（基础数学专业论文）不适定变分不等式的正则化方法.pdf

摘要 目前，反问题求解是在国际上是一个十分活跃的研究领域，具有 重要的理论意义和实用价值研究对象涉及与探测、识别和设计有关 的问题我们在研究数学物理反问题时，许多都可以转化为对变分不等 式的求解，而所求解的问题通常是不适定的处理这类问题的方法是通 过一系列的适定问题的解来逼近原问题的解在这方面，已经有许多 学者用各种方法对此进行研究，如用t i k h o n o v 正则化方法，b r o w d e r 正则化方法，e n g l 的正则化方法等 对于h i l b e r t 空间中的常见变分不等式的不适定问题，正则解的 收敛性已经被a l b e r 做了详细的论述而不适定的拟变分不等式并没 有得到充分的讨论，并且由于我们常遇到问题所涉及的空间为b a n a c h 空间，故本文主要从下述三个方面讨论不适定变分不等式的正则化解 法第一，在h i l b e r t 空间讨论拟变分不等式的正则化，考虑算子，所 测数据以及区域都有扰动的情况下，正则解的收敛性；第二，在b a n a c h 空间中分析混合型变分不等式的正则化，给出正则解的收敛性；而最 后我们将给出一个由抛物型方程转化为变分不等式的具体问题此转 换后的变分不等式仍然是不适定的，我们同样可得出正则解的收敛 性 关键词：变分不等式，不适定，正则化，收敛性 a b s t r a c t n o w a d a y s ，al o to fa u t h o r s a r ei n t e r e s t e di nm a t h e m a t i c a lp h y s i c p r o b l e m ss i n c et h e yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ne n g i n e e r i n ga n da p p l i c a t i o n o u rr e s e a r c ho b je c t si n v o l v ee x p l o r a t i o n ，i n d e n t i f i c a t i o n ，d e s i g na n ds o o n h o w e v e r , m a n y m a t h e m a t i c a lp h y s i cp r o b l e m sc a nb ef o r m u l a t e di n v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n dt h o s ep r o b l e m sa r ei l l p o s e dg e n e r a l l y a sa r u l e ，w et a k eu s eo fas e q u e n c eo fr e g u l a rs o l u t i o n so fw e l l - p o s e d p r o b l e m st oa p p r o x i m a t et h eo r i g i n a ls o l u t i o n s m a n ys c h o l a r sh a v e i n v e s t i g a t e di l l - p o s e dp r o b l e m sa n dp u tf o r w a r dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ， b r o w d er e g u l a r i z a t i o n , e n g lr e g u l a r i z a t i o n ，a n ds oo n w i t h r e s p e c tt oi l l - p o s e dv a r i a t i o n a li n e q u l i t i e si nh i l b e r ts p a c e s ，t h e c o n v e r g e n c e o fr e g u l a rs o l u t i o n sw a sd i s c u s s e d b ya l b e r w h i l e ， r e g u l a r i z a t i o no fi l l - p o s e dq u a s i - - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e s h