（基础数学专业论文）子流形的广义willmore泛函及其变分问题.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：璇钇硷 切。多年歹月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：班，荔硷 指导教! j 币签名： 智镪 劫。g 年歹月2 占a庆卿6 年 月z 4 日 摘要 本文主要考虑两方面的问题：一是共形几何中子流形的共形不变量的 构造；二是研究这些共形不变泛函的变分问题，并且构造出极值子流形的 具体实例。利用活动标架法研究共形几何中的子流形，构造新的极值子流 形。 关键词：共形几何共形不变量变共形第二基本形式广义n e w t o s z 算子 w i l l m o r e 泛函广义w i l l m o r e 型泛函 云南师范大学硕士学位论文 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d 3 + t h ef o l l o w i n gt o wc l a s s e so fq u e s t i o n s ：o n ei st h e c o n s r u c t i o no fc o n f o r m a li n v a r i a n t so fs u b m a n i f o l d si nc o n f o r m a 】d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y ；a n o t h e ri st h ep r o b l e mo f 、a r i a t i o n o ft h e s ec o n f o r m a li n v a r i a n t f u n t i o n a l s ，a tl a s ts h o w i n gc o n c r e t ee x a m p l e so fm i n i m a ls u b m a n i f o l d s w e u s et h em e t h o do fm o v i n gf r a m et os t u d ys u b m a n i f o l d si nc o n f o r m a ld i f f e r e n - t i mg e o m e t r y , a n dc o n s t r u c tn e wm i n i m a ls u b m a n i f o l d s k e y w o r d s ：c o n f o r m a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r y c o n f o r m a li n v a r i a n t s ，c o n f o r m a ls e c o n df u n d a m e n t a lf o r m g e n e r a l i z e dn e w t o no p e r a t o r ，w i l l m o r ef u n c t i o n a l ，g e n e r a l i z e dw i l h n o r ef u n c t i o n a l s 云南师范大学硕士学位论文 0 内容介绍 研究黎曼流形在某种变换群下的不变量是微分几何的重要任务之一。 在欧氏空间中，我们知道跟长度有关的量在欧氏变换下保持不变，体积 就是欧氏变换下保持不变的量之一。在边界固定的情况下，我们感兴趣 的是体积达到最小值的子流形。通过对体积泛函的变分，我们得到了这样 的结论：平均曲率为零的子流形是上述泛函的极值子流形( 也称极小子流 形) 【1 1 】。本文研究子流形的共形微分几何，构造了子流形的共形不变量， 并找出相应的极值子流形。 