（基础数学专业论文）非线性边值问题的正解及随机不动点定理.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：摧日 期：童竺翌! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：潍导师签名： ， 日期：箩、了、巩 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n p o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n dr a n d o mf i x e dp o i n t s l iz h i l o n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i ca n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t p r e s e n t l y l m a n ya u t h o r sw e r ec o n c e r n e dw i t hm a n yk i n d so fn o n l i n e a rs e c o n do r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) ，i n c l u d i n gn o n u n e a rs e c o n do r d e rt w o - p o i n tb v p , n o n l i n e a r s e c o n do r d e rs e v e r a l p o i n tb v p , e ta l ( 【1 4 2 ) i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hn o n - l i n e a rs e c o n do r d e rs i n g u l a rt w o - p o i n tb v p n o n l i n e a rs e c o n do r d e rs i n g u l a rs e v e r a l - p o i n t b v pa n dt h e s eb v p sw i t hp a r a m e t e r si nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n w ep o i n to u tt h a t ， b v p sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e rh a st h em o r eg e n e r a l i z e df o r m 高) + 巾，t ) = o ( 1 ) n o to n l yt h es i n g u l a r i t yo fqa tt = 0 ，1i sc o n s i d e r e d ，b u ta l s ot h es i n g u l a r i t yo f 高a t t = 0 ，1i sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1a n dc h a p t e r2 ，w ea l w a y sa s s u m et h a t p c o ，1 】 p ( t ) 。，t ( o 1 ) ，0 1 丽d r o , a 1 ，a 2a r et w on o n n e g a t i v ep a r a m e t e r s ，c ( 【o ，o o ) ，f 0 ，c o ) ) w et r a n s f o r mt h ep r o b l e mo ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no f ( 1 ) a n d ( 3 ) i n t ot h ep r o b l e mo f t h ee x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i n to ft h ef o l l o w i n gi n t e g r a lo p e r a t o r ( 抽”) ( f ) = o1 地咖。) 州m ( s ) ) 如+ a l e _ ( t ) + - a 2 一( t ) ( 4 ) 1 也聆 琊一懈裳篓 ( 5 ) ( 6 ) w h e r er ( t ) = 詹南d s u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，w ep r o v e dt h a tt h e r e 岫t s1 o ，m 0 , f o r0sa l o ，t ( o ，1 ) ，eg ( 1 0 ，o o ) ，i o ，。) ) s u p p o s e 片p ( s ) q ( s ) 幽 0e i t h e r 溉1 n f 掣 札熙s u p 掣 0 t h e n ( 1 ) a n d ( 7 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n m o r e o v e r ，e v e ni f ，n e e d sn o tt 。b en o r m e g a t i v e ，w e a l s op r o v et h a ( 1 ) a 1 1 d ( 7 ) h a s a t l e 踮to n ep o s i t i v es o l u t i o nu n d e rt h ea s s u m p t i o n 。