（基础数学专业论文）双线性化boussinesq方程研究.pdf

扬州人学硕j ：学位论文 摘要 双线性变换方法是由r 本数学家ah i r o t a 引入的一种求解非线性偏微分方程的 直接方法，其基本思想是通过变换将一个非线性偏微分方程改写成双线性导数方程， 并由双线性导数方程的解而得到原方程的解双线性变换方法的优点是并不需要所研 究的非线性偏微分方程具有l a x 对，即可用于许多不可积方程的研究但是，究竟什么 样的非线性偏微分方程可以写成双线性导数方程? 一个非线性偏微分方程与相应的双 线性导数方程之间是否( 局部) 等价? 这些问题长期以来并没有得到解决 b a e c k l u n d 变换是由瑞典几何学家a vb a e c k l t m d 给出的负常高斯曲率曲面之间的 一个变换，现已成为求解非线性偏微分方程的一种重要方法，其基本思想是将一个非 线性偏微分方程的求解转化为两个相容的一阶常微分方程的求解许多重要的方程， 如s i n e g o r d o n 方程和k d v 方程，都有b l i c k l u n d 变换，由此可生成这些方程的多孤子 解 本文以b o u s s i n e s q 方程为例，研究上述两个方面的问题首先说明从该方程的任 意一个解，可以得到相应的双线性化b o u s s i n e s q 方程的解，并由此证明b o u s s i n e s q 方 程与双线性化b o u s s i n e s q 方程之间局部等价，同时我们给出两个例子，说明如何由b o u s s i n e s q 方程的平凡解而得到双线性化b o u s s i n e s q 方程的( 非平凡) 解从b o u s s i n e s q 方程到双线性化b o u s s i n e s q 方程解之间的变换可看成是由一个常微分方程( 关于其 中一个自变量求导，而把另外一个自变量看成参数) 定义的变换，其初始条件满足某种 限制条件这种变换不同于经典的由两个一阶常微分方程定义的b a e c k l u n d 变换，是一 种新的b a e c k l u n d 变换 本文的方法适用于其它非线性偏微分方程的研究 关键词：b o u s sin e s q 方程；双线性变换；b a e c k l u n d 变换 2 一 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 a bs t r a c t b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，a i li n g e n i o u sm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w a sf i r s td e v e l o p e db yj a p a n e s em a t h e m a t i c i a nr h i r o t a t h i sm e t h o dc o n s i s t s o ft r a n s f o r m i n gan o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oab i l i n e a re q u a t i o nt h r o u g ha d e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n t h eb i l i n e a re q u a t i o nt h u so b t a i n e dc a nb es o l v e db y e m p l o y i n gap e r t u r b a t i o nm e t h o d t h ea d v a n t a g eo fb i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o di st h a t t h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n v e s t i g a t e dd o e sn o tn e c e s s a r i l ya d m i tal a x p a i r s oi tc a nb eu s e dt os t u d ys o m en o n - i n t e g r a b l ee q u a t i o n s b u tw h a tc o n d i t i o n sa l l o wf o rt h e b i l i n e a r i z a t i o no fag i v e nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ? w h a ti st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nan o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n di t sb i l i n e a r i z e de q u a t i o n ? t h e s e q u e s t i o n sh a v en o tb e e na n s w e r e di ng e n e r a l b a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，n a m e da f t e rt h es w e d i s hg e o m e