（基础数学专业论文）n阶m点边值问题和四阶奇异边值问题的正解.pdf

一 二1 _ a t h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s o l u t i o no fno r d e r m - p o i n tb o u n d a r y ep r o b l e ma n df o u ro r d e r s i n g u l a r b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m b yy a n gx u e s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs o n gs h u n i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y m a y2 0 0 8 _ 皋 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料，与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 二凸二 恧 学位论文作者签名： 桶雪 日期： 蝴了孑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留，使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 两年口 师签名：泵最豇，j 、一u y 一 字日期：沙争7 0 上 ? 一 东北大学硕士学位论文 摘要 n 阶m 点边值问题和四阶奇异边值问题的正解 摘要 非线性常微分方程边值问题有悠久的历史，且在自然科学及工程技术中有广泛应用 近一段时间以来，高阶多点边值问题以及非线性奇异边值问题正解的存在性受到广泛的 关注本文研究上述两种形式边值问题正解的存在性 首先，考虑如下n 阶m 点边值问题 “ ( f ) 一厂( f ，“( f ) ，“( f ) ，“”( f ) ，“ 一2 ( f ) ，“h - l ( f ) ) ，0 f 1 ， 蹦( f ( 。) 一屈比。+ 1 ( 。) = 。，“b l ( 1 ) ；m 荟- 2 七，h “1 ( 岛) ，o i o ( f = o ，1 ，n - 2 ；一o ，1 ，m - 2 ) ； ( h z ) o = 岛 岛 邑 岛一： o ； ( 也) 厂： o ，1 掣一尺是连续的 另外，假设存在常数n ，c ，d 使得o h = f d i d n 。印 6 s c 和n 石a ； ( 饩) 若( 础以印鳓，比) 刚取0 哆。，j + l 叫枷m r ，+ 11 巾以一：，叫) 正叭m i n j u 3 ( - 1 ) ( f ) 口q 岛，1 】 、7 q b 划 、7 其次，研究超线性四阶微分方程奇异边值问题 其中满足如下假设条件： h 4 ( f ) = f ( t ，比( f ) ，叫”( f ) ) ，t e ( 0 ，1 ) ， u ( o ) - u ( 1 ) - - o , “7 ( d ) = 甜7 ( 1 ) = 0 ( q ) 厂：( o ，1 ) o ，+ ) e o , + = ) - - e o ，+ ) 是连续的； ( h ：) a ( t ) f l ( x ，y ) s ，( f ，x ，y ) 0 ，a ( t ) 可能在f - 0 或t - - 1 处奇异且满足l 。i m 。s 3 = 。5 口( f 皿- o , 其中五，2 c ( 【o ，+ ) ， o ，+ ) ) ，厶苫0 ，2 o ， j - 0 ，j 、 。 。 ， 一 五( x ，y ) ，厶( 工，y ) 在 口，a c o ，+ ) 上一致连续 利用变分法得到古典正解存在性 关键词：边值问题；五函数不动点定理；正解；变分法 i i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t p o s i t i v es o l u t i o no fno r d e r m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a n df o u ro r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a