布洛赫定理课件

布洛赫（Bloch）定理

求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波.即（以一维为例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶体中的电子波又称为Bloch波。讨论：1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一种表示。

证明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikx

u（k，x）＝u（k,x+na）

得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx

(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比较（A）（B）二式，左右分别相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示等价。3．函数

（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情况下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的证明1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开：说明：

∴(1)2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态――平面波eik•x展开(2)求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进行的。将（1）式和（2）式代入薛定谔方程得:(3)将此式两边左乘e－ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性得到（4）式

利用δ函数的性质，得（4）式

该方程实际上是动量表象中的薛定谔方程，称作中心方程。

K态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有关的态是与K态相差任意倒格矢Gn

的态的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个倒格矢的态不进入方程（4），该结论也应适用于波函数

(k,x)。因此波函数应当可写成与Bloch定理比较

（k,x）＝u（k，x）eikx

需证明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一维情况Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1于是布洛赫定理得证。三．布洛赫定理的一些重要推论（1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下面分别证明之。∵

（k,x）求和遍取所有允许的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,则

（∵求和也是遍取所有允许的倒格矢）即相差任意倒格矢的状态等价。由薛定谔方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限制k在第一B.Z.内变化。第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。与等价（2）E（k）＝E（－k）即能带具有k=0的中心反演对称性。（3）E（k）具有与正晶格相同的对称性。四．能态密度由布洛赫波所应满足的周期性边界条件：波矢k在空间分布是均匀，允许的波矢为

每个k点在k空间平均占有的体积为k空间内，k点的密度为Vc/（2π）3。能态密度：对给定体积的晶体，单位能量间隔的电子状态数。在k空间，对某一能带n,每一个k点对应此能带一个能量En,反过来，对于一个给定的能量En,可以对应波矢空间一系列的k点，这些能量相等的k点形成一个曲面，称之为等能面。考虑E→E＋dE二个等能面之间的电子状态数。在k空间等能面E和E＋dE之间，第n个能带所对应的波矢k数目为将k空间的体元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由于dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有则E→E+dE之间，第n个能带所对应的状态数应为（考虑自旋应×2）：其中D(En)即是第n个能带对E→E＋dE能量区间所贡献的状态密度。如果能带之间没有交叠，则D（En）就是总的状态密度；如果有交叠，应对所有交叠带求和，即一般应写成:因此，只要由实验测出关系En(k)~k（或称能带结构）就可求得状态密度D（En）。反过来，若由实验测得D（En），也可推测出能带结构En(k