（基础数学专业论文）子群的半覆盖远离或半正规性与有限群的结构.pdf

摘要 利用子群的性质研究有限群的结构是有限群论中最活跃的研究方向之一。很多 群论学者在这方面做出了卓越的成就，如著名的h u p p e r t 定理，s c h u r - z a s s e n h a u s 定理等由于子群的正规性在其研究中扮演着非常重要的角色，于是各种各样的 广义正规性被研究特别半覆盖远离性与半正规性是近年来人们新引进的两个概 念，目前已获得许多有价值的结果，已经证明它们对于刻划有限群的结构是非常 有用的本文就通过有限群的极大子群，极小子群，s y l o w 子群或者具有半覆盖 远离性或者半正规来研究有限群的可解性，超可解性，幂零性等特征，得到了一 些有意义的结果 本文第一章的引言部分首先通过举例说明半覆盖远离性与半正规性之间没有 必然的联系，可见本文的研究是有价值的 第二章主要刻划有限群的可解性我们知道奇阶群是可解群，于是本章研究 了偶阶有限群g 的s y l o w 子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规对于g 的可解性的影响进一步考虑，如果条件减弱为偶阶有限群g 的s y l o w 子群的极 大子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，同样也能刻划g 的可解性 第三章研究了有限群的超可解性获得的主要结果是，如果有限群g 的s y l o w 子群的极大子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，则g 是超可解群更 进一步，减少极大子群的个数，证明了对于一些特殊的极大子群如果满足或者具 有半覆盖远离性或者半正规，同样能得出大群是超可解群另一方面，我们也考 虑了上述研究的对偶情形，即通过极小子群的性质来研究有限群的结构，给出了 有限群为超可解群的一些充分条件 在第四章我们借助于f r o b e n i u s 定理研究p - 幂零群的思想，研究了有限群的 幂零性，例如我们获得了如下的结果。如果对于任意能够整除g 的阶的素数p ，存 在一个s y l o wp 一子群p 满足n c ( p ) c g ( p ) 是p 一群且p 的每一极大子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，则g 是幂零群 关键词；半覆盖远离性；半正规性；可解群；超可解群；幂零群 a b s t r a c t i ti sw e l l - l m o w nt h a tt h ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p so fag r o u pg r e a t l yi n f l u e n c et h e s t r u c t u r e so ft h eg r o u p ，a n dan u m b e ro fi n t e r e s t i n gr e s u l t si nt h i st o p i ch a v eb e e n o b t a i n e di nt h ef a m o u st h e o r e mo fh u p p e r ta n dt h et h e o r e mo fs c h u r - z a s s e n h a u s a n de c t s i n c et h ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p sp l a y sa nq u i t ei m p o r t a n tr o l ei nt h e s t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s ，m a n yk i n d so fg e n e r a l i z e dn o r m a l i t ya r es t u d i e s i n p a r t i c u l a r ，t h es e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t ya n dt h es e m i - n o r m a lp r o p e r t ya r et w o n e wc o n c e p t i o n si nr e c e n ty e a r s ，a n dp e o p l eg e tal o to fs i g n i f i c a n tr e s u l t s t h i s t h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ei n f l u e n c eo ft h es t u c t u r e so ff i n i t eg r o u p st h r o u g hs o m e o ft h e i rs u b g r o u p s ，s u c ha st h em a x i m a ls u b g r o u p s ，t h em i n i m a ls u b g r o u p