（基础数学专业论文）拟线性方程解的存在性和不存在性.pdf

摘要 本文主要是用0 d e 方法和极小变分方法证明拟线性椭圆型方程径向解和非径 向解的存在性，用先验估计方法证明拟线性抛物型方程整体解盼不存在性，得到了 一些关于拟线性方程的新结果 在第一章中，利用o d e 方法。证明了一类散度型拟线性椭圆型方程边值问题 径向解的存在性。当非线性项具有单调性时，同时得到唯一性；当非线性项不具单 调性时，证明了球上d i r i c h l e t 问题当球的半径充分大时解的存在性这里的拟线性 方程可以包括p - l a p l a c e 方程，广义的平均曲率方程等，解是指g 1 意义下的径向 广义解 在第二章中首先得到一个s t r a u s s 型不等式在该不等式和c a f f a r e l l i - k o h n n i r e n b e r g 不等式的基础上，在一个加权s o b o l e v 空间中应用极小化变分方法，证 明了带无界系数的一类拟线性椭圆型方程在全空间上径向解的存在性和在球上( 当 球半径充分大时) 非径向解的存在性用对称重排的技巧证明了具超i i 缶界指数的拟 线性椭圆型方程在有界域上解的存在性 在第三章中证明了对非齐次项没有增长限制的一类拟线性椭圆型方程解的存在 性，即右端项是局部可积函数时解的存在性证明中采用了不同以往的方法，完善 了已有结果证明了一类非线性重调和方程同类问题解的存在性。 用先验估计结合一些经典不等式，在第四章中证明了一类发展的p - l a p l a c e 不 等方程非平凡整体解的不存在性，得到了一类强非线性抛物型不等方程的比较原 理用积分方法给出了一类拟线性椭圆型方程径向整体解存在的一个充要条件，推 广了已有的结果 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，u s i n gt h em e t h o d so fo d ea n dc a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，w ep r o v e t h ee x i s t e n c eo fr a d i a la n dn o n - r a d i a ls o l u t i o n so fs o m ec l a s s e so f q u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s b ym e a n so fap r i o r ie s t i m a t e s ，an o n e x i s t e n c et h e o r yf o rac l a s so f q u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si se s t a b l i s h e d i nc h a p t e r o n e ，o nt h eb a s i so f a n i n t e g r a li d e n t i t ya n du s i n g t h em e h t o do fo d e ， w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fr a d i a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ， w h i c hc a ni n c l u d ep l a p l a c i a na n dg e n e r a l i z e dm e a nc u r v a t u r eo p e r a t o r s 、w h e n t h en o n l i n e a rt e r mi sm o n o t o n e ，w ea l s og e tt h eu n i q u e n e s s o u rs o l u t i o n sa r ec 1 s o l u t i o n si nt h es e n s eo fd i s t r i b u t i o n s as t r a u s st y p ei n e q u a l i t yi so b t a i n e di nc h a p t e rt w o t o g e t h e rw i t hc a f f a r e l l i - k o h n n i r e n b e r gi n e q u a l i t ya n dr e l l