设、t 和疗分别是具有黎曼度量g 和0 的两个连通的黎曼流形，微分 同胚，：n 一膏称为共形的，是指存在函数9 ：一r 使得尹0 = e 2 一g ， 特别当n = 贾时，这样的微分同胚称为共形变换 1 2 设x ：m “一”一 为n 维流形j ，到n + p 维具度量g 的黎曼流形妒+ 一中的等距浸入映 射，x g ( = 9 ) 为a - 的度量g 在m 上的诱导度量取 e a 1 a n + p ) 为n - + p 上的局部单位正交切标架场， u 。1 a n + p ) 为其对偶标架 场，限制在j 上时， e 。1 i n ) 为m 的局部单位正交切标架场， e 。n + l o n + p ) 为m 的局部单位正交法标架场，将 。a ) 拉回到m 上不妨用同样的符号表示，则 ) 为k ) 的对偶形式，u 。限制在m 上 为零即。k = 0 双线性映射h ：耳m t p m 一譬m ( p m ) 为子流形m 在( 中) 的第二基本形式，h = 坛姚 屿 1 1 。 p = 1 时，称m “为”1 中的超曲面，此时第二基本形式h = ，1 “。 屿e 。，记h = 帽1 ，对于距阵( h o ) 。，特征多项式 1n d e t ( a 5 0 b ) = 击e 。i l 。i r ，( 一1 ) 7 h i 。- ， 一， r = o 称上述多项式第r 项系数的平均值听= 砑1e 。n 。，( r = 0 ，n ) 为 m ( 在n 中) 的第r 个平均曲率，r = 0 时，o 。= 1 ，r n 时，t t r = 0 ，一，也 称为m 的平均曲率。当n = 2 ，n 为3 维欧氏空间时，1 9 2 3 年g t h o m s e n 云南葛范大学硕士学位论文 5 发现紧定向曲面j ，的泛函i + 1 ，) = 山口 枷，是共形不变的( w b l a s c h k e 也研究过同样的问题) ，变分后得到这个泛函的e u l e r - l a g r a n g e 方程是： 口1 2 a ：( a ；一0 2 ) = 0 ：( o1 ) 其中是关于诱导度量的l a p l a c e 算子，此时一：也称为 ，的g a u s s 曲 率 1 a 1 9 6 5 年，t j x v i l l m o r e 研究了上述泛函，他证明了： 3 维欧 氏空间中单位圆周沿一条空间闭曲线生成的管状闭曲面满足( m ) 2 7 r 2 且等号成立的条件是m 为标准环( 确定到一个共形变换) 【1 4 】。据此结 果，他提出了著名的w i l l m o r e 猜想：对于任意光滑拓扑环上述不等式成 立。由于w i l l m o r e 的这个贡献，现称为w i l l m o r e 泛函，称满足上述 e u l e r l a g r a n g e 方程的曲面为v i l l m o r e 曲面。w i l l m o r e 问题引起很多 数学家的兴趣，产生了许多结论。对于一般的n ，泛函 t y ( = 。，( d ；一叻) i z ( o2 ) 我们也称为w i l l m o r e 泛函，1 9 7 4 年b y ，c h e n 证明了这个泛函是共 形不变的 1 5 ，p e d i t 和v v i l l m o r e 找到了这个泛函极值条件的e u l a r l a g r a n g e 方程 1 6 。观察上述两个泛函我们发现被积函数都是关于第1 平均曲率和第2 平均曲率的函数，这就启示我们：被积函数是关于其它 平均曲率的函数的泛函是否也是共形不变的。笔者的导师郭震教授近来 肯定了这一结论，他找到了一类这种共形不变量： m “为黎曼流形“+ 1 中的起曲面，那么对任何整数r ，2 r n ，泛函 1 弭( m ) = q ；d m j f ：g l ；d 儿 j j q ，d m j m 是m n 在一，中的共形不变量。 其中q r ：圭( 一1 ) k 一，磷o r a 。对于一般地n ，r ：2 时( o 3 ) 式是我们 k = o 3 数数 奇偶为为 n 卧 卧 一 n n r r 云南师范大学硕士学位论文 6 的w i l l m o r e 泛函( o 2 ) ，为此我们把上述泛函眦( ，) 称为广义w i l l m o r e 型泛函 5 】。 