sa n d t h es y l o ws u b g r o u p s ，h a v i n ge i t h e rs e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yo rs e m i - n o r m a l p r o p e r t y s o m en e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r1w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n di l l u s t r a t et h a tt h e r e d o e sn o te x i s tt h en e c e s s a r yr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e m ic o v e r - a v o i d n gp r o p e r t y a n dt h es e m i n o r m a lp r o p e r t y s i n c ei t i sk n o w nt h a ta nf i n i t eg r o u po fo d do r d e ri ss o v a b l e ，i nc h a p t e r2w e o n l yn e e dt os t u d yt h es o v a b i l i t yo fag r o u po fe v e no r d e rw h o s es o m es u b g r o u p s h a v ee i t h e rt h es e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yo rs e m i n o r m a lp r o p e r t y f u r t h e r m o r e ， i ft h ec o n d i t i o ni sw e a k e nt ot h em a x i m a ls u b g r o u p so ft h es y l o ws u b g r o u p so fg h a v i n ge i t h e rt h es e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yo rt h es e m i - n o r m a lp r o p e r t y , w ec a l l o b t a i nt h es a m er e s u l t s i nc h a p t e r3w ed i s c u s so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c s - t h es u p e r s o v a b i l i t y o ff i n i t eg r o u p s ，a n dt h em a i n l yr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ：i ft h ea l lm a x i m a l s u b g r o u p s o fs y l o ws u b g r o u p so fgh a v ee i t h e rt h es e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yo rt h es e m i - n o r m a lp r o p e r t y , t h e ngi ss u p e r s o v a b l e a l s ow ec a ns t u d yt h et o p i cb yw e a k i n g s o m ec o n d i t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，w ea l s oc o n s i d e rt h ed u a ls i t u a t i o n so ff o r m e r d i s c u s s i n gp r o b l e m s ，t h a ti s ，w ec a ns t u d yt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb yt h e p r o p e r t i e so ft h e i rm i n i m a ls u b g r o u p s ，t h u s ，t h e r ea l es e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h en i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p su n d e rt h ei d e ao ff r o b e - n i u st h e o r e ms t u d y i n gt h ep n i l p o t e n tg r o u p s ，a n