a sn o tb e e ni n v e s t i g a t e d ，a n di np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，t h es p a c ei n v o l v e d a r eb a n a c hs p a c e a sar e s u l t ，i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nt h r e ef a c e t s ：f i r s t ， g i v e nt h eo p e r a t o r , t h em e a s u r e d d a t aa n dt h er e g i o na l lh a v ed i s t u r b a t i o n , w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h er e g u l a rs o l u t i o no fi l l - p o s e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e ；s e c o n d ，c o n s i d e rt h er e g u l a r i z a t i o n o ft h em i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nb a n a c hs p a c e s ；i nt h ee n d ， w es t u d yap a r a b o l i ce q u a t i o na n dt r a n s f o r mt h i sp a r a b o l i ce q u a t i o nt oa i i i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y s i n c et h et r a n s f o r m e d i n e q u a l i t yi sa l s oi l l - p o s e d ， w e g e tt h ec o n v e r g e n c eu s i n gt h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t o o k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , i l l - p o s e d ，r e g u l a r i z a t i o n ，c o n v e r g e n c e i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明i 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：留卷时、加尹年2 月， 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密彩 ( 请在以上相应方框内打“寸) 作者签名：c j 7 篷增、日期：妒7 ) 年亿月 日 导师签名：l 瞧咖a 6 犷日期：2 ，口1 年f l 月，日 不适定变分不等式的正则化方法 1 绪论 变分不等式自18 9 6 年被h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 提出并研究以 来，已经广泛深入到力学、物理学、现代化控制、非线性规划、经济 与交通平衡、管理科学等诸多领域变分不等式理论的最重要的内容 是设计有效的迭代算法来计算它的近似解及分析算法的收敛性从最 初的古典变分不等式，一般变分不等式发展到现在的混合变分不等 式、似变分不等式、集值变分不等式、变分包含问题、互补问题等一 系列相关联的问题在研究方法上也不断的完善和提高，对每类变分 不等式都建立了各种类型的具体求解方法，目前解变分不等式常用的 方法有投影法及它的变形形式、w i e n e r - h o p f 方法、超梯度法、预解 方程、辅助原理等，其中投影算法及它的变形形式包括w i e n e r - h o p f 方法是求变分不等式逼近解的极具代表性的重要工具随着变分不等 式理论的成熟和发展，得到越来越多的数学工作者的关注，其统一的 模式已被大量地应用于力学、微分方程、现代化控制、经济与交通平 衡、管理科学、优化与控制论、数理经济、对策理论、非线性规划等 各个领域变分不等式理论的研究己成为现代科学的重要研究课题而 大多数变分不等式都是不适定的，本文在假定混合型拟变分不等式的 解存在的前提下，考虑所测数据有扰动的情况下，所给正则解的收敛 性。 