（基础数学专业论文）可约的平环的和环面的把柄添加.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 三维流形是低维拓扑学的主要研究对象，但三维流形本身很复杂，双曲流形是种基 本而广泛的流形，我们可以通过研究双曲流形进而了解复杂流形的性质，因此一直是拓扑 学家比较感兴趣的本文主要通过组合的方法研究双曲流形的退化的把柄添加及其相关的 问题 如果沿着双曲流形边界上的分离本质闭曲线作把柄添加，得到非双曲流形我们称为 退化的把柄添加人们关心有多少这样的退化的把柄添加为此我们引入曲线的几何相交 数加阻估计 对边界为环面的情况，拓扑学家们已经给出了比较精细的结果对边界为非环面的 情况，m s c h a r l e m a r m 年o y - qw u 给出了一个大致的估计他们证明了若m 是双曲流形， o q 卢是m 的一个亏格太于1 的边界分支上的两条分离曲线的合痕类，如果m a 】，m i n i 都是非 双曲的，贝r j a ( a ，p ) s1 4 本文将在此基础上给出几种情况下的更精细的结果即： 设m 是一个带边的双曲流形，o z ，p 是其边界上的两条分离曲线的合痕类 ( 1 ) 如果m 是平环的，m 吲是可约的，则( a ，卢) 8 ； ( 2 ) 如果材阀是平环的，掰阍是平环的，则( 口，圆冬8 ； ( 3 ) 如果m 嘲是平环的，m 例是环面的，n a ( a ，卢) 1 0 本文的结构如下： 第一章简要介绍了三维流形的主要研究方法，本文的研究背景及主要结果 第二章对三维流形理论做一个简要介绍即曲线和曲面的基本概念，性质及三维流形 的构造和性质等 第三章给出了图论的一些相关概念及性质，为定理的证明做准备 第四章介绍了几个与中心定理相关的引理及其证明，并进而给出了本文中心定理的证 明 关键词：双曲的；可约的；平环的；环面的 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 r e d u c i b l e ，a n n u l a ra n dt o r o i d a lh a n d l ea d d i t i o n s a b s t r a c t t h e3 - m a n i f o l di st h em a i ns u b j e c ti nt h er e s e a r c ho ft h el o w - d i m e n s i o nt o p o l o g y , b u t i ti sc o m p l i c a t e d s i n c et h eh y p e r b o l i cm a n i f o l di sb a s a l ，w ec a d o b t a i ns o m ep r o p e r t i e so f t h ec o m p l i c a t e dm a n i f o l db ys t u d y i n gi t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lc o n s i d e rt h ed e g e n e r a t i n g h a n d l ea d d i t i o n sa n do t h e rp r o b l e m so ft h eh y p e r b o l i cm a n i f o l d sb yc o m b i n a t o r i a lm e t h o d i fw eo b t a i nan o n h y p e r b o l i cm a n i f o l db yd o i n gh a n d l ea d d i t i o n sa l o n gt h es e p a r a t i n g s l o p e sw h i c ha r eo nt h eb o u n d a r yo fah y p e r b o l i cm a n i f o l d ，t h eh a n d l ea d d i t i o n sa r ec a l l e d d e g e n e r a t i n gh a n d l ea d d i t i o n s ，t h es l o p e sa r ec a l l e dd e g e n e r a t i n gs l o p e s i nt h i sp a p e r ，w e w i l le s t i m a t et h eg e o m e t r i c a li n t e r s e c t i o nn u m b e ro ft w od e g e n e r a t i n gs l o p e s i nt h ec a s eo ft o r u sb o u n d a r yc o m p o n e n t s ，s o m ea c c u r a t er e s u l t sh a v eb e e ng i