（基础数学专业论文）圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集.pdf

摘要 本文将讨论圆周上所有有4 周期轨的连续自映射的周期集的情况。首先，我们介绍了 问题的由来与发展以及必要的预备知识，再根据相对共轭以及相对同伦关系对圆周上所有 有4 周期孰的连续映射分类，之后利用映射覆盖图分别对每一类映射进行其周期集的讨论， 并给出若干实例，最后给出了对于圆周上所有有4 周期轨的连续自映射的同伦最小周期集 的结论。将该结论与线段上的s h a r k o v s k i i 定理进行毖较发现圆周与线段的情况并不褶周， 即除个别特例外，几乎所有圆周上有4 周期轨的连续自映射的周期集都一定是全体自然数 集。 关键字：爨周，周期，s h a r k o v s k i i 定理，共轭，同伦 a b s t r a c t w es h a l lc o n s i d e rt h ep e r i o do r b i t so fs e l f - m a p so nt h ec i r c l ew h i c hh a v eap e r i o do r b i tw i t h l e a s tp e r i o d4 s t a r t i n gw i t ht h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h i sp r o b l e m ，s o m ep r e - k n o w l e d g e a l ei n t r o d u c e d w ec l a s s i f yt h em a p so nt h ec i r c l ew i t hf i n i t ei n v a r i a n ts u b s e ti n t os o m e h o m o t o p yc o n ju g a c yc l a s s e s ，t h e nt h es e to fp e r i o d so f e a c hc l a s sc o u l db ed e t e r m i n e db a s e do n t h eu s eo ff - g r a p h ，a n ds o m ee x a m p l e sp r e s e n t e d f i n a l l yo u rm a i nr e s u l ti sa c l a s s i f i c a t i o nt ot h e r e l m i v eh o m o t o p ym i n i m a lp e r i o d s w h e nc o m p a r i n go l a fc o n c l u s i o nw i 伽t h es h a r k o v s k i i t h e o r e m ，s o m ed i f f e r e n c e sa l ep o i n t e do u t ，n a m e l y , t h es e to fp e r i o d si snf o ra l m o s ta l lt h e s e l f - m a p so nt h ec i r c l eh a v i n gap e r i o do r b i tw i t hl e a s tp e r i o d4 k e y w o r d s c i r c l e ，p e r i o d , s h a r k o v s k i it h e o r e m ，e o n j u g a c y , h o m o t o p y 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名：劲渫 日期：彻g 年g - 月刁日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论又的杯趣利 摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：历乞荧日期：泐矿年厂月2 7 日 圆周上有4 周期轨的连续自映射的周期集 1 简介 动力系统的研究已经有很长时间的历史了，人们在寻找适合各自需求的动力系统模型 时发现：一些看似简单的动力系统的模型却可能有十分复杂的行为，如t y l i 和j a y 0 r k 在 1 9 7 5 年证明的“3 周期意味着混沌 的结论就是一个很好的例证，也正是由此开始对于混沌 的研究引起了人们的广泛关注实际上，关于单位区间上的动力系统的周期轨道之间的制约 关系，s h a r k o v s k i i 早在1 9 6 4 年就已经给出了具有一般性的定理结论，只是长期不为西方学者 所知，直到1 9 7 6 年以后才重新被人注意到 先介绍s h a r k o v s k i i 序， 按以下方式对自然数重新排序：3 。 