（基础数学专业论文）复流形上具有非光滑边界强拟凸域的koppelmanleraynorguet公式及其应用.pdf

复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 摘要 熟知，c n 空间中( 0 ，q ) 型微分形式的积分表示及其应用已经有 许多研究 i - - s ，但复流形上的积分表示的研究则始于二十世纪八十 年代，目前的成果多数是关于s t e i n 流形的 4 , 5 , 9 , 1 0 , 1 4 上个世纪9 0 年 代初b b e r n d t s s o n 1 1 1 对一般复流形上的积分表示理论进行了研究，在 适当的假设下得到了复流形上相当一般的积分核，并给出复流形上 的k o p p e l m a n 公式 钟同德【心l 在此基础上得到了复流形上具有逐块g 1 光滑边界的 有界域d 上0 ，q ) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并在 适当假定下给出d 上乒方程的连续解本文利用h e r m i t i a n 度量和 陈联络，构造新核，对复流形上具有非光滑边界的强拟凸域d 进行 探究，得到d 上( p ，g ) 型微分形式相应的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公 式，并在适当假定下也得到d 上乒方程的连续解，其特点是不含边 界积分，从而避免了边界积分的复杂估计，并且积分密度不必定义 在边界上而仅仅定义在区域内作为应用，我们探讨s t e i n 流形上一 般强拟凸多面体( 不一定非退化) 上，g ) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并在适当假定下给出口方程的连续解全文分 三章t 第一章介绍了复流形上的一些定义和记号，包括b e r n d t s s o n 核， 逐块光滑边界，以及重要的基本引理等等 第二章构造新核，得到相应的k o p p e l m a n - l e r a 删o r g u e t 公式， 并给出两个特例 第三章作为应用，我们探讨s t e i n 流形上一般强拟凸多面体( 不 一定非退化) 上，口) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y _ n o r g u e t 公式， 并在适当假定下给出乒方程的连续解 关键词：复流形；强拟凸域；非光滑边界；k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式；扣方程 星煎垄占基查! e 堂塑望墨堡塑些燮笪兰鱼塑塑塑兰竺塑! ! 旦堡坚呈! 坌塞壁基廑星 2 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s f o r ( 0 ，q ) d i f f c r e n t i a lf o r mi nc nh a v eb e e nd e e p l ys t u d i c d 1 一一a 1 b u tt h er e - s e a r c hf o ri n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so nc o m p l e xm a n i f o l d sb e g a ni n1 9 8 0 s m o s t o ft h er e s u l t s ，, s of a r ，a r ec o n c e r n e dw i t hs t e i nm a n i f o l d s 4 ，5 ，9 ，1 0 ，14 1 i nt h ee a r l y 1 9 9 0 s ，b b e r n d t s s o n 1 l 】s t u d i e dt h et h e o r yo fi n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so ng e n - e r a lc o m p l e xm a n i f o l d s ，u n d e ras u i t a b l ec o n d i t i o ng a i n e di naq u i t eg e n e r a l i n t e g r a lk e r n e l u s i n gt h i sk e r n e l ，o b t a i n e dt h ek o p p e l m a nf o r m u l ao nc o m p l e x m a n i f o l d s b a s e do ni t ，t o n g d ez h o n g 1 2 1g o tt h ek o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l a o ft y p ep ，q ) o nab o u n d e dd o m a i nd w i t hp i e c e w i s ec xs m o o t hb o u n d a r i e s i nac o m p l e xm a n i f o l d ，a n dg a v et h ec o n t i n u o u ss o l u t i