dg e ts o m er e s u l t sa 8f o l l o w - i n g ：l e tpb eap r i m en u m b e rd i v i d i n gt h eo r d e ro fg ，a n di ft h e r ee x i s t sas y l o w p - s u b g r o u pp o fg s a t i s f y i n gn o ( p ) c c ( p ) b e i n gap - g r o u pa n da l lt h em a x i m a l s u b g r o u p so fph a v i n ge i t h e rt h es e m ic o v e r a v o i d i n gp r o p e r t yo rt h es e m i - n o r m a l p r o p e r t y , t h e ng i sn i l p o t e n t k e y w o r d s ：s e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ；s e m i n o r m a lp r o p e r t y ；s o l v a b l eg r o u p s ； s u p e r s o l v a b l eg r o u p s ；n i l p o t e n tg r o u p s i i i 原创性声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签印和勺“ 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，l l p , 学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名勺茗垆谅导师签名弋哆日期2 可它石，夕 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 第一章引言与基本知识 本章将介绍本文的研究背景和本文的思想与方法，并给出半覆盖远离性与半 正规性的基本概念及本文需要用到的基本知识 1 1引言 在二十世纪八十年代，有限单群分类定理完成之后，人们把更多的注意力放在 有限群的可解性，超可解性，幂零性等的研究上，出现了许多活跃的研究课题由 于有限群的结构与子群的性质之间有着密切的关系，于是利用子群的某种性质来 刻划有限群的结构就成为有限群论中最基本也是最活跃的研究课题之一，特别是 利用有限群的极大子群，极小子群以及s y l o w 子群等具有特殊性质的子群来刻划 有限群的结构尤为普遍，获得了许多重要的结果诸如s c h u r - z a s s e n h a u s s 定理，以 及有限群为幂零群的判别定理等这里我们特别提出下面著名的h u p p e r t 定理t 定理1 1 1 有限群为超可解群的充要条件是它的每一极大子群的指数为素 数 对于可解性，我们有t 定理1 1 2 有限可解群的极大子群的指数为素数幂 一个自然的问题是定理1 1 2 是否也可以类似于h u p p e r 定理成为一个充分必 要条件，然而定理1 1 2 的充分性却不成立如p s l ( 2 ，7 ) 的每一极大子群有素数 幂指数，而p s l ( 2 ，7 ) 却是单群于是，d e s k i n s 在1 9 5 9 年曾通过主因子的阶引 入极大子群的正规指数( 见 9 】) ，并证明： 定理1 1 3 9 】有限群为可解群的充要条件是它的每一极大子群有素数幂正规 指数 随后，许多学者开始利用正规指数来刻划有限群的结构如。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 均有 定理1 1 4 1 1 1 有限群g 为可解群的充要条件是对于g 的每一极大子群m 刀( g ：m ) = i g ：m i 虽然利用正规指数可以给出有限群可解的充要条件，但正规指数仅仅对有限 群的极大子群有意义，这就阻碍了利用有限群的一般子群来研究有限群的结构 于是王燕鸣教授引入了d 正规的概念( 见【1 8 】) ， 定义1 1 1 1 1 8 】设日是有限群g 的子群，则称日为g 的g 正规子 群，如果存在g 的正规子群k ，使得g = h k 且hnk c o r e e ( h ) ，这里 c o r e ( ；( h ) = n 口gh g 而且建立了有限群的极大子群是c - 正规子群与它的正规指数的关系， 定理1 1 5 1 1 8 】设m 是有限群g 的极大子群，则m 是g 的g 正规子群的 充分必要条件是 叩( g ：m ) = i g ：m i 并利用极大子群给出了可解群的许多判别条件，如； 定理1 1 6 1 8 】有限群g 为可解群的充要条件是它的每一极大子群均是d 正规子群 为了减少条件中所需具有c 正规性的极大子群的个数来判别有限群的可解性， 作者还证明了t 定理1 1 7 1 1 8 】有限群g 为可解群的充要条件是对g 的任意极大子群m 玩，m 是g 正规的，其中反= m i m 是g 的极大子群。且l g ：m i 是合数) g 正规这一概念的提出。