t e ra vb a e c k l u n dw h of i r s t g o tat r a n s f o r m a t i o nt h a tr e l a t e sp a i r so fs u r f a c e so fc o n s t a n tn e g a t i v ec u r v a t u r e ，i sa n o t h e r m e t h o df o rf i n d i n gs o l u t i o n so fs o m ec l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e b a s i ci d e ao ft h i sm e t h o di st h a tf r o mag i v e ns o l u t i o no fan o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，o n ec a no b t a i na n o t h e rs o l u t i o nb yo n l ys o l v i n gt w oc o m p a t i b l eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a n yf a m o u sn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s u c ha s s i n e - g o n d o ne q u a t i o na n dk d ve q u a t i o n ，a d m i tb a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，a n dt h e n m u l t i p l e s o l i t o ns o l u t i o n sc a l lb ec o n s t r u c t e db yt h e s et r a n s f o r m a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w et a k eb o u s s i n e s qe q u a t i o na sa ne x a m p l et os t u d yt h ea b o v em e n t i o n e d t w op r o b l e m s f i r s t ，w es h o wt h a tf r o mag i v e ns o l u t i o no fb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，o n ec a n o b t a i ns o l u t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gb i l i n e a r i z e de q u a t i o n t h e r e f o r eb o u s s i n e s qe q u a t i o n a n di t sb i l i n e a r i z e de q u a t i o na r el o c a l l ye q u i v a l e n t w eg i v et w oe x a m p l e st oi l l u s t r a t eo u l m e t h o d t h et r a n s f o r m a t i o nf r o ms o l u t i o n so f b o u s s i n e s qe q u a t i o n t ot h a to ft h e b i l i n e a r i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o ni sd e f i n e db ya no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( w i t h r e s p e c tt o o n ei n d e p e n d e n tv a r i a b l ea n dt a k i n gt h eo t h e ri n d e p e n d e n tv a r i a b l ea sa p a r a m e t e r ) w i t hi t si n i t i a lv a l u e ss a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n t h i st r a n s f o r m a t i o ni sd i f f e r e n t f r o mt h ec l a s s i c a lb a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nd e f i n e dv i at w o c o m p a t i b l eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u ts t i l lt r a n s f o r m st h ep r o b l e mo fs o l v i n gan o n l i n e a rp a r t i a l 3 一 扬州人学硕j ：学位论文 d i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ot