（基础数学专业论文）非线性散射问题.pdf

中文摘要 摘要 三维介质中的谐波在遇到障碍物后的散射问题，数学上可表示为h e l m h o l t z 方程的边值问题，其中无穷远点满足s o m m e r f e l d 散射条件。在非线性介质中， 波动方程可表示为阮一c 2 u = f ( z ，u ) ，当f ( x ，u ) 满足适当条件时，代入 入射波的表达式u ( ，t ) = e - “u ( z ) ，即得到在有界区域内散射波满足的方程 a u + 礼= f ( x ，“) 。本文讨论非线性介质在小跳跃度和小扰动下散射问题的解 的存在性，同时对一类非线性函数，( 士，) 在大跳跃度情况下给出散射问题解的 存在性。 关键词：h e l m h o l t z 方程，s o m m e r f e l d 散射条件，极限吸收方法，压缩映射原 理，l e r a y s c h a u d e r 不动点定理 中图法分类号：0 1 7 5 2 一一 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h es c a t t e r i n gp r o b l e mo ft i m eh a r m o n i cw a v ea f a ri t s i n t e r a c t i o nw i t ht h eo b s t a c l ei nt h r e ed i m e n s i o n s 1 1 l em a t h e m a t i c a lf o r m u l a t i o no ft h i s p r o b l e mi n v o l v e sh e l m h o l t ze q u a t i o n sw i t hb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sa tt h ei n t e r f a c e a n ds o m m e r f e l dr a d i a t i o nc o n d i t i o na ti n f i n i t y n ew a v ee q u a t i o nc a nb ee x p r e s s e d b y 仉t c 2 矿= f ( x ，u ) i nt h en o n l i n e a rm e d i u m u n d e rf l o r a ea s s u m p t i o n so n f ( $ ，驴) ，w ec o n s i d e rak i n do fs o l u t i o no ft i m eh a r m o n i cw a v e 【厂( $ ，t ) = e - w 钍( z ) t h e nt h ew a v ee q u a t i o ny i e l d s 口+ 砰= ，( z ，u ) w h i c ht h ei n c i d e n t a lw a v es a t i s f i e s i nab o u n d e dd o m a i n h e r e 。t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h es c a t t e r i n gp r o b l e mw i t h s m a l li u m pa n ds m a l lp e r t u r b a t i o ni ss t u d i e da n da l s of o rak i n do fn o n l i n e a rf u n c t i o n ，( z ，t ) s o m e r e s u l t s o f e x i s t e n c e w i t h b i g j u m p i sg i v e n k e yw o r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n ，s o m m e f f e l dr a d i a t i o nc o n d i t i o n ，l i m i t i n ga b - s o r p t i o np r i n c i p l e ，c o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，l e r a y s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e - o r e m c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：0 1 7 5 2 一m 前言 前言 散射问题是物理中很常见的问题，象微观粒子的散射，声波、电磁波的散 射等等。