（基础数学专业论文）解析函数族的极值点和支撑点.pdf

摘要 几何函数理论是个古老的课题从上世纪七十年代开始。随着泛函分析 中的凸技巧理论在某些解析函数族中的运用，极大的推动了几何函数理论中 有关极值点问题的研究与此同时单叶函数中的系数估计，偏差定理及其它经 典问题也仍然被继续研究 本文的第二部分定义并研究了一类算子值解析函数族的极值点 本文的第三部分定义并研究了一类具有非负系数的单叶函数族得到了该 函数族的系数条件，偏差定理和极值点 本文的第四部分定义并研究了一类新的s a l a g e a n t y p e 调和单叶函数类 鼬( m ，a ) 得到了该函数类系数的个充分条件和偏差定理 关键词t内闭一致收敛拓扑；极值点；偏差定理；单叶函数；s a l a g c a n 导数 a b s t r a c t t h et h e o r yo fg e o m e t r i cf u n c t i o n si sa na n t i q u es u b j e c t s i n c e1 9 7 0 s ，t h ea p p a - c a t i o no fc o n v e x i t yt e c h n i q u e so ff u n c t i o n a la n a l y s i st oc e r t a i nf a m i l i e so fa n a l y t i c f u n c t i o n sd e v e l o p e dt h es t u d ya b o u tg e n e r a le x t r c m ep r o b l e n mi ng e o m e t r i cf u n e - t i o nt h e o r y , a tt h e8 a m et i m e c o e f f i c i e n te s t i m a t i o n d i s t o r t i o nt h e o r ma n do t h e r c l a s s i c a lp r o b l e m so fu n i v a l e n tf u t i n n sw e r es t i l li n v e s t i g a t e d i nt h es e c o n dp a r to ft h i sa r t i c l e ，w ed e f i n e da n d i n v e s t i g a t e dt h ee x t r e m ep o i n t s o fac l a s so fo p e r a t o r v a l u e da n a l y t i cf u n c t i o n s i nt h et h i r dp a r to ft h i sa r t i c l e ，w ed e f i n e da n di n v e s t i g a t e dad a s so fu n i v a l e n t f u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t w eo b t a i n e dc o e f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，d i s t o r t i o nt h e - o r ma n de x t r e m ep o i n t sf o rt h ea b o v ec l a $ 8o fu n i v a l c n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t i nt h ef o u r t hp a r to f t h i sa r t i c l e ，w ed e f i n e da n di n v e s t i g a t e dan e wc l a s so f s a l a g e a n t y p eh a r m o n i cu n i v a l e n tf u n c t i o n ss h ( 优，l ，a ，n ) w eo b t a i n e das u f f i