（基础数学专业论文）再生解析hilbert空间上的复合算子.pdf

绪言 设n 为c 中的区域，日o l ( q ) 表示q 上的解析函数全体日c 日川( q ) 为h i l b e r t 空间妒为区域q 上的解析自映射，符号为妒的复合算子定义为 瓯，( z ) = ，( 妒( 。) ) ，v ，如果对任何a n ，在a 处的计值泛函b ：，一，( ) 为日上的有界线性泛函，由m 鹤z 表示定理，对任何a n 存在配日，使 得，( a ) = 此时，称日为再生解析h i l b e r t 空间【1 1 配( 。) 称为日的 再生解析核函数，简称再生核d 表示复平面c 中的单位圆盘 各种经典函数空间上复合算子本身的性质，特别是有界性，紧性，谱以及 本性谱等的研究已进行得非常广泛1 9 7 3 年，j h s h 8 p i r o 和p d t a y l o r 得出：若 h a r d y 空间日2 ( d ) 上的复合算子g 紧，则妒在上任一点处角导数不存在 吼c a r l c o w e n 给出了日2 ( d ) 上的复合算子。本性范数的估计，并且计算了 其中一类性质比较好的复合算子的本性谱【3 】b d m a c c l u e r 利用c a r l e s o n 测度 研究了三p ( 毋，) 上复合算子的性质【4 】，得到了一些深刻的结论b d m a c c l u e r 和j h s h a p i r o 同样利用了c a r l e n 测度的技巧证明了：若加权d i r 过d e t 空间 d 口 o ) 上的复合算子紧则可得妒在a d 上任一点处角导数不存在，并且得 出对于加权b e r g m a n 空间a ：( d ) 一1 ) 上的复合算子o ，紧的充要条件 为妒在a d 上任一点处角导数不存在1 5 】1 9 8 7 年，j 且s h a p i r o 利用n e v a n l i n n a 计数函数的性质，给出了经典h ”d y 空间日2 ( d ) 上紧复合算子瓯中符号妒的 刻划，并且计算了复合算子的本性范数f 6 | 关于复合算子，当前很受大家关注的另一个课题是：复合算子空间的拓扑 结构这里讨论的复合算子空间是指作用在某一h n b e r t 空间日c 日d 2 f n ) 上的 复合算子全体c ( 日) 作为b ( 日) ( h n b e r t 空间h 上的有界线性算子全体) 的子集 继承b ( 日) 中的算子范数拓扑而成的拓扑空间一些具体函数空间上的复合算 子空间的拓扑结构的研究正广泛开展1 9 8 1 年，e b e r l c s o n 在研究日2 空间上的 复合算子的孤立性时首先关注了c ( 日2 ) 的拓扑结构【7 】1 9 8 9 年，b d m a c c l u e r 表明，加权d i r i d 儿t 空间巩( a 1 ) 上紧复合算子全体在c ( 巩) 中弧连通， 并给出了两复合算子的差为紧算子的必要条件吼1 9 9 0 年，j h s h a p i r o 和 c s u n d b e r g 得到了有关日2 ( d ) 上复合算子差的紧性以及日2 ( d ) 上复合算子 孤立性的更深入的结论吼2 0 0 1 年，b d m a c c h i e r 等研究了c ( 日* ) 的拓扑结 构，对c ( 日o 。) 的连通分支刻划得非常清楚 1 0 1 2 0 0 5 ，j m o o r h o l l s e 研究了加权 b e r g m a n 空间a ：( 皿) ( a 一1 ) 上复合算子差的紧性【1 1 】 本文研究的空间是由收敛半径为r 2 的解析函数9 ( z ) = o 。扩( o 。 