（基础数学专业论文）πl4t1∧v3的一个子群.pdf

中文摘要 本文主要计算了m a y 谱序列易一项鹾 m ( 4 ，2 ) f 拘1 ，2 ，3 维，并证明在 这些元素中不存在非平凡的高级m a y 微分。而且鹾 。( 4 ，2 ) k ( 4 ) 。 u 5 】是 7 r 。( l 4 t ( 1 ) ay ( 3 ) ) 的一个子群。 关键词：a d a m s n o v i k o v 谱序列，m a y 谱序列，m o r a v ak - 理论 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w ew i l lc o m p u t et h ef i r s t ，s e c o n d ，t h i r dd i m e n s i o no ft h e e 2 一p a r to fm a ys p e c t r a ls e q u e n c e 鹾 m ( 4 ，2 ) a l s o ，w ew i l lp r o v e t h e r ee x i s tn o n o n o r d i n a r ya d v a n c e dm a yd i f f e r e n t i a l a n d 霹 木( 4 ，2 ) ok ( 4 ) 。 v 5 】i sas u b g r o u p o f7 r ( l 4 t ( 1 ) ay ( 3 ) ) k e y w o r d s ：a d a m s - n o v i k o vs p e c t r a ls e q u e n c e ，m a ys p e c t r a ls e q u e n c e ，m o r a v a k t h e o r y 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：1 习瓤篮 叫年f 月日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：- 司浓 曩三! 竺! 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： c h a p t e r1 简介 在稳定同伦论中，基于b r o w n p e t e r s o n 谱b p 的a d a m s n o v i k o v 谱序列 起着非常重要的作用。为确定他的易项，m i l l e r ，r a v e n e l 和w j l s o n 引进 y c h r o m a t i c 谱序列。而用c h r o m a t i c 谱序列计算的出发点是m o r a v a 稳定 代数s ( n ) 的上同调。这里s ( 几) = z vo k ( 。) k ( n ) 。k ( n ) o k ( 。) 。z p 是一 个h o p f f 七数，i f 百k ( n ) 。= 纠p h ，呀1 是一个分次域， k ) 。k ( 礼) = k ( 凡) 。o b r b p , b p b p k ( 礼) 。= k ( n ) 。陋1 ，t 2 ，】( 壤一秽t 。) k ) 。通过将映射到1 作用在z p j = 。因而 s ( 扎) = z p p l ，t 2 ，t 。， ( 蠕一t 。) 我们记 s ( n ，k ) = s ( n ) ( 岛：j 3 的日8 ，r s ( n ，礼一1 ) 。 考虑素数p 3 1 e h o p 玳数s ( 4 ，2 ) = z p i t 2 ，t a ，t m ，】( 亡孺一t m ) 的上 同调。在本文中我们重新定义了s ( 4 ，2 ) 和他的c o b a r 复形中的m a y 分次。这 个分次诱导出一个收敛到日a , t s ( 4 ，2 ) 的谱序列_ 霹 m ( 4 ，2 ) ，d r ) ，我们还称之 为m a y 谱序列。他的毋项同构与外代数 吲弼1 5 i 2 ，j z 4 】 m a y 微分d r ：露 m ( 4 ，2 ) e # + l , t , m - r ( 4 ，2 ) 满足：对z 霹办m ( 4 ，2 ) 4 ( z y ) = d r ( z ) y + ( - i ) 8 z d r ( 可) ， 一阶m a y 微分由以下公式给出： d l ( 嘭) = 一允j j h + m 。 2 m t 一2 ( 1 2 ) c h a p t e r1 简介3 在此基础上，我们计算出来这个m a y 谱序列易一项霹 m ( 4 ，2 ) 的1 ，2 ，3 维， 并证明在这些元素中不存在非平凡的高级m a y 微分。