c i e n t c o e f f i c i e n tc o n d i t i o na n dd i s t o r t i o nt h e o r e mf o rt h ea b o v ec l a s so fs a l a g e a n - t y p e h a r m o n i cu n i v a l e n tf u n c t i o n ss h ( m ，n ， ，q ) k e yw o r d s ：t o p o l o g yo fu n i f o r mc o n v e r g e n c eo nc o m p a c ts u b s e t so fu n i td i s k ； e x t r e m ep o i n t ；d i s t o r t i o nt h e o r e m ；u n i v a l e n tf u n c t i o n ；s a l a g e a nd e r i v a t i v e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：娟：愿寺包 签名日期，加刁年j 月三日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集，保存、使用学位论文的规定，即s 按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名，胡源艳 签名日期；加力年乡月巧i e l 日 昭 j_r、 左年 唿1 名期 签日 师名导签 第一章序言 第一章序言 设表示单位圆盘d = 仁：z 1 上的解析函数构成的函数族在 复数域c 上关于函数的普通加法和乘法构成个向量空间上的拓扑按照 如下方式定义t 令 h ) 为个实数序列，使得o r n 1 且一1 若，一4 ， 则定义，的范数| l 川。= m a z t f ( z ) | ：i z i = h 对于f , g ，我们定义 ，( l g ，= 薹刍糯 显然p 为4 上的个度量而且个序列 厶 c 依度量p 收敛到，当且仅 当 厶) 在d 的每个紧子集上是一致收敛到，的由w e i e r s t r a s s 和m o n t e l 定 理知道为个完备的度量空间并且由m o n t e l 定理我们还可以知道，c 一4 是紧集当且仅当，是闭的且局部一致有界的 设，为的一个紧子集，a ，如果存在 上的个连续线性泛函，满 足条件： p j ( f ) = m o = n e j ( g ) ：g ， 并且r e j 在，上不为常数，则称，为，的个支撑点，的所有支撑点的集 合记为s u p p f 假设x 为个线性拓扑空问u 为x 的个子集，t u 如果当0 t 1 ，玑u 时，由u = t x + ( 1 一t h 可推出z = f ，则称u 为u 的一个极值 点我们用e u 表示集合u 的所有极值点构成的集合到目前为止，已有很 多解析函数族的极值点和支撑点已被研究( 研，【8 】，【2 0 】， 2 l 】，【2 2 】，【2 3 】，【2 4 i ) 本文的 第一部分和第二部分将研究一些特殊解析函数族的极值点 此外，单叶函数也是几何函数论的重要内容之一设复变函数( z ) = z + a n z “在单位圆盘d = z ： 1 上解析且单叶，记其族为s 1 9 1 6 年， l b i e b e r b a c h 提出单叶函数系数的著名猜测： 则l a n i n = 2 ，3 ， 等号成立当且仅当，( z ) = 西兰茅及其旋转直到1 9 8 4 年d eb r a n g e s 才完 成该定理的证明但是单叶函数还有很多难题到目前还未解决同解析函数 湖北大学硕士学位论文 族的极值点和支撑点问题一样，有很多特殊单叶函数的性质被研究( 【2 】，【3 】，【4 】， 9 1 ， 1 0 i ， 1 1 1 ，【12 】， 1 3 】，【1 4 】，【15 】，f 1 6 】 【l7 】，【1 8 】) 研究的范畴包括系数估计，偏差定理， 相邻两系数模之差，凸半径，星形半径及其它一些经典的单叶函数问题本文 的第二部分和第三部分将研究一些单叶函数族的问题包括系数估计，偏差定 理 2 第二章一类算子值解析函数的极值点 第二章一类算子值解析函数的极值点 2 1 引富 假设x 为复b a n a c h 空间，为复平面上的个区域1 ( z ) 为定义在上 取值于x 的函数我们称f ( z ) 在上是解析的当且仅当存在x 的个元素 f ( 幻) ，使得 i i 掣瑚训，z 一为 令且僻) 表示所有定义在单位圆盘d = 0 ：m z 1 ) 且取值于x 的解析函数 所构成的线性空间若f 4 ( x ) ，则定义i 。