研究散射问题也有很多现实意义，它在量子力学、光学、声学、地质 力学、医学等方面都有很重要的应用。 散射现象可描述如下：一个平面波在其路程上碰到一物体时，部分波偏离 开其原来路径，除了不受干扰的平面波外还有一散射波，它从障碍物向所有方 向散开，使平面波受到畸变和干涉。通常把实际的波与假如障碍物不存在时所 应出现的不受干扰的波之间的差定义为散射波，也可以将其理解为是在已知的 入射波上增添的一个由障碍而引起的叠加波。 考虑三维介质中的声波，其中介质密度为p ，声速为c 波的运动可由速度 势u = v ( z ，t ) 决定，表示为 t ，：三g r a d u p 。 在线性理论中，速度势满足波动方程 宴一c 2 u ：o 百万一矿u2 ” 因此，对于形如u ( z ，t ) = 口( 。) e 一“的时间谐波，将其带入波动方程，振幅 ( z ) 满足h e l m h o l t z 方程 + k 2 v ：0 这里的表示波数。 典型的声学散射问题概括如下【1 1 ：波入射到以界面s 所限的物体上。 散射的结果形成新的场u ，它可以表达成u = v o + 仉形式。而新的场和原来 的场之间的差称作散射波场，记为以。在障碍物外部和内部，总的场( 厂在表 面上应该满足以下边界条件之一： i ) 矿k = 0 对应于声音在绝对软表面的散射； 2 ) ；兰i 。= 0 对应于声音在绝对硬表面的散射： ( 月0 匀rr 3 ) 【i t t + 口明l ，= 0 对应于阻抗型表面上的散射。 除了边界条件之外，为了求解声场，还必须应用散射条件。此条件归结起 来是，在所有的可能解中，应选取这样的函数，当观察点离开散射体时，它会 给出声场量随距离按某种确定的规律衰减。关于散射条件，我们设有一封闭面 s ，在此面上给定了边界条件u = 0 或；= 0 ( 绝对软或硬的表面) 。假设在 s 面所限定的体积内没有声源。在这种情况下，还不能一下予断言在此面所限 定的区域中，声场等于零。当介质中有功阻尼只有很小时，在所限的区域内部 i v 前言 虽然没有从外面流进能量，尚可能长时间存在体积的自由振动。驻波可以说明 这种振动，它是由向边界传播的波和自有边界反射的波叠加结果产生的。如果 区域是无限的，那么这种现象就不可能了，因为由边界反射的波在这种情况是 不应存在的。换句话说，放在无穷远处面上的声源不可能向声场中引入贡献。 所以必须对场附加条件，使之排除从无穷远处流入能量的可能性。令s 面是半 径为r 的球面，而观察点放在球的中心，那么应该满足条件 ，u = ，里石1 f 丽o u 了e i k r 一矿丽0 了e k r ) 】d s = 。 如果矿和：；在同一球面是常量，则由晟后式求得 l i mr 2 【一o u 苎一u ! 旱翻：0 r _ + o n rr z 。 因此得。 ，r ( 等一i k u ) = o 上式叫做s o m m e r f e l d 辐射条件。 根据前面的物理解释，我们知道数学上，时间调和声波散射问题可归结 为h e l m h o l t z 方程的d i r i c h l e t # b 问题。在无限远处满足s o m m e f f e l d 散射条件。满 足h e l m h o l t z 方程的解在边界处物理上代表声波在边界的压力。关于障碍物为线 性介质的情况a b e n d a l i 和m s o u i l a h 在【2 】2 中给出了结论，后者在他的文章【1 8 】 中给出了证明。其中主要采用了极限吸收方法的思路，也就是对自由空间的解 取极限过渡，并利用h e l m h o l t z 方程的g r e e n 核得到外问题解的积分表达式和内部 椭圆估计的技术证明散射问题解的存在性。 本文在线性介质有关结论的基础上，进一步考虑了非线性介质中的散射问 题，并在一定假设条件下得到了比较理想的结果。 本文的结构如下：第一章为问题的提出，简单介绍问题的物理背景，并给 出所要研究的数学模型和主要结果。第二章为线性问题的唯一性，分别讨论了 原始问题和正则问题的唯一性。第三章为线性问题的存在性，根据唯一性的结 果，采用极限吸收方法来证明在恰当空间的存在性。