（基础数学专业论文）二阶非线性具阻尼项微分方程的振动性质.pdf

华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：f 学f 司 日期：二脚莎年f 月 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师 范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，允许学位论文被检索、查阅和借阅。学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印、数字化或其他 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在后解密适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权 书。 论文作者签名： 舯 日期：0 伽6 年f 三月 日 导师签名： 日期：必 蕤p 艺加 钐何0 州c钐1 摘要通过利用积分平均法和黎卡提变换技巧，得到了判定两类二阶非线性具阻 尼项微分方程振动性的一些新准则。这些结果改进和推广了已有的结论。 关键词振动；非线性微分方程；阻尼项；积分平均法 a b s t r a c t b yu s i n gi n t e g r a la v e r a g i n gt e c h n i q u e s a n d g e n e r a l i z e d r i e c a t i t r a n s f o r m a t i o n ，w eo b t a i ns o m ec r i t e r i a sf o r t h eo s c i l l a t i o no fs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd a m p i n ga n dt h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a i i o n sw i t hd a m p i n g t h i sr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n d ss o m ek n o w nr e s u l t s k e y w o r d so s c i l l a t i o n ，n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，d a m p i n gt e r m ，i n t e g r a l a v e r a g i n gt e c h n i q u e 引言 振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，也是近年来定性理论研究 中十分活跃的方向，在科学技术领域中有着广泛的应用。对微分方程的振动性的 研究中，二阶微分方的振动性的研究，吸引着众多数学工作者的关注，并且出现 许多经典优美的成果。 1 8 3 6 年，s t u n n 在研究热传导方程时，提出二阶线性常微分方程 o ) + 撕) = o ，t - l o 0 ) 的振动性问题，其中g ( f ) 是( o ，0 0 ) 上的连续函数。进而对一般的二阶线性微分方程 pi ) x f ( f ) ) ，+ g ( f ) 工( f ) = o ，f f 。 o ( 易) 其中，( ，) ，q ( t ) 是( o ，o d ) 上的连续函数。建立了振动理论中最基本亦是最重要的 s t u r m 比较定理【1 】，由s t u r m 比较定理可得$ t u r m 零点分离定理。最近，s t u r m 比 较定理和s t u r m 零点分离定理己由e l b e r t 2 和l i 3 推广到如下二阶半线性微分方 程 ) 叭) rx ( ，) + g ( r ) ) rx ( r ) = o ，a o ，r f 0 o ( 毛) 对于二阶线性以及半线性微分方程，虽然有着重要的s t o r m 比较定理，但它 并没有明确地告诉人们方程在什么情形下会是振动的或非振动的。因此人们开始 寻求各种确定方程振动的条件，发现许多重要的振动准则均涉及到系数函数g ( f ) 的可积性。下列的结果是被普遍认为最为经典。 