= m m c l l f ( z ) l i ：旧1 一：) 对 于任意的，g 4 ( x ) ，定义 。、虽1 i i f g l t 。 砒护三而桶n 2 l ( 2 1 ) 则p 为a ( x ) 上的个度量而且一t 僻) 中的个序列 厶 依度量p 收敛到 ，当且仅当在单位圆盘d 上的任个紧子集上 厶) 一致收敛到， 假设u 为线性空间l 上的个非空子集如果对任何的z ，f 玑0 t 1 都有t x + ( 1 一t ) u ，则称u 为l 的个凸子集 假设x 为个线性拓扑空间u 为x 的个子集，“矿如果当0 0 ，使得 航圳= 霎刍端 ，( 2 z ) 于是 一1 2 k 揣1 象 ，仁s ) + l i j | m 一 i l k 、+ ) 、 从( 2 3 ) 中我们可以得到 m a x l l f m ( z ) 一厶( 2 ) o ：i z l 1 一壶 = l | 南一f 1 i k n ，i z l l i ， 由于耳为任意一个正整数，因此就有 厶) 在d 的任意一个紧子集上是一致 收敛到，的所以f ( z ) 在d 内是连续的 取一x ，一为x 上的一个有界泛函对任意的e 0 ，因为 厶 在 0 ：r ，0 l z i r 时有 0 z ( 厶( z ) ) 一一( ，( z ) ) 0 l l 一 厶( z ) 一f ( z ) l i 0 ，使得百( 口，r ) = 仁：i ：一口i r ) c d 根据假设我们知道，对于所有的z 百( o ，r ) 及所有的f ， 存在m 0 使得 i i f ( z ) l l m 令i z a l 争和f ，由c a u c h y 定理我们有 i l l ( 扩m ) 1 1 钏点l ：，孟骘示酬 去l ：，黼i d w l 坐i ：一。l ， 5 湖北大学硕士学位论文 令6 = m i n 扣赫 ，显然由i z d 1 5 可知 i i f ( z ) 一，( n ) 0 e ， 这表明，在点a 是等度连续的由a s c o h - a r z e h 定理可知，是正规的1 6 , p a 4 4 1 定理2 3 如果日为h i l b e r t 空问，则丁为( 舀( 日) ) 的一个紧子集 证明若，( z ) = z l e a 。扩丁，则 n = 2 i i a 。i l = s u p 】i ( a 。z ，z ) 石1 壮= l h 对于吲z r 1 ，我们有 i i f ( z ) l l ” i x l l + 因此丁为局部一致有界的因为b ( h ) 为有限维的，由定理2 2 可以知道丁是 正规的 现在假设，n ( z ) = z i ea 础矿收敛到f ( z ) = z i e a k z 固定r 使得 0 r 1 ，则 叫i 叫去0 坞裂酬 瓢：，带i d z l 专曷彗。厶( z ) 一，( z ) i t ， 因为，n ( z ) 在p ：i z i r ) 上是一致收敛到f ( z ) 的，因此当n o o 时 m a x ：i ：，i l ( z ) 一，( z ) 0 0 所以当n 一时，a n a k 对任意的z h ，i l x l l - 1 ，我们有 ( a n k 。，z ) 一( a k z ，) l i p b 墙一a 女| | ，0 ( 礼，o o ) 因为( a 肛，z ) 0 ，所以有( a k z ，) 0 因此也为正的紧h e r m i t i a n 算子 1 5 ，p3 4 9 l 6 脚 一 1 一竹 c l + r 第二章一类算子值解析函数的极值点 0 肛i n ：f 1 ( a n x ，x ) 挺牡s u 酎p 如郇) ， 爱卦 证明由于如 在个酉矩阵u 即 a = c ，( ；) = a ( i 兰l 篓i 蓦) 舶卟叫叫 = 一争 、 吼锄确 虬 篮 一u u 一缸 n 地 ” 一u u u ，iiii_ll、 o o o o o 0 o o 、 吣 嗡 嗡 毗 吻 纰 蛳 蛳 蛳 ，l_li_i = a 湖北大学硕士学位论文 = l u l d u l l 奶l 均。