（基础数学专业论文）惟一延拓性与cauchy问题.pdf

摘要 在这篇文章中，我们将要讨论拟微分算子的惟一连续性和c a u c h y 问题的解的惟一 性。在这个过程中，找到了使得一类算子是f r e d h o l m 算子的条件。在这篇文章中， 我们将集中精力讨论c a u c h y 问题的解的惟一性，因为某些算子的惟一连续性可以 化为对应的c a u c h y 问题的解的惟一性。算子的f r e d h o l m 性质是算子的非常重要的性 质。判断算子在什么条件下是f r e d h o l m 的是非常重要的。 关键字：惟一延拓，c a u c h y 问题，拟微分算子，f r e d h o l m 算子。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lm a i n l yi n v e s t i g a t et h eu n i q u ec o n t i n u a t i o np r o p e r t yf o r ( p s e u d o ) 一 p a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fc a n c h yp r o b l e m s m o r e o v e rc o n d i t i o n sw h i c ha s s u r eac l a s so fo p e r a t o r sa r ef r e d h o l ma x ef o u n d i n t h i st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s si n t e n s i v e l yt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fc a u c h yp r o b l e m s ， s i n c et h eu n i q u ec o n t i n u a t i o np r o p e r t yf o rs o m eo p e r a t o r sc a nb et r a n s f o r m e dt os o m e c o r r e s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e m s t h ef r e d h o l mp r o p e r t yf o rs o m eo p e r a t o r si sv e r y i m p o r t a n tt ot h e m t of i n dt h ec o n d i t i o n sw h i c ha s s u r es o m eo p e r a t o r sa r ef r e d h o l m i si n t e r e s t i n g k e yw o r d s ：u n i q u ec o n t i n u a t i o n ，c a u c h yp r o b l e m s ，( p s e u d o ) - p a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p - e r a t o r s ，f r e d h o l mo p e r a t o r s v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：彰牙冬 7 一罗年夕歹月2 7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 。_ - 。”h ”- _ _ 。_ ”n ”_ “。“ l 内部5 年( 最长5 年， | 秘密l o 年( 最长1 0 年 可少于5 年) ，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少丁二2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：刃牙c 絮 冲年矿夕月 7 日 i n t r o d u c t i o n i ti sw e l lk n o w nt h a ti nr e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c saf r e ee l e c t r o na ta ne i g e n s t a t e c a l lb ed e s c r i b e db yaf u n c t i o n 谚：r 3 _ c 4c a l l e daw a v ef u n c t i o n a ne n e r g y e i g e n s t a t ei s a i le i g e n f u n c t i o no ft h ef r e ed i r a co p e r a t o rdo ne u c l i d i a ns p a c er 3 u pt os o m ef a c t o r s i np h y s i c s ，aq u e s t i o ni st h a tw h e t h e ra ne i g e n f u n c t i o n 砂o f t h ef r e ed i r a co p e r a t o rc a nb el o c a l i z e d t h i sq u e s t i o nc a nb es t a t e di nm a t h e m a t i c w o r d s ，i e ，w h e t h e ra ne i g e n f u n c t i o n 矽o ft h ef r e ed i r a co p e r a t o rs a t i s f i e st h e ( w e a k ) u n i q u ec o n t i n u a t i o np r i n c i p l e t h e 砂i sc a l l e ds a t i s f y i n gt h e ( w e a k ) u n i q u ec o n t i n u a t i o n p r i n c i p l e ，i fi tv a n i s h e so nan o n e m p t yo p e ns u b s e to fr 3 ，s od o e si to nt h ew h o l eo f r 3 a p o s i t i v ea n s w e re x i s t s t h e r em a yb et w oe l e m e n t a r yp r o o f sf o ri t t h ef i r s to n e r e l i e so nc a u c h y - k o w a l e v s k a y at h e o r e ma n dh o l m g r e nt h e o r e m ，s i n c et h ec o