v e i l i n t h ec a s eo fn o n t o m sb o u n d a r yc o m p o n e n t s m ，s c h a x l e m a n na n dy - qw uh a v ep r o v e dt h e t h e o r e m ：s u p p o s em i sah y p e r b o l i cb - m a n i f o l dw i t hb o u n d a r y ta n dq ，卢a x et w os e p a r a t i n g e s s e n t i a lc u r v e so nag e n u sg 1b o u n d a r yc o m p o n e n to fm ji fm 陋】，m z 】a r eb o t h n o m h y p e r b o l c ，t h e n ( 历s1 4 o nb a s eo ft h i st h e o r e m ，i nt h i sp a p e r ，w e i ls v e z l o r e f i n e dr e s u l t s t h a ti s ：s u p p o s emi sah y p e r b o l i c3 - m a n i f o l dw i t hb o u n d a r y , a n da ，口a r e t w os e p a r a t i n gs l o p e so na m ( 1 ) i fm i l li sa n n u l a rw h i l e 彳渊i sr e d u c i b l e ，t h e n ( 口，口) 8 ； ( 2 ) i fb o t hm a n dm 翰a r ea n n u l a r ，t h e n ，伪8 i ( 3 ) i fm i l li sa n n u l a rw h i l em l 0 】i st o r o i d a l ，t h e n ( o ，卢) i 0 t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d l i c et h ed e v e l o p m e n ta n dm e t h o d so ft h er e s e a r c ho f 3 - m a n i f o l d st h e o r y a n da l s ot h eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c ha n dt h er e s u l t so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ee x p a t i a t et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fc u r v e sa n d s u r f a c e si n3 - m a u l f o l d s w e 址s oi n t r o d u c es o m et h e o r e m sa b o u tt h ec o n s t r u c t i o no f3 - m a n i f o l d s ， i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ee x p a t i a t et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dc o r r e l a t i v ec o n c l u s i o n so f t h eg r a p ht h e o r y i nt h el a s t c h a p t e r w ep r o v es e v e r a ll e m m a _ sa n da l s og i v et h ep r o o fo ft h ec e n t r a l t h e o r e m ， k e yw o r d s ：h y p e r b o l i c ；r e d u c i b l e ；a n n u l a r ；t o r o i d a l i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：匀溅。