很好地把极大子群的性质与有限群的结构联系起 来，之后又有好多学者利用极小子群的g 正规性来刻划有限群的结构，如t 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 定理1 1 8 1 2 1 】若有限群g 的所有素数阶子群包含于z o o ( g ) ，且它的2 2 阶 循环子群在g 中是g 正规的，则g 是幂零群 另一方面，如果g 是有限可解群，对于g 的任意极大子群m 及g 的主因子 h k ，总有m 日= m k 或者m n h = m n k 成立自然地要问结论的逆命题是 否也成立? 答案是肯定的，这很容易证明于是人们进一步研究具有上述结论中 给出性质的某些子群对有限群结构的影响为了研究方便，人们引入了覆盖远离 性的概念： 定义1 1 2 7 】设h 是有限群g 的一个子群，m n 为g 的正规因子，如果 h m = 日，则称日覆盖m n ；如果日nm = h nn ，则称日远离m n 1 9 9 3 年，l m e z q u e r r o ( 见【6 】) 在w g a s c h f i t z ( 见【1 0 】) 的工作的基础上通 过研究具有覆盖远离性的某些子群来研究了可解性与超可解群的特征； 定理1 1 9 6 】有限群g 为超可解群当且仅当它的每一s y l o w 子群的极大子 群在g 中具有覆盖远离性 后来也有好多人从事这方面的研究，如郭秀云教授等人在文【5 】5 中利用子群的 覆盖远离性质对可解群和p 可解群的特征进行了描述： 定理1 1 1 0 1 5 】如果有限群g 的每个2 极大子群在g 中具有覆盖远离性， 则群g 是可解群 定理1 1 1 1 1 5 】有限群g 是可解群的充要条件是存在g 的一个可解2 一极大 子群厶使得l 在g 中具有覆盖远离性 定理1 1 1 2 1 5 】设素数p 整除有限群g 的阶，p 是g 的s y l o wp 一子群， 则g 是p 一可解群当且仅当p 在g 中具有覆盖远离性 由上可以看出，有限群的子群的。正规性与覆盖远离性都可以有效地刻划 有限群的结构然而，这两者之间却没有必然的联系，现在通过几个构造性的例 子，来说明所述两个概念之间的关系s 例1 1 1 1 3 】( c 一正规但不具有覆盖远离性) 设a 4 是4 次对称群。岛是由c 生成的2 阶循环群，又设g = q a 4 则a 4 = k 4 ( ) ，这里尬= ( a ，b ) 是由两 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 个2 阶元n 和b 生成的k l e i n 四元群令h = ( - c ) ，容易验证 h a 4 = g ，日n a = 1 ， 所以日在g 中g 正规然而 日c 2 = ( a ，c ) h ( i q c 2 ) 且 日n ( 尬q ) = h 1 = - n c , 由于( k 4 c 2 ) c 2 是g 的一个主因子，因此日在g 中不具有覆盖远离性 例1 1 2 3 】( 覆盖远离但非c 一正规) 设y 是一个阶为5 3 的初等交换5 群，使得4 次对称群在y 上有二个忠实既约的表示，则可以构造一个半直积 g = v & ，这时g 是一个可解群由于y 在g 中是自中心化的( 否则，在y 上的作用是非忠实的) ，即知y 是g 的唯一极小正规子群( 否则，y 不是自中心 化的) 进一步，4 次对称群有唯一的主群列 1 托 a 4 瓯 因此，g 有唯一的主群列 1 v v 心 v a 4 v s 4 = g ， 其商因子的阶分别为 5 3 ，2 2 ，3 ，2 这时容易知道g 的s y l o w2 子群p 在g 中具有覆盖远离性，但p 在g 中却不 是d 正规的 如上的两个例子说明将覆盖远离性和。正规统一并推广是一件很有意义的 事情2 0 0 6 年。樊恽，郭秀云，岑嘉评教授等人在文【3 】中提出了能统一覆盖远 离性与g 正规性的概念：半覆盖远离性， 定义1 1 3 3 】设日是有限群g 的一个子群，如果存在g 的一个主群列 1 = g o g i g l = g 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 使得日对每个t = 1 ，f ，或者日覆盖g t g 一1 或者日远离g i g 一1 ，则称日在 g 中具有半覆盖远离性 给出覆盖远离性的局部形式是非常自然的，为了方便起见，如果一个素数p 整除有限群g 的阶，则称g 为p 一奇性的于是文【3 】中也给出了半覆盖远离性 的推广定义；半p 一覆盖远离性， 定义1 1 4 3 】设日是有限群g 的一个子群，如果存在g 的一个主群列 1 = g o g 1 2 ，则e x p p = p ；若p = 2 ，则e x p p 4 ； ( 5 ) 设c p 为p 的生成元的充要条件是c 与a 不可交换； ( 6 ) z ( c ) = 圣( g ) = 垂( ( 尸) 圣( q ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 1 第二章利用子群的半覆盖远离性或半正规性 研究偶阶群的可解性 有限单群分类定理完成后可解群的研究就有了很大的发展群类的迅速兴 起，开拓了可解群的新领域，同时也提供了行的研究方法关于群的可解性的研 究已有相当多的结果，但确定一个群的可解性及描述具有特定条件的可解群的结 