1 9 1 8 年，f i t e t 4 ；i ! e q ( t ) 2 0 及 舰j = 日o = m ( 1 ) 条件下，证明方程佤) 是振动的。 1 9 4 9 年，w i n m e r 5 i i e 明：如果条件 ，l + i m l ，。t 。t g ( f 弦础= m c 2 ) b “ 成立，则方程瓴) 是振动的。 1 9 5 2 年，h a r t m a n 6 将条件改为：如果 一m 0 ，t s t o 并且在连续函数h ：d j r ，使得 一掣o ，) ： ( f ，。h r , - 6 7 习，对一切的( f ，。) d 岱 4 如果 煦哪习! 日b g ) 一i 1 啪，s 乎= m ， c s ) 则方程眩) 是振动的。 1 9 8 4 年，g r a c e 等h 1 0 x 寸- 阶带阻尼项的非线性微分方程： k ( f ) 尹m ，( f ) i + p o 皿o ，正) ，工，( f m o ) + g ( f 驴( 谁) ) = o ，( 日) 利用黎卡提变换技巧得到了此方程的一些新的振动准则。 1 9 9 9 年，m a n o j l o v i c 【1 1 】用积分平均法把【5 】的结果推广到二阶半线性微分 方程( 巨) 。 2 0 0 1 年，w o n g 【1 2 】引入积分算子，对二阶线性阻尼微分方程 ，( f ) + p ( f ) ，( f ) + q ( ，) x ( ，) = o ，t t o 0 ，( 历) 给出了k a m e n e v 型振动定理。 2 0 0 4 年，徐志庭和夏勇【1 3 】利用w o n g 1 2 僦技巧，对二阶拟线性微分方 程 a - ix r ( r ) ，+ 俐工( r n ( r ) - o ， 同样给出了k a m e n e v 型振动定理。 t t o 0 ，( 瓯) 本文通过积分平均法和黎卡提变换技巧，得至u t f u 定两类二阶非线性具阻尼项 微分方程振动性的一些新准则，推广和改进了前面捉到的工作。 全文共分二章，第一章讨论二阶非线性具阻尼项微分方程的解的振动性： b o 耵o r 工，o ) i + p ( r k ( r ，z 工电m ，( f ) + g o 牡t q “谁) ：o ， ( 易) 其中函数p ，g ： 。，m ) 一r = ( - - o o ，o 。l j i ：【f 。，m ) r2 一【o ，o 。) a ( f ) e c m 。，m l ( o ，。o ”连续， 口 0 是一个常数。 在本章通过利用积分平均法和通常的黎卡提变换技巧，得到了六个定理，其中主 要定理是： 引理1 设函数p ( f ) o ，g ( f ) 是非负且在区间j r , ) ，t t o 上不恒为o ，并假设 ( 4 )七( f ，y ) i y i 聃“， o ； 5 “，南端西卜m 一都 o ， 雨1 飞- 丽p ( o d r 卜佃，牡。 如果以) 是方程( 易) 的非振动解，则有m b 电) o ，对充分大的f 定理1 设条件“1 0 ：) 成立，并设存在连续函数：d = ( f ，s ) l t s t o ) - - - r ， 使得 。 “) h ( t ，f ) = o f t o , h ( t ，j ) o ，o ，f ) ed ； ( 4 ) ( 郇) ：一竺娶盟是d 上的非负连续函数 且 即志。j q ( s ) h ( t 力一踹卜。， 则方程( 易) 是振动的 定理2 设函数日和h 如定理1 所定义，且满足条件0 ，1 0 。) 和 魄) 叭i 蛳n f r l i m 。m 嬲卜 ( c 3 ) 黔印赢卜( s i n 糍- 、e , s ；l 如果存在一个连续函数妒 t , o o ) j 吏得v r z t 。，有 b ，l ，+ i m s u p 州, 1 ，, 舭川一石筹萼蠢卜m 和 。 i 错， 其中吼o ) = m a x 妒0 ) ，o ，则方程( 易) 是振动的 6 ，( f ) i ，( r 球) ，+ p ( 渺( r r 坪) + 牙( ，) r 工( r ) = o ， ( 乓) t _ t o o 其中，q ( t t o ，) ，口) ，p ( 【气，) ，r ) ， 口 o ( 口o ) 是常数 在本章利用积分算子和w o n g 的某些技巧，推广了k 棚c i l e v 型的一些结果， 主要定理有： 定理3 设存在函数户c 1 ( i t 。，o o ) ，r + ) ，h ，k c ( d ，r ) ，h e f ，常数c o ，使得 澳s 叩志 。