0 ，n = o ，1 ，2 ) 所生成的再生解析h i l b e r t 空间第二章讨论了平面上的再生 解析h i l b e r t 空间的生成元；第三章介绍了研( d _ r ) 这个一般的再生解析h i l b e r t 空间上复合算子差的紧性，推广了文献 1 1 】中的部分结论；第四章在这些关于 复合算子空间拓扑结构研究的文献基础上，得到了c ( 瑶( d r ) ) 的一些拓扑性 质 2 第一章再生解析h i l b e r t 空间 本章主要讨论再生解析h i l b e n 空间的定义，基本性质，空间结构和规范 正交基，解析再生核的特征另外还介绍再生解析h n b ”t 空间田( d ) 与常见 的函数空间之闻的关系，为后面的研究提供理论基础 1 1 解析再生核 设n 为c 中的区域，日。l ( n ) 表示n 上的解析函数全体日c 日o c ( n ) 为 h i l b e r t 空间如果对任何a n ，在a 处的计值泛函毋：，一，( a ) 为h 上 的有界线性泛函，由m e s z 表示定理，对任何a n ，存在j h 日，使得 ，= 此时，称h 为再生解析h i l b e r t 空间叭 容易验证h 上的再生核蚝( z ) = 耳( z ，a ) 具有以下性质【1 2 l ； ( a ) k ( z ，a ) 关于z 解析，关于a 共轭解析； ( b ) 对于有限个点a 1 ， 2 ，h n ，矩阵僻( ，b ) ) 。半正定； ( c ) 对a 1 ，如，k n ，n 1 ，0 2 ，n 。c ( 其中c 是复数域) ，若对1 曼 js m ，锄丐k ( 凡，) = o ，则有啦k ( k ：) = o ；= lt = 1 再生核的一般理论起源于文献 1 3 ，由以上k ( 。，a ) 所具有的性质，可作如 下定义z 定义1 1 1 【1 2 1 设q 为c 中的区域，耳( z ，a ) 为q q 上定义的函数若 ( 1 ) k ( z ，a ) 关于z 解析，关于a 共轭解析； ( 2 ) 对于有限个点a l ，a 2 ，a 。n ，矩阵( k ( 九，) ) 。半正定； ( 3 ) 对a 1 ，a 2 ，h q ，a 1 ，n 2 ，a 。c ( 其中c 是复数域) ，若对1 曼 j m ，q t 巧k ( 凡，) = o ，则有帆耳( a ，z ) = o 则称( z ，a ) 为q 上的解析再生核通常记配( z ) = k ( z ，a ) 由定义可得以下性质： 命题1 1 2 1 2 l 设( z ，a ) 为n 上的解析再生核，那么 ( 1 ) k ( a ，a ) 0 ； 3 f o c k 空间 l ：( c ) = 日。婶州i 川2 = 去上i ，( 硎2 e 一擘d a ( 。) o ，= o ，l ，2 ，) ) ，则称霹( 血r ) 为解 析h i l b e r t 模以上所提及的四种函数空间以及它们的加权空间其实都是 再生解析h i l b e r t 模设在。点的某个领域内解析的函数g ( z ) 的泰勒展式为 瞄铲扩，收敛半径为r 2 ，令k ：d r d r c ，蜀( 2 ，a ) = 9 ( 兄) 从k ( z ，a ) 的定义易得( z ，a ) 关于z 解析，关于a 共轭解析，并且有以下 性质： 命题1 2 1 设在。点的某个领域内解析的函数9 ( z ) 的泰勒展式为黑建挚扩 5 命题1 2 6n 4 1 设g ( z ) 2 量。n 扩( d n o ，n = o ，1 ，2 ) ，疆e p 坛i = n = u。