i c h s o b o l e vi m b e d d i n gt h e o r e m s ，u s i n gc a l c u l u s o fv a r i a t i o n si na w e i 曲t e ds o b o l e vs p a c e ，t h ee x i s t e n c eo f r a d i a la n dn o n r a d l a ls o u t i o n so fac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dc o e f f i c i e n t si sp r o v e d u s i n gt h es r l t i et e c h n i q u e sa sa b o v e ，ac l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hs u p e r c r i t i c a l e x p o n e n t sa r ec o n s i d e r e d i ne h a p e rt h r e e ，e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h o u tg r o w t hr e s t r i c t i o n so nd a t aa r ec o n s i d e r e d e x i s t e n c er e s u l t sf o rq u a s i l i n e a ra n db i h a r m o n i ce q u a t i o n sa l eg i v e n t h e m a i nt e c h n i q u ei st og e tu n i f o r me s t i m a t e sf o rs o l u t i o n sw h e nt h er i g h th a n ds i d e b e i n gi n t e g r a b l e u n i q u e n e s sf o rs u c hp r o b l e m sa r et o t a l l yo p e nn o w c h a p t e r f o u ri so nn o n e x i s t e n c eo fe n t i r es o l u t i o n so fq u a s i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s ( i n e q u a l i t i e s ) o u rn o n e x i s t e n c et h e o r yd o e sn o tn e e da n yc o n d i t i o n so ni n i t i a l d a t a w ea l s og e tac o m p a r i s o nt h e o r e mf o rac l a s so fs t r o n gn o n l i n e a rp a r a b o l i c i n e q u a l i t i e s a tl a s tw eg i v e as u f f i c i e n ta n dn e c c e s s a r yc o n d i t i o nf o re x i s t e n c eo f r a d i a le n t i r es o l u t i o n so fac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 第零章绪言 o 1 有关历史 0 1 1 先验估计和d i r i c h l e t 原理 上世纪初，h i l b e r t 提出的第1 9 问题是关于解的正则性的，第2 0 问题是关于解 的存在性的这两个问题指导了2 0 世纪偏微分方程的发展s b e r n s t e i n 在解决2 维非线性椭圆型方程解的存在性时第一次提出了先验估计的思想自b e r n s t e i n 开 始，经过j l e r a y , j s c h a u d e r ，c m o r r y , l b e r s ，l n i r e n b e r g ，0 l a d y z h e n s k a y a ， n u r a l t s e v a ，j s e r r i n ，h b r e z i s ，l c e v a n s ，a f r i e d m a n ，l c a f f a r e l l i ，j s p r u c k ， n v k r y l o v 及m v s a f o n o v 等人的工作，一直到d e g i o r g i n a s h m o s e r k r y l o v 估 计，先验估计方法已成为2 0 世纪非线性偏微分方程理论的一个重要特征。