h a to fs o l v i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s oi ti san e wt y p eo f b a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n o u rm e t h o d si nt h i st h e s i sa r ea p p l i c a b l et oo t h e rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n ；b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ；b a e c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n 4 一 扬州人学硕上学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导f 独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：钾；勺 签字日期： p 7 年i y 月，日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名： 钾；翻 f q 签字嗍：唧掣堋邝 导师签名： 、榴芳 签字日期：2 嘭阵f 月厂日 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 0 引言 孤立子理论起源于英国著名科学家j s r u s s e l l 在1 8 3 4 年的一个偶然发现， 但他始终未能从理论上解释所观察到的物理现象直到1 8 9 5 年荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 给出了一个浅水波方程( 称为k d v 方程) ，并且得到了与r u s s e l l 描述一致的孤立波解，从而在理论上证实了孤波解的存在然而，由于对于非线性 偏微分方程解的叠加原理不再成立，当时人们并不知道这种波是否稳定以及两个孤立 波碰撞后是否发生形变到了1 9 6 4 年，美国科学家k r u s k a l 和z a b u s k y 利用计算机通 过数值模拟详细研究了这类孤立波碰撞的非线性相互作用过程，发现孤立波的形状和 速度在碰撞后保持不变，具有类似于粒子碰撞后不变的性质，因此他们把这种孤立波 称为孤立子，并由此开创了一个崭新的研究领域 随着研究的深入，人们在各个物理领域得到了一大批具有孤立子解的非线性波动 方程，如非线性s c h r o e d i n g e r 方程、t o d a 链、k p 方程这些方程具有共同的性质，如 存在l a x 对和无穷守衡律、存在等谱流和非等谱流且相关的等谱方程族构成无穷维 h a m i l t o n 系统同时，人们也发展了很多求解这类非线性偏微分方程的方法，如反散射 变换、b a e c k l u n d 变换、双线性变换反散射变换方法在一定程度上可以看成是非线性 问题的f o u r i e r 分析方法，是求解非线性偏微分方程的一个重大突破：b a e c k l u n d 变换 最初是在研究负常曲率曲面时得到的，后来用来求解许多非线性偏微分方程：而双线 性变换方法是由日本数学家h i r o t a 引入的一种直接方法，其基本思想是通过变换将 一个非线性偏微分方程改写成双线性导数方程，并由双线性导数方程的解得到原方程 的解双线性变换方法的优点是并不需要所研究的非线性偏微分方程具有l a x 对，即 可用于许多不可积方程的研究但是，究竟什么样的非线性偏微分方程可以写成双线 性导数方程? 一个非线性偏微分方程与相应的双线性导数方程之间是否( 局部) 等价? 这些问题长期以来并没有得到解决 本文以b o u s s i n e s q 方程为例，说明对于该方程的任意一个解，可以得到相应的双 线性化b o u s s i n e s q 方程的解，并由此证明b o u s s i n e s q 方程与双线性化b o u s s i n e s q 方 程之间局部等价从b o u s s i n e s q 方程到双线性化b o u s s i n e s q 方程之间的变换由常微 分方程来定义，其初始条件满足适当的限制条件这一变换不同于经典的由两个相容 的一阶常微分方程定义的b a e c k l u n d 变换，但仍然是把非线性偏微分方程的求解转化 扬州人学硕j ：学位论文 为常微分方程的求解，因此可理解为是一种新的b a e c k l u n d 变换本文的方法适用于其 它可双线性化非线性偏微分方程的研究 6 一 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 1 双线l 生导数 本节给出双线性导数的定义和一些基本性质 设f ，g 是变量，z 的可微函数，m ，刀是非负整数双线性导数定义如下： 口m q ”( 厂g ) = ( 4 引”( 屯一a r ) 一 ( x ，t ) g ( x ) l l ，叫一 例如，当m = 0 ，门= 1 时， d x o f g 、= 疋g fg x ， 当m = 0 ，刀= 2 时， 见2 ( 厂g ) = 厶g 一2 六+ f g 。， 当m = 力= 1 时， d t d x o f g 、= f n g - f g , 一氕g x + fg 。