（基础数学专业论文）广义的burgers方程和四阶ginzburglandau方程的cauchy问题.pdf

摘要 本文中，我们在h 5 ( s = l ，2 ) 空间中研究了广义的 b u r g e r s 方程和四阶g i n z b u r g l a u d a u 力程的c a u c h y 问题 解的存在性和唯一性。分别在h2 空间中对四阶g i n z b u r g - l a n d a u 方程的解和在1 空间中对广义b u r g e r s 方程的解的 整体适定性加以证明，并建立了r 解和日解之间的一些关 系。 关键词：b u r g e r s 方程；四阶g i n z b u r g l a n d a u 方程； c a u c h y 间蘑；正剪峻 i i a b s t r a c t a b s t r a c t w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c ea n du l l - i q u e n e s so f s o l u t i o n si nh 5 ( s = 1 2 ) f o rt h e c a u c h yp r o b l e mo ft h eg e n e r a l i z e db u r g e r sa n dt h ef o u r t ho r d e rg i n z b u r g l a n d a u e q u a t i o n s s o m ec o n n e c t i o n sb e t w e e nl a n dh 。s o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e da n dt h e g l o b a lw e l lp o s e d n e s so f s o l u t i o n si n 日2f o rt h ef o u r t ho r d e rg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o na n ds o l u t i o n si nh 1f o rg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o ni ss h o w ni nt h ep r e s e n t k e y w o r d s a n d p h r a s e s b u r g e r se q u a t i o n t h ef o u r t ho r d e rg i n z b u r g l a n d a u e q u a t i o n c a u c h yp r o b l e m r e g u l a r i t ys o l u t i o n s 1 i n t r o d u c t i o n i n t r o d u c t i o n i ns o m er e c e n ts t u d i e si tw a sp r o p o s e dt h a ts o m em a t h e m a t i c a li s s u e sc o u l db e i n v e s t i g a t e di nt h eg e n e r a l i z e df o u r t ho r d e rg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ： t “+ a a 2 札一b & u a f ( u ) + 9 ( 钍) = 0 0 b r ( 1 1 ) w h e r e 扎i sar e a lv a l u e df u n c t i o no f ( t z ) r 斗r “，a n dga r es c a l a rr e a l v a l u e dn o n l i n e a rf u n c t i o n s t h i se q u a t i o n c o n s i d e r e dw i t hf ( 札 = u , 3 a r i s e sf r o m p o p u l a t i o np r o b l e ma n di t i sag e n e r a h z e dd i f f u s i o nm o d e lf o rg r o w t ha n dd i s p e l 。 s a l ( s e e1 6 4 5 1 2 0 a l s o 讧w ec o n s i d e rt h ec a s eb = 0 a ( u ) 三0 t h e n l1 ) i s t h ew e l l k n o w nc a h n 一耻a r de q u a t i o n ( c f f 7 1 7a n dr e f e r e n c e st h e r e i n f r o mt h e m a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e w ( 1 ，i ) i st h ef o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o na n di th a s ar e s e m b l a n tc h a r a c t e rt ot h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n 毗一“+ v f ( u ) + g ( u ) = 0( 1 2 w h e r e i sar e a lv a l u e df u n c t i o no f ( t z ) i r n f l u ) = ( ( ) 厶( “) ) a n d g ( u 1a x ev e c t o ra n d s c a l a rn o l i n e 缸r e a lv a l u e df u n c t i o n s r e s p e c t i v e l y w es e p t h a t ( 1 2 ) i sas e c o n do r d e rp a r a b h ce q u a t i o n m o r eg e n e r a l l y ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) a r es p e c i a l c a s e so ft h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n u l + ( 1 + 为) ( 一) ”“= d 。