（工程热物理专业论文）有限容积monte+carlo混合算法求解湍流燃烧的pdf方程.pdf

摘要 湍流燃烧数值模拟的概率密度函数方法求僻的是流场中单点联合概率密 度函数( p d f ) 方程，在这个方程中，需要模拟的只是与脉动压力梯度、粘性 应力张量及分子扩散有关的顼，而对流项和化学反应项是封闭的，因此在研 究湍流与化学反应相互作用上具有突出的优势从工程应用角度看，概率密 度函数方法是研究湍流燃烧过程中污染物的排放，燃烧装置点火。熄火等重 要问题的有力工具将概率密度函数方法应用于工程计算，需要解决三个问 题其中减小计算量是最主要的问题选择先进的求解p d f 方程的算法是提 高计算效率的关键单独用m o n t ec a r l a 方法求解封闭的p d f 方程的算法计算 效率较低，难以满足工程计算的要求，而将统计矩方法和p d f 方法相结合的 混合算法吸收了统计矩方法高效、稳定的优点，具有良好的工程应用前景 另外，p d f 方程中化学反应源项是封闭的，原则上可以通过直接积分详细的 化学反应速率方程组得到化学热力学参数的概率密度函数，但是详细的化学 反应机理中包含大量组分和几百个基元反应，不同基元反应的时间尺度往往 相差几个数量级，方程组刚性问题严重，求解困难且计算量巨大因此要寻 求提高化学反应计算效率的方法第二个问题是工程实际问题往往有复杂的 几何结构，目前缺少将p d f 方法运用于复杂计算区域的通用程序第三个问 题是模型的优化问题，发展更复杂和精细的模型能够更好的反映真实的物理 过程。本研究致力于将概率密度函数方法推广到工程应用中去，着重研究前 两个问题的解决方案为此，我们在无结构网格中发展p d f 方法中目前最先 进的混合算法h y b 2 d ，并将p d f 方法和计算效率较高的燃烧模型褶结合，研 制了二维气相湍流燃烧的通用计算程序f v m c 2 d 本文首先概述求解p d f 方程的算法的发展历程，指出评价算法优劣的标 准，并对单独m o n t ec a r l o 算法和各种混台算法作了比较着重详细介绍现用 的混合算法h y d 2 d 的思路证明了该算法与以前的混合算法相比，满足了模 型层次上的相容性，而且从数值角度看，有限容积法和m o n t ec a r l o 法求解的 方程之间合理的耦合方式有利于减小偏差，其计算精度和效率都显著优于单 独的m o n t ec a r l o 算法对于化学反应的计算，文中介绍了三种能缩短计算时 间，减小计算存贮量的方法，分别是简化化学反应枧理的方法，p d f 方法和 层流火焰面模型相结合的方法及当地自适应建表( i s a t ) 的方法说明这三 种方法的基本思想，适用范围及使用效果 本文接着详细地讲述了在无结构网格中发展混合算法所采用的具体数值 方法主要包括有限容积法求解平均密度，动量和能量方程时，对流通量的 离散，时间导数项的积分，源项的加入，和边界条件的处理以及l a g r a n g i a n m o n t ec a r l o 方法求解脉动速度频率。标量联合p d f 方程的方法并探讨了 在无结构网格中实现求解方程的耦合所涉及到的问题，包括颗粒的快速定位 法，有限容积法求得的平均场和m o n t ec a r l o 法得出的颗粒场的之间数据交换 方法为了检验计算程序f v m c 2 d 的实际效果，本文选择了三个典型算例， 分别是轴对称钝体驻定器后的湍流扩散燃烧，湍流射流扩散火焰和v 型槽后 冷态流场，计算结果表明，本程序稳定性很好，可广泛的应用于二维湍流问 题，包括稳态和非稳态流动，抛物型和椭圆型流动予混和非予混燃烧。 混台算法的复杂性导致了数值误差受多种因素的影响，研究其误差特性 对于提高计算精度和减小计算量有重要意义本文指出了数值误差的来源和 影响误差大小的参数，介绍各项数值误差的分离和定量研究其特性的方法， 优化选择数值参数和减小数值误差的途径并通过具体的数值实验，研究了 偏差受样本数目影响的规律，发现要达到相同的精度，二阶矩对样本数目的 要求远远高于平均量对样本数目的要求，而且偏差的大小与网格疏密有关 根据混合算法中数值误差受数值参数影响规律，本文首次提出了在混合 算法中颗粒方法和有限容积方法分别采用不同的网格划分的双重网格方法。 分析了双重网格方法减小偏差，提高计算效率的原因并以湍流射流扩散火 焰为算例，比较单一网格系统和双重网格系统的数值模拟结果，说明应用双 重网格技术能够在较小的计算量下获得较高的计算精度本文还充分发挥无 结构网格灵活剖分计算区域的优势，发展网格自适应加密的功能 本文最后对本研究的主要内容作了总结，指出计算程序f v m c 2 d 需要改 进和进一步优化的地方，并指出其广阔发展前景 关键词概率密度函数，有限体积法，m o n t ec a r l o 方法，无结构网格，双重 网格，湍流燃烧 a h s t r a e t i np r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n e t i o n ( p d f ) m e t h o d ，m o d e l e dt r a n s p o r te q u a t i o nf o r t h eo n e p o i n t o n e