（基础数学专业论文）banach空间中n阶非线性脉冲积分—微分方程的边值问题.pdf

摘要 非线性泛函分析是现代分析数学中的一个重要分支学科它为解决当今在物理学、 化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域出现的各种各样的非线 性阊题提供了富有成效的理论工具在处理实际同题所对应的各种非线性积分方程移歙 分方程中发挥着不可替代的作用其中，非线性脉冲微分方程理论作为微分方程中的一 个重要的新分支，有着深刻的物理背景和现实的数学模型，是目前分析数学中研究较为 活跃的领域 本文共分两章 第一章是绪论部分，简要介绍了非线性泛函分析理论和抽象常微分方程理论研究的 历史现状 第二章研究了b a n a c h 空间中扎阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题解的存 在性在文献f 2 7 2 9 中，郭大钧教授通过利用不动点指数理论证明了b a n a c h 空间中积分 一微分方程的无穷边值问题具有多重正解文献 3 0 】则是利用m 抚c 不动点定理，获 得了b a n a c h 空间中一类无穷区间上的一阶非线性脉冲微分方程边值问题解的存在性但 是在文献( 2 7 2 9 i 申所研究的问题要求对于任意固定的自变量，方程右端非线性项在任意 有界集上相对于b a n a c b 空间是紧的；文献f 3 0 】研究的还是一阶的，而且右端非线性项不 含有积分算子本文第二章将利用非紧性测度和m 轨c 不动点定理在非线性项不要求满 足文献f 2 7 - 2 9 1 中提到的条件下，对高阶非线性脉冲积分一微分方程解的存在性进行了 研究首先是将所研究的n 阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题转化成与之等 价的积分方程，进而转化成算子不动点问题，然后通过更为精确的非紧性测度的分析， 利用m 拥矾不动点定理证明了方程解的存在性最后还给出了一个无穷维系统脉冲积分 一微分方程无穷边值问题的例子来说明本文主要定理的合理性 关键词：b a n a c h 空间；脉冲积分一微分方程；边值问题；非紧性测度；m ；n c 不动 点定理 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a i y s i sh a sb e e no n eo f t h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e so f l e a r n i n g i nm o d e r nm a t h e m a t i c sa tp r e s e n t i tp r o v i d e sa ne 丑e c tt h e o r e t i c a lt 0 0 1f o rs t u d i n gm a n y n o n i i n e a rp r o b i e m sw h i c hr e 8 u i tf r o mp h y s i c s 、 c h e m i s t r y 、 m a t h e m a t i c s 、 b i o 王o g y 、 m e d i c i n e 、e c o n o m i c s 、c y b e m e t ba n ds oo n i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd e a l i n g w i t hn o n l i n e a ri n t e g r a ie q u a t i o sa n dd i 行e r e n t i a ie q u a t i o n sa r s i n gi na p p i i e dm a t h e m a t i c s a m o n gt h e m ，t h et h e o r yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i 矗- e r e n t i a le q u t i o n 8h 船b e e ne m e r 舀n ga s a ni m p o r t a n ta r e ao fi n v e s t i g a t i o ni nr e n c e n ty e a r s i th a sd e e pp h y s i c a jb a c k g r o u n da n d r e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l i nn a t u r e i ti sa ta c t i v e6 e