




已阅读5页,还剩16页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
摘要 解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支,对一些数论函数性质的研 究在数论研究中占有很重要的地位,许多著名的数论难题都与之密切相关,因而研究它 们的性质具有重要的意义 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 教授在只有问题,没有解答中和加拿大数论专 家g u y 教授在数论中未解决的问题中都提出了一些未解决的数论问题,许多学者对 此进行了深入的研究,并获得了不少具有重要理论价值的研究成果,但仍有许多问题有 待于我们进一步去研究解决 本文基于以上想法,利用初等方法及解析方法研究了任意正整数的约数和函数的一 个性质以及两个数论函数方程解的情形具体来说,本文的主要结果包含t 1 、存在无穷多个正整数n ,使得不等式6 ( ,( 珏) ) n ( n + 1 ) 成立。 2 、当k 5 时,方程妒( 佗) = s ( n 七) 仅有有限多个解佗,而且满足n 1 时,k 至少有2 个不同的约数1 和k ,故有6 ( 南) k + 1 同时, 当k 1 时,如果有 k = p :1 p p 硝 是k 的标准分解式,则从文献【1 5 】的定理1 9 1 可知: m 垂( 1 + 磊1 + 一十刍) 当2 1 k 时,k 有素因数2 ,故从( 2 3 ) 式可知6 ( 后) ;忌 同理可证3ik 以及6ik 的情形 引理2 3 对于任何正整数m ,6 ( m 2 ) 都是奇数 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 证明: 因为5 ( 1 ) = 1 ,所以本引理当m = 1 是成立 当m 1 时,设k = m 2 ,此时k 的标准分解式( 2 2 ) 中的r i ( t = 1 ,2 ,t ) 都是 偶数,并且从( 2 3 ) 式可得; ( 2 4 ) 8 几类函数方程及估计 由于n 是偶数时,r i 手+ l _ = 1 + p i + + 醇必是奇数,故从式( 2 4 ) 可知6 ( m 2 ) 是奇数 引理2 4 对于大于j 的正整数m ,( m 2 1 ) 和厂( m 2 ) 中必有一个是偶数 证明: 从式f ( n ) = 翟16 ( 七) 可知f ( m 2 ) = f ( m 2 1 ) + 6 ( 仇2 ) ,又从引理2 3 可 知其中6 ( m 2 ) 必是奇数,因此f ( m 2 1 ) 和f ( m 2 ) 中必有一个是偶数 引理2 5当死4 时, ( n ) 2 。5 n z 、儿+ 1 ) 证明:对于正整数t ,设 t 9 ( t ,歹) = 巧( 6 z + 歹) ,j = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 i = 0 由引理2 2 可知: 5 ( 6 i ) 1 2 i ,i 1 ;6 ( 6 z + 1 ) 6 i + 2 ,i 1 ;5 ( 6 i + 2 ) 9 i + 3 ,i 8 z + 4 ,i 0 ;5 ( 6 i + 4 ) 9 i + 6 ,i 0 ;5 ( 6 i + 5 ) 6 i + 6 ,i 0 由式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 可得: g ( t ,0 ) 6 t 2 + 6 t ,g ( t ,1 ) 3 t 2 + 5 t + 1 ,9 ( t ,2 ) 2 t 2 + 萼亡+ 3 , 9 ( t ,3 ) 4 t 2 + 8 t + 4 ,g ( t ,4 ) 互9 护+ 警+ 6 ,g ( t ,5 ) 3 t 2 + 9 t + 6 由式f ( n ) = 翟16 ( 七) 和( 2 5 ) 可知: 砌) = 夕( t z - 孑l ,歹) i = o ( 2 5 ) 0 ;5 ( 6 i + 3 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中【譬 是孚的整数部分已知任何给定的正整数n ( n 6 ) 都可唯一地表示成 扎= 6 s + r ,其中8 是正整数,r 是适合0 r 5 的整数当佗= 6 s + 5 ,其中8 5 时,由于 孚】_ s ,j = o ) 1 ,2 1 3 ,4 ,5 ( 2 9 ) 故从式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 可得: f ( n ) = f ( 6 s + 5 ) = ;:o 