一 1 ，弼( d ) 表示g ( ：) 所生成的再生解析h i l b e r t 空间，则存在d 上的一个有限、 正b o r e l 测度脚使得曙；后l ，( z ) 1 2 如g ( z ) ，砖( 皿) ) ，当且仅当田( d ) 上 的乘法算子 疋是一个次正规算子，其中m 1 9 表示，在空间哪( d ) 中的范数 定义1 2 7 若霹( d ) 上的乘法算子屹是个次正规算子，则称霹( d ) 是 次正规空间若测度如还是一个c a r l 船o n 测度，则称霹( d ) 是c ”l 鹤o n 次正 规空间 7 第二章一类特殊的再生解析h i l b e r t 空间霹( c ) 的生成元 文献( 1 8 中研究了f o c k 空间鹾( c ) 这个特殊再生解析h i l b e r t 空间的生 成元( 即此空间上乘法算子的循环向量) ，本小节中，我们将研究包含这种特殊 情况的一类再生解析h i l b e r t 空间霹( c ) 的生成元问题，让我们可以对将要研 究和讨论的空间有更深入的认识 2 1空间的生成元 若z + ，h o ，且等一o 一o 。) ，则称整函数，y ( z ) = h 扩是一 个比较函数设7 所确定的函数空间记为 e ：( 7 ) 钏：妻氕咖叫i 州；矿妻掣 。) ”= 0n = 0 m 用p 来表示复平面上解析多项式环，h 表示珏i l b ”t 空间，由条件容易得 出e 2 ( 7 ) 具有以下几条性质： ( 1 )e 2 ( 7 ) 是整函数h i l b e r t 空间； ( 2 ) e 。( z ) = 伽扩，n = 0 ，1 ，2 ) 是e 2 ( 7 ) 的一组规范正交基； ( 3 ) r 毛e 2 ( ) ； ( 4 )p c e 2 ( 1 ) ，且2 = f 2 ( 7 ) 事实上，酽( 7 ) 就是一类再生解析h i l b e n 空间，其中生成函数9 ( z ) = 镌扩由，y 的性质可知，9 为复平面上的解析函数，因此e 2 ( 7 ) 就是特 殊的再生解析班l b e r t 空间砖( c ) 当= l 南时，e 2 ( 7 ) 即为经典的f o c 空间 令u n = 景昔，若序列 ) 单调下降，则依单调有界定理，老等的极限存 在，记r2 熙n 柏“此时称比较函数7 ( z ) 2 扩是一个容许比较函 数依文献 1 9 可知，对于任何一个比较函数，y ，都存在一个容许比较函数1 7 ， 使得e 2 ( 7 ) 与舻( 7 ) 范数等价不失一般性，以下我们只讨论7 是容许比较 函数的情形 对，h ，若，pch ，且7 乒“”= h ，则称，是h 的生成元， 2 2 再生解析i 王i l b e r t 空间霹( c ) 的生成元 8 引理2 2 1 若7 是一个容许比较函数，令r = 熙器，则 ( a ) 整函数，y 的级为1 ，型为r ， ( b ) 当a ，卢c ， q i 下时，e 0 2 + 卢e 2 ( 7 ) 证明： ( a ) 参见文献 1 9 】，命题1 3 ( b ) 若a = o ，显然常函数扩铲( 1 ) ，因此设a o 我们首先说明，当1 q 1 r 时，e 一e 2 ( 1 ) 根据定义， 嚏，钏薹等泥， = 薹i 等1 2 去 u 1 l j v n = u ：监 一急( n ) 2n ；u 根据d 御e 砌e n 判别法： 熙孛 一。揣2 熙南 l q l 2 2 戛芦簪巧 l i m ( 业掣2 丛蛆) 2 n 4 。f ” 1 q 1 2 2 百 当川 r 时，可得鳟 1 因此e “e 2 ( 1 ) 因为e 2 ( 7 ) 是一个线性空 间，所以 e 8 2 + 口= e 口e “。e 2 ( ) ，其中a ，p c ，l a l 下 口 文献 20 中，作者指出，若，醒( c ) ，但，p 可能不在磋( c ) 中 9 因此可得；j 云苷= o ，1 t n 十n = t 现设肌是e a z = 登与笋扩的部分和， n = u 嘶) = 圭譬矿 设n 是任意一个非负整数，则 啪2 纠c 塞譬c 薹和 一+ 霎。三。黯也洲 由于 错扎v 叫 因此 以扩：硼；r 霎l 黯一娴p + | i ；， z 眦“一嘛= l 等等m 2 坩+ | i ；， l = im + n = ；n r = 霎，l 。