l d si na n 以y s i sm a t h e m a t i c s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e 舀v et h ep r e f a c e ，i n t r o d u c i n gb r i e f l yt h er e s u l t so fi n v e s t i g a t i o n a b o u tn o n l i n e a rf h n c t i o n a la n a l y s i sa n do r d i n a r yd i f l b r e h t i a le q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e s i nr e n c e n ty e a r s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x s i t e n c eo fs o l u t i o n sf b rab o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn t h o r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i 、他i n t e g r c p d i 丘b r e n t i a le q u a t i o n s i nr e n c e n tp a p e r s 【2 7 29 ，p r o f e s s o rd a j u ng u o h a so b t a i n e dt h ee 鹤i t e n c eo fm u l t l p l ep o s i t i 、r es 0 1 u t i o n sf o r ab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e 8b ym e a n s o ff l x e dp o i n ti n d e xt h e o r mi np a p e r 【3 0 】，t h ea u t h o rs t u d i e sak i n do fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo ff i r s to r d e ri m p u l s i v ed i 珏b r e n t i a le q u a t i o n si nab a n a c hs p a c eb yu s i n gm 石n c f i x e dp o i n tt h e o r e m t h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o ni so b t a i n e d b u ti np a p e r s 【2 7 2 9 】，t h e n o n l i n c a rt e r mi na n yb o u n d e ds e to fei sr e l a t i v e l yc o n l p a c ti nef b ra n yv a r i a n tti n j ，w h e r ej = 【o ，o o ) ；i np a p e r 3 0 ，t h ee q u a t i o n sa r ef i r s to r d e r ，a n dt h en o n l i n e a rt e r mh a sn o i n t e g r a lo p e r a t o r s i nt h i sp a p e r ，w es h a l lu s et h ek u r a t o w s k im e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s a n dm 6 n c h6 x e dp o i n tt h e o r e mt oi h v e s t i g a t et h ee x s i t e n c eo fas o l u t i o nf o ra b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fn t h _ o r d e rn o n l i n e 耵i m p u l s i v ei n t e g r o - d i 珏色r e n t i a le q u a t i o n so n a ni n f i n i t e i n t ( ：r v a li nab a n a c hs p a c e