一日期：超堕互丝 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 三维流形理论是低维拓扑学的主要研究对象，也是当前研究的热点学科之一为了研 究三维流形，人们做了大量的工作，并且发展了大量的技巧和方法 拓扑学家们已经证明，在一个拓扑三维流形上存在且唯一存在一个三角剖分f 即细化 后等价) ，存在且唯一存在一个光滑结构因此人们可以从不同的角度来研究三维流形例 如1 9 8 2 年f i e l d s 奖获得者w p t h u r s t o n 的几何化猜想是从微分几何的角度来考虑三维流形 f w a l d h a u s e n 等数学家的关于基本群的工作是从代数的角度来研究三维流形另外，用组 合的方法来研究三维流形也是一个非常重要的手段，主要研究内容为扭结，d e h n 手术的性 质，h e e g a a r d 分解以及其与流形中不可压曲面之间的关系 1 9 2 2 年p h e e g a 盯d 证明了任意紧致的三维流形都有h e e g a a r d 分解1 9 6 2 年，l i c o r i s h zj 证 明了任意可定向的闭三维流形均可通过在三维球面实施d e h n 手术而得到，这就使得组合方 法在三维流形研究中起到了重要作用h e e g a a r d 分解，d e h n 手术的问题又都可以归结为把 柄添加的问题 但是三维流形的情况是比较复杂的，所以我们试图根据三维流形的性质对其进行分类 这样我们可以通过对简单流形的研究间接的了解复杂流形的性质，这给三维流形的研究带 来了很大的便利双曲流形就是一类广泛而基本的流形，因此一直以来都是拓扑学家比较 感兴趣的问题 t h u r s t o n s 证明了一个h a k e n 流形是双曲流形，当且仅当这个流形是不可约的，边界不 可约的，不含有本质平环的和不含有本质环面的这就是说，双曲流形不能用本质球面，本 质圆盘，本质平环和本质环面进行分解人们关心什么样的把柄添加会把一个双曲流形变 成非双曲流形( 这样的把柄添加称为是退化的把柄添加) ，有多少退化的把柄添加。为此引 入几何相交数的概念，用以形象的刻画1 9 8 4 年，a c a s s o n 和r l i t h e r l a n d 2 建立了图论的 方法，被广泛的应用到在环面分支上作的把柄添加，即d e l l i l 手术的研究中几乎将所有情 况都给出了很好的估计 自然地，我们把目光转向一般的把柄添加有例子表明有三维流形，在其上可以做无 数退化的把柄添加m s c h a r l e m a n n 和y - qw u 3 1 于1 9 9 3 年证明了虽然有无数种退化的把柄 添加，但是有很多的不分离的退化曲线都是和某些分离的退化曲线共面的而分离的退化 曲线只有有限条这就使得分离曲线在研究中起着很重要的作用m s c h a r l e m a n n 和y - q w u 3 】证明了若m 是双睦流形，n ，卢是m 的一个亏格大于等于2 的边界分支上的两条分离的 本质曲线，若m m ，m 陋 都是退化的，则( a ，卢) 1 4 这只是对所有的情况作了一个大致 的估计 本文中，我们对其中几种情况得到了更为精细的结果，即本文的中心定理： 设m 是一个双曲三维流形，o l ，卢是8 m 上两条分离曲线的合痕类 ( 1 ) 如果m m 是平环的，m 沁】是可约的，则( o ，卢) s8 ； ( 2 ) 如果m i n i 和m 同都是平环的，则( 。，卢) s8 ； 1 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 ( 3 ) 如果m 是平环的，m 矧是环面的，则( n ，卢) 兰1 0 本文主要是采用图论的一些方法 在本论文中，如果不加特殊说明，我们假定所有三维流形都是可定向的，所有的图都视 为有限图我们用d 表示二维圆盘，用伊表示三维球，s 2 表示二维球面，s 3 表示三维球面， a 表示平环，t 表示二维环面记，= 0 ，1 2 大连理工大学硕士学位论文 2 三维流形基础 在本章中，我们将给出三维流形中的一些基本概念、定理和结果这些主要是为了后继 讨论作准备 2 1 流形的定义 低维的单纯形是我们十分熟悉的几何图形：0 维单纯形是点，1 维单纯形是直线段，2 维 单纯形是三角形，3 维单纯形是四面体高维单纯形是它们的高维类似物 定义2 1 。1 设是m 一个h a u s d o r f f 空间，如果m 中的每一个点都有邻域同胚于曰；，则 称m 是一个礼维流形，记作礼一流形。礼为m 的维数，记为n = d i m m 。 凡= 2 的流形我们称之为二维流形，也就是常说的曲面。礼= 3 的流形我们称之为三维 流形，是我们的重点研究对象。 定义2 1 2 如果m 中每点都有一个邻域或同胚于毋，或同胚于碎= z = ( z l ，z 2 ，) ：翰 o ， = 1 ，2 ，几) ，则称肘是一个n 维带边流形。记所有邻域同 胚于磁的子集为a m ，称之为m 的边界。 注1 o m 也是一个流形，a o m = 0 ，并且d i m o m = d i m m 一1 。 2 如果m 是紧致的无边流形，则称m 是一个闭流形。例如：s 2 ，t 2 等。 定义2 1 3 设m 是一个n 一维流形，称s 是m 的一个m 维子流形，若s 中每一点均有 一个邻域仉使得( 以uns ) 同胚于标准对( 毋，j p ) ，称，：s + m 是一个嵌入，若，是 从s 到m 的子流形，( s ) 的同胚。 定义2 1 4 设s 是m 中的个嵌入曲面。若a sca m ，i n t sci n t m ，则称s 是m 中一 个真( 嵌入) 的曲面。 