a q - z h - p - ( + o i 七一) 氇 其中= + 1 ) 如+ l l ， ( f ) = t i 了c 4 ( s ) r - l ，8 ( f ) g 一1 ( f ) 则方程( 毛) 是振动的 定理4 设函数p ，h ，h 与定理3 的定义相同，并存在函数马，岛c ( t o ，o o ) ，尺) ，对 一切r t o , f f # 4 l i m s u p 爿【1 f ，j a r ( a q ；f ) 蜀( r ) 和 蛩s 叩百击可4 ( ”i i r ；r ) 垦( ，) ， 其中旦，岛满足 缈百南4 ( 一圳“( 且一鹏尸”；t ) 吨 其中与定理3 相同，则方程( 最) 是振动的 7 第一章二阶非线性具阻尼项微分方程的振动性质 1 引言 本章研究二阶非线性具阻尼项微分方程 k ( f 】工，( f r l 工，( f ) i + p o k ( f ，面l 工，( f m ，o ) + g ( f 】撕】。如) ：o ， 仁) 其中函数弘g ： 。m ) 寸r = ( _ m ，m l i ：【f o ，m ) r 2 _ 【o ，m l a ( f ) e c l f 。m l ( o ，m ) ) 连续， 口 0 是一个常数 一 ， 。 本章只对定义在【f 。，m ) 上方程( e ) 的连续非平凡解进行研究，我们总假设方程 的每一个解都在区间【f 。，m ) 上有定义且连续。按通常的定义，称i $ i 数 工c i k ，m ) l - t 。，i x ( f 】”。算，( f ) c i 缸，m ”为方程的解，如果嘶) 在阢，m ) 上 满足方程但) 。方程仁) 的解面) 称为振动的，如果它有充分大的零点，否则称为 非振动的。方程仁) 称为振动的，如果它的每一个解都是振动的 方程陋) 包含下列方程 工( f ) + g o ) = o伍) k o h ，( f ) i + g ( f ) = o皈) k ( f 耵( f 1 “j ，( f ) i + g ( f 】x ( f 】“j ( f ) ：o 慨) 作为特殊情形 近年来，关于方程陋。) 一慨) 的振动性问题已被许多作者利用不同的方法进行了广 泛的研究( 例如文【7 ，9 - - 2 5 ) 及其参考文献这其中有相当一部分成果籍用平均 积分技巧【9 ，1 0 ，1 1 , 1 2 ，1 7 ，2 2 , 2 3 ，2 4 本文的目的是利用文【2 0 】的某些技巧，给出 方程) 所有解振动的p h i l o s 型振动定理，所得结果改进和推广了文【9 ， 1 0 ，l l ，1 2 1 3 ，1 7 , 2 2 ，2 3 】 2 主要结论 为了证明主要定理，我们需要下面两个引理： 引理1 设函数p o ) o ，g ( f ) 是非负且在区间p + ，o o ) ，t f o 上不恒为o 并假设 0 1 )七( r ，x ，y ) i y i 坍”1 ， o ； ) 南端如 - i v t p 叫。咄若 。， 高髓p 【鬻打卜佃，私。 如果j ( f ) 是方程征) 的非振动解，则有谁b ，( f ) 0 ，对充分大的f 证明设工( f ) 是方程仁) 的非振动解不失一般性，假设工( f ) o ，t t 。0 如果 工乜j = o ，q ( t i j 0 ，对某些f i t ，由方程怛j 有 g ( f h ，( f 】“工，( f ) ) ，b ：一g “批。) | a - i x “) 0 ，对 t t 2 否则，假设，( f ) 0 ，对( 1 ) a t ：到t 积分之，有 删卜小尚出r ， 9 扎p 南卜冉嗄端西r 对不等式( 2 ) 从f 2 到f 积分之，并利用条件) 的第一式知 面) 一娟，当f - o o ， 这与托) o 对f t o 矛盾! ( 2 ) 情形2 若= 0 时，对( 1 ) 从f 2 到t 积分之，有 啪洳：，吨别， 从而 工们岛唧! 纠“ 对( 3 ) 式从f ：到f 积分之，并注意到0 ：) 的第二式，仍可得出矛盾引理得证 引理2 【2 0 】如果j ，y 非负，则 x q + ( g i ) l ，9 一q x y q 。o , q 1 其中，当且仅当x = y 等号成立 定理1 设条件( 4 ) ，( 彳：) 成立，并设存在连续函数日：d = ( f ，s ) l t s t o - + r ， 使得： “)( f ，f ) = 0 , t t o 日o ，j ) o g ，f ) d ； o 。) ) = 一竺掣是。