值得的 注意的是，在利用先验估计得到一些深刻的结果时对方程是有条件的以椭圆型方 程为例，一般要求方程是严格椭圆的。例如，对形如 n口 堇a i j ( x , u , d u ) 蠢一f ( x , u , d u ) 的拟线性方程，要求存在一个常数c 0 使得 口i d ( z ，u ，d ) c 比r 这种要求在先验估计中是必须的，否则得不到二阶方程的最大值原理和h a r n a c k 不 等式等结论下面再来看一个拟线性方程： ( + )一d i v ( d u p - 2 d u ) = ( x ) p 2 时该方程出现在弹塑性理论中很容易验证上面的方程不满足严格椭圆的条 件这时就不能直接应用前面发展起来的先验估计方法实际上，在d u = 0 的 地方，当p 2 时方程是退化的，这时没有最大值原理；当p 2 时方程是奇异 的。也正因为如此，退化和奇异方程的研究就显得特别困难d i b e n e d e t t o 4 1 1 和 t o l k s d o r f 1 1 0 1 分别在1 9 8 3 和1 9 8 4 年对形如上述的退化型方程证明了一个c 1 o 正 财眭结果。至今为止，这仍然是目前最好的结果由此也可以看出退化型方程与非退 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 2 化型方程是有很大差别的，也是比较难研究的本文就是要处理这一类以p - l a p l a c e 方程为代表的不具严格椭圆或严格抛物性质的拟线性方程。 对h i l b e r t 第2 0 问韪，h i b e r t 最初的建议是用d i r i c h l e t 原理来解决d i r i c h | e t 原理是说问题 在n 内= 0 ，在a n 上“= 西 的解是积分盘；l d u l 2 出在容许函数空间k = c 2 ( n ) i “8 n = 毋) 中的极小 元h i l b e r t 的建议是取一个d i r i c h l e t 积分的极小化序列，再证明可选取一个修正 过的序列使其一致收敛于一个极小元。该方法依赖于一致拓扑下的一个紧性定理， 即a s c o l i 定理。请注意那时l e b e s g u e 基础上的口空间理论还没有出现1 9 0 6 年，l e v i 发现一般的极小化序列在d i r i c h l e t 范数下是一个c a u c h y 列，因此在一 个合适的完备空间中收敛到一个广义函数由于该发现，他开始深入研究与直接变 分法有关的函数空间。现在称为s o b o e v 空间经过三四十年代完整的s o b o t e v 空 间理论建立之后，变分法成为证明偏微分方程解的存在性的一个极其重要的方法， 它的一个优点是可以利用泛函分析的理论选择一个合适的s o b o l e v 空间后，容易 得到一个弱收敛的子序列。重要的，也是最难的部分是证明这个弱收敛的子序列是 强收敛的在s o b o l e v 紧嵌入定理成立的情况下，这不成问题；但是没有紧致性的 情况下，对于非线性问题这是非常困难的一步本文在证明解的存在性过程中遇到 的就是这种困难另外，虽然现在已经证明大量非线性方程具有多解往，但是人们 往往还是最关心由变分问题得到的极小元解 o 1 2 发展概况 对于退化的或带奇异性的方程，由于不能直接利用最大值原理和h a r n a c k 不等 式等二阶方程所具独有的这些好性质，自然不能指望象对严格椭圆型方程那样有一 个统一方法解决所有的问题，只能是对具体问题采用具体方法 陈祖墀( z u c h ic h e n ) 教授及其合作者近几年来对退化和奇异的椭圆型和抛物 型方程进行了大量的研究，例如可见f 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，1 2 0 等他们的研究 主要是用不动点理论和连续性方法等证明解的存在性证明的关键是构造合适的空 间，然后给出适合的技术性条件正是由于没有统一成熟的理论来处理退化和奇异 方程，所以返回到最一般最原始的方法去考虑问题有时是必要的本文的许多方法 也是受上述文章的启发。 