ft h a t ，i sb 。u n d 舢e l o w - 2 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n w ep o i n to u tt h a tt h em e t h o da b o v ei sv a l i di nc o n s i d e r i n g ( 1 ) w i t ht h ef o l l o w i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n s r a - 2m - 2 ( 0 ) - 6 。婚p ( 咖m ) 。暑。删，岬) + d 。磐绯m ) 2 否刚锄( 8 ) w h e r ea ，b ，c ，d20 ，a c + a d + c b 0 ，o f 0 ，屈0 ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，0 6 勃 - o ，d o ，啦0 ，i - m - - 1 2 啦 0 ，b 0 ，屈0 ，任m - 1 2 岛 叭( 0 1 1 ) ，o 高锄 ( 2 ) 本文组织如下； 在第一章，我们首先考虑了方程( 1 ) 在如下含参数的边界条件下的二阶两点边 值问题 。u ( o ) _ b l i r a + p ( t ) o ( ) = a 1 , “( 1 ) + d t 蟀p ( 。) “( 。) = a 2 ( 3 ) 其中a ，b ，c ，d2o ，n c + 砌+ c b 0 , a t ， 2 为两个非负参数，e ( 【o ，o o ) ，【0 ，。) ) 我们 给出将问题( 1 ) + ( 3 ) 转化为考虑下列积分算子的不动点问题 ( a 札坍) ( ) ：f 1k ( t ，s ) p ( s ) q ( s ) f ( u ( s ) ) d s + 型骘型盟 ( 4 ) ( a 札沁t ) ( ) = ， + 型型竺盟 ( 4 ) j 0 p 其中 地垆艨僦篡： ( 5 ) s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 毋( t ) = b + n r ( t ) ，妒( t ) = d + c 丁。( 1 ) 一c r ( t ) ，p = a c t ( 1 ) + a d + b c ， ( 6 ) 其中r ( ) = 詹矗d s 在适当的条件下，我们证明了存在a ： o ，a ； 0 ，当0 1 0 ，t ( 0 ，1 ) ，g ( 【o ，o o ) ，i o ，o o ) ) 假设詹p ( s ) g ( s ) d s 0 且 船t n f 掣确，熙唧掣 0 ，则( 1 ) + ( 7 ) 存在至少 个正解进而，在不要求，非负，在，满足下方有界的条件下我们仍然得到了类 似的结论其次，我们还指出上述方法适用于方程( 1 ) 在如下几种形式边界条件下 的m 一点边值问题 “( o ) 一b h l i m 0 + p ( ) ( t ) 2 a t t ( 铀，“( 1 ) + d t 磐p ( t ) ( t ) = 风u ( 靠) (8)i 其中o ，c ，口c + 以+ ，啦0 ，风= l ，m 一2 ) ， = 1 b d0 c b 0 o ( i 20 l 如 o ，d o ，啦0 ，篙2 啦 0 ，b o ，屈0 ，蛮2 屈 1 ， 最后，利用第一章的方法，考虑方程( 1 ) 在含参数边界条件下多点边值问题， 我们可以得到类似于第一章的结论由于我们用的次线性和超线性增长条件与线性 积分算子的第一特征值相关，本质改进以往般形式的次线性和超线性增长条件 本章的边界条件比较复杂，通过一般的方法难以得到显式的格林函数通过构造一 个类似于格林函数的显式函数c ( t ，s ) ，把边值问题( 1 ) + ( 7 ) 转化一个积分方程来考 虑。并且证明了由此构造的积分方程的解必定是边值问题( 1 ) + ( 7 ) 的解 在第三章，我们研究了随机不动点定理和随机临界点的存在性问题首先，3 1 中，我们考虑随机凝聚型广义内向映射的随机不动点存在性问题随机广义内向映 射是一类比弱内向映射更为广泛的映射我们借鉴【4 4 - 4 6 ，5 3 - 5 4 的方法，建立了随 机广义内向映射的随机不动点指数，利用随机不动点指数的随机可解性等性质，我 们得到了几个随机广义内向映射的随机不动点定理作为应用，我们给出了l 2 o ，1 】 中一个随机积分方程的随机正解存在性结果 其次，在3 2 中，我们借助常微分方程理论得到了随机弱内向映射的三个不动 点存在性定理多个随机不动点存在性定理问题在以往的文献中很少研究，本节的 结果是比较新的而且不多见 最后，在3 3 中，我们利用随机映射的随机可测选择定理证明了，随机连续且 弱下半连续的泛函在弱紧集上可以达到随机下确界即使泛函的定义域随u 的变化 而变化时，这一结论仍然成立并且我们证明在泛函满足p s 条件下，任给的随机 c 1 泛函的随机临界值一定有与其相对应的随机临界点有了这一结果我们可以将 许多临界点的存在性定理随机化 关键词：正解，两点边值问题，多点边值问题，特征值，正特征函数，上下解 方法，l e r a y - s c h a u d e r 度理论。