定义关于b = ( h 。) 。的第k 个n e w t o n 变换丑* ) 为 2 ： 丑即j = 击：j b i “j j h ， 幻， 1 茎i lj r 曼n 1 兰nj r ! “ 郭震对( 0 3 ) 式中r 为奇数或r = n 且q ，半定时的泛函职( n ，) 变分后， 得到了这类泛函极值条件的e u l e r l a g r a n g e 方程 5 ： a ( q 尹( q ，一，+ o ；一，) ) + ( g - b 一圭( 一1j 一e 。r - 一k 女耳。一功，( q 尹o ：一“) q y ( n 2 口 一n ( n 一1 ) 口2 + n c ) ( q ，。+ 口- 1 一n q i4 - q 了 ( o 4 ) ( c 备二 ) 一1 壹( 一1 ) 。+ 1 c ：二：c 簧口i 一( n 口1 口k f 1 一) 口+ 1 + c h a k 一1 ) = 0 * = z 特别地n = r 时，有： ( q 。一】+ ( 7 “1 1 ) + 壹( 一1 ) 。一1 互k 一1 ( 盯? 一卜j + ( n 2 盯 一n ( n 一1 ) 口2 + n c ) ( q 。一1 + 口? 一1 ) 一n 盯1 q 。+ 量( 一1 ) 。一1 盯? 一。( n 盯1 盯一( n 一七) 盯上1 ( o5 ) + c k 。k 一1 ) = 0 其中c 为常曲率空间的截曲率他把清足( 0 4 ) 或( 0 5 ) 的子流形称为 t ”一或t 一极小超曲面【5 此外n = r = 3 时，郭震找n t 四维欧氏空间 中三类慨一极小超曲面：脐球，超旋转抛物面，广义w i l l m o r e 环更为 重要的是对于n 3 的超曲面他提出了一个类似w i l l m o r e 猜想的问题： 维数n 3 的高维拓扑环可浸入到n + 1 维欧氏空间中作为t 一极小超 曲面的充分必要条件是它共形等价于内半径。和外半径b 满足0 = i 等 的超圆环面 本文中我们的工作是把上述的思想推广到子流形上，找出一类子流形 的共形不变量，通过变分找到相应的e u l e r l a g r a n g e 方程，最后再构造 非w i l l m o r e 子流形的极值子流形新例子。 p 2 时，h 。= 醒为子流形胗在( p t ，中) 关于法向量e a 的 平均曲率，定义b = b 昌“厶8 屿e 。( 其中磁= ；一h 。5 。) 为共形第二基 云南师范大学硕士学位论文 7 q ，= ；1 1 一。i l i 。、 b 。o r l 。b ：j 。) ( 磁! 。一：b 罂，。b 0 譬1 e 。+ 。： r ：2 k 时，定义为： q ，= ；1 1 。i l ，i r b o ，, 1 ，b ：j ：) ( b ：。一，b i ；，) 则我们得到以下结论： 、v ；c a ，= ：z l l q d ；m d 7 ：三： c 。， 我们也把( 0 6 ) 称为子流形的广义w i l l m o r en t 2 _ n 。仿照 1 】 2 【5 中的 正( b ) 警“= ；1 1 。i l i 。i b 。，i 。b ：j 。) - ( b 罂：。b 芝。一，) 磁譬1 ； 耳( b ) 。= 击弓一翳( 暌j 。鹾j ：) ( b ：。一! 暌；，) 瑶- 1 ) 巧 ( 一q ，) 孚b + 2 ( 一q ，) 尹巧- 1 ) i j j + ( - q ，) 孚碍叫嘶； 一竺 三 q r - ，( 一q ，) ￥ + ( 一q ，) 罕耀_ 1 ) 。( 马一； 盎 磊吩) ( o 7 ) 打( 一q r ) ；日。= o ( 对任意n ) 云南师范大学硕士学位论文8 我们把满足这种方程的子流形称为1 1 j 一极小子流形特别地兰n = r = 4 时，子流形1 1 j 一极小的条件是： 耶一i 1 - v 3 c , + 瑙m ( h j 。k h k j 一：h l 。k h l , 1 5 i j ) 一4 q 4 日。