5 ， 7 ， ， 2 3 ， 2 5j 2 7j l 2 2 3j 2 2 5 ， 2 2 7 $ 2 “3 。 2 ”5j 2 “7j ， 2 4 ， 2 3 ， 2 2 ， 2 ， 1 ，即先排列所有大于l 的奇数，接着排列所有形如2 3 ，2 5 ，2 7 ， 的自然数，然后排列所有形如2 2 3 ，2 2 5 ，2 2 7 的自然数，按2 的幂次依次升幂排列下去， 最后再按降幂顺序排列所有偶数，最后是1 这个顺序就称为s h a r k o v s k i i 序s h a r k o v s l ( i i 定理 的内容则如下所述：设f ：i r 是从线段i = 【o ，l 】到实数轴尺的连续映射如果厂具有周期 为朋的周期点，则它具有按s h a r k o v s k i i 序排在m 之后的一切自然数为周期的周期点 1 ，p 1 4 存一维动力系统的理论研究中发展出了许多方向，其中之一便是以s h a r k o v s k i i 定理为 基础发展起来的既然线段上的连续自映射若具有周期为m 的周期点，则一定会有按 s h a r k o v s k i i 序排在m 之后的一切自然数为周期的周期点，那么自然产生了一个更一般的问 题：除了线段以外，在其它拓扑空间上的映射是否也有类似的“强迫关系 ( f o r c i n gr e l a t i o n ) 【2 ，p l 】? 本文讨论的便是在圆周上的连续自映射的一类具体情形，即圆周上有4 周期点的连续 自映射的最小周期集，以此尝试寻找圆周上的s h a r k o v s k i i 定理我们将圆周上有4 周期点的 连续映射按相对于已知周期轨的相对共轭同伦类进行分类讨论后，发现大多数映射的周期 集一定是全体自然数n 这与线段上的情形完全不同按s h a r k o v s k i i 定理，线段上有4 周 期点的连续映射应只能确定有按s h a r k o v s k i i 序排在4 之后的2 周期和l 周期 由于s h a r k o v s k i i 定理在一维动力系统研究中起着核心的作用，而它的原始证明缺少系 统性和概念性，因此人们试图寻找更好的办法给予新的证明，现在已有很多种方法其中有一 种方法是利用映射覆盖图【l ，p 1 9 寻找周期点，b l o c k , g u c k e n h e i m e r , m i s i u r e w i c z 和y o u n g ， 2 1 简介 h o 和m o r r i s ，s t m f f i n 以及b u r k a r t 等人的研究便基于此本文在确定圆周自映射的周期点时 也将主要采取这种方法另外，将圆周上的映射提升为线段上的映射，再由线段映射的性质得 到圆周上映射的结论也是研究圆周映射的一个常用的做法，根据映射度的不同取值对映射 的周期集进行分类也已有一些结论可见【3 ，p1 2 4 全文的结构如下：首先我们将在第2 节中介绍必要的预备知识，如映射覆盖图以及最小 周期集的概念：第3 节则将利用相对共轭的等价关系将圆周上所有有4 周期点的连续映射划 分为一系列相对共轭类；第4 节则利用相对同伦的等价关系对这些映射再分类，并写出每类 中一个具体映射的形式，这些具体映射我们称之为标准映射，并讨论同伦关系下标准映射的 周期集的意义；第5 节与第6 节的所有内容便是具体讨论这些标准映射的周期集；第7 节是 第5 节与第6 节的结论的综合与完善，我们将根据周期集的情况，对圆周上所有有4 周期的 标准映射进行分类，并给出一些通过计算得到周期点的例子；第8 节则将给出圆周上所有有4 周期轨的映射的同伦最小周期集的结论，并与单位区间上的s h a r k o v s k i i 定理进行比较 2 预备知识 我们来介绍映射覆盖图的概念，它可用来表示出映射在区间上作用时产生的覆盖关系， 由这些覆盖关系得出的一些结论也对后几节的讨论是十分重要的，而且这些结论也将被反 复的运用 覆盖关系起先用于线段自映射的情形中 定义2 1 1 。