瓣砰钏扩| | ；1 ， = l 等等m 戥舻| | ；1 ， i = 七+ 1m + n = i n 志) 2 舻矿， t = + 1m + n 葺1 由于彘= 等 m ( 1 ) = ( 鲁) 2 卅坩+ 嘛 ：妻( 掣闩+ 憾，= ( 譬笋) 2 幢， 妻( 掣闩+ 偃， = 忙e 2 一慨 当2 r 时，即当i q l i 时，依引理2 2 2 可得以上范数有限故 忙肌e 一一。v 忆1 一o ( 女一。o ) 因此i 石i 歹2 一，pci i i 可2 一，进而 p c 万而2 t ， 口 定理2 2 41 是一个容许比较函数，e 2 ( 7 ) 是7 所对应的整函数h i l b e r t 空 间， 日d f ( c ) ，r 2 概h 一1 ，当 ( z ) = a z + 反a ，p c ，川 r 时，e “是 铲( 7 ) 的生成元 证明：当a = o 时，命题显然成立，现设a 0 由引理2 2 2 ，当l a i r 时，e a 外4pce 2 ( 们，我们只需说明石；干万歹”1 b ： e 2 ( 1 ) ，即只要说明i i i 乒“。i “”= 铲( ，y ) 取r ( 1 ，o 。) ，使得! 竽 r 根据 e a 。e 一a = 2e 孚a = 而 即 因此可得 c 薹翻c 薹学纠 薹点。警c e 2 w 。 仁= 0 。 t = 0 ) 1 矿 委c 点：警一掣咿扛。 镊茅一掣= 0 】o 厶。 m h ! ! u 2 ” 1 2 学半 ，、一，、一 设m 是e 一扣。：墨学。n 的部分和，即设m 是e 一扣。= 与笋扩的部分和，即 n = u z e 。p k z 。v e 等2 q 。1 1 1 ，= 一 一 薹| 。+ 舅等一半r 嘶弦一匡， ，黑。i 。+ 三。与筹一生r 嘶p 1 匡， ；耋。 m + 三。翥+ 堡】2 ( 抑叫匡， ，羹。点。焘+ 学】2 ( 嘶p 一匡， 。勤点。嘉n ( 导凯1 匡水) 根据景斋= 立# ，以及引理2 2 2 仇十n = l ( 2 ) = ：鄹( 生) 2 + ( 等骊嘶+ | | ；， 2 ( | | z e 2 # 。幢，+ l i z e a = 0 ；，) o 。 即 | | e 。2 m 一。v e a z 恢1 一o 一o 。) 三墨黔：研2 _ 3e 孚n 。z ，重复以上计算过程可得那) 鬲秽 再骊秒”研3 ) i 写甄丽轴 。 其中( 孚) 5 捆i ( 孕) 5 。 舌1 由引理2 2 3 可得两2 ”= e 2 ( 1 ) 即当j aj r 时，研2 ”= 舻( 7 ) 口 1 3 n r 一 ，一州 。删 | 财 蹦 揿负非 个 一 意任是 n 没 证明：根据本性范数的定义： j 】c 0 = i n f 删c o + k | i k 咒( 霹( d r ) ) ) 其中瓦( 霹( d r ) ) 表示砖( d r ) 上的紧算子全体立即可得；1 1 1 i2 | 1 0 忆由 命题1 2 3 ，当例一r 时，规范再生核函数也弱收敛到o ，考虑 1 1 ( g + k ) + k ：0 l l g z 0 1 1 k z 由于k 为紧算子，k + 也是一个紧算子，从而i i k + 也| | 一0 ，( 一r 一) ，因此 即| 1 0 i l 。0 0 ( o + k ) | | = i i ( o + ) + l i i | g | | = i i g | | 3 2 田( d ) 上的h i l b e r t s c h m i d t 类复合算子 口 在具体函数空间上的h i l b e r t s c h m i d t 类复合算子的研究在 1 6 3 3 中有比 较详细的介绍，对于现在讨论的再生解析h i l b e r t 空间，当研( d ) 是c a r l 鹪o n 次正规空间时，我们也可以讨论空间琊( d ) 上的h i l b e r t s d 面d t 类复合算子 定理3 2 1 设g ( z ) = 口。扩( o 。