（基础数学专业论文）几个结合方案的构作.pdf

摘要 设( x ， r i 。：。) 是一个有d 个结合类的结合方案，从( x ，i r 。；。) 出发，理 论上构作了2 个类数为d 的方案，计算了该方案的全部参数，并给出了用它构 作的实例，设a s g ( 2 0 , c ) 是兄上的2 社维仿射辛空间，利用它中面的一部分， 在1 s 口一1 和1 s = 1 j 时，分别构作了类数为4 和2 的结合方案，并计算了 其参数最后，利用任一给定n 元集合的所有m 元子集构作了一个具有多个结 合类的结合方案 关审峒：结合方案；结合类；仿射辛空间；仿射辛群；面 a b s t r a c t a b s t r a c t l e t ( x ， r 。 e d ) i s a na s s o c i a t i o ns c h e m ew i t hda s s o c i a t e c l a s s e s ，t w o t h e o r e t i c a lm e t h e d sf o rc o n s t r u c t i n gn e wa s s o c i a t i o ns c h e m ew i t hdc l a s s e sf r o m 皤， r ij o g s d ) ，a n da l lp a r a m e t e r sa l ec a l c u l a t e dw i c ha b o v es c h e m e s ，e x a m p l e sa r e g i v e i la c c o r d i n g l y l e ta s g ( 2 0 ，c ) i sa2 0 d i m e n s i o n a la f f i n e s y m p l e c t i cs p a c e o v e r ，t a k i n gt h es e to fs o m ef l a t si na s g ( 2 0 ，吒) a st h es e to f 缸e a t m e n t s ，w e c o n s t r u c ta s s o c i a t i o ns c h e m e so fc l a s s4o r2w h e nl j 兰”1o r1 兰s = 社a n d c o m p u t et h e i rp a r a m e t e r s s e c o n d l y , w i t ha 1 1me l e m e n t ss u b s e t sg i v e nb yaf i x e dn e l e m e n t ss e t ，a na s s o c i a t i o ns c h e m ew i t hs e v e r a la s s o c i a t ec l a s s e si sc o n s t r u c t e d k e yw o r d s ：a s s o c i a t i o ns c h e m e ；a s s o c i a t ec l a s s e ；a f f m e - s y m p l e c t i cs p a c e ； a f f m e s y m p l e c t i cg r o u p ；f l a t i i 河北大学硕士学位论文 1 引言 b o s e n a i r ( 参见文献【1 】) 引进了部分平衡不完全区组( 简记为p b i b ) 设计，它是 平衡不完全区组( 简记为b i b ) 设计的推广b o s e s h i m a m o t o ( 参见文献 2 ) 又引进 了结合方案，它确定了处理间的特定关系，成为构造p b i b 设计的前提和基础 b a n n a i i t o ( 参见文献【3 】) 推广了结合方案的概念( 文 2 】的结合方案仅指对称方案) ， 给出了结合方案更一般的定义半个世纪以来，研究工作主要是对两个结合类的 结合方案进行的近年来，国际上已开始对多个结合类的结合方案的研究( 参见 文献【4 l o 】及【2 1 3 1 】) 但主要是以选取不同的处理集为出发点进行的，特别 是以有限域上某类矩阵及典型群几何学中的某型子空间作处理集构造结合方案 的成果已相当丰富( 参见文献【4 l o 及 2 1 3 1 】) 而从给定结合方案构造新方案 的研究( 参见文献【1 l 】) 和以仿射几何，仿射辛几何，仿射酉几何，仿射正交几何及 仿射伪辛几何的某类面作处理构造结合方案的研究( 参见文献【1 2 】) 则未引起学者 们足够的重视，其研究成果尚不丰富本文将给出两种方法，从d 个结合类的结 合方案构造d 结合类的结合方案另外，还将构造一些多个结合类的结合方案 2 结合方案和仿射辛空间 设x 是一个v 元集，x = f _ ，z 2 ，x v r o ，r l ，r d 是x 上的二元关系，称 组态( x ， r 。