定义2 1 5 三维流形m 中的曲线或曲面处于一般位置，如果 ( 1 ) a ，6 是m 中两条嵌入的曲线段，批n o b = 0 ，a nb = d ( 2 ) 设s 是m 中的一个( 嵌入) 曲面，g 是盯中的一条简单闭曲线，e 与s 相交为一些 点，相交任意局部如下： 3 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 s。 图2 1 1 ( 3 ) 设& ，是m 中的两个( 嵌入) 曲面，q 和的相交任意局部均如图2 1 2 所示。 图2 1 2 ( 4 ) 点与曲面，点与曲线段，点与点均不相交。 定义2 1 6 设m 是一个3 一流形，若日：m ，m ，是一个同胚，并且对每 个t ，日( z ，t ) = ( 皿( z ) ，t ) ：m m 均为同胚，则称日为从凰到皿的合痕( 或同痕) 。 对于m 中的曲面岛，岛，如果存在合痕日，使得凰= i d m ，凰( s b ) = ，则称岛和s 1 是合痕 的。 由微分拓扑的理论可知，3 - 流形中的任意两个曲面( 一个曲面或一条曲线) ，均可以 通过流形的一个合痕移动使之处于一般位置。含痕是三维流形中的一个很重要的概念， 在我们的研究中起着很重要的作用。 2 2 三维流形中的曲线和曲面 因为n 维流形中n 一1 维流形的状态可以将n 维流形确定。所以正如曲线在曲面的研究 中起着重要作用一样，对抽象的三维流形的研究，衄线和曲面十分重要。上一节，我们 4 大连理工大学硕士学位论文 对于三维流形只作了大致的介绍，为了对其深入了解，我们将对三维流形中的曲线和曲 面作一个系统的介绍。 定义2 2 1 如果，：s 1 一s 2 是连续的单射，贝u ，i s l ) 是一条简单闭曲线。 定义2 2 2 设c 是曲面f 上的真嵌入的闭曲线，如果c 在f 上界定圆盘，则称c 为曲 面f 上的平凡闭曲线，也称作闭曲线c 在曲面f 上是平凡的。否则称闭曲线c 为曲面f 上的 本质闭曲线。 如图2 2 1 所示：c i 是平凡的，c 2 ，c 3 是本质的。 f 图2 2 1 定义2 2 3 设。是曲面f 上的真嵌入的曲线段，如果存在f 的边界上的曲线段e ，使 得o e = o a ，并且a 与e 界定f 上的圆盘，则称a 为曲面f 上的平凡曲线段，也可称曲线段a 在 曲面f 上是平凡的。 定义2 2 4 设a 是曲面f 上的真嵌入的曲线段，如果对f 的边界上的任意曲线段e ， a e = 执，口与e 都不界定f 上的圆盘，则称a 在曲面f 上是本质的。 如图2 2 2 所示：n 2 是平凡的，a i ，a 3 是本质的。 f 图2 2 2 定义2 2 5f 是m 中真嵌入的曲面，如果有f 上的一条本质闭曲线，在m 中界定一个 圆盘d ，我们说f 在m 中是可压缩的，d 称为一个压缩圆盘。否则f 在m 中是不可压缩 的。 5 一 生查塑! ! 垫塑! 堑堕塑墅亘箜塑堑堡垄 _ _ _ _ h _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ 通常，也称f 中一个非本质的2 一球面和边界平行的2 一圆盘是可压缩的。 m 中一个可压缩曲面f 可通过如下方式加以简化： 1 ) 舍弃所有非本质的二维球面和与边界平行的圆盘； 2 ) 若存在f 在m 中的一个压缩圆盘d ，如图2 2 3 所示。取d 在m 中的一个同胚于d 珀q 邻域，使得( d ，) nf = ( a d ) i ，令f = f 一( o d ) x iud a j ，如图2 2 4 所示 则f 7 是m 中比f 简单的曲面，通常称f 7 是f 沿d 在m 中压缩而得到的。 fd 图2 2 3 f d x 0 ) d x t 图2 2 4 注意：一个不可压缩曲面是不能按上述方式简化的。 引理2 2 6 ( d e h n s g f 理) 设f 是m 中真嵌入的双侧曲面，且g ( f ) 1 ，那么f 是不可 压缩的当且仅当i + ：nl ( f ) 一t ( m ) 是单射。 定义2 2 7f 是m 中真嵌入的曲面，o m 0 ，如果对f 上的本质闭曲线d ，有卢c o m ，使得a o = 卵，且o ，卢界定m 中的一个圆盘d ，i n t dnf = 口，则称f 是边界可压缩 的。d 称为一个边界压缩圆盘。否则，称f 是边界不可压缩的。 通常，m 中一个边界平行的2 1 圆片也称为边界可压缩的。 6 大连理工大学硕士学位论文 f 图2 2 5 定义2 2 8 设f 是m 中真嵌入的曲面，如果沿着f 把m 切开，得到的流形m 7 = m 一 仇t n ( f ) 有一个分支同胚于fxi ，则我们称f 是平行于边界的。否则称f 是不平行于边界 的。 定义2 2 9 设f 是m 中真嵌入的曲面，如果f 是不可压缩的，边界不可压缩的，并且 是不平行于边界的，则我们称f 是m 中的本质曲面。 本质曲面是三维流形中一种重要的特殊曲面，我们可以沿其对三维流形进行分解， 从而对所研究的问题加以简化。在下节中我们将作详细介绍。 