第二章，定义2 1 设一线段icr ，f ：i _ r 是连续映射，k ，lci 为，的 子线段，如果f ( k ) 3l ，则称k 能够f 覆盖l ，记为k 与三，或简记为k _ l 命题2 2 1 第二章，引理2 3 k 与铮存在= y ，翻ck 使得f ( 力= l 命题2 3 1 第二章，引理2 4 k 与k jf 在k 中有不动点 命题2 4 1 ，第二章，引理2 5 如果 专乞专_ 厶一l 一厶j 厶， 那么存在x f i x ( f 一) ，并使得一1 ( x ) ，( = l ，2 ，玎) 圆周上的闭区间( 即弧段) 间的覆盖关系则可类似的定义，且易得类似的结论 定义2 5 记，= 【o ，l 】，q = e 2 霄良l z 1 ，i 2 ci ，哆= e 2 俄i x u ，如】cj 为圆周上 2 预备知识 ： 的两段弧设厂：s 1 一s 1 为一连续映射，如果八q ) 3 哆，则称q 能够厂覆盖哆，记为 哆山q 或简记为鳓寸q 命题2 6 若哝一q ，则存在卿c 并使得八卿) = 哆 命题2 7 q 山q 厂在q 中有不动点 命题2 8 如果厂有如下覆盖关系 q _ 吃一一一1 一c o 寸o ) 1 ， 则存在x f i x ( f 一) n r o l ，并使得厂一1 ( x ) r o j ( j = l ，2 ，刀) 还要特别说明一种将要经常用到的覆盖关系，若厂可使覆盖关系哆哼q ，哆哼吁及 q q ，f 同时成立，则记为cqpq 注2 9 若有覆盖关系cq 盘吁，则由命题2 7 首先可知厂在q 中有不动点，而对于 任意的自然数刀2 ，则可由c q 窖哆得到以下的覆盖关系 伪 崎i _ _ ij m i _ i - 、。、，。- _ 。- ， n - ! 则由命题2 8 可知存在x f i x ( f 肝) n q ，并使得厂加1 ( x ) q 定义2 1 0 1 ，第二章，定义3 1 把s 1 上的某些弧段( 闭区间) 作为顶点，把这些弧段之间 的厂覆盖关系表示为箭头，这样做出的覆盖关系的图示称为f 的映射覆盖图 例如 图2 1 则显示出例如c o ( 0 2 ，鸭寸q 等子图代表的覆盖关系 以下说明关于周期集的一些符号 厂的周期集记为p e r ( f ) 4 2 预备知识 定义2 1 1 设上一连续映射为f ，v 是s 1 的一个子集，则我们把所在的相对y 的同 伦类中所有映射的周期集的交集称为同伦最小周期集，记做h p e r ( f ；s 1 , v ) ，或简记为 h p e r ( f ) ，即h p e r ( f ；s i , y ) = n 聊i3 x ，g ”( x ) = x ，9 9 ( x ) x , q ，z g - - f 。 3 映射的相对共轭类 圆周上有4 周期轨的连续自映射很多都有很复杂的性质，在讨论它们的周期集之前有 必要先将它们进行合理的分类本节将先把圆周上所有以4 为周期的连续映射按共轭关系 进行分类 我们将用周期轨中的点，即周期点间的一个顺序进行共轭类的划分，因此首先对周期轨 中的点进行排序，这种排序对所有自然数周期的周期轨都是适用的 定义3 1 设厂为圆周上的一个连续映射，厂的一条周期轨为 x = e 2 碱ik = 0 ，l ，n 一1 且o x o x i 矗一l l ， 则称e 2 耳为f 的起始周期点，彳己为s o ( f ) 容易看出，起始周期点也就是周期轨中正辐角最小的周期点由此又可得知，一条周期轨 中的起始周期点是唯一的固定了起始周期点之后，我们便可按映射的次序对周期轨中的所 有周期点进行排序，而且这个顺序也是唯一的 定义3 2 设为圆周上的一个连续映射，称( ，咒，儿一。) 为厂的一条顺序周期轨，如 果蜘= s o ( 厂) ，f 。( y o ) = 只，汪0 ，1 ，n - i ，f ”( ) = y o 定义3 3 设厂为圆周上的一个有4 周期轨的连续映射，厂的一条周期轨为 x = e h ik = o ，l ，2 ，3j g - o x o 而 恐 是一条从v 七到+ l 的道路，在不至于混淆的情 况下，有时也用它来记以，咋+ l 为端点的四分之一圆弧( 闭区间) ； 4 映射的相对同伦类 7 记也： e 2 耳d 争i 叫学1lo l ； ( 2 ) 若标准映射在婊中有月周期点，疗4 ，则必定包含如下予图 纹一一：一一。