bs t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sal o n gh i s t o r y a n dh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nn a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n gt e c h n i q u e i nr e c e n ty e a r s ， t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e rm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n d s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma t t r a c t sc l o s ea t t e n t i o n t h i sp a p e rs t u d i e st h a tt w ok i n d so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f i r s t l y , f o l l o w i n g no r d e rm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m “ ( f ) = 厂( f ，z t ( f ) ，h ( f ) ，“”( f ) ，比 一2 ( f ) ，“ 一1 ( f ) ) ，0 f o ( f - - 0 ，1 ，n - 2 ；j = o ，1 ，m - 2 ) ； ( h ：) o - - 言o 袅 岛 岛2 岛1 - 1 , 1 一p o ； ( 也) ， o ，1 彤- - r i sc o n t i n u o u s ， i na d d i t i o n , t h e r ca r ec o n s t a n t s a , c , d s a t i s f y i n 9 0 h = f d i d 口= 巾 o ， o ( f o ，1 ，n - l ；j - - l 2 , - - - , m - 2 ) ，o 一岛 袅 岛 岛： 乞一。= 1 利用对顶锥不动点定理，得到了至少三个正解的存在性特别 地，对于屈= o ( f = o ，1 ，甩一2 ) ，不能应用此不动点定理得到正解的存在性 更进一步地，郭彦平等【9 】研究了如下高阶常微分方程m 点边值问题 y ( 抽( f ) = 厂( f ，y ( f ) ，y ”( f ) ，y 2 一1 ( f ) ) ，os fs1 ， y ( 甜( 。) ；。，y ( 2 j ( 1 ) 。m 再- 2 七。y ( 2 f ( 岛) ，o s i o ( f = 1 ，2 ，聊一2 ) ，o 屯 lo = 岛 爵 c 毛一： 乞一。一1 蔼 主要是通过将其转化为算子不动点，利用五函数不动点定理得到三个正解的存在性，推 广了郭彦平，葛渭高掣8 ，9 】的结果 郭彦平等【8 ，9 1 研究的方程虽然只是偶数阶的，但是边乔条件却是非齐次的，姜维华【1 0 】 把方程推广了，边界条件却相应地变弱了受到文献【8 - 1 0 1 舶发，本文的第3 章考虑了 如下厅阶m 点边值问题 “n ( f ) - 厂( f ，“( f ) ，“7 ( f ) ，“”( f ) ，“月。2 ( f ) ，“ 一1 ( f ) ) ，0 f o ( i = o ，1 ，n - 2 ；歹= o ，1 ，m - 2 ) ； ( h ：) 0 = 岛 袅 受 o ，q ( t ) e c o ，1 ，q ( t ) o 另外，对于，厂c 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 ( ( o ，1 ) x o ，+ ) ， o ，+ ) ) ，口( f ) ( x ) s ，( f ，z ) s 口( f ) ，2 ( z ) ，口( f ) c ( o ，1 ) ，口( f ) o ，口( f ) 在 f = o ，1 可能奇异且满足l i m s 3 f 。