= o ( 对任意d ) ( o8 ) 最后，构造n = r = 4 时眠一极小的子流形的例子。这个例子我们从 复空间中l a g r a n g e 子流形中寻找经过复杂地计算，幸运地我们找到了 对数螺线和3 维单位球的张量积在八维欧氏空间中的四维子流形： 定理c 对数螺线? ( t ) = e a t ( c o s b t + i s i n b t ) ( a ，6 为常数) 和一( 2 t 3 f 4 ) s 3 的张量积妒( ，。) = 3 ( t ) o = e a t ( c o s b t + i s i n b t ) ( v 】u 2 ，地q ) 是欧氏至间 r s 中的四维h ，4 一极小子流形 此外， 定理dl a g r a n g e 球妒：s 4 一c 4 定义为 妒(。，。)：i兰!=_i!；拦。，(zs(。) 其中 酬习2r c t a n ( 攀)声( ) 2 严a n ( 奇黼) 则妒是c 4 中的l a g r a n g e ，儿一极小球( b 为常数) 本文的结构如下： 本文分三节，在第一节里，我们找到了共形第二基本形式，并由此定义 了关于共形第二基本形式的初等对称式，最后找到了一类共形不变量；在 第二节里，首先定义了子流形的广义n e w t o n 算子，通过研究它的性质 及与初等对称式的关系，我们得到了子流形一类共形不变量变分的极值 条件；在第三节里，从复空间中l a g r a n g e 子流形入手，我们构造t a 维 欧氏空间中四维w ，4 一极小的子流形，找出了非w i l l m o r e 子流形的新例 子，同时也说明了本文所找出的泛函是一类比w i l l m o r e 泛函更广泛的共 形不变量 云南师范大学硕士学位论文 1 共形第二基本形式和子流形的广义w i l l m o r e 型泛函 设n 维黎曼流形肘等距浸入到n + p 维黎曼流形中，在 上选 取局部单位正交切标架场e ”e 。埘使得当它们限制在m 上时，向量 e 1 e 。与m 相切，e 。e 。与m 垂直；我们约定： l a ，b g ，n + p 1 i ，j ，一，sn ， n + 1 n 卢7 ，一n + p 并且指标重复表示在它们各自领域内求和a - ”，的结构方程如下 d w a = o j bao j b a ，l d b a + c d a b = 0 ， ( 11 1 山 b - - l g a c a c b = 一2 1 k b g 。g “。， ( 12 j 其中u b ，虬e c 。分别是”一的联络形式和关于度量g 的曲率分量子 流形m “的结构方程如下： d u 。= a ) ja 2 ，“ + l ：0 ， d u 巧一u 谤 u 如= 一；勘e t 岫，。= 一马测= 一月叫。， a l i a2h i j 。j ， 弓= 啄， r 4 j k l = 畅埘+ ( 鑫 量一 i 矗) ， 嚣，k 一 巍，j = 一k i a j k ， 其中r i j k t ，吩分别为m “的曲率分量和第二基本量，。定义为 嚣，u 2 = d 弓+ 曩u 幻+ h ；k w k ：+ g u 鼬， ( 13 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) f 1 7 1 俨= i 螺为m “在黎曼流形( a ”，g ) 中关于法向量e 。的平均曲率 l 云南师范大学硕士学位论文 令度量共形于度量g ，那么存在n 。一上的光滑函数p ，使得 则白= e - o e n ) 为a 一，关于度量的一个局部标架场， 为幽，且 0 = e 9 u 其对偶标架 ( 11 0 ) 令面 b 为关于度量的联络形式，由公式( 1 1 ) 和( 1 1 0 ) 我们有 & a s = o j a b + 曲b o d a 一 o b 其中“：= 9 ( r e ) ，v 是度量g 的梯度算子特别地，我们有 o q = _ ”十0 3 t 一中t 3 u l o = u 2 口+ 妒d u t 令鹂为m “关于黎曼流形( 舻，) 的第二基本量 那么由( 1 1 3 ) 我们有： e 9 = 嗡+ 九 e 。