（基础数学专业论文）交换逆半环的全h理想及若干序半群的左理想.pdf

西北人学硕士学位论文 摘要 理想，是代数学的重要研究工具之一，它与同余、g r e e n s 关系有着密切的 联系；对于不同的代数系统，理想具有不同的特性。本文首先研究了交换逆半环 的彦- 理想的性质，并用其刻画了交换逆半环，对于交换逆半环给定的乃理想， 得到了对应的环同余；其次研究了序半群的理想元素、左理想的特性，刻画一个 理想元素、左理想为素、半素、弱素、左弱素等的特征，以及由左理想得到的 g r e e n s 关系、同余对诣零序半群的刻画。 本文分为四章。第一章，主要介绍了半环、序半群及理想的历史背景、研究 成果和本文的主要结果。第二章，主要内容是序、半群、半环、序半群、同余、 理想、g r e e n s 关系的概念，给出本论文的理论基础。第三章，首先研究了交换 逆半环的力理想的性质及其生成；其次得到了全乃理想集的代数结构及全居理 想与环同余在交换逆半环上的对应表示，刻画了交换逆半环。第四章，首先讨论 了理想元素、左理想与素、半素、弱素结合后，在特定序半群上具有的特性及它 们之间的关系；其次给出了部分序半群的结构，推广了左正则、内禀正则序半群 的构造方法；最后刻画了诣零序半群的主左理想、平凡g r e e n s z 关系、整除序、 r e e s - 左同余。 关键词；交换逆半环；序半群；理想；同余 西北人学硕士学位论文 t h ef u l lh i d e a l s0 fa na d d i t i v e l yi n v e r s e 11jj s e m l n n g sl nw n l c na d d l t l o nl sc 0 m m u t a t l v e a n dt h el e f ti d e a l so fs o m eo r d e r e ds e m i g r o u p s a b s t r a c t i d e a i sh a v ea n m p o n a n tp o s i t i o ni nt h ea l g e b r a o n es i d e ，t h e ya r eo n eo ft h e r e s e a r c ht o o i so ft h ea l g e b r as t f l j c t u r e ，a n dh a v eac l o s er e l a t i o n sw i t hc o n g r i l e n c ea n d g r e e n sr e l a t j o n a n o t h e rs i d e ，i d e a l sa r ea i s oa na i g e b r as y s t e m ，h a v i n gt h e m s e l v e s s p e c i a lp r o p e r t y b a s e do na b o v e ，f i r s t l y ；t h i st h e s i ss t u d y st h ep r o p e r t yo f 向l i 居一 i d e a l so fa d d i t i v e l yi n v e r s es e m i r i n g s mw h i c ha d d i t i o ni sc o m m u t a t i v e ，p r e s e n t st h e c h a r a c t e r i z a t i o no fa d d i t i v e l yi n v e r s es e m i r i n g si nw h i c ha d d i t i o ni sc o m m u t a t i v e a s s i s t ew i t h 如 乃- i d e a l s ，t h e no b t a i n st h ec o r r e s p o n d i n gr i n gc o n g m e n c e s e c o n d l y ， w ed i s c u s st h ep r o p e r 吼t h er e l a t i o n sa n dt h es t r u c t u r e so fi d e a l so nt h en i lo r d e r e d s e m i g r o u p sa n dt h er e l a t e d c o n c l u s i o nb e t w e e ng r e e n sr e l a t i o n ， c o n g r u e n c ea n d i d e a l s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r