t i m ep d fo fs e l e c t e df l o wv a r i a b l e si ss o l v e dt os i m u l a t ec u r b u l e n tc o m b u s t i o ni nt h i se q u a t i o n ，b o t hc o n v e c t i o na n dr e a c t i o na r er e p r e s e n t e d e x a c t l y ，o n l yt h et e r m sr e l a t e dt ot h ef l u c t u a t i n gp r e s s u r eg r a d i e n t sa n d t h ev i s c o u s s t r e s st e n s o ra n dt h em o l e c u l a rd i f i t i s i o nf l u x e sn e e dt ob em o d e l e ds op d fm e t h o r l i sd e e m e dt ob eap o w e r f u lt o o lf o rt h ei n v e s t i g a t i o no ft h ec o m p l e xi n t e r a c t i o no f t u r b u l e n c ea n df i n i t e r a t ec h e m i c a lr e a c t i o n sa n di tc a nb eu s e di nt h ep r e d i c t i o n o fp o l l u t a n t sf o r m a t i o na sw e l la sf l a m ei g n i t i o na n de x t i n c t i o nt oa p p l yp d f m e t h o dt op r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，t h r e ed i f f i c u l t i e sh a v et ob eo v e r c o m e f i r s to fa l l ， t h ec o m p u t a t i o n a lc o s ts h o u l db er e d u c e d t h ec h o s e no fe f f e c i e n tn u m e r i e a la l g o r i t h mt os o l v et h ep d f e q u a t i o ni st h ek e yp o i n t s t a n d a l o n em o n t ec a r l o ( m c ) a l g o r i t h mp r o v e st ob ep r o h i b i t i v e l ye x p e n s i v e t a k i n ga d v a n t a g e so ft h ef i n i t ev o l u m e ( f v ) m e t h o d se f f i c i e n c ya n dr o b u s t n e s s ，t h eh y b r i da l g o r i t h mw h i c hc o m b i n e s f i n i t ev o h l m em e t h o da n dm o n t ec a d om e t h o di si u o les u i t a b l ef o rp r a c t i c a lc a l c u 一 1 a t i o nm o r e o v e r p d fm e t h o dc a na c c o u n tf o rd e t a i l e dc h e m i s t r y , b u t ad e t a i l e d d e s c r i p t i o no fc o m b u s t i o nc h e m i s t r yt y p i c a l l yi n v o l v e st e n so fs p e c i e s ，t l u n d r e d so f r e a c t i o n s 、a n daw i d er a n g eo ft i m es c a l e s ，i ti sc o m p u t a t i o n a l l yd e m a n d i n gt oi n t e g r a t ，et h es t i f fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h es i m p l i f i c a t i o n si nt h ec h e m i c a l r e a c t i o n sc a l c u l a t i o na r en e c e s s a r y s e c o n d l y ，t h ei