第四章为非线性的情况， 我们给出了小跳跃度下解存在的一个充分条件，并特别研究了一类非线性函 数，给出了大跳跃度下解的存在性的结论。 一v 一 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文 中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作 了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：墨县 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在 解密后遵守此规定。 窖e 作者签名： 吞盘 导师签名 日期：坦呢! ! z 第一章问题的提出 第一章问题的提出 q 表示r 3 中的有界障碍物，r = a q c o o ，r 3 q 表示它的外部区域用 p l ，戊分别表示两种介质的密度，定义x 2 去z q ，x2 去z r 3 q 若 向q 发射一个型如u ( z ，f ) = e 一谢伽( z ) 的入射波，在波碰到障碍物后，入射波 一部分进入q ，另一部分被反射，如果q 为非线性介质，波在q 中满足波动方 程 将入射波代入上式， 等一旭u 叫删) ( 1 - 1 ) 则化简得到振幅u o 满足下面的表达式： 舢+ ( 警) 2 咖= 一警脚 假设右端函数可以表示为f ( x ，u ) = u g ( x ，i u l ) 的形式于是，进一步地，我们 得到含有扰动项的h e l m h o l t z 方程： 咖+ ( 詈) 2 咖= 一刍如g ( z ，j 让。i ) 为了确定散射波“，并给出散射问题解的存在性唯一性定理，同时为了数值分 析的方便，我们给出下面在泛函的框架下的一般提法 2 1 ，【1 1 】，【1 8 】： ( p ) u h 1 ( q ) n 皿k ( r 3 q ) a u + 七 “= h ( x ，u ) l 2 ( q ) z q a u + 磅“= 0z r 3 q 【翻= 9 日( r ) 茁r 翥】= 日一( r ) z r 筹一恸= 。r - 1 ) r 一佃 在无穷远处的条件被称为s o m m e r f e l d 散射条件，物理上它表示能量在无穷远处 衰减记【】表示在边界f 上的跳跃度，定义为 m ：= u + i r u 一| r 第一章问题的提出 在( p ) 中我们总是可以令9 = 0 事实上，引入问题 将u 延拓到全空间上的函数白 u h 1 ( q ) u = 0z q u = g $ f 。= u 0 用一白代替，( 尸) 可以转变为 ( p ) 正q 。r 3 f l 吁啦= o z r 3 n ( 1 2 ) b 静= e 川( r ) 卫r 警一岫= 。( r 。1 ) r 一悃 其中f ( x ，u ) = ( 。，u + o ) 一后 o ，( = f 一阪鼍1 当，是线性函数的情况，a b e n d a l i 和m s o u i l a h 已经有了结论【2 1 ，【2 仲只 给出了证明的思路，具体的推理m s o u i l a h 在他已发表的【1 8 】中给出了证明而， 是非线性的情况，据作者所知尚未有相关的成果本文为了方便讨论非线性的情 况，先对线性证明加以回顾关于线性部分的证明主要采用了【1 8 的极限吸收的 思想，但方法略简洁本文的主要结论是如下定理 定理a ：对于问题( 1 1 ) ，若f ( x ，u ) 满足i ，( $ ，让) i a ( x ) + c 1 i u l 3 ，同时 ，( $ ，) 一f ( x ，口) l c 2 ( 1 u 1 2 + i u l 2 ) l u 一口 其中口( z ) 舻( q ) ，1 2 1 ，c z 0 ，则存在一常数c o = c ( c l ，c 2 ) ，使得当 l | o ( z ) i i l z ( n ) + k i | h 5 ( r ) c o ，存在u 日( 触) ，满足( p ) 上面的讨论要求一阶跳跃度“很小”问题才有解，文章的最后我们讨论一类特 殊情况，考虑散射体为单位球 一2 一 第一章问题的提出 定理b ：v ( ( z ) h 一 ( s 2 ) ，问题 总存在解 u 日恐( r 3 ) u + 砰乱= “1 2 趾 让+ 磅u 一0 = ( h 一1 2 z b 1 z r 3 b a z 铲 l 如q = o ( r 一1 ) ，r + o o 一3 一 c 1 3 ) 第二章线性问题的唯一性 第二章线性问题的唯一性 2 1 原始问题的唯一性 我们先考虑( p ) 相应的齐次问题 ( r ) 定理2 1 1 ：( 蜀) 只有零解 吁咖= o 茹r 3 q ( 2 1 ) 匦翥= o 霉r 筹一如归o ( r q ) r + c o 证明：分别记q 矗= b r q ，= o b r 在q 中应用格林公式，得到 同样的在q r 中 一f l w , 1 2 + 上巩“面+ 砰上川2 = 。 