（基础数学专业论文）关于亚纯映射唯一性问题的推广.pdf

中文摘要 摘要 这篇论文主要研究了多复变中亚纯映射相交超曲面的唯一性问题，推广了 亚纯映射唯一性问题已有的结果。文章主要利用v e r o n e s e 嵌入映射的性质及亚 纯映射相交超平面的唯一性问题的研究方法，讨论了亚纯映射相交d 次不可约 超曲面的唯一性问题，并给出了一个亚纯映射相交超曲面的唯一性定理。整篇 论文共分为三章。 第一章，综述了亚纯映射唯一性问题的研究背景和意义，并介绍了 n e v a n li n n a 理论中的一些基本知识。 第二章，回顾了亚纯映射唯一性定理的历史发展和研究进展的情况，给出 了一些已获得的结果，包括亚纯映射相交有限固定超平面的唯一性定理和关于 移动对象的唯一性定理。 第三章，给出了一个亚纯映射相交d 次不可约超曲面的唯一性定理，并完 成了定理的证明。 关键词：亚纯映射；值分布；唯一性定理 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cm a p p i n g s i n t e r s e c t i n gh y p e r s u r f a c e si n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s b yt h e p r o p e r t i e s o f v e r o n e s ee m b e d d i n ga n dt h ea p p r o a c hw h i c hi su s e di nt h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo f m e r o m o r p h i cm a p p i n g si n t e r s e c t i n gh y p e r p l a n e s ，t h e u n i q u e n e s s p r o b l e m o f m e r o m o r p h i cm a p p i n g si n t e r s e c t i n gi r r e d u c i b l eh y p e r s u r f a c e so fd e g r e edi s d i s c u s s e d 。a u n i q u e n e s s t h e o r e mo f m e r o m o r p h i cm a p p i n g si n t e r s e c t i n g h y p e r s u r f a c e si sa l s og i v e n t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h eb a c k g r o u n do fi n t r o d u c i n gt h e u n i q u e n e s sp r o b l e mo f t h em e r o m o r p h i cm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e si s g i v e n s o m eb a s i c n o t i o n sf r o mn e v a n l i n n at h e o r ya r eo u t l i n e d i i lt h es e c o n dc h a p t e r , t h eh i s t o r i c a l d e v e l o p m e n ta n dt h ec u r r e n ts t u d y s i t u a t i o no ft h eu n i q u e n e s st h e o r e m sa r es u m m a r i z e d ，i n c l u d i n gt h er e s u l t sf r o mt h e u n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cm a p p i n g si n t e r s e c t i n gaf i n i t es e to ff i x e d h y p e r p l a n e sa n ds o m er e s u l t sf r o mt h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo f m e r o m o r p h i c m a p p i n g sw i t hm o v i n gt a r g e t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h en e w u n i q u e n e s st h e o r e mo fm e r o m o r p h i em a p p i n g s i n t e r s e c t i n gh y p e r s u r f a c e si sp u tf o r w a r da n dp r o v e d k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cm a p p i n g s ，v a l u ed i s t r i b u t i o n ，u n i q u e n e s st h e o r e m i i 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 签名： 年月 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月 目 第一章绪论 1 1问题的引入 第一章绪论 r n e v a n i r m a 1 于1 9 2 6 年证明了如下问题：两个复平面c 上的两个不同 的非常数亚纯函数，和g ，则它们不可能在五个相异的函数值处有相同的逆像， 并且若它们在四个相异值处有相同的逆像，则g 是厂一个特殊类型的线性分式变 换。 众所周知， c “上的亚纯函数可以看作从c “到p 1 ( c ) 上的亚纯映射，那么我 们定义尸1 ( c ) 为cu 。近十几年来，将n e v a n lj n n a 的结果推广至c ”到复射影 空间p ( c ) 上亚纯函数的努力获得了不少成果。 1 2n e v a ni n n a 理论中的一些预备知识 下面我们介绍一些理论中关于亚纯映射的预备知识。 对于z = ( 弓，z ) e c “，我们令i i z1 1 = ( j 乞1 2 + + i 乞1 2 ) v 2 。对r 0 ，定义 b ( ，) = z e c ”i i izi i 足 其中m ，七为正整数或者m = 。令 嘲2 酝警p 若孙= n z 1 2 类似可以定义咒( f ) ，z 三( f ) ，与，z 曼( f ) 。令 ( ，= f 等疵( 1 r 删 类似可以定义呓( 厂) ， m ，埘( 厂) ，与川m ，舛泠。( r ) 。 第一章绪论 定义日的估计函数为 朋m ( r ) l o g 踹d l o g 嬲咖1 ) 而c ”上的亚纯函数9 的估计函数定义为 所( w ) 2 l 1 。g + 。 下面我们给出一些有用的引理。 值分布理论中关于带有移动对象的亚纯映射第一基本定理陈述如下： 定理1 2 2r ( r ，厂) = m m ( r ) + ( m ) ( ，i ) + r ( 厂，詹) 定义1 2 3 我们说移动超平面集合在m 上线性非退化。如果 d i m ( h ) 研= n + 1 并且对片的每个正规子集有 ( 啊) mn ( 片一) mn 1 - 1 彩， 这里( 一) m 是h 在m 上的线性张成。 亚纯映射的第二基本定理陈述如下： 定理1 2 4 设f ：c ”- - , p ( c ) 为亚纯映射，片= 【日，h 2 ，h 。 ( 或者 4 = 扣，口：，口。】- ) 为处于一般位置的移动超平面集。假设h 是在m 上线性非退 化的，并且( ，曩) 对于每个h ，片是自由的，满2 c t ( r ，h i ) = o 仃( 厂，) ) ，0 s fs 口。 则 l i t ( ，厂) s j l b ) ( ，) + 。( z ( r ，厂” 其中“i l ，表示上述不等式对除了一个有限l e b e s g u e 测度的集合外所有的r 都成立。 3 第一章绪论 假设爿是在m 上线性非退化的，下面是一个更强的结果。 定理1 2 5 设厂：c 5 一p ( c ) 为亚纯映射，h ； h 。，日：，以 为处于一般 位置的移动超平面集。并且( 厂，q ) 对于每个h 。片是自由的，满足 t ( r ，h j ) = o ( t ( r ，厂) ) ，q 2 n + 1 。贝0 l i 丽q 聊棚s 砉屹 ( r ) + d ( m ) 以上两个基本定理分别由t h a i 和q u a n g 2 给出。 引理1 2 6 假定d 己1 ，q 苫n + 2 。