魄， 但此时的七， ，五，五一l 可以全相同，即有如下形式 q 专q 一专魄一啤 、- ，- - - 一 证明( 1 ) 即命题2 8 ( 2 ) 若标准映射矿有玎周期点吼，且伊( ) = 只吒，i = l ，l 一1 ，矿( ) = y o ，则当 1 0 4 映射的相对同伦类 儿萑v 时，由妒( 片一1 ) = y a 即可得缈( 吒一。) 与也交集非空，按命题4 4 ( 1 ) 即有一。q 吒；若 乃v ，则周期轨为v = 愀，k = o ，l ，2 ，3 ，此时周期为4 与条件矛盾口 命题4 8 的( 1 ) 可以用来判断周期点的存在性，( 2 ) 可以用来确定某些周期点是不存在的， 但需要说明的是，当映射覆盖图中含有魄专哝专魄专q 形式的子图时只能确定该 、。、，- 。j 映射有不动点，却无法直接确定其中是否还有其他周期的周期点不过若结合标准映射的具 体形式并加以运算，其中的周期点就可以完全确定了，如以下两个定理所述这两个定理我们 将在第7 节中加以证明 定理4 9 若标准映射在魄，k = o ，l ，2 ，3 上映射的指数为，z ，则除4 周期点外， ( 1 ) 刀= 0 时，中不包含任何其他周期的周期轨； ( 2 ) 门取l 及一1 时，纹中不动点个数为1 ，且不包含其他周期的周期轨； ( 3 ) 甩取其守值，即l ，2l 2 时，魄中有刀个不动点，且包含以所有自然数为周期的周期轨 定理4 1 0 若标准映射在吼，国，上指数均为0 ，其中k ，= 0 ，l ，2 ，3 ，k ，且有覆盖关 系子图吼窖彩，则标准映射在( o k 与缈，中只有2 周期轨及4 周期轨 在接下来的两节中我们便根据命题4 8 ，定理4 9 及定理4 1 0 确定标准映射的周期集此 处需要特别指出的是，若标准映射的周期集可由命题4 8 完全确定，则由定理4 6 及命题2 8 就可得到该标准映射的周期集就是其同伦最小周期集的结论，因此在以下讨论标准映射周 期集的同时也尽可能的写出了其同伦最小周期集的结论，其中不能直接确定同伦最小周期 集的则留到第7 节个别解决 由定义4 1 已知 5 缎怕勺) 的周期集 敛m 也唧) ：hq q 字，6 0 1h 吐蹲，吃h 鸭q 字，叻h q 产 当= 0 ，k = 0 1 ，2 ，3 时，缎，l d 伪也吩) 为标准旋转映射，没有其他周期的周期点当心不全为0 ， 忌- - - 0 ，1 ，2 ，3 时，例如取( ，z o ，2 l ，伤，- 3 ) 2 ( 1 ，o , - - l ，2 ) 时，则纹i o i - 2 ) 为： 嘞hq q 2 ，铂h 吐，吐h 吃_ q 一1 ，鸭h q ； 5 颀m 呐) 的周期集 由此可得到以下如第2 节中图2 1 的覆盖图 如由纺l ，0 , - i , 2 ) ( c o o ) = 攻o l f 2 2 可得c o o 专哆，i = 0 ，l ，2 ，3 ；再如由敛l o ，- i 2 ) ( 吐) = 吃一1 q 一1 一1 可得 啼q ，i = o ，l ，2 等，此处要注意的是吃与吐q 表示的实际是同段弧此外，从该覆盖图中可 以比较容易的看出周期点的存在情况，例如敛，t o - ，2 ) 在q 内没有不动点；而由注记2 9 ，根据此 中包含的子图cc o o 套铣得知敛i o _ l ：) 在中有以所有自然数为周期的周期点等 以下我们便根据他的取值画出级一也唧) 的覆盖图，并根据覆盖图判断其各周期的周期点 的存在情况 由命题4 4 的( 4 ) ，当n k o 及 o 或 o 或n o 0 或 0 或 2 时的一。o ，_ l o ) 及牧一i o ，o ) 的同伦最小周期集， 现在只有h p e r ( ( 。o 。一1 o ) ) cp e r ( f t 。，o ，一i o ) ) = n 及h p e r ( 一1 o o ) ) cp e r ( 弘( 一l ，o 。o ) ) = n 的结论， 要想证明h p e r ( 妖。o ，一l 。o ) ) 与h p e r ( 2 时，牧邶，一l ，o ) 及妖一i o o ) 的周期集则均为n ，即p e r ( v ( 删。一i o ) ) 2 p e r ( 一l 加o ) ) ，这种对称性的原因如注记4 3 所述是由 于妖摊 o - l o ) 与毂一1 o ，。