地蛐 = p 瞄黧封= ” i t l l 2 u l l u 2 1 u11霞31bc ) = p l 缸1 1 t 1 2 l i 地1 1 2 t 2 1 日3 1 i ， = 口 i n 1 1 “3 l 奶1 坳ll “3 1 1 2 t 驴7 b u + c t 一功矿c u = 驴7 a c ，= ( ；i ；) 这里扩b u 和驴c u 都是半正定3 3 的h e r m i t i a n 矩阵不妨假设 则 。l b u = b l l b 1 2 b 1 3 ，。1 c u = i t mc 1 2c 1 3 1 ， b 2 2 0 ，c 2 2 0 ，6 3 3 0 ，c 3 3 0 及t b = + ( i t ) c 2 2 = 0 ，t b 3 3 + ( 1 一t ) 臼3 = 0 但是0 t 1 ，于是有b n = c 2 2 = 0 ，6 3 3 = c 3 3 = 0 利用矩阵的半正定性我们有； 6 1 1 6 2 2 6 1 2 b 2 1 0 ，c l i c 2 2 一c 1 2 c 2 l 0 ，上弘1 2 = 5 2 1 ，c 1 2 = 而1 我们经计算得b 1 2 = k = 0 及c 1 2 = 忍l = 0 同理可知； b 1 3 = b l = o ，c 1 3 = 白1 = 0 ，= 5 3 2 = o ，c = 嘞= 0 令p = b l l ，q = c l l ，则 = t l - * + ( 1 一t ) o 且 8 、， n n p弩一 第二章一类算子值解析函数的极值点 ，1 2 口：_ i l 锄蚴 i一。 f u l l “3 1 定理2 4 如果，( z ) = z i 一主厶矿丁且每个厶的非零特征值为j ，则 ，( 。) 为丁的个极值点 证明假设9 ( ：) = z i e 巩扩t ， ( ：) = z i e g 严丁0 t 1 且 ，( z ) = t g ( z ) + ( 1 一t ) ( ：) ，则 如= t b + ( 1 一t ) g ，n = 2 ，3 ， 不妨假设 为如的个特征值，则由假设知 = ；1 再次假设f 为厶的一 个对应于特征值i 1 的单位特征向量，则( 如f ，f ) = ；由于 o ( 岛；1 ，o ( g ，f ) 元1 ， t ( 蹦，) + ( 卜t ) ( g 2 ( 厶f ， ) 2 云0 2 1 ， 我们有( 玩，) = ( g ，) ；：即i 1 同样为晶与g 的特征值f 同样也为 晶，g 对应于特征值1 。的单位特征向量 假设对应于厶的特征值的特征子空间为个维空间且( x l ，x 2 ，z 为它的一组正交基对于任意的z h ，我们有； ， r ( 厶z ，刁= ：| ( 毛z i ) 1 2 ( 参见参考文献【5 ，p r 删) 令 鲰 为晶的非零特征值序列且使得玩的每个非零的m 重特征值在序列 中出现m 次令y j , 为个规范正交集使得b n y k = 鲰鲰，则对于任意的$ h ， 我们有。 ( 晶毛) = 船i ( z ，弧) 1 2 ( 参见参考文献【5 ，p 3 5 5 】) 从以上我们可以知道i 1 同样是玩的个n 重特征值因此我们选取搬使得 弧 ) z 1 ，z 2 ，z 因此， ，n ( 晶卵) = p 抱鲰) 1 2 ：圳2 = ( a ，l ”) 同样我们也有( g z ) ( 厶z ，功因为 ( a 。z ，茹) = t ( b n z ，z ) + ( 1 一t ) ( ( 矗z ，茹) ，0 n 2 ； 证明由定理2 4 和引理2 2 即得 注，这里只给出了f ( z ) 的一部分形式，实际上f ( z ) 并不只限于上述六种 形式 定理2 5 ，( z ) = u f ( z ) u 7 假设h i l b e r t 空间的维数为3 ，u 为一个3 3 的酉矩阵若 ，这里f ( z ) t ，且，如 f ( z ) = z l - z n a n z ”a m a ，p 0 ，a l 0 ，a 2 0 ，c t 3 1 0 1 e t 0 = 1 、ll- 0 0 l i 0 