；。) 是x 上的一个有d 个类的结合方案，如果 1 ) r o = ( 工，力k x ) ； 2 ) x x x = r o u 足u u 嘞，置n r ，= ，i j ； 3 ) 对任意r 。( f = 0 , i ，d ) ，存在i 7 0 , i ，d ) ，使得 r 。，= ( j ，y ) i ( y ，x ) r f ； 4 ) 对任意i ，k ( 0 l ，1 ，d ) ，使得( z ，z ) r ，( z ，y ) r ，的z x 的个数是一 个与( 石，y ) er 。的选取无关的常数，记作聪 如果d 个类的结合方案还满足 5 ) p i ：= p ；， 则称它是可交换的结合方案，如果它还满足r i = 辟，则称它是对称的结合方案 下面总假定所说的结合方案是可交换的记n 。= 璎，称r i 的价礤称为相 交数i x l = v ，n 。，嘭，0 f ，工k d 称为结合方案的参数 显然n o = 1 ，m = n n + 距i + + n d = v 对于嘭有 ，量：= 占弦= 0 ：；：乏 2 ) 磁= 以： 3 ) 带= 啦西； 4 ) p 。k = 喵； 5 ) 嘭= n i ： 几个结台方案的构作 6 ) 嘭= h ，噬= 豫； 7 ) 学艺= 瓒呓 沿用文献 1 3 1 ， 1 4 1 的记号设t 是一个含岛个元素的有限域，其中口是一个 素数的幂用露2 们表示只上的2 维行向量空间令 x 砧0 0 ) 疋上满足t k t 。= k 的2 v 2 v 矩阵的集合关于矩阵的乘法形成一个群，叫做e 上关于置 2 v 阶辛群，记作印：。( ) 辛群印：。( ) 在巧2 幻上有一个自然的作 用： 巧2 印2 。( ) _ 2 ”， ( ( ，z 2 ，x 2 。) ，丁) p ( x 2 ，2 c 2 。) 丁 带有上述作用的向量空间巧2 砷l f 做兄上的2 v 维辛空间 设p 是巧2 计的一个m 维子空间用同一个符号p 表示其行向量形成p 的一 个基的任何m x 2 v 矩阵并且称矩阵p 是子空间p 的一个矩阵表示显然， p k p 7 是一个交错矩阵。如果p k p 7 的秩是2 s 。那么p 叫做一个( 辨，s ) 型子空间， 把辛空间巧2 哪中的向量称为点巧2 ”关于其( m ，s ) 型子空间的陪集称作仿射 ( m ，s ) 面，简称( m ，s ) 面或面因此，一个( m ，s ) 面f 可以写成f = v + 互，其中y 是巧2 们的一个( m ，s ) 型子空间，算e 巧2 设= v i + 石，f 2 = k + 戈：是两个面， 如果k + k + x 2 或吒+ 并：k + 而，则称e 与疋相关联把具有( 卅，j ) 面和 上面规定的关联关系的点集巧2 称为上的2 v 维仿射辛空间，记作 a s g ( 2 ) 。艺 ( m ，s ) 面的维数规定为m 设e = k + _ ，墨= 屹+ 工：是a s g ( 2 v ，) 的两个面，其中k 是巧的子空 同，置ef 。q 2 ”) ，i = 1 , 2 如果k 砭或砭k ，则称磊与忍平行，如果曩与砭既 不相交又不平行，则称e 与吒相斜用en 疋表示由曩与e 的公共点作成的点 集，称为与巴的交用eu 五表示既包含e 又包含e 的极小面，称为互与，2 的联 全体形如 f ：? 1 z 蹦酗v 的矩阵的集合对于矩阵的乘法形成一个群，叫做巴上的2 v 阶仿射辛群，记作 印一) 由矩阵f ：1 定义的a s g ( 2 v , ) 上的变换 a s g ( 2 v ，) a s p 2 ，( ) - - a s g ( 2 v ，) t r 五，j ：，- ，x ：。工f ：? 卜e 葺，屯，善。，r + v 称为仿射辛变换对上述矩阵与其定义的仿射辛变换不加区别 2 河北大学硕士学位论文 3 从d 个结合类的结合方案构造i 个结合类的结合方案 设( x ， 尺。) 。) 是一个类数为d 的结合方案，并且具有参数 v ，n ，磷，1 l ， k d 将这个方案的每一个处理用由z 唯一确定的大小为订的集 合 x l 代替，并且把【z 】作处理集可构作一个类数为d 的结合方案( 【x 】， r ) 。