i nc h a p t e ri ，w em a i nl yi n t r o d u c et h e b a c k g m u n di n f o n n a t i o n s ，r e s e a r c hr e s t u l t so fs e m i r i n g s ，o r d e r e ds e m i g r o u p sa n d i d e a i s ，a d d i t i o n i y ，t h ep r i m a r yr e s t u i t sw eg e ta n dt h em e a n i n go ft h i sa r t i c l e t h e c h a p t e ri ip l a y st h eb a s i sr o i ei nt h i sp a p e r ，w ei m p o r tt h ec o n c e p ta n di e m m aa b o u t o r d e r e d ，s e m i g r o u p s ，s e m i r i n g s ，o r d e r e ds e m i g r o u p s ，c o n g n j e n c e ，i d e a l s ，g r e e n s - r e i a t i o n i nc h a p t e ri l i ，、v ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo f 办- i d e a i sa n di t sg e n e r a t i o n n e x tw eg e tt h ea i g e b r as t r u c t u r eo f 如l l力i d e a l ss e t s ，d e p i c tt h es t r u c t u r eo f a d d i t i v e l yi n v e r s es e m i r i n g si nw h i c ha d d i t i o ni sc o m m u t a t i v eb e c a u s e 向l l 乃- i d e a l s a n dr i n g sc o n g r u e n c ec a nb es h o w no na d d i t i v e l yi n v e r s es e m i r i n g si nw h i c ha d d i t j o n i sc o m m u t a t i v ee a c ho t h e r i nt h ei a s tc h a p t e r ，w h e nj d e a le l e m e n t sa n dl e f ：ti d e a i s c o m b i n ew i t hp r i m e ，s e m i p r i m ea n dw e a k i yp r i m e ，w eg i v et h en e wc h a r a c t e r sa n d t h er e i a t i o n sb e t w e e nt h e mo nt h es p e c j f i co r d e r e ds e m i g r o u p s ，b yt h ew a y ，e x t e n dt h e c o n s t r u c t i o no fi n t r a - r e g u i a ra n d 川u s t r a t es o m eo r d e r e ds e m i g r o u p s d e c o m p o s i t i o n s f i n a l l y ，u n d e rt h ea s s i s t a n c eo fp r i n c i p a ll e ni d e a i s ，t h e r ea r eas e r i e so fi n t e r e s t i n g 西北大学硕士学位论文 r e s u l t sa b o u tz t r i v i a io r d e r e d s e m i g r o u p s ，d i v i s i b i i i t y o r d e r i n g ，c o m p i e t e i y c o n g m e n c ea n dr e e sc o n g r u e n c eo nn i io r d e r e ds e m i g r o u p s k 乃啊o r d s ：a d d i t i v e i yi n v e r s es e m i r i n g si