（基础数学专业论文）可解李三超系及张量积.pdf

摘要 本文中，我们给出了李三超系的一些基本概念和性质，讨论了交换的结 合超代数与李三超系的张量积，然后讨论了可解和幂零李三超系的一些性 质 主要结论如下： 定理1 设李三超系t 可以分解为两个理想的直和，即t = 丑。如则 有( 1 ) g ( t ) 有分解 c ( t ) = g ( 噩) o g ( 死) ( 2 ) 若又有a ( t ) = 0 ，则 d ( t ) = d ( 丑) o d ( 易) ， d 0 ( t ) = d 0 m ) od 0 m ) 定理2 如果a 是有单位l 的交换的结合超代数，t 是挛三超系，a t 的导子代数是由d e r a 圆i d t 和a 固d e r t 生成的 定理3 可解李三超系的任意包络李超代数是可解的，而且若李三超系 有可解的包络李超代数，则它也是可解的 定理4 ( 1 ) 设妒是李三超系丁的理想则p 是n 幂零的当且仅当j ( 妒) 是幂零的 ( 2 ) ( 三( t ) ) nt 是t 的唯一的极大的b 幂零理想 ( 3 ) 如果p 1 和妒2 是t 的b 幂零理想，则妒1 + 妒2 是t 的d 幂零理 想 ( 4 )( l ( t ) ) = t ，( ( t ) ) 关键词：李三超系；标准嵌入李超代数；左不变和右不变；阶化理想 i i a b s t r a c t w bg i v es 0 h l ee k m e n t a r yc o n c e p t i o n 龇】【dp r o p e r t i e so fl i et r i p l es u p e r s y s t e m ，a n dd i s c u 船t h et e n s o rp r o d u c to fac o m 咖t a t i v ea s s o c i a t i v es u d e r a l g e b r aa n dal i et r i p l es u p e r s y s t e m ，t h e nw ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h e s o l 、吼b l ea n dn j l p o t e n tl i et r i p l es u p e r s y s t e 狲 t h em a i nr e 8 u l t s ： t h r e m1l e t8l i e 打印f es 叩e 倦掣s t e m t k d e c d 竹堆o s e d 讥幻o d i 咒c ts “m 巧t 锄d d e n bi ，e t = 五。乃肌 口可e jc ( t ) n e ed e c o ”j p o s i 挽o n g ( t ) 。a ( 乃) o a ( 正) 俐黟讯8 d 班 治托c ( t ) = o ，娩锶 d ( t ) = d ( 丑) o d ( 乃) ， d 0 ( t ) = d o m ) o d o m ) t h e o r 咖2玎a 主s 口c d 讥m 疵o t 而e s o c i 口t i es 姓衅m 幻e 6 他删饥o “竹靠l ，a 札d 丁妇d 三i et 呦胞s q p e 倦秘f e m ，矾e nt ed e r 咖n t i o 住。幻e 6 m0 ， a o 丁诂雪e 弼阳。d6 擎d e r a o i 由d 死矗a o d e r t t h e o r e m3a 聊e 删e f o p i 叼三钯s t 职m 蜘6 mo ，ns o l 曲f e 己 e 噍p f e s t 巾e 邶掣s t e m 如s o 如口6 k ，口n d 矿nl b 打印把s t p e 倦鲈e m 九d ss d m e3 d 如口6 f e 8 埘v e 如p ；错三匏s 毽p e 他姆6 m ，程括s d 如8 6 2 e t h e o r e m4 r u s t 卿d s e 妒妇口礼f d e 耐d ，ol i e 婀p f e5 叩e 倦班t e mt 卯l e 扎妒拈t n i 咖o t e n t 矿g n dd n 妇 厂琥o t ，( 妒) 妇礼i f p d t e 扎t 倒( l ( 习) n ，妇蛳萄雠m 篮l m 戚，一站枷据耐i d 翩z 7 辟u 巧妒1 口n d 妒2o r t 一扎 枷e n 。d e o bd ，t ，地e 礼垆l + 妒2 s 口t 礼 缸硷t e n t d e n f0 ，t “，( l ( t ) ) = j ( ( t ) ) 1 ( e y l w o r d s ： l i et r i p l es u p e r s y 8 t e m ；t h es t a n d a r di i n b e d d i n gl i es u p e r a l g e b r a ；l e f t i n v a t i a n ta n dr i g h t i n v a r i a n t ；g r a d e di d e a l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：扭日期： 洫z 止兰2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盘指导教师签名：隆盘亟 日 期：磁! 生习日 期：! ! ! ：! 