o n so f 籼q u a t i o n so nd u n d e ras u i t a b l ec o n d i t i o n i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h eh e r m i t i a nm e t r i ca n d c h e r nc o n n e c t i o n ，w es t u d yt h ec a s eo fa s t r i c t l yp s e u d o c o n v e xd o m a i ndw i t h n o n - s m o o t hb o u n d a r i e si nac o m p l e xm a n i f o l d b yc o n s t r u c t i n gan e wi n t e g r a l k e r n e l ，w eo b t a i nan e wk o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e tf o r m u l ao ft y p e ，q ) o n d ，a n dg e tt h ec o n t i n u o u ss o l u t i o n so f5 _ l e q u a t i o n so ndu n d e ras u i t a b l ec o n d i t i o n t h en e wf o r m u l ad o e s n ti n v o l v ei n t e g r a l so nt h e b o u n d a r y , t h u so n ec a n a v o i dc o m p l e xe s t i m a t i o n so ft h eb o u n d a r yi n t e g r a l s ，a n dt h ed e n s i t yo fi n t e - g r a lm a yb en o td e f i n e do nt h eb o u n d a r yb u to n l yi nt h ed o m a i n a ss o m e a p p l i c a t i o n s ，w ed i s c u s st h ek o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e tf o r m u l ao ft y p ep ，q ) f o rg e n e r a ls t r i c t l yp s e u d o c o n v e xp o l y h e d r o n s ( u n n e c e s s a r i l yn o n - d e g e n e r a t e ) o ns t e i nm a n i f o l d s ，a l s og e tt h ec o n t i n u o u ss o l u t i o n so f 籼q u a t i o n su n d e ra s u i t a b l ec o n d i t i o n t h ew h o l ed i s s e r t a t i o nc o n t a i n st h r e ec h a p t e r sl i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o ri n t r o d u c ss o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a 七i o n 8 o nc o m p l e xm a n i f o l d s ，i n c l u d i n gt h eb e r n d t s s o nk e r n e l ，p i e c e w i s eg 1s m o o t h b o u n d a r i e s f u r t h e r m o r et h e r ea r es o m ei m p o r t a n tb a s i cl e m m a sa n ds oo n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b ym e a n so fc o n s t r u c t i n gn e wk e r n e l ，t h ea u t h o r g i v e san e wk o p p e l m a n l e r a y n o r g u e tf o r m u l a 0 1 1as t r i c t l yp s e u d o c o n v e x d o m a i nw i t hn o n s m o o t hb o u n d a r i e s w ea l s og i v e st w oe x a m p l e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，a ss o m ea p p l i c a t i o n s ，w ed i s c u s st h ek o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e tf o r m u l a o ft y p e0 ，q ) f o rg e n e r a ls t r i c t l yp s e u d o c o n v e xp o l y h e 。 