无穷区间，随机不动点指数，随机不动点，随机临 界点，随机临界值 7 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n c h a p t e r1 p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rs i n g u l a r s e c o n d - - o r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 1 1 t h eb o u n d a r yc o n d i t i o nw i t hap a r a m e t e r 1i n t r o d u c t i o na n dl e m m a s b ym e a n so ft h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n tl n d e xa n dl o w e rs o l u t i o na n du p p e rs o l u t i o n m e t h o d ，w ec o n s i d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) w i t ht h eg e n e r a lf o r m f 而1 ) “) ) ，州町( “) _ o t 。 o ，26 ( o ，1 ) ，j 0 高扒。_ 琊： | ： 篡：! ( 1 1 2 ) 0 ，t ( 1 1 3 ) 1 r ( ) 。j o 南d r ，p 2 。c r ( 1 ) + 口d + c 6 ，咖( ) = 6 + t ( ) ，妒( 。) = 4 + 盯( 1 ) 一盯( ) - ( 1 1 4 ) l e m m a1 1 1 1 1 , 2 1t h eg r e e n sf u n c t i o ng i v e nb y ( 1 1 3 ) h a st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： k ( 8 ，8 ) k ( t ，s ) 口0 ) k 0 ，s ) ，( t ，s ) 【o ，1 f 0 ，1 】， w h e r e 即) - = m i n 器，器) = 叫, t 6 + n b + a 坤t ( t ) _ i 气等铲 l 8 l i t t o n1 1 2s u p p o s et h a t 钍( 曲i sas o l u t i o no f “( f ) 2 k ( t j o ，8 扫o ) ( s ) 出+ 兰( t ) ( 1 1 6 ) p 、。， t h e nt ( t ) i sas o l u t i o no f i 病( t ) ) 7 + ) = o ，o l ， 14 “( o ) 一6 璺器p ( t ) ( ) = o ， ( 1 1 - 7 ) 【乩( 1 ) + d t 缘p ( t ) o ) = a w h e r eh g ( f o ，1 1 ，f o ，o 。) ) m o r e o v e r ，口( ) 口( t ) 8 q 限 p r ? o f = s u p p 。s e 磐) ! 、1 u t i 。n0 f ( 1 1 6 ) ，i e 札( t ) = f ；k ( t ，s ) p ( s ) ( s ) 幽+ ；( ) f o r 0 t l ，d i f f e r e n t i a t e ( 1 1 6 ) ，w eg e t 也) = 一南z ；1 肌川d s + 南，1 扣) p ( s s ) d s + 赢 p 。) u ，( t ) = c o ；妒( s ) p ( s ) ( s ) d s + n ，1 ；妒( s ) p ( s ) 。) d s + ! p ( 1 1 8 ) b y ( 1 1 6 ) a n d ( 1 1 8 ) ， w eh a v e 。q ( o ) - ”l i m + p ( 。) = o ，c u ( 1 ) + d t 弊p ( t ) u 心) = a f o r0 t o ，t ( o ，1 ) ，c ( f o ，o 。) ，f o ，o 。) ) ，a n d 詹k ( s ，s ) p ( s ) q ( s ) d s ( 玩) f o o 0s u f f i c i e n t l ys m a l ls u c ht h a t 尸 a l 一w h i c hi m p l i e st h a tt h e r ee x i s t sn 0 s u c ht h a t ( n ) ( 1 0 札，v 让s e t 3 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 6 l = m a x f ( u ) ：0 su ) ，t h e n w eh a v e ，( u ) s ( a 1 一) u + b l ，v u 0 t h u s , f o ra r t y “只t f 0 ，l j l w eg e t 如n ( t ) s ( a l 一。