三维流形中曲面与曲面的相交可以转化为曲线的相交来讨论，为方便研究，我们引 入以下定义。 定义2 2 1 0 令口，p 为三维流形m 上的曲线，我们将o ，卢在合痕意义下的交点的个数 称作o ，卢的几何相交数，记作：( a ，卢) 。 如图2 2 6 所示，和口的几何相交数为4 。 0 【 b 图2 2 6 2 3 三维流形的性质及其它 三维流形的情况比较复杂，笼统研究起来有一定的困难。所以我们试图根据某些性 质对三维流形进行分类，从而得到一些比较简单的流形，通过不同的连接方式粘结这些 7 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 简单流形可以得到复杂的流形。这样可以间接了解复杂流形的性质，给整个三维流形的 研究带来了很大便利。本节我们将介绍三维流形的可约性，不可约性，连通和等性质， 进而在此基础上介绍一下三维流形的几种构造方法。 定义2 3 1 设m 是一个三维流形，s 2 是m 中的一个二维球面，若s 2 不是m 中的一个 实心球的边界，则称铲是m 中的本质2 _ 球面。否则，称s 2 是m 中的平凡2 一球面。 定义2 3 2 若三维流形m 中不存在着本质的球面，我们称m 是不可约的。否则， 称m 是可约的。 由定义可知，m 是不可约的当且仅当其中每个2 - 球面界定一个实心球。 定义2 3 3 设m 是一个三维流形，m 中有一个= 维球面分离m 为两个三维流形1 ，2 ， 令 矗= 1ub 3 ，m 2 = 2ub 3 ，则我们称m 是a 矗与m 2 的连通和，记作m = 婀# n 如。 显然，对于任意的流形m ，均有m = m e s 3 。 定理2 3 4 ( m i l n o r 定理) 任意三维流形m 均可以表示为m = m # 尬# 4 螈，其 中坛0 = l ，2 ，忆) 为不可约流形，且在同胚意义下是唯一确定的。 通过连通和的定义，我们可知不可约流形为一类基本流形，任意一个三维流形均可 以通过不可约流形进行构造，从而对不可约流形的性质的了解对于整个三维流形体系的 研究具有巨大的帮助。 定义2 3 5 如果带边的三维流形掰的边界a m 是可压缩的，则我们称流形是边界可 约的。其边界的压缩圆盘称为m 的边界压缩圆盘。否则，则我们称流形m 是边界不可约 的。 定义2 3 6 设m 是一个边界可约的三维流形，m 中有一个分离的边界压缩圆盘d ( 如 图2 3 1 ) ，将m 分为两个三维流形m ， 磊，则我们称m 是尬与尬的边界连通和，记作m = 尬b 尬。 m m 1 m 2 8 大连理工大学硕士学位论文 图2 3 1 定义2 3 7 设m 是一个边界可约的三维流形 沿d 将m 切开，得到流形m 7 = m e m ( d ) ， 作m = 蚰m 。如图2 3 2 所示。 m m 中有一个不分离的边界压缩圆盘d ， 则我们称m 是m 7 的边界自连通和，记 图2 3 2 由上节我们知道，对真嵌入m 中的曲面f ，如果f 是不可压缩的，边界不可压缩的并 且是不平行于边界的，则称f 是m 中的本质曲面。我们有流形的下列性质。 定义2 3 8 如果m 中不含有本质的平环，则我们称m 是不含有本质平环的。否则， 称m 是平环的。 定义2 3 9 如果m 中不含有本质的环面，则我们称m 是不含有本质环面的。否则， 称m 是环面的。 设a 是m 中真嵌入的圆环，如果a 是可压缩的，则a 压缩后构成了m 的边界压缩圆 盘。如果a 是平行于边界的，则沿着a 把m 切开，得到两个流形，一个同胚于axi ，一个 同胚于m 本身。当a 是m 中的本质的圆环时，和边界可压缩的情况作类比。我们知道沿 着a | 巴m 切开，则得到的流形( 要么有两个分支要么有一个分支，这取决于a 在m 中是不是 分离的) 要比m 简单。 同样的，如果设m 是不可约的，边界不可约的，不含有本质平环的，但是环面的。 那么m 同样有一个以环面为分界的分解。 定义2 3 1 0 如果可定向的三维流形m 是不可约的，并且含有可定向的不可压缩的曲 面，则称m 是一个h a k e n 流形。 9 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 定义2 3 i i 如果m 是一个h 吐e n 流形( 特别地，a m 不含球面分支) ，且m 是不可约 的，边界不可约的，不含本质平环的和不含本质环面的，则称m 为双曲流形。 不难看出，双曲流形不能用本质球面，本质圆盘，本质平环和本质环面进行分解， 是比较基本的流形。对双曲流形性质的研究，在整个三维流形的研究中有重要的意义。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 3 图论及其相关结果 我们研究三维流形，很大程度上依赖于对图形的直观观察但是很明显，三维流形做为 一类复杂的研究对象，想要直接观察到它的整体会比较困难，因此人们往往将观察的侧重 点转向流形中的曲线和曲面而研究曲线和曲面，一个比较重要的手段就是将其转化为曲 面上的图来进行研究事实证明，图论的某些方法及结论对于整个三维流形发展确实有着 具有巨大的推动作用例如图论在d e h ns u r g e r y ，扭结等多方面的研究应用在本文中，我 们也会大量的用到图论的一些结果和方法因此在本章中，我们有必要将有关图论的一些 基本概念及结论做一下简要介绍， 3 1 图的基本概念 定义3 1 1 图的定义： 设v ( r ) = z ， 2 ，咋) 是一个非空有限集合，e ( f ) = e 1 ，e 2 ，岛) 是与y ( r ) 不 相交的有限集合。