下面我们首先给出经典变分不等式的一些基本概念和例子 高校教师在职硕士学位论文 1 1 变分不等式的概念和例子 设e 是一拓扑空间，x 是e 中之一非空子集，f ：x 专( 啪，佃】是 一泛函，且厂佃f lq , ：x x r = ( - - o o ，佃) 也是一泛函，且缈( x ，x ) o ， v x x 下面的关于x x 的无穷不等式方程组： 妒( x ，y ) 厂( x ) 一厂( y ) ，v y x( 1 1 ) 称为变分不等式( 或称为变分不等方程) 若i x 满足( 1 - 1 ) ，则称i 为变 分不等式( 1 1 ) 的解 下面我们举出变分不等式的某些例子，他们在变分不等式的理论 和应用中都起到重要的作用 例1 1 设h 是一实h i l b e r t 空间，f h ( 日的共轭空间) 是一给定元，a 是 h 上的一双线性连续泛函，j ：h 专r 是一给定的泛函，求“h 变分不 等式 口( “，1 ，一“) + j ( 1 ，) 一_ ，( ”) ( 厂，v - u ) ，v v h ( 1 2 ) 例1 2 设日是一实h i l b e r t 空间，其范数和内积分别记为l - i ，( ，- ) 设y 是 一自反b a n a c h 空间，其范数记为i i 1 l ，且满足y c 日cv ( y 的共轭空间) 设仍l p ( 0 ，t ；v ) 专( 一0 0 ，佃】，且伊悯记d ( 矽= u e l p ( 0 ，t ；v ) ：缈( “) 0 ， a 6 ：d ( ) = d ( 彳) - - 2 j 极大单调， h x ( 么6 x ，触) - g ( 1 l x l l h ，协q ，h 0 其中g o ) ，t - o 为一非负连续函数，h x 。( g l ，a 2 ) 表示z + 空间中g 1 g 2 的 h a u s d o r f f g 巨离( 详情见下文) ，于是我们需要求解下述变分不等式： ( 彳5 x 一厂j ，z x ) o ，v z q ( 1 6 ) 定义1 1 ( 2 7 ) 设孝x ，且工是问题( 1 5 ) 的解，若x + 满足 0 x + 一刮x = i 嘶忙一到x ：琨问题( 卜5 ) 的解 ， 则称，为问题( 1 - 5 ) 的孝一最小化范数解特别地，当孝= 0 时，简称为问 题( 1 - 5 ) 的最( 极) 小化范数解 引理1 1 假设上述关于近似数据a h , f 占的条件都满足，且当口专。时， 业斗o 那么下述正则化变分不等式 口 ( a h x + a j x - f , z x ) o ，v z q ，工q ( 1 7 ) 的解在空间x 中收敛到( 1 5 ) 的极小范数解石 1 3 本文的主要工作 本文主要利用与1 2 节中类似的正则化方法处理了h i l b e r t 空间中 拟变分不等式逼近解的收敛性以及b a n a c h 空间混合拟变分不等式的 正则化对于h i l b e r t 空间中的常见变分不等式的不适定问题，正则解 的收敛性已经被a l b e r 做了详细的论述而不适定的拟变分不等式并 没有得到充分的讨论，并且由于我们常遇到的问题所涉及的空间为 高校教师在职硕士学位论文 b a n a c h 空间，故本文主要从下述三个方面讨论不适定变分不等式的 正则化解法第一，在h i l b e r t 空间讨论拟变分不等式的正则化，考虑 了算子，所测数据以及区域都有扰动的情况下，正则解的收敛性；第 二，在b a n a c h 空间中分析了混合型变分不等式的正则化，给出了正 则解的收敛性；而最后我们将给出一个由抛物型方程转化为变分不等 式的具体问题，此转换后的变分不等式仍然是不适定的，我们同样可 得出正则解的收敛性 不适定变分不等式的正则化方法 2 h i l b e r t 空间拟变分不等式的正则化 本章中，令q 是h i l b e r t 空间h 的一个紧凸集，q ( x ) = f 2 + b x ，其 中b 是从空间h 到h 的一个连续函数，q ( z ) 在h 中闭且凸，根据文 献【2 5 】，考虑如下拟变分不等式，找x 斌x ) ，使得 ( a x - f ，x - y ) - o ，渺q ( x ) ( 2 1 ) 上述问题是不适定的，即，若厂具有扰动厂j ，其中8 艿- i l l _ 万，万充 分小，而下述问题的解将可能远离( 2 1 ) 的解 ( a x - f 8 , x - y ) 0 且在h 中是b 一扩散的，那么拟变分不等式( 2 1 ) 存在唯一解 引理2 2 x o n ( x o ) 是( 2 1 ) f i l l 解，当且仅当对r y e n ( x o ) ；下述不等式 成立 ( a y - f ，x o - y ) o ，x o n ( x o ) ，跏f 2 ( x o ) ( 2 - 3 ) 证明若x oef k x o ) 是( 2 1 ) n 解，那么 ( 彳一厂，- y ) o ，x o n ( x o ) ，v y n ( x o ) 不适定变分不等式的正则化方法 由4 的单调性知， ( 4 y 一彳而，x o j ，) o ，v y n ( x o ) 上述两个不等式相加，得 ( a y - f ，x o - y ) o ，x oan ( x o ) ，v y n ( x o ) 反之，假设对于x o n ( x o ) 和任意的y n ( x o ) ，( 2 3 ) 式满足令 只= t x o + ( 1 - t ) y ，r e 0 ，1 】且( 4 以- f ，一一( 1 一f ) y ) o 于是， ( 4 y i 一厂，x o j ，) o ，渺n ( x o ) 令t 专1 ，由么的连续性可知， ( 么一厂，x o y ) o ，跏q ( ) 结论证毕 2 2 主要结论 本节，我们将假定( 2 1 ) 的解集d 非空且，d 定理2 1 设q 是空间h 的一个凸紧集，n ( x ) = q + 凰是h 中的闭凸集 假设彳是强连续的，单调的，且强b 一消散的，b 弱连续且l i p s c h i t z 连续，其l i p s c h i t z 常数为l ，口 o 充分小，那么( 2 2 ) 存在唯一的解， 此外，存在 ) 的子序列，且其子序列当万一0 ，鱼一。时收敛，其收敛 的极限即为( 2 1 ) 的解 证明由彳的单调性可得 ( ( a + a i ) x - ( a + a i ) y ，x y ) 口忙一y l l 2 因为彳是b 一消散的，且艿是l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 常数为工， 那么( ( a + c t i ) x - ( a + c t i ) y ，b x - b y ) 高校教师在职硕士学位论文 = ( 彳x 一砂，凰一缈) + ( 口x 一口y ，出一缈) - c 忙一y l l 2 + 口三忙一y l l 2 = ( 一c + 口z ) l l x y 1 2 o ，v x ，y h 这表明a + a i 在h 上是b 一消散的，于是由引理2 1 ，知( 2 2 ) 存在唯一 的解q ( ) 由于q ( ) ，t a ( x ) 分别是( 2 - 2 ) ( 2 - 1 ) 1 拘1 解，故 ( 以+ 口一厂 , 4 - y ) - - o ，q ( ) ； ( x x + - f ，x + 一y ) o ，q ( x ) 从而， 存在， 一磁+ 擞n ( x ) ， x q使得= + 醒，工 x 一m + + 丑q ( ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ：x + 厥故 分别令( 2 4 ) 中的 y = x 一b x + 醒，( 2 - 5 ) 中的y = 一醒+ b x ，那么 ( 以+ 口一占，一x + 默一醒) o ( 血- f ，x 一+ 鹾一) s o ( 2 6 ) 式与( 2 7 ) 式相加得， ( 雠+ 口一占，一x + 戤一蹦) + ( 血- f , x - + 醒一b x ) o 因此， ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 硝一出+ a x ：- ( f 占- f ) ，一x ) + ( 雠+ 口一x x 一( 厂5 一厂) ，b x 一b x g ) 有界于是存在磁 的子序列，不失一般性，此子序列 仍记为缱) ，使得与舅 接下来，我们将证明j q ( 趸) 注意到：霹q ，“，= 虿+ 噬由序列磁) 的有界性可知， ) 是有界的 再由q 的紧性知，存在 虿) 的子序列，不失一般性，仍记此子序列为 ( 一x d ，使得一万q 因与j ，= 虿+ 醒马又+ 戤，i 故2 = x + b y c 且殳q ( 贾) 最后证明冤是( 2 - 1 ) 的解 对任意的y q ( 戈) ，存在x q 使得y = x + 砥卜l x + 醒q ( ) 在试( 2 - 4 ) 中，令口专0 ，a 的强连续性表明 ( a x + f ，舅一y ) o ，砂q ( 戈) 这即说明冤是( 2 1 ) 的一个解 再由式( 2 9 ) 可推出， 口l - - x * 0 2 口( f ，x 一) + ( 厂j - f ，一x ) 一a ( x * , b x 一磁) + ( j f ，b x + 一鹾) ( 2 - l o ) 从而， 忙- - x * 陬x ，x 一) + 副- - x * ，凰+ 一蹦) + 铡x 一创( 2 - 1 1 ) 用夏代替x ，再令口一0 ，得专舅 下面，我们将假设代替a ，q ，所测数据分别为a h , q ，利用下述不 等式的解去逼近( 2 - 1 ) 的解： 高校教师在职硕士学位论文 ( 彳6 x + 口x - - f 6 ，x - - y ) o , x e q ，( x ) = q 口+ 既，v y q ，( z ) ( 2 - 1 2 ) 定理2 2 假设4 6 ，彳与定理2 1 中的a 具有相同的性质，且 la 6 一彳忙j j l ，炉- f l l _ 8 ，h ( q ，q ，) 盯 ( 2 - 1 3 ) 那么( 2 1 2 ) 存在唯一的解，q ( ，) 此外，当口专o ，鱼哼o ，! 专。时，) 中存在收敛的子序列，且其极限即为( 2 1 ) 的解 证明仿照定理2 1 的证明可知，不等式( 2 一1 2 ) 的解存在为简便起见， 记此解为，故 ( a h x r + 口x r - f d , x r y ) o ，x ，q ，( x 7 ) = q ，+ 出r , v yeq 仃( x 7 ) ( 2 1 4 ) 于是存在彳6 q ，使得，= 舅y + b x ，i e ， 叠y = x 7 一b x 7 ( 2 - 1 5 ) 类似地，因x 。是( 2 1 ) 的解，则 ( a x - f ，x - y ) o ，x q 。( x ) = q ，+ 出，q ，( x ) ( 2 - 1 6 ) 从而存在i ，q 使得，：+ 风+ ，即 = x + b x * ( 2 1 7 ) 由于h x ( q q 口) 盯，那么存在万q ，r q 口使得眵一i y | i 仃且 睁y 一l l 盯分别令( 2 1 4 ) 中的y = f + 黜7 q ，( x 7 ) 及( 2 - 1 6 ) 中的 j ，：一x r + b x q ( 工) ，则 ( a * x r + 口- f 6 , x y 一矿一凰7 - 0 ， ( 2 1 8 ) ( a x 一厂，x 一i x ，一b x ) o ( 2 - 1 9 ) 把上述两个不等式相加可得， n x r + 口x r - - 厂a , x r - - 舅一b x 7 ) + a x 一厂，x 一i x ，一b x ) o ( 2 - 2 0 ) 等价地有， 不适定变分不等式的正则化方法 ( a h x r + g t x r - - 厂 $ ，x r - - 一x * + 7 一f 一戤7 ) + a x 一厂一舅，+ 曼y 一歹一凰) 。 根据式( 2 15 ) 及( 2 17 ) ， ( 2 2 1 ) ( 4 h x r - i - g r x r - - 厂乞x r - - x * + 觑一凰7 + 一f ) + a x 一夕一+ 擞7 一礅+ + i y 一万) o 从而， ( 2 2 2 ) a h x r _ 出+ 口，一( 厂一f ) ，x r - - x * + b x 一取7 ) + a h x r + c z x r _ f 8 ，了一f ) + a x + 一 尹一歹) o 因此 ( 2 2 3 ) ( a h x r _ 4 h x * , x r - - x * ) + ( a h x * - a x + ，x ，一x * ) + a ( x r , x r x 。) 一( j - f , x r x ) + ( ( 彳6 + a i ) x r - ( a 6 + 口，) x + 口x + 彳6 x 一血- ( f 占- f ) ，b x 一m 7 ) a h x r + a x r - 厂占，扯了) + a x * - ，万划) 1| 由彳6 的单调性和a 6 + a i 的b 一消散性得 ( a h x * _ a x 。，o ) + 口( x r , x 7 - - x * ) 一( 广- f ，x ，- x ) + 口( x ，b x 一觑7 ) + ( 彳6 ，一出，b x 一擞7 ) 一( 厂子- f ，b x 一凰7 ) a h x r + a t x r - 广，矿一) + ( 血一厂，了一舅y ) 由此可得 t t ( x r , x r - - x * _ o 此外，单调算子a ：x x + 称为极大单调算子当且仅当由不等式 ( 砂一厂，y - x o ) _ o , v y d ( 彳) ， 可推出厂= a x o 定义3 2我们称算子a ：x x 是弱连续的，若对任何的u d ( 4 ) ， 蚝ed ( a ) ，j “，都有a u 。