那么 “r ( ，g ) = o 仃r ，) ) 成立，对每个g e f ( f ， 口j ，d ) 。 证明见 3 中的引理4 1 - 1 。 假定口，的既约表示为口i 三( a j 。：) 。不失一般性，我们假设a ；。0 ， ( 1s isq ) 。 删拎毛2 杀刨饥曩1 ) 弘( 锄小( 胍) 2 盖。撬。定义 互请；掣，丘玻；粤，小咖出鼽 ( 厶，a i ) ( ，石。) 、”7 于是我们有 引理1 2 7r ( r ，f 壤) s z ( ，f k ) + d ( z ( 厂，) ) 成立，对于任意1 s i ，j s 目， 0gksm 。 证明见文献 3 中，引理4 1 2 。 定义1 2 8 令瓦，为c “上的非零亚纯函数，这里m 苫1 。集合 口净( a o ，c t 肌1 ) 中的元素口由坦个非负整数构成，令jah 口oi + + l 口肌1l 。我 第一章绪论 们定义c a r t a n 的辅助函数为 。善。( f o ，) 瓦。e 凡 11 l d 。( 上)d 8 。( 奇) d 。( 古) ； d 恃) d a 艏- , 峙) d 1 ( 上) 引理1 2 9 如果巾。仃，g ，h ) = 0 并且中。( 上，古，古) = 0 对所有满足i 口b1 的 a 都成立，那么如下结论必有一个成立。 ( i ) f = g ，g = h 或者h = f 。 ( i i ) 吾，鲁和等都是常数。 引理1 2 1 0 假定中。( f o ，) = o 并且lal s 半。如果对某个d ial 有 ：- m i n ( v 气，d ) = m i n ( v ，d ) 一一m i n ( v f ，d ) 那么对于每个z 0 巧1 ( o ) 彳，有( z 。) m i n ( v 。1 ( z 。) ，d ia1 ) 成立。这里4 是 一个余维数a 2 的解析子集。 引理1 2 11 如果瓦= = 凡= 0 ，在纯维数为，l 一1 的彳的解析子集中， 那么k 。) 2 m ，彳。 以上三个引理的证明见文献 4 。 由上面给出的结论，可以得到下面的引理。 引理 1 2 12 假定存在屯。- - ( i ) 。( 留8 ，r ) = o ，当1 ：o ， sg ， l 口l s 半，d i 仗l 。 令r ( 厂) = i ，z ( 厂，) 。 若口是满足条件 巾。( ”，f 铀j 棚) = o 的最小元素，那么对每个1s 七5m ，如下不等式成立 m 一# - i a 。l r ) + m 。叫i 厂叫( r ) s 心。( ，) sr ( - r ) _ ( 1 ，叫( 厂) + 。( r ( 厂) ) 。 第一章绪论 因此有 i i j v a - p l ( r ) + m 川，d 问j ( ，- ) s 丁( 厂) + 。( 丁) ) 。 j oj o 证明见 3 中引理4 1 7 。 6 第二帝纯映射唯一性定理的发展 第二章亚纯映射唯一性定理的发展 2 1 亚纯映射与有限个固定超平面相交的唯一性问题 从c “到p ( c ) 上超平面上有限集合的亚纯映射的唯一性定理的证明工作开 始于大约三十年前 5 。 这里我们给出一些重要的结论。 设厂：c ”一尸v ( c ) 为一个线性非退化的亚纯映射，d 为正整数， 。，日：，h 。为q 个处于般位置的超平面，使得 d i m 厂1 jn 日j ) s ，l 一2 ，i 。 ( 1 ) 用f ( f ， 日j ；舻d ) 表示包括所有满足下列条件的线性非退化亚纯映射 g ：c “呻p ( c ) 的集合： ( a ) m i n ( v ( ，) ，d ) = m i n ( v ( g ，) ，d ) ，( 1s 歹sq ) ( b ) 厂( z ) = g ( z ) ，在u ；。，_ 似，) 上。 注意这里的条件( 1 ) ，( b ) 是非自然的，我们后面会提到。 h f u ji m o t o 6 7 分别得到了如下两个定理： 定理2 1 1 ( f u ii m o t o19 7 5 ) 如果q 3 n + 2 ，那么f ；g 。 定理2 1 2 ( f u jim o t o19 7 8 ) 如果g = 3 n + 1 ，那么存在一个从c “到p ( c ) 上的线性投影变换，使得g = l 厂。 l s m i l e y 8 给出了如下的唯一性定理： 定理2 1 3 ( s i n ile y19 8 3 ) 若q 苫3 n + 2 ，则 | f ( ， 日巧1 1 ，1 ) = 1 。 