丽) ， 具有参数可，西。，露，1 i ，j ，孑如果把【x 】作为处理集所构作方案的参数是与工 选取无关的常数，则有下面的定理1 定理1 对于满足上述条件的方案，取豆= l j z 作为处理集，对i ，箩夏， 主x 存在置y ex ，使得i 【x l ，歹【y 1 ，并规定 ( i ，箩) r 。，虫口果i x = 【y 】，并且( 岩，罗) r i ，0 i d ， ( 旱，箩) 意j + ， 如果i x 】f y 】，并且( x ，y ) er ，1 曼i d ， 那么得到一个具有孑= 孑+ d 个结合类的结合方案( 岩， 豆】。葑) ，参数为 = v - t 癣= 瓦，1 i d ；羁= 谢f ，d + 1 j 矗；譬= 只? ，1 s i ，j ，k d ； 只? = 0 ，1 s k s d ，d 十1 s i ，d ，i j 。；( - - k = 动。- g ，1 s k d ，d + 1 i d ； 彤= 0 , 1 f ，j 墨d ，d + 1 k d ；碍= 矿k - d 卜互，d + l f ，j ，k d 其余参数由它们之问的关系式求出 证1 ) 是显然的 2 ) 先证耍耍= 蠢0u 豆u u 磊显然蕊u r 1u u 秀豆耍下面证明 x 交j i 。u j i ，u u j i j 对任意( 夏，萝) 爱趸，存在x ，y x ，使得芰 x l ， 歹【叫如果i x = 【) ，】，则存在o i 孑，使得( 舅，y ) e 豆；如果i x ) ，】，则存在 o j d 使得( 墨y ) 墨，进而知( 舅，歹) 氟，；因此g ，y ) e 元u 置u u 弓，这 表明戈戈磊u j i u u 爱j 下证：当o f j s 孑时，是n 爱，；如果毒n 蠢，妒，则存在 ( 章，箩) 是n i i ，设舅i x ，歹【) 】，这里工，y x 如果i x = 【y ，则由结合关系 的规定知i = j ；如果i x 【y 】，则由结合关系的规定知，( 工，) ，) e j n r f i ，进而 l 一孑= ，一i ，于是江t 因此得证 3 ) 对任意五。( f = 0 1 ，孑) ，任取( i ，歹) e 豆，存在x ，y x ，使得舅【j 】， 歹e 【纠，i x = 【叫由于( 量，y ) e 置当且仅当 ，歹) 冠，因此存在i e o , 1 ，孑) ， 使得爱。，= 夏，= ( 萝，i m ( 置，萝) 瓦= 趸) 对任意蠢i ( f = 孑+ l ，石) ，任取 ，歹) 蜀，存在j ，y x ，使得i j 】，萝【) t 】，m y 】，( 工，y ) r 。一j 由于 ( i ，箩) 是当且仅当) ，) r ；。，并且存在( f 一孑) l ，2 ，d ，使得 r “_ j r = ( y ，x ) l ( x ，) ，) er ，i ) ， 因此 存在 f 孑+ l ，孑) ， 使得 置，= ( y ，蚓( 五y ) e 罨) 4 ) 只证明孑+ 1 f ，j ，k 孑的情形，其他情形的证明是类似的对任意 几个结合方案的构作 ( 芰，y ) e 曩，存在工，y e x ，使得舅捌，萝 ) ，】， j 】 ) 】，( 工，y ) r k i ，那么满 足( z ，亍) j i 。及( 乏，y ) e 蠢，的z 爱的个数是满足( 石，z ) r ；一i ，( z ，y ) er ，一j 的 z x 的个数的歹倍，其中：，因此髫= 噼阳 下面给出应用定理1 构作结合方案的例子 引理1 设u 2 选取c 上2 v 维辛几何中1 维子空间全体作为处理集，记 作x 对p ，a x 。规定 ( p ，q ) ，如果p = q ； ( p ，a ) r ， 如果p + q 是( 2 o ) 型子空间； ( p ，q ) r 。，如果p + q 是( 2 ，1 ) 型子空间； 则得到一个具有2 个结合类的结合方案，部分参数为 v ：盟，1 ：q 2 v - i - - q ，e j ：q 2 v - 2 - - 1 - 2 , p 曙：q 2 0 - 2 - - 1 q 一1 q 一1 一 q l q l 引理2 设u 2 ，p 是辛空间巧2 们的一个固定的l 维子空间再设e 是 a s g ( 2 v ，e ) 中的与p 平行的直线的集合对于e 中直线p + 五p + y ，规定e 上 二元关系瓦，瓦，砭分别为 ( p + z ，p 十y ) e 瓦，如果p + 工= p + y ； ( p + 工，p 十y ) 蜀，如果( p + 曲u ( p + y ) 是( 2 ，o ) 面； ( p + x ，p + y ) er 2 ，如果( p + z ) u ( 尸+ y ) 是( 2 ，1 ) 面； 则得到一个具有2 个结合类的结合方案，部分参数为 矿= q 2 0 - 1 1 = q 2 ”。