得知i c 1 ( 凰，r ) 现在问 题( p 1 ) 的弱解与，在空间h a 上的临界点一一对应，我们称u h a 是问题( r ) 的一个弱解，如果对任何的u h a ，满足 ( u 加) = 上( i z i - 知v u v v - # 南) 如 一上型；x 兰l 坐如一a 上，( z ，“) u 如= 。厶l8 ”q 八一 两南大学硕十学伊论文第三章无穷多个任意小解的存在性 引理3 1 假设0 o 、瓦，0 p 0 ，存在入i 0 ，使得当a ( 0 ，入：) 且 c ( 一o o ，精a 器一。) 时泛函，满足( p s ) c 条件 证明 由条件( 如) 及q 为有界区域，则对任意的s 0 ，存在6 1 0 ，如 0 ， 使得 m ，乱) u i s 华， i f ( 删) ；咿， z q ，i u i 6 1 ， i ，( z ，u ) u i d ( ) ，x q ，i 乱l 0 ，占1 ， x q ，l u l 6 2 ， l f ( x ，u ) i 6 ( ) ，x q ，l u i 【0 ，6 2 】， 其中q ( e ) 0 ，6 ( ) 0 因此可以得到 m m 札i 洲+ e 譬巾m 印 0 m r ， 叫洲+ 三譬巾m 印 o ) r ( 3 1 ) ( 3 2 ) 令c ( ) = ；n ( ) + 6 ( e ) ，结合( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，从而有 聊一2 f ( 训) u c ( 讣譬巾印 0 ) ) r ( 3 - 3 ) 假设 扎n ) ch a 满足 ，( n ) _ c 鬻等a 器枷，) - - , o ( n _ 。) 再结合( 3 3 ) ，可以得出 c + l + 。( 1 ) l l 乱礼i i ，( 乱n ) 一丢( ，7 ( 乱n ) ，u n ) = ( 三一赤) z 譬如 一a 上即，一丢m ，让n 如 蒜嵩z譬如砒阱12x l旭上譬如一2 + ( n ，s ) 厶i8 r 川- ，q s 又令e = 端，便能得到 z 譬如m + d ( ) l l i i ，( 3 4 ) 9 两南大学硕十学侍论文第三章无穷多个任意小解的存在性 其中m = 垫盟誓掣同时由 讹扣扣1 1 2 一南上警如一入上m 隅) 如- - c + o ( 1 ) ， 结合( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，可得【u n ) 有界，即存在正数g 使得j i u 几| i c o 选取子序列， 这里仍记为 u n ) ，当n _ o 。时使其满足 在玩中弱收敛， 在( q ) ，1 0 ，那么寿e 0 ( 6 ，e 1 ) ，我们可以找到t o ( o ，r 1 ) ， 1 2 两南大学硕十学何论文第三章无穷多个任意小解的存在性 使得夕( 风) = e o 现在定义 帅，= 鳜，【。，扎 0 t 凰， t r 1 ， 凰t r 1 可见对所有的t 0 都有矽( t ) 0 ，1 ，且砂( t ) c 再令妒( u ) = 矽( 1 l u l l ) ，考虑如 下截断泛函 ： 小，= 丢上( 盯i 2 慨i 1 2 - - # 南) 如 一端aj 厂f t 譬出嘶z 脚) 如2 + ，s )l z l 8 r 、“7 - n 、。7 。 q l i 仳1 1 2 一g 妒( u ) i i u i l 2 ( 口? 8 ) 一k c 4 令歹( ) = c 2 t 2 一c 3 移( t ) t r 旧一j k c 4 ，贝u 有j ( 乱) 歹( 1 l u l l ) ，且 孙，= ：篡 引理3 2在定理1 的假设下，泛函j 有下列性质： ( ) j 是下方有界的偶泛函，并且j c 1 ( 风，r ) ； ( 以) 若t j r ( 让) e o ，则l l u l i 0 ，使得 7 ( 乱也：g ( u ) 一巧( 后) ) o ) ) k 证明 首先，由条件( ，n ) 可知，对任意确定的u h a ，仳0 ，有 f ( x ，肚) m ( p ) ( p u ) 2 ，m ( p ) 一0 0 ( p _ o ) 13 两南大学硕十学位论文第三章无穷多个任意小解的存在性 其次，对于任意的k n ，令毋表示空间也的一个维子空间，那么存在一个正 常数q 七，使得对所有的u 最有 忆忪q 七( 加如) 5 因此，对任意的u 最且l l u l i = 1 ，当p 足够小时有 伽，虿0 2 上( 旷。i v u l 2 - - # 南) 如 一纂厂譬如一删咖z舢12如8 j 2 。( o ，) f ti x l 8 、尸7 尸q l “ ( 互1 一掣) 矿 全一6 ( 忌) 0 ，e 中任何满足l i m k 。+ o 。i ( u k ) = c c + ，l i m k + i i i ( u 奄) i i e 。= 0 ( 礼_ + o 。) 的序列 u ) 都有收敛子序列 ( b ) 对每个k n ，都存在一个b k r 七，使得s u p u 取i ( u ) 0 那么，( u ) 有- - n t 临界点序列 仳七) ，使得i ( u l , ) 0 ，u k 0 ，l i m k + o 。仳七= 0 定理3 1 的证明 由前面可知n = b 也 o ) ：b 是闭的，b = - b ，7 ( b ) 七) ，定义 c k2 韪涩j ( u ) ， 根据引理3 2 中的( ) 和引理3 3 ，可得一。o c 七 0 因此，引理3 4 中的条件 ( a ) ，( b ) 都满足，从而j 有一列收敛于零的临界点，再由引理3 2 中的( 如) 便可以 得出定理1 成立证毕口 1 4 两南大学硕+ 学伊论文第四章正解和非平凡解的存在性 第四章正解和非平凡解的存在性 4 1主要结果 本章考虑了带d i r i c h l e t 边界条件的奇异半线性椭圆问题： 卜如删嘞v 札) 一p 南= 哗半u + 帮，z q 0 ) 【仳= 0 ， z a q ， 我们有以下主要结果： 定理4 1 假设0 a 、瓦，0 p ( 、瓦一q ) 2 ，斋墨s 2 ( 1 + n ) ， 0 矿 2 ，使得对所有的z 豆，t r + 都有0 m a x 2 ， n 一盯n 一仃一2 口 ，y 而一a ，一j2 + ，0 盯 鹃， 怍t2 ( n ，口) ，而2 n