o ) 的共轭所致 7 标准映射的周期集 本节先对前两节的结论做个小结，然后给出几个通过标准映射的表达形式计算周期 点的实例，最后证明定理4 9 与定理4 1 0 由定理5 4 ，定理5 5 及定理6 7 ，注记6 8 ，可按周期集对标准映射分类如下 标准映射标准映射的周期集 敛o ，o o o ) 4 ) 牧o 0 0 0 ) 2 ，4 ) 毁一1 ，一1 一l ，o ) n 一( 2 ) 牧l o ，一l o ) ，妖o o ，一1 o ) ，畈一l o ，一1 。o ) ，妖一l ，o o 0 ) ，牧一1 , o ，1 o ) 2 时，妖。，o ，一l o ) ，畈一i ，o 。o ) ， n 宰 其它标准映射 n 7 标准映射的周期集 表l 1 7 注记7 1 关于” 的说明表中只有l 刀l 2 时毁以一l o ) 与竹一i 加 o ) 的周期集现在还不能断 言就是其同伦最小周期集，因此未将其直接并入最后一行而是在其周期集的位置作了一个木 的标记，后面需要对这种形式的标准映射进行再说明口 前几节中用到的标准映射的形式只体现了弧段之间的映射以及覆盖关系，事实上，若标 准映射为线性映射则其对圆周上每一个点的作用是可以完全确定的以下我们给出几个实 例说明如何写出这些具体的表达式，以及根据这些表达式计算周期点的具体位置，这些计算 过程和计算结果可以带来一些更直观的认识计算中的主要的想法是，对于一个给定标准映 射厂，选取合适的线性映射f ( o ) ，使得f ( e 研) - = e f ( g ) i , 并据此计算周期点的位置 例1 毁一l 。o ，o - o ) ：c o oi - - ) c 0 0 1 喀1 ，qi - - - - ) q ，吐i - - ) q ，鸭i - - ) 听1 各段之间的映射关系我们可表示如下图7 1 ， 如下定义f ( 0 ) ： f ( 秒) = f o ( o ) 一2 8 + 量， 巧( p ) = 9 7 l e ( 日) = 2 8 2 7 r , e ( 国一p + 孚， 一7 i 当叫o ，争时 当秒已，嚣】时 二 当州毛争时 当叫孚m 】时 则可验证当乡【o ，2 兀】时，线性映射e f 鲫对以“o o o ) 的周期轨y 中的四个周期点喙的作用与 妖- i 。 o o ，完全相同，由于畈1 o o ，o ) 也是线性映射，因此对矽【o ，2 兀】时的各个以心为端点的弧段， 1 8 都有畈一1 o 。o o j ( e 研) = e f 口” 7 标准映射的周期集 牧一i o o o ，的覆盖图如图7 2 所示， 图中显示畈一l ，o ，o o ) 在q 及鸭中有2 周期点，以下我们试求牧_ 1 o 0 ，0 ) 在q 中2 周期点的确 切值取p 唔，兀】，则e 研q 则 牧一i 脚) ( e 研) = e m 7 = e 乳耳v ， 此时由于矽一兀e 【一量，o 】已超出f 定义区间的范围，所以无法直接迭代，但是由于 e ( 口一叫= e ( e + x ，而口+ 冗= 最( 秒) + 2 去【娑，2 兀1 ，所以此时这样计算： 昨，o 。0 ) ( e 研) ：收_ 1 。0 - o ) ( e ( e - n ) ，) ：牧- l o o o ) ( e ( o + x ) i ) = e f ( 口+ 兀) - ：e ( 一( 口+ 耳卜警v ：e ( 一9 + 挈， 令- o + 塾2 = 秒啦毗z ，no = 半冗i 再由三2 秒= 半兀s 冗及墨z 啊确定唯 一的毛= o ，此时对应9 = 荨即e - i l 是毁_ 1 o o o ) 的一个2 周期点这点验证起来也很简单： 昨l 0 o ，o ) ( e 扣) ：o o - 0 ) ( e 五硝3 ：妖邶硝e 一4 )晾l 0 o ，o ) ( e 4 ) = 牧- l - o o - o ) ( e ”4 ) = 妖一媳o o ) ( e ) ：畈一。，。，。，。，( e 争) ：e 巧( n ) z = e ( - 子霄+ 莩v ：e i 3 耐 由上面这个验证的过程还可以看出e4 也是炊- 1 1 0 ，o 0 ) 的一个2 周期点，实际上它就是鸭 中的那个2 周期点1 l pe i _ i 。，o 。) 