o o o 0 0 ，jjj_-i_l k ：一 、l 0 土m 0 0 上m 0 ，j，ii一， 仇 m ， ； ， 一 一 0 o 三n 0 o o 0 o 0 o o 0 0 0 0 o 三”0 o 三n o 0 o 0 0 o o o o 0 三n 0 0 土n 0 o 三n 0 o 三n o o 三”0 0 ，i，一，l，i，一一 、iliii 3 3 2 m 哪 2 2 3m 啦 ，2 口0 4舭邮? = i 1 = 式 p 也 移 = 恤 詈 乩 下，一、铲 有0 o 0 陋 具o o o c = 卜 1 o 0 衄 a p = 姐 “ 仉 ， 第二章一类算子值解析函数的极值点 证明假设f ( z ) 具有上面所给出的形式令f ( z ) ；t g ( z ) + ( 1 一t ) 日( = ) ， 0 t 1 且g ( z ) ，h ( z ) 具有下面的形式； g ( ：) = z l 一g t ，日( ：) = z j 一觑丁 = 2 i = 2 则当i n m 时，有 t a + ( 1 一t ) d i = 0 ， 对于任意的。日，有 t ( g z ，功+ ( 1 一) ( 觑z ，z ) = 0 ， 由于( a 墨z ) 0 ，( 功毛功0 及0 t d ，：d b = ( ，( 。) ：f ( z ) = z 一i 矿，z d ) 在【2 】中，s i l v e r m a n 研究了b 的两个子族to 阶的星行函数族b + ( o ) 和。阶 的凸函数族c ( q ) 现在我们引入函数族a ( n ) ，p ( n ，a ，o t ) 及c ( n ，a ，q ) 这里 a ( n ) = f ( z ) = z 一a k z k , “o ，n n + ； g ( n ，a ，a ) = ，( z ) ：，( z ) ea ( n ) ，r e ：垒! ：! ；：；：；i 胖) n ) 其中0 o l 1 ，0 a 1 ，z d 本文将研究函数族c ( n ，a ，n ) 的若干性质，包括偏差定理，极值点等内容 3 2c ( n ，九n ) 的偏差定理 引理3 1 设f ( r ) = 1 一k ( 从一 + 1 ) a k , - ，则当i r l 0 证明由于t z 竖端端幽= 蕞筹 ， 假设f ( r ) 0 ，令g ( r ) ：1 一萎萨( 肚一a + 1 ) a k 一 k = n + l 于是我们有g ( r ) 0 ，而g ( r ) 作为r 的函数是连续 1 3 湖北大学硕士学位论文 函数由连续函数的零点定理知存在最0 ? ( 一n ) ( a 一a + 1 ) a k 1 一o t ( 3 2 ) t ：再l 证明第步先证明若k ( k n ) ( 女一a + 1 ) 口k 1 一d ，则f ( z ) c ( n ，a ，n ) 只需证明 。a 。2 ，( 。) + ( 2 a + 1 ) z f ”( z ) + ，( 。) a z 2 f ”( ：) + z 心) 这个数值落在以u = 1 为中心以1 一a 为半径的圆内就够了于是我们有 i ：查兰：! 生! ! 苎! ! 兰：! 塑：f 三! 一1 i l 。 a z 2 f ”( ：) + z l 协) l a 。3 f 0 ) + ( a + 1 ) z 2 f ”( z ) i 2 l 1 刁可再习硒厂l 一协女( 一1 ) ( 一2 ) + ( a + 1 ) k ( k 一1 ) a k z = l j 竺l 矿一l z 一协( 一1 ) + k a k z k ( k x ) ( x k a + 1 ) a k z = i 堕生百- 一 。一k ( x k a + 1 ) a k z k = n + l k ( k 一1 ) ( a 一a + 1 ) o k = n + l 鬲一 1 一k ( , x k 一 + 1 ) a k k = n + l 由于 一1 ) ( a k a + 1 ) ( 1 一a ) 【1 一k ( x k a + 1 ) o k 】， 等价于条件k 忙一d ) ( a 女一a + 1 ) a k 1 一o t ，于是有， l：一az2ffa(z)+(2a+1)zf(z)+if(z)一li型=竺竺 r 1 ：2 ，”( 卅2 ，协) 1 1 一萎k ( x k 一 + 1 ) 。