d r o n sf u n n e c e s s a r yn o n - d e g e n e r a t e ) o ns t e i nm a n i f o l d s ，a l s og e tt h ec o n t i n u o u s s o l u t i o n so ft 孓- e q u a t i o n su n d e ras u i t a b l ec o n d i t i o n k e v w o r d s ：c o m p l e xm a n i f o l d ；s t r i c t l yp s e u d o c o n v e x d o m a i n ；n o n - s m o o t n b o u n d a r y ；k o p p e l m a n - l e r a y n o r g u e tf o r m u l a ；萨屯q u a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的责任。 声明人( 签名) ：诽持蒲 w 田年r 月卯日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密ca ( 请在以上相应括号内打 ”) 作者签名：黼淹日期：加8 年，月叼日 导师签名：印痞叼卜 日期：砌矿年r 月怕 复煎垄土星查韭堂塑望墨堡垫凸堕丝勉塑竺兰竺型尘垒型堕坌塞垦基堕旦 4 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的 k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用奉 引言 现代数学的特点之一是高维、交叉而多元复分析正是反映这些特点的 方向之一。它是现代数学中最为活跃的学科之一国际著名数学家陈省身先生 曾预言：“将来数学研究的对象，必然是流形。多元复分析研究的主要内容 是复流形的分析与复几何，而多复变与复几何是一门交叉性极强的学科，反映 了数学的统性，是现代数学的核心与前沿之一由于内容十分广泛和深刻， 所以几乎用到现代数学的所有方法 早在1 8 3 1 年，c a u c h y 发现了以其名字命名的著名的c a u c h y 积分公 式，数学家就认识到积分表示在复分析中的重要性自从上个世纪7 0 年代 h e n k i n 1 , 2 l 和g r a u e r t l i e b 3 分别得到了c “空间中强拟凸域的扣方程的 解的积分公式后，多复变数的积分表示方法迅速发展起来，成为多元复分析的 主要方法之一，它的主要优点是象单变数的c a u c h y 积分公式一样便于估计 熟知，c ”空间中全纯函数和光滑函数的积分表示及其应用已经有许多 研究 1 , 2 , 4 - - s ，自从k o p p e l m a n q 于1 9 6 7 年得到了俨空间中( o ，q ) 型微分形 式的k o p p e l m a n 公式，有关c ”空间中( 0 ，q ) 型微分形式的积分表示理论也 已经有许多研究 1 - - 8 1 ，但复流形上的积分表示的研究则始于上个世纪8 0 年 代首先，h e n k i n 和l e i t e r e r 4 研究了s t e i n 流形上( 0 ，口) 型微分形式的积 分表示理论，得到了( 0 ，口) 型的k o p p e l m a n 公式，k o p p e l m a n - l e r a y 公式 和k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并给出了乒方程的解接着d e m a i u y 和l a u r e n t - t h i e b a u t 9 研究了s t e i n 流形上( p ，g ) 型微分形式的积分表示理 + 国家自然科学基金资助项目( 项目批准号：1 0 5 7 1 1 4 4 ，1 0 7 7 1 1 4 4 ) 和厦门大学新世纪优 秀人才支持计划 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 5 论，得到了0 ，q ) 型的k o p p e l m a n 和k o p p e l m a n - l e r a y 公式以及扣方程的 解，它和( 0 ，q ) 型微分形式的情形有本质的区别，这时不能象c ”空间一样采 用e u c l i d 度量，因为在s t e i n 流形上e u c l i d 度量不是全纯变换下的不变量 为了克服这个困难，d e m a i l l y 和l a u r e n t - t h i e b a u t 利用h e r m i t i a n 度量和 陈联络，给出了不变积分核，这是个十分重要的思想利用h e r m i t i a n 度量 和陈联络，邱春晖 1 0 l 得到了s t e i n 流形上具有逐块g 1 光滑边界强拟凸域上 的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并在适当假定下给出了扣方程的解 