因而由( 1 2 ) 知： 当8 = 1 ，2 ，3 时 d e 以。b s , t p b p ( b 只，b p l 4 v ( 3 ) at ( 1 ) ) 竺e 耐夏，2 ) ( z p ，z p ) ok ( 4 ) 。i v 5 】竺霹声产( 4 ，2 ) ok ( 4 ) 。 口5 】。 注意到当p 5 时y ( 3 ) 存在，由( 1 2 ) 易知e z 亡矗b p ( b 只，b p l a v ( 3 ) a t ( 1 ) ) 只 有1 6 维，而第一个非平凡的a d a m s n o v i k o v 微分出在d 2 口一1 。因而当p 7 1 对a d a m s n o v i k o v 谱序列的微分也全是零。所以霹芦产( 4 ，2 ) k ( 4 ) + u 5 是 7 r 。( l 4 t ( 1 ) ay ( 3 ) ) 的一个子群。 c h a p t e r 2 m a y 谱序列 令p 是一个奇素数，由文【7 】，【8 我们知道 s ( 4 ，1 ) = s ( 4 ) = z p t 1 ，t 2 ，t 。，t 。+ 1 ，】( 需一t m ) 。 其中由于壤= t m 的原因，t m 的内次数t 为 t 。i 三2 ( p 一1 ) ( 1 + p + + 矿一1 ) r o o d2 一1 ) ( 1 + p + 矿+ p 3 ) 结构映射：s ( 4 ) - - - - - 4s ( 4 ) os ( 4 ) 作用在如上由以下公式给出： a ( t ) ：1 岛+ t 1 。0 1 + + 气一1 嗜卜1 + 如o 1 a ( t t ) = t m 。巴一啦4 其帆2 。薹一，( ：) ”驾 t 巴树。因而对于 s ( 4 ，2 ) = z p t 2 ，t 3 ，t m ，l ( t 襄一t m ) ， 4 当i 4 时， 当i 4 时， c h a p t e r2 m a y 谱序列 5 结构映射作用在t ；上有以下公式： a ( t i ) ：1o 彘+ 亡2 圆磋2 + + 屯一2o 绣扣2 + 屯o 1 a ( t t ) ：1 t i + t 2 圆2 + + 屯一2o 壤扣2 + 屯o 1 一啦4 在h o p f l 弋数s ( 4 ，2 ) 中，我们用如下方式定义m a y 分次： 当2 i 5 时，定义的m a y 分次为 m ( 节) = 2 i 一1 当i 6 时，归纳地定义的m a y 分次为 m ( ) = p m ( 4 ) + 1 当i 5 时 当i 6 时 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 令f t , m s ( 4 ，2 ) 为s ( 4 ，2 ) 中m a y 分次m 的元生成的子模并且令 或m s ( 佗，k ) = f t , m s ( n ，k ) f 2 , m - 1 s ( 佗，尼) 。则 瑶，m s ( 4 ，2 ) = f t , m 。q ( 4 ，2 ) f t , m - 1 3 ( 4 ，2 ) 竺o i 2 t t 尹l j z 佗】， ( 2 4 ) 变成了一个双分次的h o p 玳数，其中t 】表示高度为p 的截缩多项式代数。 或一s ( 4 ，2 ) 中的结构映射：鹾s ( 4 ，2 ) 一鹾”s ( 4 ，2 ) p 写”s ( 4 ，2 ) 作用 在妒上变成了 ( ) = 1o + 谚圆1 。 ( 2 5 ) c h a p t e r2 m a y 谱序列 6 记c 5 r s ( 4 ，2 ) = q 8 雪( 4 ，2 ) 为s ( 4 ，2 ) 的c o b a r 复形，其中雪( 几，k ) = k e r 为s ( 4 ，2 ) 的增广理想，微分d ：c s , t s ( 4 ，2 ) 一c 8 + 1 , t s ( 4 ，2 ) 由以下公式给 出： d ( a lo 圆q 。) = ( 一1 ) 口l 固q ( ( a t ) 一戗 1 1 q i ) 圆。q 。 ( 2 6 ) 1 8 注：一般情况下伊一s ( 4 ，2 ) 中的元素口1 0 q 2 0 q a 。记为 q 1 i q 2 i l q 小 对于c 8 ，v s ( 4 ，2 ) 中的生成元陋1 i q 2 i i o t 。 ，定义它的m a y 分次如下： m ( q 1 i q 2 i i a 。】) = m ( a 1 ) + m ( q 2 ) + + m ( a 。) 。 令f s , t , m ( 4 ，2 ) 为c s , t s ( 4 ，2 ) h b 由所有m a y 分次m 的元生成的子模， 写。