1 一l ，f - - 磕1 = ( g 一1 ) q 2 ( o - 1 ) f - - t 2 = ( 口一2 ) 目2 ”一” 把引理1 中每一处理( 1 维予空间) p 用由p 唯一确定的大小为鼋2 ”1 的集合 【p + 工ix e 巧2 们) 代替后，由引理2 知把 p + x lz 巧2 计 作为处理集可构作2 个结合类的结合方案，并且这个方案的参数与p 的选取无关，由此得定理2 定理2 设廿2 ，取a s g ( 2 v ，e ) 中全体直线作为处理集童，对于爱中直线 p + 五q + y ，规定耍上二元关系是( o i 4 ) 为 ( p + z ，q 十y ) r o ，如果j p + x = q + y ； ( p + 工，q + y ) er l ，如果p = q ，( p + 工) u ( q + y ) 是( 2 0 ) 面； ( p + x ，q + ) ) 兄，如果p = q ，( p + z ) u ( q + ) ) 是( 2 ，1 ) 面； p + 工，q + y ) e 憨， 如果p + q 是( 2 ，o ) 型子空间； ( p + x , o + y ) 曩，如果p + q 是( 2 ，1 ) 型子空间； 则得到一个4 个结合类的结合方案( 文，( 豆 。) ，其参数由引理l ，引理2 和定理 1 得到 在构作结合方案时，如果已经证明了能构成结合方案，但很难计算出参数， 可以考虑用原处理集的子集作为处理集来构作结合方案，以便于参数的计算例 如引理2 中的结合方案便属于这种情况，关于更一般的结论，有下面的定理3 定理3 设伍， 置 。) 是有d 个结合类的结合方案，童是x 的一个非空子 集再设r 6 = i ( x ，工) k i ) 若 r 。，r 2 ，吃) 有j 个元，这里1 孑5 d ，而 4 河北大学硕士学位论文 ( i 互。孑 e ( 1 ，2 ，d ，使得豆x x r = r 6 u r t u u r j ，那么( 豆 吩 。蚶) 是一 个有j 个类的结合方案 证1 ) ，2 ) 是显然的 3 ) 显然r = 昧对任意r 7 ( = i ，芝，孑) ，存在， 1 ，2 ，d ，使得 r 7 = r ，进而存在 1 ，2 ，d ，使r7 ，= ( 工，y ) i ( y ，工) er j ) ，因为r f x x x ， 所以r ，重x x ，因此，r ，岩耍，这说明露，f 碍，墨，心 ，即存在 i 【i ，至，孑) ，使得r ，= r 。 4 ) 由皤，( 曩 。；。) 是结合方案可知，对任意f ，7 ，f 6 ，i ，i ，使得 ( x ，z ) r f 且( z ，y ) r 7 的z x 的个数是与( x ，y ) r f 的选取无关的常数，它是 礤再由r r ，r 7 耍文可知，满足o ，z ) r r r ( z ，y ) e r 7 的每个z 一定是耍中 的元。因此得证 4 利用有限仿射辛空间中的面构作结合方案 现在利用a s g ( 2 v ，乞) 的( 2 s 一1 ，s 1 ) 面的一部分构作结合方案，首先给出引 理3 引理3 设e = k + x 1 ，最= e + 也是a s g ( 2 v ，c ) 的两个面，那么 1 ) n r 驴当且仅当x 2 一z ，k + 屹； 2 ) 当e n ，2 妒时，e n 吒也是一个面，并且e n 如= ( k n k ) + ，这里 国e nf 2 ； 3 ) eu r = ( k + ) 十 + x i ，因此有维数公式 州桃，= 。蒿篙瑞黜揣 利用a 印：。( ) 在a s g ( 2 v ，e ) 中的面的集合上的可迁性，可得定理4 定理4 设1 j u 一1 ，p 是辛空间2 山中的一个取定的( 2 s 一2 ，j 一1 ) 型子空 间，q 是一个包含p 的固定的( 2 s ，s ) 型子空间取a s g ( 2 v ，c ) 中全体与p 和q 都平行的( 2 s l ，j 一1 ) 面作为处理集，记作e 对于e x e 中元素( e ，e ) ，记 e = k + x 1 ，f 2 = y 2 + j ：，其中k ，e 是q 中包含p 的( 2 s 一1 ，j 一1 ) 型子空间，而 x 】，屯e 埘，规定e 上的二元关系r ( 0 f 4 ) 为 ( e ，e ) r ， 如果e = ，2 ， ( 互，f 2 ) 墨， 如果墨与f 2 平行且墨u 五是( 2 s ，s 一1 ) 面， ( e ，吒) r ：， 如果e 是与f 2 平行且曩u 疋是( 2 s ，s ) 面， ( e ，r ) r 3 ，如果e 与e 相交， ( 量，疋) er 4 ，如果e 与疋相斜 那么，得到一个具有4 个结合类的结合方案 证显然a 印：。