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1b a c k 铲o u n d s l i et r i p l es y s t e m8 r o s ei n i t i a l l yi nc a r t a n ss t u d i e so f 彤e m a n n i a ng e o m e t r y i i n w h i c hh ee m p l o y e dh i sc 1 8 8 s i 乱a t i o no ft l l er e a ls i m p l el i e 越g e b r at 0d a s s 蚵a n i m 口o r t a n ts u b c 0 1 1 e c t i o no fe u e m 眦i a nm a n i f o l d 8 ，t h es y m m e t r i cs p a c e s u pt oa f a c t o ro fae u c l i d e a ns p a c e ，c a r t a sc l a s s 进c a t i o na 8 8 0 d t e dt oe 如h8 y m m e t r i c8 p a c emas e m i s i m p l el i eg r o u pgw i t ha i li i l v o l u t i v ea u t o m o r p h i 8 m m o r e p r e c i s e l y ，f o rs o m en 0 ， m 竺础x g f k ， w h e r e i sa m p 躺ts u b 盯o u po fgd e t e r i i l i n e db yt h e 矗x e dp o i n t 8o fa ni n 、d u t i o nf r o mgt oi t 8 e l f a n dg p o s s e s 8 e 8ag - 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c l a s 8 i c a ll i et r i p i e8 u p e r - s y s t e m ，a n d 印p l i e di ti ns o l v i n gt h ey a n g b a x t e re q u a t i o na f t e r 舀v i n ga1 0 to f e x 啪p l e s ，b u tt h et h e o r y0 fl i et r i p l es u p e r s y s t e mi sn o tc o m p l e t e a j 南o u 曲曲e n c f 尹to fl f et r i p 拓s u p e r 罩y s t e m 砖船e 钙b n 建f se 吕s y 幻 a c c e p t i th a sc l o s ec o n n e c t i o nw i t hl i es u p e r a l g e b r aa st h er e l a t i o i l s h i pb e t w e e n l i et r i p ks y 8 t e m 缸l dl i ea l g e b r a 1 2o r g a n i z a t o no ft h ep a p e r i nt h i sp 印e r ，w ed 曲n eal i et r i p l es u p e r s y s t e m ，8 n dg i v es o m ee l e m e n t a r yc o n c e p t i o n sa n dp r o p e r t i e si 8 e c t i o n2 1 ，a n di ns e c t i o n2 2 ，、v ed i s c u s 8t h et e n 8 0 r p r o d u c to f c o m m u t 8 t i v ea 鹃o c i a t i 、，es u p e r 8 l g e b r aa dal i et r i p l es u p e r s y s t e m a n d 舀v et h es u p e r d e r i v a t i o i l so fa t i f4i 8ac o m m l l t a t i 、，ea s s o c i 8 t i v es u p e 卜 出g e b r a ，t h e nw ed i s ( 魁蹈s 劬ep r o p e r t i e s0 ft h es o l 讪l ea n dn i l p o t e n tl i et r i p l e s u p e r s y s t e mi ns e c t i 咂2 38 n d 2 4 2 c h 印t e r2 o nl i et r i p l es u p e r s y s t e m 2 1 d e b n i t 沁n sa n de l e m e n t 脚了p r o p e r t i e s w 毡r m ws t a t e m ec a n o e p t s 丑i mr e 8 u i t si nt k m yo fl 沁t r i p l es u p e r s y s t e mu s e d i nt h ep a p e r d e f i n i 七i o n2 1 1 【5 l a 工记t 呦? es 婶伽s t e m ti saz 2 一事a d e dv e c t o rs p a c e w i t hat e r n a r yp r o d u c t 【，】s a t i s 母i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 )盯( z ，掣，z 】) 篡( 盯( z ) + 仃( y ) + 盯( z ) ) ( m o d 2 ) ； ( 2 )陋，可，z = 一( 一1 ) 。”b ，马翻； ( 3 )( 一1 ) 2 2 陋，”，z 】+ ( 一1 ) 妒b ，：，z 】+ ( 一1 ) 。”