nw h i c ha d d i t i o ni sc o m m u t a t i v e ；o r d e r e d s e m i g r o u p s ；i d e a l ；c o n g r u e n c e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：卑指导教师签名： 蕴勿磋 8 年矿6 只碜日* 年p 6 只a 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：力刃7 口乡年驴多月，哆日 西北人学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 半群代数理论是新兴的代数学分支。它始于2 0 世纪初，发展于2 0 世纪5 0 年代到6 0 年代，广泛应用在计算机科学、通信工程及数学的其它学科中。反过 来，二其它学科对半群理论的诉求，又促使其发展，使它成为代数学的基石之一。 值得一提的是，j m h o w i e 教授的f u n d a m e n t a i so f s e m i g r o u o p st h e o 呵一书 的出版，标志着半群理论的成熟。 在半群代数理论成熟之前，美国著名数学家g b j r k h o f f 著有l a t t i c et h e o d ，) 一书，这是一部关于格序的经典名著，它对代数理论体系的衍变有着不可磨灭的 作用，例如格序群理论体系的出现与完善。格代数与半群代数理论结合比较完美 的格序半群理论，从2 0 世纪6 0 年代开始得到了较快的发展。此后，序半群在半 群理论发展的沃土里枝繁叶茂。序半群的一般结构理论的研究是其一大分“枝”， 这个领域的起步较晚，潜力却不小。从上世纪8 0 年代以来，n k e h a ”p u l u 【2 川5 】 教授和她的学生t m g e i i s 【l6 1 - 【2 0 1 以及中围的一些学者如谢祥云 2 i 教授等对推动该 方向的发展做出了较大的的贡献。n k e h a y a p u l u 教授在序半群理论方而有着开创 性的工作，而谢祥云教授的序半群引论是研究序半群、序半环、f u z z y 序代 数不可缺少的工具书。 与半群代数理论息息相关的还有代数学的另一。重要分支半环代数理论。 半环可以形象的看做是两个半群代数结构的有机结合，它同样在形式语言与自动 机理论【2 2 】【2 3 】、优化与控制理论【2 4 】【2 5 】、图论f 2 6 】等计算机科学与通信领域发挥着重 要的应用作用。1 9 9 1 年，以色列著名数学家j s g o i a n ，在其著作t h et h e o 哆茁 s e m i r i n g sw i t ha pp 1 c a t j o n sa n dt h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n c e r t l 系统地阐述了半 环的理论。2 0 0 0 年前后，他义在其专著 2 9 m o 中全面地阐述了半环的代数理 论及其在相关学科中的应用。 无论是半群、序半群还是半环，抑或其它代数结构，理想总是其中重要的 部分。在 1 中，由理想可以得到著名的g r e e n s 关系和r e e s 同余。n k e h a y a p u l u 教授在研究序半群理论时，理想就是其研究的重点。她给出了序半群【3 l 】、左正则 嚣j 艺人学硕士学位论文 且左d u o 序半麟【3 2 】、内察序半群【3 3 】等的素理想、半索理想、弱素理想的性质及 它们之间的关系，并对些序半群做了刻酗。而谢祥云教授在【2 l 】中对序半群的 拟理想、拟素理想、拟半索理想、拟弱素理想等有着细致的研究。近年来，印度 的m k s e n f 3 4 1 q 3 7 】及韩国的y o u n gb a ej u n 3 8 1 - 【4 2 1 、c h a n gb u mi ( j m l 4 3 1 畔1 等学者分 别对半环的后理想、彦一理想、夕一理想和f u z z y 理想做了深入的研究，均有系列 显著的成果。 1 2 选题来源及主要结果 m ，k 。s e n 教授在f 3 5 】用全聋一理想刻蓬了交换逆半环，给崽了交换逆半环的 全后理想与环嗣余的对应表示，得到了交换逆半环上的全后。理想集不仅是完备 格也楚模格。本文第三章在【3 5 】的基础上，髑全彦理想来刻画交换逆半环，得到 了相对应的结论。 n 。k e h 矗y a 妒l 珏教授在【3 2 】弓| 入了理想元素，在【3l 】【3 2 】【3 3 】中给出了序半群的 素、半素、弱索理想的性质及利用它们对序半群进行了刻画，在【1 4 】【1 8 】探讨了 左正则、内禀歪则序半群的结构，在【1 5 】中刻丽了诣零序半群的理想和g 嗽n 争 关系、同余的特征；谢祥云教授的序半群引论对目前序半群理想的研究成果 几近囊括。