寸彳“此外，称算子a ：x 专x 为强连续的，若 对任意p 托- ju d ( 彳) ，d ( 彳) ，u n 马”，都有a u 。寸a u 定义3 3 设彳，t ，g ：t 2 _ x + ，n ：x x x x x _ 工，映射r ：f 2 x o 专x ， 厂x 。如果存在常数y o ，使得 ( n ( a u ，t u ，渤) 一n ( a v ，n ，g v ) ，r ( u ，v ) v l l u 一1 ，1 1 2 v u ，v ef 2 我们就称n 关于a ，t 和g 是r 强单调的 定义3 4 算子彳：x 专r 称为g 一单调，若下述不等式成立： ( a u - a v ，g ( ”) 一g ( y ) ) o ，v u ，y q ， 其中g 是从q 到x 上的映射特别地，a ：x x + 称为g 一强单调的，若存 不适定变分不等式的正则化方法 在正常数口 0 ，使得 ( a u - a v ，g ( 甜) 一g ( y ) ) 口8 群一v i i 2 , v u ，y q 定义3 5 我们称g ：x _ x 是强d 一增生的，当且仅当对任意的“，y q ， 存在 o ，使得( g ( 甜) 一g ( v ) ，比一西) 剧“一v i i 2 定义3 6 设q 是b a n a c h 空间x 中的非空凸子集，映射 彳，t ，g ：q x ，n ：x x + x x _ x ，r f 2 x f 2 专x ，f x 如果函数 ：f x q 一( 咖，佃】， ( 1 ，甜) = ( ( 彳“，t u ，g u ) - f ，r l ( u ，d ) ，v u ，v q 对任一有限集以，。，) q 和任一“：窆她，其中五o ，窆4 = 1 ，都有 i = if ；l 丑( m ，孔) o 。 i = l 则称n ，a ，t ，g ，f 和7 7 在q 上具有0 一对角凹的相关性 定义3 7 我们称妒：x x x _ ( 硼，棚】为反称双射，若下述不等式成立： g ( u ，“) + ( u v ) 一( 雄，y ) 一矽( 1 ，u ) o ，v u ， ，x 根据讨论的需要，下面我们首先给出广义混合性型变分不等式的一些 结论对于给定的厂x ，找出u q ，s t ( n ( a u ，t u ，g u ) - f ，7 ( ，) ) + 矽( v ，u ) - g ( u ，“) + 口( 甜，u - v ) o ，v v q ( 3 - 3 ) 引理3 1 ( 1 2 ，定理3 1 】) 设映射 a ，t , g ：q 一肖，n ：x x x x x 。一，7 ：q q 专x ， f ，妒- ( 2 xd 一( 棚，佃】为一弱连续的双射，且满足 i n t p q ：g ( v ，1 ，) o ； ( a 2 ) 有界性：a ( u ，v ) - d l l u l l l l q l ，v u ，ve t 2 ，d o 假定 ( i )映射“hn ( a u ，t u ，g u ) 是从x 到的强连续映射，且关于彳，丁和g 是刁一强单调的，其常数为口 d ； ( i i )叩是l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 常数为l o ，且对任意的 “，y q ，r ( u ，y ) = 一叩( y ，“) 此外，对于每一固定的l ，q ，7 7 ( ，y ) 是从 x 到x 上的弱连续映射； ( i i i )映射，4 t ，g ，f 和叩在q 上具有0 一对角凹的相关性； ( i v )在x xx 上是反对称的，且对任何的“x ，矽( ，“) 为x 的真凸集 那么问题( 3 3 ) 有唯一解东 注3 1 ：类似 1 2 ，定理3 1 中上述定理的证明过程，容易看出当 c = d = o ，a ( u ，y ) = 0 时，引理3 1 的结论仍然成立 注3 2 ：假定 n ( a u ，t u ，g u ) = a u ，r l ( u ，d = g ( “) 一g ( 1 ，) ，a ( u ，d = o ，g ( u ，d = 缈( “) ， 且妒( “) 是个弱连续的映射，满足i n t v q ：缈( v ) o ，t 榔4 ( a u a v , g ( “) 一g ( ，) ) 口0 “一v i i 2 ，v u ，1 ，q ，那么引理3 1 中的 条件( i ) 成立； ( 2 。) 