h 。= h o + 饥， e 。( 蜴一h 。( t i j ) = 喝一h 。a i j 令 蜀= 幌一h 。， 则对每个a 距阵( 嘲) 。的迹为零，即砩；0 再令b = b 3 j w i w j e 。，则有 b = b 函t 圆西3 i 0 = b ：j w i w j e 。 =b ( 1 1 2 ) f 1 1 3 1 即o 。= 碡屿， f 11 4 1 f 11 5 1 ( 1 1 6 ) ( 11 7 ) ( 11 8 ) l o 定义1 1 = h a j j i 黜j e 。 = 嚣o 。8 吗，分别为 ，“关于黎曼流形( 、- “9 ) 函数，若令b ：= 一h 。口。则称b = b 0 岫圆岣e 。为 p 的共形第二基本 由文 2 j 我们定义： q ，= 去s i i ：善( b ：j ，磁j ：) ( b ：! ：。：磁! ，。，) b ：譬- e 。+ 。： ( 1 1 9 ) q ，= j 1 。i l 。i 7l u 。a l 。磁；。) ( b ：。一。b ；，) ( 12 0 ) 吲炉愀篓 u 1a a 。分别为黎曼流形( 2 1 , “p ) 和( m n ，+ 9 ) 的体积元素，尸亘和 p g 分别为度量和g 在 p 上的诱导度量由公式( 1 1 6 ) 和( 1 1 0 ) 分 别有e r 9 国，= q ，d 府= e , 2 e , d 3 f ，于是 i c ? ，l ；d 府= i q ，p d m ，p n )( 12 1 ) 推论1 1 r = 2 时，w e ( m ) 是著名的w i l l m o r e 泛函 4 ，b y c h e n 证明 了( m ) 在共形变换下是共形不变的【15 】，p e d i t 和w i l l m o r e 找到了这 云南师范大学硕士学位论文 个泛函的极值条件 1 6 ，用欧氏不变量表示的e u l e r l a g r a n g e 方程，我们 把满足这种方程的子渡形称为w i l l m o r e 子流形王昌平教授建立了子流 形的共形几何 1 7 】笔者的导师郅震教授也在这方面得到了一些较好的结 论 4 5 】 定义1 2 我们称职为广义w i l l m o r e 型泛函 1 2 云南师置大学硕士学位论文 2 广义n e w t o n 算子和广义v i l l m o r e 型泛函的变分问题 1 3 在这一节里，我们仿照以往的做法对l 中的广义w i l l m o r e 型泛函作 变分，找到相应的e u l e r l a g r a n g e 方程 在文 2 中，r r e i l l y 引进了n e w t o n 变换并得到了一些较好的结果， 我们在这里推广地定义广义n e w t o n 变换设v ，w 为两个向量空间， v + ：旷分别为它们的对偶空间，、1 8 v + o ，为张量空间，令e 。，e 0 分别为 v 和w 的基底，c = 四g 屿0e 。v + v 40 1 i ，且c 对称，即c , i = c 警， 其中 岫) 为 e 0 的对偶基，由三阶张量c 确定v + v + w 上的算子 t c ，) ( e ) ： 引理2 1 i ) r = 2 k + 1 时，砰，1 ( e ) ：v 4 z - v z1 1 一v + o v ，对于e v 圆v + 8 ，我们 有 丑，) ( e ) e = 三味珏( 罐j 。嚷抄( 嚷_ 一：嘴! l j r - 1 ) ( 篮譬1 e 孑+ 1 ) 呐。岣 记 丑，) ( a ) 凳“= 1 ，6 。i l ，i r i 、c 。a 1 c ：j 。) + + ( 嚷：。一。c ；= ：。一。) c 筹1 ， ( 2 1 ) 则丑，) ( c r ) e = 丑，) ( g ) 嚣“( 卺“u 。so ，( 丑，) ( e ) e ) 。= 甄，) ( e ) 凳“( 搿“； i i ) r = 2 k 时，耳，) ( c ) ：v 4 v + 8 一v + v + 8 1 矿， 丑，) ( e ) e = 击譬z z ：( c 嚣；，c ：j ：) ( g ! 