构仍然的群论研究的重要问题，有关这方面的新的研究课题不断被提出来，并且 不断有新的成果出现 本章主要介绍半覆盖远离性，半正规性对有限群的可解性的影响 2 1 预备引理 引理2 1 1 设a ，鼠g 且a 鼠g ，i = 1 ，佗，则 ，a ( b 1 ，1 3 ) g 证明任取h a ( b i ，b 2 ) ，则h = a l g ，a l a ，g ( b x ，b 2 ) 显然9 = g 1 9 2 夕| ，9 b i 或b 2 ，于是h = ( a 1 9 1 ) 9 2 g a = ( 9 i 0 2 ) 9 2 g s = 9 i ( n 2 卯) g o = 9 i ( 必n 3 ) g ，= = 9 ，9 ：g a 蚪l ( b 1 ，b 2 i a ，其中a i g i = g ：a i + x ，讲b l 或 岛，a k a ，t = 1 ，2 ，s ，k = 1 ，2 ，s + 1 故a ( b 1 ，b 2 ) ( b 1 ，b 2 ) a ，所以 a ( b 1 ，岛) = ( b 1 ，b 2 ) a ，即a ( b i ，b 2 ) sg 再由归纳，命题得证 2 2 对偶阶群的可解性的刻划 本节主要研究偶阶群的s y l o w 子群及s y l o w 子群的极大子群或者具有半覆盖 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 2 远离性或者半正规对可解性的刻划 定理2 2 1 设g 是偶阶群，如果存在g 的一个s y l o w2 子群在g 中或者具 有半覆盖远离性或者半正规，则g 是可解群 证明设p 是g 的满足条件的s y l o w2 - 子群，即p 在g 中或者具有半覆盖 远离性或者半正规显然g 的所有s y l o w2 子群都在g 中或者具有半覆盖远离 性或者半正规 若p 在g 中具有半覆盖远离性，则存在g 的一个主群列 1 = g o g i g l = g ， 使得p 对每个i = 1 ，z ，或者p g i = p g i 一1 或者png t = p ng i 一1 分两种 情况讨论t 如果p g l = p g o ，即g l p ，显然g 1 是可解的，并且由引理1 2 1 知 p g 1 在g a l 中具有半覆盖远离性当g g i 是奇阶群时，g g i 是可解的显然 成立；当g g 1 是偶阶群时，p g l s y l 2 ( g g 1 ) ，由归纳法知g g i 是可解的不 论a a 1 是奇阶群还是偶阶群，都能推出g g 1 是可解的，从而g 是可解群如果 p ng 1 = p ng o ，即p ng l = 1 ，得到g l 是2 ，- 群，是可解的而( i pj ，i g l i ) = 1 ， 由引理1 2 1 知p g l g l 在g i g l 中具有半覆盖远离性又p g l g i6 s y l 2 ( g g 1 ) ， 由归纳法知g g l 是可解的。从而g 可是解群 若p 在g 中半正规，设b s g ( p ) ，由引理1 2 3 知b 为的h a l l2 子群， 从而b 是可解的设 岛l 一，) 是b 的一组s y l o w 基，其中6 s l y p 。( b ) ， p i 2 ，i = 1 ，n ，显然砩。6 s l y p 。( g ) 由于p 在g 中半正规，再由引理1 2 4 知 p 与每个b 。可交换，从而 尸岛l ，一，) 是g 的一组s y l o w 基，故g 是可解 群 命题得证 推论2 2 1 设g 是偶阶群，如果存在g 的一个s y l o w2 - 子群在g 中具有半 覆盖远离性，则g 是可解群 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 3 推论2 2 2 设g 是偶阶群，如果存在g 的一个s y l o w2 - 子群在g 中半正 规则g 是可解群 推论2 2 3 设是g 的偶阶子群，如果g n 可解，并且存在的一个 s y l o w2 - 子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，则g 是可解群 证明由引理1 2 1 及引理1 2 2 知存在的一个s y l o w2 - 子群在中或者具 有半覆盖远离性或者半正规，于是由定理2 2 1 得是可解的。从而g 是可解群 推论2 2 4 设是g 的偶阶子群，如果a n 可解，并且存在的一个 s y l o w2 一子群在g 中具有半覆盖远离性，则g 是可解群 推论2 2 5 设是g 的偶阶子群，如果g n 可解，并且存在的一个 s y l o w2 一子群在g 中半正规，则g 是可解群 定理2 2 2 设g 是偶阶群，如果g 的每个s y l o w2 子群的极大子群在g 中 或者具有半覆盖远离性或者半正规，则g 是可解群 证明假设定理不成立，设g 为极小阶反例，且p 是g 的s y l o w2 子群的极 大子群，显然p 1 ( 1 ) 先证明f ( g ) = 1 ： 假若f ( a ) 1 ，由引理1 2 5 ，则存在1 n = d 刍( g ) f ( g ) 任取g i n 的 s y l o w2 子群t r ，设五是叫的极大子群若p = 2 ，即n = 0 2 ( g ) ，推出 