，口( ( 1 3 ) o s i a i 0 ) i f t h en o n l i n e a r i t i e s h a v e f s u b ) c r i t i c a la n dh 一c r i t i c a lp o w e r sa n dt h ei n i t i a ld a t aa r es u f f i c i e n t l y s m a l li n 上，a n dh 一r e s p e c t i v e l y a l s o i ns o m e s p e c i a lc a s e s ( 1 3 ) i sg l o b a l l yw e l l p o s e di n 日1 f o rl a r g ec a u c h yd a t ai nh 一i nf 2 jt h e r ei sa c o m p a r i s o nb e t w e e n 口 s o l u t i o n sf o rn o i l l i n e a rh e a te q u a t i o n sa n dh s o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n sa n d i tw a g p o i n t e d o u tt h a tl 7s o l u t i o n sh a v es o m ee s s e n t i a lr e l a t i o n sw i t h l ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm s o f h e b e iu n i v e r s i t y 日s o l u t i o n s h e n c e an a t u r a lw o r ki st os e t u pt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nl ra n d h 。s o l u t i o n sf o rn o l 1 i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a l s o i ti ss t r o n g l y s u g g e s t e db yt h e e n e r g ym e t h o dt h a tt h es o l u t i o n ss h o u l db ei nt h es p a c e sh 4 s = 0 1 2 i nt h e p r e s e n tp a p e rw es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mo f ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) a n ds h o wt h a t ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) a r eg l o b a l l yw e l l - p o s e di nh 1a n d 日2 f i r s t w ec o n s i d e rt h el o c a le x i s t e n c er e s u l t so fs o l u t i o n si n 日f o r ( 1 3 ) v i a i n v e s t i g a t i n gt h e i rc o n n e c t i o n sw i t hf s o l u t i o n s w h e r et h en o n l i n e a r i t i e sw i l lb en a t u r a l l ya s s u m e dt oh a v eh 。s u b c r i t i c a l p o w e r s d e n o t e ( t 1 ) = 2 0 训o 。一2 乩。s 。u 2 。彬 2 2 t h em a i nr e s u l t s 2 t h em a i nr e s u l t s t h e o r e m1 1 l e t0 s 曼1 妒h 8 l e t2 s a 2 m t r s ( ) a s s t $ t n t t h a t 厶c 1s 毹i 币e s 厶( 0 ) = 0 d f ( “) fsc ( 1 + l t f f l 1 一i , , i 2 删) 0sf o f 2 m ( 14 ) ( i ) l e tt v ( 1 + a ) p 0s i t c ht h a t ( 1 3 ) w i t hi n i t i a l c o n d i t i o nu ( o z ) 。