m p l e m e n t i o no fp d fm e t ；h o df o r m o r ec o m p l e xr e a l i s t i ec o n f i g u r a t i o n sa r er e q u i r e d t h i r d l y ，m o r ee l a b o r a t em o d e l h e l p st or e f l e c tt h ep h y s i c a lp r o c e s s t h em o t i v a t i o no ft h ec u r r e n tr e s e a r c hi st o a p p l yp d f m e t h o di ne n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o n i n c o r p o r a t i n ge f f i c i e n t t e c h n i q u e s t ot t e a tc h e m i c a lr e a c t i o n ，w ei m p l e m e n tt h ec o n s i s t e n th y b r i da l g o r i t h mh y b 2 d o nu n s t r u c t t i r e dm e s h e s ，a n dd e v e l o p eac o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r e ( f v m c 2 d ) f o i s i m l i l a t j o no ft w od i m e n s i o n a lt u r b u l e n tc o m b u s t i o n m u c hp r o g r e s sh a sb e e nm a d ei nt h ed e v e l o p e m e n to fp d fa l g o r i t h m sw e d i s c r i b et h ec o n s i s t e n t , h y b ti d a l g o r i t h mh y b 2 di nt h i sa l g o r i t h m ，m o n l ec a r l o m e t h o di su s e dt os o l v e j o i n tf l u c t u a t i n gv e l o c i t y - f r e q u e n c y c o m p o s i t i o np d fe q u a - t i o n ，w h i l er e y n o l d sa v e r a g e dm a s s ，m o m e n t u ma n de n e r g ye q u a t i o n sa r es o l v e db y f i n i t ev o l u m er n e t h o dm e a n v e l o c i t y ，n l e a nd e n s i t ya n dp r e s s u r ea r eo b t a i n e df r o m 1 i i f i n i t ev o l u m em e t h o d ，a n dr e y n o l d ss t r e s st e n s o r ，t u r b u l e n th e a tf l u xa n de h e m i e a l r e a c t i o ns o u r c et e r n la r es u p p l i e db ym o n t ec a r l om e t h o d t h i sh y b r i da l g o r i t h m i sc o n s i s t e n t o i lt h em o d e ll e v e l ，a n dt h ew a yo fc o u p l i n gb e t w e e nt h en l e a nf i e l d s a n dp a r t i c l ef i e l d si n n k e si ta c h i e v em u c hm o r ea c c u r a c ya n de t t c i e n c yt h a ns t a n d a l o n ep a r t i c l e - m e s hm e t h o d t h r e ea p p r o a c h e st od e n lw i t hc h e m i c a lr e a c t i o n sa r e i n t r o d u c e d t h e r ea r er e d u c e dm e c h a n i s mm e t h o d 1 a m i n a rf l a m e l e tr o o d e la n di n s i t ua d a p t i v et a b u l a t