0 ，n = o ，l ，2 ) ，百i 而：一1 ，由 9 ( z ) 所生成的再生解析h n b e r t 空间记为聊( d ) ，妒为d 上的解析自映射若 琊( d ) 是c 卵l e s o n 次正规空间，则吼是一个h i l b e n s c h i n i d t 类复合算子当且 仅当后g ( j l p ( 2 ) 1 2 ) 舡口( z ) o ，( 5 ) 式等价于 黔c 高躲+ 南拆闻 即( 2 ) 净( 1 ) 成立 另外，1 1 1 】中的主要定理就是证明了在加权b ”g m a n 空间瑶( d ) 的情形， 按照本文中的逻辑，其实就是证明了当9 ( z ) = ( t 生) 4 1 ) 时，定理3 3 ，2 中所 述( 1 ) 与( 2 ) 等价而且 1 1 】中作者也已说明，在加权d i r i d d e t 空间 o ) 上( 2 ) 辛( 1 ) 均成立，根据加权d i r i c h l e t 空间的性质易知巩上的生成函数为 9 ( z ) = ( t b ) p ，结合第一章中我们对再生解析i i i l b e r t 空间性质的分析可知， 1 1 】 中实际上已经证明了定理3 3 2 中( 2 ) 号( 1 ) 成立我们只要利用现在增加的一 个条件：瞬( d ) 是c 砌e s o n 次正规空间，说明当o o ，即| | 一q i f 坩 口 定理4 2 2 设g ( 。) = o 。扩( 口。o ，n = o ，l ，2 ) 的收敛半径为r 2 ，由 n = u g ( z ) 所生成的再生解! 蟹1 1 b e r t 空间记为田( d r ) ，妒，妒均为d 凡上的解析自映 射设a ( z ) 2 丽而舒静糯，若 l 思( 1 叫砌( 型冯群蝴) o ( 包含此极限不存在的情形) ，则存在常数g ，使得i i o q i l = 1 1 郇一| | 。g 证明t 由已知条件可知；致( w ) = 9 ( 孔) ，令也( u ) = 制并，则慨| | = 1 同样考虑 “c ；吲蚓卜群埘e + 群 锵搦水豁，瀚 + 雠 根据定理3 3 1 的证明过程： 眦g 吲划h 等叫 1 + 豁 = c 勰一褊) 2 + 。c ，叫圳剖槲 、i i 配| li i 疋| i7 ” “” l 【咒| | j | 虬l i 一7 由于( 6 ) 式右边为非负实数，若 l 思( 叫z ) ) ( 她驾斟蝴) 0 2 5 或极限不存在，根据定理3 3 1 的证明，则| | ( q q ) 也ij 2 一o ，因此必定存在 常数c 使得i l q q 1 1 = i i o 一0 。e 口 推论4 2 3 磷( d r ) 为如上所述9 ( z ) 生成的再生解析h i l b e r t 空间，令a ( z ) = 丽穗高嫉黼，设妒为d r 上的解析自映射若对于d r 上任意解析自映 射妒妒，均有 f ( ，叫砌( 盟嗡铲业) 0 则。是c ( 琊( d 兄) ) 中的孤立点 证明： 由定理4 2 2 立即可得结论若设口，l = + ，且”是自然映 射： ”： b ( 田( d r ) ) + b ( 霹( d 冗) ) 瓮( 群( d r ) ) 其中咒( 霹( d r ) ) 表示再生解析碰1 b e r t 空间霹( d r ) 上的紧算子全体 b ( 日孑( d r ) ) 脬( 霹( d r ) ) 通常称为c 8 l k i n 代数结合命题3 1 3 可得，”( o ) 是 ”( b ( 琊( d r ) ) ) 中的一个孤立点 口 推论4 2 4 设9 ( z ) = o 。扩( o ，n = o ，1 ，2 ) 的收敛半径为r 2 ，由 g ( z ) 所生成的再生解析h n b e n 空间记为田( d r ) 妒为d r 上的解析自映射， 若对于d r 上的任意解析自映射妒，则。