一上。i v u 卜z 蛐面+ 砖小队厶赛 对第一，第二式分别乘以三， p l 由散射条件可知 d ( 1 ) 从中可得 三求和取虚部，我们有 p 2 i ml 鬯黾；o j s r 晰 厶i 害啦砰嘞 厶i 石o u l 2 慨+ 磅厶川2 d + 。如，m 厶筹豇d s r ，r 一+ o o 觑厶2 慨= 。 一4 一 第二章线性问题的唯一性 我们根据r e l l i c h sl e m m a 16 j 得到在r 3 q 中u 三0 ，从而有 ( 蜀净a u + k u = 0 ：。倒2 于是在q 中，钍兰0 ，唯一性得证 2 2 正则问题的唯一性 上面的讨论中k 1 ，如均为严格正常数如果k 2 c ，= 1 i n k 2 0 这在物 理上表示在r 3 q 中有一个非空电导，沿着的某个适当路径分散了能量，这样 的问题我们称为正则问题 f h 1 ( r 3 ) c 只，怯：篡锹：。：毒、q 眨。， 【 x 鬻 = e z r 定理2 2 1 ：v 0 ，在( 足) 中，若f ( x ) = 0 ，e = 0 ，则问题( 2 2 ) 只有唯一解 证明：对固定的e 0 ，若啦，是( 只) 问题的两个解，记w e = 一，则有 fw e h 1 ( r 3 ) c 掣， 会篡：罄巍：xe 帅f t 眨s ， 【忧丽o w ej 1 = o 茹r 分别在区域q ，b r f l 上应用格林公式，求和得到 一小v 谢出+ w , i 讲学lm 2 出+ 石1 厶警啦= 。 ( 2 4 1 我q , - 以证明 r l i m + 。f 勒o 。w ，。砚幽= 。 事实上， 厶警趣d s l 厶l 等砚l 幽s ( 厶l 警1 2 d s ) ( f s l w e l 2 埘 一5 一 第一二章线性问题的唯一性 构造截断函数p c 。【o ，1 1 ：p ( o ) = 1 ，p ( 1 ) = 0 ，历( r ) = p ( r r ) w , 1 2 p ，妒，r ) = 一( 历( r + 1 ) i t 1 2 一风( r ) f 毗 2 ) = 一r + 1 未( 肌) 1 w , 1 2 ) d r f s r1 w , 1 2 幽l 舻小酬删妒f 1i 知p ) 1 w , 1 2 淞 铲z 。r 1 小釉蚜嗍嗣d w e ，r 2 m p j d 6 d 妒d r e ( 1 w , 1 2 + i 1 2 ) 由于峨h 1 ( r 3 ) ，故 毗1 2 d s + 0 ( r o o )( 2 5 ) 另一方面，构造截断函数卵= i ( r 一1 r r + 1 ) ，叩= o ( 在r i , r + i 附近) ( 叩t 如) = r 2 岛，( 叩毗) + 2 r o ，o ? w e ) 一a ( 叩姚) = r 2 a ，町岫+ 2 r 2 屏q 辞叫。+ 2 r o s y w e 一( k 2 + i 6 ) 2 ( 叩叫e ) 垒工2 6 ) 其中 铲( 7 7 t ) = 一a ( 叩t 吨) 舻表示在单位球上的l a p l a c e 算子令t ，= r w e ，则 又因为 ( 2 7 ) j 卯d y = i + + 阳y r l r r + 1r - i r r + i = ( i 1 2 + 1 2 + k 1 2 + 呖+ 。瓦+ 厩 r - l r r + l + t h 砺+ ；砺+ ；面苏) d y ( 2 8 ) 旷d 勺坼 + 2 窨 “r厂，“4 c r 一 y砺 ， 牝r厂，“4r = 矿d 2 “ r厂“or 第一二章线性问题的唯一性 这里 厂 。砺d y = ( 巧) i = ：一( ，巧) l = ：+ 于是由( 2 7 ) ( 2 8 ) 可得 另外 瓦d y i 印 t 厂 。2 硼，sc l 砰d y( 2 9 ) r - i r r + i r - - l r r + 1r - l r 斛l i o r v l 2 = 1 4 ( ，7 桃) j 2 r - - i r rr - i r r m 叫2 d y + h o r w e l 2 r - l r ( r r - i r r ( i 姚1 2 + l 妣，f 2 ) d v 陀1 0 ) 根据( 2 7 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 可得 厶慨r 1 2 d s 。