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 3 处理退化型方程( + ) 的一个有效方法是用椭圆型方程 一d i v ( ( e + i d u 2 ) 佃。) 2 d u ) = ，( 。) 的解来逼近原方程的解，可见【6 4 ，1 1 1 ，1 1 7 。但这种方法只对特定方程适用七 十年代以来，临界点理论开始被广泛应用于证明解的存在性和多解性，特别地山路 引理的出现使应用更方便了开始主要是用到半线性方程上，八九十年代被用到p - l a p l a c e 方程上，可见j g a r c i aa 2 0 r c r o 和i p e r a la l o n s o 等人的工作1 5 6 ，5 7 i 在应用山路引理时要求( p c ) 条件，这是一个紧性条件，一般在有界域上且是次临 界指数情况下满足当失去紧性条件时，问题变的很复杂，直到现在也是一个很具 挑战性的课题对具临界指数的情形，开拓性的贡献是h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 在1 9 8 3 年的文章f 1 7 1 后来它们的结果被m g u d d a ，l ，v e r o n 【6 3 和朱熹平【1 2 1 等人推广到p - l a p l a c e 方程对于超临界指数的情况，有f m e r l e 和l ，a p e l e t i e r 等人的工作 8 3 ，8 4 】。本文第二章考虑了失去紧性和具超临界指数的情况。 在1 9 7 9 年，b g i d a s ，w m n i 和l n i r e n b e r g 【5 4 证明了一个非常精妙的定 理，他们的结论是对称区域上的非线性方程的正解也具有对称性，特别是证明了一 类半线性椭圆型方程的正解是径向对称的之后，f p a c e l l af 9 2 等人推广g n n 的结果到p - l a p l a c e 方程这也引起人们直接研究方程径向解的兴趣。这一方面是 由于解的对称性是有其物理背景的，对称性符合物理学的要求另外，径向解可以 作为比较函数，用来证明相近方程解的存在性和解的一些性质例如，p p u c c i 和 j s e r r i n 等的最大值定理结果【9 7 ，9 8 以及s k i c h e n a s s a m y ，l v e t o n 7 3 】和m 一f b i d a u t v e r o nf 6 1 等对解的奇异性分析都是以已知方程的径向解做为比较函数而得 到的本文第一章考虑了径向解的存在性和唯一性问题 1 9 8 4 年，h b r e z i s 7 证明了一个结果：设1 卢 0 使得0 卢时f ( 钍) 0 ，z r ；当h _ + o 。时“- 0 其中1 m o ，“h 1 ( r ) ( 心h 1 ( z k ) ) 的半线性椭圆型方程径向解和菲径向解的存在性。但对p - l a p l a c e 方程目前还没有 相应的工作，因而在第二章考虑了形如 ( 7 )一d i v ( i d u 一2 d u ) + f x l 4 f 一2 “= f 茁r f f 4 2 “，z r ” ( 8 )一d i v ( d u p - 2 d u ) 十i x l 8 l “l p - 2 u = i 1 6 i uj 。一2 u ，。b r 的拟线性椭圆型方程径向解和非径向解的存在性 将 1 0 8 的结果推广到上面的拟线性方程( 7 ) 时，首先须做两件事，一是证明一 个拟线性的s t r a u s s 型不等式；二是要建立一个合适的自反的加权s o b o l e v 空间 然后证明一个弱收敛的序列存在一个强收敛的子序列此过程的难点在于全空间上 没有紧嵌入定理，因而需要对方程进行更细致的分析 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 7 另外，用变分方法求解偏微分方程时，如果在径向函数空间中极小值达到的话， 得到的极小元是径向解，但在一般函数空间中达到的极小元不一定是径向解问题 是：什么情况下方程既存在径向解，又存在非径向解? 本章证明了一定条件下方程 ( 8 ) 即存在径向解又存在非径向解。该结果也丰富了第一章的内容。 为方便计，记n = n 一1 + 号，；+ 专= 1 ，暇乎( r ) 为1 p ( r ) 中满足 丘w x 1 8 l u l d x 2 下面来叙述本章 的主要结果 在第2 节中首先证明了下面引理： 引理0 2 4 若u 峨乎( r ”) n v ( r “) 且u 0 ，则存在常数c = c ( n ，p ) 使得 。