妒( 3 ) h a snu n i q u es o l u t i o n l 銮9 ( o t 1 ：l p ) 1 7 ( r p ) = n ( 1 r 一1 p ) 2 m ( i i ) t h ea b o v es o l l i t i o n 乱c l o 。( o t 。：h nl 窭9 ( o t ：l p ) r psr ( 1 + a ) ( i i i ) l e tr r l r s ( t i ) 玎t 。 t h e nt i ms u p c _ r 胁 圳l ：n l r 。= t h e o r e m1 2 l e ti p 日2 2sn l 2 m r 1 t h i si se a s i l yv e r i f i e db yu s i n gt h ei d e a si n 【1 6 o nt h eb a s i so ft h e o r e m s1 1a n d1 2a n d b yp r e s e n t i n gs o m e ap r i o ：ie s t i m a t e s w ec a l lp r o v et h ef o l l o w i n gg l o b a lw e l l - p o s e d n e s sr e s u l t s t h e o r e m1 3 l e ta 0 b 0 妒h 1 s u p p o s et h a tf g c 1s a t i s f y f ( o ) = g ( 0 ) = 0 f ( “) 0 g ( ) o m o r e o v e r ea 8 8 u m et h a t ，( ) c ( 1 + 沁1 1 2 ) 9 ( 让) sc ( 1 + l n l l ) ( 1 6 ) w h e r es n a i f t i = 1 2a n d 8 a 8 ( n 一2 ) 玎n 3 l e t 竹a 4 r r 1 ) t h e n ( 1 1 ) 埘琥i n i t i a ld a t a 妒a tt = 0 h a sa u n i q u es o l u t i o n 3 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo f m s o fh e b e iu n i v e r s i t y = = ! = ! ! = ! = = = 2 1 = ! ! = = = = ! 一- 1 f c ( o 0 0 ：日1 ) n n ，p s ，f 1 + l 盘9 f o 0 0 ：上9 ) ) r e m a r ko i lt h e o r e m1 3 i f0 a 0 6 0 妒日2 s u p p o s et h a t ，g c 。s a t i s f y f ( o ) = g ( o ) = 0 f l “) 0 9 ，i t ) 0 m o r e o v e r 1 i ，ea $ 8 1 t m et h a tt h e r ee x k 日tp 1 a 8 3 2 psa 1 0 p a + 1 2 s u c ht h a t ，( t ) i c ( 1 + l u r - 1 + 1 ) 1 9 k ( 1 ) isc ( 1 + l t l 一k + 1 ) b = 1 2 t _ 9 ( t ) g i t 1 2 + t h e n ( 1 1 ) w i t hi n i t i a lc o n d i t i o nn ( o z ) = l ；p ( ) h a sa u n i q u es o l u t i o n 札g o a o ：h 3 ln ( n ，s p r i l + ”工磐( o 0 0 ：矿) ) 3 a 4 r o o 4 2 t h em a l nr e s u l t s a n o t h e rc a s ei sb 0 w eh a v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 7 l p f “ f ( o ) = g ( o ) = 0 ， ，) 0 ，( h ) f 兰c ( 1 + 一1 ) l g l ( ) i 曼c o + i 1 1 一+ 1 ) k = 1 2 t 憎( ) 2c l , , 1 2 + 1 “ p t f a a t tp , t f i t tt h ef o l l o “，i n ga l t e r n a t i v ec o n d i t i o n s ( i ”= 1 1 t t 4 8 a 2 ( n + 4 ) ( p 一1 ) ( 4 一 j 8 n 1 2 t h ( 1 1 l 脚i t hi n i t i n ld a t a 妒a tt = 0 nu n i q u es o l u t i o nu q ( 0 0 0 ：日2 ) n ( n ，( p ，1 1 + l l l l o c p ( 0 0 0 ：l v ) ) n , x 4 r o b 0 s u p p o s et h a t ，g c 2 s a t i s f i e s g ( o ) = 0 g f 0a n d 1 9 t 。、( t ) l c ( t + 卜p “+ 1 ) k = 1 2 豇 e ，4 a 8 t h e n0 1 a lh n 性竹i q 眦s 。