e f f i c i e n t s o ft h ef r e ed i r a co p e r a t o rdo ne u c l i d i a ns p a c er 3a r ea n a l y t i c ，i nf a c t ，c o n s t a n t t h es e c o n do n ec o m e sf r o mt h a tt h ee x p l i c i to ft h ef r e ed i r a co p e r a t o ro nr 3a n di t s f o u r i e rt r a n s f o r m ( s e e 【1 3 】) t h e r ei sar e m a r ko nt h em e t h o do fa p p l y i n gc a u c h y - k o w a l e v s k a y at h e o r e ma n dh o l m g r e nt h e o r e m n a m e l y , t h e ( w e a k ) u n i q u ec o n t i n u a - t i o np r i n c i p l eh o l d sf o rf i r s to r d e re l l i p t i cd i f f e r e n to p e r a t o r sw i t ha n a l y t i cc o e f f i c i e n t s t h a n k st oc a u c h y k o w a l e v s k a y at h e o r e ma n dh o l m g r e nt h e o r e m m o r e o v e rt h e r em a y b et w ol i k e l yc o m p l i c a t e dp r o o f s t h eo n ef o l l o w sa ne s t i m a t eo fc a r l e m a nt y p e ( s e e 【4 】) w h i l et h eo t h e ro n er e l i e so i lt h ec o r r e s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e m t h e s em e t h o d s w o r kf o rt h ec a s eo fm a n i f o l d si n c l u d i n ge u c l i d i a ns p a c e s i ti st h em e t h o do fc o r r e - s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e mt h a ti si n t e r e s t i n g t h u si nt h i st h e s i st h eu n i q u e n e s so f s o l u t i o n so fc a u c h yp r o b l e m si sd i s c u s s e d t h em e t h o do ft r a n s f o r m i n gt h eu n i q u ec o n t i n u a t i o np r i n c i p l et oac a u c h yp r o b l e m i ss t a t e da sf o l l o w s l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nnw i t ho r w i t h o u tb o u n d a r ya n de _ mb eas m o o t hh e r m i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn l e tbb ea f i r s to r d e re l l i p t i cd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rd e f i n e do nmf r o met oe l e tt c ( m ，e ) b eas o l u t i o no fb u = 0 f i n a l l yl e tvcmb ean o n - e m p t yo p e ns u b s e to fm a s s u m et h a tu i y 三0 l e t ，：【0 ，1 ) o v ，b eao u t e rc o l l a r ( t h ev a r i a b l e i n 【0 ，1 ) i sd e n o t e db y ) t h e nt h ee q u a t i o nb u = 0 h a sl o c a l l yt h ef o l l o w i n gf o r m 象一a ( t ) u = 0 h e r ea ( t ) ，w h e r et 【o ，1 ) ，b eaf a m i l yf i r s to r d e rl i n e a re l l i p t i c d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sd e f i n e do n ( t ，o v ) f r o met oe s ot h eu n i q u ec o n t i n u a t i o n p r i n c i p l ei so b t a i n e di ft h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ff o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e m h o l d s u 爰= 一0 ，4 u = 0 。i n n ( o 。