l u ( x ) l ，c ( 1 d “i ，如) 协( h 8 l u l p d z ) 1 j r ” j r 在上述引理和c a f f a r a l l i k o h n n i r e n b e r g 【3 1 j 的基础上。首先考虑 m = m i n i d u l + ”f 札r d x u w t , 2 ( a ”) ，r 6 l u l 。缸= lj r ” 得到如下结果 定理o 2 5 如果 p 口，生 ! 且( 一p ) g n p 哦 q pp 那么m 能够达到，因此方程r 刀在空间噬乎( r ”) 中存在一个非负径向解 记 ， m = 。蝉l d u + l u l d x w 1 1 p ( i t ”) ，启h 6 i u l 口血= 1j r “ m l = m i n 。 d u l + d x “峨f ( 月a ) ，厶。”l u l a a x = lj a r 。 。 m 1 = ，i n f i d “1 9 + 8 i u l d x e 以。) ，厶r = l j 如。 。 在第2 和第3 节证明了 命题0 2 6 如果再b - a ；，p 口 m 1 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 8 在此基础上，第3 节证明了 定理0 2 7 若雨b - n ；，p q p + 由于在证明过程中使用丁对称重排 ( s y m m e t r i ca r r a n g e m e n t ) ，所以得到的( 9 ) 的解实际上是径向解对方程( 1 0 ) ，第 4 节证明了以下结果 定理0 2 8 存在序列5 。_ 0 使得问题一圳对应于= s 。在1 p ( n ) 中存在解 “。并且厶才1 = o ( e ：) 第三章 本章主要考虑无增长限制的椭圆型方程解的存在性其思想来源，一是受到对含 测度项方程的研究的影响，这方面的参考文献可见正文引言；二是希望将h b r e z i s 7 】关于 ( + )一“+ i r 1 = ，( z ) ，在口( r n ) 意义下 的存在唯一性结果推广到拟线性方程 ( 1 1 )一d i v ( 1 d u l p _ 2 d u ) + l “r 2 “= ，( z ) ，在口( r ”) 意义下 h b r e z i s 的证明是基于两点：一是k a t o 型不等式，即若( + ) 成立，则有 ( + + )一l “i + l u p i 儿在口( r ) 意义下 二是，在( “) 两边同乘以实验函数护，分部积分可得到 f l 训曲。兰l ，l + o f , l 庐。加 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文9 因而经过分部积分之后，上式中已经不再含有口的导数项，而且对积分进行估计时 起主导作用的是( + ) 式左端的第二项。 在( 1 1 ) 两边同乘以实验函数，分部积分后只能得到 r ) d u r 2 仇d e 仆r 2 u = m ) 即分部积分后不能将让的导数项去掉，估计时起主导作用的应是( 1 1 ) 式左端第一 项。也不能证明k a t o 型不等式对( 1 1 ) 也成立 由此可知b r e z i s 【7 的方法并不适用于方程( 1 1 ) ，而且推广过程中遇到的困难 是本质性的这也是目前对拟线性方程的结果不多的原因之一 在对数据无增长限制的条件下，b o c c a r d o ，g a l l o u e t 和v a z q u e z 在 1 4 中证 明了一类l i o n s l e r a y 型( 1 7 8 1 ) 的形如 - d i v a ( x ，d u ) + g ( 嚣，铭) = ，( 石) 的拟线性椭圆型方程解的存在性，他们的证明技巧是选取合适的试验函数，对解进 行先验估计，把次要项都“吸收”到主要项中去，最后用紧性嵌入定理他们的结 果需要条件p 2 一面1 本章的证明也是选取合适的试验函数对解进行先验估计，但与 1 4 的思路是不 同的，选取的试验函数也不同，得蓟的结果其有互补性 本章第2 节证明了 定理0 2 9 设，( z ) w , j ( r ) n 壤( r ) 方程p j 在w , 一o o ( r ”) 中存在一 个解。 设2 ”= 看兰，n 4 对于重调和方程 ( 1 2 )a 2 让一f “1 5 1 u = ，( z ) ， 第3 节考虑了有界区域上的问题在第4 节证明了 定理0 2 1 0 设j l k ( r “) ，s 2 ”一1 ，而2 n q s2 i + ，则问题“甜至少存在 一个属于日恐( r ) 的分布解 对方程 2 趾+ 仳f 5 1 “= ，( z ) 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 1 0 同样可证类似结果。 