i o nf i s a t ) m e h o d i nf i n i t ev o l u m em e t h o d 2 - de u l e re q u a t i o n sw i t ha d d i t i o n a ls o u r c et e r m sa r e d i s c r e t i z e do nav o r t e x - c e n t e r e du n s t r u c t u r e dm e s h e s c o n v e c t i v ef l u x e sa r ee o m p u t e db yr o e sa p p r o x i m a t er i e m a n ns o l v e r s o u r c et e r m sa r ee x t r a c t e df r o mp a r t i c l ef i e l d s ，t h et i m ei n t e g r a t i o ni s p e r f o r m e db yf o u r - s t a g er u n g e - k u t t ae x p l i c i t s c h e m e f o rs t e a d ys t a t es o l u t i o n ，al o c a lt i m es t e p p i n gi sr e l e v a n t ，w h i l ef o rn n s t e a d yf l o w ，t h em i n i m u mo ft h el o c a lt i m es t e p si s u s e da 8g l o b a lt i m es t e pt h e w a l l 1 a w st e c h n i q u ei su s e dt od e n lw i t ht h en e a r ，w a l lr e g i o n sn a v i e r s t o k e sc h a r - a e t e r i s t i cb o u n d a r yc o n d i t i o ni sa p p l i e do ni n l e ta n do u t l e tb o u n d a r i e sb a g r a n g i a n p a r t i c l e b a s e dm o n t e c a r l om e t h o di si m p l e m e n t e dt os o l v et h ep d f e q u a t i o n l o c a l t i m es t e p p i n gi sa l s oa d o p t e dt oa c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c eo fs t e a d ys t a t es o l u t i o n t h e c o u p l i n gb e t w e e np a r t i c l ef i e l d sa n dm e a nf i e l d s o nt r i a n g u l a rg r i d si n c l u d i n g t h ep a r t i c l el o c a t i o nm e t h o da n dn o d et op a r t i c l ei n t e r p o l a t i o n p a r t i c l et on o d e a s s i g n m e n t & r er e a l i z e dw i t ht h ec o n c e p to fs h a p ef i m c t i o n a x i s y m m e t r i cb l u f fb o d y s t a b i l i z e df l a m e p i l o t e d j e td i f f u s i o nf l a m ea n dt r i a n g u l a rb l u f fb o d ys t a b i l i z e df l o w a r ec h o s e na st e s tc a s e st h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ea b i l i t yo ft h ec o d e f v m c 2 dt oc a l c u l a t eaw i d er a n g eo f2 - df l o wf i e l d si n c l u d i n gp a r a b o l i ca n de l l i p t i c f l o w s ，s t e a d ya n du n s t e a d yf l o w s ，p r e m i x e da n dn o n - p r e m i x e df l a m e s ， t h e r ea r ef o u rs o u r c e so fn