，m ( 4 ，2 ) = f s , t , m ( 4 ，2 ) f a , t , m - - 1 ( 4 ，2 ) 。则f 事，囊，m ( 4 ，2 ) = _ f s ，t m ( 4 ，2 ) ，d ) 构 成c 耙s ( 4 ，2 ) 的子链复形并由此得到一系列链复形的短正合序列 0 一f ”，( 4 ，2 ) 一m ( 4 ，2 ) 一舻m ( 4 ，2 ) 一0 。 ( 2 7 ) 容易证明：链复形鹾+ m ( 4 ，2 ) = f ”，m ( 4 ，2 ) f ”，m 一1 ( 4 ，2 ) 同构与 或一s ( 4 ，2 ) 的c o b a r 复形。 令研 m ( n ，庇) 为 3 首先声明，所有的生成元均是线性无关的，为避免重复，我们仅考虑每一个 元素和它前面元素的线性组合是否在核中。若此线性组合在核中，则为k c r 中 生成元。于前面元素必线性无关。 一、h - ：a 1 ( e 磁，磁，磁，醒b 纠4 】) 共有= 1 6 个元素。 h i 生0 ，共有4 个生成元。像均为o 。故为k e r 中生成元。 米醒s0 ，共有4 个生成元。像均为o 。故为k e r 中生成元。 米瑶乌一h ：。h j 。+ 2 ，共有四个生成元，产生2 个线性无关的像明确和码缱。故 只有h 2 + 磕，h j + 镌是k e r 0 0 牛成元。 米吃乌一忍 鸸+ 2 + 鸸+ 3 h j 。，共有4 个生成元，产生的4 个像线性无关。故不产 生核中生成元。 竺些竺里! ：圭旦塑登一一 1 0 所以k e r c l = 无2 ， 尼! ，九；，九2 ， h 1 ( e h g ，醒，魑， 础，磁，墙，碡，忍4 0 1 - ，。4 2 ，磕+ 斌) ，共有1 0 个元素。 醒防z 4 ) = 明，九；，镌，磋， 九2 ，碍，镌， 碥，h 2 + 磕，h j + 磕) 共有l o 个元素。 i m g = 2 0 ，6 2 2 ， 2 1 ，6 2 3 ，一九2 0 ，b 2 + 九2 3 ，6 3 0 ， - h 3 h j + ，z 2 2 ，。3 3 共有6 个元素。 一九3 ，磅+ 危2 0 ，岣1 ，一九；，罐+ 危2 1 ，心2 ， 二、h 2 ：c 2 e h ，码， 磁，酲b z 4 册中共有= 1 2 0 个生成元。 米磅砖生0 共有6 个生成元，均在k e r 中。 米。叼h i l 叼h i 2 虫0 共有6 个生成元，：均在k e r d p 。 米磁弼与0 共有1 6 个生成元，均在k e r 中。 米蜡砖23 一危砖+ 2 磅2 + h i 。2 i 。2 + 2 危 共有6 个生成元，其中一叼 i x 叼h i l + 2 砖只 能是砖砖2 或磕+ 2 九挈的微分，同理砖磅。+ 2 砖只能是磅砖或危2 九挈+ 。的微分，故 叫h i a h i 2 + 忍 + 2 九 + 砖砖+ 2 + 砖+ 2 砖+ 2 = ( 砖+ 砖+ 2 ) ( 尼挈+ 砖+ 2 ) 乌0 。只 有( 砖十尼 + 2 ) ( 砖+ 磕+ 2 ) 在k e r 中，产生线性无关的5 个像。分别为： 一允0 2 ，。2 2 ( 允2 + h 1 ) ，一危2 1 ，。2 3 ( 醴+ h i ) ，一允2 0 ，6 2 2 九j + 鹂允2 九2 ，一九0 2 ，6 2 2 危i + ，h 。2 i ，1 。, 2 3 ，, 。4 0 ， 一h 。2 i ，。2 3 ，1 。4 2 + 九2 九；允j 。 米 2 儿4 j 共有1 6 + 生成元。其中九2 i ，。4 i ，磅+ 。2 h i ，8 项均微分为o ，在k e r 中。剩 下8 项，h 。ih 。i + 1 马叼h i 屹h i + 1 纩3 ，燧危3 乌一磁忍纩1 允扩3 h 。i 。i + 1 九纩3 只能是 d ( 允i 2 ，。4 i + 1 ) 或d ( 磁允妒) 的微分，故只有磁( 危妒1 + 允纩3 ) 生。在核中。产生4 个像 2 九5 2 ，h 。2 0 ，h 。2 l ，h 。2 2 ，h 。2 i ，。2 2 ，h 。2 3 ， * h i 醒共有1 6 个生成元。 ，h 。0 2 ，h 。2 2 ，1 。2 3 。 磁允 乌h 。i h j 。h j 。+ 2 ，其中磁尼 磅 2 可能是磁磁+ n ，或是蚝镌的微分中的项。但 是能允；还未出现，故磁( 嵋+ ，矿2 ) 乌o ，有8 项在k e r 中。产生8 个像 c h a p t e r3 上同调群 l l ，- 。t 3 0 ，h 。0 2 ，h 。2 2 ，h 。3 1 ，h 。2 1 h 。3 2 ，h 。3 2 ，h 。2 2 ，h 。0 2 ，h 。3 3 ，。, 2 3 ，h 。2 l ，h 。3 0 ，h 。