类似于本章的拟线性方程解的唯一性问题还是一个相当公开的问题在对解无 增长限制的条件下，p o r r e t t a 在【9 3 1 中证明了一类形如 一a u + h ( u ) + g ( u ) l d u l 2 = ，z r 的方程解的唯一性这里除要求，是径向的外，p o r r e t t a 还强调了上面方程中左 端含l d u l 项在证明中的必要性。 第四章 记 s = 畸r ，b 凡= 讹z ) s l 诉丽 r ) j = t 2 0 0 2 年，a g k a r t s a t o s 和v v k u r t a 在 7 2 中证明了半线性抛物型不等方 程 u t l u i t 正1 9 1 让仇一l v i 训q - 1 v ，( t ，g ) s 解的一个比较原理l 定义见正文他们的结论是：假设1 q ! 宇，( “，u ) 是这个不等方程的一个解f 在分布意义下j ，且“u 对口 ( t ，z ) s 成立，则有 锃= 。对8 e ( t ，z ) s 成立 记w = 口一仳，则证明这个微分不等方程的比较原理等价于证明积分不等方程 ”t 曲+ n 玎钏。c 9 v 咖ec 8 。( s ) ，曲。 非平凡非负解”的不存在性这也等价于去证明微分不等方程 ( + ) 毗一l w 4 非平凡非负解的不存在性 将k a r t s a t o s 和k u r t a 【7 2 】的结果进行推广时，自然要考虑如下拟线性抛物型 微分不等方程的比较原理 毗一d i v ( i d u l p 一2 d u ) 一 u l q - - l 让墨毗一d i v ( i d v l p - - 2 d v ) 一i u l q - 1 u 设w = u 一“，则w 满足 ( 籼)叫t d i v ( i d v p 一2 d v l d = i p - 2 d u ) c 叫9 ， ( t ，茹) s 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文1 1 不等方程( + ) 和( ”) 是有本质差别的，形式上不等式( ”) 左边第二项不能表示成 ”或其导数的线性形式，实际上这是拟线性和半线性差别的本质之所在本章的思 路是先考虑不等方程 u t d i v ( i d u l p 一2 d u ) u q ，( t ，x ) s 在某个函数空间中整体解的不存在性，再考虑何种条件可以保证比较原理对形如 ( “) 的不等方程成立。 需要注意的是，有时选取的函数空间是带参数的，而不是标准的s o b o l e v 空间。 这一方面是为了结果更具般性，另一方面也是本章证明中用到的技巧本章证明 的是解的不存在性，在对解的正则性有一定要求时，很容易简化我们的函数空间 下面开始叙述本章的主要结果首先考虑问题 h 。、f 毗一d i v ( d u p - 2 d u ) 舻， ( t ，z ) s ， 【乱0 ，u w 等( s ) n l ( s ) ，0 ，z ) s 在第2 节证明了 定理0 2 1 1 如果下列的条件之一成立 a 1 0 p 一1 m i n 口，) ，1 q 击，q m i i l 业群，型与攀) ， a 2 0 p 一1 m i n q ，) ，m a x 1 ，击) q m i n ，t 盟n 里+ 剑l - - p ，学 ， b 1 0 q p 一1 ，q 1 ， b 2 0 1 ，口 m a x p 一1 ，1 ) ，a ( x ，t ) ( i x l 2 + t ) 一4 对( z ，t ) ( 0 ，0 ) 成立且卢 0 ，问题0 4 ) 在w ：，。( s ) 中没有非平凡解。 记 v ：。( s ) = oj a ( z ，t ) u a + 。， d j “。1 三 o 。( s ) ) 对( 1 5 ) 有 定理0 2 1 3 设q m o x p - 1 ，1 ) ，p 1 ，口 0 ，问题一印在1 昭，。$ ) 中没有非平凡 解 第4 节考虑了一类强非线性抛物型不等方程 ( 1 6 )“t d i v a ( t ，。，d u ) 一i 1 4 1 “钝一d i v a ( t ，马d v ) 一j 勘j 。一1 的比较原理对a 的条件和不等方程解的定义请见正文我们证明了 定理0 2 1 4 假设( “，u ) 是一纠的一个解，并且对几乎处处的s 中的点有。 