， 当m = 0 ，n = 4 时， 见4 ( 厂f ) = 2 ( 儿- 4 l 厶十3 名) 由定义可以得到双线性导数具有如下性质： 命题1 q ”( 厂1 ) = 矿f l s x ”， d ? ( 厂。g ) = ( 一1 ) 朋d ? ( f g ) ， m 为奇数时，皿”( 厂厂) = 0 ， q 口( 1 ) = q 口( 1 厂) = 0 2 f o x o t ， q 2 肿1 ( z g ) = 圭皿2 m + l 口( 厂g ) 命题2 证明： ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) e x p ( e d x ) f ( x ) g ( ) c ) _ ：( x + s ) g ( x - 6 ) ( 1 1 1 ) e x p ( e d ，) ( z ) g ( z ) 】 7 一 扬州人学硕j ：学位论文 = 薹丢( 昙一旦0 x ) ”删们乩， 2 丢备n 委f ( 一1 ) e 面0 5 f 瓦a - 磊 g ：争争! 二! 匕! ：型盟 鲁怠s ! ( 玎一s ) ! o x 5o x ”5 ：型生丛堂 - s = oj ! o x 5 磊，z ! o x ” = f ( x + 占) g ( x s ) 注： 1 若厂( x ) = e x p ( p l x ) ，g ( x ) = e x p ( p ：x ) ，则在上述公式中比较占”的系数得到： p ? e x p ( p l x ) e x p ( p 2 x ) 】= ( p l 一仍) me x p ( p l + p 2 ) z ( 1 1 2 ) 2 令f ( 见，d f ) 是皿和口的多项式函数，则 ，( d f ，p ，) e x p ( f 2 i f + p l x ) e x p ( q 2 f + p 2 x ) ：坐芝删f ( d t ，破) e x p ( q l + q 2 ) f + ( p l + p 2 ) x ) 】1 ( 1 1 3 ) f ( f 2 l + q 2 ，p l + p 2 ) 7 “一一 “”1 此表汰式存求解n 孤子解时非常有用 命题3 e x p ( e d x + 万口) ( 厂g ) = e x p s i n h ( 日0 o x + 6 0 o t ) i n ( f g ) 8 一 + c o s h ( a 9 0 x + 6 0 o t ) l n ( f g ) ( 1 1 4 ) 证明： 设厂= f ( x ，) ，g = g ( x ，) 由( 1 1 1 ) 得到 e x p ( t r d ，+ 6 口) ( 厂g ) = f ( x + e ，+ 5 ) g ( x - s ，t - 8 ) ( 1 1 5 ) 而( 1 1 4 ) 的右边可进一步化简为 e x p 专1 n f ( x + 6 ，f + 8 ) g ( x + e ，t + 万) 】 - 吉l n f ( x s ，f 一万) g ( x - f ，f - 8 ) 】 + 吉l i l ( x + s ，t + 万) g ( x + g ，f + 万) 】 + 专l n 【( x g ，f 一6 ) g ( x s ，r 一万) ) 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 = e x p l n f ( x + s ，f + 6 ) g ( x - e , ，f 一万) 】) = 厂( x + 占，f + 万) g ( x f ，r 一艿) 由( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 即得( 1 1 4 ) ( 1 1 6 ) 注： 1 ( 1 1 4 ) 在将双线性化方程转换为原始的非线性偏微分方程时非常有用 2 令矽= i n ( f g ) ，p = h a ( 店) 在公式( 1 1 4 ) 中，令万= 0 ，两边展成占的级数并比较 s 各次幂的系数得到 皿( 厂g ) 】詹= 织， ( 1 1 7 ) 【皿2 ( g ) 】居= 氏+ ( 纯) 2 ， ( 1 1 8 ) p 。3 ( 厂g ) 】f g = 死+ 3 织p 。+ ( 以) 3 ， ( 1 1 9 ) 皿d ，( 厂g ) 】f g = 几+ 九 ( 1 2 0 ) 3 e x p ( 玻) ( 厂g ) = e x p 2 c o s h ( e 0 0 x ) i n g e x p ( e a o g x ) ( f g ) 】， ( 1 2 1 ) 在公式( 1 1 4 ) 中令万= 0 得到， e x p e x p ( e 0 p x ) h a ( f g ) = e x p l n f ( x + f ) g ( x + f ) 】) = f ( x + s ) g ( x + s ) = e x p ( e a o x ) ( f g ) ( 1 2 2 ) 命题4 设f = g ，则 c o s h p q ) ( 厂f ) = e x p 2 c o s h ( x 3 0 x ) l n f 】 ( 1 2 3 ) 令“= 2 ( 1 n f ) 黯，u n x = o u o x ”( 即= o ，1 ，2 ，) ，在( 1 2 3 ) 中比较占各次幂的系数得到 见2 ( 厂f ) f 2 = u ， ( 1 2 4 a ) 皿4 ( f ) f 2 = 甜2 ，+ 3 u 2 ， ( 1 2 4 b ) 或6 ( 厂f ) f 2u 4 ，+ 1 5 u u 2 ，+ 1 5 u 3 ( 1 2 4 c ) 命题5 e x p ( d r ) e x p ( d 2 ) ( 厂g ) e x p ( d 3 ) ( 办厂) 】 = e x p 吉( d 2 0 