夕( s ,歹) 2 5 s 2 + 4 6 s + 2 0 嚣( 3 6 s 2 + 6 6 s + 3 0 ) = 嚣( 6 s + 5 ) ( 6 s + 6 ) = 嚣礼+ 1 ) ( 2 1 0 ) 从式( 2 1 0 ) 可知本引理当礼= 6 s + 5 且8 5 时成立 又因为f ( 5 ) = 2 1 ,( 1 1 ) = 2 9 ,f ( 1 7 ) = 2 3 8 ,f ( 2 3 ) = 4 3 1 ,f ( 2 9 ) = 6 9 0 ,所以当 n = 6 s + 5 且0 8 4 时本引理也成立 同样,从式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 可得: 中山大学硕士学位论文 9 f ( n ) 2 5 s 2 + 8 s 一1 ,礼= 6 s ;f ( n ) 2 5 s 2 + 1 4 s + 1 ,n = 6 s + l ;厂( 佗) 2 5 s 2 + 2 3 s + 4 ,n = 6 s + 2 ;( n ) 2 5 s 2 + 3 1 s + 8 ,n = 6 s + 3 ;厂( n ) 2 5 s 2 + 4 0 s + 1 4 ,礼= 6 s + 4 ( 2 1 1 ) 因此从式( 2 1 1 ) 可知:当儿= 6 s + r ( r = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ) 且8 是正整数时本引理成立 综上所述可知:当n 5 时本引理成立另外,由于,( 4 ) = 1 5 ,所以本引理当n = 4 是也成立 2 2 定理2 1 的证明 设m 是大于2 的正整数,根据引理( 2 4 ) 可知存在正整数n 适合: 佗= m 2 1 ,当f ( m 2 1 ) 是偶数;n = m 2 ,当f ( m 2 ) 是偶数( 2 1 2 ) 因为m 3 ,所以从式( 2 1 2 ) 可知佗8 ,故从引理2 5 可知此时f ( n ) 是适合 ,( 扎) 2 5 n ( 、n + 1 ) 的偶数因此由引理2 2 可得: 6 ( ,( 佗) ) 芸,( 佗) 丽7 5 佗( n + 1 ) n ( n + 1 ) ( 2 1 3 ) 么,么 由于适合式( 2 1 2 ) 的正整数佗有无穷多个,故从式( 2 1 3 ) 可知:存在无穷多个 正整数n 可使不等式( 2 1 ) 成立 注2 6 本章内容选自文 2 7 】 第三章关于数论函数方程妒( 佗) = s ( n 后) 设n + 是全体正整数的集合对于正整数n ,设s ( n ) 表示可使整除关系n l m ! 成 立的最小正整数m ,称为s m a r e i n d a c h e 函数近几年来,s m a r a n d a c h e 函数的各类性 质已成为数论中的一个引人关注的课题【9 1 0 1 设妒( n ) 是e u l e r 函数对于给定的正整 数七,本文讨论方程 妒( n ) = s c n ) , 钆n + ( 3 1 ) 对此,马金萍证明了: 定理3 1【1 1 】当七= 1 时,方程( 3 1 ) 仅有解佗= 1 ,8 ,9 ,1 2 和j 8 易嫒证明了: 定理3 2 1 2 】当k = 2 时,方程( 7 1 ) 仅有解佗= 1 ,2 4 和5 口 定理3 3 1 2 】当k = 3 时,方程( 7 j ) 仅有解佗= 1 ,4 8 和鲴 定理3 4 1 2 】当k = 4 时,方程( 3 j ) 仅有解n = 1 黄寿生和陈锡庚证明了: 定理3 5 【1 3 】当k = 5 时,方程( 7 j ) 仅有解n = 1 ,6 4 郑涛证明了: 定理3 6 【14 】当k = 6 时,方程( 7 j ) 仅有解几= 1 ,8 l ,9 6 ,1 6 9 ,3 3 8 文献【1 2 】指出:对于任何给定的正整数免,方程( 3 1 ) 都仅有有限多个解但是 文献 1 2 并未给出其证明本文严格证明了上述论断并给出解的上界,即证明了: 定理3 7当k 5 时,方程( 3 _ f ) 的解都满足佗 1 时,如果 n = p :1 建2 磋 是n 的标准分解式,则 咖却驵( 卜瓦1 ) 证明: 参见文献 1 5 】的定理2 5 3 和定理2 5 4 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 1 2 几类函数方程及估计 引理3 9 1 6 当礼2 时, 咖) 赤 证明: 参见文献 1 6 的引理2 引理3 1 0 【1 7 当几 1 时,如果( 2 2 ) 是n 的标准分解式,则 s ( n ) = m a x s ( p 7 1 ) ,s ( 摩) ,s 。) ) 证明: 参见文献 17 】 引理3 1 1 1 7 对于素数p 和正整数f ,必有p l s ( p 。) 