口( f ) 出；0 ，五，2 c ( o ，+ ) ， 2 0 ，厂2 芑0 ，。，j 更进一步地，熊明等【1 4 l 利用变分法研究一维p - l a p l a c i a n 方程两点奇异边值问题 首先，讨论了不可分离变量情形 j 一( 1 甜( r ) i p 一2 “( r ) ) = 厂( r ，h ( r ) ) ，f ( 。，1 ) ， ( 1 7 ) 【“( o ) = “( 1 ) = o ， 其中p l ，c ( ( o ，1 ) o ，+ ) ， o ，+ ) ) 且在f - - o 或t ；1 可能有奇异 其次，研究了可分离变量情形 j 一( 1 “( f ) i p 一2 比( r ) ) 7 = 口( r ) ，( “( r ) ) ，r ( 。，1 ) ， ( 1 8 ) 【“( o ) = “( 1 ) = 0 ， 其中口( f ) 0 ，口( f ) c ( o 1 ) _ 1l ，i m 。t p - l ，t - t a ( s ) 出= 0 ，另外，之o ，le c o , + ) 引进记号： 疗；而l i mf 广( t ) ，符：画掣， 疗：而l i mf 广( t ) ，片：甄岩， - 同理得到古典正解的存在性 本文第4 章利用变分法研究了一类新的方程，即非线性项厂不仅依赖于变量和函数， 还与函数的导数有关考虑如下超线性四阶奇异边值问题 h 4 ( 小f ( t ，“( f ) ，一h ”( f ) ) ，t e ( o ，1 ) ， u ( 0 ) = “( 1 ) = 0 “( o ) = h ( 1 ) = 0 ， ( 1 9 ) 其中满足如下假设： ( 以) 厂：( o ，1 ) x o ，+ ) o ，+ ) 一 o ，+ ) 是连续的； ( 日：) 口( f ) ( x ，y ) sf ( t ，x ，y ) o ，口( f ) 可能在 f ；o 或ft 1 奇异且满足g 骤s 3 f l - s a ( fd t ；o ，其中 ，2 c ( o ，+ ) ，【o ，+ ) ) ， o ，厂2 j oj j 、。、l7o“ 。 5 第1 章绪论 东北大学硕士学位论文 0 ， ( 石，y ) ，2 ( 工，y ) 在 口，卢 c o ，+ ) 上关于y 0 ，+ ) 一致连续 引进记号： 地艇、趔啼甄l i m 舯s u p ) 掣 ：；一o ，一) x “ h 一 一 一l i m i n f 韭巫。丘，而s u p 丛边；片， j i ：i 二y q o ，+ * )xj + * y d o ：* ) 工 分成以下三种情况： ( 1 ) 情形 a 疗疗 + ； ( 2 ) 情形疗 a s 片 0 以及0 口； ( c ：) 工q ( ) ，驴，h ，d ，c ) i 卢( z ) 口； ，d ，c ) 并且妒( 彳x ) ，贝f j ( 彳x ) d 毛，x 2 ，屯p ( ) ，c ) 使得 7 第2 章准备知识东北大学硕士学位论文 卢( 墨) d ，口 口( x ：) 和d 口 o ； ( i i ) 存在e e b p ( o ) 使得j ( e ) s o 令r 是e 中联结0 与e 的道路的集合，即 r 一 g c ( 【o ，1 ，e ) i g ( o ) 一o g ( 1 ) = 4 再记 c i n f lo,q(get 1 f ) ) ， ， 那么c 芑口，关于c 有临界序列，如果，再满足p - s 条件，则c 是，的临界值 定义2 2 4 【1 5 】设q 是掣中的有界区域，k 是非负整数，o o ) ； ( i i ) 妒( 曰n q ) c 豫：= x c r ”1 z = 0 ) ； ( i i i ) 妒是b 呻d ；驴( b ) 的一一映射，且有 9 东北大学硕士学位论文 ) ，那么，p o i s s o n 方程 ( 2 1 ) 定理2 2 6 1 1 5 j 设q 是r “中的c “2 一区域，在q r 上定义的函数厂( 工，“) 满足： ( 互) 对任意正数膨有 ，( 训) e c 协( 孬 - m m ，尺) ； ( e ) 当以乏3 时，s - ：n 五+ 2 ，当力s2 时，存在s 1 ，使得 ，( 训) 一o ( i “l j ) ( 当j u 卜) 对z 五一致成立； ( e ) 她掣一口( 工) r ( q ) ； 那么，半线性 u e + 2 。( 五) 东北 3 1 其中 ( 日3 ) ，： o ，1 f 呻尺是连续的。 