( ) 在e 上可迁下证a 印2 。( ) 在置( 1 i 4 ) 上可迁 如果m + 工l ，也+ z 2 ) 髓且+ y l ，+ y 2 ) r 4 ，则k + k = w l + = q ， 几个结合方案的构作 酏铘岍删讹= 三婀设脚7 = 协2 ( 。3 - 1 ) 再 啡= 咻 令 = ( 小= 阱贿 川扎 矿y 2 五儿! s2 0 v , i c p l 7v 1 k p 2 z p i k v 0 j p 2 k v r一，0 v 2 西jv z k p l rv 2 肼乒 ( & 一t ) 勋i0 。- - x 1 ) 磁7 ( x 2 一 ) 肼乒 v l k v r p , k v ； b 脚； 0 ( 工2 一五) 髓，； n = v 。芷譬e ，y 2 = v 1 k p i t 最，一= v ：五譬e ， 形= 9 2 弛7 己，“= v + 扎一n ，v ；= v 。+ 蚝一硝 则存在n 巧，使 刘引 钏芝j 。 工z 一五jl 工z j oo o0 0 一， 一1o 【a ( x ：一t ) 胁， 取 o ， 0 0 l o o o v j k ( x 2 - x 1 ) 7 p 1 k ( x 2 一 ) 7 e 2 k ( x 2 一z 1 ) 7 v 2 k ( x 2 一z 1 ) 7 0 a v l k ( x 2 x t ) 7 p i k ( x 2 一五) 7 只足一) 7 v ：k ( x 2 一z i ) 7 ( 工2 一工1 ) k e 7 ( 工2 - x , ) k p 乒( 工2 一x 1 ) k v f 0 o ；l = a ( x 2 一葺) 勋；w ，= ( 屯一 ) 埘丑，口。= 以( j ：一) 叫r v 2 ， = ( x 2 一而) 置只7 b ，掌= ( a 2 + + 工2 ) 一( + 硝+ 而) ， 则应有 慝 6 0lo ，o 0 oo0 oo0 0 0o o o 一0 o o o o j 0， | | r 吖毋芝呓善 河北大学硕士学位论文 同样，若记 t = l ，k p ：p ，以= “。配7 p 2 ，西= u 2 趔置， = u 2 醒7p 2 ，“：= “，+ 疋一玩，“；= u ：+ 一， 屈= 6 ( ) t 2 一y 1 ) j r i ，r “：，所= ( y 2 一y i ) 埘岛，反：厶( y 2 一y 1 ) k “：7 “；， = ( y 2 一y 。) 弛7 1 2 ，开= ( 岛+ + y 2 ) 一( 屈+ + y 1 ) 这里6 巧，则有 00 o o 0一j 一1 o 0o 于是，由辛群的可迁性知，存在r s p ：。( c ) ，使 h ： e 只 ， “2 叩 o10 ，o 0 o0o o o0 o 0 0 即 k r ；w ，t = ，矽= 7 7 这时仿射辛变换 f t 0 1 【( 届+ 群+ y 1 ) 一( q + 彳+ x 1 ) t 1j 把k + = k + 啦+ 硝+ x 1 变成 v , t + ( q + e l ：+ 妒+ ( 屈+ 历+ m ) 一( q + + 薯归= w l + y l ， 把k + x ：变成w 2 + y 2 因此，a 印：。( e ) 在r 4 上可迁类似的方法可证明 a 印：。( l ) 在r j ( i = 1 , 2 ，3 ) 上都是可迁的又显然这个方案满足对称性，因此，上 述构作确实得到一个对称结合方案 下面计算这个结合方案的参数 v 是a s g ( 2 0 ，c ) 中与p 和q 都平行的( 2 s 一1 ，s 一1 ) 面的个数，于是 v = n ( 2 s - 2 ，s - 1 ；2 s - 1 ，5 1 ；2 s ) q 2 ”。h = q 2 ( o - s ) + l ( 日+ 1 ) ( 1 ) 结合方案的价由引理4 给出 引理4 n 1 = q 2 。一“- 1 ，玎2 = q 2 ( v - s ) ( 鼋一1 ) ，n 3 = 9 2 ，玎4 = q 2 ( 留2 。”一1 ) 证为了计算n ；时方便表述，不失一般性，选取 p = ( 7 0 。0 ， 。e ：1 ，q = f 7 0。