te s y l 2 ( a ) ，则乃是g 的s y l o w2 子群的极大子群，从而在g 中或者具有半覆 盖远离性或者半正规由引理1 2 1 及引理1 2 2 ，7 1 n 在g i n 中或者具有半覆盖 远离性或者半正规若p 2 ，则由引理1 2 6 有t = t n ，其中t e s y l 2 ( t ) 于 是n = 五n t = 乃nt + n = ( 7 1n t ) ，令t i = 7 1nt 比较阶可知耳是t 的极大子群，从而在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规再由引理1 2 1 及 引理1 2 2 ，知乃= 矸n 在g n 中或者具有半覆盖远离性或者半正规所 以g n 满足定理的假设条件，由g 是极小阶反例知g n 是可解的，从而g 是 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 4 可解群，矛盾故f ( g ) = 1 ( 2 ) 再证明g 的所有s y l o w2 - 子群的极大子群在g 中只能半正规t 假若存在g 的一个s y l o w2 子群的极大子群岛，使得岛在g 中具有半覆盖 远离性，即在g 的一个主群列 1 = g o g 1 g t = g 使得r 对每个i = 1 ，z ，或者r g t = p o g i l 或者rng = p 0 ng i 1 分两 种情况讨论：若r g l = p o g o ，即g l p o ，得g l f ( g ) ，这与f ( a ) = 1 矛盾 若p on g l = p ong o ，即( i r i ，l g l l ) = 1 或者g l 的s y l o w2 一子群是g 的2 阶子 群对于后者。由b u r n s i d e 定理知g 1 是2 幂零的，于是存在g 1 的正规h a l l 非 子群k ，使得g 1 = p 1 k ，且p lnk = 1 ，其中p le s y l 2 ( g 1 ) 是2 阶子群由g 1 的 极小正规性及( 2 ，i k i ) = 1 得k = 1 ，即g l = 只不论哪种情况都可知g 1 是可解 的，并且由引理1 2 1 及引理1 2 2 知p g , v 1 在a a l 中或者具有半覆盖远离性 或者半正规由g 是极小阶反例知a a - 是可解的。从而g 是可解群，矛盾故 g 的所有s y l o w2 子群的极大子群在g 中均半正规 ( 3 ) 推出最终矛盾： 由上，于是任取g 的s y l o w2 - 子群的极大子群尸，则p 在g 中半正规， 即存在b ( p ) ，使得g = p b ，且对j e 7 的任意真子群b l ，有p b x g 而 中( g ) f ( g ) = 1 ，则圣( g ) = 1 假若b = g ，则对g 的任意极大子群m ， 有p m g ，由m 的极大性知p m = m ，即尸sm 由m 的任意性推出 1 p 圣( g ) = 1 ，矛盾，故只有b g 于是存在g 的一个极大子群m ，使 得b m ，从而g = p m ，l g ：m i = 2 的幂次设m = ( m 2 ，1 ，) ，其 中，分别为m 的s y l o w2 - 子群与s y l o wa 一子群，p i 2 ，i = 1 ，s 由于m 2 不是g 的s y l o w2 - 子群，则存在g 的s y l o w2 一子群的极大子群p ， 使得p 而p 在g 中半正规，由引理1 2 4 知p + 鸠。g ，再由引理 2 1 1 知p + ( 眸，坞1 ，一，屿。) g ，从而p m g 由于i m p ：p i = l m ： m np 。i = l m ：l = 2 ，- 数，则p e s y l p ( m p + ) ，于是m p = m ，m 中所有 s y l o w2 - 子群都是g 的s y l o w2 一子群的极大子群再由引理1 2 1 ，引理1 2 2 及 定理2 2 1 归纳知m 是可解群又l g ：m i = 2 ，由引理1 2 7 m 璺g 而g m 是2 - 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 5 群，从而g m 是可解的，故g 是可解群，矛盾，说明极小反例不存在，故命题得证 推论2 2 6 设g 是偶阶群如果g 的每个s y l o w2 子群的极大子群在g 中 具有半覆盖远离性，则g 是可解群 推论2 2 7 设g 是偶阶群，如果g 的每个s y l o w2 - 子群的极大子群在g 中 半正规，则g 是可解群 推论2 2 8 设v 是群g 的偶阶子群，如果g n 是可解的，并且的每个 s y l o w2 子群的极大子群在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，则g 是可解 群 证明由引理1 2 1 及引理1 2 2 知的每个s y l o w2 一子群的极大子群在 中或者具有半覆盖远离性或者半正规，于是由定理2 2 2 得是可解的，从而g 是可解群 推论2 2 9 设是群g 的偶阶子群，如果c n 是可解的。