（工程力学专业论文）压电材料平面问题的虚边界元解法.pdf

摘要 文章首先利用压电材料平面问题的g r e e i j 函数基本解和线蛀叠加原理，提 出了2 - d 压电体的虚边界等额配点解法，这种算法由于只需要在假想虚边界上 和实际边界上配点，所以解决了传统边界元方法( b e m ) 实行中遇到的奇异积分 计算( 当源点位于积分单元上时所产生的奇异积分) 和近奇异积分计算( 当源 点靠近边界时产生的近奇异积分) 闽题。同时。该算法还具有t 3 e m 方法所具 有的降低求解维效、计算量小、域内点处的求解变量连续等特点，但没有b e m 方法中边界积分方程复杂的推导过程。 接着，文章根据等额配点算法可能导致的系数阵奇异性问题和解的完备性 问题提出了虚边界最小二乘配点解法和虚边界元积分解法。这些算法同样也具 有等额配点解法的优点，同时又具有较高的计算精度和解的稳定性。 同时，论文利用上述算法计算了一些压电材料平面问题的算例，芳和解折 解傲了比较，计算结果和解析解吻合较好，表明该算法具有较高的计算精度， 是求解压电材料平面问题的一种有效的数直求解方法。 文章最后总结了压龟衬睾葺平面闫题的虚边界元解法，并讨论了该算法所面 临的需要进一步完善和解决的一系列问题，以便该算法能在尽可能多的领域中 应用。 芸键毒j 压毫体；基本艇：叠加原理：解橱延拓：奇异积分虚边界配点浩 虚边界积分法 a b s tr a c t f i r s t l y ，b a s e d o nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o n so r g r e e n ss o l u t i o n sf o rd l a n e p r o b l e mo fp i e z o e i e c t r i c i t ya n dt h ep r i n c i p l eo fs u p e r p o s i t i o nf o rl i n e a rs y s t e m a v i r t u a l b o u n d a r y e q u i v a l e n t c o l l o c a t i o nm e t h o dw a s p r e s e n t e d i nt h i s p a p e r c o m p a r e dw i t hd i r e c tb e m t h i sa l g o r i t h ma v o i d e dt h ec o m p u t a t i o no fs i n g u l a r i n t e g r a la n dn e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l ，w h i c ha r eo f t e nc a u s e dw h e nt h es o u r c ep o i n t l i e so no rc l o s e st ot h e i n t e g r a le l e m e n t ，r e s p e c t i v e l y a tt h es a m et i m e ，t h i s m e t h o da l s oh a sa d v a n t a g e so fb e m ，s u c ha st h er e d u c e dd i m e n s i o n a l i t yo ft h e b a s i c p r o c e s s ，t h e d e c r e a s e da m o u n to fc o m p u t a t i o n ，c o n t i n u o u sv a r i a b l e si ” i n t e r i o rp o i n t ，a n ds oo n s e c o n d l y ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h e v i r t u a l b o u n d a r y l e a s ts q u a r e c o l l o c a - 。j m e t h o da n dt h ev i r t u a l b o u n d a r ye l e m e n t i n t e g r a lm e t h o d f o rt h es a k e o ft b e p r o b l e m so ft h es i n g u l a r i t y o ft h ee f f e e t i v em a t r i xa n dt h e s t a b i l i t yo fs o l u t i o n p o s s i b i y c a u s e di nt h e p r o c e s s o fu s i n gt h ev i r t u a i b o u n d a r y e q u i v a i e n t c o l l o