通过构造一个全连续算子，把上述边值i h - 题( 3 1 ) 的正解转化为算子的不动点来研究，从 而利用五函数不动点定理得到三个正解的存在性， 3 2 相关引理 引理3 2 1 假设彳1 1 一善岛0 如果y ( f ) c o 1 ，则问题 的唯一解可表示为 p ( f ) + y ( f ) 一0 ， 似) 叫( o ) 咖，( 1 ) = m 善- 2 叫( 毒) 【 舒 ( 3 2 ) 比吣叫小胁幕喈m - 2 小) 叶 到f 对( 3 2 ) 的方程积分，得 k 7 ( f ) ；y ( s ) 出+ “( o ) ， ( 3 3 ) - 1 1 刀阶m 点边值问题的三个正解 东北大学硕士学位论文 = 副苫y ( s ) 删( 。) ) = 训毒) 和( 3 5 ) 代入( 3 6 ) 式得 0 y ( s ) 凼+ “( o ) = 一善七i fy ( s ) 如+ “( o ) 善屯， 整理后为 ( 1 一薯t ) “7 ( 。) = 上y ( s ) 出一m 善- 2 七r ? y ( s ) 如， “，(0)；地m-2一辈m-2 1 一善红1 一喜色 更进一步地，对( 3 3 ) 式由0 到f 积分得 h ( f ) ； ( f s ) y ( s ) 出“( o ) h “( o ) 又由于“( o ) 一“7 ( o ) 一0 并且联系( 3 7 ) 式得 巾) 刮0 ) ；点m - 2e小)出一m善-2toyk 小) 出 1 一 ：l “1 j 把( 3 7 ) ，( 3 9 ) 代入( 3 8 ) 式得 “t ) 一t t ( 卜s ) y ( s ) 出+ u p ( o y + “( o ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 东北大学硕士学位论文 ( f 第3 章n 阶m 点边值问题的三个正解 胁肛m 刍- 2 小) 叫 叫小肌煮陟肛m - 2 小) 叫 白 = 0 定y g t t ：r ：c o ，1 - - - c o ，1 ! t i - l r ： n ( f ) ；f g ( f ，s ) 厂( s ，a n - 2 v ( s ) ，4 一，( s ) ，4 y ( s ) ，y ( s ) 皿，f e o ，1 】 则( 3 1 ) 有解比( f ) 一4 一。，( f ) 当且仅当算子t 有不动点v ( f ) = “”1 ( f ) ，且当v ( t ) zo 时， “( t ) 0 - 1 6 - 东北大学硕士学位论文 第3 章n 阶m 点边值问题的三个正解 设x - - c o ，1 ，定义范数为删= ，q m 。a 1 j x v ( f ) | ，y v 誓，另外，在x 中定义锥 k ； y 工卜( f ) o ，在 o ，1 上v ( f ) 单调不增) 在k 上定义非负连续凹函数a ，妒以及非负连续凸函数，0 ，y 如下： 口( y ) 2 酬m i nv ( f ) l y ( f ：) ，口( v ) 2 咖m a x ：川5 y ( ) ， 9 ( v ) 。确y ( r ) = v ( 1 ) ，卢( v ) 2 刚m a x v ( r ) l v ( 毛) ， ) ，( v ) = 0 v - v ( o ) ， 其中皇一。s s 复，色，一。s 乞s 色，气 f ：，2a es e s 小一1 ，且对任意的v k ，有- i i v i = ) ，( y ) ， a ( v ) s ( y ) 下面将要利用o ( t ，s ) 的如下特性： g ( b s 1g ( b ，口+ o ) 鲰r a i n - ) 【 口 ， gs y2 可g 万a 萄0 氧，1 ) i 口，)( 口，+ ) 7 设 ；删，其中身s 口s 心 2 可i 面头中弘旺嬲l 如 = j - 2 ，f 22脚 ，。 1 一yt 么一 = f o o ( o ，s 协一 m ：= f 2 g ( 。s ) 如= 黔 峥埘卜毒岳 一辩1 ， l i c l 假设( 何- ) ，( h ：) ，( 日，) 成立，并且存在常数口，c ，d ，满足。 