2 1 h 。3 2 ，h 。3 i ，h 。2 2 ，h 。2 0 ，h 。3 2 ，h 。3 2 ，h 。2 l ，h 。3 3 ，h 。2 0 ，h 。2 2 。 米吃码共有1 6 个生成元。 i 5 ，。i 2 骂、咒h i 叼h i + 2 + 磅卜3 镌i ，。2 i = h i 。h i 。+ 3 磁。而h i 。h 。i + 3 磁只能出现在雄蝣，蜒蝣的 微分中。故不可能线性组合在k e r 中。产生4 个像 ，h 。0 2 ，h 。3 2 ，h 。3 0 ，h 。2 z ， 。0 2 ，h 。3 l ，h 。2 2 ，h 。2 l ，h 。3 2 ，h 。3 2 ，h 。2 2 ，h 。3 3 。 h i ，h 。2 i + 1 马( 一九i 2 ，。i 3 + 2 + 九扩3 3 i i 2 + 1 = h i 。h 。i + 1 危纩2 + ，矿1 九纩3 h 3 。其中心危纩1 九纩2 只 可百匕g 伍一“5 - - i + 2 镌中，而砖 2 h ；= 醒鸸+ 2 还未考虑。目前吃，妒1 和它前面的元素的 线性组合不可能在k e r 中。产生4 个像。 九0 2 ，6 2 1 忍；- 4 - ，h 。2 i ，h 。3 2 ，h 。0 3 ， ! 危；九；一，h 。0 2 ，厶。2 ，。3 z ，h 。2 h 3 。h 2 一，h 。2 z ，h 。2 3 ，。, 3 2 ，h o b j 一九2 九；允2 磁磅卜2 h iq h i + 2 + 砖3 h i 。，、h i 。+ 2 = 叼h i 叼h i + 2 砖卜2 + 危2 磅。3 h 3 ，从上面我们知道 h 。i h i 。+ 2 一九纩2 扩3 一雄2 危纩2 一九3 九纩2 乌0 这个线性组合在k e r 中。 砖h 尹3( 一悦h i h i + 2 + 磅。3 磁) 磅。3 = h i 。h i 。+ 3 砖卜2h i 。 i 。+ 3 九纩2 不在其它任何元 素的像中。故任何线性组合不在k e r 中。产生4 个像 ，h 。0 2 ，h 。2 3 ，h 。3 2 ， ，h 。2 2 ，h 。3 2 ，h 。3 l 。 ，h 。0 2 ，h 。2 l ，h 。3 3 ，h 。2 1 h 。2 2 ，h 。3 0 ， * h l 镌共有1 6 个生成元。 允i 5 ，。3 i 乌( 一心磅卜2 + 磅卜3 允3 i ，。i 3 = 唧h i h i 叼h i + 2 。镌蝣蝣只可能出现在蝣蝣的微分 中。而醒虫一九y 2 j + 2 + 弼+ 3 醒，故h i 。h 。th i 。+ 2 不可能出现在h 。h 。i + 2 的微分中。 故魄磁的任何线性组合不在r 中。产生4 个像。 ，h 。2 0 ，h 。3 0 ，h 。3 2 ，h 。2 l ，h 。3 ，h 。3 3 ，h 。2 2 ，h 。3 2 ，h 。3 0 ，h 。2 a ，h 。3 3 ，h 。3 l 。 c h a f f e r3 上同调群 1 2 磁危纩1 生( 一心九纩2 + h i + 3 危3 i ，6 3 i + 1 = h i 。厶i 。+ 1 h i + 2 + 九尹3 h il - - 。i 3 + 1 = d ( h i + 1 纩2 + 砖+ - 3 磁一砖2 九纩3 ) 。即醒醒一九5 1 ，。3 2 + 九2 5 ，。3 3 一九3 。，。3 0 乌。有一个线性组合 在k e r 中。产生3 个像，九2 九3 忍；+ 允i 2 允 ， 5 忍；尼2 + 允2 允 尼；， ；危2 危i 一九；九；九2 。 h i 叼h i + 2 乌( 一磁九纩2 + 砖卜3 , l o 3 、1 , 厶。件32 = 砖卜3 h 。i1 i 。+ 2 。h i 。h i 。h 。i + 2 不能在任何镌蝣的 微分中，产t t 4 个像。唧h a 叼h 0 叼h 2 ，忱h 0 叼n 1 叼, 3 ，唧h i o 叼t , 2 ，九；醒 i 。 h i 。h 。i + 3 骂h i h i + 2 + 九尹3 h 3 厶。件33 = 一心 纩2 危纩3 + 九尹3 l ，i h i + 3 。h i 。 i 。+ 2 九纩3 不能出现在其他任何蝣蝣的微分中。产生4 个像。 - h o h ；h 3 + 允3 2 ，6 0 3 ，6 3 3 ， 九2 1 ，6 3 3 ，6 3 01 - ，6 2 0 ，6 3 0 ，6 3 1 ， 米磁醒共有1 6 个生成元。 九； 2 危j + 九5 九i ，危3 2 ，。3 1 ，。3 2 - r ，。2 2 ，。3 2 ，。3 3 。 九i 5 磁乌、h i h i + 2 + 忍尹3 九3 i ，q j + h i ，i j 1 j 。