, 1 ：) 。) o v a , v t h u si ti st ob ei n v e s t i g a t e dt h a t l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nl + nw i t hn o n e m p t y b o u n d a r yo m l e tb b eas m o o t hf i r s to r d e re l l i p t i cl i n e a rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o rd e f i n e do nm f r o met oe a n dl e ts c ( m ，e ) b eas o l u t i o no f b s = 0 a s s u m et h a tsv a n i s h e so naa i d o e si tv a n i s hi nan e i g h b o r h o o d o f o m ? o re q u i v a l e n t l y , i ti st ob ei n v e s t i g a t e dt h a t l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nnw i t h o u tb o u n d a r y a n de_m b eas m o o t hh e r m i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn a n dl e ta ( ) ， 2 w h e r et 【0 ，l 】，b eaf a m i l yl i n e a rp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sd e f i n e do n mf r o met oe l e tu c ( o ，1 】m ，e ) b eas o l u t i o no f ( 爰一a ) 乱= 0 d o e su ( t ，z ) = 0 ，f o ra l lt 【0 ，1 】，i fu ( 0 ，z ) = o ? h e r ea g es o m er e s u l t s t h e o r e m0 0 1 l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nnw i t h o u t b o u n d a r ya n de 呻mb ea8 m o o t hh e r m i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn a n dl e ta ( t ) ，w h e r e t 0 ，1 】，b eaf a m i l yf i r s to r d e rl i n e a re l 却t i cp s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sd e f t n e do n i fa o met oe a 8 s u m et h a tf 0 ，1 i 弓th 仃( a ( ) ) c ( t i f ，h o m ( e ，e ) 1i s8 m o o 统 a n d a l ( a ，t o ) = 盯l ( a ，u ) ，w h e r eu t + m l e tu c ( o ，1 】m ，e ) b eas o l u t i o no f ( 爰一a ) 乱= 0 盯u ( o ，z ) = 0 ，t h e nu ( t ，z ) = 0 ，o ra l lt 【0 ，1 】 t h e o r e m0 0 2 l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nnw i t h o u t b o u n d a r ya n de _ m b ens m o o t hh e r r n i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn a n dl e ta ( t ) ，w h e r e t 【0 ，l 】，b eaf a m i l yl i n e a rp s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sd e f t n e dd 佗m t o met oe a s s u m et h a ta ( t ) a r en o r m a l o ra l lt ， 0 ，1 】弓t 盯( a ( t ) ) c ”( 丁+ m ，h o m ( e ，e ) ) i ss m o o t ha n da ( t ) a r eu n i f o r m l ys e m i b o u n d e d t o mu pw i t hr e s p e c tt ot l e tu c 。0 ( 【o ，l 】m ，e ) b eas o l u t i o n 盯( 甍一a ) 仳= 0 巧u ( o ，z ) = 0 ，t h e nu ( t ，z ) = 0 ，o r a l lt 【0 ，1 】 i ng e n e r a ls o m e w h a t ， t h e o r e m0 0 3 l e tmb eas m o o t hc o m p a c tm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o nnw i t h o u t b o u n d a r ya n de_m b eas m o o t hh e r m i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn a n dl e ta ( t ) ， w h e r et 【0 ，1 】，b eaf a m i l yf i r s to r d e rl i n e a rp s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sd e f i n e do n m f r o me t oe a s s u m et h a t 【0 ，1 】弓th 仃( a ( t ) ) c ( 丁m ，h o r n ( e ，e ) ) i ss m o o t h as s u m et h a to n eo yt h ef o l l o w i n g s t h es e l f - a d j o i n tp a r t 吖a ( t ) a r ee l l i p t i c1 0 ra l lt t h es e l f - a d j o i n tp a r to fa ( t ) a r en o r m a l 如ra l lta n du n i f o r m l ys e m i b o u n d e d f r o mu pw i t hr e s p e c tt ot h o t d s l e t c ( o ，1 】m ，e ) b e 口s o l u t i o no f ( 爰一a ) t l = 0 i u ( o ，z ) = 0 ，t h e n u ( t ，z ) = 0 ，y o ra l lt 0 ，1 】 w h i l ea na b s t r a c tc a u c h yp r o b l e mi sd i s c u s s e d ，i ti sf o u n dt h a tt h ec o n d i t i o n ( 1 1 2 ) i san a t u r a lc o n d i t i o nw h i c hi so n eo fc o n d i t i o n st h a ti n s u r et h ec o r r e s p o n d i n go p e r a t o r i ss e m i f r e d