00010 ，。0 甚 1 0 ， 扛一一l o，k s 一1u s + 1 占一1 ”一s + ljd s sd j 7 叫罡兄叩 妇毋巴，町 i i 、i，旷，ll， ，嘶毋芝虻善 塑堕宣查壅塑塑堡 一 再选取v = n ，是使 则是满足以，k + 曲玛的e 中面吃+ 并的个数 g ( 2 5 ，s 一1 ) 型子空间的e 中面u + 工的个数记 m h 耋暑0e 钟, k x r ) ： 肿7 = 仁稿 取法( q 2 一o q 2 “因此，n 1 = q 2 ”- 1 类似地，不难求得n 2 = q 2 ( v - s ) ( q - 1 ) n 。是使得k + y 2 ( 2 s ，s ) 型子空问且工k + 也的e 中面眨+ j 的个数，则 k + 屹= q ，进而可知托有取法n ( 2 s - 2 ，i 一1 ；2 s 一1 ，s - l ；2 s ) 一1 = q 对的每 一取法，由x k + y 2 = q 可得工有取法譬“，于是，l r l 3 = 9 2 n 。是使得k + 屹+ 是( 2 s + 1 ，s ) 型子空间的e 中面+ 工的个数由 y l + y 2 = q 可知y 2 有譬种取法对y 2 的每一取法，工是满足算正y l + y 2 = q 的向 量，因此工有取法q “一q “于是，n 。= g ( g ”一矿5 ) q 2 “= q 2 ( 窜2 1 1 ) 只：= q 2 似1 一2 ，哎= 譬2 扣1 ( g - d 。只：= 只：= 呓= 瑞= o 证p 和q 的选取如前取e = k = 【： 疋= k + e “，则( 最，如) r - 片 是e 中使得( e ，+ 工) r ；且( e ，+ z ) er ，的面屹+ 工的个数 砭是e 中使h + 和k + 是( 2 s ，s - 1 ) 型子空间的面k + j 的个 x - - a l e s “+ + i t 口+ d m + l 巳+ l + + t 1 2 。e 2 p 且x o e “的向量x 的个数故 曩= q 2 扣1 - 2 呓是使k + 和k + 是( 2 s ，s ) 型子空间的面v + j 的个数易 知，面k + x 的个数是j = a s + 1 8 州+ + 应，+ 口m ，+ 口啪+ | e v + 州+ + 席2 口的 向量石的个数，其中口。是c 中的非零元故呓= q 2 t v - s ) 国一1 ) 壤是满足k + = q 且工哦+ v o f 3 ( 以+ v o + e ；。) 的面k + x 的个数由 于( k + 屹) n “k + ) + t + ，) 当且仅当e s + ，h + k = q ，故由e s + 。芒q 知 8 、，i十 p 觚 河北大学硕士学位论文 由结合方案的规定和相交数的定义易知，呓= 只：= 呓= 0 引理6 吃= q z ( o - 5 ( g 一2 ) ，瑶= o ， 焉= q 2 证p 和q 的选取如前取曩= k = f ： 疋= k + e 。，则( e ，t ) 恐劈 l 1 是e 中使得( 曩，也+ 工) r 且( ，k + x ) r j 的面k + x 的个数 呓是e 中满足k + 和k + 是( 2 s ，5 ) 型子空间的( 2 s 一1 ，s 1 ) 面v + 工的个数容易知道这样的面k + x 的个数等于形如 x = a 5 “e j + l + + a u e u + a o + ，e + j + + 5 + i e j + l + + 口2 e 2 的向量工的个数，其中a 。0 , 1 故壤= q 2 如1 ( q 一2 ) 圪是e 中满足k + = q 且工( h + k ) n ( ( k + k ) + g 。) 的面+ 工的个 数由+ k = q 可知k 有取法n ( 2 s - 2 ，s - 1 ；2 s l ，j 一1 ；2 s ) 一l = q 再由 e 。q 可得，对k 的每一取法x 都有q 2 5 种取法于是，瑶= q 2 由结合方案的规定和相交数的定义易知黑= 0 引理7 或= q ( q 1 ) 证p 和q 选取如前取e = k = ( ： 易= k = ( 8 ；5i ，则( e ，r ) 也壤 是e 中使得k + k 和k + y 3 是( 2 s ，s ) 型子空间且x i e ( k + u ) n ( k + ) 的面 k + 石的个数 由 v x + 坞= + e = q可知e 有取法 n ( 2 s 一2 ，5 一i ；2 s 一1 ，s - - 1 ；2 s ) 一2 q 1 对k 的每一取法，工都有q 2 种取法 于是，聪= q 2 5 ( q 一1 ) 9 2 5 。