c a t i o nm e t h o d a tt h es a m et i m e s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h e p e r f o r m a n c eo ft h e s ea l g o r i t h m s r e s p e c t i v e l y t h er e s u l t sa r ef o n n dt oa g r e ew e j i w i t ht h ee x a c ts o l u t i o ns ot h e 3 m a yb eo n eo fe f f e c l i v ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d st o a n a l y z et h ep l a n ep r o b l e mo fp i e z o e l e c t r i cm e d i a f i n a l l y 。o r k a b o v eiss u m m a r i z e da n ds o m ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d w h i c h a r ef a c e dt ob es t u d i e da n ds o l v e di nt h ef u t u r ef u r t h e r ，s ot h a tt h eu s eo ft h i s m e t h o dc a r lb ee x t e n d e dt om o r es i t u a t i o n s k e y w or d s ：p ie z o e ie c tr icm e d iu m ：b a s ics o fu t io n ：pr in c ip feo 卡 s u p er p c s i t io d ：a n a fy s ise x t e n t ：s in g u la ri n t e g r a t io n ：v ir t u a ib o u n d ar y c o ifo c a t io nm e t h o d ：v ir t u a ib o u n d a r y i n t e g r a im e t h o d 压电材料平面问题的虚边界无解浩 0 前言 这是一篇关于压电材料数值求解闽题的硕士论文，对于压电器件的数筐分 析提供了一种有别于有限元法和传统边界元法的数值计算工具，算例的数值计 算结果表明该方法可以为压电体的力学和电学分析提供必要的参考。 由于压电材料的控制方程存在者较为复杂的力学和电学的祸合，解析求解 该类问题交得非常困难。目前，在压电体的数值分析方面的主要计算方法有有 限元法和边界元法。前者以有艰区域离教为基础，利用变分方程或虚功原理推 导相应的计算式，把域内的参量均转化到单元节点上：通过计算节点位移和电 势，域内单元或相应点处的位移、电势、应力和电位移可以对应求出。而后者 以边界离散为途径，利用功的互等定理或加权残值定理推导出相应的边界积分 方程，计算边界节点处的未知量；然后利用边界给定的已知量和求出的未知量， 计算域内点处的位移、电势、应力和电位移。 上述两种计算方法各有优缺点，在后面的章节中会进行详细的讨论。针对 这些问题，文章在第3 章和第4 章提出了基于叠加原理和基本解的虚边界配点 解法和虚边界积分解法，推导了相应的计算方程，并进行了实例计算。 需要说明的是，文章提出的虚边界元算法在不涉及域内分布荷载，如体力 等的情况下具有方法简单，易于编程等特点，尤其是对于虚边界配点解法，可 以看作一种无网格算法：但是如果存在域内分布荷载，由于要透行城内积分， 需要划分域内单元，所以这种算法并不能显示出过多的优点，虚边界配点解法 也不能严格的称为无网格算法。 对于这些问题，论文在第5 章也做了详细的讨论。 本论文的目的旨在为压电器件的力学和电学分析提供一种可被工程计算采 用的计算方法。当然，任何一种计算方法都不是十全十美的，需要在实践中不 断的完善。 压电材料平面问题的虚边界元解法 1 绪论 从i8 8 0 年j c u r i e 和p c u r i e 发现压电效应以来，压电材料被广泛地用于 制作各种换能器和传感器，已经在电子、激光、超声、水声、微声、红外、微 机电系统( m e m s ) 、导航及生物等高科技领域获得了重要应用。尤其是近年 来，智能结构。】越来越被广泛使用。它能感知周围环境的变化，并能针对这 种变化做出适当的反映。正是这种自适应特性，使人类对物体的控制能从被动 控制过渡到主动控制。由于压电材料的机电耦合特性非常适合智能结构的需 要，所以它成为传感器、驱动器的首选材料。正压电效应常被用来制造传感器、 加速计等元件，而逆压电效应常用来制造超声马达、双压电弯曲晶片元件等。 但是压电材料由于其控制方程的复杂性，只有一些特殊问题才能解析求解，在 大多数情况下只能求褥近似解或数值解。 