i i l2 i d d 瓦a ； ( 矾) 若( 柚柚以印鳓，h ) 皇，1 肛0i r 玎o j i l ，j + 1 ，i ，d 】， + 1 1 n ( 3 1 ) 至少有三个正解满足 和 巾以彩s 蛳“) d ，札m i n 】u ，j - 1 ) ( f ) 斜g ( f 2 ，s 灿咄 其次验证( c ：) 的第二部分，设y - q ( y ，驴，h ，d ，c ) ，则i i v l i s c ，hs y ( f ) s d ，对于 当，= 0 ，1 , 2 ，n 一2 时， 酬沪工g l ( 纠小) 挑蕴 酬小工g 咖( 巾z 苫越协 卢( 办) = 办( 岛) = 上g ( 皇，s ) 厂( s ，4 ：v ( s ) ，4 ，y ( s ) ，4 v ( s ) ，v ( s ) ) 出 = 上g ( 岛，s ) 厂( s ，4 ：v ( s ) ，4 一，v ( s ) ，4 v ( s ) ，v ( 5 ) ) 1 9 综上，由定理2 1 和 所以吩( t ) = 4 一：k ( s ) ) 出 3 4 例子 其中 h ”( f ) = 厂( r ，“( ，) ，“( r ) ，“”( r ) ) ， h ”( 1 ) = 三m ”( 三) + 三h ”( 丢) + i 1 “”( 三) ， 【“( o ) 一, a x “( 1 ) = o ，“( o ) 一触( o ) - - o , ，( f ，m ) = r 。t u l u o 4 u 2 一十一十一 1 83 7 5 09 ! 二丝o 。4 一十一十一1 83 7 5 09 u 。 ( 3 1 4 ) ( f ，“。，“。，“) o ，1 ( 一，+ ) ( 一，+ ) 一，1 ) ， ( f ，“。，“。，“) o ，1 】- - 0 0 ，+ ) ( 一，+ ) 1 2 】， 妄+ 器+ s 一善( 川) 2 ，t , u l , u o , u ) 叫_ o o , + o o ) - - 0 0 , + o o ) ( 2 ，4 ) ， 丙t 2 十丽t u l u o + 4 l o g 广，( t , u l , u o , u ) o ，1 】- 0 + 0 0 ) - - c o + 0 0 ) 4 ，8 ， 妄+ 淼。1 + 1 0 ，( t , u l , u o ，u ) 叫- - 0 0 + q o ) ( - - 0 0 , + 0 0 ) ( 8 一) ， 0 ， 则边值问题( 3 1 4 ) - 确- = 个正解满足 l u i w ( 小5 0 ，f 一1 ，2 ，3 ，j j 鞠啪心禹嘶) 4 和 鞠珊卜2 飘啪) “ 证明 边值问题( 3 1 4 ) 是问题( 3 1 ) 疗一3 ，所= 5 ，毛一心= 乞一i 1 ，袅一i 1 ，岛= 三1 ，岛= 丢 时得到的设p a 3 ，e 一4 ，；三1 如= 三，ct 5 0 , a = 4 , d ；2 ，屈一履= 三，则 ；翌：世。三 1 - k 31 - k 3 3 7 2 1 第3 章咒阶m 点边值问题的三个正解 东北大学硕士学位论文 1 - ( k i t e l + 七2 邑+ k 3 亭3 ) 5 。1 可k 百x 而k 一2 1 一(+ 2 + 七3 ) 峥睇扣去陋一黔鸭h 1 智 峥埘柚肛等督i 9 再由o h f f i i d 棚一巾 溉和口 鲁c 得眦蹦另夕卜，易知，是连续的，且 ( ) ，( 日：) ，( 日。) 成立，容易验证( h 。) ，( h ，) ，( 矾) 也成立，综上所述，由五函数不动点定 理得边值问题( 3 1 4 ) 有三个正解，从而例题得证 - 2 2 4 2 相关引理 o , o x ( - o o ，+ ) ( 一o o ，+ ) 上的函数，仍记为厂，且当fs o 时， 数，其形式为 f ( 枷，) t f 巾，沪s ”灿 2 3 又因 ，( f ，x ，y ) a ( t ) f 2 ( x ，y ) ， 设疗+ ，+ 占：；c 1 ，则联立( 4 6 ) 和( 4 7 ) 得 ，( f y ) a ( t ) f 2 ( x ，y ) o ，当x e m ，+ ) 时， 同理设s u p 趔；七( z ) ，则 _ ) ，q o ，+ 。) x 2 4 ( 4 7 ) ( 4 8 )片 掣 东北大学硕士学位论文第4 章四阶奇异边值问题的古典正解 e l ：l ( 4 8 ) 和( 4 9 ) 得 厂2 ( z ，y ) 厂2 ( x , y ) 一以 七( z ) 一s 4 s u p ) q o ，+ * ) ，2 ( z ，y )f ：+ , f f 3 ， 整理( 4 1 0 ) 式得厶( z ，y ) ( 片+ e 3 + 。) x ，设+ 。