州”+ 6 1 l k ( 抽肌) 如) 幽+ ：) l e tb ( o = b l f 0 1k ( t ，s ) p ( 5 ) q ( s ) 如+ j 5 ( t ) ，t h e nb yl e m m a1 1 2 ，b p c o n s e q u e n t l y , f o ra n y a20 ， a x u ( a 1 一e ) t u + b ，vu 尸_ n o t i n gt h a tr ( ( a 1 一e 1 ) 印= 矗 0s u c ht h a t ，( “) s6 1 u ，t 正【o ，r 】，w h e r e0 o t h e nt h et w os o l u t i o n sa r ec e r t a i n l yp o s i t i v e p r o o f p r o mt h ep r o o fo fl e m m a1 1 5 ，f o ra 1 0 ，r ) ，w eh a v e t ( a ，p l ，只) = 1 4 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n w h e r ep t ，r = 似p t ：i l u l l 0s u f f i c i e n t l ys m a l ls u c h t h a t k m e 十w h i c hi m p l i e st h a tt h e r ee x i s t sr o r s u c ht h a t t h e n f o ra n yu o p t ，凰 ，( 札) ( + ) u ，vu o 0 凰 p l ，r 。= “p ：i l “| | 硒= 恻i h e n c e ( a ，p 1 ，凡，p 1 ) = 0 ( 1 1 1 1 ) i tf o l l o w sf o r m ( 1 1 1 0 ) a n d ( 1 1 1 1 ) t h a tf o ra 【0 ，r ) ，如h a sa tl e a s tt w of i x e dp o i n t ，i n w h i c hu l p a 岛p 1 ra n dt 上2 - 1 r t h e o r e m1 1 3i sp r o v e d t h ep r o o fi sc o m p l e t e - i nl e m m a1 1 _ 5a n dt h e o r e m1 | 1 2 + w ea s s u m et h a tasr + i nf a c t ，w ec a np r o v et h a t ( 1 1 1 ) h a sn os o l u t i o ni fai st o ol a r g e t h u sw eo b t a i nf o l l o w i n gl e m m a l e m m a1 1 6s u p p o s et h a t ( 日1 ) ，( h 3 ) h o l d ，t h e nt h e r ee x i s t sn 1 0 s u c ht h a t u ( ) 0 s u f f i c i e n t l ys m a l l a n d l 0s u c h t h a t ，( ) 2 ( m 0 + ) t 工，v o 0 1 l e t ( t ) b eas o l u t i o no f ( 1 1 1 ) w ec l a i mt h a t 坝( t ) i f 坝i i ，t 1 一o l ， ac o n t r a d i c t i o n ! w h i c hs h o w st h a to u rc l a i mi st r u e o nt h eo t h e rh a n d f o ra n ：= 鼎1 ，w eh a v e 训掣1 w h i c hc o n t r a d i c t st ou x ( t ) 0 ，t h e n ( 1 1 1 ) h a sas o l u t i o nf o re a c hf i x e da 【o ia 1 p r o o f l e tv ( t ) 0a n d ( t ) b et h es o l u t i o no f ( 1 1 - 1 ) w h i l ea = t h e nf o re a c h f i x e da 【0 ，- 1 ，w eh a v e 一丽1 州) s q ( t ) m ( t ) ) ，0 t l 。 ( o ) 一6 t l i r a o + p ( t ) ( t ) = 0 ， c v ( 1 ) + d f 弊p ( 咖协) = 0 a 而1 + 删伽( t ) ) = 。，。 l n ( o ) 一b 。l i r a o + p ( 。) ”7 ( ) = o ， c t l ，( 1 ) + d t 弊p ( t ) t 7 ，( t ) = 天 i e v ( t ) i sal o w e rs o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) a n d ( t ) i sa nu p p e rs o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) n o ww es h o wt h a tf o re a c hf i x e d 1 0 ，- ，( 1 1 1 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o nt p w i t h v ( t ) 兰0 s ( t ) 5 ( ) ，t i o ，l 】 6 ( 1 1 1 2 ) s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t ot h i se n d w ec o n s i d e rt h em o d i f i e db v p i 南( p ( t ) u ，( t ) ) 7 + q ( 。) f ( u ( ) ) = o ，o 。 1 ， n ( o ) 一6 1 i m o + p ) “ ) = o ， ( 1 1 + 1 3 ) 【( 1 ) 十d t 蟀p ( t ) “( t ) = w h e r ea 【0 ，_ 】a n dt h ef u n c t i o n f ，( o ) + r p u ) ，u ( t ) ( t ) ，t 【0 ，l 】 i sc o n t i n u o u s ，n o n n e g a t i v ea n db o u n d e do n 【0 ，1 】( 一o 。