以及s 0 。) p 1 证明: 参见文献 1 7 】 3 2 定理3 7 的证明 设n 是方程( 3 1 ) 适合n 1 的解,又设( 3 2 ) 是n 的标准分解式此时, 扩= 拼1 2 鹤邪西州 是舻的标准分解式,故由引理3 1 0 可知 s ( n 七) = s 凫) , ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 其中 p = p j ,r = r j ,1 歹t ( 3 7 ) 又由引理3 1 1 可知 s ( p 础) p a , ( 3 8 ) 其中a 是适合 a r k( 3 9 ) 的正整数将( 3 8 ) 代入( 3 6 ) ,从方程( 3 1 ) 可得 妒( 亿) = p a ( 3 1 0 ) 由( 3 2 ) 和( 3 7 ) 可知:7 , = p r m ,其中仇是与p r 互素的正整数因此,根据 引理3 8 可得 妒( n ) = 妒m ) = 妒) 妒( m ) = 矿( 1 一刍) 妒( m ) 2 p r 。1 一1 ) 妒( m ) ( 3 1 1 ) 将( 3 1 1 ) 代入( 3 1 0 ) 可知 矿_ 2 p 一1 ) 咿( m ) = a ( 3 1 2 ) 中山大学硕士学位论文 1 3 令r = 1 ,则妒( m ) = 妒) 垆( m ) = 一1 ) v ( m ) 成立,从而有 r 1 一 由于妒( m ) 1 ,故从( 3 9 ) 和( 3 1 2 ) 可得 矿_ 2 一1 ) r k 下面用反证法来证明不等式 成立假设( 3 1 5 ) 式不成立,则有 p r 2 1 叶+ 4 2 协 ( 3 1 8 ) 从( 3 1 8 ) 可知 r 2 警 e o - 5 7 5 r 1 + 0 5 7 5 r + o 1 6 5 3 r 2 , ( 3 1 9 ) 故有 0 1 6 5 3 r 2 0 4 2 5 r + 1 ( 1 0 2 1 2 5 r ) 2 + o 。1 2 r 2 0 这一矛盾,故不可能 当p = 3 时,从( 3 1 6 ) 可知r 1 8 ,故从( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可得 昙r 3 鲁 e n 9 1 5 r 1 + o 9 1 5 r + o 4 1 8 r 2 ( 3 2 1 ) 从( 3 2 1 ) 可得0 ( 1 0 2 9 2 5 r ) 2 + 0 3 3 2 r 2 0 这一矛盾,故不可能 当p 5 时,从( 3 1 2 ) ,( 3 1 4 ) 和( 3 1 6 ) 可得 矿刈2 掣= 了p - 1 牌l l r - - 1 2 _ _ ( 扣新 ( 3 2 2 ) 因为p 5 ,所以从( 3 2 2 ) 可知 三r p 器 e 誓 1 + ;r + 吾r 2 , ( 3 2 3 ) 五r 西 e 百+ 三r + 云r 2 , () 故从( 3 2 3 ) 可得 0 1 - 西7r + 言r 2 _ - ( 1 一扣+ 丽7 9 r 2 o ( 3 2 4 ) 这一矛盾综上所述可知:不等式( 3 1 5 ) 成立 1 4 几类函数方程及估计 从( 3 1 ) ,( 3 6 ) ,( 3 8 ) ,( 3 9 ) 和( 3 1 5 ) 可知 妒( n ) = p a p r k 矿七 0 ,f ( x ) 是递增函数因为从( 3 2 7 ) 可知 。当k 5 时, f ( k t m l o g k ) = 硒硪k t m 丽l o g k 器= 矿k 1 6 护, ( 3 2 9 ) 所以从( 3 2 6 ) 可知n k 1 6l o gk 定理证完 注3 1 2 本章内容选自文 2 8 】 第四章关于数论函数方程5 ( x 2 + y ) + 6 ( z + y 2 ) = 2 矽( z 3 + y 3 ) 设+ 是全体正整数的集合对于正整数k ,设5 ( k ) 和矽( 忌) 分别是k 的约数和函 数和d e d e k i n d 函数这是两类基本而又重要的数论函数,其中前者与历史上著名的完全 数问题有关 1 5 ,后者则是另一类常用的数论函数- - e u l e r 函数的对偶形式 1 8 】最近, b e n c z e 【1 9 】对此提出了以下公开问题:方程 6 ( z 2 + y ) + 6 ( z + y 2 ) = 2 矽( z 3 + 秒3 ) ,x ,y n + ( 4 1 ) 有哪些解( z ,y ) ? 