上的非负连续函数 且 b ) 脚哪高肛跳沪啬黠矧凼一 则方程伍) 是振动的 证明砸) 是方程的一个非振动解不妨设j o ) o f t o 由引理1 ， 3 t l t o ，使得x ，( f ) o , t t 1 定义 扑篙等，嘲 对( 4 ) 式求导并利用方程僻) 和引理i ，我们得 w ( f h ( f ) _ 口嵴一巡等幽 刚一口嵴， 从而得 小) 1 是常数，由定理1 可得下面推论 推论2 设名 l 是常数，并设定理i 中的条件( c ，) 被下列条件替换 c ：) h m s u p ；，舭心叫2 一( 甜小m 叫“1 卜， 则方程( e ) 是振动的 例1 考虑非线性微分方程 工工o ) y + 刀i z o ) + 广1 “x o ) = 。，f o ，幢) 其中v , 2 ，口，是正常数，且y 1 ，口o ，f f 0 若口 0 ， 南端出卜 1 2 凼 壶 ：f 詈 1 + o f o ) _ ，印芒l t o ，o 。) ； 薏b = 0 赫唧盼h d s = 等d r 卜 = p 心叫“吁“ 唧南p 刮“4 凼 f s v l a d s = 4 - o o 所以，当f j m 时，引理1 的条件0 ：) 满足 又因为 弘拯2 1 s 2 - i d s 手一字= 知，= 鲁 哪力乖s ) 2 , t - s - t o 记= ( 熹) ”，有 冰叫2 如卜掣十珈，沙 _ 坐卜 嘶卜静) 一弩斗净叫( 制西一戢_ ”出 = 五i 五j 1 2 丽t a + 笋+ ； 2 - - k 。m 笋( - 一孚 2 4 ，2 瓦雨而面+ 尹+ r ”尹1 1 - 亨j 其中 毛= j 闭2 1 0 a + 2，屯=2一j2丽toa+lzf0-kot； k o t o ，屯= j t o ( 2 l - a ) 毛2 硒习，屯= 2 一j 丽，屯= l 当f m 时，定理1 的条件0 ，) 满足，故方程幢) 是振动的 定理2 设函数日和| i 如定理1 所定义，且满足条件0 ，) ，( 以) 和 魄) 黜卜 汀 略 h ， _ 璺 。l 甜吼 0 ，对f t o 如定理 1 证明一样定义函数w ，得到( 7 ) 和( 8 ) 式。因此，对f t t 。，我们有 烛唧高舭肌沪揣卜 另外，由条件b ) ，有 以r ) w 仃) ， 丁2 f( 9 ) 和 觋s u p 万南! g g 归o ，s 灿妒( f 。) l o 定义函数 ，( f ) 2 赢舻灿， ，印，= 南眇s ，嵴凼 因此，由( 7 ) 和( 1 0 ) 式，我们有 i m i n f l g ( f ) ，纠以。) 一嫩8 u p 可b ! g g 归缸，5 协础。) 一却。) f o ，使得 ! 嵴凼毒，嘲， ， 其中是任意正数和善是一个正常数，使得 瓣睁r 黜 舢， c t 利用分部积分和( 1 3 ) 式，有对一切f t 。： 印，= 南m 妒 ： 嵴f = 一南! 掣 ! 嵴打卜 一赢i 掣 ! 嵴d r 卜 一赢! 挚= 剿 由( 1 4 ) 式，f f 2 ，使得日( f ，t 。) 日( f ，f o ) 善，t - t 2 ，因此，g o ) ，于是，对任 意的a 有 l i m g ( f ) = 0 0 ( 1 5 ) f * 进一步，在( f o ，o 。) 上考虑数列 l 接。，使得 婴= o 。，并注意到( 1 1 ) ， 舰【g 亿) 一f ( t , ) = l i r a i n f 【g ( f ) 一，( f ) 】 一1 2 ，对充分煳g 也) 7 “”“” 结合( 1 8 ) 式可以推出 1 i m 竺舆：。 n g 。帆) 另一方面，由h o l d e r 不等式，对峙协n ，我们有 f 仍) = 百若习i l w g 】n 纯，s = 瓢南瞥a i ( a + 1 ) ( s 离褊：1 月州”( 巧，岛) )j i 、“”( 乃，f o ) ( 南b 锱g 南b t o 矧h t 出 。( ) 一口。日( l ，) ：吖。( ，s ) 因此，由( 1 9 ) 式我们有 从而有 鲤南m 矧， l i r a ，锱 6 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 帮卜 伊“f z ，s 1 厂 、 凼 | 砖堡 竺 p q华南 与条件( c 3 ) 矛盾! 故( 1 2 ) 式成立由( 9 ) 式我们得到： i 鬻凼镀嵴， 与条件( c 5 ) 矛盾! 证明完毕 定理3 设函数日和| i l 如定理1 所定义，且满足条件( 4 1 0 。) 