1 1 压电材料的基本解研究概况 对压电材料内部作用集中力和集中点电荷的研究即基本解或g r e e n 函数豹 研究是对压电材料进行力学分析的一个重要的基础问题。它们在压电材料的断 裂、夹杂以及边界元计算等方面的研究工作中占有重要地位，除了用来求得一 些经典问题的解析解外，还为各种近似方法的评估提供重要的依据。 对空间和半空间问题，c h e n 4 1 1 3 】利用三重f o u r i e r 变换给出了各向异性材料 的基本解以及相应的一阶和二阶偏导数，它们都是以单位圆上的线积分形式表 示的；d u n n 6 i 通过r a d o n 变换和坐标变换给出了横观各向同性压电材料的显式 基本解；w a n g 和c h e n 7 】以及w a n g 和z h e n g 8 】研究了集中力作用在横观各向同 性压电材料半空间边界上的解和平衡方程的通解：丁皓江等一j 系统地研究了横 观各向同性压电材料运动方程和平衡方程的通解，同时也给出了半空间边界 。 作用集中力和点电荷时的解；此外，丁皓江等【1d j 还利用体积势理论结合试凑构 造法给出了横观各向同性压电材料三维问题的基本解。 对平面问题，丁皓江等【 利用状态空间方程和f o u r i e r 变换导出了平面问题 各种情况下的基本解；盂庆元和杜善义【1 2 】也导出了二维弹性各向同性压电材料 分别在单位力和单位点电荷作用下的位移场、电势场、应力场和电位移场的解 答；l e e 和j i a n g 1 3 】也利用二重f o u r i e r 变换获得了压电材料平面问题的基本 解，但形式比较复杂，难于校核；另外，刘金喜等f r 4 1 利用平面波分解法和留数 计算得到了线荷载和线电荷作用下2 d 各向异性压电体的基本解； r k n d r a j a p a k s e 【h 埽u 用f o u r i e r 积分变抉推导出了线荷载和电荷作用下的压 电材料平面问题所对应的一般解。 2 压电材料平面问题的虚边界元解法 1 2 压电材料的数值解法发展概述 由于压电材料的各向异性以及电学量和力学量的耦合作用，使得数学上的 解析处理显得很困难，所以在大多数情况下多采用数值计算方法。目前，在压 电材料的力学分析方面主要采用的数值算法有有限元法( f e m ) 和边界元法 ( b e m ) 。 在有限元方面，a l l i k 和h u g h e s 【”j 采用有限元法计算了压电介质的振动问 题：s u n gk y uh a 等【1 7 j 对含压电陶瓷的传感器和驱动器复合结构做了有限元分 析，并与实验结果进行了比较；此外，o d e n 和k e l l y 8 】用有限元方法计算了压 电材料热电问题：丁皓江等f i 列对压电材料皴对称闽题维了有限元分折。 在边界元法方面，丁皓江等【2 0 】利用功的互等定理推出了- z - - 维压电体边界积 分方程；l e e 和j i a n g ”1 用加权残值法也推出了压电材料平面问题的边界积分 方程：l u 和m a h r e n h o l t z 2 l j 针对同样的压电平面问题给出了类变分边界积分 方程。此外，j o n gs l e e 2 2 l 也提出了一种边界元方法来分析压电材料的压电 效应；y u nl i u 和h u if a n l 2 2 1 发展了种改进的边界元方法用于处理压电薄 片体力学和电学分析中所遇到的近奇异积分计算( 边界层效应) 问题，取得了较 好效果。 除了上面所提到的数值算法外，国际上还出现了种无网格算法用于压电 材料分析，在这方面的工作主要有：r r o h s 和n r a l u r u 【1 州采用一种区域离 散的无网格配点算法( p c m ) 来求解压电控制方程。 1 3 虚边界元法简介 从g j b u r g e s 25 】于1 9 8 4 年提出的“叠加法”( 其实质还是等额配点法) 到 现在，国内外在延拓域内配点解法这方面做了很多工作。孙焕纯等【26 j 从l 9 8 9 年开始做了更加深入和系统的工作。他们把实际区域进行了解析延拓，在解析 延拓域内某个合适位置截取虚边界。通过在虚边界上作用未知的分布虚荷载或 有限个集中虚点祷载来求解实际域上任意点处的物理量，为此他们提出了虚边 界元法的概念，这也是种间接边界元方法。他们用这种算法，系统的解决了 一系列的问题，如弹性力学平面问题、位势问题、薄板的静动力学弯曲问题、 弹性地基上薄板弯曲的弹性障碍问题、空间问冠、( 中) 厚板问题和薄扳( 壳) 闽 题等。 这种方法的主要优点是 z 6 1 ： 1 避免了直接边界元法中的奇异积分( 图1 1 ) 的麻烦处理； 压电材料平面问题的虚边界元解法 源点 弘 彳 边界积分单元 图1 1 当源点位于积分单元上时产生的奇异积分 f 刚1 t h es i n g u i n ri n t e g r a lc a u s e dw h e ns o u r c ep o h tu eo nt h ei n t e g r a le l e m e n t 2 消除了直接边界元法中的近奇异积分所导致的边界层效应 提高了边界附近点的计算精度； 边界积分单元 图1 2 当源点无限靠迂智分单元时导致前近奇异识分 f i g i 2 t h en e a r hs i n g u l a r i n t e r 蓼a c a u s e d w h e ns o u r c ep o i n tc l o s e t o t h ek n t e g r a le l e m e n t 3 理论简单，避免了直接边界元法中边界积分方程的繁琐推导 虚边界元法的不足之处在于“”： 1 虚边界的位置尚不能从理论上给予确定，只能依据计算经验 2 三维问题计算耗时较多： 3 还不能有效地用于裂纹问题求解。 