t h ee q u a t l o n sh a en or e q u i r e m e n tw h i c hi sm e n t i o n e di n p a p e r s 【2 7 2 9 w eo b t a i nt h ee x s i t e n c eo fa s u l u t i o nb ym e a n so ft r a n s f o r m i n gt h ei n t e g r o d i 乳r e n t i a le q u a t i o n si n t oai n t e g r a le q u a t i o n ，u s i n gt h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s sa n d m d n c 矗x e dp o i n tt h e o r e m f i n a l l y ，a ne x a m p l ef o rm 6 n i t es y s t e mo fb c “a rs e c o n do r d e r i m p u l s i 、圯i n t e g r o d i f f 色r e n t i a le q u a t i o n si so f l e r e d k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e ；i m p u l s i v ei n t e g r 0 - d i 腩r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m ；m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；肘。6 n c h6 x e dp o i n tt h e o r e m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名：蔓煎蛊照 日期a 阳，、 学位论文版权使用授权书 7 尸 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，邵：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：动丝丝指导教师签名 日 期：塑：! 三，日期：碰1 z 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：! 芏! 坠型量电话：，塑幽争 通讯地址：4 疃吐窭堡鐾邋邮编：咝l 第一章绪论 随着科技的发展，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论 等科学领域出现了各种各样的非线性问题，这要求人们分析和解决非线性问题的数学能 力向着全局的高、精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了现代分析 数学的一个重要的分支学科一非线性泛函分析它的内容大可追溯到上个世纪二三十年 代，到上个世纪五十年代，非线性泛函分析已初步形成了自己的理论体系，主要包括拓 扑度理论。l i 缶界点理论和半序方法等 非线性分析理论的研究和完备化具有很重要的意义几十年来，国内外的研究学者 对非线性问题的研究做了大量的工作1 9 1 2 年，l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了 拓扑度概念1 9 3 4 年，j l e r a y 和j 一s c l l a u d 即将这一概念推广到b a r m h 空间中的全 连续场后来，e r o t h e ，m a k r a s 0 s e l s k i i ，p h r 曲i n o w 纰，h a m a n n ， v l 出h r r l i l c a n t h a m ，k d e i m l i n g 等对拓扑度理论，锥理论及其应用进行了深入的研究国 内许多著名的数学家，如张恭庆教授、陈文塬教授、郭大钧教授、孙经先教授、刘立山 教授、赵增勤教授等在这一领域都傲过很深刻的工作。得到了很好的结果郭大钩教授 在专著 1 】中，论述了非线性算子的性质，拓扑度理论；将半序和拓扑度( 不动点指数) 相结合起来研究非线性算子方程的正解；讨论了常用的凹算子和凸算子的正解及多解问 题；证明了强制半连续单调映象的满射性和强制多值极大单调映象的满射性；论述了非 线性问题中的变分方法书中还包括了对于非线性积分方程，常微分方程以及二阶半线 性椭圆型偏微方程的应用，郭大钧教授和v l a k s h i i k “t h a m 在合著【2 】中利用锥理论讨 论了多种非线性闻题，主要是近年来发展起来的一些最新成果文献f 3 j 在描象空阔中研 究了各种非线性积分方程解的存在性和唯一性，其中主要是作者近年来获得的主要研究 成果文献【4 】则重点讨论了使用拓扑度方法和变分方法来研究各种非线性积分方程解的 存在性问题文献【5 】则利用非线性分析研究常微分方程解的存在性，唯性及多解性， 其中使用了非线性泛函分析中的许多理论和方法，如拓扑度理论，半序方法，上下解等 方法 非线性泛函分析不断向前发展，其理论越来越丰富。