u m e r i c s le r r o ri nt h i sa l g o r i t h m t h e y a r ej d e n t i f l e da s s p a t i a lc l i s c r e t i z a t i o ne r r o r 、t e m p o r a ld i s c r e t i z a t i o ne r r o r ，s t a t i s t i c a le r r o r ，a n db i a s e r r o rt h es o u r c e so fn u m e r i c s le r r o ri nt h ea l g o r i t h ma n dt h er e l a t e dn u m e r i c a l p a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e d t h ed e p e n d e n c eo fb i a se r r o ro np a r t i c l en u m b e rd e n s i t y a r e i n v e s t i g a t e dt h r o u g hn u m e r i c a le x p e r i m e n t t h eb i a se r r o ri s q u a n t i f i e db y , p a lt i c l en u m b e rd e n s i t y i ti ss h o w nt h a tp a r t i c l en u m b e rd e n s i t yi n f l u e n t st h e a c c u r a c yo fh i g h e r o r d e rm o m e n tg r e a t l y t h ed o m i n a n tn u m e r i c a le r r o ri nf i n i t ev o l u m em e t h o di st h es p a t i a ld i s c r e t i z a v t i o ne r r o r w h i l ei nm o n t ec a r l om e t h o db i a se r r o ri s c r u c i a l a c c o r d i n gt o t h e f e a t u r eo fn u m e r i c a le r r o r lad u a l g r i dm e t h o di s p r o p o s e di nw h i c hm o n t ec a r l o m e t h o da n df i n i t ev o l u m em e t h o da r ei m p l e m e n t e do nd i f f e r e n tg r i ds y s t e m st i m p a r t i c l ef i e l d se s t i m a t e db ym o n t ec a r l om e t h o da r er e p r e s e n t e do nc o a r s eg r i d s ， w h i l ef i n t ev o l u m em e t h o di sp e r f o r m e do nar e f i n e dm e s h e st oo b t a i nt h em e a n f i e l d s t h ep e r f o r m a n c eo ft h i sd u a l g r i dt e c h n i q u ei se v a l u a t e db yt h ec a l c u l a t i o n o ft u r b u l e n tp i l o t e d - j e tf l a m e i ti ss h o w nt h a tt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t sc o m p a r e w e l lw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a ，a n dt h ec o m p u t a t i o n a lc o s ti sm u c hl o w e rt h a nt h e i d e n t i c a l - g r i dm e t h o d o nu n s t r u c t u r e dg r i d s ，i m p l e m e n t a t i o no fs o l u t i o na d a p t i v e r e f i n e m e n ti sn a t u r a ia n de m c i e n t w eu s em e s he n r i e h m e n tm e t h o d ，i nw h i c ht h e r e f i n e dg r i d