和 ( c 6 ) l i m i n f 日( f l - - - - 1 - ，制f l g ( j ) 日( f ，s l 凼 o o 如果存在一个连续函数妒【f o ，o o ) ，使得v r f o ，有 c q ，缈r 高壮眦沪盂筹卜 和条件( 岛) 成立，则方程仁) 是振动的 证明设工( f ) 是方程仁) 的一个非振动解与定理1 的证明一样，得( 7 ) 和( 8 ) 成立，又由定理2 的证明得( 9 ) 式成立利用条件瓴) ，可以推出 舰s a p e g ( f ) 一，( f ) 形( f o ) 一l i m i n 万南j = g ( s ) 日( ) 又由( e 7 ) 可以得到 毗一l 掣i mn f 可b 肛缈百南焉幽 因此，有 。l i m i n f 南锱炽 在以，o 。) 上考虑数列饥疑。，使得，l i m t = m 和 舰【g 纯) 一，也) 】= 鲤i n f 【g ( f ) 一，( f ) 】 m 那么，由定理2 的证明可得( 1 2 ) 式成立，余下的证明同定理2 ，略 例2 考虑二阶非纬件微分方稃 1 7 h j ( r 坪) 卜恤1 k ( r ) s i i i 帐( f ) | u - i x ( r ) = o ，f2b 其中y ，五，口，是常数，其一1 o ，存在 t o ，使得对r ，有 l ，一i m s u p l f ， 1 ( ，2 $ 2s i n s _ s v 辫卜洲鲫一 设伊( f ) = 一t as l u t 一，则存在一个正整数，使得( 2 + 1 ) 万一三 如果以， ( 2 刀+ 1 ) 万一三r ( 2 ”+ 1 ) 丌+ 三， 妒( 丁) 艿r 4 其中艿是一个很小的主数，。注意到矿五 + 1 ) p 一口) ，我们得到 e 锌驴1 鹾氘 争j + 1 ) r 。p 喜：。 怎j ( 2 ) 。一；j 条件( c 4 ) 和( 巳) 也成立由定理2 ，则方程( 乓) 是振动的 定理4 设函数日和 与定理1 的定义相同，且满足条件( 4 ) ，“) 如果存在一个 正的非减函数户c l m 。，m h 且 ( c s ) 黔坤志小枇眦沪石器享( 砟一+ 错) 门， 则方程伍) 是振动的 证明设j ( f ) 是方程伍) 的一个非振动解不失一般性，假设工( f ) o , t t o 定义 扑西) 篙等，。 对上式求导，并用方程( e ) ，得 忡撕+ 锵卜器一攀带产 1 9 等式两边乘以日( f ，j l f j t o 并从f o 到t 积分，利用( 6 ) 式得 ) ) 拈一郎) 咖) 虮l 锱w ( 洲) 凼、， 吨m s ，捌斋凼一! 型絮铲西 所以 ! g g 腓归如嘶。归( f ，f 。) + ! ( 比s ) + 锱日b 毋枷oq 、 。、 7 书柚，捌杀凼 d + l 9 2 ， 口 y = ( 爿( 善黼厂卜咖错， a 由引理2 ，有 1 w ( 刮卜咖锱，卜州啦) 蝗箬 石书掣砑( 砘咖铹盹s 旷 从( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式得 驰南扣m 栅一一面端k 咖锱咖升 w ( f o ) 与条件( c 8 ) 矛盾! 证明完毕 推论3 设定理4 中的条件( c 3 ) 被替换为 印南! 鲁锚( 地小锱叫“， ( c 1 0 ) l ，一i m s u p 嘶1 岛, j 弘加g 龇s 一 则定理4 的结论仍成立 例3 考虑二阶非线性具阻尼项微分方翠 h 旷x 耐+ 万1 x m 2 。3 i 工( t i a - i x ( f ) = 。( 刚 其中口，p ，屈五是正常数，且够 1 ，v + o l 2 ，口 t o ，条件 即南舭m 栅一一滞垮心咖错啦，计 妒( r ) ， 和 i 高等 满足，其中织o ) = m a x 妒o ) ，o ) ，则方程是振动的 定理6 设函数日和 ，p 定义与定理4 相同，且满足条件( 4 ) “) 和 1 i + m 。