方法越来越成熟，促进了人们 对非线性常微分方程、偏微分方程以至b a a 出空间常微分方程的研究 设e 是b a n a c h 空间，j = p o ，t o + 卸( t 0 为一实数) ，：j e + e ，如e 考察b a n a c h 空间b 上的常微分方程初值问题( c a t 咖问题) ； 象= ，( t ，酬= 孤 ( 1 1 ) 在上世纪5 0 年代，人们发现许多重要的偏微分方程都可以统一为无穷维b a a 出空 间上的常微分方程初值问题( 1 1 ) 来研究这样，b a n a c h 空间常微分方程引起了人们广 泛的兴趣1 9 5 0 年，j d i e u d o n n e 举出反例( 见文献【6 】) ，说明有限维空间常微分方程 基本存在定理一c a u d l y p e a n 0 定理对无穷维空间上的常微分方程不再成立该反例的发 表是b a n a c h 空间常微分方程理论发展过程中的一个重大事件它表鳃，由于无穷维空间 同有限维空间的本质区别，有限维空间常微分方程的许多结论和方法，对无穷维空间的 常微分方程不再适用无穷维空间常微分方程的研究，存在着本质的困难，需要新的理 论，新的工具，新的方法从此，人们开始了对无穷维b a n a c h 空间常微分方程理论的系 统研究到上个世纪8 0 年代初，经过许多数学家的努力，b a n a c h 空间常微分方程已经 初步形成理论体系，其标志是这一领域中三部专著【7 9 】的出现我国在1 9 8 9 年也出版了 这一领域中的第一部专著【l o 】，书中除了概括了b a n a c h 空间上常微分方程理论外，还包 括了国外一些著名数学家在这领域中所获得的结果和作者自己的工作 对于c a u c h y 问题( 1 1 ) ，如果，：j e e 满足局部l i p 8 c h i t z 条件，那么利用压 缩映象原理，就可以证明其解的存在性和唯一性但对无穷维空间来说，局部l i p s c h i t z 条件是一个过强的条件a l a 8 0 t a 和j a y 0 r k e 在文献 1 1 l 中给出了b a n a c l l 空间上的 连续映射，可以由局部l i p s c h i t z 映射矗忙 o ) 来逼近考察初值问题： 害= 坤，吐酬硇 ( 1 2 ) 则对每个 ，初值问题( 1 2 ) 必有唯一解z 。( t ) ，这一解称为初值问题( 1 1 ) 的e 一近似 解进而得到：若近似解z 。( f ) ，在e + o 时有一个子列在，上一致收敛于某。( t ) ，则 。( ) 是初值问题( 1 1 ) 的解由此得到，为寻求初值问题( 1 1 ) 的可解性条件，就要寻求使 得 ( t ) ) 有子列一致收敛的条件这样的条件主要有两类，一类是紧型条件，一类是耗 散型条件在紧型条件下，k d e i m l i n g 在文献【7 】中，定理2 1 推广了c a u d l y p e a n o 定 理；在耗散型条件下，定理3 2 得到了c a u c h y 问题( 1 1 ) 解的存在唯一性 s w d u 和 v l a k s h m i h n t h a m 在文献【1 2 中，运用上下解方法与单调迭代技巧得到了c a u c h y 问题 ( 1 1 ) 的最大解和最小解孙经先教授在文献【1 3 】中指出若e 是弱序列完备的，去掉文献 1 2 】中的紧型条件，文献【1 2 】中的定理仍然成立作为补充，孙经先教授和孙勇教授在文 献【1 4 】中研究了当，( 。) 是不连续的增函数时c a u c h y 问题( 1 1 ) 的最大广义解和最小广义 解的存在性 除了c a u c h y 问题，人们还对b a n a c h 空间中许多常微分方程的初值问题进行了研究， 其中有高阶的，有低阶的；有单纯的常微分方程，有含有积分线性算子的积分一微分方 程，还有含有间断项的脉冲微分方程和脉冲积分一微分方程，例如可见文献f 3 ，3 3 节1 和【1 5 一1 9 】在文献 3 ，3 3 胡和【1 5 1 8 】中，v l a k 8 h m i k a t h a m 和郭大钧教授致力于抽 象空间锥理论的研究，借助锥理论和半序方法对方程进行了研究在文献f 3 ，3 3 胡中， 作者利用不动点指数理论获得了b a n a