h o l m 3 t h es t r u c t u r eo ft h i st h e s i si so u t l i n e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1t h ec a s eo fs e l f - a d j o i n tp a r tb e i n ge l l i p t i ci si n v e s t i g a t e dw h i l ei nc h a p t e r3t h ec a s eo fs e m i - b o u n di s d o n e t h ef r e d h o l mp r o p e r t yi sd i s c u s s e di nc h a p t e r2 4 c h a p t e r1 一一 一 一 u n l q u ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m s1 i n t r o d u c t i o n i t i sw e l lk n o w nt h a ta n ya n a l y t i cf u n c t i o nh a sap r o p e r t yc a l l e du n i q u ec o n t i n u a t i o n ， i e ，i fa na n a l y t i cf u n c t i o nv a n i s h e si na no p e ns e t ，i tm u s tv a n i s he v e r y w h e r ei ni t s d e f i n i t i o nd o m a i n t h i sp r o p e r t yo fa n a l y t i cf u n c t i o n sh a sb e e ne x t e n d e dt os o l u t i o n s o fs o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n 2 】a r o n s z a j nh a sp r o v e ds o l u t i o n so fs e c o n d o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n si nm a n yi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sh a v eu n i q u ec o n t i n u a t i o n a n da na n a l y t i cf u n c t i o na l s oh a sa n o t h e ru n i q u ec o n t i n u a t i o np r o p e r t y , t h a ti s ， i fi tv a n i s h e so nt h eb o u n d a r yo fab o u n d e do p e ns e tq i tm u s tv a n i s hi nq t h i s p r o p e r t yh o l d sf o rh a r m o n i cf u n c t i o n s l e tqb eab o u n d e dd o m a i ni nr 1 + 凡w i t hs m o o t hb o u n d a r y a s s u m et h a ta k w h e r e k = 0 ，1 ，n ，a n dba r en nm a t r i c e sd e f i n e do nq w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n g e l l i p t i cs y s t e m 鏊珈： ( 1 0 1 ) w em a ya s kt h a tw h e t h e rt h es o l u t i o n so f ( 1 0 1 ) v a n i s hi nan e i g h b o r h o o do fa q i fn = 1 ，n = 2 ，t h ea n s w e ro fa b o v eq u e s t i o ni s ”y e s ”，p r o v i d i n ga k ，w h e r ek = 0 ，1 ， 5 a r er e a lm a t r i c e sa n di nc 1 一t h es p a c eo ff u n c t i o n sw i t hh s l d e rc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e s o fo r d e ro t w h e r e0 q 1 w ec o u l dp r o v ei tw i t ht h eh e l po fg e n e r a l i z e da n s a y t i c o rp s e u d o - a n a l y t i cf u n c t i o n s i nf a c t ，t h es o l u t i o n so f ( 1 0 1 ) v a n i s he v e r y w h e r eo n 丽 p l e a s es e e 【7 ，p p 6 - 7 】f o rd e t a i l s i fa ，w h e r ek = 0 ，1 ，n ，a n dba r ea n a l y t i co n 豆，t h e nt h ec 1s o l u t i o n s o f ( 1 0 1 ) v a n i s hi nan e i g h b o r h o o do f0 2 f u r t h e r m o r e ，t h ec 1s o l u t i o n so f ( 1 0 1 ) v a n i s he v e r y w h e r eo n 豆w ec o u l dp r o v ei tb ya p p l y i n gh o l m g r e nt h e o r e m p l e a s es e e 【5 ，p p 8 1 - 8 5 】f o rd e t a i l s i nt h i sc h a p t e r w ep r o v eas i m i l a rp r o p e r t yf o rs o l u t i o n so fac l a s so fp a r t i a ld i f f e r - e n t i a ls y s t e m s i na n o t h e rw o r d ， t h e o r e m l e tmb eas m o o t hm a n i f o l do fr e a ld i m e n s i o n1 + nw i t hn o n e m p t yb o u n d - a r ya m l e tf ：0 ，1 ) 0 m _ mb eac o l l a r ( t h ev a r i a b l e i n1 0 ，1 ) i sd e n o t e db y t ) 。