2 + 2一唧h i ，t j 。3 + 2 磁只可能出现在磁心的微 分中，故任何含磁允i 的线性组合不可能在k e r 中，产生1 6 个像。 ( 一明允；+ 嘎允2 ) 危2 + 醒 2 明， ( 一九2 1 ，。3 31 - ，。2 0 ，。3 1 ) 明+ 5 1 ，。0 。，。2 2 ，( 一镌明+ 九i 允；) 2 + ，h 。5 2 ，h 。0 2 ，, 。2 2 ，( 一无2 危j + ；九i ) 允2 + 2 九2 忍! ，( 一h o b ；+ 九2 允2 ) 九j + 九2 危5 危2 ， ( 一九； 2 + 九2 0 ，6 3 1 ，6 4 1 + ，h 。5 a ，。2 1 ，1 。2 3 ，( 一九；明+ 九2 1 ，6 3 2 ，6 4 1 + ，h 。5 2 ，1 。, 2 1 ，。2 3 ， ( 一九2 ；+ 2 危2 ) 允i 一，h 。0 5 ， 。0 2 ，。) 2 2 ， ( 一九2 醒+ 明九i ) 九j + 允2 允；允2 ， ( 一九2 1 ，6 3 31 - ，6 0 2 ，6 3 1 ) 危i 一，h 。5 i ，1 1 。2 0 ，h 。2 2 ，( _ h 2 h 0 _ 卜12 ) i 九i 允2 尼l ，( 一九2 危 + 危2 2 ，。3 3 ，。4 2 一九2 九2 九；， ( 一h o b ；+ 缱明) 九2 一九2 九j 允2 ，一九；危3 + 九2 九5 ) 允i 一九 忍；尼2 ，( 一九； 2 + 九! 危；) 九i 一九2 允5 2 ，( 一九2 九j + 允l 九3 ) 九i 一九2 九； 2 米砖九挚共有6 个生成元。 h i l ，i 2 生( 一砖砖+ 2 + 磅+ 3 砖) 危挚一砖( 一，h 。i 。2 ，i 一- 。3 i 2 + 2 + 挚+ 3 h 1 2 ) ，其中一九允 + 2 九挚 c h a p t e r3 上同调群 1 3 只能是砖砖韵微分中项。故任何含h i l h i 2 的线性组合不可能在k e r 中，产 生6 个像。 ( 一 o 2 h # o ) h 一h g ( 一九5 危i + 九2 危j ) ，( 一h o b ；+ 忍；九2 ) 九；一h o ( - h 2 h 2 + 允2 1 ，。3 2 ) ， ( 一h o b ；+ 3 2 ，。3 0 ) 危2 一h o ( 一九i 危；+ 九2 2 ，。3 3 ) ，( 一九；允i + 2 危；) 九；一九5 1l 一，。2 2 ，b 0 + 九5 允；) ， ( 一 2 1 ，。3 3 1 - ，。0 2 ，。3 1 ，。3 5 一碓( 一h 2 h z + 危；危i ) ，( 一九；明+ 九； ；) 危2 一九i ( 一九2 危 + 九；九i ) 。 共有5 4 个生成元在k e r 中。 九2 0 ，6 2 1 ，允0 2 ，6 2 2 ， 2 0 ，6 2 3 ，九2 1 ，6 2 2 ，九2 1 ，6 2 3 ，九2 2 ，6 3 2 ，危3 0 ，6 3 1 ，尼3 0 ，6 3 2 ， 3 0 ，6 3 3 ，九3 1 ，6 3 2 ，危3 1 ，6 3 3 ， 允3 2 ，6 3 3 ，允0 2 ，6 3 0 ， 0 2 ，6 3 1 ，危0 2 ，6 3 2 ，允0 2 ，6 3 3 ，九2 1 ，6 3 0 ，九2 1 ，6 3 1 ，危2 1 ，6 3 2 ，危2 1 ，6 3 3 ，九2 2 ，6 0 3 ，危2 2 ，6 3 1 ， 九2 2 ，6 3 2 ，九2 2 ，6 3 3 ，九2 3 ，6 0 3 ， 3 2 ，6 3 1 ，允2 3 ，6 3 2 ，允2 3 ，6 3 3 ，( h 2 + h 2 ) ( h j + 九i ) ，九0 2 ，6 4 0 ，九2 1 ，6 4 1 ， 危2 2 ，6 4 2 ，九3 2 ，6 4 3 ，九2 2 ，6 4 0 ，危3 2 ，6 4 1 ，九0 2 ，6 4 2 ，九2 1 ，6 4 3 ， 2 ( 九j + 危i ) ，九；( 允2 + 允i ) ，九! ( 危j + 危i ) ，碹( 允2 + 镌) ，明( 允2 + 磕) ，磁( 础+ 允i ) ，九3 2l ，。4 0 + 九i ) ， 允2 ( 九2 + i ) ， 九3 0 k ，6 4 1 t ，。4 3 ) ，允3 1l ，6 4 1 1 - ，6 4 3 ) ，忍3 2 k ，6 4 1 - r ，6 4 3 ) ，九3 3l ，。4 1 _ r ，6 4 3 ) ，允2 九5 一九i 允2 + 九2 2 + 九j 允2 ， 九 明一醒鹂+ 蛆醒+ 镌醒， 九5 2 ，。2 3 一危2 镌+ 镌镌+ i 九；， h o b 一h l h ；+ 允2 允i 一九2 允2 ) 。 