2 0 世纪9 0 年代初b b e r n d t s s o n 1 1 】对般复流形上的积分表示理论进行了研 究，他在适当的假设下首先得到了复流形上相当一般的积分核，由此他得到 了复流形上的k o p p e l m a n 公式钟同德【1 2 】在此基础上得到了复流形上具有 逐块光滑边界的有界域d 上0 ，g ) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并在适当假定下给出d 上萨方程的连续解 本文的目的是利用h c r m i t i a n 度量和陈联络，构造新核，探究复流形上 具有非光滑边界的强拟凸域d 的情形，得到d 上0 ，q ) 型微分形式相应的 k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，同时在适当假定下得到d 上扣方程的连 续解，其特点是不含边界积分，从而避免了边界积分的复杂估计，并且积分密 度不必定义在边界上而仅仅定义在区域内文章分三部分。 第一章介绍了复流形上的一些定义和记号，包括b e r n d t s s o n 核，逐块光 滑边界，以及重要的基本引理等等 第二章构造新核，得到相应的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并给出 两个特例 第三章作为应用，我们探讨s t e i n 流形上般强拟凸多面体( 不一定非退 化) 上0 ，q ) 型微分形式的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，并在适当假定下 给出扣方程的连续解 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其廑旦 6 第一章复流形与基本引理 设m 为一个复流形，x = m m ，e 为x 上的n 阶全纯向量丛，7 7 为e 的全纯截面使得 叩= o ) = y = ( ( ，名) x ：( = z ) ( 1 1 ) 若f 为e 的对偶丛e 的任意光滑截面，它对r 是允许的，即v 紧集b x 有 川c s i o l 且i ( f ，7 7 ) i c b l , 7 1 2 ，( 1 2 ) 其中c b 与c 售为仅与b 有关的常数，例如是叩关于某度量的对偶向量， 则对7 7 是允许的考虑广义式方程 d k = y 】- g 【e 】，( 1 3 ) 其中e 为e 的某一联络的曲率形式，g 【e 】为e 的第几个陈式b b e r n d t s s o n 求出( 1 3 ) 式的显式解为( 称之为b e r n d t s s o n 核) 驯协舭=一n!(27ri)n譬k=ok户可(d*,s ad r ) n - k - 府朋q 其中a = e ：ae la ae n ae n ，e l ，e n 为e 的一局部标架，e ；，e ：为 e 的对偶标架， ( 去) 七寺分= c 知【e 】e + 1 ae la - ae k ( 1 5 ) 记 p ( n ) ：= k = ( 七l ，k t ) n ：1 k l ，k t ) ， 尸7 ( ) ：= k = ( k l ，) p ( n ) ：1 k x 一b + r 入 o 入 = 、 r - i = 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 8 其中五表示省略掉j ，用这个定向，我们可以得到 a ( j ) = a ，+ ( 一1 ) 1 k i o a ， 其中i i 是指标集k 的长度 记n ( p k ) ：= z u k ：p k ( z ) = 0 ( k = 1 ，) 并且设n ( p k ) c c 巩，( 尼= 1 ，) ，( 这里我们不必假设当( a d 有d p k ( c ) 0 ，七= 1 ，) 因此我们可以用巩c c 巩来记n ( p k ) 的邻域 类似于文【4 】中的定理4 8 3 和引理4 8 2 ，假设经过适当放缩以，可以找 到常数，q 0 ，以及c 1 函数c k ( z ，( ) 和c k ( z ，( ) ，z du0 k ，( 氏，使得下 列条件满足s ( i ) c k ( z ，( ) ，西南( 名，( ) 关于z du 巩全纯，关于e 是g 1 连续的 ( i i ) 当z du 巩，( 以，d i s t ( z ，( ) g 时有 c k ( z ，e ) 0 ，c k ( z ，( ) 0 ( 1 6 ) 当名du 以，( 0 k 且d i s t ( z ，( ) 冬时有 i 圣七( z ，( ) i a ( p 七( ( ) 一p k ( z ) + d i s t ( z ，( ) 】2 ) ， ( 1 7 ) i 丕七z ， ) l a ( 一p 七( ( ) 一p k ( z ) + 【d i s t ( z ，( ) 2 ) ( 1 8 ) 对每个z o k 有 c k ( z ，z ) = 0 ( 1 9 ) ( i i i ) 当( n ( p k ) ，z d1 3 以时有 c k ( z ，( ) = c k ( z ， ) ( 1 1 0 ) 类似于文【4 】中推论4 9 4 ，适当放缩以，我们可以找到t + ( m ) 一值g ( 1 ) 映 射靠( 名，( ) ，满足下列条件： ( i v ) & ( z ，e ) 7 ( a ，) ，z du 以，( 0 k ，七= 1 ， 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其应甩9 ( v ) 靠( z ，( ) 关于z duo k 全纯，k = 1 ， ( v i ) 圣k ( z ，( ) = ( 七( z ，( ) ，叩( z ，( ) ) ，z duo k ，( o k ，七= 1 ，( 1 1 1 ) 设f 为e 上的c 度量，它诱导一反线性映射p ：e e ，刀一( ，7 7 ) f ， 设d 为e 关于f 的联络，d + 为e 关于度量f 。