i n f j ，( ，l ，岛) ：f l ( 5 ) i p ( s ) 上，( s ) 出 o , p o 是常数 在本文中我们总假设下列条件成立： ( 4 ) g ( f ) = j = ( s ) ，o ) ) 一d s - o o ，当f m 时； ( 4 ) 憋甜4 ( s ) g ( s p = 卅 m 其州沪唧( j ：器凼 我们称函数x ( f ) 是方程( e ) 的解，如果x ( f ) 是定义在【，o 。) f o 上的一个连 续函数，并且具有性质r ( t ) i x 7 ( f ) r ，( f ) c 1 ( 嘎，m ) ，r ) 且满足方程( e ) 我们仅考虑 到工( f ) 上方程( e ) 的非平凡解，因此有s u p 卜( 叫：f r o ，对一切的r 2 方 程( e ) 的一个非平凡解称为振动的，如果它有充分大的零解，否则称为非振动的 若方程( e ) 的所有解是振动的，则称方程( e ) 是振动的 当p ( , ) - - - o 时，方程( e ) 变为 ，( r ) | z ( r ) i 。j ( r ) ：f + g ( r ) i z ( r ) 1 4 工( r ) = o ( 五) t a k a s i ，y o s h i d a 3 9 】和徐志庭，夏勇【1 3 】给出了一些振动性的结果 当口= ，( f ) - = 0 时，方程又变为 ，( r ) 帆扩- ! x t ( r ) ，+ q ( 啾r ) | a - ix ( ，) - o ( 剐 这类方程的振动和非振动准则已被广泛讨论( 文献【2 ，1 1 ，2 7 ，2 8 】) 本章，我们通过利 用w o n g 【3 0 1 和x u , x i a 【1 3 】的某些技巧，给出方程( 层) 的振动准则，从而推广了 【3 0 $ 1 1 1 3 f l c j ： ：作 2 主要结论 首先。我们引入一些要用到的概念和性质 设d = ( f ，s ) i f s f o 和d o = ( f ，d l t s - t o 设函数日c ( d ，r ) ，称为属于 函数类f ，若下列条件成立： ( h ，) h ( t ，t ) = o , t t o ；h ( t ，s ) o ，( f ，d d 0 ； ( h ：) 函数日对s 有连续的偏导数，且丛掣。癣，s ) d 0 ； ( h ，) 存在函数p c 1 ( 【f o ，o o ) ，r + ) 和七c ( d 0 ，r ) ，使得 豪日( ) p ( s ) - - - i ( ) 尼( ) ( ) d o 又设p c ( t o ，m ) ，r + ) ，h f ，定义积分算子 a r ( g ；t ) = f ( f ，j 冶( s ) p ( s ) d s ，t t t o ( 1 ) 容易验证算子4 满足下列性质： ( b 。) 4 ( q g 。+ 呸g ：；f ) = q 4 ( g l ；t ) + o e 2 a r ( 9 2 ；f ) ； ( b 2 ) 4 ( 9 3 ；，) o , v 9 3 o ； ( b 3 ) 4 ( g ：；f ) = 一日( f ，t ) g 。( t ) p ( t ) + 4 ( p g 。t ；f ) 这罩禹，9 2 ，g ，c ( f t o ，o o ) ，r ) ，9 4 c 1 ( 【t o ，o o ) ，r ) ，q ，哎是实数 对任意函数孝c ( 【t 。，o o ) ，r + ) ，定义核函数 叭s ) = f , d r4 ，m 1 ( 2 ) 其中e 善一1 ( r ) d r = o 。容易验证，核函数( 2 ) 满足条件( h - ) ( h ，) 一个重要的 特殊情形是毒( f ) = 矿，这罩n 1 是实数 当毒( r ) = 1 时，n ( t ，s ) = ( f s ) “； 当善( r ) = f 时，h ( t ，s ) = ( i n t l l l s ) ” 定理1 设存在函数p c 1 ( 【t o ，m ) ，r + ) ，h ，k c ( d ，r ) ，h f ，任意常数 c 0 ，使得 堕唧万南4 。( 叼埘1 w “；r ) 吨 ( 3 ) 其中= p + 1 r a + 1 ) ，姒- f ) = i t i c 口o ) ，- l ，。( f ) g 一1 ( f ) ，则方程( 层) 是振动的 证明设工( f ) 是方程( e ) 的一个非振动解不失一般性，j ( f ) o ，不妨设 工( f ) o ，t t o ( 当工“) 0 ，使得当t 时有 i x ( f ) f 。一卢p 4 + q c 一口7 f 口+ 1 j g “，( 口+ ( f ) 进一步有 ) r ”。c g 一1 ( f ) ( 8 ) 将( 8 ) 代入( 5 ) 得 ( 口( r ) w ( f ) ) ，一口( 帅( f ) 一朐( r ) ，“4 ( ，) g 一1 ( f ) 1 w ( f ) r ”4 - - - - - - n ( 加( f ) 一口 ( f ) 1 w ( f ) r ”4 ( 9 ) 对( 9 ) 用算子4 ( r 2 f o ) ，且币q 用( b 。) 