。一。嚷；，) 咄9 “。q ， 记 丑r ) ( c ) m 。二1 i 肌j l - j ”，1 k 厂i l j ，嚷；。) ( c t t t 暖钳 ( 22 ) 则五，) ( g ) e = 甄，) ( g ) m u 。 e - ( f ，) ( e ) e ) 0 = 丑，】( e ) 惦； 其中6 。i i - ，i y 互为广义的k r o n e c k e r 记号 以下巧) ( b ) 是关于共形第二基本形式b 的广义n e w t o n 变换，仿照 文【2 ，我们有n e w t o n 公式： 云南师范大学硕士学位论文 命题2 1 ( r + 1 ) q ，一i = 打( 丑，) ( 口j 口) 证明从略 命题2 2r = 2 时，丑，) ( b ) 。= q ，6 i 一瑶一- ) ( b ) z 女b 马 证明从略 设：m 。n 为佗维黎曼流形m 到n + p 维黎曼流形v 的等距浸入， ，：( 一。，e ) ，戈：m j n 为光滑映射，对每个固定的t ，施= 贾( ，t ) 是 m 到的光滑浸入映射，如果t = 0 时，x 0 = ) ( ，则称 勉) 是x 的一个 变分，”= 警k 。称为x 的变分向量场对每个固定的t ，w ( t ) 为m ( t ) 的 相应的一次微分形式，选取的局部单位正交切标架场 已( p ，t ) ，限制 在x 。( m ) 上时， 邑( p ，t ) 旧x ( ，) ) 切于x f ( j ，) ， 瓦( pt ) i p ) ( ( ) ) 垂直 于x ( m ) ，设 以( p ，t ) ) 为 e a ( p t ) ) 的对偶标架场，于是得到 5 。：u d t ( 2 3 ) 0 ，= u 。+ 出 0 q = 。”+ l o d t ， 畎。= o 。+ d t e a 8 = 。，3 + n 。j t f 2 4 1 ( 2 5 ) ( 26 ) f 27 ) 其中l i j + l p = 0 ，m m + m b l = 0 n a 3 + n 跆= 0 设d 为丁+ ( m ，) 上的外微分算子，则d = d m + 爰 出，其中d f 为m 上的外微分算子，由( 1 1 ) ，( 2 3 ) 一( 2 6 ) 式我们得到： 慨= 0 + 民 口。t f 2 8 1 = 屿a 。+ d t a ( k ，一l j i l o j ) + d t a ( k 。t ) ， 另一方面 砸羔篡糍0 d m w id m z d td k t 麓 仁。， = + + i ， 云南师范大学硕士学位论文 比较( 2 8 ) ( 2 9 ) 中d t 的系数有 警= 圳+ 定义的协变微分k ，为 j q ：= d k + u 。，( 2 i i ) 贝l 等= ( v ，一l p ) 一k 喝 斑 、2 一“一7 ”一 于是 爰( d 尬) 讪a c d n = ( k ，i n h 。k ) d m t 根据的结构方程及公式( 2 3 ) ( 2 7 ) 我们得到： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 帆= u 2 j + u t 口 芦a + 咏u ” d 。一l 巧u j n d 汁肌a u l 口八出 f 2 1 4 1 一m 。3 “。ad t + k i 。1 。v e 。ia d t ， 另一方面 孤。= d m c o , 。+ 如m 。舢砌 警， ( 21 5 ) 比较( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 中d t 的系数有： 警= 如尬n 一屿a c o i j - - l i j 。一坼。啪 f 2 1 6 1 + m i a w a 。一k 。i f 3 ， 定义尬。j 屿：= 如尬。+ 坞。屿。+ m z w a 。 于是 酉o a j i 。= m i c , , j + l q 3 。