札t i o nu c k ( o ：日2 l n ( n ，s p r l l + 三器( o ：扩) ) 3 a 4 1 2 5 曲 “ _ c 十 9， 以me坩 pp s 2 日 妒dm g ad i s s e r t a t i o nf o rt h e d e g r e eo fm s o fh e b e iu n i v e r s i t y t h e nt h es n ，n er e s u l t sn si n c o r o l l a r yj 8h o l dt r u e f i n a l l y c o u s i d e r i a gt h eg l o b a lw e l l p o s e d n e s si nh 1f o rt h ec a u c h yp r o b l e mo f ( 1 2 ) w eg e t t h e o r e m1 1 0 l e ti p h 1 s u p p o s et h a tf g c 1s a t i s f yf ( o ) = g ( o ) = 0 g ( “) 0a n d 琥e ”e x i s t sa 4 n , s 4 ( n 一2 ) 4 n a 0 0 n = 1 2 ) v e r i f y i n g 矿( 1 ) c ( 1 + m 1j 1 ，( t ) 1 2s2 9 ( n ) + c + s l , * 1 6 0 6s4 i n w h c n6 = 4 n eo _ q s l t t l l gi na d d i t i o t , t h a tbo r 怕l i l ：ss u j 历c i e n t l ys m a l l l e t h a 2 r r l ( t l t h e n ( 1 1 ) w i t hi n i t i a ld a t ai p a tt = 0h a sau n i q u es o l u t i o n 钋c ( o ：日1 ) n n ，s p ，1 1 + ) l 窭驯( o ：p ) ) 6 3 l o c a ls o l u t i o n si n 日5 3 l o c a ls o l u t i o n si nh 5 b yu s i n gt i n ms p a c el ”l 7e s t i m a t e sm e t h o d s w ec a l lg e tt h el o c a le x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fl 7s o l u t i o n s b u tt h e r ei sn os t r a i g h t f o r w a r dc o n n e c t i o nb e t w e e n h 。s o l u t i o n sa n d l s o l u t i o n s ( c f 3 8 1 1 1 3 1 5 - 1 9 】j w eu s u a l l ya p p l yc o m p a c t n e s s a r g u l u e n t st oe s t a b l i s h 何s o l u t i o n s e s s p e d a l l yf o rt h ec a s a js = 0 1 2a n dt od o s o t h en o n f i n e a r i t i e sw i l lb e s u p p o s e ds a r i s 蛳1 l gs o l l l ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s h tt h i s s e c t i o nw es h a l ls e tu ps o m er d a t i o n sb e t w e e nl 7s o l u t i o n sa n d 日。s o l u t i o n sa n d p r o v eo u rt h e o r e m1 1 w c o n s i d e rt h ec a u e h yp r o b l e mo ff 1 3 ) t “+ ( 1 + 曲) ( 一) ” = d 。厶( “) u ( o z ) = 妒( z ) ( 2 1 ) o l a f 2 m i nc o n d i t i o n ( 1 4 ) a 2 m , 。ni ss a i dt ob ea l ll 7s u b c r i t i c a lp o w e r o n ee a s i l ys e e s t h a tc o n d i t i o n ( 1 4 ) c o n t a i n st h ee a s et h a t ，a ( t ) i st h es u mo fd i f f e r e n tp o w e r s f o r t h es a k eo fc o n v e n i e n c e w ew r i t el 9 ( x j = l 2 ( 0 r ：xl i ft h e r ei sn oe o n f f i s i o n a n d 而1 = 朵( ；一；) 怕) - l 一朵一业岩型( 2 f 。) u ( z ) = 2 - 一1 e x p ( - t o + 曲) k 1 2 “) ，( ，4 j f ) f t 引= v ( t r ) f ( r z ) d r ( 2 3 ) ，c j 0 l e m m a2 1 l e t0 s o o 2 r r a ( 1 t h e n 埘eh a v e i l u ( ) 5 口| l 工州f o x ：二，) sc l p j l 妒i i h ( 2 4 ) ，o ra l l 妒日r p 0 0 1 ( r p ) 0 2 r e r + e p a n dr + 2 7 t ( n 一2 s ) a s s 2 i tf o l l o w st h a t u ( t ) i p i i l ，sc t - x h ( , - , 神i i , p l l l c t 一1 h 一 q k o l l h u ( t ) l o l l ，c t 一1 ，1 + 。_ p 1 1 p 1 1 l ，+ 。e t 一1 州7 + p 1 1 妒1 1 h 。 