因r ( u ，1 ，) = g ( “) 一g ( ，) ，那么r l ( u ，d = 一r l ( v ，“) 此外，若g 是x 到x 的弱连 续映射且l i p s c h i t z 连续，其l i p s c h i t z 常数为l ，那么引理3 1 中的条件 ( i i ) 成立； 不适定变分不等式的正则化方法 ( 3 。) ，4 ，t ，g ，f 和刁在q 上是0 一对角凹相关的，令 a = z ，五= l 一旯，u = 力h + ( 1 一力) v 2 ，力【o ，1 】， i v ( v ，材) = ( ( 彳材，t u ，g u ) - f ，7 ( “，) ) = ( 彳“一厂，g ( “) 一g ( v ) ) ， 那么， i = 2 磊妙( ，“) = 五( y m ，甜) + ( 1 一z ) ( 吃， ) = 2 ( a u - f ，g ( 掰) 一g ( h ) ) + ( 1 一旯) ( 彳“一f ，g ( 掰) 一g ( v 2 ) ) = ( a u - f ，g ( “) 一【a g ( m ) + ( 1 一a ) g ( 1 i | ) 】) 0 此时，我们简称a ，g 和f 在q 上具有0 一对角凹相关性而且，若g 是线性 映射，则显然有a ，g 和f 在q 上具有0 一对角凹相关性 ( 4 。) 矽( “，d = 缈( “) ，显然有是反对称的此外，如果伊是真凸的，那么引理 3 1 中的条件( i v ) 成立 3 2 主要结论 下面，我们先讨论较为简单点的混合型拟变分问题：寻找e q ，使 得 ( a u - f ，g ( ，) 一g ( “) ) + 伊( v ) 一烈“) o ，v ，q ( 3 - 4 ) 定义3 8 如果”。e q 满足， ( 彳一厂，g ( ，) 一g ( ) ) + 9 ( ，) 一妒( z ) o ，v ve q 则我们称 。q 为( 3 4 ) 的解 在下文中，始终假定( 3 4 ) 的解集d 非空，且x ed 引理3 2 若a ：x x 是g 一单调的且极大单调，a ，g ，厂在q 上具有0 一对 高校教师在职硕士学位论文 角凹的相关性此外，假定缈在q 上凸，那么q 是( 3 4 ) 的解当且仅当 对任何的y q ， ( a v - f ，g ( v ) - g ( u 。) ) + 缈( v ) 一伊( “。) o ( 3 - 5 ) 证明若为( 3 4 ) 的解，则 ( 么z b 一厂，g ( 1 ，) 一g ( ) ) + 旷( v ) 一缈( “。) o ，v v q ( 3 - 6 ) 根据算子a 的g 一单调性质知， ( a v - a u o ，g ( v ) - g ( u o ) ) o ，v v q ( 3 - 7 ) ( 3 - 6 ) 和( 3 - 7 ) 式相加得， ( a v - f ，g ( v ) - g ( u o ) ) + 妒( 1 ，) 一伊( “o ) o ，v v e q 反之，若式( 3 5 ) 对任意的v q 都成立，令 坼= ( 1 - t ) u o + r y e q ，t 【o ，1 】，v v q ， 那么 ( 彳v l 一厂，g ( h ) 一g ( ) ) + 纵v f ) 一缈( “。) o ( 3 8 ) 由妒的凸性知， 缈( v ) ( 1 一f ) 缈( “。) + f 缈( v ) ( 3 - 9 ) 从而， ( 彳v f 一厂，g ( v f ) 一g ( ) ) + f 【伊( h ) 一( a ( u o ) - 0 , v v e f 2 ( 3 - 1 0 ) 因a , g ，f 在q 上具有0 一对角相关性，则 ( 4 v f - f ，g ( v , ) - t g ( v ) - ( 1 一t ) g ( u o ) ) o ，v v e f 2 ( 3 1 1 ) 联合( 3 1 0 ) 与( 3 1 1 ) 式得， ( 4 u 一厂，g ( 1 ，) 一g ( ) ) + 缈( 1 ，) 一伊( “。) o ，v v eq 由于a 为极大单调算子，故a 局部有界且次闭，于是 么v ) 当f 专。时 不适定变分不等式的正则化方法 有界因而存在即u ) 的子序列，不失一般性，记此序列仍为 彳v f ) ，使 得彳_ 一三，那么虿= 么“。且 ( 爿一厂，g ( ，) 一g ( ) ) + 伊( ，) 一伊( “o ) o ，v ve q 这表明“。