+ 。一c ：，则 ，( f ，z ，y ) s a ( t ) f 2 ( x , y ) 0 使 s 七，即疋( x , y ) k x ，从而 厂( f ，x ，y ) a ( t ) f 2 ( x ，y ) s 口( f ) h 综上ex e 0 ，+ ) ，( f ，z ，y ) c a ( t ) x ，即f ( t ，x ，y ) c a ( e ) x 2 另外，对任意 拘# e h 0 2 有 孑1 盼+ 却) 一m ) 】 一1 叫1 1 2 j 7 。p ( r ) + 却”( r1 2 d t - r j ：f ( 枷+ 却，一“”一却”) 出一吾j ：p ( t ) 1 2 d t + - j ：f ( 柚，卅”) 出】 = 1 1 ；o0 “”( r ) + 却”( r ) 1 2 一i “”( r ) 1 2 p 一吉拉 f ( 枷+ 却，川”一却”) 一，( 柚，叫”) 】出) ； 由( 4 2 ) 式得 孑1 m + 却) 一m ) = 吉瓤删。2 鼢p 一瓤旷巾 ) 出卜 t 瓤删砒净一瓤旷f ( t , s , - s ) d s ) d t z 吉f ( “”+ b 却”) o c d t 一瓢，( 枷+ 吼却，叫”一吃却”) 础 = f ( “”+ b 却”) 砂协0 厂( 枷+ 睦砸，叫”一见却”) 缈， ，见( f ) 1 ，l 厂( f ，比+ a 2 c r 妒，一“”一吼印”) i s 厂( f ，“，一h ”) ，l u ”+ b 却”is “”+ 妒”，且 + 例) 例出 0 ，当o f 6 时，0 o ，v t e ( 0 , 1 ) 引理4 2 4 设厂满足条件( q ) ，( h ：) ，且有厅 a l - s 片 + 或露 f a 疗s 菇 + ，则，满足e s 条件 证明设 ) 是p s 序列，则 ( ，( ) ，驴) 一j ：”协一r o of ( t , u , 咄。”弘出= 。( 恻1 ) ，v 妒h 。2 ( 4 2 7 ) 如果k + l 是有界的，其中比+ = m a x ( “，o ) ，则在( 4 2 7 ) q b l 驭o = u n 得 ( ，( 口。) ，) 一f ( ”) 2 以一f 厂( ，飞。卜。班， 并且注意到，( 舢叫。”) s cu n ) 口( f ) ，所以慨8 有界规定：山表示弱收敛，设在日； 中一髓，由嵌入引理4 2 2 ，假设在e 中h 。一“，现在证明任何p s 序列 ) 在e 中都 是有界的若不然假附卜 设屹。阿u n m1 1 ，在( 4 4 ) 中取h ，砘i i 是有界的假设在日；中k ，在c 0 1 和e 中屹_ y ，p l 一1 ，e t ：i ( 4 2 7 ) 知 加协= m 驴屹”卜。陷( 1 氅 _ f 1 ) 下面分两种情形来讨论： 情形疗 a a ，取一个常数m 使得厂( f ，石，y ) 口( f ) ( 厅一占) z ，魄 m ，设 # e h 0 2 ，并且妒之0 ，由( 4 2 8 ) 知 东北 苫口( r ) 匕+ 触+ ( 疗一) o 口( r ) 屹+ 缈+ 。( 1 ) ， 拈卜一l 删 当n _ o o 时， f v 协苫( 一) y o 口( f ) v + 缈，v 妒h ；，o 特别地，如果妒是引理4 2 3 的下确界，那么有 “口( r ) v + 触之“口( r ) v q m t = f y 肇协苫( 一f ) 上口( r ) v + 缈， 则口( f ) y + 暑0 ，因此p i 。一0 ，矛盾 情形f ：九 isl ：+ ， 设 0 ，则+ c a ，类似于( 4 2 9 ) 有 f k ”僦s ( 足+ 口( r ) k + 触+ c ，口( r ) 屹+ 触+ 。( 1 ) ， 0 卜l 删 当万一时， j ：屹”妒锄s ( 片+ 口( f ) v + 缈，v 妒h ；，妒芝0 在( 4 3 2 ) 5 b 取妒一v + ，由a 的定义有 + ) y o 口( r ) ( v + ) 2 出， ( 4 2 9 ) ? ( 4 3 0 ) ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) p s r 芋y u u 。) 在e 中都是有界的，故 4 ( f ) 乏o ，那么 h + l = 1 和c ，( ) = _ 2 i j r 。