1 4 本论文的主要工作及特点 本文的工作可以看作虚边界元解法应用的延伸，主要研究了压电平面问题 的虚边界元法求解。 主t 戮电。材料平面问题的基本解及控制方程出发，详细推导了虚边界首先从压电材料平面问题的基本解及控制方程出芨，详细于隹导j 履边嵛 2 蒺誓嚣套誓磊嚣墨茎墓备釜嘉。来的问题，弓l 入了虚边暴最小二乘配点算然后根据等额配点算法可能带来的问题，g l 入j 虚边界最小一采配只算 法，并推导了相关公式： 压电材料平面问题的虚边界元解法 3 接着文章根据配点算法的缺陷，提出了虚边界单积分算法，推导出了相 应的计算公式； 4最后，文章和用上述算法对压电材料平面问题的一些典型算例用虚边界 元进行了计算，结果和解析结比较吻合。 压电材料平面问题的虚边界元解法 2 压电材料基础 由于压电材料的控制方程比较复杂，所以本章从内容的完整性考虑以及后 文的需要，详细的介绍了压电材料的压电效应和对应的基本方程，并且在最后 一节给出了虚边界元解法所需要的基本解的表达式。 2 1 压电材料的压电效应 2 1 1 正压电效应和逆压电效应 l8 8 0 年屠里兄弟( j c u r i e 和p c u r i e ) 首先在a 石英晶体上发现了压电 f 口i e z o e l e c t r i c i t y ) 效应，压电效应反应了晶体的弹性性能和介电( d i e l e c t r i c ) 性能 之间的耦合。此外居里兄弟还发现，对每释压电体，均有特定的出现压电效应 的温度，后人称之为居里温度( c u r i et e m p e r a t u r e ，记为毛) 。当温度降至居里温 度以下时，晶胞的极化强度在承受一定力电荷载时发生可逆的变化，正是这两 种可逆变化导致材料的压电效应。根据藕合原理的不同，压电效应可分为正压 电效应和逆压电效应两种。 在没有电场作用时，某些晶体在机械力作用下内部正负电荷中心发生相对 位移而产生电的极化，导致介质两端表面内出现符号相反的束缚电荷( 或极化 电荷) 。这种没有电场作用，由于机械力的作用而激起晶体表面荷电的效应t 称为正压电效应( 如图2 1 ) 。在外力不太大时，由压电效应产生的电荷密度( 或 极化强度) 和外力成线性关系，即 p = d 仃( 2 1 ) 其中，p 为极化强度矢量，盯是应力二阶张量，d 是反映晶体压电性质的压电 应变常数张量，是三阶张量，单位是c n 。 6 压电材料平面问题的虚边界元解往 iii v 一- v - 一十- 黝 忖+ 个一个+ + 侮1 f i g 2 i d i e c tp i e z o e l e c t r i ce f f e c t 国2 2 逆压电效应示意图 i ：i g ，2 2 i n d i r e c tp i e z o e l e c t r i ce f f e c t 与正压电效应过程相反，在电场作用下，电场会引起压电晶体内部正负电 荷中心产生相对位移，导致晶体发生形变，这种效应称为逆压电效应( 如图2 2 ) 。 当电场不是很强时，应变与外屯场强度呈线性关系，但联系应变张量与电场 强度矢量e 的压电常数依然是压电应变常数张量d ，即 o = d 1 e ( 2 2 ) 注意，上标t 表示转置。 或 一一一垦皇盟型! 耍塑墨塑壁望墨垂塑鲨 2 1 2 压电体的宏观热力学框架 对压电体宏观热力学理论的全面论述可参考g r i n g l a y ( 1 9 7 0 ) 3 6 1 的专著。 压电体的力电耦合有2 种机制构成：( 1 ) 跨越临界点的电畴翻转过程，这时电致 变形与极化向量的符号无关，是后者的偶函数；( 2 ) 不跨越临界点的离子连续移 动过程，这时电致变形与极化向量近似呈线性关系，称为线性压电关系。 关于绝热过程的线性压电体的压电方程详细的热力学推导过程可参看附录 a 7 1 1 37 1 。以后在不加说明的情况下，讨论的均是线性压电材料。 2 1 3 压电效应与对称性 表示压电体性能的材料常数，不仅受热力学关系确定的对称性的制约，而 且还要受到晶体所属点群对称性的影响 2 7 1 。 比如，第二类线性压电方程 式中，f j ，k ：k l ，2 ，3r 材料常数n - - g r n 电应力常数张量的分量，岛为四盼 压电体闭路弹性刚度常数张量的分量，兹为二阶夹持介电常数张量的分量，分 别青3 j 、3 4 、3 2 个分量。考虑到热力学和晶体所属点群的对称性后，独立的材 料常数数目会减少。 