一n 3 a w i b - - k 圳3 又由于 警= 警屿埚警，研国一。”况 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 墨鱼堑垫墨堂婴主堂垒笙圭 一1 6 从而由( 2 i v ) ( 2 1 8 ) 我们有 警= 五。，+ h 盖厶t 一 ：畅。一k n ，。一蠊k , j - h 毳岛t + 豫h 岛， 等= 扣“一翱一扭幽一拓+ 拓h 最 以下考虑沿法方向的变分，即变分向量场”= k k i e o 呶。= ( 如+ 甍 出) = 以b ，所以”= 警2 k 邑+ 坛己) 另一方面 从而 d 目。= d m 坛ad t d o 。= ( 不。一。口。) ad t d m k = 正。“。一0 8 。 定义k 。呐：如k + “陋所以k ，：= 矾。 由( 1 1 7 ) 式我们有： ( 2 1 9 ) f 2 2 0 1 0 ( 因为 ( 22 1 ) f 22 2 1 ( 22 3 ) 雩k 。= 警k 。一等k ：施， = k ”一i 1 k 勤+ ( 厶k h 岛+ 强l 幻) 一b g 。一( k i 。，p 一；玛a 旧d u ) 场一( 毳k ，一； 最k 一) + ( h 毳h 岛一： 刍 磊6 u ) y f f l 2 ，2 4 1 由命题2 1 我们有： 命题2 2r 为偶数时， 盟o t = ( 礞- 1 ) ( 砚t 警) ( 2 2 5 ) 证明从略 注2 1 因为，为奇数时，类似命题2 2 的结论我们尚未找到，所以本文 墨壹堑薹查生翌主鲎垒笙圭 我们就只讨论r 为偶数的情形 1 7 命题2 3 珲。：= ( n r + i ；a ，一 证明从略 命题2 4 礞州j = 巧一1 ) j f 证明从略 命题2 5 聪- li k h 岛= 螺瑶一1 ) 幻 证明从略 命题2 6 聪讪u j = 0 证明从略 命题2 7g 为j ，上的光滑函数，= 矗e 。为m 上的一法向量场，若m 为紧致子流形，则 b t 汹矗。删= j m 瓣州9 1 ，d m 证明从略【4 下面设m 为欧氏空间舻+ 一中的子流形，取r ( n ) 为偶数且g 2 ) ，其它 舅= 。 引理3 1 孑= 蒜= ，2 嚣，v i ，j ，： o i + j + = o i j v i j 证明从略 7 令a = 笋一篱，于是糊有： ；= a 嚣= i i = o ， 孑= 九嚣= 卢瓯， 孑：o j ，j ，k 2 以下我们取共形参数使得1 7 ，| = 则 - = 铲：竽， 。a 2 - a 3 ：三笪! ! 三 肛2 研一。矿 对e 。( 妒) 外微分我们有 d e “纠- d ( 南( a v 印” 另一方面 d e l ( 妒) = o l i e i ( ( f 1 ) + o n ，e l 。+ o l i e ：( i22 ) ， 比较( 3 4 ) 和( 3 5 ) 两式我们有： 巩r 叫巩，巩r2 以，巩z 。高既一忐巾 2 ) ( 31 ) ( 3 2 ) ( 33 ) ( 3 4 ) ( 35 ) 2 2 云南师范大学硕士学位论文 同样地由 我们得到 d e p 2 d ( 南( 一卢7 7 v ) ) = 0 1 1 e 1 ( 妒) + 0 1 。岛( ) + 臼1 。e ，。( i 2 ) ， 州) = d 南( a 邑i v ) 弧( 吲 = o k l e l ( 妒) + 目巧勺( ) + o k l e 1 + o k j e j ( 七j 2 ) d e = d f 音( 一3 良( v ) ，“蟊( v ) ) j j 川 = o k - 】e 1 ( ) + o k + j e j ( ) + o k 。1 e l 。4 - o k j e ，( k j 2 ) 目1 1 + 2m l ，0 1 i = 岛l = 肛目：，o i , = p 0 1 ，o j 。：0 以。南晚，一焉心腔2 z 矧 ( 36 ) 以上的算法可见 7 】有t1 2 11 - 妒( ，8 ，) 的联络形式后，我们可以计算定义 在妒h 。) 