本文第四章参考了n 。k e h a y a p u l 珏教授彝谢祥云教授的系列文章，首 先给出了p o e - 半群的理想元素的性质及它们之间的关系，得到与p o 半群的理想 榻似的结论，其次羽素、半素、左弱素和双弱素左理想刻画了特定的序半群，如 左正则、内橐诋则、完备正则、弱交换序半群，推广了左正则、内禀止则序半群 的结构彝构造方法，最籍讨论了在诣零序半群上由丰左理想定义的平凡g f e e n s z 关系，整除序及r e e s 左i 一余、宪备同余之问的关系和对诣零序半群的刻画。 我们研究亭半群的理想，将得到的部分结巢，可以过渡到序半环上，这样有助于 序半环理想的研究。 2 西北人学硕士学位论文 第二章预备知识 本章主要给出本文所需的一些基本定义和相关引理，是整个行文的基础。 2 1 序与半格 定义2 1 1 设j 是非空集合，上的二元关系“”称为序( 或偏序) 是指： 对任意的五办z z ，满足以下条件： ( i )j j ： ( i i ) z 少且少z 时z = 少； ( i i i ) z 少且少z 时z z 则( z ) 称为序集( 或偏序集) 。在不引起混淆的情况下，常将( z ) 简记为 定义2 2 设j 是序集，若对任意的五少j ，有j 少或少z ( 即j 中的 任意两个元素可比较) ，则j 称为链。 若y 是序集( z ) 的非空子集，口y ，如果y 没有严格小于口的元素，即 ( 砂d 少口j 少= 口，则口称为，的极小元素；如果( 砂即彦，j6 少， 则易称为y 的最小元素。 显然，偏序集的最小元素是极小的，但在大多数情况下，偏序集的极小元素 不一定是最小元素。 若y 是序集z 的非空子集，p j 是，的下界是指：对于，中的每一个元素 少，f 少如果门拘下界集非牢且含有极大元素，我们就称是，的最大下界。 若存在则唯一并记 = 少：少册 若，= 玩6 ) ，贝0 记= 口 6 定义2 3 若序集的所有元素以彦都有口 彦存在，则称为下半格。特 别地，若对上的所有非空子集， 沙：少册存在，则称为完备下半格。 类似地，可以给出最小上界：v ，矿：少n ，及上半格和完备上半格的定义。 上_ 半格，下半格统称为半格。若既是( 完备) 上半格又是( 完备) 下半格， 则称为( 完备) 格。 西北人学硕士学位论义 定义2 4 1 设一是偏序集，仍历f j ，若当口f 时口v ( 6 力= ( 口v 勿 f ， 则称z 是模格。 2 2 半环和序半群 定义2 5 1 设是非空集合，在夕上装有二元运算“”且满足结合律，即 对任意的五月z 夕，有= ( z 力z = 石沙力， 则( 墨) 称为半群。 通常将z 少记作吵在不引起混淆的情况下，也常将( 墨) 简记为夕 半群夕称为交换半群是指j 上“”满足交换律，即对任意的五少，均有 砂2y x 如果半群j 含有元素“l ”，使得对于所有的z 夕，均有 卅= l z = z 那么“l ”称为j 的幺元素( 或恒等元) ，此时夕称为含幺半群。 如果半群含有零元素“0 ”，使得对于所有的z j ，均有 加= 0 z = 0 那么“0 ”称为j 的零元素，此时j 称为含零半群。 定义2 6 1 设是半群，对任意的口，如果存在口夕，使得 口口口= 口，口口口= 口 那么称为的逆元。若j 的每一个元素都有逆元，则夕称为逆半群。 定义2 7 门若不含零的半群没有真( 左，右) 理想，则称其为( 左，右) 单半群。 定义2 8 2 9 如果非空集合夕上装有两个_ 元运算“+ ”和“”，其巾 ( 墨+ ) 和( 一) 均是半群，且乘法对加法满足分配律，即 ( v 仍历f “6 + 力= 彩+ 胛和( 口+ 功f = 甜+ 加， 那么( 墨+ ，) 称为半环。在不引起混淆的情况下，也常将( 墨+ ，) 简记为夕若半环 夕的加法半群( 墨+ ) 为交换半群，则夕称为交换半环。若半环j 的加法半群 ( 墨+ ) 为逆：、仁群，则j 称为逆? 仁环。 西北人学硕二仁学位论文 定义2 9 设j 是半群，如果j 上有偏序关系“”使得 ( v 儡勿f 口彦卯钯街彩 那么( 墨，) 称为p o 一半群( 即序半群) 。在不引起混淆的情况下，也可以将 ( 墨，) 简记为j 若j 有最人元素，则称为p o e 一半群。常用“f ”记表示夕的最 大元( 即对任意的口j ，都有p 口) 2 3 同余、理想与g r e e n s - 关系 定义2 1 0 1 设j 是半群，夕上的二元关系p 称为( 和j 上的运算) 左相容 是指： ( v 砖，口d( 焉) pj ( 驰卅p ， 右相容是指： ( v 与，口 ( 与，) pj ( 踢纠p ， 相容是指： ( v 五，墨，乞【( ，) j d 且( 毛，乞) p 】= ( 墨，毛) p 左( 右) 相容的等价关系称为左( 右) 同余；相容的等价关系称为同余。 