7 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm s o fh e b e iu n i v e r s i t y s o i i u ( t ) 妒l l ps c m i n ( t - 1 1 ( r - e p ) t 一1 h + 9 ) 0 l p i l h u s i n gy o u n g , si n e q u a l i t yw eh a v e ( 2 4 ) l e m m a2 2 l e to6 enr n “l t i i n d e x 0sl n l 2 m l e t1 j f 正 p o 。a n d 1 1 2 r n , 1 a 2 ，t | 下，1 a s s u m et h a tg o c 1 如( o ) = 0 n n d1 9 二【t 1 i 曼c l , , i m l 一i “i 2 m ) 0 i o l 2 m l e tps a t i s f vr v ( 1 十a ) p r b y l e m m a 2 2w es e et h a t l i a - d 。g m u ) i i “，t 啻， sc j i 曩。) l j 一( 膏”i i fi p ， p 一y r p ) q ( 1 o o ) a n d1 t ( r p ) + 1 9 = l 1 ( p l + l a l 2 r ( 0 i i ， w h e n p d t h e n w ec nt a k e1 t t 7 = l l a l 2 m ) p + ( 1 + 入) ( 1 s i n l i l a zw a va st h ea b o v e w ec a l le a s i l yv e r i f yt h a t ( 2 8 ) h o l d s 8 a n dt o g e t h e r 稍t h i a l 2 m ) l p i n a n e x t w ec o u s i d e rt 4 d 。9 。) 1 1 日。 曼 h ec 8 c ! i 3 l o e a ls o l u t i o n si n 日 s ep 2r w eh a v e t t i m 2 ”一1 7 1 小i i g 。( ”( r ) ) ，d r s c t 咔似一一r j ( | | 叫l 渺卟怕h j i 沁1 1 导穸) ( 7 淼 w h e r e1 t l , 7 = ( - 1 2 m ) ，+ 1 1 + a ) ( 1 l n i 2 , - ) v ( 2 6 ) i sas t r a i g h t f o r w o r dc o n s b q u e n c eo fy o u n g si n e q u a l i t y i n d e e d b y ( 2 7 ) w eh a v e i i a d 。g 。( 1 ) l i 工( 膏 in t - i 。l l - , - l l , ( , , ) l l l i 。r ) l l 乱d ( 1 - i l r - , m ，( 1 1 l 二- ，l a l l 7 2 ”i i ，l l a l 1 2 日m ) - ( 2 8 ) w h e r e1 o o = 1 仃+ ( 1 + a ) ( 1 一i n l 2 m ) 1 ( 九p ) 一1 s i n c e i i t - i 。i 2 ”一1 i y o 7 7 1 1 psc t “w eh a v e ( 2 6 ) f o rp = r l e m m a2 4 l e t4 , r i l , i a 2 a s s u m et h a tg 口s a t i s f i e st h e c o n d i t i o n 日o l e m m a2 3 t h e nt h e r ee 霸b t sp r p r ( 1 + a ) 8 l c ht h a t i i a d 。g 。( 钍) l i l * i 曹1sc p f i t l i , d a ( a i - ，i 。i l l i ，* l 1 1 , , 1 1 二* l 宫1 0s 占s 1 ( 2 9 ) p r o o s t a & i n gl i p = i 2 + a ( 1 j a l 2 m ) l p o n e s e e st h a t1 p 2 i f pi s s u f f i c i e n t l yd o s et or 1 + a ) w e h a v e i i a o 。g o ( u ) t l u sc 上i t r l - i l l - l y o l t ( t ( r ) ) l l s i 一也( 2 1 0 ) i tf o u o w sf r o mh s l d e r si n e q u a l i t ya n d i n t e r p o l a t i o n st h a t i i g 。( ”) l i 膏，c i i , , i i 拶一扭7 2 “1 1 , , 1 1 磨 ( 2 1 1 ) u s i n gy o u n g si n e q u a l i t y w eh a v e i i a d 。9 。