3 ) e x p 圭( d 2 + d 3 ) + d l 】( 厂，_ ) ) e x p ( d 2 + b ) 一q 】( 厅g ) ) ， ( 1 2 5 ) 9 一 扬州人学硕上学位论文 其中 q = q + 4 d | ，_ ，= 1 ，2 ，3 ， 而0 ，t 为任意常数 证明： e x p ( d i ) + 幺，+ 嗄) g o 一岛，一如) 】 h ( x + 6 3 ，+ 磊) ， 一毛，一磊) 】 = f ( x + s 1 + s 2 ，f + 点+ 岛) g ( x + 毛一岛，t + 4 一岛) x h ( x q + 毛，f 一4 + 磊) ，( x 一蜀一岛，t 一匹一磊) 而 e x p 吉( d 2 一b ) 【厂( x + 岛+ ( 岛+ 毛) 2 ，f + 磊+ ( 色+ 6 3 ) 2 ) x r ( x q 一( 岛+ 6 3 ) 2 ，一磊一( 疋+ 6 3 ) 2 ) 】 【办( x q + ( s 2 + 毛) 2 ，f 一磊+ ( 乏+ 8 3 ) 2 ) x g ( x + q 一( 岛+ 岛) 2 ，f + 4 一( 疋+ 磊) 2 ) 】 = f ( x + e q + 乞，t + 4 + 岛) r ( x 一毛一岛，f 一4 一岛) x h ( x 一毛+ e 3 ，一点+ 4 ) g ( x + s j 一岛，t + 4 一嘎) 注：适当选择勺，4 可以得到下列公式： 乜( g ) h r f g 破( 办，) 】= 皿( 厂h ) g r f h 【皿( g - ，) _ 见( 夕咖) ， ( 1 2 6 a ) 皿 【口( 厂g ) h r + 店 d f ( 办r ) 】) = ( 口q ( 厂，) g h 一少【q b ( g 忍) 】+ 【皿( 厂，) 】 口( g 办) 】 _ 口( f ，) 】 见( g 厅) 】， q 2 ( 厂g ) h r f g 皿2 ( 办，) 】= 皿【q ( 厂r ) h g + f r 【见( 办g ) 】， q 3 ( g ) h r 一店 q 3 ( 办，) 】 = q 3 f r h g + 3 乜 q 2 ( 厂，) h g + 2 q ( 厂，) q ( 办g ) + 少【或2 ( 办g ) 】， 见4 ( 厂f ) h h - f f q 4 ( 办乃) 】 = 2 皿 q 3 ( 厂乃) 纱+ 6 皿【q 2 ( 厂h ) q ( 乃厂) 】 2 2 q 见( 厂力) 矽】 1 0 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 命题6 e x p ( s d ，) ( 厂g ) h r + f g e x p ( s d ，) ( 办，) 】 = e x p ( s d ，) ( 厂，) 蛔+ f r e x p ( s d ，) ( 办g ) 】 - e x p ( s d ，2 ) 2 s i n h ( s d x 2 ) ( f 办) 】 2 s i n h ( s d j 2 ) ( g ，) 】 ( 1 2 7 ) 扬州火学硕 ：学位论文 2 双线性化b o u s sin e s q 方程 本节给出b o u s s i n e s q 方程 u t ，一一一3 ( “2 ) 。= o 的双线性化形式，并由此得到b o u s s i n e s q 方程的孤子解 令u = m ，则b o u s s i n e s q 方程变形为 嵋玎一一一3 ( 毗2 ) 。= o ( 2 2 ) 式两边对x 积分一次，并取积分常数为0 ，得到 一w 。一一3 k 2 上= 0 ， 令w = 2 ( i n f ) ，爿f x c x 积分一次同时取积分常数为0 ，得到 ( 1 n f ) 打一( 1 n f ) 。一( 1 n 厂) 一一6 ( 1 n f ) 。2 = o 由于 ( h a = 专( 一彳2 + 训， ( 1 n t l = 7 1 ( - 七+ 尻) ， ( 1 n 厂k = 专( - 3 蜣刀+ 2 f + 厂2 厶) ， ( 1 n 厂k = 专( _ 3 厂2 允一4 厂2 六厶+ 1 2 f l 2 丘一6 + 厂3 厶) 将( 2 5 ) 各式代入方程( 2 4 ) 得到 一f 2 + i f , 七；争 j 。一铂。“髓嗽一 j 一蝇 由( 1 3 ) ( 1 5 ) 式，( 2 6 ) 可以改写成 ( q2 一见2 一d x 4 ) 驴厂) = 0 ， 此即为b o u s s i n e s q 方程的双线性形式 由此我们有下面的结论： 定理1 若f ( x ，f ) 是双线性化b o u s s i n e s q 方程( 2 7 ) 的解，贝j ju ( x ，f ) = 2 ( i nf ) 。一定是 b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的解 1 2 1 2 3 4 a b v d 6 7 渤 挑 强 捌 嘶 邹舒双线件化b o u s s i n e s q 方程研究 下面我们利用定理1 来求b o u s s i n e s q 方程的孤子解 f o = 常数，一= e x p ( k 。