引理2 1 1 半群j 上的等价关系p 是同余当且仅当p 既是左同余又是右同 余。 定义2 1 1 1 设j 是半群，j 的非空子集彳称为j 的左( 右，双) 理想是指 尉彳( 艇z 么纠句若彳既是左理想又是右理想，则彳称为j 的理想。 如果口是半群夕的一个元素，则勋u 口) 是夕中包含口的最小左理想，称为由 口牛成的主左理想，方便地记为口由此还可定义上的一个等价关系“z ： 以6 当且仅当口和6 生成的主左理想相同，即：盯= 6 对称地，还可以定义等价关系“刀：蒯当且仅当d = 引理2 2 若仍彦是半群j 上的元素，则以6 当且仅当存在五少，使得 x 口= b ，y 6 = 口 引理2 3 设是半群，则z 是夕卜的右同余，月是+ 卜的左同余。 类似地，可定义由口生成的主双边理想识夕，和等价关系“”：铂当且 仅当= 度一即：当且仅当存在五儿矿，使得：删= 6 ，彩l ，= 口显 西北人学硕士学位论文 然，z 和刀互 定义2 1 2 【3 5 1 半环j 的非空子集称为半环j 的左( 右，双) 理想满足以下 条件： ( i ) ( v 仍彦力口+ 6 ； ( i i ) ( v 厂口乃，口( 口尸臼，讶力 若既是左理想又是右理想，则是j 的理想。 定义2 1 3 ( 3 2 】序半群的非空子集称为的左( 右，双) 理想，满足以下 条件： ( i ) 彤( 届厶俗y sd ； ( i i ) 口z 易墨彦口j 6 若既是左理想又是右理想，则是j 的理想。 注2 1j 是序半群，何j ，我们记( 用：= j i 了乃够协 用记号z ( 句，趟句，以印，反句对应表示由钗彳生成的主左理想， 主右理想，主理想，主双理想，它们分别是的包含彳的在集合的包含关系下的 最小左理想，最小右理想，最小理想，最小双理想。显然对j 的任意非空子集 彳有： z ( 句= ( 彳u 幻，坝仍= ( 彳u 彳习， 以句= ( 彳u 脚u 舢u 盛唧，觑句= ( 彳u 删】 若彳= 刃，则将z ( 刃) ，俄 研) ，以 刃) ，夙 研) 对应记作z ( 力，坝功， 以力，夙功如果j 是p o e 一半群，那么 z ( 功= ，j i ，口或删， 瓜功= j l 口或傩) ， 以功= j l 盯或阳或韶或伽 ， 夙口) = 夕i 口或，伽 对应p o ( p o e ) - 半群j ，同样可以根据左理想，右理想，理想，双理想，定义对应 的夕上的z ，刀，刀关系。 西北人学硕士学位论文 第三章交换逆半环的全力理想 本章主要是在 3 5 的基础上，研究了石理想在交换逆半环上的性质、生成， 得到全厅理想集的代数结构和，个有意思的结果，即：在交换逆半环卜全力理 想与环同余存在着对应关系，并给出了其中一种对应表示。 3 1 交换逆半环的力理想 本节给出了乃理想与后理想在半环上的一些关系和在交换逆半环上力理想 的生成。 定义3 1 【3 5 】半环j 的非空子集称为半环夕的左( 右) 后理想是指：是 j 的左( 右) 理想且满足对任意的口夕，z ，若口+ z 或z + 口可推出 口，若，既是左七理想又是右后理想，则是j 的后理想。 定义3 2 【3 6 】半环夕上的非空子集称为半环的左( 右) 乃理想是指： 是夕的左( 右) 理想且满足对任意的呜，鹰，z 夕，若口+ 局+ z = 名+ z 可推 出口若j 上的非空予集既是 左居理想又是右乃理想，则称是的乃理想。 定义3 3 【3 5 】若半环夕是的加法半群( 墨+ ) 可消，即： 口+ f = 6 + f j 口= 彦， 则称j 是h a i f - 环。 命题3 1 半环j 的力理想是后理想。 证明：假设是半环夕的力- 理想。若有口j ，存在存，鹰，三夕，使得 口+ 白= 名，则口+ 呜+ z = 鹰+ z 因为是乃- 理想，得口所以也是后- 理 想。 命题3 2h a l f - 环的后理想是彦理想。 证明：假设是j 的后- 理想。若有口j ，存在呜，鹰，三夕，使得当 口+ 局+ z = 向+ z 时，由j 是h a l f - 环，有口+ 矗= 幺又凶为是后- 理想，得 口所以也是力理想。 在本节以下内容中，若无特别声明，我们用j 表示交换逆半环，( 表示 西北人学硕士学位论文 j 的所有加法幂等元集合。 引理3 1 4 6 如果( 墨+ ，) 是逆半环，那么 ( i ) ( 弘少z = ( z i ) ，( z + 力= 少t + z ，( 训= z = 砂和= ，少； ( i i ) 矿( d = z 夕：z + j = d 是夕的加法交换半格且是夕的理想。 命题3 3j 的乃理想是的逆j r 半环。 证明：假设是j 的办理想，显然是j 的子半环。