( u ) i l l 蕾l 亩) c l l t 一1 “7 2 m 一1 一一2 ) 工，l o r ) l l 乱i l d x i i h - ，i , 1 i ( t l 1 ，, 1 - i i “i i l * ( 冉i ( 2 1 2 ) w h e r el 口= 1 一a ( 1 一l a l 2 m l , ( r 1 , ) n o t i c i n gt h a t l i t - b i 2 “一1 一i 一一g i n ，曼c t 6 佃”f r o m ( 2 1 2 ) w eg e tt h ed e s i r e dr e s u l t s 9 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm s o fh e b e i u n l v e r s i t y i no r d e rt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo f 日2 s o l u t i o n s w en e e dt h e f o l l o w i n g l e m m a 2 5 s - a p p o s et h a tt h ec o d i t o ”so fl e m m a 2 4a r cs a t i s f i e d m o r c o v e 7 、 ea s s , i t m et h a t l ( n ) isc i t 1 1 ( 1 一i 。i 2 “卜1 a ( 1 一l 1 l 2 m ) 1 t h e nt h e r e e z 诂扛p r p n 2 m 7 a 州舢et h a t9 。c 2 毋f “) sc 七= 1 2 t h e n f 0 7 、a n y p rsp r f 1 + a ) 埘eh n 口e | f 一4 d 。9 a ( l i f l 篙( 疗。l 曼c t l 一扭j 7 2 ”f f 叫f l x 加) + c t l 一陋f 7 2 7 拥7 忆i i 工小， 驴l i i 叫k x l 日： ( 2 1 9 ) p r o o f w ee a s i l ys e et h a t 1 1 4 d 。如“) i 加s i i a d 。( d 岛u d 岛? 。t t ( ) ) 驴+ e i i a d 。( d 4 t , g o o , 1 ) l l f 1 忙性i = 1 例= 2 ( 2 2 0 ) t a k i n ga u = a 2 + 1 v w e s e et h a tf o r 慨f = 忱l = 1 i i a d 。( d e l t l d 岛1 g ：( ”) ) 1 1 l ：0 i r i f a f 7 2 ，2 ”8 d d 肚 l | p d f 上卜r i - l a l = - - - 2 - p l l 叫札 f 2 2 ll w h e r e g i st h e8 & l l l ea si n ( 2 1 6 ) b y ( 2 1 7 ) a n d ( 2 2 1 ) w eh a v e i i a d 。( d m “d 也斌 札) ) i i l ：墨上i 一，- l 一7 2 m n 7 揶i i t ( f ) l l v i i “( r ) i i 膏：打 ( 2 2 2 ) a p p l y i n gy o u n g si n e q u a l i t yw eo b t a i nt h a t i i a d 。d 风t d b 2 o , 鲮( “) ) j l l ：sc t l 一| a 1 7 “一“7 2 “7 j i t 0 训，l p ) 胁忆。f 磨： ( 2 2 3 ) s i m i l a r l y i i a d n ( g ：( “) d a ”) 1 1 l ：墨c ! l t 一叫一陋f ，“l i d p “i i 驴d f s c t x - i 。, f 胁l 。i p - 1 ( 2 ，2 4 ) c o l l e c t i n g ( 2 2 0 ) ( 2 2 3 ) 柚d ( 2 2 4 ) w eg e tt h ed e s i r e dr e s u l t s p r o o fo ft h e o r e m1 1 l e tp ( u ) b eas m o o t hc u t - o f ff u n c t i o na n d k t ) = p ( u ) 厶 1 ) g o ( u ) = ( 1 一p ( u ) ) 厶u ) s i n c ei k l l ) ls c w eh a v e i i a d 。h 。( “) | l f ， o t ：p l c t l 一mt l l l l m ，l o f ：l ( 2 2 5 ) 1 1 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm s o f h e b e lu n i v e r s i t y o n e e a s i l ys e e st h a t9 k ( “) s a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so fl e m m a2 3 p u t d = 札工p ( o r ：l v ) ：i i 乱i l d ，l o t ：p l 彳)( 2 2 6 a n d f o r a n y “ d d e f i n eam a p p i n g d ( u t i ) = i i “一t i l l j i r ， 1 0 r ：l ，( 2 2 7 ) t ：) 一u ( ) 妒+ a d 。( h 。( ) + 驱( ) ) ( 2 2 8 ) 1 0 k 2 m f o r a n yu 口i nv i e wo fl e m m a s2 1 2 3a n d ( 2 ，2 5 ) w eh a v e l i 丁i i l “”i ( o 了 ：l ，) c l 妒1 1 + e ( t 1 一h 7 2 ”+ “7 m 1 1 2 “) 订 i o k 2 m d ( 丁t 丁t r ) sc ( t 1 - 舭“+ m m 制胁) d ( ，) i a l 0 s u c ht h a t c ( r 1 一川7 2 ”+ 一。m 刈1 一j 口j 7 2 4 ) s1 2 i a l s m f o rm =