热力学关系决定的对称性约束使得压电常数张量的独立分量数减至l8 个 弹陛常数张量的分量减至2 1 个；介电常数减至6 个独立分量。 如果再考虑晶体对称性，那么独立分量的个数会进步减少。根据n e u m m 一 原理，压电常数的对称性应包括晶体所属点群的对称性。属于不同点群的战俘 所对应的压电常数张量将有不同的形式和独立分量个数。点群对称性越高，压 电常数张量独立分量的个数就越少。 由于压电效应是晶体在机械力或电场作用下发生形变，引起带电粒子的相 对位移( 偏离平衡位置) ，从而使得晶体的总电矩发生改变而造成的，所以具 有对称中心的晶体永远不可能具有压电性，这种晶体正负电荷的重心之间不会 困形变而发生不对称的相对位移，也即不能使之产生极化，总电矩永远为零。 在三斜、单斜、正交、三角、四方、六方、立方7 个b r a v a i s 晶系的全部 3 2 种点群中有1 2 种点群具有对称中心或准对称中心，所以有压电效应的点群 有2 0 种。各种不同点群的压电晶体的材料常数张量的具体形式可以参看文献 f 2 7 。 弛张 一 十 籼 i i 吩q 压电材料平面问题的虚边界元解法 常见的压电陶瓷有横观各向同性压电陶瓷( 属6 r a m 晶系) 和正交各向异性 压电陶瓷( 属2 m m 晶系) 两种，尤以前者使用最广。横观各向同性压电材料 有1 0 个独立的材料常数，其中弹性常数5 个，压电常数3 个，介电常数2 个。 正交各向异性压电材料有1 7 个独立的材料常数，其中弹性常数9 个，压电常 数5 个，介电常数3 个。 在以后的章节中，我们主要以6 m m 晶系的横观各向同性压电材料为研究对 象。 2 1 4 压电体的基本类型 压电体可以是革晶体、多晶体( 多以压电陶瓷的形式出现) 或菲晶体( 例 如聚合物) 。在金属、半导体、铁磁体和生物体( 例如骨骼和皮肤) 中也存在 压电效应。皮肤的感觉、手指的触觉，均与压电效应有关。力、电和化学反应 的联合效应是生物物理的重要内容。 目前，已知的压电材料有1 0 0 0 多种，实际应用中，将其分为压电晶体、 压电纤维、压电陶瓷和压电聚合物4 类，应用最多的是后两种材料。压电陶瓷 的典型代表是锆钛酸铅系列( p z t ) 和钾铌酸钠系列，其中p z t 是机敏材料和 机敏结构的主要选材之一。压电陶瓷具有较高的强度、刚度和良好的机电性， 且制造工艺成熟，价格便宜。压电聚合物的主要特点是压电性能稳定，可塑性 好，可以大面积制膜，以及声阻抗低，非常适合作为声学材料。应用最广泛的 是聚偏二氯乙烯( p v d f ) ，它是一种由c h 2 一c f 2 链段重复排列的长链高分子 聚合物，具有柔软、质轻透明等特征。c h 2 一c f 2 单体有很大的偶极矩，因此 重复排列的c h 2 一c f 2 一c h 2 一c f 2 c h 2 一c f 2 长链可形成离偶极矩的网状 聚合物，从而具有优良的压电特征。 2 2 压电材料的基本控制方程 用来描述压电材料的基本方程【2 7 i 【2 9 1 包括平衡方程、本构方程、m a x w e i i 方 程、几何方程和边界条件，下面就以工程中常用的矩阵形式分别描述它们a 实际中，具有横观各向同性的6 r a m 点群六角晶系线性压电材料，如p z t 一4 压电陶瓷等，在智能结构和m e m s 等结构中常用到，所以在这里详细介绍一 下这种点群的晶体对应的基本控制方程。 假设研究对象所占据的区域为y ，边界为厂。 由于这种点群的晶体具有横观各向同性，所以不妨假设以垂直于极化方向 的各向同陛面为x y 平面，以：轴作为极化轴。另外在本构方程的表示上t 为方便起见，把材料参数c ；，中的上标e 略去不写，但要注意这两种材料常数 都是闭路常数。 1 ) 平衡方程 2 ) 几何方程 压电材料平面问题的虚边界元解法 。甜 占= 一 四 d v 5 v2 _ + 洲 v s 一= 一 c z 伽o v 2 万+ 瓦 砌却 ，32 _ + _ 优 o va f b 2 瓦+ 面 d 口 d 芰 a 西 o y a 西 出 ( 21 2 ) ( 2 。13 a ) ( 2 。13 b ) 3 ) 本构方程： 若采用以应变和电场强度自变量的第二类本构方程，独立的材料参数仅有 1 0 个：c ，c ：，q ，c 3 ，c 4 。，q ，p 3 3 ，e 3 ，前。，筏，具体形式为 = = = 元 正 正 乃 + + + = 坠出堡出坠如旦加 鱼砂堡砂生砂堡砂 溉一西百眈一缸以一打 t b 疋 0 压电材料平面问题的虚边界元解法 + 俺 髟 ( 2 1 4 a ) l 丘j 删 式中c 6 6 ：昙h ，一q ：) ； z 实际中，还经常用到以应力和电场强度为自变量的第一类本构方程，其中 独立的材料参数也有 刚耋 妻墨1垂+f喜喜毒11差 + 暖 具体形式为： ( 2 15 a 利用矩阵运算，可以得到这两类本构方程材料参数之间的换算关系 q 1 c 3 3 一 s 1 12 瓦再面嘉i 意丽 一( q 2 c 3 3 一吒j s 1 22 百孓瓦蠢i 荔而 屯o o o 0 o o o 0 o o 0 o 0 t 0 k b 吖iiiiiiiiii儿 0 o o o 0 o o o o q o 0 o o 钆o o 钆o 0 o 钆o o o 钆o o 0 q 哆吐o 勺 0 筲0 暂0 o t q t ，f1，、+，【 们副 0 oo 0 0 o 0 o o o 屯 、0fl，；，i，l，旧p 1 o o o 钆o o m 钆o o 0 嘞o o o 如o o o t q e k 强 、，l，j t q t v i i n i 儿 0 o 碍 o 巧o 吸乃以。