x 一缈i f 一万) 均为解，代入方程( 2 7 ) 得 ( d 2 一q 2 一皿4 ) “厶) = f o ( d , 2 一皿2 一眈4 ) ( z ) = f o ( q 2 一皿2 一皿4 ) e x p ( k l x c o l t 一4 ) - - f o ( o - d 1 2 一k 1 2 k 1 4 ) e x p ( k l x 一皑卜4 ) = 0 ， 得到b o u s s i n e s q 方程的色散关系为 凡是p 只( g = k , x - t t ，只要哆= 岛2 + 勺4 ) 就是解， | v 设厂= p 巳，令形式摄动 j = l 代入( 2 7 ) 式，得 ( d f 2 一口2 一或4 ) ( 厂f ) 即 f ( x ，t ) - - s ”以( x ，f ) ， n = o 2 ( 口2 一见2 一见4 ) l s ”z ( z ，) s “z ( z ，f ) l n = on = o 2 c d t 2 _ d x 2 - 蚋烈鼽一， = o 化简即得 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 力 占”( d ，2 一皿2 一q 4 ) 一，) = o ， ( 2 1 0 ) n = ot = o 2 ( 口2 一乜2 一协4 ) 眈y o ) + ( 口2 一皿2 一皿4 ) n - i 六一，) ：o ( 2 1 1 ) 当n = 1 时，从( 2 11 ) 可以得到 2 ( 口2 一d x 2 一q 4 ) 抚z ) = 0 ， 令 其中 ( 2 1 2 ) 扬州大学硕上学位论文 1 4 _ - - _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ - _ _ - 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ - _ _ - 。_ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ 一_ 一 所以单孤子解为 当n = 2 时，( 2 1 1 ) 化为 q 2 = 毛2 ( 1 + q 2 ) ， u = 2 ( 1 n f ) 。= 毛2 1 + c o s h ( k l x c o l t 一缶) ( 2 1 3 ) 2 ( d f 2d ，2 一d x 4 ) 帆以) + ( d ，2 一d x 2 一d x 4 ) “z ) = 0 ， ( 2 1 4 ) 此时石由( 2 1 4 ) 给出，即( 2 1 0 ) 可以表示为 即 2 ( d f 2 一d x 2 一破4 ) 饥六) + ( d ，2 一或2或4 ) “z ) = 0 ， ( 口2 一见2 一皿4 ) ( 石石) = ( 口2 一q 2 一皿4 ) ( p b e e 岛) nn nn yy j ，一j ，一 i = l j = l i = 1 7 = 1 ( d r 2 一q 2 一位4 ) ( p 岛) 【( 一q + q ) 2 - ( - k , + t ) 2 一( 一t + 勺) 4 】 岛e j ) i = 1 j = l 所以 = 2 ( 一q + q ) 2 一( 一毛+ 一) 2 一( 一t + t ) 4 ( p 哆) ， l s ， j s n f o 厶= l i j j i = l 以= 篆煮糕舞焉 ( 2 2 0 ) 塑型奎兰堡主兰垡笙奎 一一一1 6 一一 3 b o u s s in e s q 方程和双线性化b o u s s in e s q 方程 之间的局部等价性 对于双线性化b o u s s i n e s q 方程的任意一个解厂( _ ) c ，f ) ，由 甜：2 0 z ) 。， ( 3 1 ) 就可以得到b o u s s i n e s q 方程的解甜( x ，f ) 自然的问题是： b o u s s i n e s q 方程的解是否都能由 上述方法去生成? 或者，双线性化b 。u s s i n e s q 方程与b o u s s i n e s q 方程是否等价? 本节我们 就来回答这个问题 由上一节我们知道，若“( x ，f ) 是b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的解，则 w ( 而f ) = p ( x , t ) d x + c ( ，) ( 3 2 一定是( 2 3 ) 的解，其中c ( f ) 为积分常数”由于 w ，：“，w 肼：“，w 榭：“，w 一= “脚，嵋= i u t 出+ c ，( f ) ，。p ，级+ c ”( r ) ， 代入( 2 3 ) 得到函数c ( f ) 必须满足下面的条件： c 一( f ) = u x + “脯+ 3 ( , 2 ) ，一n d r 同时，若w ( x ，f ) 是( 2 3 ) 的解，则 ( 圳) ：r ( 胁，) 出 一定是双线性化b 。u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 的解，其中r ( f ) 为积分常数”由于 正： 刑p l j 础， 丘：圭他一十 刑2 p 列础， 厶： j 础+ 丢刑叱1 w d x i 1 3 j 一， 厶： 1 w d r 。1 1 w d x + 丢他2 f 础+ 寻m 2 峨e l j 础+ 去刑4 e 3 j 一， ：r f 抄曲畦r 岫卜t c b c ， 丘：厂分j 础+ 扣f 础( j w 出) 2 + 吉，j d x ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 。1 0 ) 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 将( 3 5 ) - ( 3 1 0 ) 代a ( 2 6 ) 得到函数厂( ，) 必须满足下面的条件： 1 7 4 ( ，) 2 4 。