厶m 1 2 d 8 = 蹦。f ，。r 圳驯2 ) c ( i 屏1 2 d y + i 辞训2 d v ) ( i 桃1 2 + l 姚，1 2 ) d y 一o ( 2 1 1 ) r 一1 ： 0 ，使得 口( ，) i c 1 1 旧v u e 日1 ( 皿3 ) ( 圳v 缸川2 一警2 ) 2 + 百4 k # 2 4心地 硎v 酬4 + 卑产川4 一警( 砖。) 1 1 v u , 1 1 2 2 ( 1 - 6 ) x 2 1 1 v 训4 + ( 竿一警川训4 慧鬈 0 时( 霹) 只有零解， 知，存在时= 忍t ( “ ，f ，e ) h 1 ( q ) ， 解 3 2 毗的局部估计 由线性紧算子的r i e s z s c h a u d e r 理论可 故= t ( 砧，f ，e ) h 1 ( r 3 ) 为( 只) 的 引理3 2 1 ：若魄是( 只) 的解，豆c ，vr r o ，存在与e 无关的常数 c r 0 ，使得 i 1 1 1 ，r c r ( 1 l f l l o + 俐一一 ve ( o ，0 1 ( 3 6 ) 证明：若引理3 2 1 不成立，则存在r 1 r o 和a 一0 ，坝，厶，厶满足 偿l u l n l h , r 。, - - 0 ，11 1 e 。1 1 0 ( 3 7 ) 【i i 厶j i n 一， 一 ，r 一 、 絷一。 由i l u l l l , r 。= 1 及h 1 ( b r 。) 一l 2 ( b r 。) 的嵌入是紧的，可知存在一个子列仍记 为坝，在l 2 ( b a 。) e e 有u _ 矿 s t e p l ：给定r 2 0 ，满足风 尼，u a 在日1 ( ) 中收筑 h e l m h o l t z 方程外部区域的解可表示为【5 l ： 州加z 砌) 薪沪号半g 施剐胁 岛 ( 3 9 ) i l - x ( z ) 一t ( z ) i i 口( b r 3 口勘) 鲫f b r s s 如d x r 旷。h 箫一帮g 一霈+ 帮g 卯匆 ( 3 1 0 ) 舯戊聃认粕瓯：嵩 o g e i k x l z l ，l ( i k x l x y i 一1 ) 釜l ( x j 一班) 蚴 一o l y l2 丽f 刁广i j 矿 第三章线性问题的存在性 在兄r 3 ，y r 舻一6 上积分均有界，故a 一0 ，一0 也可通过积分符 号又因为 i i g 一c , i i l ：( 日r 3 ) 一0 l i 掣邯枷圹。 在( 3 1 0 ) 中利用( 3 11 ) ( 3 1 2 ) 得到 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) | | u ( z ) 一t ( z ) l l 工2 ( 口r 3 i 如) sc l l l 一坝，i i l ：( 。r 2 ) + 晚| | 坝一坝，i i - - ( 。恐) 。o( 3 1 3 ) 同理可得| | v 乱 ( 霉) 一v 让( 。) i l l z ( b r 3 砌：) 。o ，所以t ( z ) 在日1 ( b 如b 恐) 上收 敛，由忍的任意性可得u a 在哦。( r 3 ) 中收敛于u 。( a o 时) 而u + 满足齐次问 题 f 矿月( r 3 ) j 矿+ 七 _ o z q 1 “+ + ；“+ = 0 z r 3 f l 【 x 筹 = o z r 并且在( 3 9 ) 中，令a 一0 可得 以加l 箫一帮g 0 ) d 巾i 尼 直接对g o 微商可知羽0 u * 一l 如u + = 。( i x l 一1 ) ，从而由( 晶) 问题的唯一性，可得 矿= 0 ，另一方面i i u 忆甩= 1 ，在h 1 ( b r l ) 中 一u + ，于是l l 矿i h ，r 。= 1 矛 盾引理得证 3 3 上( r 3 ) 中的解的存在性 对应于( 1 2 ) 的线性问题表示如下 “丑如( r d ) a u + 七 u = f ( x ) l 2 ( q ) z q t 。，磁u = o z r 3 q ( 3 1 4 ) b 关 = 一( r ) z r 筹一恸_ d ( r 一) r - - - + o o 笫三章线性问题的存在性 定理3 3 1 ：v ，l 2 ( q ) ，( 日一1 2 ( r ) ，则存在唯一的让曰( r 3 ) 是线性问 题( 3 1 4 ) 的解 证明：记i 口j 题( 足) 的解为缸。