一个图r 是指一个有序三元组( y ( r ) ，e ( r ) ，皿( r ) ) ，其中( r ) 是关联 函数，它使e ( r ) 中的每一个元素对应于y ( r ) 中的无序元素对( 可以相同) 。记作f = ( 矿( r ) ，e ( r ) ，皿( r ) ) ，简记为f = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 或f = ( ve ) 或r 。 定义3 1 2 图f = ( y ( p ) ，e ( r ) ，( f ) ) 中，y ( r ) 和e ( r ) 分别称为r 的顶点集合和边集 合。y 口) 中的元素称为r 的顶点，e ( r ) 中的元素称为r 的边。 定义3 1 3 嵌入图：图可以用曲面上的点和曲线段表示，把v ( r ) 中的点用曲面上不 同的点相对应，把e ( r ) 的边用曲面上的连接相关顶点的曲线段表示。并且边与边之间只 在顶点处相交，如果存在这样的表示，则称这种表示为图在曲面上的一个嵌入或嵌入 图。如图3 1 1 所示，是一个环面上的嵌入图。 图3 1 1 定义3 1 4 设r 是f 上的嵌入图，则f r 1 的连通分支被称作是r 的面。 1 1 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 定义3 1 5 有限图：如果一个图r 的顶点集v ( r ) m e ( r ) 都是有限集，则该图成为有限 图，否则称为无限图。 3 2 图的相关性质 在本节的论述中，我们假设r 是曲面f 上的嵌入图。 定义3 2 1 如果从r 的一个顶点出发，不重复的经过若干条边又回到出发点，则经过 的边被称为环路，也成为圆周。期间经过的边的条数n 被称作为环路的长度，也称为长度 为n 的圆周。 特别的，长度为1 的圆周也叫环。即一条边的两个端点重龠为一点。 如图3 2 1 所示：8 1 ，e 2 ，e 3 构成了长度为3 的圆周，e 4 构成了长度为1 的圆周，而铅，e 4 e 7 构成了长度为3 的圆周。而e 5 ，e 6 构成了长度为2 的圆周。 图3 2 i t ：x 3 2 2 度数：m r ( v , e ) 中顶点口的度数指以 作为端点的边的条数( 每个环计 算2 次) ，记为d ( ) 。 如图3 2 1 所示：d ( v 1 ) = 2 ，d ( v 2 ) = 2 ，d ( v 3 ) = 7 ，d ( v 4 ) = 3 。 定义3 2 3 如果边e 为r 的长度为1 的圆周，并且在f 上界定圆盘d ，t 礼t d 不含有r 的其 他顶点，则我们将d 称作单边面。如图3 2 2 中d 。 1 2 大连理工大学硕士学位论文 e e 2 图3 2 2 定义3 2 4 如果c = 8 1t je 2 为长度为2 的圆周，并且在f 上界定圆盘e ，i n t e 不含有r 的 其它顶点，此时e 1 ，e 2 被称作是平行的。如图3 2 1 ，e 5 ，e 8 是平行的，8 5 ，e 7 也是平行的。 注：如果e 1 ，e 2 与o f 上的一段弧界定一个圆盘，我们也称8 1 ，e 2 是平行的。 定义3 2 5 如果e 1 与b 2 是平行的，界定f 上的圆盘e ，如果i n t e 不含有r 的其它边，此 时e 被称作双边面。如图3 2 2 中d 2 。 定义3 2 6 如果r 为f 上的有限图，如果将工1 的每一组相互平行的边由一条边代替，得 到的图我们称之为r 的约化图，通常记作亍。如m 3 2 3 ( b ) 是3 2 3 ( a ) 的约化图。 图3 2 3 ( a )图3 2 3 ( b ) 引理3 2 7 设亍为球面上的没有单边面的约化图，则亍至少包含三个顶点，它们的度 数至多为5 。 证明：这里我们不妨假设r 为连通图( 如果r 不连通的话，我们加上一些边，使之变为 连通图) 。我们用e ，f ，y 分别表示亍的边的个数，面的个数及顶点的个数。 假设亍最多含两个顶点，它们的度数最多为5 。那么，e 6 ( v 一2 ) 2 。由题设亍中 无单边面，且每一个面至少由3 条边构成。又因为球面上的一条边在相邻的两个面上，所 以3 f 2 e 。v e + f e 3 + 2 - e + 2 e 3 = 2 由球面的e u l e r 示性公式，y e + f = 2 ， 矛盾。 所以定理成立。 1 3 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 推论3 2 8 设于为平环上的没有单边面的约化图，则于至少包含一个顶点，它的度数 至多为5 。 将平环的两个边界视为顶点，则亍可看作是球面上的约化图，推论容易得证。 