k 1 4 第三章一类具有非负系数的单叶函数族的若干性质 即证： m 0 塑连凳器臀巡 a 第二步证明若f ( z ) e ( n ， ，n ) ，则ek ( k n ) ( 从一a 牟1 ) a k 1 一a 由条件知。 m z 鲨毪蒜警铲) a ， 等价于t ：一en ( 一1 ) 忙一2 ) + ( 2 a + 1 ) k ( k 一1 ) + k o k z r e f 土型百一 a ，( 3 3 ) 、 。一ef a e 碑一1 ) + k a k z k f n + l 等价于： 1 一e 萨f a k 一 + 1 ) a k 一1 觑 生娑一) o ， ( 3 4 ) 、1 一ek ( a k aj - 1 ) a k z 一1 。 1 一n ek ( k n ) ( a 七一a + 1 ) a t z 七一1 塑罢一 1 一ek ( a k a 1 ) a k z k 一1 ( 3 5 ) 令0 z 二r 1 ，我们有t 1 一n 一k ( k n ) ( a 七一a + 1 ) a k r k 一1 生笔i _ 一0 ， ( 3 6 )o 。 7， 、， 1 一e 女( 从一a + 1 ) a k r 一1 如果条件( 3 2 ) 对于所有的z d 不成立，则( 3 6 ) 式中的分子当r 趋向1 时值 为负的结合引理3 1 我们知道存在z 0 = i 0 ，r 0 ( 0 ，1 ) ，使得： 1 一口一曼i ( 一口) ( a 一 + 1 ) b 女咭一l 上兰芸一 0 ( 3 7 ) l 一曼k ( a k a + 1 ) 钆r 3 一l 这与假设f ( z ) c ( - ，a ，a ) 矛盾 因此当，( z ) c ( n ， ，n ) ，条件ek ( k o ) ( a 一a + 1 ) a t 1 一n 成立 定理3 2 若b z ) c ( m a ，n ) 则 i ( 钏r + 矸而吉南丽一1 ， 1 5 湖北大学硕士学位论文 l ( z ) 防一两而击与丽一- 其中等号成立的条件为： ，( ：) ；z i ；i j 5 i 五：；j j ! 涌。“+ 1 z = - r , r 证明由于 ( 竹+ 1 ) + 1 一d ) ( a - 1 ) 毗k ( k - n ) ( a k - a + 1 ) a k 1 一n k = n + lk = n + l 其中最后一个不等式利用了定理3 1 因此 同理可得 m ) i r + a k 一r + r ”1 口k j b ，i + 1 k = n + l r 十两可未等而面一l ， ，( z ) i r 一n k 一r r ”1 n b k = n + lk = n + l r 一 ! 二竺 r n + l ”一石再而再丁i 而再可 定理3 3 若f ( z ) c ( n ，a ，n ) 则 怫) i l + 矸 赫r n ， 叭圳- 一两赫， 其中等号成立的条件为t ，( 。) = z i ；i j ! i i 再i ；：n + l z = 一r ，r 证明由于 i ，( ：) l 1 + k a k z l k - 1 1 + r ”k a k ， k = n + lk = n + 1 利用定理3 1 ，我们有k ( k a ) ( 妯一 + 1 ) a k 1 一n b n + 1 于是有伽+ 1 一o ) ( h + 1 ) k a k k ( k o ) ( 从一 + 1 ) a k 1 一o 即 k = n + lk = n + l 。：n - t - 。再， 1 6 第三章一类具有非负系数的单叶函数族的若干性质 即得 另一方面 j ，( 圳t + 两壬赫p ， 叭：) i 1 一k a k l 。p 1 - - r n k a k 七；n + lk = n + l t 一面壬赫， 3 3c ( n ，a ，q ) 的极值点 定理3 4 令厶( ：) = ：，f k ( z ) = z i 两= 而1 - - o + z ，则，( z ) c ( n ，a ，n ) 当 且仅当，( ：) = 仉 ( z ) ，这里吼0 ，啦= 1 证明利用假设可知： 他) = n k a ( z ) ；厶( 。) + 珊丘( 2 ) = 厶( 卅。三。