c h 空间中一阶v o l t e r r a 型积分一微分方程初值问 题解的存在性在文献【1 5 】【1 6 】中，郭大钧教授通过建立比较原理，运用上下解方法，得 到了b a n ”h 空间中二阶积分一微分方程初值问题存在最大解和最小解 1 5 1 1 6 】中方 程的非线性项含未知函数u 的一阶导数项与t u 项( ( t u ) ( ) = 詹k ( t ，s ) u ( s ) 如，其中， ( ，8 ) g 【d ，凰 ，d = m ，s ) ，j t s ) j = 【0 o o ) ) ，所不同的是【1 6 】研究的是脉冲方 程由于脉冲方程的解已经不是连续的了，所以研究问题的空间也发生了变化相对于 文献【1 5 文献【1 7 】中研究的是n 阶方程，并且非线性项又多了一个积分线性算子s u 项 ( ( 鼬) ( t ) = j f 日( t ，s ) “( s ) d s ，其中，日( t ，s ) g p j ，码_ 】 ，= 【0 ，o 。) ) 作者郭大钩教授利 用锥理论和单调迭代技术得到了方程存在最小非负解在文献f 1 8 】中郭大钧教授同样是 利用锥理论，半序方法和单调迭代技术得到了二阶v o l t e r r a 型脉冲积分一微分方程初值 问题存在最小非负解文献1 1 9 】中作者撇开了锥理论，面是利用非紧性测度和s c h a u d e r 2 不动点定理证明了b 缸a c h 空间上的n 阶脉冲积分一微分方程初值问题解的存在性文 献【3 ，3 3 匍和 1 5 一1 9 1 中研究的方程都是定义在无穷区间i ，= 【o ，。) 上的，文献【2 0 】 2 l 】讨 论的则是有限区间上的非线性脉冲积分一微分方程，其有关结论可参考文献 由于许多重要问题的需要，b a n a c h 空间常微分方程两点边值问题引起了许多人的重 视人们借助于非线性泛函分析中锥上的不动点指数理论，不动点定理，上下解方法等对 b a n a c h 空间中各种微分方程的两点边值问题进行了系统的研究，可以参看文献【2 2 - 2 6 】 文献【2 7 - 3 0 】主要针对b a n a c h 空间微分方程的无穷边值问题进行了研究文献【2 7 2 9 】 主要研究的是方程的多重正解性，其研究主要借助了半序b a n a c h 空间理论，锥理论， 拓扑度理论主要方法都是将所研究的方程无穷边值问题转化成与之等价的积分方程， 进而转化成算子不动点问题，利用非紧性测度的基本知识，通过构造有界凸开集，运用 不动点指数理论证明了方程至少具有两个正解文献2 7 】研究的是一阶非线性积分一 微分方程文献 2 8 】针对 2 7 】，方程含有间断项是脉冲积分微分方程 2 9 】研究的 是n 阶脉冲积分一微分方程，实际上是文献【2 8 1 的推广在文献 2 9 】中由于所研究问 题的非线性项含有从u 到“的n 一1 阶导数项，而且是脉冲方程，故研究问题的空间是 d 尸俨- 1 旧司( 详情见文献或者本文第二章引言) ，又因为研究的是正解，研究空间就成 了d p g “一1 【j ip 】= “d p g “一1 正e 】i u ：t ，斗p ( 其中p 是e 中的锥) 而a s c o l i a r z e l a 定理只适用于定义在有限区间上的抽象函数集，因而算子的紧性和连续性的判定是非常 困难的，在这里非紧性测度起了很重要的作用最后通过构造凸开集，利用不动点指数 理论证明了该问题的多重正解性文献【3 0 】利用m 6 n c 不动点定理，获得了b a n a c h 空 间中一类无穷区间上的一阶非线性脉冲积分一微分方程边值问题解的存在性 在文献 2 7 2 9 】中所研究的问题要求对于任意固定的自变量，非线性项在任意有界集 上相对于b a n a c h 空间都是紧的文献【3 0 】研究的是一阶的，而且右端非线性项不含有积 分算子文献【1 9 】在研究解的存在性时还要求非线性项关于自变量是一致连续的 在本文第二章中我们将运用非紧性测度和m 赫如不动点定理在非线性项既不关于 自变量一致连续，也不对于任意固定的自变量在任意有界集上相对于b a n ”h 空间紧的条 件下，对高阶非线性脉冲积分一微分方程解的存在性进行了研究主要思路是将所研究 的n 阶非线性脉冲积分一微分方程无穷边值问题转化成与之等价的积分方程，进而转 化成算子不动点问题，然后通过更为精确的非紧性测度的分析，利用m 拥c 不动点定 理证明了方程解的存在性最后我们还给出了一个无穷维系统脉冲积分一微分方程无穷 边值问题的例子来说明本文主要定理的合理性 3 第二章b a n a c h 空间中n 阶非线性 脉冲积分一微分方程的边值问题 2 1 预备知识 非紧性测度的基本概念及其理论 定义2 1 1 设e 是实b a n a c h 空间s 是e 中的有界集令a ( s ) = i 2 1 f 6 o i s 可表为 有限个集的并：s = 0 & ，且每个& 的直径d ( 最) 都不大于6 ) 显然，o a ( s ) o ，必存在6 = d ( e ) o ，使得对于e 中任意两个有界集s l ，s 2 ，只要d h ( s 1 ，s 2 ) d ，就有1 a ( s 1 ) 一a ( s 2 ) 1 e ， 记，= 。