的( 唯一) 一条2 周期轨为 e 叫4 ，e 一4 口 在上述计算过程中，由于曩( 口) 的取值已经超出定义的区间，所以我们利用e 成= e 护+ 2 枷， ，z ，并选取z = 1 使互( 9 ) + 2 兀的取值回到定义区间以便可以再次迭代，实际上此时若直接 使用e ( 秒) 进行迭代可得到 7 标准映射的周期集 1 9 墨( ( 秒) ) ：e ( 目一妒一( p 一兀) + 誓：秒+ 冬 形式的表达式，再解方程册孚= 岛兀可得口= 竽兀贝i j 由里2 竽，【冗可得 乞：l ，但是目的解仍为荨 结果相同的原因如下，由于线性函数f 的定义中0 的系数均为整数，因此若某一步对0 的值增加或减少了2 1 n ，l z ，则迭代的结果也只差旒的某整数倍，而在最后解方程时，由于 方程的右端含有2 k n ，k z 的形式，因此可将左端含2 1 n 的项移至右端与2 k n 合并为一项，则 左边剩下的形式即为每一步直接取0 得到的表达式，右端则变为2 k r c ，其中k 7 = k - i - ，k z 且0 取值范围不变因此最后结果中0 的取值并不会改变，但k 与k 有可能不同如从上述两 个满足9 唔，兀】的方程口= 兰；堕兀与口= 丁7 - 4 k 2 兀中便可很明显的看出，口的取值必定相 同，而毛，乞不同也不需相同因此在某一步取值超出定义范围时，我们直接按其最小正辐角 所在的区间选择分段函数的表达式进行下一步的迭代也得到了同样的0 的解 如果需要对0 的取值做特别的限制以使其在f 下的像落在某个特定的区间，则在每次 迭代之前都应先确定好0 的取值范围，因为这将决定最后k 的范围及0 的取值 例2 牧一1 一i ，一l 。o ) ：h 蝣1 蝣1 ，qh 蛭1 町1 啄1 ，镜h 呵1 喀1 ，伤h 町1 映射关系如图7 3 并定义f 如下 。f f 1 唧q哟q 图7 3 f ( o ) = e ( 日) = 一2 0 + 罢- ， e ( 秒) = 一3 0 - i - 鸭 e ( 护) = 一2 0 ， e ( 秒) = 一秒一i 3 7 1 ；， 当秒【o ，詈】时 当秒 罢，冗】时 当叫磅】时 当口吁3 7 1 ；，2 7 【】时 跏d 啦 醐 以 细 彩 印 以 映射覆盖图如图7 4 ， 7 标准映射的周期集 彩产一 图7 4 牧一t - l - i 。) 在鸭中应有3 周期点，按覆盖关系吩寸q _ 吐。q ，取秒【詈，2 兀】，则 牧小卜( e 研) 兰e 删：e 一 由于一秒一堑2 卜i 7 x ，一3 兀】，而e ( 岳孚) ，= e ( 讲等 ，且一口+ 誓【兰州所以e ( 机争在q 中周 此满足覆盖关系鸭一q 且可以进行下一次迭代： 噍卜) ：聊( e ( 一舢鸹：e f ( - e + 誓) i ：e ( - 3 ( - e + 和，：e 可1 3 x ) i ：e ( 3 0 - 此时3 椤一堕2 他了3 x 】，按覆盖关系图应要求3 p 一詈e 【兀，3 2 7 1 ；一一e , 一 ( 3 0 - 争位于吐中，此时 口【粤，2 冗】；再次迭代有 o 眩，。吨。，( e 研) = 忆吐 。，一鸹= f ( 3 0 - 2 ：e 邶哆：e c 一删， 此时求方程 6 秒+ 7 f 口+ 2 艋，秒【 _ ll g ，2 兀】 o 的解，则只有尼：“时对应的p ：娶可以满足方程口 ， 本例中若在第二次迭代之前不对秒补充限制，则不能保证在每次迭代后目的像按覆盖关 系鸭专q _ 吐专叻依次落入各指定弧段，最后的解也有可能出现差错 例3 妖2 ，o 。- l o ) ：h 魄吃q ；，qhq ，吃h 蝣1 何1 ，鸭h 町1 ， i n f 4 先如下表示出映射关系图7 5 再由此定义f r 们： 点 1|i i i 7 o a l 23 图7 5 7 标准映射的周期集 f p ) = y o ( o ) _ 1 0 秒+ 詈， 互( p ) = 0 + 5 码 最( 口) = - 2 8 + 8 兀， 硼) = 句+ 字， 当州o ，争时 当秒【要，兀】时 当秒【毛孚时 当0 牟，2 7 【】时当咩，2 7 【】时 2 1 由牧2 ”i o ) 的覆盖图7 6 及定理4 9 ，妖2 ，o - i o ) 在鳓上映射度为2 ，所以中应有两个不动 图7 6 类似前面的办法，取秒f o 争，则e # le 嘞，( d = l o 乡+ 兰，解方程l o 乡+ 詈= 秒+ 2 概在 秒【o ，号】中的解，则有尼= l 时的p = 垩以及七= 2 时的p = 等两个解，即妖：- 0 t _ l ，o ) 在中有两 z o1 6 个不动点e 与e 耐口 经过以上几个计算的例子之后，我们开始进行定理4 9 和定理4 1 0 的证明通过第5 节 与第6 节中