sa r ec o n s t r u c t e ds i m p l yb ye m b e d d i n gn e wm e s hp o i n t sl o c a l l y t h e p r e s e n tc o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r ef v m c 2 d i sp r o m i s i n ga n dc a nb er e a d i l y d e v e l o p e dt ot l i es i m u l a t i o no ft w o p h a s er e a c t i v ef l o w s k e y w o r d sp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，f i n i t ev o l u m em e t h o d ，m o n t ec a r l o m e t h o d ，u n s t r u c t u r e dm e s h ，d u a lg r i d s ，t u r b u l e n tc o m b u s t i o n 第1 章引言 1 1 湍流燃烧的数值模拟方法 燃烧在工程中应用十分广泛，是人们获得热能的重要途径，与国民经济 发展和日常生活密切相关提高燃烧效率，节约能源和减少污染物排放，保护 环境是社会的迫切需要弄清燃烧的机理，组织高效、清洁的燃烧过程足燃 烧工作者的重要研究任务随着计算机技术的发展和数值分析方法的进步， 采用数值模拟方法研究燃烧取得了飞快的进展它与传统的实验方法相辅相 成，在研究燃烧规律和指导燃烧器设计中发挥越来越大的作用 实际燃烧过程基本上都是湍流燃烧，化学反应速率与燃料和氧化剂在分 子水平上的混合程度有极大关系，而分子扩散又受到湍流脉动的影响，湍流 脉动使得流场发生变形，加大了燃料和氧化剂的接触面积，加快了化学反应 速率，反过来，化学反应也影响到混合速率湍流燃烧包含了湍流脉动，分 子输运和化学反应复杂的相互作用，且这些过程的长度尺度和时问尺度相差 极大湍流燃烧数值模拟的重要的极富挑战性的任务就是模拟湍流混合，分 子扩散和化学反应的在不同尺度上相互作厢人价将燃烧现象看成有化学反 应的流动，用化学流体力学的基本方程组描述燃烧场与无化学反应湍流的 基本方程相比，燃烧多了组分方程和能量方程，其中的源项，即组分浓度的 生成速率和化学反应引起的能量释放是化学热力学参数的强非线性函数。因 此，与湍流的数值模拟相比，燃烧的数值模拟需要同时考虑对流项和化学反 应源项的非线性引入的封闭问题下面对目前湍流燃烧的数值模拟的主要方 法作概述。 直接数值模拟方法( d n s ) 的基本思想是直接求解精确的湍流燃烧基本方 程组，而不引入任何模型，通过统计计算得出统计乎均量它是最精细的模 拟方法，能够提供所有尺度上的流场信息，相应的d n s 要求在流场最小的空 问和时闯尺度上求解方程在冷态的湍流流场模拟中，网格的尺度必须小于 t ( o l m o g o r o v 长度尺度我们知道，k o l m o g o r o v 长度尺度即湍流中最小涡旋尺度 与最大涡旋尺度之比与r e o ，4 成正比，因而太r e 数流动的计算量是巨大的。 对于湍流燃烧场，还要考虑化学反应引入的长度尺度，它往往小于最小涡旋 尺度，对计算量有了更高的要求d n s 只能研究低r e 数，低d a 数且几何结 构简单的湍流燃烧场，用于检验湍流模型，但很难应用到工程计算中f 1 1 【2 2 第l 章引言 大涡模拟( l e s ) 的基本思想是在大尺度涡旋和小尺度涡旋之间通过一滤 波宽度进行低通滤波，只计算大尺度的涡旋，而将小尺度运动对大尺度运动 的影响作模型( 亚格子模型) 。由于小尺度运动的普适性，在流场中采用统 一的亚格子模型是合理的大涡模拟能给出大尺度脉动信息，在冷态湍流模 拟取得了极大的成功但是在模拟燃烧时，化学反应区域往往小于小尺度涡 旋，湍流燃烧的亚格子模型的建立是个难点( 3 j 目前，在工程中得到广泛应用的湍流燃烧模型是统计矩模型它求解的 屉经过r e y n o l d s 平均的n a v i e r - s t o k e s 方程r e y n o l d s 平均方程是不封闭的，其 中湍流输运项和化学反应项需要模拟分别称为湍流输运模型和湍流燃烧模 型湍流输运模型主要有涡旋粘性系数模型( 一阶矩模型) 和雷诺应力模型 ( 二阶矩模型) 两种两种方法分别对随机场的一阶统计矩和二阶矩进行计 算，而方程中的未知量进行模拟统计矩方法的计算量都比较小，但计算精 度不高，而且由于模型的不完善，对于与标定模型系数的流场相似的计算问 题能得出较好的结果在r e y n o l d s 平均的方程中，j 了i 均的化学反应速率项不 能简单的由化学热力学参数的平均值表示出来，湍流燃烧模型的作用就是求 解化学反应速率的平均值基于快速化学反应假设的模型主要有予混燃烧的 涡旋破碎( e b u ) 模型和b m l 模型，扩散燃烧的k e g 模型燃烧的层流火 焰面模型( l f m ) 6 7 】将湍流火焰看成由屡流火焰面的系综组成，可以计算详 细化学反应机理，仅适用于大d a 数燃烧条件矩封闭( c m c ) 模型( 8 1 基于成 分质量分数、温度和特定的物理量【混合分数或化学反应进度) 的相关性， 建立条件平均值的方程，其中化学反应速率项近似用化学热力学参数的条件 乎均值封闭。 