那么对几乎处处的s 中的点有= u 推论0 2 1 5 假设1 0 ，pe ( 0 ，o o ) ，当p _ + 0 时u ( p ) _ 0 ( f ) 对所有的t ，( t ) 0 ，( t ) o ；f ( t ) 是连续的。 定理0 2 1 6 ，假设阻j 和倒成立，则问题口剐径向整体解存在的充分必要条件 是 ， ( h 。( f ( t ，蛳) ) ) _ 1 d t = o 。 j u o 其中日和f 的定义与第一章的定义相同，只不过f 定义中的积分下限是从 初值u o 开始 第一章椭圆型方程径向解的存在唯一性 本章考虑下列散度型拟线性椭圆方程的边值问题 d i v ( a ( d u l ) d u ) + f ( u ) = 0 ， 0 ，。b r ( 0 ) ，i a 如( o ) = 0 径向解的存在唯一性这里且和，是( 0 ，o 。) 上的连续函数并满足一定的单调性条 件；f 在( 0 ，1 ) 上是正的，f ( 1 ) = 0 主要技术是打靶法我们证明了：( 1 ) 如果 ，严格递减的，则对任意的实数r 0 ，该问题有唯一的径向古典解；( 2 ) 如果， 不是单调的，则对充分大的实数r 0 ，该问题至少存在一个径向古典解这里的 径向古典解指的是c 1 意义下的径向广义解 1 1 引言 本章考虑下列散度型拟线性椭圆方程边值问题 c ， ：1 1 拳j 。训。“+ ，= 0 u n 。x e8 b 丑r 五( o 。) 。, ， 这里日r = b r ( o ) 是r 。中半径为r 的开球，a l p ) 是定义在p 0 上的正的连续 函数对a ，近一步的条件将在以后给出 我们感兴趣的是同题( 1 1 ) 的正的径向解。在径向鳃的意义下，问题( 1 1 ) 变成 以下常微分方程的初边值问题 f ( 删+ 竿刖圳u ) - - - - 0 ， ( 1 2 )“ 0 ，0 r 0 使得f ( “) 0 对o 0 对7 u 卢成立，并且如果7 0 ，z r ；u - 0 8 , 8 i z i _ o 。， 这里1 o ；“( o ) = o ，“( o ) = a ， 得到该问题正解的最大存在区间( 0 ，r ( o ) ) 反过来，对任意给定的且 0 ，我们能 找到一个合适的a 使得r = r ( o ) 本章是这样组织的：在第2 节中，我们考虑问题初值问题( 1 3 ) 并给出了解的 一些性质，特别是解的最大存在区间右端点兄( a ) 的性质在第3 节中证明了问题 ( 1 1 ) 的径向古典解的存在唯一性在减弱对a 和，的假设后，在第4 节中用逼近 的方法证明了解的存在性在第5 节中，我们考虑了当，不具单调性的情形，证明 了当区域半径充分大时问题( 1 1 ) 至少存在一个径向古典解 1 2 初值问题 在本节我们总假设 ( a 1 ) a c 1 ( 【o ，o o ) ) ，扫) = p a + a o 对p 0 成立，并且。( o 。) = o o ( f 1 ) ，在【0 ，。) 上是l i p s c h i t z 连续的 ( f 2 ) ，在【0 ，o o ) 上是严格递减的并且f ( 1 ) = 0 我们要考虑下列初值问题的非负解 协， 缎兰攀 由【4 8 ，a p p e n d i x i 我们有 命题1 2 1 问题偿j 有唯一的局部古典解并且连续依赖于初始值o 令 冗( a ) = s u p r 0io 牡( a ，r ) 兰dv r ：0 r 冗) ， 这里u = ( q ，r ) 是问题( 2 1 ) 的局部古典解 命题1 2 2 r ( 0 ，冗( q ) ) 时，钍，( r ) 0 2 0 0 4 年 中国科学技米大学博士学位论文1 7 由于0 0 ，所以 ( r 1 a ) 一t n - 1 ，( 让) 0 因而，r ( o ，r ( q ) ) 时0 ( r ) 0 口 命题1 2 3 r ( 0 ，r ( 。) ) 时，j “( r ) f m o 。，这里m 是一个不依赖于r 的正 的常数 证明定义 日( = p 2 a 加) 一厂p a ( p ) d p ，0 由【4 8 】知h c p ) 是严格递增的，n ( o ) = 0 并且满足下列恒等式 ( 2 3 ) 日( + f ( u ) = 日d 。) + f ( t l 。) 