，利用引理3 2 和对角线选取原理可得到的一个子 列仍记为“。，使得在日茏( r 3 ) 中地一矿由于满足( 3 1 ) 式，v 秽哦( j 护) ， 令s 一0 可得 一厶x v 乱+ 融+ + 筹二m + 哥如+ 筹上哥如= 石1 。，。f 曰出c 3 肋， 整理( 3 1 5 ) 左式可得 知一上( v 乱+ 锸+ 砖钍捌+ 石1 【一上、n ( v u 。丽+ 砖札m d 叫+ = 去上( 甜州雷+ 去上0 酣州u 啪一；lf r o n 巾 + 一1 ，巩缱豇+ ( 3 1 6 ) , 0 2j r n l = | ：( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 两式，于是i , + 满足 矿 ( 豫3 ) a u + 后 钍4 = f ( x ) z q a u + + 镌+ = 0z r 3 q 嬖，1 纛 即为线性问题( 3 1 4 ) 的解证毕 一1 3 一 第四章非线性的情况 4 1 一个存在性定理 第四章非线性的情况 以上我们讨论的都是基于，是线性的情况，如果在区域q 内，方程为 a u + 研“= f ( x ，乱) ，则有下面的结论 定理4 1 1 ：若f ( x ，) 可测，满足 i f ( x ，t ) i n ( z ) + c 1j 钍1 3 ( 4 1 ) 同时 i l ( z ，u ) 一f ( x ，口) i 晚( 1 u 1 2 + 阿1 2 ) i u 一口i ( 4 2 ) 其中o ( z ) l 2 ( q ) ，c l ，c 2 0 ，则存在一常数岛= c ( c l ，c 2 ) ，使得当 h a ( x ) l l l 。( o ) + 俐日一蛔岛 ( 4 3 ) 存在甜日恐( 舻) ，满足( 1 2 ) 证明：存在r 0 0 使得丽c 且，v 王( 印) 由s o b o l e v 嵌入定理知v l 6 ( q ) ( 4 1 ) 式告诉我们f ( x ，v ) l 2 ( n ) 在q 中考虑让+ 七 u = f ( x ，口) ，则得 到映射t ：上如( r 3 ) 一点( r 3 ) ，从而由定理3 3 1 ，存在u = t v h , l ( r 3 ) 是 线性问题( 3 1 4 ) 的解下面我们用压缩映射原理来证明若l j 日- ( b 劢) m ，令 e = 如日1 ( ) ；k ( ) m ) 其中m 是待定的，根据引理3 2 1 的结论，我们有 t v l l t ( 凰) c 凰( 1 1 r ( x ，v ) l l l ：( n ) + 1 1 ( 1 1 日一i ( r ) ) s 2 c 1 ( ? ( i i n ( z ) l ：( n ) + l l 训i 各( n ) + l l c l l 日一j ( r ) ) 2 c l c l ( m 3 + i l o ( z ) i i 胪( o ) + | l ( 1 1 日一j ( r ) ) ( 4 4 ) 其中上面不等式中不同行的c k 可能表示不同的常数为使t 是上到内的映 射，我们令 m = 4 c 1 ( 硫( i | 口( z ) i i l 。( o ) + ( 1 1 日一i ( r ) ) 一1 4 笫网章非线性的情况 于是有 2 c 。舻i m = 2 c t ( 愀z ) il l 2 ( 。+ i k l l 。一蛔) 即 m 2 去 一c 】c “ 下面我们证明t 是一个压缩映射 ( 4 5 ) t u t v l l 日- ( 且确) ( k | i ，( z ，仳) 一，( z ，口) i i l 。( n ) c 2 ( 了岛l l l 训2 + i v l 2 i i p ( n ) i l u 一叫i p ( n ) c 2 c 硫( 1 i 1 1 2 。( o ) + i | 叫l 知( n ) ) l l 一 1 1 日- ( 口而) 2 c 2 c n o m 2 il u v ii , , - ( ) ；i i t - v l l 州) ( 4 6 ) m 丽1 ( 4 7 ) 一2 、c 2 即可综合( 4 5 ) ( 4 7 ) ，令 1 粘颞蒜 4 。8 2 ( c l + c 2 ) 。 