本文主要讨论概率密度函数( p d f ) 方法，它通过求粥模化的流场中单点 的概率率密度函数方程得到流场中物理量( 速度、标量、频率) 的联合概率 密度函数f 9 1 。在概率密度函数方程中，描述流场中最主要的过程的的对流项 和化学反应项是封闭的，只需模拟与脉动压力梯度、粘性应力张量及分子扩 散有关的项p d f 方法可计算详细的化学反应，分析湍流和化学反应相互作 用。能够研究污染物排放、点火、熄火等涉及到详细化学反应机理的问题 另外p d f 方法提供的流场信息比统计矩方法多因为统计矩方法相当于只模 拟了p d f 的有限阶统计矩，一般说来。从有限阶统计矩是不能推出p d f 的， 而知道了概率密度函数，却可以求出任意阶统计矩p d f 方程自变量很多， 而有限差分方法的计算量随着自变量维数的增加呈指数增长，因此无法用于 p d f 方程的求解比较可行的求解p d f 方程的数值方法是m o n t e c a r l o ( m c ) 方 1 2 概率密度函数方法概述3 法f 1 0 】，将流场中单点的概率密度函数离散成样本组成的系综，系综平均估计 数学期望。它的计算量随变量维数增长线性增加m o n t ec a r l o 方法对于样本 的数目有较高的要求，特别是高阶统计矩的计算需要的样本数目远比低阶矩 多复杂化学反应机理的计算还会增加计算量最近，概率密度函数方法在 模型的封闭，求解方法的改进和化学反应计算时间的减小方面都取得了很大 的进步，将p d f 方法应用到工程计算中是我们的目标 1 2 概率密度函数方法概述 湍流场中速度和标量都是脉动变化的，可以看成是随机场，对流场最完 整的描述是建立流场中多点的联合概率密度方程，但是这个方程虽可建立， 但是求解困难而单点概率密度函数能够充分描述流场中某点状态，却没 有包含两点或多点的相关信息概率密度函数方法就是由n s 方程推导出单 点概率密度函数方程，经过对不封闭硬的模化之后，求解得到流场中单点概 率密度函数从这个意义上说，湍流燃烧中假定概率密度函数方法，即求得 某一标量平均值和方差，并假定它的分布形状( 常见的有p 分布，截尾正态分 布等) ，并不是真正意义上的概率密度函数方法4 求解单点概率密度函数方程的方法始于1 9 6 9 年l u n d g r e n 1 6 】首先推导模 化了速度联合概率密度函数方程，并对简单流动求得解析解在这个方程中， 对流输运项是封闭的，解决了对于流场，尤其是大r e 数流动中最主要过程的 模拟问题在传统的统计矩模型中，以一e 双方程模型为代表的涡旋粘性系 数模型将湍流脉动引起的输运和分子扩散引起的输运作类比，涡旋粘性系数 和分子运动粘性系数作类比，建立雷诺应力和平均流场应变率的关系。它的 优点是计算量小，但是计算精度不高，由于模型自身的不完善，对于复杂流 动常常不能碍到满意的结果。而雷诺应力模型则直接导出雷诺应力方程，并 对其中不封闭项进行模拟，虽然雷诺应力方程所反映的雷诺应力演化的物理 机制远比涡旋粘性系数模型丰富，但是方程形式比较复杂，其中的扩散项， 耗散项和再分配项都要引入模型雷诺应力模型需要求解的方程数目也比双 方程模型多，且方程之间耦合关系复杂，数值稳定性差，有时计算效果反而 不如涡旋粘性系数模型 d o p a z o 和0 1 b r i e n 1 7 】，p o p e 1 8 】建立了标量( 组分和焓) 联合概率密度函 数方程，在这个方程中，湍流脉动和分子扩散引起的组分p d f 的输运项需要 模拟，而强非线性的化学反应源项是封闭的，因而能够计算复杂的化学反应 4 第1 章引言 机理避免了通常的燃烧模型对化学反应速率的假定在用联合标量的概率 密度函数方程计算时，湍流流场需要另外求解，常常用统计矩方法求平均速 度场和湍流频率。并引入梯度输运假设计算湍流脉动引起的组分扩散，建立 小尺度混合模型模拟分子输运 速度和标量的联合概率密度函数方程建立之后，湍流扩散和化学反应源 项都得到了封闭，但是湍流时间尺度的信息仍然缺少，可以通过求解耗散率 的平均方程给出时间尺度为了建立完整封闭的概率密度函数方程，l 9 9 0 年，p o p e 和c h e n 2 0 1 根据耗散率满足对数正态分布的假定，发展了耗散率的 随机模型。建立了速度和耗散率联合概率密度函数方程，并对均匀湍流作了 计算随后，p o p e 2 1 】将湍流频率的模型推广到非均匀湍流中，使得它能够 考虑流动间歇性的影响，成功的描述自由剪切流中的间歇区和非湍流区由 此得到的速度、标量和溃流频率的联合几率密度函数的输运方程是完全封闭 的方程中所有的系数都可以由p d f 求出，只要知道流体的物性参数及初始 边界条件，就可以通过单独求解模化的方程来求解流场 概率密度函数方法中，湍流燃烧场中湍流输运和化学反应这两个主要过 程都可以精确处理，而与脉动压力梯度积分子扩散有关的项是不封闭的，因 为这些物理过程涉及到多点相关，而单点的概率密度函数方程不包含多点联 合概率分布的信息分子扩散过程在标量概率密度函数方程中足以给定标量 梯度瞬时值的条件平均值形式出现的，它的模型称为小尺度混合模型。