k ，z ，f 】= o ； ( 4 ) m ， ，睁，w ，z 1 1 = 【卜，u ，$ 1 ，v ，z l + ( 一1 ) ( “+ ”p 陋，阻，吼引，z 1 + ( 一1 ) ( “+ ”) 扣+ 掣) k ，可，阻， ，z 刀 f o r v t ，耵，z ，玑名t ，粥d e n o t e 盯扣) a s t h e 掣a d e dd e 铲e eo f a n d a b b r 争 v i a t e i ta s 嚣o t h e i d 旺 d e n n i t i o n2 1 2 【1 刎 a 乳i p e r d e 他，o 挽d no fal i et r i p l es u p 唧t e mti s a h o i n o g e n e o l l sl i n e 盯m a p p i n gd o fti n t ots u c l lt h a t d ( p ，弘z 】) = p 。，弘，翻+ ( 一1 ) 2 k 扛，d 乳习+ ( 一1 ) 扛+ 咎) d p ，f ，d 司v 。，咎，z t w bd e n o t ed ( t ) a 8t h e8 e to fa l l8 u p e r d e r i v a t i o i l so ft ，8 n dd 曲n et h em l l l t i p h _ c a t i o no fd ( t ) 8 sf b l l a w ： d l ，d 2 = d 1 d 2 一( 一1 ) d 1 d 2 d 2 d 1 i nw h i c h 盯( d 1 ，d 2 】) = 仃( d 1 ) + 仃( d 2 ) ，t h e nw ec a nl u l o wd ( t ) i 8al i e8 u p e r 豇。 g e b r a ，w ec 8 l li tt h ed e 一 t i o 亿8 幻e 6 mo ft d e f i n i t i o n2 1 3 【1 9 】 p u t 工( z ，可) z = 【z ，可，z 】， r ( z ，) z = ( 一1 ) 2 ( 。+ p ) k ，z ，可】 w ec “i l ( 。，掣) ，r ( z ，暂) t h e f 晴口礼d 哟矾m 娥印“t t o no p 8 m o r o f rr e s p e c t i v e l y d e 右n ed o ( t ) = d i d = 工 ，可) ，z ，t ) ，t h e n d o ( ? ) i st h e8 u b s e t0 f d ( t ) a n dd o ( t ) i sc l o s e dw i t hr e 8 p e c tt o 【，】， 3 i n f a c t 陋( u ， ) ，三( z ，) ( 。) = l ( 珏，”) 工( z ，掣) ( 2 ) 一( 一1 ) m + ”) ( 2 + 。) l ( z ，彭) 三( 锰，静) ( 。) = 缸， ， z ，彳j 】一( 1 ) ( “+ ( 。+ 掣) p ，可，f 札，甜，。】 = 【m ，”，z 1 ，掣，孑】+ ( 一1 ) ( ”十”如b ， u ， ，引，z 】+ ( 一1 ) ( ”十”) ( 2 + y ) b ，”，阻，”，z j 】 一( 一1 ) ( “+ 。) ( 卅 ) k ，9 ， u ， ，z 】 = ( l ( 【“， ，。】，可) + ( 一1 ) ( “+ ”皿l ( z ， 钍，口，耵】) ) ( z ) v ，u ，o ，可，z t t h e nw ec a hd o ( r ) t h ei n e rd e 恸捌n 匆e 6 mo ft l e t 工b eal i es u p 盯a l g e b r ai fw ei n t r o d u c eat r i p l ep r o d u c t 陋，掣，z 】b y 扭，掣，z 1 _ 乩z 】，七h e nlb e c o m e sal i et r i p l es u p e r 8 y s t e m s o r yl i e 8 u p e r a l g e b r ai sbl i et r i p l e8 l l p e r 8 y s t e m d e f i n i t i o n2 1 4a nf 竹1 6 甜出n 9o fal i et r i p ks u p e r 8 y 8 t e mti nal i e 辄p e r a l g e b r 8 工i 8al i n e 缸t r a n s f o r m 8 t i o nr ：z _ z ro f ti n t o 三s u c ht h a t ( 1 )k ，掣，2 l r = 【睡r ，可r 】，z 只la j l d ( 2 ) t h ee l w e l o p i n gl i es u p e r 8 1 9 e b r ao ft h ei m a g es e tt ri s 上h w bc 出lrt h es 妇；d 硎溉6 。d 幽垮o f ? ，三( t ) t h es t 蚴d d 耐t m 6 e d 始w 工诟3 姊e r _ 口妇e 扫mo ft l e t 工( t ，t ) b eav e c t o rs p a o e 野m e r a t e db 甲 l 0 ，掣) i 。，掣? ) a s 啪h a v ek n o w n 三佤? ) = d 0 ( t ) t h es t a n d a r di m b e d d l n gl i es u p e r a l g e b r a o fti 8 三( t ) = t o 二( 正t ) w i t hap r o d u c t 陋1 + d l ，z 2 + d 2 】= 工( q ，茁2 ) + i d l ，d 2 + d 1 ( 。2 ) 一( 一1 ) b 。1 d 2 1 ) ，v 茁1 ，嚣2 t ，d 1 ，d 2 l ( t ，t ) i np a r t i c u - 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