并且的每个 s y l o w2 子群的极大子群在g 中具有半覆盖远离性，则g 是可解群 推论2 2 1 0 设是群g 的偶阶子群，如果g n 是可解的，并且的每个 s y l o w2 子群的极大子群在g 中半正规，则g 是可解群 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 6 第三章半覆盖远离性或半正规性 与群的超可解性 超可解群是一类非常重要的可解群，尽管超可解群的理论已经相当成熟，但 是富有创意的新成果仍在不断地被人们发现本章主要通过半覆盖远离性，半正 规性刻划有限群的超可解性，并得到一些有意义的结果，某些结果是一些著名定 理的推广 3 1 准备知识 定义3 1 1 1 2 0 】设g 为群，令 级( g ) = n i n 塑g ，且对g 的任意超可解子群x ，n x 是超可解的 ， 令u ( g ) = ( l 疆( g ) ) 显然疆( g ) ，并且容易证明u ( c ) 是g 的特征子群 引理3 1 1 设g 是可解群，r 是g 的s y l o wp 一子群尸的极大子群，g l 是g 的极小正规子群如果晶ng 1 = 1 ，则或者( p ，l g l l ) = 1 或者i g x i = p 证明如果扫，i o , i ) 1 ，则g l 为初等交换p 一群再由p = p o g i ，即知 l g l i = p 引理3 1 2 设g 是内超可解群，尸是g 的正规s y l o wp 一子群如果 y p 圣( 尸) ，则( y ) 在g 中不具有半覆盖远离性 证明反证，假设存在z p 西( 尸) 使得( z ) 在g 中具有半覆盖远离性，即 存在g 的一个主群列 1 = g o g 1 g l = g 使得( 2 ) 对于每个i = 1 ，2 ，z ，或者( z ) g = ( z ) g 一1 或者( z ) n g i = ( z ) ng i 一1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 7 由于z g ，则存在正整数七使得z 譬g k 但z g k + 1 由( z ) ng k ( z ) ng k + l ， 则必有( z ) g 七= ( x ) g k + 1 ，从而g k + 1 g 知是阶为p 或4 的循环群 由于( png k ) 垂( 尸) 西( p ) 是g 圣( p ) 的正规子群，且( png 七) 西( p ) 西( p ) p 圣( p ) 及p 圣( p ) 的极小正规性，我们有( png ) 垂( p ) = p 或圣( p ) 如果 ( p n g 七) 圣( p ) = p ，即p n g k = p ，这与z 譬p n g k 矛盾，所以( p n g 七) 圣( p ) = 垂( p ) 同理由( p n g k + 1 ) 圣( g ) 西( g ) ) 的正规性，我们可得( p n g k + 1 ) 垂( p ) = p ， 从而p 圣( p ) 是阶为p 或4 的循环群，与引理1 2 1 1 矛盾得证 引理3 1 3 2 0 】设g 为群，h g ，则u ( a ) nh u ( 日) 引理3 1 4 1 2 0 设g 为群，则g 是超可解群当且仅当c u ( a ) 是超可解的 3 2 某些子群的特殊性质对群的超可解性的影响 本节通过s y l o w 子群的极大子群，极小子群及4 阶循环子群或者具有半覆盖 远离性或者半正规的特殊性质，研究了超可解群的特征 定理3 2 1 如果群g 的每个s y l o w 子群的极大子群在g 中或者具有半覆盖 远离性或者半正规。则g 是超可解群 证明假设定理不成立。而g 是一个极小阶反例 ( 1 ) 如果s 是g 的正规子群，且s o p ( g ) ，则a s 满足定理的假设条件， 从而a s 是超可解的t 设t s 是a s 的s y l o wq 一子群，死s 是t s 的极大子群若口= p ，则 te s y l p ( g ) ，而死是j f l 的极大子群，所以死在g 中或者具有半覆盖远离性或者 半正规根据引理1 2 1 及引理1 2 2 ，死s 在a s 中或者具有半覆盖远离性或者 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 8 半正规若q p ，则由z a s s e n h a u s 定理知，存在qe s y l q ( g ) ，使得t = q s 于是 t o = t o n j f l = t on q s = ( t on q ) s = q o s ，令q o = t on q 比较阶知q o 是q 的 极大子群，所以q o 在g 中或者具有半覆盖远离性或者半正规又( i q o i ，l s l ) = 1 ， 再由引理1 2 1 及引理1 2 2 知，晶s = q o s i s 在g s 中或者具有半覆盖远离性 或者半正规不论哪种情况，都可见g s 满足定理的假设条件，由g 是极小阶反 例知g s 是超可解的 ( 2 ) c 是可解群t 设p 是i g i 的最小素因子，p6 s y k ( g ) 如果p 为循环群，由引理1 2 8 ，g 有正规p 一补，设其为k 再由引理1 2 1 及引理1 2 2 知k 满足定理的假设条件，由于g 是极小阶反例知k 是超可解的， 显然1 f ( k ) f ( g ) ，则f ( g ) 1 于是存在某个r67 r