强n 明l副 九o oo 九o 0 o 也 o o 毛 压电材料平面问题的虚边界元解法 或者 乩 = l 4 4 d ! ：鱼 吐，：型霉善鱼一 c i i c 3 3 2 c 二+ c 1 2 c 3 3 氏：二三竖譬卑土鱼虹 c i f 巳3 2 十c i ：巳3 巧= 西十譬 l 4 4 咒+ 虻丛c t i c 3 3 兰舻c 1 2 c 3 3一z c + 2 石f 磊s i ll s 3 3 磊- - s i ：3 五嚣 钆2 西f 磊- - 3 i 1 2 s 3 磊3 + i s 2 3 蕊i c ，2 磊i 磊- - s 1 3 i i 2 s 3 3】屯3 2 丑j + 丑 ，一 最t + 墨二 2 磊# 筲2 s 6 嚣s i 一2 s 3 31 嘞一 十 1 2 童一 一q q = = s f 上 i i ，a f 压电材料平面问题的虚边界元解法 c j j = 2 4 4 2 _ = 意赣 = 导 秘焉一型嘴爱蕊孚垃 4 ) 边界条件： 力学边界条件： 电学边界条件 “。= z f j0 1 3 o n = l l o n r 【 = o i l 1 - , d 。n i = - - g o o i l f 注意：fu = u = 厂 2 3 压电材料平面问题的基本理论 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 18 ) ( 2 1 9 ) 对二维平面问题，按照s o s a 和c a s t r o 的理论，如果我们选择工一；面为研究 平面，则上节中的三维方程就退化为： 一 i l p 压电材料平面问题的虚边界元解法 1 ) 平衡方程 2 ) 几何方程： d 孔 f 一= 一 e 一：一丝 靠 ra o 0 同时，由几阿方程还可得到由应变和电场强度表示的变形协调方程 ( 2 2 0 ) ( a ) 若采用第二类本构方程，则对平面应变问题有占。= 2 s ，= 0 r e y 20 ， 很容易从三维本构方程中得到： 妻 = 若c 孕t 3 曼 曩 一 曼若 置 c z 。z 。a ， 蹦耋曼e 15 1 孙o c 雌陶 暇z s e ， 但此时要注意，虽然s ，= 0 ，但q = c 1 2 f + c i ，毛- e 3 丘不一定等于零a 对平面应力问题，盯，= 盯，= 仃，= 0 ，d ，= o ，我们也很容易从三维本构方 程中得到相关的方程，但同时发现只要在平面应变的本构方程中，依次用： = 。 = ： ，j d + + i i 一西啦一茛移一出帆一融眈一缸啦百 粥0 业( 毽却蔫百 t k 丝：| i 争挚争争 压电材料平面问题的虚边界元解法 c l l c 1 2 2 c l i 代替c i l ；c 1 3 一c 2 q 3 c l l 代替c i3 ：c 3 3 一q 3 2 c l l 代替c 3 3 ：c “不变 e 3 i c i 2 e 3 【c l l 代替e e 一c 1 3 e 3 l c “代替e 3 3 ；e 1 5 不变 五十9 3 12 c i l 代替鬈j ；首i 不变； 也可以得到平面应力问题的本构方程。 ( b ) 若采用第一类本构方程，对平面应力问题，仃。= 盯。= 盯，= 0 ，d ，= 0 ， 巨 = 菩$ 13 曼 妻 + 曼罨刁 参 c ! 上。a ， 置 = 童童，o ； + 繁曼 乏 c z z 。e ， 但此时也要注意，虽然仃，= 0 ，但s ，：5 1 2 旷。+ s 1 3 9 r ：或i e ：不一定等于零。 对平面应变问题，5 ，= 。= s 。= 0 ，乞= 0 ，此时和第二类本构方程中的替 换类似，我们也可以在平面应力问题的本构方程中通过一系列的参数替换得到 j 。一当代替& ，；丑：一，堑垫代替 。：如一导代替岛：s 。不变； 。 岛1,stl 丑1 小垃s i i 代替幻好等代替如4 s 不变： 蜀不变；磊皇s 置1 1 代替码； 3 ) 边界条件： 卜2 至在 【：= “： 。 在厂 ( 2 2 5 ) r 2 2 6 ) 一，一l f 2 门 砟 k 吒 + + b 以 吐o ，、l 一曼皇望型兰堕塑望堕塞垫墨垂坚鲨 声= 在c d ：_ + d ：= 一棚在 ( 2 2 7 ) f 2 2 8 ) 为了以后表述方短，特引入以下表示符号：广义位移分量“( f _ l ，2 ，3 ) 和广义 应力分量o - , ( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) ，它们分别代表“，w ，庐和吒，o z ，k ，见，破，以后用到时不 再一一声明。 