w i l h e l ms t o l l 9 给出了如下的结论： 定理2 1 4 ( s t o ll 1 9 9 8 ) 令工，厶，厶：c 叶p ( c ) 为线性非退化全纯曲线。 令h ，日：，h ，为p ( c ) 上一般位置的超平面。假设 。( 日，) 一= 1 ( 日，) ，并且 7 第二章纯映射唯一性定理的发展 记4 = 卅( h ，) ，1 s j sg 。进一步假设对每个i _ ，4aa ，f z j 。令a = 。a ， 令2s ，sa 为一个整数满足对任何递增序列1s j ： 熹一。( ，) 艺( ，) 熹 那么厂( z ) 三g ( z ) 。 2 2 关于移动对象的亚纯映射的唯一性问题 近些年来，值分布理论中关于移动对象的第二基本定理的完成促使人们开始 探讨从c ”到p ( c ) 的亚纯映射的唯一性问题。 下面介绍一些需要的表示。 一个移动超平面取定，对每个z ，超平面由下面的表示给出 纵z ) = ( x o ：h ) 蹦c ) l 芝i ：o a o i ( 如= 。) 这里口。i ，( 0sisn ) ，是整函数且它的一般零点集的维数至多为以一2 。一个 移动超平面h 。给出一个亚纯映射a 。= ( 口。= - ：乜。) ：c ”- p ( c ) 。我们定义 乃。( r ) ；t ( r ，以。) 。称口。关于亚纯映射厂是小的，如果当，呻+ 。时， t ( r ，a 。) = o ( t ( r ，厂) ) 。 移动超平面 z ，h q ( 或者怯，口。 ) 称为是在一般位置上的，如果对 某个z ( 因此对几乎所有的) z c ”， 日，( z ) ，h 。( z ) ) 是在一般位置上的。 下面介绍对于带有可数重数的移动对象的唯一性问题。 t u 在 1 3 中证明了对于带有可数重数的移动对象的唯一性定理。利用了对 于移动对象的弱c a r t a n 类型第二基本定理 令m 是c “上所有亚纯函数构成的域。记尺( 和，) ；。，) cm 为包含c 和所有 口肚口，( 口，o ) 的最小子域，这里1s s 口，05 七，s 。记局( 恤”1 ) cm 为包 含所有j l z 朋( 满足，l r ( 口臻，) ，对某个正整数七) 的最小子域。 移动对象的弱c a r t a n 类型第二基本定理 一至三! 里丝坠型堡= 堡塞些堕丝壁一一- 一一 令厂：c 一一p ( c ) 是一个亚纯映射。令扣，”。是从c “到尸( c ) 上一般位置 的亚纯映射，满足，在r ( 口，) ；。，) 上是线性非退化的，那么对于任意 0 ，存在 一个正整数m ，使得 i i ( a - n - 1 - e ) m ，加毫峭m ) + d ( m ，肭+ 。( 氍m ，叫) 、 定理2 2 9 ( t u2 0 0 2 ) 令厂，g ：c “+ p ( c ) 是两个非常数的亚纯映射，并 j a - 令- a i 3 n 。+ ，是“小的( 关于，) 从c ”到( c ) 上一般位置的亚纯映射，满足 ，在r ( 扣3 ，n + 1 ) 上是线性非退化的。假设 ( i ) ( 厂，q ) 和国，口。) 具有相同重数的零点( 1 s i s 3 + 1 ) ( i i ) d i m z e c “l ( 厂，嚷) ( z ) = ( 厂，口) ( z ) = o 5 以一2 ，( 1 si _ s3 + 1 ) ( i i i ) 厂( z ) = g ( z ) 在u ：1 仁c “i ( ，口) ( z ) = o 】上。 那么存在一个( + 1 ) ( + 1 ) 矩阵，它的元素在赢( p ，3 ，n t 1 ) 上并且 d e t ) 0 ，使得。，= g 。 定理2 2 1 0 ( t u2 0 0 2 ) 令f , g ：c “呻p ( c ) 是两个非常数的亚纯映射，并 且令佃3 n 。+ z 是“小”的( 关于，) 从c “到( c ) 上一般位置的亚纯映射，满足 ，在意( 和j ) 翟2 ) 上是线性非退化的。假设 ( i ) ( 厂，吒) 和( g ，n 。) 具有相同重数的零点( 1 s f ：a 3 n + 2 ) ， ( i i ) d i m z c “i ( 厂，口；) ( z ) = ( 厂，口j ) ( z ) = o 】 1 1 2 ，0 i _ s3 n + 2 ) ， ( i i i ) 厂( z ) ；g ( z ) 在u = 2 乜e c ”l ( f ，口j ) ( z ) = o 上。 那么f = g 。 下面介绍一些没有计数重数的移动对象的亚纯映射唯一性定理。 c h e n 和r u 1 4 利用带有截断重数的第二基本定理证明了下面些亚纯映射 唯一忡审理。 