，o 。) w h e r eri sd e f i n e da 5f o l l o w s fui f 叫s1 “2 i 尚o t h e 州s e i ti se a s yt os e et h a tu ( t ) i sas o l u t i o no f ( 1 1 1 1 ) i fu = a x u h e r ea ：c 0 ，1 】_ c 0 ，1 】 i st h eo p e r a t o rd e f i n e db yr e p l a c i n g ，( u ( 8 ) ) w i t hf ( u ( s ) ) i n ( 1 1 9 ) ，w h i c hi sac o m p l e t e l y c o n t i n u o u so p e r a t o rf r o m 吾；：= t ( 0 ) = 0ac o n t r a d i c t i o n ，w h e r e a s i f 8 0a n db 0 t h e n 。崦p ( t ) ( 州一u = 融o ) 一u ( o ) ) o ac o n t r a d i c t i o n i fo = o t h e nw eh a v e l i m + 删“( t ) - o lt 1 h o n + 删口唯) 2 o f r o mt h i s ，i tf o l l o w st h a t f t p ( t ) ( ”( t ) 一o ) ) = p ( s ) q ( s ) 【，( s ，口( s ) ) + t ( v ( s ) 一u ( s ) ) 一，( s ，口( 5 ) ) d s 0 j 0 b yt h ec o n t i n u i t yo ft h ei n t e g r a n d ，w eh a v e 0 = u 观p ( t ) ( 。( t ) 一( t ) ) 0 u ac o n t r a d i c t i o n t h u st o o s i m i l a r l y , w eg e tt o 1 c o n s e q u e n t l y , u ( t ) 20 ，t i 0 ，1 ) a s i m i l a ra r g u m e n ts h o w st h a tu ( ) ( ) ，t 0 ，1 】h e n c e ，( 1 1 1 2 ) h o l d s a sar e s u l t ，t h e s o l u t i o nt ( t ) t o ( 1 1 1 3 ) i sa l s oas o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) t h ep r o o fi sc o m p l e t e l e r n m a1 1 8s u p p o s et h a t ( h 1 ) ，( 风) ，( h 4 ) h o l d t h e nt h e r ee x i s t sa + 0s u c h t h a t ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o nf o ra l la 【0 ， + 】，a n dn o n ef o r a i fa 0 ，t h e n t h es o l u t i o ni sc e r t a i n l yp o s i t i v e p r o o f s e t r = s u p a 0 ：( 1 1 1 ) h a sa tl e a s to u es o l u t i o n ) n o ml e i n l n a1 _ 1 5a n d1 _ 1 6 w ek n o wt h a t0 a + p r o o f a c c o r d i n gt ol e m m a1 1 8 ，w en e e do n l yp r o v et h a t ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w o p o s i t i v es o l u t i o n sf o ra ( 0 ，a ) l e ta ( 0 ，”) a n dn a b eas o l u t i o no f ( 1 _ 1 1 ) f o r a = a + o b v i o u s l y , f o ra n ya ( 0 ，a + ) ，u o ；0i sal o w e rs o l u t i o no f ( 1 1 1 ) a n d “ i sa l l u p p e rs o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) b yl e m m a1 1 - 7 ，w ek n o wt h a t ( 1 1 1 ) h a sas o l u t i o n “ w i t h 0 u a p n e x t l y , w ew i l lf i n das e c o n dp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 1 ) f o re a c hf i x e da ( 0 ，a + ) ( ) t h ec a s e ：b = 0 s i n c e ，i si n c r e a s i n g ，