的联络，而f + 是f 在驴 上诱导的记；为c 截面：i f m _ e + ( m m ) ，它为万= p o 叼定义，使 得下述条件满足：e ( mxm ) ，有( t t t ，7 7 ) f 0 ，并且映射1 1 , 7 ( z ，( ) 忆：= ( ( p 叩，叩) f ) 吾，叩e ( mxm ) ，在e ( m m ) 每一纤维上定义一范数，记 ( p 叩，叼) p = i 叩( 2 ，( ) i 刍 在m mxa ，记对偶丛e + ( m m ) 关于映射( z ，( ，a ) h ( z ，( ) 的拉 回为e + ( mxm ) 记向量丛e ( m m ) 的度量f 在e + ( m mxa ) 上诱导的度量为f + ，设为e + ( m m a ) 上关于度量p 的联络，它关 于度量是全纯的 记昭( m m a ，e ) 为m m a 上取值于e = e + ( m m x ) 的k 阶微分形式的空间，它有如下分解 曙( m m a ，豆+ ) = o 嚷，( m m ，豆+ ) ， p + q + r = k 其中c 器，( m mx ，e + ) 表示关于( 名，( ) 是 ，q ) 型的，关于入是r 次的 微分形式的空间 联络分解为a = a 7 + a ，其中 a 卜c p 口o o ，( m m a ，e ) + c 署1 癌，( m mxa ，e ) ， a ：嚷，( fxm x a ，e ) 叫“m m xa ，e + ) o 嚷r + 。( m m ，豆+ ) 对在d x x a o k 的某邻域d x m x a o r 的所有使得( & ( z ，e ) ，7 7 ( z ，( ) ) o 的( z ，( ，入) 定义 以“：“褊+ p 淼 ( 1 1 2 ) 复煎垄占星查韭堂堂望墨塑塑鱼些丝丝旦塑些里塑：墨竺垒型丝鲤竺坌茎垦基堕旦 1 0 由7 7 和矗( 七k ) 的性质可知，映射( z ，( ，入) h 扩z ，( ，入) 在d o d 的某邻域d m 上定义e ( m m ) 的个c 1 截面由此微 分式 郦翩疋m = 业n ! ( 2 刀- i ) 譬k = o ( ：) ( k _ 1 ) 气，蹦砌广府( 1 1 3 ) 在d o d x 的某邻域dxm x 上是连续的记 靴+ ，绣剜( z ，e ，a ) 人= ，g ( z ，( ，a ) ， 并令，一1 = ，n = 0 ，其中啤，。( z ，( ，a ) 是q 疗，叩】( z ，( ，a ) a ( 简记为q ( z ，( ，a ) ) 中关于z 是0 ，q ) 型的分量对于复流形上具有逐块c 1 边界的有界域，文 【1 2 】证明了下述 引理1 1 【1 2 】假设m 为一亿维复流形，d 为 ，中一有界域，具有逐 块c 1 边界，c o , ，q ) ( 万) ，石，也在西连续，0 p n ，1 qsn ，那么 ( 一1 ) p + 9 ，( z ) = 覆 i k l n - 。( 一1 ) i k i 丘k 。k ，( e ) q 刍，q l ( z ，e ，入) + ，( ( ) a 俨l ( z ，( ，a ) l 至( _ l 严if b k 汹k 鲥呲疋入) + 瓦，( ( ) q p 口z ，( ，a ) i + ( _ 1 ) 升叶1 k ( _ 1 ) 畔i 厶o x 瓜) 佩如) l n - q v o k 上- o k + ，( ( ) ag 【e 】p i q ( 名，( ) ，z d 特别地，如果加上条件o e = d 2 e = 0 ，否，= 0 ，那么、 出) _ ( _ 1 ) p + 引l 篆。( 计l 厶憾玳坞舻心卅上。瓜鹏旷心入) 】， 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用1 1 是西= ，在d 中的连续解，其中q p ，口z ，( ，a ) 和g 【e p 1 口z ，( ) 分别为 q t + ，绣剜( z ，( ，a ) 人：= d f l t + ，而，纠( z ，( ，入) a 和g 【e 】( z ，( ) 中关于z 是( p ，q ) 型的分量，d = 玩，+ d x 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 1 2 第二章新的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式 ，) p ( ) ，定义 咕：p k 。