仉k 一面面i 丽- - t i t ：】 = n + i 、7 、 2 z+豫z一饥iiii：i；ile-iictk=n+lk = n + l ：j 丽2 、，、， 因此 。三。仉硒 。曼。仉( 乒搬) ( x k - a + 1 ) = ( 1 - a ) 啦 k = n + l ( 1 一o ) ( 1 一) 1 一a 所以f ( z ) c ( n ，a ，n ) 反之，假设，( z ) c ( n ， ，a ) 因为 f 。e i i 巧_ 二i s 而，忙= n + 1 ，n + 2 ，) 我们令 仉= k ( k - a ) f ( x i k - x + 1 ) 1 7 陋= n 4 - 1 ，l + 2 ，) 湖北大学硕士学位论文 o n = 1 一佻， 则我们有。 o o， m ) 2 k = n + l d ；z k = n + l 丽高翻珊 、，、， o o = 锄 ( ：) + 啦 ( z ) = j k f k c z ) = 仆+ 1k = n 定理3 5c ( n ，a ，o ) 的极值点； e c ( n ，九a ) = 毛z 一面百= i 责南 k = n + 1 n + 2 ， 证明令 y = 毛z 面i ) i _ = _ 五i 南：) = n + 1 i n + 2 ， 首先z e c ( n ，a ，n ) ，这是显然的 其次设 z 一砸i 丽1 - - 再o r 丽可z k = t y l ( 1 ：) + ( 1 一t ) ，2 ( ：) 。 七( 七一口) ( a 七一a 十) 。、1叫。p 技罩 0 t ( # ) k = 口 令s u = f f ：，= h 十，为单位圆盘d = 如：l z l 竹，竹l 一 n + 一 1 t 七+ ，z u 我们定义了新的函数类； 鼬c m ，n ，。，= ，：，具有c a 的形式且船 蒜) a c a 渤 这里d ”，d 叫鸟由( 4 2 ) 式定义 第四章一类新的s a l a g e a n - t y p e 调和单叶函数类 引理4 1 若 ，o ，m ，n 所满足的条件如上，则鲨爿；吾! 憋( 七n + ) 证明只需证舻一( 1 一 ) 妒一k ( 1 一a ) 0 即可由题设知a 裔揣 当= 1 时， 胪一( 1 一a ) 驴一( 1 一q ) = 2 a - 2 + a 2 2 ( 2 l + + a 。) 一2 + n - - o r n ( 1 十口) 1 + n 1 + n = 羔巩 当k 2 时，注意 l ，n n + 一 1 ) a k m - - ( 1 一a ) 扩一k ( x q ) ；女”一j 1 一n k + a k ；k n + l _ 互1 ”一 + a i = 字肛+ 幽 = k ( 字矿1 - 1 ) + 础2 ( 眇- - 1 ) + 2 n o 引理4 2 若 “m 一所满足的条件如上，则 ( a 一蛔+ 1 ) 扩( 1 一a n + a a ) k ( + a a 一1 ) k m ( 1 一a + n a a ) k 证明先看第个不等式t ( 一a a + 1 ) 护一( 1 一a t l t + a a ) k 妒+ 1 n 一地+ 1 ) 一( 1 一 一o t + a a ) k “ = 酽【七 一k a a + 七一1 + a + a a 川 = 七”【忙+ l n 一( k + 1 ) + a + k 一1 l = 扩【 + 1 ) x o a ) 十口+ 女一1 】 0 ， 即证( a m + 1 ) k ”( 1 一a 一口十a a ) k “ 再看第二个不等式：利用 ( 1 + o 。+ ) k ( + l + 1 t ) ( a + a a 1 ) e “一( 1 一a 十n a a ) k 驴+ 1 n + a a 一1 ) 一( 1 一 + 口一x a ) k ” = 扩肚a + k a a k 一1 + a n + a o t = 驴【( k + 1 ) a + 忙十1 ) a a n 一忙+ 1 ) l 湖北大学硕士学位论文 ( + 1 ) a + 忙+ 1 ) a , ，- a - ( 十1 ) 似+ 1 i j 揣 + 佧+ 1 ) n 币揣一a 一佧+ 1 ) = 竺 辜丢! + ! 