, l l u 。1 2 出一f f ( r ，川”d t ，两边分别除以k + l 2 得 ：二= _ ；三 净。c 1 ，+ 三a c 4 3 3 ， 设 o 和c + 0 ，使得，( f ，z ，y ) s 口( f ) ( + ) x ，v x m ，从而 f ( 姐，y ) s 丢( f + ) 口( r ) z 2 ，因此 3 4 东北大学硕士学位论文 第4 章四阶奇异边值问题的古典正解 ：二二! ；三；j ：；2 二土d z s 三( ，：+ ) o 口( r ) ( “。) 2 d 2 + c 。；肘口( r ) ( “。) 2 d 窿 3 4 ， 把( 4 3 3 ) 和( 4 3 4 ) 联立起来得 呻峥j ：瞥 s 丢( + 占) y o 口( 讹) 2 西扎。，口( 讹) 2 出 o i | l 一+ l m 并且i + lt 1 ，又在厶2 中屹矿，从而有as + 矛盾，即，是有界的又由引理4 2 2 知，满足e s 条件，由变分法引理知，有极小值，雉t l ( o ) = o 即平凡解“- 0 不是局部 极小，那么是非平凡古典正解，从而命题得证 设妒是引理4 2 3 的特征函数，则z l 州2 出= “口2 出，且对于很小的仃 o 有- ，( 却) = 五1 仃z m 2 出一o ，( r ，却，一却”皿 设 0 和f o 。一 a ，类似于前面引理4 2 1 ，选择常数盯 0 满足 f ( ，y ) 乏三口( r ) ( 疗一) x 2 ，v o r 仃 ，( 却) s 三口2 川2 出一三( 疗一f ) 仃_ 驴2 出 。丢盯2 俐2 一引1 ，o 一) 仃2 俐2 2 矿渺1 1 2 ( 卜竿) o 情形f g a o t ，v u ； ( b ) 存在函数p ，当 p 时，l ( e ) 5 o 取f 0 使得疗+ 0 ，使得一 a ，并且类似于引理4 2 1 的证明可得 f ( ，) ，) 丢( 一) 口( t x - - c ，v t o ， 巾) = 三丁i ( 妒”) 2 西一f of ( 蛆炉即”) 出 s 丢丁_ ( 妒”) 2 疵一广f ( 啦沪功”皿 s 丢丁2 2 一丢丁2 ( 一m 一口( ，) 妒2 出+ 0 一口( r d t ， 可以选择一个6 ，使得2 一( 疗一) f 口( f ) 驴2 d z u a ( t ) x 和a ( t ) g 。( z ，y ) sg ( t ，工，y ) s 口( f ) g ：( z ，) ，) 由前面讨论知，存在甜满足 ( f ) = g ( 柚，叫”) ， t“u，(o。)-；u“o，(1)-。o。, 3 7 ( 4 3 6 ) 一jlit 四阶奇异边值问题的古典正解 东北大学硕士学位论文 f o u ( r 切”( r ) 出= f og ( r ，“，叫”弦( r ) 疵 证上述“满足o s hs m ，若不然，设c 【o 1 1 膨，因“是上凸函数，n t e 6 ，1 6 芑6 2 m 时，g ( f ，h ，一“”) 口( f ) h ( f ) ，取驴日；，妒苫。有 j ：“”( r 切”( r ) 出f g ( “，叫”) 驴( t 净 之吖口( r ) “( r ) 妒( t ) 出， 尤其是当 ，。九时，特征值九为最小值，那么 ( 4 3 7 ) i l 九f f 6 a ( r ) “( r ) 九( t ) 疵；z “。( f ) 丸”( r ) 出n z 6 - d a ( r l l ( r ) 九( r ) 出， 因此f 6 口( f - ( f ) 九( f ) 出= o 即口( f ) 比( f ) 唬( f ) 暑。在 6 ，1 6 上矛盾，故假设不成立，所 以m a x us m ，u 是l u - l n ( 4 1 ) 的解，从而命题得证 4 4 例子 例4 4 l 设在本章超线性四阶奇异边值问题( 4 1 ) 中，( f ，而y ) = ( 1 + 7 j o a 下r c j t a n 丁x ) x e r ， 显然，：( o ，1 ) 0 + ) o + ) 呻 0 ，+ ) 是连续的，即满足条件( 阢) 另外口( f ) 如y ) s 巾圳s 口( f ) 如y ) ，胍口( f ) 2 南，易知口( f ) e c ( 0 ，1 ) ， 口( f ) o 口( f ) 可能在f = o 或f = 1 处奇异且满足蛳s 3 f s t m a (