上的函数和张量场的协变导数 对于满足公式( 2 2 9 ) 的眦一极小子流形，维数越高计算越复杂，我们 在此就只对n = r = 4 的情形构造例子 当n = r = 4 时，( 2 2 9 ) 式化简为： 邛凇豇一；q ；+ ) 巧( h i k h 。j 一；磙 磊幻) 一4 q 。日。：o ，( 。：l ；，2 + ，3 + ，4 + ) ( 37 ) 由( 3 1 ) 式及b 昌= 马一日。我们有： h ”= i ( a + 3 p ) ：日”= 0 ，( i 2 ) ( 3 8 ) 由公式( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 我们有： 饼= 击s z 慧磷，磁，。暌。 2 3 93 2 一 o = 矿埘 b2 一 1 j z 如 肛 = j 日 1 2 = 一 j j j | | = z 云南师范大学硕士学位论文 = 刍= z z 凳b ：，b 艺，。b b 。 = i ( 一肛) 3 + 3 ( a 一肛) p 2 = 0 i = 2 3 4 ： q 。= 扣；j 譬盘b ：，。b ：，：b ：。b i 。 = 一虿3 ( a 一一去( a 一p 由公式( 2 1 ) 我们有： 唱。，= 耘j l j 2 j 3 j i n l 。b ：，：b 赫 嗡。= f 嗡巧= 【 定义瑶，。为 于是我们有 瑙u k = ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) z ， i = j = 1 ， ( 31 2 ) 言( a 一) p 2 ，i = j 2 ： 0 i = 1 ，j 2 ， i j ，i j 2 ，( 2 s4 ) ( 31 3 ) z ：j 焉，k o k = d 巧+ 焉日“+ 瑶口+ 瑶目。 a p ) 3 ) z = j = l i = j 2 2 叫扩 n孓讹 ，i-，、l o oz 2 一a 0 一驴 一 n n 2 2 一 ， 1 j 扎， 1 4 ， = 幻 6 肛 2 肛 一 入 2 一妒 + 2 肛 p a l 一6 3 肛 一 ，一铲 一 三吼 入 1 6 + 3 、jp 慕矾 重业型兰墼堡塞2 5 e * f 一丕( a 一) 2 帕”t ) 南 - 丕( a p ) 2 p m 蔫( a 刊2 扩嘉( a 刊。 _ 鬲卜1 刊2 如( 嘉( a + ；( a 叫) 芦2 ) 女】， 令尊2 手礤池，2 臻皿一，丢。礤姒，则 0 e l ( 一云( a + i ( 卜弘 2 = 1 ，j 2 i 歹，i j2 2 i = j = 1 ( 2 m 4 ) z = j 2 i = l i 2 i = 1 驴m m + 南卜扣一扩p + 熹( a 刊。 ( 2 。 2 ；( a 一咖2 + 万2 ( a 1 ( a 叫) 3 一：( a 一咖。 ；( a 刊2 p + 熹( a 刊。 _ 南) h ( 一丕( a 刊2 山+ 汁；( 矿卢+ 熹( a + ；u 一脚旷 ) + 南 e 】( 一嘉( a ) + 3 鬲卜击( a 一；( 刊n 丕( a 刊卅 ” 吼秆沁卢) 2 1 t - 熹( h 矿+ ；( 咖。 + e l ( 一万2 ( a 一卢) 2 ) 文。) ， i 2 ：1 ( 2 m 4 ) 2 2 k 岛 以肛 2 、jp a ，【 2 一妒 一 k 。u忧 丁 2 p肛 a ，( 1 6 3 、j 肛协 一驴 一 三 口， i 肛强 一 0 协 一 彦 q + 仉 ，-，l【 3 、jp a ，【 一妒 霄鬲知 + 三h 卜 勺 一 旬 脚 论 + a 肛玑知硼泖 州 协 卜 静。喙 畛 妒 嚣 墨鱼生垫叁兰翌主堂堡篓墨2 6 从而 瑙。 定义q 呈。为 于是我们有 耳菇。= 0 ( 2 茎m 4 ) q ；：目。= d q ；+ q ；9 舳 e 1 ( ；( a 一卢) 3 + 3 卢2 ( a p ) ) o q 爵：丙z ( i 1 ( a p ) 3 + 3 1 2 ( a 一口) ) i = 1 i 2 ： ( m 2 ) qj=警三：l：二：i三i：二