a n de mb eas m o o t hh e r m i t i a nb u n d l ew i t hr a n kn l e tab eas m o o t hf i r s t o r d e re l l i p t i cf i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rd e f t n e do nm 加met oew h o s ep r i n c i p l e s y m b o ls a t i s f i e s ：口1 ( a ，d t ) = 1a n da l ( a ，w ) = a a ( a ，u ) ，w h e r ew ( ( t ，) + ) - 1 t + a m l e ts c 。i m 。e 、b eas o l u t i o no | a s = 0 i lsv a n i s h e so na m i tm u s tv a n i s hi na n e i g h b o r h o o do fo m w eo u t l i n et h es t r u c t u r eo ft h i sc h a p t e r i ns e c t i o n1 1 w eg i v ea na b s t r a c tu n i q u e c o n t i n u a t i o nt h e o r e m i ns e c t i o n1 2 ，w ea p p l yt h ea b s t r a c tu n i q u ec o n t i n u a t i o nt h e o - r e mt op r o v es o m ec o n c r e t eu n i q u ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m si n c l u d i n gt h ea b o v et h e o r e m 1 1a na b s t r a c tu n i q u ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m t h e o r e m1 1 1 l e thb ea ( c o m p l e x ) h i l b e r ts p a c ew i t hi n n e rp r o d u c t ( 。，。) ，n o r l t l ”l ia n da ( t ) ：d o m ( a ( t ) ) _ hb eaf a m i l yo f ( u n b o u n d e d ) l i n e a ro p e r a t o r s a s s u m e u c 1 ( 【o ，1 ) ，) ，u ( t ) d o m ( a ( t ) ) ，a n d 也( ) 一a ( t ) u ( t ) o c - ( t ) l i u ( ) 1 1 2 + t w ( r ) 1 1 u ( 丁) 1 1 2 d 丁) 虿 6 ( 1 1 1 ) i 1 a na b s t r a c tu n i qu e c o n t i n u a t i o nt h e o r e m f o re v e r yt ( 0 ，1 ) f i n a l l yw ea 8 s ? m m et h a tf u n c t i o nt _ r e ( a ( t ) u ( t ) ，札( ) ) i sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ea n d d r e ( 删u ( 咖( ) ) 一2 r e ( 帆删u ( t ) ) 一c 2 ( ( 洲t ) 1 1 1 1 “( 驯l ( 1 1 - 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r e ( 7 7 ，) f l j 2 2 且掣- 2 c 2 1 1 叼i l l l , l l 一2 c 3o 1 1 2 2 u r e ( 7 7 ，f ) i k i l 2 1 ( 1 1 1 3 ) h o w e v e r ， 圳舻而j 石丽万瓦而而忙 i | 7 7 一r e ( r ，f ) 引i + i r e ( r , ) i w ei n s e r tt h i se s t i m a t ei n t o ( 1 1 13 ) a n du s ec a u c h yi n e q u a l i t y , t h e nw eh a v e ( ) 一2 c ；一昙鼋一2 c 3 2 ( c 2 + u ) i r e ( 叩，) i s i n c e2l r e ( r ，) i = 1 9 ( 吼t h i se s t i m a t ei m p l i e s ( 1 1 9 ) 口 i no r d e rt op r o v et h e o r e m1 1 1 ，w er e s o r tt ot h ef o l l o w i n gc o m p a r i s o nl e m m aw h i c h c o m e sf r o m 【1 】 l e m m a1 1 3 l e t 妒( ) a n d 砂( ) b et w i c ed i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n si na ni n t e r v a l 【t o ，t z ) s u c h 危n 4 ( t ) + ( ) 1 9 ( t ) i + b ( t ) 0 ， 移( ) + n ( t ) i 西( ) i + b ( t ) = 0 ， w h e r e ( ) ，b ( t ) a r em e a s u r a b l ea n dl o c a l l yb o u n d e di n 【t o ，t 1 ) ，n 0 可妒( t o ) 矽( 幻) a n d 驴( o ) 移( o ) ，t h e n 妒( ) 妒( ) ， o ra l lt t o ，1 ) l e r n r n a1 1 4 l e tn ( t ) ，b ( t ) b et h ef u n c t i o n st h a ta p p e a ri nl e m m a _ f f 2 t h e nt h e s o l u t i o no lf o l l o w i n gs y s t e m fv ( t ) 一n ( t ) 妒( t ) + b ( t ) = 0 i 妒( o ) = 9 ( o ) ，砂( o ) = - i 驴( t o ) i 9 1 1 a na b s t r a c tu n i q u ec o n