2 4 压电材料平面问题的g r e e n 函数解 为了下文虚边界元解法的需要，在此给出横观各向同性压电材料平面问题 的基本解或g r e e n 函数解的具体表达式。其中位移和电势部分由文献f 1 1 1 给出， 应力和电位移部分可以利用基本控制方程自行推导出来。 假设在压电材料无限平面域内的源点( 孝，7 7 ) 处分别作用有x 方向和= 方向单 位集中力和单位点电荷，那么，对平面应变问题，对应于材料的特征根s ，( i = 1 , 2 ，3 j 互不相等情形，在任意场点( ，z ) 处产生的位移、电势和应力、电位移的基本解 表达式分别为： 2 4 1 位移和电势基本鳃的表达式 西= 志喜吼川t n 。 伽志妻慨3 , - - 2 a r c t g 驰x - 吲。： ：。) ：i l ；i 丽1 吾3 如，删s 而x - - 高f “：t 。击酗3 , j ) j a t c t g s , 卜( _ - 2 l - - 孝, 7 ) 。 “：= i 洒i 若3 碱伊l n 。 ( 2 3 0 ) 毪，= 丽t 丢3 喇1 ：邝l i l 。 垦皇整垫兰亘塑望箜壁望墨垂堑堡 3 1 。 u 3 2 = g ，l , j ) t a r c t g x 。- 一g 而 g 。爿2 l n o “；3 一志荟 - 4 ) 3 i n 。 2 4 2 应力和电位移基本解的表达式 ( 2 3 1 ) 把上述位移和电势基本解代入压电材料平面问题的基本控制方程中可以得 到对应的应力和电位移的表示式： 盯_ = 上z d e l1 主j 。 ( c 1 1 s ) i - - c i ? t i g j - e 3 ：g j l s j ) 屯，等】 盯一志套c ( c 1 1 s j 2q - c 1 3 z s j + e 3 1 9 j , _ s j ) 屯，：罕， 盯。一一志砉t ( c t t s 3 + c l 3 d 1 3 s , + e 3 1 9 j 3 s j ) 屯，竿， 盯+ ：，= 上z d e l1 争j ， ( c l 、s j t - d s j - e - , g j l s j ) t i ! 朋7 x - 掌】 盯。z = 丽i 驴3 ：坞砖! s ，蝎函：印如埘马 口。：一志乳焉一舭鸲西 站用丛产， = 志磐 。m ”西洲：埘等马 玎3 1 = 蕊1 善3 ( - - c 4 4 s j 2 s 1 t c “t 2 + e ta 9 1 2 ) t ；z 小等j 盯一一志争q s f l s l + c 4 4 和剥岛，争 ( 2 3 = - 3 ) ( 2 3 4 ) ，掣川 ，一一。一一 压电材料平面问题的虚边界元解法 盯。- ；赤喜 ( e j s s j ：s j + e 15 铲训屯，t 竿 盯a ：= 面1j 蕃3 s p 小船一等】 3 5 ) 盯。一元杀喜，峭嗨铲船_ 等 仃旷面杀* 一t 刮矿。孙啪如川等】 仃，! = 志喜【( e 3 l s j 2 + e 3 3 啦，喝配啪稚1 舻坐】 矿旷一丽1 擎3d 3 t s j 3 + e 3 3 卉吨跏s b ，盟】 其中，“：( = 1 ，2 ，3 ；i = l ，2 ，3 ) 和戎( 七= l ，2 ，3 ；i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 分别是当在源点( f ，叩) 沿七方向 ( k ：1 代表x 方向，而k = 2 代表z 方向) 作用单位集中力私单位点电荷( = 3 ) 封 在任意场点( x ，：) 处的i ( 江l ，2 ) 方向产生的位移、电势( f = 3 ) 和应力( f = 1 , 2 ，3 ) 、电 位移t i = 4 , 5 ) 。 在上丽的公式中，o = o 一善) 2 + s ，2 0 一_ ) 2 ：而压电材料的特征根( 净l ，2 3 ) 是6 次常系数代数方程c i s6 一b s , 4 + c s t 2 一d = 0 的根；，略，g 。，0 分别是和材料 常数c 。c 】：， ，有关的参数，它们的具体计算表达式参阅文献【1 1 】附录。 2 4 3 关于基本解的几点说明 1 ) 由文献【1 1 附录中的参数之间的关系，可得到如下关系： 即 “五= “：，“三- = 一“， “五= 一“； 曼生鱼坚：! z ! d e l 2d e l 3 监：型玉 d e l ld e l 3鬻躲 压电材料平面问题的虚边界元解法 2 ) 当x 0 ，= = 0 时，各反正切函数前的系数之和为零，从而保证位移童芝 势在x 0 ，：= 0 的连续性。 比如： 3 5 ，! tl t ：) 2 = s 1 2 ，：! + j 2 1 t 1 2 + s 3 z r ：2 = l = s 1 2 ( p 2 j 3 2 一p 2 j 5 3 2 ) + s 2 2 ( 一p 3 2 s 1 2 + p 1 2 s 3 1 ) + s j 2 ( p 2 2 s 1 2 一p 1 2 j 2 2 ) 量0 333 同理，s j 3 f i ，；0 ，勘沁1 埘；0 ，g bs 0 j = lj = l j l 吼( 不妨幻。) 。东2 三，。