一2 r 21 w d x + 2 r 2 w + 2 r 2 m ，掰+ 3 r 2 w 2 = o ( 3 1 1 ) 由此我们得到下面的结论 定理2 u ( x ，f ) 是b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的解，则 ( x ，) ：= ，_ ( f ) p j ( j ”( j j ) 扛+ c ( f ) ) 出 ( 3 12 ) 一定是双线性化b o u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 的解，其中函数c ( f ) 和，( f ) n ( 3 3 ) n i ( 3 1 1 ) 确定 下面两个例子是由b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的平凡解去生成双线性化b o u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 的解 例1 ：u ( x ，r ) 三0 是b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的解，则由( 3 3 ) z 。，1 0 c ( ，) = 2 ( a t + ， 其中口，b 是任意常数于是由( 2 3 ) ， w ( x ，f ) = 2 ( a t + 6 ) 是方程( 2 3 ) 的解这样1 w d x = 2 ( 讲+ 6 ) x ，并且 f ( x ，) = r ( t ) e 讲+ 6 h 下面我们来确定其中的函数，( f ) 此时 正= a t r ( t ) e 讲+ 6 弦， 厶= a 2 ，2r ( t ) e 枷弦， 厶= a 3 t 3 r ( t ) e 枷n ， 厶= a 4 ，4r ( t ) e h ， z = ( a xr ( t ) + r ( f ) ) p 叭6 n ， 以= ( a 2 x 2r ( t ) + 2 a xr 7 ( f ) + ，”( f ) ) e ( 讲+ 6 n 将( 3 1 5 ) - ( 3 2 2 ) 代入( 2 6 ) 得到函数r ( f ) 满足下面的常微分方程 ”= 厂“， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 扬州人学顶t ：学位论文 r ( t ) = e a t + ， 1 8 ( 3 2 4 ) 其中a ，是任意常数从而由b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的平凡解u ( x ，t ) 兰0 得到双线性化 b o u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 的解 f ( x ，f ) = e 讲+ 6 h m ”( 3 2 5 ) 例2 ：u ( x ，f ) 兰4 是b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的解，则由( 3 3 ) 得到 c ( f ) = 2 ( a t + 6 ) ， 其中口，b 是任意常数于是由( 2 3 ) ， ( 3 2 6 ) w ( x ，f ) = 4 x + 2 ( a t + 6 )【3 2 7 ) 是方程( 2 3 ) n n 这样卜出= 2 ( x 2 + ( 讲+ 6 ) x ) ，并且 f ( x ，f ) = r ( t ) e 。2 + ( 讲+ 6 ) 工( 3 2 8 ) 下面我们来确定其中的函数，( f ) 此时 z = ( 2 x + a t + b ) r ( t ) e 。2 + ( n ， ( 3 2 9 ) 厶= ( 2 + 2 x + 口f + 6 ) 2 r ( t ) e 。2 + ( 讲柏p ， ( 3 3 0 ) 二= ( 6 ( 2 x + 口f + 6 ) + ( 2 x + 口f + 6 ) 3 ) ，( ，) p 。2 + ( 讲+ 6 n ， ( 3 3 1 ) 二= ( 1 2 + 1 2 ( 2 x + 口f + 6 ) 2 + ( 2 x + 口，+ 6 ) 4 ) ，( f ) p 讲+ 6 k ， ( 3 3 2 ) z = ( a x r ( t ) + r ( ，) ) p ，+ 耐+ 6 n ，( 3 3 3 ) 五= ( 口2 x 2r ( t ) + 2 a x r ( f ) + ，( f ) ) p 。2 + ( 枷n ( 3 3 4 ) 将( 3 2 8 ) - ( 3 3 4 ) 代入( 2 6 ) 得到函数，( f ) 满足下面的常微分方程 1 4 r 2 + ，“一 0 ，( 3 3 5 ) 其通解为 厂( f ) e ( 1 9 6 t 2 - 3 9 2 a t + 1 9 6 2 2 + p ) 脚，( 3 3 6 ) 其中a ，是任意常数从而由b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 的平凡解u ( x ，f ) 兰4 得到双线性化 邹舒双线性化b o u s s i n e s q 方程研究 b o u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 的解 f ( x ，f ) = p ，+ ( 省+ 6 ) j + ( 1 9 6 t 2 - 3 9 2 , i t + 1 9 6 2 2 + j ) 7 2 8 最后，由定理1 和定理2 立即得到本文的主要结论 定理3 b o u s s i n e s q 方程( 2 1 ) 和双线性化b o u s s i n e s q 方程( 2 6 ) 局部等价 1 9 ( 3 3 7 ) 扬州大学硕上学位论文 4 一种新的b a e c k lu n d 变换 b a e c