令口，口+ 口+ 口= 口， 存在z j ，使口+ 口+ + z = 口+ z ，从而口+ ( 口+ 力+ z = 口+ z 因为口+ 口且 是的乃理想，所以，即是夕的逆子半环。 命题3 4 如果彳是夕的理想，那么 彳= 口j i ( j 局，噍4 z 口+ 属+ z = 在+ 力是夕上的力一理想。 证明：令岛6 = 彳，那么存在呜，鹰，鹰，匀彳，而，乞夕，使得 口+ 存+ 弓= 幺+ 弓，6 + 鹰+ 乞= 幺+ 乞， 那么，首先， ( 口+ 历+ 弓) 十( 6 + 匀+ 乞) = ( 红+ 而) + ( 勿+ 乞) ， ( 口+ 功+ ( 存+ 忍) + ( 气+ 乞) = ( 忍+ 么) + ( 气+ 乞) ， 由于局+ 呜，噍+ 幺彳，弓+ 乞j ，所以口+ 彦彳 令，夕，有朋+ 嘶+ 佯= 鸭+ 伪由于嘶，噍彳，j ，所以朋彳相 似地，彳所以彳是j 的理想。 其次，假设存在属，噍彳，儡z j ，使得 + 屈+ z = 岔+ z iz 由于属，在彳，所以存在忍，么，忍，磊，彳，弓，乞夕，使得 呜+ 鹰+ 弓= 愿+ 互，鹰+ 幺+ 乞= 忽+ 乞， ( 口+ 呜+ 力+ ( 噍+ 毛) + ( 白+ 乞) = ( 忍+ 力+ ( 鹰+ 弓) + ( 危+ 乞) ， 口+ ( 局+ 鸣+ 弓) + 么+ z + 乞= ( 鹰+ 么+ 乞) + 属+ z + 弓， 口+ ( 鹰+ 弓) + 匀+ 三+ 乞= ( 唿+ 乞) + 鹰+ z + 弓， 口+ ( 么+ 鹰) + ( z + 互+ 磊) = ( 鹰+ 忽) + ( z + 弓+ 乞) ， 由于白+ 愿，忍+ 唿彳，z + 互+ 乞夕，所以盯彳 综上所述，可知彳是j 的乃理想。 西北人学硕士学位论文 推论3 1 若z 彦是j 的理想，则 ( i ) 彳彳且彳是夕中包含彳的最小的乃理想； ( i i ) 假如彳彦，那么彳刀； 一 = 一 ( i i i ) 彳= 彳，即彳= 彳当且仅当彳是力理想。 3 2 交换逆半环的全力理想和环同余 本节先在交换逆半环的全力理想集上定义了运算，得到其代数结构，其后， 给出了伞乃理想与环同余的对应表示。 定义3 4 半环的非空子集彳称为半环j 的全左( 右) 办理想是指：彳是 夕的左( 右) 乃一理想且满足矿( 彳如果彳既是全左乃理想又是全右乃理想， 那么彳称为的全乃理想。 命题3 5 若彳和刀是夕的两个全力理想，则彳+ 彦也是j 的全力理想，且有 a 暑a 七b ，8 暑a 七b 。 证明：容易知彳+ 曰是j 的理想，那么由命题3 4 和推论3 1 ，可得彳+ 彦是 办- 理想且彳+ 刀彳+ 刀由于矿( 4 曰，因此( 彳+ 彦彳+ 占，所以 彳+ 彦是全力理想。 令口彳，那么 口= 口+ 口+ 口= 口+ ( 口i + 力彳+ 曰 其中口+ 口矿( 彦，因此彳彳+ 刀，相似地有刀彳+ 刀 命题3 6 如果将夕的全力一理想的集合记作以d ，那么以既是完备格，又 是模格。 证明：首先，在以上定义偏序关系为一般集合的包含关系。假设 4 彦以，显然彳n 彦以；由命题3 5 知彳+ 刀以定义 彳 彦= 彳n 曰和彳v 彦：厕 假设f 以固，其中z 彦f ，那么 a 七b 呈c a 七b 曼c 由f = f ，得彳+ 彦f 因此彳+ 彦是4 彦的最小上确界，所以以是格。又由 ( 以和j 以，所以以是完备格。 西北人学硕士学位论文 其次，假设4 忍f 以，且令彳 彦= 彳 f ，彳v 曰= 彳vf 和彦f 若 z f ，则 j 彳vc 7 = 彳v 刀= 彳+ 刀 从而可找到口+ 6 彳+ 曰，使 x 七q 七b 七z = a 、七b 、七z ， 其中仍q 彳，历4 彦，z j ，爿i j 么 j + 口+ 彦+ 孑+ 口= q + 4 + z ， ( z + ( 口+ 口- ) + 功+ z = ( q + 口 ) + 4 + z ， 现有z f ，口+ 口( 句冬f 和6 曰c ，得 z + ( 口+ 口- ) + 6 f ， 又磊曰f 且f 是后- 理想，所以 q + 口f n 刀= 彳n 刀， 得口+ 口彦，而 z + 口+ 6 + z + 口= ( ( q + 口i ) + 4 ) + z ， z + ( ( 口+ 口) + 功+ 7 = ( ( q + 口) + 历) + z ， 显然( 口+ 口i ) + 历( q + 盯) + 么刀，而刀是乃- 理想，所以z 刀，推出彦= f 这就 证得以是模格。 半环j 上的同余p 被称为环同余是指商半环( 形，+ ，- ) 是环。 本节以下部分，j 表示交换逆半环，口为中口的逆，一( 印) 记为环 ( 形，+ ，) 中( 印) 的加法逆。 命题3 7 如果彳是的全力- 理想，那么关系p 。= ( 玩功j j i 口+ 彦埘 是j 的环同余。 证明：首先，( v 口口+ 矿( 彳 令口+ 彦彳，由命题3 3 得( 口+ 6 t ) 彳，且| j6 + 口彳 令口+ 6 彳，6 + f 彳，另仁么 ( j 噍4z 口+ 6 + 彦+ f = 鹰， ( 口+ ( 。