= 霉( g 一1 ) 至此，证明了定理5 定理5 对定理4 给出的结合方案，其参数v 由( 1 ) 给出，参数n ，由引理4 给出，参数礤由引理5 一引理7 给出，其余参数由它们之间的关系式求得 定理6 设1 s = ，p 是辛空间2 吣中的一个取定的( 2 s 一2 ，s 1 ) 型子空间 取a s g ( 2 v ，c ) 中全体与p 平行的( 2 s - 1 ，s 一1 ) 面作为处理集，对两个处理，2 ， 规定 ( 曩，2 ) r ，如果e = 最， ( 五，) 墨，如果曩与平行， ( 点，2 ) er 。，如果e 与，2 相交 则得到一个具有2 个结合类的对称结合方案，部分参数为 v = q ( q + 1 ) ，n 1 = q 一1 ，1 1 22 q 2 , 聪= q 一2 其余参数由它们之问的关系式求得 5 利用集合的子集构作结合方案 设r l 和m 都是非负整数，x 是一个n 元集合，那么x 共有 9 几个结合方案的构作 j | ( n 一1 ) - ( n m + 】) m ( m 一1 、- 1 l ， l ，竹栉 ，7 l = 0 。 n m 1 个m 元子集由x 的所有子集所组成的集合记作p ( x ) 熟知，p ( x ) 含2 8 个元 设a ，b 是x 的2 个子集，用a u b ，a n b ，a b 分别表示a 与b 盼并集，交集 和b 在a 中的余集 引理3 设n ，i b ，r 和j 都是菲负整数，而0 sj m i n ( r l ，) m ，r h x 是一 个取定的月元集合， 是x 的任意一个m 元子集。那么p ( x ) 中与a 交为s 元集 合的，元集合的个数是一个与a 的选取无关的常数，它是l m i n m l ls 人r s ， 证设b 是x 的一个r 元子集，并且a n b 是s 元集合，那么b 由a 的一个s 元子集与x a 的一个p s 元子集唯一确定注意到x 、a 是一个以一m 元集合， 因此，由乘法原理可得证 引理9 设n m ，r 和j 都是非负整数，而0 川，r s h ，x 是一个取定的，l 元 集合，a 和丑分另4 是x 的班元子集和r 元子集。并且a n 嚣是一个女元集合，邪 么p ( x ) 中满足条件a n 口，b n c 分j o 是i 元集合和，元集合的s 元集合c 的个数 是一个与a ，b 选取无关的常数，它是 “掣, j ) ( k y m 一吖r 一吖”一( m + r 一) 1 台l f 人i 1 人j 1 人j 一( f + j z ) j 证设c 是x 的一个s 元子集，并且满足a n c ，b n c 分别是i 元集合和j 元 集合如果设a n 丑f q c 是一个z 元集合，那么0 s s m s r t ( k ，i ，j ) 于是，c 由 a n 丑中的一个f 元子集，a 、( a n b ) 中的一个i 一1 元子集，丑( a n c ) 中的个 f 元子集和x ( a u 8 ) 中的一个s 一( f + j d 元子集唯一确定从而由引理8 可证 利用引理8 和引理9 容易证明下面的定理7 定理7 设n 和m 都是正整数，而1 m n 一1 ，x 是一个取定的疗元集合，e 是x 的全体m 元子集构成的集合对于( a ，b ) e e x e 规定e 上的二元关系r 为 ( a ，1 3 ) r i ， 如果a u b 是一个m + i 元集合， 那么，钒x 。；。) 构成一个具有m i n ( m ，玎一掰) 个结合类的对称结合方案，其 参数为 v = ( 书驴仁f ) 彤= 蜘r f _ ：m 三一。_ ：。一f i 簿矧 这里1 i ，厶k s m i n ( m ，n m ) 一 1 0 河北大学硕士学位论文 参考文献： il b o s erc ，n a i rk r p a r t i a l l yb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s s a a k h y a ， ( 4 ) 1 9 3 9 2 】b o s erc ，s h i m a m o t ot c l a s s i f i c a t i o na n da n a l y s i so fp a r t i a l l yb a l a n c e d i n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t ht