h 2 = k e r c 2 i m c i 3 5 ，6 0 2 一九5 1 ，6 2 3 1 ，6 4 3 ，6 3 3 1 - ，6 4 0 ，6 3 3 ， 一_ _ l ，6 0 2 ，6 2 1 ，九0 2 ，6 2 3 ，九2 1 ，6 2 2 ，九2 2 ，6 2 3 ， 3 0 ，6 3 1 ，危3 0 ，6 3 2 ， 3 0 ，6 3 3 ， 3 1 ，6 3 2 ，危3 1 ，6 3 3 ，允3 2 ，6 3 3 ，九0 2 ，6 3 0 ， 0 2 ，6 3 3 ，危2 1 ，6 3 0 ，九2 1 ，6 3 1 ， 2 1 ，6 3 3 ，九2 2 ，6 3 0 ， 2 2 ，6 3 1 ， 2 2 ，6 3 2 ，九3 2 ，6 3 0 ，允2 3 ，6 3 1 ，九2 3 ，6 3 2 ，危3 2 ，6 3 3 ，( h o + 九4 2 八，6 4 1 广，6 4 3 ) ，危2 0 ，6 4 0 ， 2 1 ，6 4 1 ，允2 2 ，6 4 2 ， 2 3 ，6 4 3 ，九2 2 ，6 4 0 ，九3 2 ，6 4 1 ，危2 0 ，b 4 2 ，九2 1 ，6 4 3 ，九2 ( 九j + c h a p t e r3 上同调群 1 4 i ) ，九2 1 ( 九2 + 磕) ， 2 2 l ，q 1 + 九i ) ，h 3 ( h 2 + i ) ， 九2 ( 九2 + 磋) ，九j ( 九2 + 九2 ) ， 3 2 l ，b 4 0 1 - ，6 4 2 ) ，九3 3 l ，6 4 0 1 - ，b 4 2 ) ，九3 0 l ，6 4 1 1 - ，钮3 ) ，九3 1l ，6 4 1 r ，q 3 ) ，危3 2 ，6 4 1 1 - ，q 3 ) ，九3 3 l ，6 4 1 - r q 3 ) ， 九5 0 ，6 2 1 一九5 2 ，6 0 2 1 ，q 0 ，6 3 0 t ，。4 1 ，。3 0 ，九5 1 ，6 2 1 一 5 3 ，6 2 1 1 _ ，6 4 1 ，。3 1 t ，。4 2 ，。3 1 ，九；忽2 一九2 ；+ 危i 九；+ 九i 九；， 醒明一聪明+ 硬磋+ 九4 0 ，。3 3 ，h o b 5 一砚镌+ 醒碣一九3 5 ，。0 3 ) 。共有4 8 个生成元。 i m c 2 = 一九2 0 心2 ( 理+ 镌) ，一九2 1 ，6 3 2l ，q 1 + 九i ) ， 一h o h ；h j + ，h 。2 i ，。, 2 3 ，。4 0 ，一，h 。2 0 ，h 。2 2 ，h 。4 3 + ，h 。2 i 。, 2 3 ，。4 0 ， 一九2 1 ，6 2 3 明+ 鹕镌磁，叼h o 唧h l 叼3 ，叼h o 唧w l 叼，2 ，h ir , 2 叨1 3 唧h o 忱2 3 ，允2 明九l ，h i 1 1 仞, 3 ，h 。3 2 ，。2 2 ，。2 0 ，h 。3 3 ，。3 2 ，n 。2 1 ，h 。3 0 ，。2 1 ，一。2 3 ，h 。3 i ，r 。, 2 2 ，h 。0 2 ，九；允2 允5 ，h 。3 3 ，l 。2 0 ，。2 2 ，允2 九2 2 ，h 。2 i ，。0 2 ，r 。, 3 1 ， 叼h 2 叼1 2 ，屹h 3 叼2 1 3 ，理醒碌，h i - 1 1 3 磅镌础，h 3 h 3 ，印1 九0 2 ，6 2 1 镌+ 叼h i 叼3 ，1 印0 九2 1 ，6 2 2 九2 一，h 。0 2 ，。2 2 ，。3 1 ，允2 2 ，。3 2 九2 一，h 。2 i ，1 - 。, 3 2 ，1 。3 2 ，h o h 2 h 一h o h ；h i 九2 0 ，6 3 1 危；+ 九2 九2 允 ， 允；嘲镌- - i - 明码允；，h ；h o h i 一唧h 1 2 ，3 ，明明镌，唧h o 叼 1 h 3 ，鸸鸺碌唧h 2 叼1 叼3 ， 一h o h h 2 + ，h 。2 3 ，。3 0 ，、。3 3 ，磅镌鸺+ 鲤明码， ( 一h o b ；+ 九2 3 ，6 3 0 ，6 4 0 + ，h 。0 5 ，。, 0 2 ，1 1 。2 2 ， ( 一九；尼2 + 九2 1 ，。3 2 ，。4 0 + 九2 九2 允；， ( 一h o b ；+ 镌允2 ) 九j + 危2 九5 ；， ( 一九；危2 + 允! 允；) 九j + ，h 。5 2 ，。2 1 ，。1 2 3 ， ( 一h o b ；+ 九3 2 ，。3 0 ，。4 2 一九2 忽2 ；， ( - h 2 2 h 2 + 九；九；) 允i 一，h 。5 e ，r 。2 0 ，。