即为( 3 4 ) 的一个解 引理3 3 若( 3 4 ) 的解集d 非空，且a ，g ，f 在q 上具有。一对角凹的相 关性，函数g 弱连续此外，假设伊凸下半连续，那么d 为凸闭的集 厶 i = i 证明若“。，“：皆为( 3 - 4 ) 的解，那么由引理3 2 知， ( a v - f ，g ( v ) - g ( i a ) ) + q ( v ) - q o ( p a ) _ 0 ，v ve f ； ( 3 1 2 ) ( a v - f ，g ( v ) - g ( u ：) ) + 伊( “) 一认“2 ) o ，v ve q ( 3 1 3 ) 令甜= t u i + ( 1 一t ) u ：，于是有 ( a v - f ，g ( v ) 一g ( “) ) + 烈v ) 一缈( “。) 2 ( a v - f ，g ( v ) - t g ( u 1 ) - ( 1 - t ) g ( u 2 ) ) + ( 彳1 ，一厂，t g ( u , ) - ( 1 - t ) g ( u 2 ) 一g ( “) ) + 认，) 一t e ( u 1 ) 一( 1 一t ) e ( u 2 ) + f 矽( ) 一( 1 一t ) c p ( u 2 ) 一纵甜) 】( 3 - 1 4 ) 因a ，g ，f 在q 上具有0 一对角凹的相关性，那么上述等式右端的第二项 不小于o 根据缈的凸性得，上述等式右端的最后一项也不小于o 因而， 结合( 3 - 1 2 ) 和( 3 1 4 ) ，得 ( a v - f ，g ( v ) - g ( u ) ) + c p ( v ) - c p ( u ) o , v v eq ， 这表明甜是( 3 - 4 ) 的解，于是d 是个凸集 接下来，我们将证明d 是个闭集 若弛。 sq 是( 3 4 ) 的解且当玎专时，”。专掰q ，即 ( a v - f ，g ( 1 ，) 一g ( ) ) + 缈( 1 ，) 一伊( ) o ，v v q 高校教师在职硕士学位论文 利用妒的下半连续性得 妒( “。) ! i m i n fc p ( u 。) 工- - a o 令刀专，由g 的弱连续性立即导出， ( a v - f ，g ( ，) 一g ( 材) ) + 缈( v ) 一缈( “) o ，v v q ， 这就说明集合d 是闭的 在许多实际应用中，可测数据f 具有扰动性假定所测数据为厂j ，且厂j 满足l l 厂j 一州万 下面，我们来考虑如下的问题：寻找u q ，使得 ( a u - 口j u _ f s , g ( v ) 一g ( “) ) + 缈( v ) 一妒( 甜) o ，v ，q ( 3 1 5 ) 定理3 1 假定 ( i ) a ：x 一为g 一单调的，a + a j 是从x 到x + 的强连续算子； ( i i ) 函数g ：x 专x 强d 一增生的，弱连续的，且l i p s c h i t z 常数为l o 此外，( 尻，g ( u ) - c l l u l l 2 ，v u x ，其中c 为一正常数； ( i i i ) a + a j ，g 和厂在q 上具有0 一对角凹的相关性； ( i v ) 函数缈真凸且弱连续，满足i n t v eq ：伊( v ) o ；那么( 3 1 5 ) 存在 唯一的解“：并且若当口专。时，有鱼_ o ，则磁) 中有个弱收敛的子序 列，此子序列的弱极限即为( 3 4 ) 的一个解 证明因算子a 是g 一单调的且函数g 是d 一增生的，那么 ( 彳z ，一口砌一a v a j r ，g ( 甜) 一g ( v ) ) q 矽 k 一1 ，l | 2 ，v u ，v e f 2 ， 这表明a + a j 是g 一单调的结果，由引理3 2 知，( 3 1 5 ) 存在唯一的解 u 。8 ) 设“+ 为( 3 4 ) 的解，那么 不适定变分不等式的正则化方法 ( 4 - f ，g ( y ) 一g ( + ) ) + 缈( y ) 一伊( ) o ，v y q ( 3 1 6 ) 因 ( 么+ 口成一厂占，g ( v ) 一g ( ) ) + 伊( v ) 一伊( 材：) o ，v v e q ， ( 3 - 1 7 ) 分别令( 3 1 6 ) 式中v = “：q ，( 3 1 7 ) 式中的v = 甜+ q ，然后将获得的两 个不等式相加得出如下结论： ( a u ：- a u * + 口w 一( 厂j - f ) ，g ( ”) 一g ( “：) ) o ( 3 1 8 ) 根据a 的g 一单调性得， ( a u r a - a u * , g ( 甜) 一g ( “：) ) o 于是