引理3 2 9 设亍为环面上的没有单边面的约化图，则亍至少包含一个顶点，它的度数 至多为6 。 证明：不妨设r 为连通图，e ，f ，矿如同引理3 2 7 所设，刚易得3 f 2 e 。假设每 个顶点的度数至少为7 ，则7 y 2 e ，从而y e + f 2 e 7 一e + 2 e 3 o 由环面 的e u l e r 示性公式，y e + f = 0 矛盾。定理得证。 1 4 大连理工大学硕士学位论文 4 可约的，平环的和环面的把柄添加 在前两章的理论基础上，我们进入本文的主体部分：即中心定理的论述。 41 把柄添加 在本章中所有的三维流形都假定为可定向的 定义4 1 1 设m 是一个带边的三维流形，将d n 女照以下方式粘到m 的边界上： ( 1 ) 如图4 1 1 所示，把d o ) ，d 1 粘到硼彳上，称为是往上添加1 h a n d l e 。 图4 1 1 ( 2 ) 如图4 1 2 所示，把a d 馏着a m 上的一条简单闭曲线c 的正则邻域粘到a m 上 称为是往m 上沿着c 添加2 一h a n d l e m 图4 1 2 ( 3 ) 如果m 的边界有一个分支是s 2 ，则沿着s 2 粘一个酽，称为是往m 上添加3 一h a n d l e 。 定x 4 1 2 给定a m 上的合痕类n ，沿着口往m 上添加2 - h a n d l e ，并且将可能产生的球 面分支伟j 3 - h a n d l e 堵上，我们称此操作为在m 上沿着a 作把柄添加，并把得到的流形记 作m 嘲。 特别的，如果口在a m 的环面分支上，添加2 ，h a n d l e 就相当于在m 上沿着。添加固体 环。此时把柄添加称为在m 沿着。作d e h nf i l l i n g 加下图所示。 环。此时把柄添加称为在m 沿着作d e h nf i l l i n g 蜘下图所示。 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 图4 1 3 定x 4 1 3 如果m 为双曲流形，m a 不为双曲流形，那么将此把柄 j f n d e h n f i l i n g 称作退化的把柄添加或退化的d e h nf i l l i n g ，将。称为退化曲线。 另：本章若无特别指出，则所有曲线均可视为合痕类。 4 2 一些有关引理及相关结论 定义4 2 1 曲面f 上的两条曲线口，卢称作是共面的，如果f au 卢的某些分支是平环 或是有一个洞的环面。 如图4 2 1 所示，a l 与风是共面的，0 ：2 与屁是共面的，但盘1 与a 2 ，岛不共面，岛与2 ， 岛也不是共面的。 图4 2 1 m a r t i ns c h a r l e m a n n 和吴英青证明了虽然有无穷多种退化的把柄添加，但大部分的退 化曲线都与某些分离曲线共面。而分离曲线只有有限多条，所以研究分离的退化曲线具 有重要意义。 接下来的讨论中，我们假设n ，卢为分离曲线，研究当m 0 1 是平环的。同时m 吲是可 约的，平环的或环面的几种情况下a ，p 的几何相交数。 由双曲流形的定义，如果m b 是平环的，那么其中含有一个本质的平环4 。考 虑p = mv ia ，容易看出，p 是m 中一个带洞的平环，除了两个边界分支外，其他的边界 分支都平行于o 。同理，如果m 捌是平环的，那么m 中含有一个带洞的平环q ，除了两个 边界分支外，其他的边界分支都平行于序。 1 6 大连理工大学硕士学位论文 如果m 嘲是可约的( 或环面的) ，则m 吲中含有一个本质的球丽s 2 ( 或本质的环面t ) 。 此时v ：m f 7s 2 ( 或m n t ) 为m 中的可展曲面或带洞的环面。它们的所有边界分支都平行 于启。 定义4 2 2o p ( 或a q ) 的一个分支如果平行于( 或p ) ，则称为o f ( 或o q ) 的一个内部分 支，否则，称为一个外部分支。 定义4 2 3 1 3 1 设尸1 0 是三维流形m 中的两个真嵌入的曲面，我们称它们处于最小相交 位置，如果有 ( 1 ) 1 8 pn8 qj 1 8 pn8 q i 所有与q 合痕的曲面q ( 2 ) l p n qj l p n 0 ，|满足( 1 ) 的所有印7 我们可以适当的选取p iq 使得l a p l = n l ，i a 0 i = 礼2 最小，并且p 】q 处于最小相交位 置，这样pnq 为一些弧段。根据下面的引理4 2 6 ，4 2 7 ，4 2 8 ，只q 可以为本质的曲面。 把pnq 的曲线段分支视为边，a p 的内部分支视为点，得到平环a 上的一个图，记 为r p 。如果r p 的边有一个端点与a 的边界相连，称这条边为边界边，否则称之为内部 边。同理，如果m 旧是平环的，我们可以得到一个平环上的图r 。如果m 捌是可约的或 环面的，i 、a 为球面上或环面上的图。此时只有内部边。这样我们就可以把某些问题转 化为图论问题来讨论。 引理4 2 4 设p i q 为双曲流形中的本质曲面，且p 与q 处于最小相交位置，贝l j r p 与r o 没有单边面。 证明若不然，即r p 或r 。