, 2 2 ， ( 一h o b ；+ 九3 2 ，6 3 0 ，6 3 4 一，h 。0 5 ，h 。2 1 ，1 。3 2 ， h ；h o h j + 码玛碌 明码镌+ 屹h 2 2 ，3 ， ( 一h x h ；+ 允0 2 ，6 3 1 ) 允2 + ，h 。5 i ，t - 。2 0 ，。2 2 ， ( 一九2 允 + 允2 2 ，6 3 3 ) 九2 + ，h 。3 5 ，h 。0 2 ，。2 2 ， ( 一九! 九i + 2 尼j ) 九j + 码镌， ( 一九2 危5 + 九2 2 ，。3 3 ) 九j + 2 危；九2 ， ( 一九3 九2 + 危0 2 ，。3 1 ，。4 2 一九 九2 允；， ( 一允2 危5 + 允l 危；) 允i 一，h 。5 3 ，1 。2 0 ，。2 2 ， ( 一九! 允2 + 2 九j ) 九2 一，h 。5 l ，h 。2 l ，r 。, 3 2 ， c h a p t e r3 上同调群 1 5 ( 一危；允2 + 九2 1 ，。3 2 ，。4 3 一九2 忍；九2 ，( 一九2 危 + 九； i ) 危i 一，h 。5 3 h 。2 l ，h 。3 2 ， ( 一h o b ；+ h 3 h o ) h 一h o ( - h 5 h i + 九0 2 ，。3 1 ) ，( - h o h ；+ 九；九2 ) 镌一h o ( - h l h 3 + 九2 1 ，。3 2 ) ， ( 一九2 镌+ 危2 明) 醒一九2 ( 一九2 允j + 危2 2 ，。3 3 ) ，( 一h x h i + h o h l ) h 2 一碓( 一九；九2 + 允2 1 ，。3 2 ) ， ( 一九2 1 ，。3 3 1 - ，。2 0 ，。3 1 ，。5 3 一h i ( 一九2 3 ，。3 1 1 - ，。2 2 ，。3 3 ) ，( 一镌允2 + 醍镌) 醒一镌( 一九2 允j + 镌忍2 ) 。) 共 有6 6 个生成元。 三、h 3 ：c 3 中有= 5 6 0 个生成元。 来九 磅：磅- 生0 ，共有4 个生成元，均在k e r 中。 米磕，h i 2 - 。3 i 3 立0 共有4 个生成元，均在k e r 中。 米醒 砖：生0 共有2 4 个生成元，均在k e r 中。 米叼h i l 叼l ，i 2 叼1 , j 生0 共有2 4 个生成元，均在r 中。 米磅砖：磁乌一九爹 挈鸸鸸+ 2 共有2 4 个生成元，产生的像只有一个 2 尼! 镌缱。 故有2 3 个在k e r 中。它f 门是 2 九2 允5 ，九2 九2 允；， 2 九2 2 ，h 。4 0 ，1 。2 1 ，h 。2 2 ，九2 允；凡2 ，h 。4 l ，。0 2 ，。2 1 ， 允j 允! 九；，九j 九；九；，h 。4 i ，厶。0 2 ，。1 2 3 ，允i 允；九2 ， i 九2 危5 ，h 。4 2 h 。0 2 ，h 。2 2 ，九i 允2 危2 ，h 。4 2 ，1 。2 1 ，h 。2 2 ，允i 允l 允2 ， ，h 。4 3 ，- 。2 0 ，, 。2 1 ，h 。4 3 ，。2 1 ，。, 2 2 ，h 。4 3 。2 1 ，。3 2 ，九2 允2 允2 ，h 。4 3 ，。2 2 ，。, 2 3 ，九0 2 ，6 2 2l ，6 4 1 广，6 4 3 ) ，九2 1 ，6 2 3 ，6 4 0 1 - ，6 4 2 ) ， 危2 1 ，6 3 2 镌+ 鬯h o 咒，3 3 。 米鸸堵砰共有2 4 个生成元。 h i 。t ，it - - 。i + 1 乌一啦磅h 砖卜3 h i 而一屹h i 屹厶i + 1 砖+ 。3 h i 只能在h i 。h ，ih ，i + 3 的微分中出 现。而必磁磕。3 尚未出现。故不在k e r 中，产生4 z f fo 1 3 0 ，鬯h o 咒, 1 叼2 ，坳1 ，h 。2 1 ，。2 2 ，h 。3 2 。4 2 ，h 。0 2 ，。, 2 2 ，。3 2 ，h 。4 3 。 镌磁九2 乌0 ，4 ：i 删e k e r 0 0 。 h i 。 , ，ih ，i + 3 生h i 。1 , i 。+ 1 碜3 磁= d ( 一叼h i 叫h ii , 。i 4 + 1 ) ，士f r , l o 2 , 0 4 。柑43 1 _ h i 2 h i ，h 。4 i + 1 虫0 ：i f e k e r 。 h i 。h ，i + 1 九2 生h i 。h i 。+ 1 磕+ 。3 九2 ，而叼h i 唧i , i + 1 ，妒3 h i + 2 只能在h i 。h ，i + 3 危2 的微分 中。但是他九3 允纩2 还未出现，故心，矿1 九妒27 1 ：2e 外1 ，蚪1 ，m 一。