是c ( 砩( d _ r ) ) 中的孤立点 证明： 由于圮( u ) = 9 ( 孔) ，令( u ) = 粼，则i i 也i i = 1 利用c a u c h y s d l w a r z 不等式： 眦一黜川2 = 群枷e + 雠 错叫 i + 雠 一 i 配l | 2 、| | 圪| l i i 虬i j “。l l 恐1 1 2 、0 雄( 剁2 。| | 鳓( 剁i i 吼( ：) | | 1 i ( ：) j 2 2 f 兄| f 2 4 配f ff 配f f 。8 也f f 2 ：f 坚趔一坚剑1 。 、i i 致i | l i 配0 7 = c 错一错，2 o 。 记9 ( r ) = 口。p ，r o ，r ) ，由于a 。0 ，n = o ，1 ，2 ，因此9 ( r ) 是一 n = 0 个严格单调递增函数由已知对于d r 上的任意解析自映射妒，所 以。是c ( 霹( d r ) ) 中的孤立点 口 参考文献 1 x c h e n ，k g u o a n a l y t i ch i l b e r tm o d m e sp 删，c h a p m a n & h a n c r cr e s n o t e sm a t h 4 3 3 ，2 0 0 3 2 j h s h 印i r o ，p d t a y l o r c o m p a c tn u c l e a ra n dh i l b e r t s c h m i d t0 p e r a t o r so n 日2 阢i n d i a n au n i v m a t h j 2 3 ( 1 9 7 3 ) 4 7 1 4 9 6 【3 c c c a w 弓n c o m p o s i t i o no p e r a t o r so n 日2 j 1 ，j o p e r a t o rt h e o r y l9 ( 1 ) ( 1 9 8 3 ) 7 7 1 0 6 4 】b d m a c c l u e r c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so n 日p ( b v ) j ，m i c l l i g a n m a t h j 3 2 ( 1 9 8 5 ) 2 3 7 2 4 8 5 】b d m a c c l u e r j h s h a p i r o ，a n g t l l a rd e r i v a t i v e s8 n dc o m p a c tc o m p o s i t i o n o p e r a t o r so nt h eh a r d ya n db e r g m a n8 p a c e s ( j 】，c a i l a d j m a t h 3 8 ( 1 9 8 6 ) 8 7 8 - 9 0 6 6 】j h s h a p i r o t h ee s s e n t i a ln o r m so fac o m p o s i t i o o p e r a t o rf j ，a n n m a t h 1 2 5 ( 1 9 8 7 ) 3 7 5 - 4 0 4 7 】e b e r k s o n c o m p o s i t i o no p e r a t o r si s o l a t e di nt h eu n i f o r mo p e r a t o rt o p o l o g y 【j ，p r o c a m e rm a t h s o c 8 1 ( 1 9 8 1 ) 2 3 0 2 3 2 【8 】b d m a c c l u e r c o m p o n e n t sl nt h es p a c e so fc o m p o s i t l o no p e r a t o r s 【j 1 ，i n t e g r e q u o p e r t h e o r y1 2 ( 1