拿丢a a 一媾+ - ) = o + 女- 4 - 1 一n 一( k + 1 ) = 0 即证【a + a 口一1 ) 护( 1 一a + a a a ) k ” 引理4 8 1 1 9 1 假设，( z ) 只这里s ； ，( z ) ：，( z ) ：z + 登= l f ( 2 ) 在d 内单叶解析 ，则i c k l 引理4 4 1 1 。l 假设，( z ) s ，这里s 的定义如上。当2 s 时，则 揣i f ( 圳搀 4 2 系数条件 定理4 1 令f = 危+ ，这里妇具有( 1 ) 的形式，且 妻掣协l + 薹塑等坐陬 ， 这里m ，n n + 一 1 ，m n , o a 而赫，则f 为单位圆盘u 内的 保向调和单叶函数且f 鼬( m ，n ，a ，口) 证明先证单叶性， 渊i i h ( z 1 ) - h ( z 2 ) b i 毒篙惫l l 急旧一鬻1 - - a wkll k a k 巩 一i 1 一型警告坐 其次证保向性 ( z ) i 1 一k l a k l l ：p 缸= 2 ，一妻竖掣 k - = 2 1 一o 1 2 2 第四章一类新的s a l a g e a n t y p e 调和单叶函数类 妻坐盐竖1 - - 螋a m 妻坐止篙等鲨州h k l b k l l z l 卜1 i g ( z ) l ， 最后来证，满足条件( 4 3 ) ： 利用个事实月“ n 当且仅当j 1 一n + “叫 1 1 + a 一，| 因此只需证， l a + 1 + 一礴霸两i o 芝y 垃 即证i d m f ( z ) o l a a + 1 ) + d n f ( z ) ( 1 一 一o + 地) i i d m ，( z ) o + a o 1 ) + d ”，( 名) ( 1 一入+ f i t 一 o ) l 0 而l d m ，( 2 ) ( a a a + 1 ) + d “，( z ) ( 1 一a a + 地) i i d ”，( z ) ( a + 蛔一1 ) + d ”，( = ) ( 1 一a + n 一九n ) i = i ( 2 一n k + 【( a 一加+ 1 ) 护十( 1 一a o + a o ) 护】稚。 k = 2 oo一 + ( 一1 ) ”【( 一1 ) ”一“( a a a + 1 ) k ”+ ( 1 一 一n + 蛔) “ b k z i k = 1 一l n z + 【( a + 地一1 ) k m + ( 1 一a + 口一蛔) 驴】口k 矿 k = 2 co一 十( 一1 r 【( 一1 ) ( a + a 口一1 ) k m + ( 1 一a + q x a ) k b k z 知l k = l 2 ( 1 一口) 2 一【a ”+ ( 1 一 ) “ l b k l l 。l k = 2 一l ( 一1 ) ”一“( 一a q + 1 ) ”十( 1 一 一n + a 口) 妒f l k = 产 膏= 1 一i ( - - 1 ) 一”( a + 地一1 ) k ”+ ( 1 一 + q k ) 护1 1 h l i ：产 2 ( 1 一n ) i z i 一2 n k ”+ ( 1 一 ) k n l i n i l z 严一 k = 2 2 曼【 m + ( 1 一, d k l b k l l 。产( m 一曲偶数) k = l 2 ( 1 一a ) l z i 一2 【a k ”- i - ( 1 一a ) ”】i o k l i z i 一 k = 2 2 协护一( 1 一a ) k l i b k i l z l ( m n 为奇数) = 1 。 = 2 ( 1 一o ) 1 2 一2 【a k ”+ ( 1 一a ) ”】i n k f i ：严 k = 2 一2 协k ”+ ( - 1 ) “一”( 1 一a ) 1 1 | 6 l | z l | 蒜 湖北大学硕士学位论文 = 2 ( i - a ) i z i i 一塞竖长业k i i z i 一昱业址篙坠业：p ) # = z # ；l 2 ( 1 一n ) i z i i 一( 曼坐篙业+ 呈丝型i - b k l ) o 毫2七=1 这里a “m ，n 所满足的条件如上且曼陬i + 曼l y k l ：1 ，它可以使( 4 4 ) 中等号 成立f s h ，n ，a ，n ) 这是因为 薹掣k i + 薹塑等鲨m “ 4 3 偏差定理 定理4 2 假设，鼬( m ，n ，a n