本文完整地解决了上述问题,即证明了: 定理4 1 方程 5 ( x 2 + y ) + 6 ( z + y 2 ) = 2 矽( z 3 + 秒3 ) ,z ,y n + 仅有解( z ,y ) = ( 1 ,1 ) 4 1引理 引理4 2 1 8 】如果k = 硝1 露硝是k 的标准分解式,则 万( 后) = 尼垂( 1 + 五1 + + 赤) ,妒( 七) = 庇血i ( 1 + 去) = lt = 1 ,t ,t ,l 证明: 参见文献 1 5 】和 1 8 】 引理4 3 17 】当k 3 时,必有 6 ( 后) 2 k l o g k 证明: 参见文献【17 】的引理3 引理4 4当实数z 适合z 1 1 时,必有 2 ( 1 + 圭) l o g ( z + z 2 ) 0 ,所以从( 4 6 ) 式可知在此时厂7 ( z ) 0 ,因此f ( z ) 是递减函数又( i l ) - - 0 3 0 ,所以当z 1 1 时必有i ( z ) 0 于是从( 4 5 ) 式可 知不等式: 成立证完 2 ( 1 十三) 1 。g ( z + z 2 ) 2 4 2 定理4 1 的证明 首先经过简单的计算可知:方程( 4 1 ) 仅有解( z ,y ) = ( 1 ,1 ) 适合m a x ( x ,y ) 1 0 以下设( x ,y ) 是方程( 4 1 ) 的一组适合m a x ( x ,y ) 1 1 的解因为未知数z 和y 在方 程( 4 1 ) 中是对称的,所以不妨假设z y 从( 4 1 ) 可知 或者 6 ( z + y 2 ) 矽( z 3 + y 3 ) 6 ( x 2 + y ) 矽( z 3 + y 3 ) 成立当( 4 7 ) 式成立时,根据引理4 3 可得 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 矽( z 3 + y 3 ) 1 时,必有妒( 七) k + 1 故从( 4 9 ) 式可知 y 3 + 2 z 3 + y 3 + 1 秒 ( 4 1 1 ) 然而,因为y = m a x ( x ,y ) 1 1 ,所以根据引理4 4 可知( 4 1 1 ) 式不成立因此, ( 4 7 ) 式不可能成立同理可证:( 4 8 ) 式也不可能成立由此可知方程( 4 1 ) 没有 适合m a x ( x ,y ) 1 1 且z y 的解( z ,! ,) 另外,运用同样的方法可以证明z y 时的情 形定理证完 注4 5 本章内容选自文 2 9 】 总结与展望 数论中有许多尚未解决的问题,新问题的出现比老问题的解决更快在( 只有问题,没 有解答一书中,罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个有待解决的问题; 而加拿大数论专家g u y 教授所著的数论中未解决的问题一书的诸多问题也引起了 数论爱好者的研究兴趣本文主要研究其中的几个问题,用初等方法和解析方法得出了 一些结果然而还有许多问题期待我们去解决,这是作者继续研究的对象,彻底解决或 者作出实质性的进展都将是我们数学工作者的目标 1 t 参考文献 【1 】m a r kf ,p a t r i c k m b o u n d i n g t h e s m a r a n d a c h e f u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n s j o u r n a l ,2 0 0 2 ,v 1 3 :1 3 - 4 2 【2 】l u y a - m i n g o nt h es o l u t i o no fa n e q u a t i o ni n v o l v i n gs m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i a m a g n a ,2 0 0 6 ,v 2 ( i ) :7 6 - 7 9 【3 】s a n d o r j o n c e r t a i n i n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g t h e s m a r a n d a c h e f u n c t i o n j s c i e n t i a m a g n a ,2 0 0 6 ,v ( 3 ) :7 8 - 8 0 4 】f uj i n g a ne q u a l i t i e si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ,2 0 0 6 ,v 2 ( 4 ) :8 3 - 8 6 【5 】c h e nr o n g j i o nt h ef u n c t i o n a le q u a t i o ns ( 礼) + s ( n ) 一1 + + s ( 佗) = n 【j 】s m a r a n d a c h en o t i o n s j o u r n a l ,2 0 0 0 ,v 2 ( 1 2 - 3 ) :1 2 8 - 1 3 0 【6 】c h a r l e sa u n s o l v e dp r o b l e m s j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ,2 0 0 0 ,1 9 9 8 ,v 9 ( 1 - 2 - 3 ) :1 5 2 - 1 5 5 【7 】b e n c z em o p e nq u e s t i o n2 2 4 6 j 1 o c t o g o nm a t hm a g ,2 0 0 6 ,1 4 ( 2 ) :8 5 7 i s 】s a n d o rj o ni n e q u a l i t i e sf o r6 ( 1 ) + 6 ( 2 ) + + 6 ( n ) 【j 】o c t o g o nm a t hm a g ,2 0 0 7 ,1 5 ( 1 ) :5 0 5 - 5 0 8 【9 】徐哲峰关于s m a r a n d a c h e 函数的值分布【j 】数学学报,2 0 0 6 。4 9 ( 5 ) :1 0 0 9 - 1 0 1 2 【1 0 1 马金萍,刘宝莉一个包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 j 】数学学报,2 0 0 7 。5 0 ( 5 ) :1 1 8 5 - 1 1 9 0 【1 1 】m aj i n g p i n g a ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ,2 0 0 5 ,l ( 2 ) :s 9 g o 【1 2 】y iy a n a ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h ee u l e rf u n c t i o na n ds m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i a m a g n a ,2 0 0 5 ,1 ( 2 ) :1 7 3 - 1 7 5 【1 3 黄寿生,陈锡庚关于数论函数方程妒( n ) = s ( n 5 ) 【j 】华南师范大学学报, 2 0 0 7 ( 4 ) t4 1 4 3 【1 4 】郑涛关于数论函数方程妒( n ) = s ( n ) 【j 】中国科教创新导刊,2 0 0 9 ( 2 ) :1 5 4 【15 】华罗庚数论导引 m 】北京;科学出版社, 1 9 7 9 。2 8 - 3 2 【1 8 f a r r i sm ,m i t c h e l lp b o u n d i n g t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n s j o u r n a l ,2 0 0 2 ,v 1 3 ( i ) :3 7 - 4 2 【17 】s a n d o rj o nc e r t a i nl i m i t sf o ra r i t h m e t i c a lf u n c t i o n 【j 】o c t o g o nm a t hm a g ,2 0 0 7 ,1 5 ( 1 ) :2 8 0 - 2 8 3 【1 8 】s h a p i r ohn a na r i t h m e t i cf u n c t i o na r i s i n
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年电梯管理人员考试题及答案
- 2024年浙江省公开遴选公务员笔试题及答案解析(B类)
- 知识产权转换培训课件
- 知识产权证培训课件
- 钻井液基础知识培训课件
- 知识产权知识点培训课件
- 知识产权教育师资培训课件
- 知识产权律师培训课件
- 知识产权培训通知邮件课件
- 钣金折弯基础知识培训
- 急性左心衰抢救流程图片
- 胆道引流管的护理查房
- 第二章中国的自然环境(单元解读课件)八年级地理上册系列(人教版)
- 小学低段学生口算能力调查问卷分析报告
- 内科医患沟通培训课件
- 高中物理-高中物理7.2《功》教学设计学情分析教材分析课后反思
- 网御星云网闸技术宝典
- 《高等数学》全册教案教学设计
- 交通管理与控制3平面交叉口管理课件
- 医学自我口腔保健方法-预防口腔医学课程教学
- 一、问题解决型课题QC小组成果案例
评论
0/150
提交评论