f ) + ( 彦+ 西) + z = 名+ z 又彦。+ 乃彳且彳是乃- 理想，得口+ f 彳所以p 。是。l 的等价关系。 1 0 西北人学硕士学位论文 令( 儡功p 彳，f j ，那么口+ 6 彳因为 ( f + 力+ ( f + 国= f + 口+ 6 + f = ( 盯+ 6 t ) + ( f + f ) 彳j ( f + 岛f + 功办， 阳+ ( 棚= 四+ 彩= d 口+ 6 ) 彳j ( 弼柳p 彳， 口f + ( 6 0 = 刃+ 彪= ( 口+ 彦i ) f 彳= ( ( a p 。， 所以p 。是j 上的同余关系。 我们可得到商半环( 形，+ ，- ) ，其中加法和乘法分别定义为： 口p 4 + 6 p 4 = i 、口+ 协p 4 私i 、口p j k 6 p 0 = t 口幻p 4 其次， n p4 七6 p = 七砩p = 文b 七宙p a = b p + n p 显然，( 形，+ ) 是交换半群。 令p ( 国，口，有 ( p + 印+ 口= p + ( 口+ 口) z ( 彳 可推得( p + 功办= 印彳，即 p p 4 + 口p 4 = 口p4 酗口p + d9 4 = 0 a + 口、p4 = p p4 因此形是商环，印彳是其零元素，而口办是形上印彳的负元素，即 一( 卵彳) = p 命题3 8 若p 为j 上的环同余，则一定存在j 上的全力一理想彳，使办= p 证明：首先，令集合 彳= 口j i ( j f ( ) ( 岛力p ) 由p 的自反性，易得( 彳若儡彦彳，那么存存b ( ，使得 ( 职p ) | p ，( 彦，p 从而( 口+ 6 ，p + 力p ，而p + ( d ，则口+ 6 彳再者 ( v 厂( 懈砷p 和( 职叫p ， 显然肥( ，则似彳因此彳是j 的理想。 设存在局，鹰彳，口j ，使 口+ 局+ z = 噍+ z ， 则1 竿在毋( ，有 ( 么，p ) p ，( 幺，) p ， 西北人学硕二t 学位论文 冈为 d p 七k p + 2 p = k p + z p ， 变形替换得 d p 七e p 七z p = f p + z p ， 而印，和为环形的加法幂等元，即印= 巾是形的零元素。这就意味着： 。6 p z p 2 z p ， q p 七z p 9 = z p zp ， 即印= 印，推出口彳所以彳是夕的全力- 理想。 其次，考虑同余n 和p 的关系。假设( 岛国p ，那么 ( 口+ 彦，彦+ 彦) p 由彦+ 彦三( 国，得口+ 彦彳，即( 岛功p 一 反之，假定( 仍功以，即口+ 彦彳，则存在p ( ，使 ( 口+ 6 ，- 力p ，即印= 印+ 6 p e p 6 p = 口p 七bp 七6 p ， 即印= 卯，( 岛功p 因此得办= p 3 3 小结和讨论 本章在交换逆半环上，给出了由理想生成彦理想的一种方法：再在全办理 想一卜定义运算“ ”和“v ”，得到全力理想集既是完备格又是模格；最后给出 了全彦理想与环同余的对应表示和关系，即：彳= 4 p 我们还町以考虑：由全力理想得到的环同余是否是最小的环同余，能否给 出环| _ j 余的其它表示方式及办的是何种代数结构。 西北人学硕士学位论文 第四章p o e ( p o ) 一半群的理想及其结构 本章参考了n k e h a y o p u l u 教授的一系列序半群论文，主要研究了给理想元 素和左理想、双理想赋予素、半素、弱素的性质后，它们在特定序半群一卜的关系 和性质：给出了左止则和内禀止则的结构，并推广了其构造方法；最后在诣零半 群上给出了南土左理想得到的有关g r e e n s z 关系、同余的结果。 4 1 左- d u o 的p o e - 半群的素、弱素理想元素 本节主要研究了左d u o 的p o e 半群的素理想元素和左弱素理想元素的性质 及它们之间的关系。 定义4 1 2 设j 是p o e 一半群，如果对每一个z 夕，都有z “，力， 那么j 称为左( 右) 正则的。 定义4 2 设j 是p o e 半群，如果对每一个石j ，都有石f ，那么j 称为 内禀正则的。 定义4 3 2 设j 是p o e - 半群，如果z 夕，有聊z ( 膨力，则元素z 称为 j 的左( 右) 理想元素。若石既是左理想元素又是右理想元素，则z 称为夕的理 想元素。用历( f ) 、f 对应地记j 上的左( 右) 理想元素、理想元素集。若 巧z ( f 巧) ，则j 称为左( 右) - d u o 的。 定义4 4 2 设j 是p o 半群，j ，是素的是指：当岛6 夕且功，时 口或彦，；，是半素的是指：对任意的口j ，当时口，；，是左( 右) 弱素的是指：左( 右) 理想元素岛彦且彩，j 口，或6 ，；如果既是左弱 素的又是右弱素的，那么，是弱素的。 