这样的话，取 1 4 q c r o 岛刁霄薏露 、，1 0 1t 堙j l 7 胁 即 c o 碌i 赤丽蓄 ( 4 9 ) 则由压缩映射原理，在h 1 ( j e ；硒) 上存在解而解可以很自然地通过t 扩张到全 空间r 3 于是存在u 王如( 豫3 ) ，满足问题( 1 2 ) 至此定理a 证毕 4 2 一类特殊情形的讨论 我们考虑障碍物为单位球，内部非线性函数为f ( x ，u ) = m 9 “，1 口2 第四章非线性的情况 ( 1 ) 当i 盯 2 时，问题的提法变为 ( 易)警+ 磅让= o 茹r 3 b 1 ( 4 1 0 ) 蒜 = e 一胆z 铲 赛一恸= 。( r 。) ，r - - - + + o o 我们考虑单参数问题族( a f 0 ，1 1 ) 冬+ 磅缸= o 霉r 3 b i ( 4 1 a ) 舞 = 骶肛。铲 筹一恸= 。( r 。) ，r - - - + + 0 0 引理4 2 1 ：当a = 0 时，问题( 4 1 1 ) 只有零解 证明：分别在单位球内、外部做积分，相加缛到 厶面讪一厶帆1 2 + j qk 弛队厶、b 。磅m 2 一z 。外2 = 。( a 舶) 对( 4 1 2 ) 取虚部得到 有散射条件我们可知 j m 碱让：o j s r ( 4 1 3 ) 觑，m 厶面( 恸+ d ( 去) 冲= 。 ( 4 “) 于是， 热厶川2 如= 。 l 扫r e l l i c h s 引理可得 = 0 z r 3 b i 代入问题f r l ，就有缸三0 口 一1 6 一 第四章非线性的情况 对给定的 l 2 ( 1 + 4 ) ( 口1 ) ，我们考虑 t 且( r 3 ) a u + 忌 牡= i v l 4 口 z b 1 a u + 磅让= 0z r 3 且 墓】叫 z 铲 筹一恸= 。r - 1 ) ，r + o o 根据定理3 3 1 可知存在砧= a 口点如( r 3 ) 映射 a ：l 2 ( 1 + 4 ( 玩) 【o ，1 】hh 1 ( b 1 ) ql 2 ( 1 + 9 ( b 1 ) ( 4 1 5 ) 当1 仃 0 上面不等式不同行的岛。，铴有可能为不同常数 定理4 2 3 ：ve ( z ) 日一；( s 2 ) ，盯 2 时，问题( 4 1 0 ) 总存在解 证明：令e = 扣妒+ 2 4 ( b 0 1 u = a “，a 【0 ，1 】) ，在单位球内部积分，有 二咖一z 。胁1 2 + 小川2 一小i 州= 。 ( 4 。) 对上式两边取实部可得到 上。i v u l 2 一小 i + 上。i i2 = 觑z ：咖 ( 4 s 。) 根据引理4 2 2 ，对“3 0 ) 有 厶i v 砰一小 i + 上。i i 2 岛( i i “l i ：。( 舒) + e l 嘻一j ( 铲) ) + 5 i l u l l 备- ( 历) ( 4 3 1 ) 选定适当的e ，移项整理得 i l 训i 备，( 口。) 龟( u 参( 铲) + l j e i i ；一女( s 2 ) ) ( 4 3 2 ) 由此我们得到，v 珏e ，i f 乱| i 胪+ 。一( b t ) c 1 1 e 1 1 日一( 铲) ，于是i 扫l e r a y s h a u d e r 不 点定理【4 】可知，t ( ，1 ) 有一个不动点，即存在t 上如+ 2 ( b 1 ) 使 得t ( u ，1 ) = 故问题( 4 1 0 ) 存在解 ( 2 ) 考虑盯= 2 时的情况 根据定理4 2 3 ，存在p ( 1 ，2 ) ) 是问题( 4 1 0 ，的解，且“f f h t ( 口。) g ， 第四章非线性的情况 这里e 是与口无关的常数，故存在子列( 仍记为) 让口一u + 饥日1 ( b 1 ) _ 矿仉e i n b x 于是 _ “伽l 3 ( b 1 ) 我们有 因此我们计算 t l ，日& ( r 3 ) + 惫；= k r 茹b 1 a u ，+ 磁= 0z r 3 b a 筝 o u 4 二1 荔等0 r - 一- 。+ 。 1 r 一f 1 2 矿 = 1 1 4 ( “。一乜) + ( i t ，r l 矿1 9 ) u + ( 1 u * 1 4 一i 让+ 2 ) u + ( 4 3 3 ) 上式中，第一项在l 2 ( b 1 ) 中趋于0 ，第二项有估计 ( 1 u ，i 。一i 珏+ 1 4 ) “+ isc ( 1 u 。1 4 1 + i 钍i 。一1 ) i “+ l | 札，一让i ，0 由于i 乱+ f 4 ( 1 + l 矿1 2 ) ，于是( 4 3 3 ) f l 第三项有控制函数 i “u + 1 4 一i 让+ 1 2 ) 让+ is ( 1 + 2 1 u + 1 2 ) i “+ 从r h l e b e s g u e 控制收敛定理可知，盯一2 时，在驴( b 1 ) 中有 ( i 乜i 。