中存在着单边面，不妨设f p 存在着单边面d ，线段e = 8 d ，则 由r p , f o 的定义可知，e 也在r q 上，则e 有两种情况： ( 1 ) 8 在q 上是的本质的； ( 2 ) g 在q 上是平凡的，此时8 e 一定落在q 的同一分支上。 第一种情况：若8 在q 上是本质的，由图4 ，2 2 易知e 在r p 上界定单边面，则其在p 上 与o p 也就是o m 上的曲线段c 界定圆盘d ，j j l i n t d 与q 不交，从而q 是边界可压缩的， 与0 为边界不可压缩曲面矛盾。 e e 在r p 上 e 1 7 e 在p 上 李春霞：可约的，平环的和环面的把柄添加 图4 2 2 第二种情况：若e 在q 上是平凡的，如图4 2 2 易知e 与a 尸上的曲线段c 界定圆盘d ，同时 与a 0 上的曲线段d 界定圆盘d 7 ，如图4 2 3 所示。将d ，d 沿着e 相粘得到a m 上的圆盘e ： e 在q 上 图4 2 3 若e 为o m 中的本质圆盘，则与m 为边界不可压缩的流形矛盾； 若e 为o m 中的平凡圆盘，则可知c 与c ，在o m 上合痕，从而可以通过合痕减小p 与q 的 分支数，与p ，q 处于最小相交位置矛盾。 所以r ，中不舍有单边面。 同理可知r o 中也不舍有单边面，引理得证。 引理4 2 5 1 3 设m 为不可约的，边界不可约的三维流形。p iq 为真嵌入m 中的本质 曲面且处于最小相交位置。如果p n 口中的两条曲线段e 1 ，e 2 在f p 和r o 中都是平行的，那 么，m 中含有一个本质平环。 证明由平行的定义可知，曲线段e i ，勖界定p 中的圆盘d 1 ，同时在q 中界定圆盘眈。 我们不妨假定d l ，d 2 不交。若不然，则d 1nd 2 = a l ，a 2 ，o ， ，取a l ，贝t j a l 将皿分 成两个圆盘d n ，d 1 2 ，令d 1 1 为e 1 与a 1 界定的圆盘，同时0 1 将d 2 也分成两个圆盘d 2 1 ，d 2 2 ， 取d 2 l 为a 1 与e 2 界定的圆盘，若此时d nnd 2 1 = 0 ，则令e 2 = a 1 ，若d 1 lnd 2 l d ，则按如 上方法，总可以找到曲线段e - ，e z ，其在p iq 上界定的圆盘内部不交。 令a 一玩ud 2 ，l j a 为m 中的真嵌入的平环或m o b i u s 带。 ( 1 ) 若a 为m 中真嵌入的m o b i u s 带。假设a 的边界曲线为c ，) 为a 在m 中的正则 邻域，易知其为固体环。( g ) 为g 在o n ( a ) 上的正则邻域，是一个平环。因为o n ( a ) 为 一个环面，所以b = o n ( a ) 一( g ) 也是m 中真嵌入的平环，且b 沿( a ) 的纬线方向绕 两周。则可得m ；n ( a ) u e ( q ，这里e ( a ) = m 一) ，且( a ) n e ( a ) = b ，n ( c ) n e ( a ) = 0 我们找到一个平环，只需证b 在) ，e ( a ) 中都是本质的即可。 因为平环中经线绕一周，b 嵌入到a f a ) 上经线绕两周。如图4 2 4 1 8 大连理工大学硕士学位论文 图4 2 4 ( a ) 图4 2 4 ( b ) 即 ：a 一2 角是一个单射。由d e h n s 引理，b 在n ( a ) 中是不可压缩的。 假设b 在n ( a ) 中是边界可压缩的。其边界压缩圆盘交b 与一段弧，n ( a ) 中圆盘只有 一种，即纬圆。而b 沿纬线方向绕两周，所以交纬圆两段弧，矛盾。 所以b 在n ( a ) 中是本质的。 现在我们证明b 在e ( a 冲是本质的。 假设日在e ( a ) 中是边界可压缩的，d 为b 的一个边界压缩圆盘，则j 矿i 萄= n ( a ) u d ，是一个圆体环。而a ( a ) 是可压缩的，所以m 是边界可压缩的，这与m 为双曲流形 矛盾。 假设b 在e ( a ) 中是可压缩的，则b 上有一条本质的简单闭曲线，在e ( a ) 中界定个 圆盘e ，n ( a ) ue ，是一个带洞的透镜空间，又因为m 的边界非空，所以m 中有一个球 面不界定实心球，这与m 不可约矛盾。 所以，b 在e ( a ) 中是本质的。 ( 2 ) 若a 为平环，令c 为a 的一个边界分支。易知c = c 1uc 2 ，其中c 1co p ，c 2ca q ， i ：假设a 为可压缩的，则c 将界定m 中的圆盘。由于m 为边界不可约的流形，c 必界 定a m 上的一个圆盘，因此就可以通过c 1 与c 2 的合痕运动，减少i a pna qj ，与尸与0 处于最 小相交位置矛盾。 i i ：假设a 为边界可压缩的。设d 为一个边界压缩圆盘，使得dna 在d 1 上，同时平行 于曲线段e z ，且在d 上为本质的曲线段。若d 与p 还有其它相交分支，由最内部理论，总可 使其不交。从而d 构成了p 的边界压缩圆盘，这与p 为本质曲面矛盾。 因此，a 为本质平环 综合( 1 ) ，( 2 ) ，我们完成了定理的证明。 引理4 2 6 1 4 】