1 0 第二章弧纯映射唯一性定理的发展 移动对象的第二基本定理 令，：c ”呻p ( c ) 是一个亚纯映射。令 口，垮，是从c “到( c ) 上一般位置 的亚纯映射，满足厂在尺( 如戊) 上是线性非退化的，那么 i i q 忑丁( r 加砉梯州( ，) + d ( 丁( r ，) ) + d ( 氍肌 令厂：c ”_ 尸( c ) 是一个亚纯映射，令如j ) ；，是“4 、 的( 关于厂) 从c “到 尸( c ) 上一般位置的亚纯映射，满足 d i m ze c “l ( 厂，口，) ( z ) = ( ，口从z ) = o ) sn - 2 ，( 1 si ；i 。，2 ) = 1 ； ( b ) 如果g 一坐鼍乒业并且芑2 ，那么挣g ( ，如臻。，2 ) s2 。 1 2 第三章主要结果及定理证明 3 1 亚纯映射相交超曲面的唯一性定理 回忆第二章给出的l s m i l e y 的唯一性定理( 2 1 3 ) 。 定理a 若g 3 n + 2 ，则撑f ( 厂， 日) q 1 ，1 ) = 1 。 另一个t h a i 的唯一性定理( 2 1 6 ) 。 定理b 若n 2 ，则撑f ( 厂， q ) 嚣“，1 ) - - 1 下面将讨论用超曲面代替超平面情况下的唯一性定理。 设d 。为p ( c ) 上d 次不可约超曲面，a 。为d 。的定义多项式。将单项式 工：。，x 记为x 4 ，其中口= 。，口) ，口，为非负整数。那么q 。可以表示为 q 。2 荟z q 其中m ：c 菇“一1 ，x “，x 。为所有d 次单项式，并按某一个固定顺序排 歹0 好。记口。= ( 口。o ，口。m c m “) 。 定理3 1 1 设f , g ：c 4 - p v ( c ) 为两个代数非退化的亚纯映射( 即其像不 包含于任意代数子集中) ，p j ) ；， b d 次不可约超曲面满足：对其中任意m + 1 个 超曲面d f o ，d - ，向量气，线性无关。假设： ( i ) m i n ( v q , 。1 , 1 ) = m i n ( v o ，。寥，1 ) ，( 1s ，s 留) ( i i ) d i m z c ”lo i 。厂( z ) = o 。，( z ) = o ) s 甩一2 ，( 1s i o ) 。 设m = c , 7 + 。一1 ，若m 1 ，q = 3 m + 1 ，则，暑g 。 注：在此定理中并不要求 d j ”；处于一般位置。 第三章主要结果及定理证明 3 2 证明的准备工作 对 z = ( z l ，一，z 。) e c ” ，令 她l l = ( jz 11 2 + + i 乞1 2 ) 班 。 定义 b ( r ) = 【z c ”l l | zl l 0 。 定义 d ：陬正) 一1 ( a 一否) ，矿：( 砝。忆1 1 2 ) 与仃：d 。l o gi iz 1 2a ( d d 6l o gi iz1 1 2 ) ， 亚纯映射f ：c ”_ p ( c ) 的特征函数定义为 z ( 厂，厂) 2 正1 。g l l 川仃- f s ( i ) 1 。g l l ，i l 仃，( ， 1 ) 。 注意：r ( r ，f ) 与，的既约表示的选取无关。 下面定义密指量函数，尸( c ) 上的超平面可以表示为 h = 嘣) p ( c ) i “t = o , a i e c ，os fs ) 。 我们记( ，h ) = 罗只( z 一日) ，这罩虽然( 厂，日) 虽然与既约表示的选取有关， ；尚 但其零点与既约表示的选取无关。 对于超平面h ，若( 厂，h ) 0 。定义 与 v 0 ，) ( z ) = m i n l ，矿( 朋) ( z ) ) ， v l o 如舻，豢搿羔 v l o 舻，黧搿篡 其中l ，k 为正整数。令 九( f ) ；丘，一，| n 层c r ) v c 厂，) z y 若n 2 lk i l t _ 朋) ( z ) 勃= 1 第三章主要结果及定理证明 类似可以定义，z ( f ) ，甩三( f ) ，与h ，i - , 。( f ) 。令 ( ，。) ( r ) = j j _ 。l n ( t ) 出( 1 - - j 和生活中，我度过了许多美好的时光，感谢班主任兰辉老师对我 的关心与帮助；感谢在我写作中给予我大量支持和帮助的师姐韩静博士，师兄赵成兵博士， 以及刘洋、戴绍虞、赵寿为等各位同学和时时关心陪伴我的朋友邵宇芬、李静茹等，感谢所 有的同班同学，大家一起相处数载，互相关心照顾，彼此之间那份真诚深厚的友谊将永远珍 藏于我的内心深处。 最后，要感谢我的家人给予我在学习生活中的支持和帮助，他们的鼓励和期望给予我温 暖和不竭的动力。