孽一争b 1 说明反正切函孙c 喀言 在：= 0 处不连续，为保证位移和电势在x 0 ，= = 0 的连续性，各反正切函数前 的系数之和必须为零。 3 ) 将c 。换为。则对应正交各向异性压电材料。 4 ) 对平面应力问题的基本解，只需要在平面应变问题的基本解表达式中作 23 中的系数替换即可。 压电材料平面问题的虚边界元解法 3 压电体平面问题的虚边界配点解法 本章采用在虚边界上作用广义点荷载的方法，详细介绍了虚边界配点解法 的基本原理和求解过程，并且推导了相应的计算公式。 3 1 虚边界元方法的基本原理 设所研究的区域为y ，其边界为厂。设想v 被嵌入一个无限大的区域中。 在厂外的无限区域中有一个延拓边界厂。，称之为虚边界厂。j r 所属的区域为 矿。，且有v c v 。如果沿虚边界厂作用有虚拟荷载，将虚拟荷载的基本解及区 域v 内已知荷载的基本解叠加，并令其叠加解对真实边界所产生的物理量和真 实的边界条件一致，那么就可以由此求解出该虚拟荷载。显然，该叠加解满足 了区域v 内的所有控制方程和边界，上的边界条件，即为原问题的解。从而可 以求出域p 及边界，上任意点处的相应物理量值。由于虚边界，上的荷载实际 上是不存在的，是虚拟( v i r t u a l ) 的，故以上方法总称之为虚边界元方法。 根据虚边界上作用的是集中点荷载还是分布荷载，可以把虚边界元方法分 为虚边界配点方法和虚边晃单积分方法。进一步，根据实边界上离散点和虚边 界上的配点或节点数是否相等，可以分为等额配点( 或单积分) 法和最小二乘 配点( 或单积分) 法。虚边界元算法的结构框图大致如下： 图3 1 虚边界元箕法框图 f i g 3 1 c a t e g o r yo fv i m m lb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d 压电材料平面问题的虚边界无解涪 虚边界元算法的理论基础在于区域v 的解析延拓和线性系统的叠加原理。 孙焕纯等在文献【2 6 】中通过对虚边界元法的分析，对区域的解析延拓给出了相 应的理论证明，同时也绘出了虚边界和实边乒之间的最小距离的选取公式，而 最大距离没有限制，将距离与边界的划分紧密的联系起来，从而在理论上解决 了虚边界的位置选取问题。 但从实际计算的角度看到，由于计算机的精度限制，虚边界和实边赛之间 的距离不能过小。过小的距离容易导致系数阵的病态，影响计算精度。其实当 虚边界向实边界逼近时，虚边界元法在某种意义就向传统的边界元法逼近，即 有积分奇异性问题，其误差较大也是正常的 2 6 1 。 同样，从实际计算的角度来看，过大的距离也不合适。由于基本解一般都 是l ，nl n r 之类的奇异形式，其值随两点之间的距离的增大而减小，太大的距 离，容易导致影响系数阵的系数过小，也不利予计算，影响精度 2 6 j 。 文献f 2 6 1 根据计算经验数据给出了虚边界和实边界之间距离的适用范围： 对包络实体的外侧边界问题，虚边界与实边界的相似比一般取1 2 3 5 ；而对 实体孔洞的内侧边界问题，相似比一般取0 6 o 8 5 ，较为合适。 3 2 压电材料平面问题的虚边界等额配点解法 对横观各向同性线性压电材料，假设取研究坐标面为x z 平面，z 轴为压 电材料极化轴，压电弹洼体的区域为矿，为y 的边界；体积力和自由电荷密 度分别为正，正和p ，为了表示方便，引入广义体积力f = m ，a ，石】= 阢，正，p 】a 首先将域 7 延拓至无限域，在域矿外取一虚边界厂，如图3 2 所示。然后 将真实边界f 和虚边界厂分别离散，各选取个点j 口，以( k = 1 , 2 ，) 。同时 假定在虚边界的每个离散点上作用有广义荷载组合( 舔，敏2 ，鲰。) = t , 2 ，n ) ，其 中巩。吼，口。分别表示在第k 点j 。作用的x 方向、z 方向荷载大小以及该点作用 的点电荷大小，均为待求未知量。 ! ! ! 塑垫! 亘囹整盟塞望墨垂坚堕 z 图3 2 实边界和虚边界的等额配点离散 f 适3 ，2 c o l l a t i o nd i s c r e t i z a t i o no fr e a lb o u n d a r ya n dv i r t u a lb o u n d a r y 另外，假设在域矿内有五个点k ( 七= 1 ，1 1 2 k ) ，在每个点处分别作用有x ，= 向 的集中力和点电荷以，吨：以。，均为已知量。 根据第二章给出的压电材料平面问题的基本解和线性叠加原理，我们就可 以得出域矿内及边界上任意点z 处的广义位移和广义应力为： 型 3k3 q ) 2 莓善“：( 置以) 善乏“：( 墨瓦) + 扛：以x ) l ( t ) d v ，【，；tt = l ，= lr 3f3 仃，( ) = e 。，e ，o ；( x ，z 耻) + 善善盯；( 肖，工。) d 4 + p ；( r ，z ) 乃( ，) d 矿 。1 ，= l1 ，- lf 其中，( 3 i ) 和( 3 2 ) 两式中右端第三项的积分的计算和b e m 方法中的处理j i 全 相同，可以采用在域内划分三角形单元的方式计算，也可以转化为