，嘲表示实数轴上的有限闭区间g j ，司表示从j 到e 的抽象连续函数空 间，范数为l lzl i = 鼍磐| | z ( ) m v z g f ，明g ，司，e 中的非紧性测度分别用o c ( ) ，o e ( ) 表示 引理2 1 2 设日cg f ，司是有界等度连续的，则 ( 1 ) a c ( 日) = o f ( 日。( ，) ) ； ( 2 ) a e ( 日( ，) ) = 跫擎o e ( h ( t ) ) 其中h ( ) = z ( ) l z 日) ce ，h ( ，) = 。( t ) i z 月，t j ) = uh ( ) ce 注有关非紧性测度的详情可参见文献f l 】f 10 】， 4 2 2 引言 设e 为b a n a c l l 空间，考察曰中的n 阶非线性脉冲积分一微分混合型方程边值问 题( b v p ) u ( t ) ，t ( ”1 ) ( t ) ，( t u ) ( t ) ，( s t ) 如) ，“( “) ，- - ，仳( n 一1 ) ( “) ) ；= 1 ，2 ，3 ，) ， ，n 一2 ) ，“( “一1 ) ( o 。) = 所加一1 t ) ) ，j ， ( 2 2 1 ) ( 0 ) ， 其中，= 【o ，o o ) ，o l 2 o 充分小，由牛顿一莱布尼兹公式有 “( n 一2 ( 如一e ) = “( n 一2 ( ) + ，“( n l ( s ) 出，讹t 1 靠一e “， j t 在上式中令e - o + ，则有 “( “一2 ( ) = “( n 一2 ( ) + “( 州( s ) 幽， t “ j 同理可以得到“( ”2 ) ( 毒) 存在且 t ( ”一2 ( t ) = t ( ”一2 ( t ) + t ( ( s ) 出，血 t “+ l 用同样的方法一直继续下去可以得到u ( “一3 ( t ) ，u ( “一3 ( 坛) ，t ( t 毒) ，u 似i ) 存在令t ( ( “) = u ( ) ( 坛) g = l ，2 ，n 一1 ；k = l ，2 ，3 ，) ，则u ( ) p g 司0 = o ，1 ，n 一1 ) 我们约定在 b v p ( 2 - 2 1 ) 中和以下研究过程中，都将t ( ) ( “) 理解为u ( ) ( ) 令d p g n 一1 司= u p 伊一1 司iu ( i ) b p g 司， = o ，l ，n 一1 ) ，赋予范数 9 u 0 d = m a x lj u | l b ，i i u 1 1 日，j j “( “一1 ) i l 县) 显然d p g ”1 司是以d 为范数的b a n a c h 空间 5 尝篡嚣 删摊扎州 “0 “ 记以= 【o ，# 1 ，以= ( 一l ，纠忙= 2 ，3 ，4 ，) 着u g “f ，明np g ”1 【j 翻满足b v p ( 2 2 1 ) ，则称u 为b v p ( 2 2 1 ) 的解本文将直 接在d p 伊_ 1 明中研究b v p ( 2 2 1 ) 对b a n a c h 空间中的有界集y ，甩a ) 表示v 的 k t t o w s k i 非紧性测度本文曰，d p g ”1 【j i 司中的非紧性测度分别用a e ( ) ，a d ( - ) 表示 为了后面的应用先列出以下引理： 引理2 2 1 【19 】当“p a ”1 司n g ” ，司时，有 n i 1f u ( 牡薹舻) ( 0 ) + 南小一) n 。1 0 哟( 曲如 v t z( 2 2 3 ) - 1 ) “州) ( 0 ) + p n ) ( s ) d 一。乏。) ( t + ) - m 川，v t j ( 2 2 4 ) 引理2 2 2 f 1 9 】设矿是d p g ”一1 司中的有界集，若y ( n 一1 ( t ) = u ( n 一1 ( t ) ：u y ) 是五上的等度连续函数族( 自= 】，2 ，3 ，) ，且当_ 。时，e 一f f ( 2 ) ( ) l f 关于“y 一 致趋于0 0 = o ，1 ，n 1 ) ，则有 a d ( 矿) = m a x s u p e 一。a e ( 矿( 2 ( ) ) 】：i = o ，1 ，一，礼一1 、j 引理2 2 3 【3 】设v = 。 是lcl 【f ，司，且存在9 三【，r + 】使对一切z 。k 有 i | z 。( t ) i i 9 ( ) ，o e j ，贝4o e ( 贮。