( r 2 ) 心 m 是霹，。，m 的子商模。由霹，m = o 知，对应同分次的霹，。，m = 0 。 订( 九： ；h ：九；) m ( h 2 h e h 2 h 2 ) = 1 2 8 = 3 m ( 危； ；九；) = 9 7 1 2 m ( ； ； ；) = 11 + 9 1 2 m ( h 2 h 3 h 3 ) = 1 3 - - - + 1 1 1 2 同上 m ( 咙蛭燃) = 1 7 1 5 1 2 。有m ( h 3 h 2 h 2 h 2 ) = 1 4 ，但是蝣镌鸠蝣是蟾咙微 分中的项。 m ( 赡蝣燃) = 1 7 _ 1 5 1 2 同上 m ( 咙鸠蝣) = 1 7 1 5 1 2 m 上 m ( 憾燃心) = 1 9 1 7 1 2 。有m ( 燃镌九；蛭) = 1 6 ，m ( 燃蝣蝣砖) = 1 6 需要考 虑t 次数。 m ( 九：九； ；) = 1 9 1 7 1 2 3 0 c h a p t e r4 高阶m a y 微分3 1 m ( h 5 h 2 h 4 ) = 1 9 - 一1 7 1 2 m ( 危5 i ，。3 i + 1 h ：) = 1 9 - - * 2 1 1 9 ，有m ( h 3 h 3 h 3 h 2 ) = 1 8 ，? 汀( 九：危；危；尼；) = 1 8 ，_ ? 订( 尼； ；九；忍；) = 1 8 。需要考虑t 次数。 考虑t 次数。 p 3 一l l t ( h ；) , p 2 一ll t ( h ；) , p 3 1 十右( 忍；) t ( h 3 h a h 4 ) = 亡( ；) ，亡( 九：九；允；允；) = 亡( 九；) 亡( ；) ，m ( h 3 h 3 h 2 h 2 ) 1 ( 九；) t ( 蛇惦蝣) 可能是亡( 悖) + t ( h ；2 ) 一t ( h ；3 ) 或者是亡( 蝣) ( 同第一个相同，不用考 虑) 。舌( 允：尼；九；九；) = 舌( 九；) ( 尼 ) + ( 危孑) 一亡( 忍挚) ，m ( h 3 h 3 h 2 h 2 ) 芒( ) + t ( h 2 ) 一t ( h ；3 ) t ( h s h 2 h 4 ) - t ( h 2 ) 一亡( 危；) ，t ( ：忍；允；允；) = 亡( 危；) 亡( 九；) 一( 九；) ，订( ；九； ；九；) t ( 咙) 一亡( 蝣) t ( 允5 i ，。3 i + 1 i ) = o 。古( 尼；忍； ；庇；) o ，亡( 庇：尼尼；危；) = 亡( ；尼；庇；) o ，亡( 九；九；尼；九；) = t ( h s h 2 ) o ，亡( 允：九；忍； ；) = 亡( 忽；) o ，订( 九；允； ；九；) 0 同理当8 = 2 , s = 1 时，也成立。 故得到d r = o o 8 3 ) ，( r 2 ) 。 致谢 非常感谢我的导师王向军教授，是王老师引导我开始对代数拓扑的研 究，可以说如果没有王老师对我的教导和鼓励，我也不会有如此大的进 步。另外，王老师还教会我们做人的道理，并且对我生活给予了极大的关心 和帮助，借此机会向王老师表示衷心的感谢。同时，我还要感谢所有传授 我知识的南开数学学院的老师们，还有和我一起学习的同学们。 3 2 b i b l i o g r a p h y 【1 】a d a m s ，j e ，s t a b l eh o m o t o p ya n dg e n e r a l i s e dh o m o l o g y u n i v e r s i t yo f c h i c a g op r e s s ，c h i c a g o1 9 7 4 【2 】h e n n ，h w ：，c e n t r a l i z a t i o no fa b e l i a np s u b g r o u p sa n dm o d - pc o h o m o l o g y o fp r o f i n i t eg r o u p s ，d u c km a t h j 9 1 ( 1 9 9 8 ) ，5 6 1 5 8 5 3 】l i u ，x a n dw a n g ，x ，af o u r - f i l t e r e dm a ys p e c t r a ls e q u e n c ea n d i t sa p p l i c a - t i o n s ，t oa p p e a ro na c t a m a t h s i n ( e n g l i s hs e r ) 4 m a y , j p ，t h ec o h o m o l o g yo fr e s t r i c