w o a s s o c i a t ec l a s s e s j a m e r s t a t i s t a s s n ， ( 4 7 ) 1 9 5 2 【3 】b a n n a ie ，r ot a l g e b r a t i cc o m b i n a t o r i c si ( a s s o c i a t i o ns c h e m e ) b e n j a m i n ：c u m m i n g sp u b l i s h i n gc o m p a n y ，1 9 8 4 【4 】王仰贤利用矩阵构作多个结合类的结合方案应用数学学报1 9 8 0 ，3 ( 2 ) ： 9 7 - - 1 0 5 【5 】霍元极，祝学理利用对称矩阵构作多个结合类的结合方案应用数学学报 1 9 8 7 ，1 0 ( 3 ) ：2 5 7 2 6 6 【6 】万哲先，霍元极对称矩阵的非对称结合方案科学通报1 9 9 0 ，3 5 ( 1 3 ) f 7 沈灏，魏鸿增利用辛几何中2 维非迷向子空间构作p b i b 设计数学年刊 6 a ( 5 ) 1 9 8 5 ：5 8 7 - - 5 9 4 【8 万哲先n o t e so nf i n i t eg e o m e t r i e sa n dt h ec o n s t r u c t i o no fp b i bd e s i g n s a c t as c i e n t i as i n i c a ，1 4 ：1 2 ( 1 9 6 5 ) ，1 8 7 2 1 8 7 6 【9 】 沈灏有限几何与b i b 设计的构作数学年刊9 a ( 5 ) 1 9 8 8 ：5 4 6 5 5 4 【1 0 】万哲先，戴宗铎，冯绪宁，阳本傅有限几何与不完全区组设计的一些研 究北京：北京科学出版社。1 9 6 6 11 】 张永林几个结合方案族的构造应用数学学报2 0 0 1 ，2 4 ( 1 ) ：1 1 卜1 2 8 【1 2 】祝学理，李风高利用有限仿射几何的m 面构作多个结合类的结合方案与 p b i b 设计应用数学学报1 9 9 7 ，2 0 ( 1 ) 【1 3 w a n z h e x i a n g e o m e t r y o f c l a s s i c a l g r o u p s o v e r f i n i t e f i e l d s s t u d e n f l i t t e r a t u r , l u n d ，1 9 9 3 【1 4 】祝学理有限域上的仿射辛空间及其应用，数学杂志1 9 9 8 ，1 8 ( 1 ) 【1 5 】华罗庚，万哲先典型群上海：上海科技出版社1 9 6 3 1 6 1 s i n g e r j at h e r e mi nf i n i t ep r o j e c t i v eg e o m e t r ya n da p p l i c a t i o n st on u m b e r t h e o r y , t r a n s a l n e r m a t h s o c ，4 3 ( 1 9 3 8 ) ，3 7 7 - - 3 8 5 【1 7 】p r i m r o s e ，ej e ，q u a d f i c si nf i n i t eg e o m e t r i c s p r o c e e d i n g so f c o m b r i d g e p h i l o s o p h i c a ls o c i e t y , 4 7 ( 1 9 51 ) ，2 9 9 - - 3 0 4 1 8 】c l a t w o r t h yw h t a b l e so f t w o a s s o c i a t e - c l a s sp a r t i c a l l yb a l a n c e dd e s i g n s n b s a p p l m a t h s e r ，( 6 3 ) 1 9 7 3 1 9 】r a g h a v a r a od c o n s t r u c t i o n sa n dc o m b i n a t o r a lp r o n e m si nd e s i g no f e x p e r i m e n t s j o h rw i l e y s o n s 1 9 7 0 2 0 z i a n gy o n g q i n