一( n 1 ) r 生坐掣出， ， ” 这里p = i u ( r ) ，p o = l u ( r o ) l ，u = 乱( r ) ，= ( r o ) ，f ( u ) = f ，( s ) 如，7 0 ，r ( o ，r ( n ) ) 令r o = 0 ，则有打) f ( u o ) o o 因而p h 一1 ( 札o ) ) = m 0 所以u ( i ( r ) j ) = a ( 1 0 ( r ) 1 ) f ( r ) j 是严格递增的由( a 1 ) ，u 是严格递增的因 而l u ( r ) l 也是严格递增的 ( i i ) 由( 2 ，4 ) ，“( r ) = 一5 d - 1 ( 9 ( r ) ) 因为p 0 时有( p ) 0 ，所以( 一u 一1 ( g ( r ) ) ) = 一诹在r i o , 矗( a ) ) 上是连续的，由此可推得u 俨( ( o ，丑( 。) ) 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文1 8 用反证法来证明( 哟假设r ( d ) = o o ，由( 2 4 ) 及( f 2 ) ，当r _ 0 0 时， ( 2 5 ) a d , a ( 1 , i 圳矾制y f 7t l v - i f o i ( a ) ) d t = 掣r _ o 。 ( 2 5 ) ( r ) 泓蚓r 1 。“= 生掣r o 。 j 0 j 由命题1 , 2 2 ，“是严格递减的，因而存在z 0 使得l i r a ，- + 。( r ) = z 所以必有 l i m ，o 。 ( r ) = o ，这也蕴含着j i m , 。且( f ( r ) j ) f ( r ) = o 这与( 2 , 5 ) 矛盾 口 命题1 2 5 u ( q ) ) = 0 证明由命题1 2 3 及f 4 8 ，p a g e1 9 7 ，( 2 1 ) 的局部解被延拓时只能是下列三种情况 之： ( a ) 对所有r 0 ，“( r ) 0 并且“( r ) o 并且( 研= 0 ， 由命题1 2 。4 ，情形( a ) 和( c ) 是不可能的。由r ( a ) 的定义，必有“( 班) ) = 0 口 命题1 2 6 假设 ，”是问题偿j ，的两个古典解，初始条件分别为“( o ) = n 和 u ( o ) = 芦国 ( r ) j 以矿r ( a ) 冗( 卢) i ( i i i ) 当r ( 0 ，r 0 】时j “ ) 1 ( r ) ，协( 0 ，t o ) 由( 2 4 ) 及( f 2 ) ， u ( ( r o ) ) 一u ( ( r 。) ) = r j 一7s n - i ( ，( u ( s ) ) 一，( 缸( s ) ) ) d s 0 由u 的单调性， u t ( t o ) ( r o ) ，这与( 2 6 ) 矛盾。所以对r ( 0 ，兄0 1 ，必有 i u ，( r ) i 0 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文1 9 所以c ( r ) t ，打) ，即1 0 ( r ) l 0 及一个严格递减的序列 o 。) c ( 0 ，1 ) 使得 m _ 。o 时口仇_ 0 且r ( 口。) e 对m = 1 ，2 ，成立 记 p m = f ( 凸! m ，e ) ，u 饥= u ( q m ，e ) ，p o = 0 ，u o = 4 r n 由( 2 3 ) ， ( 3 1 ) 日( p 。) + f ( “。) ：日扫。) + f ( u 。) 一( 一1 ) f 兰鹄d r j o m 记 ”( ) z 继妥扎 由命题1 2 6 ，当m _ + o 。时，日( 矾) 和b 。是递增的序列在( 3 1 ) 式两边令m o 。 因为当m _ 。时有o 。_ o ，所以当m _ 时，f ( u 。) _ 0 ，f ( u o ) = f ( n m ) - 0 左边的极限是正的，但是右边的极限是负的，矛盾所以必有1 i m 。o 兄( a ) = 0 口 引理1 3 2 r ( 4 ) 在( 0 ，1 ) 上连续 证明须证明 l i mr ( a ) = r ( o o ) ， 这里0 r ( 4 0 ) 中国科学技术大学博士学位论文 2 0 曲线缸( 口，r ) 在点“( 兄妇o ) ) 的切线方程是 ( 3 2 )可p ) 一“( n ，r ( a o ) ) = ( 血，r ( o 幻) ) ( r r ( o 句) ) 令( r ) = 0 ，我们得到交点 一酬+ 揣 因为7 ( a ，r ) 在r 0 ，丑( a ) 】上是严格递减的，所以有 ( 3 3 )r ( o ) 1 时，p ( t ) = o ；且p ( t ) = 1 j r 由假设( h 2 ) 和( h 3 ) ，u ( p ) 是奇的，连续的并且严格递增的定义 ， “j 。( p ) = p ( t ) w ( p e t ) d t +