( s ) d s ：n = l ，2 ，3 ，) ) 2 片a e ( y ( s ) ) d s ，其中 = 陋，纠 引理2 2 4 ( 3 j( m j 礼c 不动点定理) 设e 为b a n a c h 空间，kce 为闭凸集， ，：彤_ 为连续映射，若对某一。k ，有e 可数且gc 乙石( 。 u f ( c r ) ) 蕴 含着c 是相对紧集，则f 在k 中有一个不动点 6 q咖 学 “：豆鳅 + o 2 3 主要结果 为方便先列出下列条件： ( 日1 ) 2 骢( 8 。上j 耳( t ，s ) 妒出) = o ，上阻( ，s ) 1 8 凼 o o ，巩j ，t，o 。 0 骢( e 。上1 日( t ，s ) p d s ) = o ，坦上旧( 。7 ，s ) 一日( t ，s ) p 出= o ，j ，o 。r 这时记 r f，o o = s u p ( e 。k ( t ，s ) 妒d s ) ，旷= s u p ( e “ 1 日( t ，s ) l e 8 d s ) t j j 0 t j j o ( 如) 存在b ( t ) ，o i ( t ) e j ，r + 】0 = o ，1 ，n + 1 ) ，有 n + l ，( t 舢， l j 一，t ) 。- 1 ，口。，+ 1 ) 临6 ( t ) + o l ( t ) l l 仇 t - = 0 v t 正v 钉o ， 1 ，一，u n + 1 e 存在非负常数 幻( ，j = o ，1 ，n 一1 ；= 1 ，2 ，3 ，) ，有 且 其中 0 ( ”o ，”1 ， 。一1 ) i v o o ，m ，- - ，t h 一1 f “= o ，1 ，一，礼一l ；南= l ，2 ，3 ，- ) z 。6 ( t ) d t o 。，z ”。( t ) e 。d t o 。“= o ，1 ，- ，n + 1 ) 寿蚺( 告矿 ， m l = 萎。m + n m 4 ：= 上。州咖坝剐，”一，n + 1 ) m l = o ：十+ n ：+ 4 0 ；+ 1 ，：= 啦( ) 一出o = o ，1 ，n + 1 ) z = u 一 ，一- 矿= 6 ( ) 出，四= g 妒“( = o ，l ，n 一1 ) ，g + = m “ q ，睇1 ) 。” = l j = 0 ( 凰) 存在幻二( 【0 ，o 。) ；r + ) 0 = o ，l ，n + 1 ) ，满足对e 中任意有界集d o ，d 1 1 一，巩+ l 有 俩，t ) ) 薹胁( 吼恍j ； 存在非负常数舰幻( i ，j = o ，l ，n l ；女= 1 ，2 ，3 ，) ，满足对f 中任意有界集风 7 呵可g 瑚 一 q nl0 i | e 町 q “：豆 d l ，d n l ，有 且 衄( 姗，肌z ，) 争c 马e 吨 z 。妇 刚_ o 1 n 1 1 器c 萎譬+ 删：+ 知，+ 古蝎一，+ 薹蟛 t ， 其中 z ；2 上”叭加钒，= 吣，n + ，埘= 薹萎m 甙i = 。，n 一， 以下记 蝇= 器c 薹譬+ 矾：+ 脚“，+ 舟蜗一- + 喜晖 引理2 3 1 1 9 j 当条件( 日1 ) 成立时，按照( 2 2 2 ) 式定义的算子t 和s 都是从b p g f 正吲 到b p g 明的有界线性算子，且| 1t 临+ ，l is 怄h 4 引理2 3 2 当条件( 1 ) ( 凰) 成立时，u d p g ”一1 明ng n 【，倒是b v p ( 2 2 1 ) 的 解等价于“d p g ”1 明是以下脉冲积分方程( 2 3 1 ) 的解 ，n lrr “( ) 2 万毛万可 上，( s ，u ( s ) ，u ，u ”1 ( s ) ，( t u ) ( s ) ，( 乳) ( s ) ) 出 + 善k 州吣n u 沁a “m 枷) + k 地( u ( 如) ，u ( 靠) ，u ( 一1 ( “) ) = 1j + 面z ( t 叫”1 ，( s ，u ( s ) ，u 协，一) ( s m t 州s ) j ( 剐( s ) ) d s u ( “一1 ) ( o 七) ) ，v 一( 2 3 1 ) 证明首先证明当“口p 伊一1 h 捌对，抽象无穷积分 ，o 。 上，( s ，“( s w ( s ) ，u ”1 ( s ) ，( t u ) ( s ) ，( s u ) ( s ) ) d s o o 和 厶枷( u ( 如) ，“( “) ， ( ( “) ) 。 k = 1 事实上，由条件( 巩) 和引理2 3 1 有 ，o o 上刚( s ) ，( 8 ) ，u ”1 ( 8 ) ，( t “) ( s ) ，( s u ) ( s ) ) 怕 8 0 1 | 阮 瑚 d 卜 竹 学 ! 豆张 z 。