这十几年的求学，没能很好地陪伴在父母身边，没有给予父母关心和照顾， 使我一直很愧疚，没有家人的无私付出，就没有我今天的一切! 再一次感谢所有关心帮助我 的人，谢谢你们1 2 0 参考文献 参考文献 【1 】r n e v a n l i n n a ，e i n i g ee i d e n t i g k e i t s s a t z ei nd e rt h e o r i ed e rm e r o m o r p h i cf u n k t i o n e nj a c t a m a t h ，( 1 9 2 6 ) ，4 8 ：3 6 7 3 9 1 【2 】2t h a i ，d d & o u a n g ，s d ，s e c o n dm a i nt h e o r e mw i t ht r u n c a t e dc o u n t i n gf u n c t i o ni ns e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e sf o rm o v i n gt a r g e t s ，p r e p r i n t 【3 】t h a i ，d d q u a n g ，s d ，u n i q u e n e s sp r o b l e mw i t ht r u n c a t e dm u l t i p l i c i t i e so fm e r o m o r p h i c m a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sf o rm o v i n gt a r g e t s ，p r e p r i n t 【4 】h f u j i m o t o ，u n i q u e n e s sp r o b l e mw i t ht r u n c a t e dm u l t i p l i c i t i e si nv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y ， n a g o y am a t h j 1 5 2 ，( 1 9 9 8 ) ，1 3 1 1 5 2 【5 】t h a i ，d d & q u a n g ，s d ，u n i q u e n e s sp r o b l e mw i t ht r u n c a t e dm u l t i p l i c i t i e si ns e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s ，p r e p r i n t 【6 】6h f u j i m o t o ，t h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cm a p si n t ot h ec o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e ， n a g o y am a t h ，j 5 8 ，( 1 9 7 5 ) , 1 2 3 【7 】h f u j i m o t o ，r e m a r k st ot h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cm a p si n t op u ，i ，n a g o y a m a t h ，j 7 1 ，( 1 9 7 8 ) ，1 3 2 4 【8 】s m i l e y ，l ，g e o m e t r i cc o n d i t i o nf o ru n i c i t yo fh o l o m o r p h i cc u r v e s ，c o n t e m p m a t h ，v 0 1 2 5 ， ( 19 8 3 ) ，1 4 9 1 5 4 【9 】w s t o l l ，o nt h ep r o p a g a t i o no fd e p e n d e n c e s ，p a c i f i cj o fm a t h ，m r9 1 a ：3 2 0 3 7 ，( 1 9 8 9 ) ，1 3 7 ， 3 11 - 3 3 7 【1 0 】t h a i ，d d & q u a n g ，s d ，u n i q u e n e s sp r o b l e mw