一i 矿1 2 ) 钍一0 笙璺皇韭堑丝塑生丝 故( 4 3 3 ) 式在l z ( b 1 ) 中趋于o ：i f t ：( 4 1 0 ) q u ，令g 一2 ，则“- , l ( r 3 ) 满足 g b 1 g r 3 b l ( 4 3 4 ) z , s - a r _ + 0 0 这说明仃= 2 时，问题( 4 1 0 ) 仍存在解定理b 证毕 一2 l 一 2 竹 旷 0 = = = 映矿矿。舯 。-篓啦啦屹 = 纯 繁善一 ，矿一。 艇甜酣菇百 参考文献 参考文献 【1 】a d a m sr a ，s o b o l e vs p a c e s ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 5 【2 1b a n d a l ia s o n i l a hm ，c o n s i s t e n c ye s t i m a t e sf o rad o u b l el a y e rp o t e n t i a la n da p p f i c a f i o nt ot h e n u m e r i c a la n a l y s i so ft h eb o u n d a r ye l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fa c o u s t i cs c a t t e r i n gb yap e n e t r a b l e o b j e c t , m a t h e m a t i c ao f c o m p u m t i o n 。1 9 9 4 , v 0 1 6 2 ：6 5 - 9 1 【3 】陈恕行，现代偏微分方程导论，北京：科学出版社，2 0 0 5 【4 】陈亚浙吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，北京：科学出版社，1 9 9 1 【5 】c o l t o nd k r e s sr ，i m e r g r a le q u a t i o nm e t h o d si ns c a t t e r i n gt h e o r y , n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 8 3 【6 】c o a n tr h i l b e r td ，数学物理方法，熊振翔杨应辰译，北京：科学出版社，1 9 8 1 【7 】e v a n sl c w e a kc o n v e r g e n c em e t h o d sf o rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c b m sr e , - g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e si nm a t h e m a t i c s ，7 4 ，a m s ，p r o v i d e n c e , p j , 1 9 8 8 【8 】g i l b a r g d & t r u d i n g e r n se i l i p t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f s e e o n d o r d e l s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 8 3 【9 】j o h ne ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。n e wy o r k ：s p d n g e r - v e r l a g ，1 9 9 1 【1 0 1k i r a p p ar k l a i n m a nr e ，a c o u s t i cs c a t t e r i n gb yp e n e t r a b l eh o m o g e n e o u so b j e c t s 。j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a lp h y s f c s ，1 9 7 5 ，1 6 ：4 2 1 - 4 3 2 【l l 】k r e s sr r o