【6 ( 8 ) + 薹娟川u ( i ) ”嘶川( 删( s ) ( s ) ( s ) i i 】d s ，o o ， n l s 上【6 ( s ) + 善啦( s ) 矿i lu 。怕+ ( s ) e 5o 孔怕+ 。( s ) e 5 l ls u 恼】幽 r o 。， n j s 上m + 篆口批w 。j | 巾舯憎巾州( s ) 鄱+ b 】d s s 帕+ 妻卜e 讲后z ”撕饥矿卜“咖卸酬。 s z6 ( s j 出+ ( 上啦( s ) e 。幽坩z ( s ) e 。如坩小州( s ) e 。出“。 = 矿+ m8 d o o ( 2 3 2 ) 又由条件( 日2 ) 得到 o 。 慨- 1 七( “( “) ，u ，( “) ，u ( “( “) ) 0 s l | “l = 怕一l o 。( 2 3 3 ) 假设u d p c “一1 司n 伊 只司是b v p ( 2 2 1 ) 的解，由( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 得到 坤) = 晶叫( o ) 十志小叫m 删( s ) ，一- 1 ) ( s ) 删， ( s ”) ( 。) ) d 。+ 蔓：壁：薯蔓芝易k ( 。( “) ，。，( 如) ，一，。m 1 ) ( 缸) ) ，v t 正( 2 矗4 ) 和 u m 一1 ( t ) = u ( n 一1 ( o ) + f ，( s ，u ( s ) ，t 上7 ( s ) ，一，t n 一1 ( s ) ，( t u ) ( 8 ) ，( s u ) ( s ) ) d s ，0 + 厶一l ( u ( “) ，u ( “) ，t ( “一1 ( “1 ) ，讹，( 2 3 5 ) 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 在( 2 3 5 ) 中令t _ o o ，则有 u 1 ( 。) = u ( n q ( o ) + f 。，( s ，“( s ) ，。，( s ) ，。( n 一1 o ) ，( t 。) ( s ) ，( s t ) ( s ) ) d 。 j 0 。、 、 + k 讪( u ( “) ，( 地，u ( “( 刎( 2 3 6 ) 而“( “一1 ) ( o o ) = 卢 n 一1 ) ( o ) ，则又由( 2 3 6 ) 有 小_ 1 ) ( o ) = 古 上。m ，u ，u ，( s ) l 一”1 ) ( “( 删腆m ) ) 出 口 e 缸一嚷 “倒 o 且足够小时有 让p l l t = 赴= 珏p q 1 1 ) 一u ”( 亡- ) = 。粤爵缸p ( 缸+ 6 ) 一u p ( ) = 。骢乏+ 薹堕等笋洲啪，u m 如，小- 1 ) ) ) 一芝害娑驯。m ) ，。m “，。( 一沁枷 。象“刍( j i ) p p ”刈”纠 = 。味妾薯瞥州嘲) i 一u ( 州k 枷 一薹萋竽州) ，一，叫) ) = 。骤薹丝等笋洲t 1 ) ，u ，( t 1 ) 州m 1 ) ) = 如( u ( t f ) ，“也f ) ，u ( “一1 ( 赴j ) ( 2 3 1 2 ) 在( 2 3 9 ) 中令t _ o o 有 u ( n _ 1 ) ( o 。) = 歹刍 上”，( s ，u ( “u ，( s ) ，u ( n - 1 ) ( s ) ，( t u ) ( 吐( s u ) ( s ) ) d s + 厶m ( “( “) ，“7 ( 埘，“( ”1 ( ) ) ， ( 2 3 1 3 ) 而 _ 1 ) ( 0 ) = 古 z ”m 川咄u 如) 1 一”1 ) ( s ) ( t 州咄( 剐( s ) ) 幽 + 厶m ( u ( “) ，u ( “) ，“( ”1 ( “) ) ， ( 2 3 1 4 ) 由( 2 3 1 3 ) ，( 2 3 1 4 ) 有u ( “一1 ) ( 。) = 卢u ( n 一1 ) ( o ) ( 2 3 1 5 ) 由( 2 ，3 1 0 ) ，( 2 3 1 1 ) ，( 2 ，3 1 2 ) ，( 2 3 1 5 ) 得到“d p g “。明n 伊吵，司是b v p ( 2 2 1 ) 的解 由引理2 3 2 我们已经讲问题转化，当条件( 日1 ) ，( 日2 ) 成立时，研究b v p ( 2 2 1 ) 的解 的存在性实际上等价于研究( 2 31 ) 的解，为了应用m 觇c 不动点定理，我们将建立如 下对应关系： a ：d p g “一1 正e 】 d p g “一1 正e 】 订) h ( 舢m ) = 矿，( s ，吣怡卜一州) ( s ) ， c 。 ( t “) ( s ) ，( s u ) ( s ) ) d s + 厶一l k m ( “) ，u ( “) 血= 1 +