( ( ) = = p k t 否则 ，岛两两不同 由局部q - 凸楔形的定义p a l 知略为的个闭的c 2 子流形记定义在 蜡上的函数p k 满足 p k ( c ) = p k ，( ( ) ( ( 蜡，r = 1 ，f ) 对k p ( ) ，定义 r k ：= ( u 善：乃( ( ) sp k ( c ) o ，歹= 1 ， 则不难验证r k 为万的c 2 子流形，具有逐块c 2 边界，而且有 d = r lt 3 ur ，和o f k = uf k lu uf k n ，k p ( ) 选择r 耳的方向，使得定向关于k 的分量是斜对称且下列条件成立。 r l ，f 具有c n 的定向，若k 尸( ) ，1 j n ，歹譬k 则i 、柳的定向 与一卯k 的定向一致 引理2 1 【1 3 1 ( - - i ) k l a ( r r x a o r ) = d x a o + ( 一1 ) 畔i s k x a 。k 一f k x a k k e p ( ) k e p 7 ( )k e p 7 ( ) 选取肌曙( 以) ，k = 1 ，使得在n ( p k ) 的某邻域上瓢( e ) = 1 由( 1 6 ) 和( 1 8 ) 推出，对每一z d ，存在n ( p k ) 的邻域k 冬以使得对 ( ( d no k ) uk 有垂七( z ，e ) 0 因为s u p p x kc co k ，所以对每一固定的 z d ，映射x k ( c k ( z ，( ) 圣砖( 名，e ) 关于e dt 3v k 是c ( 1 ) 的，令 陬：“褊+ p 帮， ( 2 1 ) - ： o 、i，_， = = 暨二、 舢 唔 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 1 3 配酬k m = 勰乳卜讼吁惝广府期 在d o d 的某一邻域互d m a 上是连续的，记 矶，统叫( z ，e ，a ) a = _ p ，。( z ，e ，a ) ， 并令_ p ，一l = - p ，n = 0 ，其中珥，。( z ，( ，入) 是豆而，纠( z ，e ，a ) a 中关于z 是 ( p ，q ) 型的分量令 孬( 哥，氟叩】( z ，( ，a ) a ：= 疵 矿，筇，叩】( z ，( ，a ) a ， 并分别简记豆妒，皖叫( z ，( ，入) a 和负p ，氟叫( z ，( ，a ) a 为豆( z ，( ，入) 和磊( z ，( ，入) ， 由此可得 d e ，a 【，( ( ) aq ( z ，( ，a ) 】= o c f ( e ) aq ( z ，e ，入) + ( 一1 ) p + 。，( e ) af i ( z ，( ，a ) 一覆【，( ( ) a 孬( 名，( ，入) 】 ( 2 3 ) 引理2 2 豆( z ，( ，入) i 。= q o 【玩7 7 】( z ，( ) a = 5 ( z ，e ，入) l 。， 其中 叫删m = 业n ! ( 2 r r i ) n 长k = o ( ：) ( k 叫七炉府 引理2 3 如果( o d ，则 丽( z ，( ，入) = 5 ( z ，( ，入) 证明若( o d ，则敝( ( ) = 1 ，氟( z ，( ) = 吼z ，e ) 由( 1 1 1 ) 式可知 觚( ( ) & ( z ，( )靠z ，( )靠z ，( ) - - - ! - - - - - - - - - - 一= = = 一：= ：一 氟( z ，e ) 圣七( z ，e )( 靠( 名，( ) ，叩( z ，( ) ) 。 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及基廑旦 1 4 于是n ( z ，( ，a ) = q ( 名，( ，入) 口 引理2 4对面上连续有界 ，口) 形式，有 ( i ) 厂( ( ) a 豆( z ，( ，a ) = 0 ，( z d ) ，q 1 ， ( 2 4 ) j r k x a k ( i i ) 覆 ，( ) 人豆( z ，e ，入) = 0 ，( z d ) ( 2 5 ) ，f k x 证明( i ) 若( ( ，a ) r k a k ，哥= a k x 七( ( ) & ( z ，( ) 面七z ，( ) 由于磊( z ，( ) ，c k ( z ，( ) ，( k = 1 ，) 关于z 全纯，q ( z ，( ，a ) i ( ( a ) ( r 耳耳) 中关于反是零次的，所以，( ( ) 豆( z ，e ，a ) 中关于( 与a 的次数和是2 n + 1 一g ， 而d i m r ( f k a g ) = 2 n ，因此如果q 1 ，那么( 2 4 ) 中的积分一定等于零 ( i i ) 由于( z ，( ) ，吼( 名，e ) ( 七= 1 ，) 关于z 全纯，所以( 2 5 ) 成立 口 定理2 1假设d 为n 维复流形m 上具有非光滑边界的强拟凸域，并 且j d 具有全纯支撑函数c k ( z ，( ) ，圣七( z ，e ) ，( k = 1 ，) ，满足( 1 6 ) 一( 1 1 1 ) f c o , ，口) ( 西) ，o f 也在万连续，0 p n ，1 g 竹，o e = d 2 e = 0 那么 f ( z ) = ( 一1 ) i k i 玩 ，( ( ) 聋, q - 1 ( z ，( ，入) 吲主= 口+ 1 ，r k x a o k + 羡( 一1 ) l k x a o k o f ( ( ) a fip,qk ( z 删艇d ( 2 6 ) l _ nq - 5 , o k 一 特别地，若5 ，= 0 ，则 出) = 俐邑舻iz “) ， ( 2 7 ) 是d 上面= ，的连续解，其中聋，。