注4 1 设j 是p o e - 半群，对任意的z j ，有盯巧( 膨f ，伽毋 注4 2 设j 是p o e 半群，( v 石巧，口d 朋石：( 比f ，口刎巧 命题4 1 左正则p o e 半群的一个理想元素是素的当且仅当它是半素的且是 弱素的。若p o e 半群可交换，则素理想元素和弱素理想元素是一致的。 证明：令夕是左正则p o e 半群，是夕的素理想元素。显然，是半素的，同 时也足弱素的。 西北人学硕士学位论文 相反，假设是夕的半素且弱素的理想元素，令儡彦j ，彩，那么 ( 刎2 = ( 灰切( 西刎砒班= 因为，是半素的，所以砌，那么 ( 凸鲐) ( 幽f ) 刮垃形咖= 又因为伽、也是理想元素，且是弱素的，则有删或砒 而是左正则的，那么 n s e 毒e n e f b s e 移s e b e f 。 从而，是夕上的素理想元素。 特别的，若j 是交换的p o e 一半群，令是弱素的，岛彦j 且彩，那么 婶n e 心6 心e n e 6 e = e e 口b e e n b e e 把= t 因为，是弱素的，又伽、幽是理想元素，则有删，或p 缸，得口或 易， 命题4 2 设夕是左- d u o 的左正则p o e - 半群，夕的左( 右) 理想元素是左( 右) 弱素的当且仅当j 的所有左( 右) 理想元素是链。 证明：j 设矾6 是j 的左理想元素，不难得知：彩也是j 的左理想元素。 那么彩是左弱素的且彩彩，得口彩或西功再由夕是左d u o 的得： 口彩彩6 或彦彩s 口f 盯 仁设岛磊是夕上的左理想元素，且彩又已知口彦或彦s 口因为夕 是左正则p o e 半群，若口西，则口砌，；若6 口，则 6 s e 醪p d 6 酣s f 推论4 1 是内桌正则p o e - 半群，j 的理想元素是弱素的当且仅当的所有 理想元素是链。 命题4 3j 是左d u o 的p o e - 半群，j 的左理想元素是素的当且仅当j 上的 所有左理想元素是链且j 是左正则的。 证明：j 夕的左理想元素是素的，则也是左弱素的。再有条件夕是左d u o 的，由命题4 2 证明过程知，夕的左理想元素形成链；同时j 的左理想元素也是 半素的，由于对任意的口夕有，而是左理想元素，所以- 日 口，即j 是内禀正则的p o e 半群。 西北入学硕士学位论文 譬设岛巍，是s 上的左理想元素，且彩，义已知疗彦或彦g 。因为夕 是左正则的p o e _ 半群，若盯易，则口蕊彩；若彦口，则 矗se 梦墨e 口矗曼e f s | 推论4 2 是p o e 一半群，夕的理想元素是素的当且仅当j 的所有理想元素是 链且夕是内橐正则的。 4 。2 序半群的左理想 本节先给出了主左理想的生成集的性质，后以上节内容为基础，给出了 左一d 毽。痔半群的左理想类似于一卜节的结论。 定义4 5 3 1 设j 是序半群，j ，若4 刀茂彳厅，婶彳s ，或刀呈， 赠，称为素的。 等价定义：仍6 墨彩，等口厂或序e 厂 定义4 。6 嘲设s 是窿半群，分，著名夕，等名冬，则称，是 半素的。 等债定义：露曩f j 群丁。 定义4 7 设夕是序半群，gj ，如果对夕的任意左( 右) 理想z 方， 艘，j 名笪，或曰量，那么称歹是左( 右 弱素的。 定义4 8 设夕是序半群，如果对任意的j ，存在五少芒夕，使得 露y ，郎露任意酶墨露( 厨习或对任意的么墨名g ( 群习，那么称夕 是内禀正则的序半群。 弓| 理4 。圭若夕是序半群，则 ( i ) 任意的彳夕都有彳s ( 卅； ( i i ) 魏采名露冬夕，那么( 捌( 翻； ( j i i ) 任意的4 刀g 都有( 卅( 司( 删； ( v ) 任意的彳夕都有翻】。( 胡； ( v ) 对的所有左( 右，双) 理想厂都有( 7 1 = 厂： ( v i ) 如果蔗君是夕豹左( 有，彀) 理想，那么么翻，名n 方也是s 的左( 有， 双) 删想： 西北人学硕士学位论文 ( v i i ) 任意的口e ，( 劂( ( 卅，( 击刎) 是j 的左( 右，双) 理想 证明：略。 命题4 4 若j 是序半群，以下命题等价： ( i ) 对j 的每一个左理想彳都有( 彳】彳； ( i i ) 对j 的所有左理想4 曰有彳n 曰( 彳绷； ( i i i ) 任意的仍6 j 都有z ( 功nz ( 功( z ( 功z ( 剀； ( i v ) 任意的口j 都有z ( 力= ( ( 么砌2 】； ( v ) 任意的口j 都有( 删 证明：( i ) j ( i j ) ，( i i ) j ( i i i ) ，( i i i ) j ( i v ) ，都是显然的。 ( i v ) j ( v ) 令口夕，因为z ( 功= ( ( z ( 砌2 】，我们有 ( z ( 力) 2 = ( ( z ( 力) 2 】以功= ( ( 以功) 2 】( 以功】( ( 坝