脉动 压力梯度和分子粘性的条件平均值项引起p d f 在速度空间上的输运，它的模 型称为随机速度模型。 小尺度混合模型反映了分子扩散造成的标量耗散，目前小尺度混台模型 主要有三类，分别是确定性模型、颗粒相互作用模型以及通过映射封闭法构 造的模型i e m 模型是确定性模型的代表，它在均匀湍流中的驰豫性不好， 初始的p d f 形状一旦给定，就将保持下去，无法驰豫到高斯分布李艺 5 0 1 等 人应用统计预报理论中的最小均方误差预报函数理论，证明i e m 模型可以看 作是小尺度混合项的线性最小均方误差预报，是在线性模型中误差最小的模 型。并构造了非线性的i e m 模型颗粒相互作用模型在颗粒系练中随机选取 若干对颗粒进行混合，混合后的颗粒标量值等于混合前两个颗粒参数的平均 值，而其余颗粒的参数保持不变c u r l 混合模型就是颗粒相互作用模型的一 种，它容易用m o n t ec a r l o 方法求解，使标量驰豫到钟形分布( 平度因子无穷 大) ，而不是高斯分布( 平度因子为3 ) 用映射封闭的方法构造混合模型时， 物理真实标量场通过映射函数映射到理想的特性已知随机场中，而映射函数 1 3 p d f 方程的求解5 本身通过求解其演化方程得出它的驰豫性好，单标量在均匀湍流中能够驰 豫到正态分布，缺点是计算比较困难，而且对于多标量场混合还要进一步研 究目前常见小尺度混合模型还有二项取样f 4 9 ( b i n o m i a ls a m p l i n g ) 模型，欧几 里德最小扩展树e m s t 模型( 4 7 】等 脉动压力梯度和分子粘性引起的p d p 在速度相空间的演化也是以条件 平均项出现的，建立随机l a g r a n g i a n 模型来模拟这一物理过程常见的模型 有简化的l a “g e v i a 模型s l m ( s t m p l i f i e dl a n g e v i nm o d e l l 和通用的l a n g e v i n 模型 g l m ( g e n e r a l i z e dl a n g e v i nm o d e l ) 1 7 2 】p o p e 讨论了随机l a g m n g i a n 模型和二阶 矩模型的关系1 5 1 ，指出对于每一种l a g r a n g i a n 速度模型都对应着唯一的雷诺 应力模型从二阶张量形式的速度模型出发，可以推导出相应的出现在雷诺 应力方程中的压力应变相关项和脉动速度的三阶矩的模型而且通过构造随 机速度模型的方法来建立二阶矩模型自然就满足了可实现性( r e a l i z a b i l i t y ) 的 约束条件1 9 5 1 年提出的封闭二阶矩方程中再分配项的r o t t a 模型，假定湍流 各项同性化的速率与各项异性张量成正比，而忽略了与平均速度梯度有关的 快速压力一应变项导致的雷诺应力的再分配过程，与之等价的随机速度模型 是s l m 模型，其中漂移系数张量中没有包含平均速度梯度的信息 1 3 p d f 方程的求解 1 3 + 1m o n t ec a r l o 方法 模化后的联合概率密度函数方程自变量很多，对于包含n ，种组分的化 学反应流来说，速度标量频率联合概率密度函数方程必须在批+ 8 维( 凡维 标量、三维速度、频率加上物理空间坐标和时间) 空间求解而用于求解统计 矩方程的有限容积法或有限差分法，计算量随着自变量维数的增加呈指数增 长，也无法处理高维问题采用m o n t ec a r l o 方法求解p d f 方程，它的计算量 的增加随维数增加呈线性关系，是可能获得的最好的情况 在推导p d f 方程时，定义样本的概率密度函数为6 ( 女一妒) ，其中妒是口在 相空间的坐标，而概率密度函数儿( 妒) = ( 6 ( 一妒) ) m o n t ec a r l o 方法的基本 思路足将概率密度函数离散成若干样本( 颗粒) 组成的系综考虑单个随机 变量的概率密度函数厶( 妒) ，构造祥本数目为n 的系综 ( ”) ) ，其中相空间 的离散坐标母( “) 是独立的满足分布南( 蚋的样本，可以看成随机变量妒的第 n 个实现。最基本的问题是研究从什么意义上说样本的系综 ( “) ) 反映了概 6 第1 章引言 率密度函数如( 妒) 的分布p o p e 在文【4 】中从三个层次上作了阐述。其一，首 先考察离散的p d f 和精确的p d f 之间的关系，定义离散的p d f 为样本p d f 的系综平均，；专笔，6 ( 一曲( ”) 从直观看，离散的p d f 是由样本空 间上6 函数组成，是不连续的，而概率密度函数厶( 母) 却可能在样本空间连 续分布。进一步分析可以得到，对于任何n 1 ，有愉d ) = 如( 妒) ，即离散 p d f 的数学期望是概率密度函数这一关系使得p d f 的分布可以从单一的样 本颗粒得到其二，对于数值求解过程中我们常常关心的是随机变量的函 数q ( ) 的数学期望值( q ( ) ) ，比如庐的数学期望值( ) ，方差( 护) 等，它可 以用样本的系综平均( q ( ) ) 估计，可以看成由离散p d f 积分得到，表示为 ( 。( 6 ) ) ；