( z ，( ，a ) 为n “( z ，( ，入) 中关于z 是白，g ) 型 的分量 da 嬉 矿 l i da “ r 到得 以 可故 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 1 5 证明我们不妨先证明特殊情况，设当e o d ，d p k ( ( ) 0 ，k = i ， 而且，5 ，在万上连续我们在( 一i ) i k i f kx o k 上对微分形式 k e p ( ) ，( ) a _ p ，q l ( 名，( ，a ) 运用s t o k e s 公式得 k 焉) ( 邓iz w 嗝) 】 k e p ( ) ( 一1 ) 1 k i ，( ( ) 八_ p ，g lz ，( ，入) j o ( r kx z o k ) 由引理2 1 和( 2 3 ) 式有 于是 k 赢，( 舻lz 。k 觏汕嘶) + ( 一1 ) m k、(一1)上州爪)八酥-(z，ep(n l - x o k 1 u 1k + k p t t n 、 ( 一1 ) 1 k l 反 ，( e ) _ p ，g 一2 ( z ，e ，入) - ，r k a o k = 厶 ，( e ) 八- p ，州z ，( ，a ) j d x 0 + k e p 7 ( j l v ) ( 一1 ) 1 k i ，( ( ) 八_ p ，口一lz ，( ，a ) j s x x a o k ，( ( ) _ p 驴l ( z ，( ，a ) ， j c x x a k k e p 7 ( ) ( 一1 ) i k i ，( n q 时，d i m r = 2 n i k l n q 一1 ， ( 2 1 3 ) ，( ( ) 孬p ，q 一1 ( z ，e ，入) = o ，i k l 礼一g + l ， ( 2 t 4 ) 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n l e r a y n o r g u e t 公式及其应用 1 8 致f ( c ) a ，口z ，( ，a ) = 0 ，l k l n q ( 2 1 5 ) j f k a o k 而当o e = d 2 e = 0 时，q p ，口z ，e ，入) = 0 ，g 【e 】p ，口( z ，( ) = 0 ，由引理 2 2 ，引理2 3 ，( 2 1 1 ) 一( 2 1 5 ) 式及k o p p e l m a n l e r a y n o r g u e t 公式( 引理1 1 ) 知( 2 6 ) 式在d p k ( ( ) 0 ，e o d 时成立 其次我们考虑一般情况，即我们不必假设当( o d 有d p k ( ( ) 0 ， k = 1 ，在这种情况下，我们通过考虑一列无限逼近d 的强拟凸域 d m 来证明定理，而本节所有的构造关于m 都是一致收敛的由此我们完成 定理的证明口 例2 1 如果m = c n ，那么选向量丛e 为n 阶平凡丛，截面叼通常选 为叩= e z ，& 选为c a u c h y - l c r a y 向量丛的截面，显然由定理2 1 可得c n 中非光滑边界强拟凸域相应的结果，它蕴含着文【4 】的定理3 1 3 例2 2 若m 为一礼维s t e i n 流形，s ( z ，( ) ，妒( z ，( ) ，k 如同 4 】中引 理4 2 4 的一样，t ( m ) 和t ( m ) 分别为m 的复切丛和复余切丛，t ( m ) 和t ( m ) 分别是t ( m ) 和t + ( m ) 关于投影m m m ，( z ，( ) hz 的拉 回，将e ，e 。分别取为t ( m ) 和t + ( i 彳) ，d 为 ，中具有非光滑边界的强拟 凸域，矿的截面f 1 ，知取为s ；，s ，取全纯截面7 = s ( 名，e ) 使得 7 7 = o = yup ，其中p 是个与y 不相连的闭集，7 7 的例外零点造成了新 的困难，为克服这个困难可以引进全纯函数妒，它具有性质妒( z ，z ) = 1 ，从而 由定理2 1 可以得到具有权因子( z ，( ) ，( p m a x h a ，n k ) ) 的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式，这正是s t e i n 流形中具有非光滑边界强拟凸域相应的结 果，它蕴含着文【4 】的定理4 1 0 4 复流形上具有非光滑边界强拟凸域的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其应用 1 9 第三章s t e i n 流形上一般强拟凸多面体的公式 定义3 1命m 为一s t e i n 流形，开集dc cm 称为强拟凸多面体， 如果存在万的个邻域蛄，有限多个复维数n 的s t e i n 流形舰，m n ， 全纯映射r ：蛄一慨，( k = 1 ，) 以及强拟凸开集d kc c 死，( 七= 1 ，) 使得 d = 耳1 ( d 1 ) n n 巧1 ( d j r ) ， 如果p 1 ，p 分别是o d l ，o d n 的某一邻域口1 ，钆中强多次调和 c 2 函数，使得d 七no k = z 以：p k ( z ) o ) ，( k = 1 ，n ) o dc 一 耳1 ( 口1 ) u u 巧1 ( “) ，并且一点z 耳1 ( 0 1 ) 1 3 uk 1 ( o n ) 属于d ，