一( b ，) 得 4 ( 叼；r ) 一4 ( ( 口w ) ，；，) 一口4 ( i 叫咿4 ；r ) h ( f ，r ) p ( 丁) 口( r ) w ( r ) + 4 ( p “n 叫；f ) 一口4 ( i 叫和“n ；f ) ( 1 0 ) 由y o u n g 不等式，有 p - j 州口| j l i 叫“+ g h 一8 p 如1 ” 将上述不等式代入( 1 0 ) ，得 a r ( a q ；f ) o ，对某些f t t o 由不等式( 6 ) 仍可推得( 7 ) 成立，余下的 证明与情形1 相同。略 情形3 若一( f ) - t o 如果( 7 ) 式成立，已证得与( 3 ) 式矛盾现 假设( 7 ) 式不成立，即 小) 鼯 m ， 利用( 6 ) ，对f t ，有 一学 - ( 咖咖小) 筹西。， 由( 1 2 ) 式，我们选取互t ，使得 咖) ，( s ) 鼯矧讹m 又由( 1 3 ) 式，对任意的t 写，我们得 口( s ) r ( r ) 叭，r 一( r ) f t , 一疗，4 ( 0 ) 、阢) r， 一( m o + m m 鼽咖群凼 不等式两边从正到f 积分，得 一口型 一尸工( f ) h 卜西咖小，鼯凼 抽留r 联合( 1 3 ) 式得 一a(s)r(t)lx(t)rax ( t ) f 趔丫 旷 一【工( r ) j 整理得 j ( f ) ，7 4 ( 写) 4 。( s ) ，一1 7 。( f ) ， f 五 因此，由( 4 ) 得 j ( f ) x ( z ) 一，7 8 ( t w 。t 口一0 ) ，- i l e ( s ) 凼专a o ， 当f j m 时， 与x ( f ) o 矛盾! 故( 1 2 ) 时不成立定理证明完毕 推论2 如果定理1 的条件( 2 ) 由下面条件替换： 熙唧南以( 吲) 一 ( 1 4 ) 和 脚s 印高4 0 ( h - 4 p q + o 七n r ) l ，p ，q ，r 满足 l i r a s u p ，。( ) 2 h 一4 p 巾“w “弘= m ，0 6 ) 则方程( ) 是振动的 特别，取月( ) = ( f s ) 2 ，p ( f ) = l ，则七( f ，s ) 2 击 例1 考虑二阶拟线性微分方程 ( r 一2i 工( r ) j 4 1j ( r ) y + 7 1 + ，x ( r i 。一一( t ) + t ”一1 研( 2 + c o s r ) 一rs i n ， b ( f ) r j ( r ) = o ，( 乓) t 气0 其中五，m ，口，是正常数o t p , a 2 ，2 + a 1 对任意的常数 口( f ) = 鼹p f i ，f 。, p ，( ( 。s ) ) 出 = r f 0 ， ( t ) = 旦坐- d + 业m 咿删m p 灿 - i 所以，对任意的f t o ，有 【口( 咖p 灿= c 虹s ”( 2 + ) = ，( 2 + 删) 一岛扩一向 这罩毛= t o ( 2 + c o s t o ) 所以有 百而1 ( 凹_ 。陋r + l ；t ) = 南卜凡如m ( f - s ) i - 4s - i a + 2 ) ( 产m = 南肛s ) 耻) g ( 枷舡( 州a k 2 f t 叫产训( s 。+ _ a - j _ a + a - j ，, ) a 凼 南j ：( 卜坩一毛净一( z k 2 ) ：”f , ( 叫s 。凼 = f 2 f o ) ：l r ( 川t ) ”( + 2 厕 一篙一篙m2 一壁2 啪+ 譬l研+ l+ ” 2l 一蓐裔( ，一纩一c ， 其中屯= 2 “1 南) 。满足c s ，式，由定理，可知方程c 日，是振动的 定理2 设函数d h ，h 与定理1 的定义相同，并存在函数且，芝c ( t o ，o o ) ，r ) ， 对一切7 t o ，使得 和 嫩s u p 南4 ( 哪r ) 垦( r ) ， 爱唧j 玎b 4 ( j i l l 矿i i i r ；r ) 垦( r ) ， ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其中e ，垦满足 l ，一i m 耐百南4 ( 扩p - ( 咿屯一例恤“”。；r ) 一 ( 1 9 ) 其中与定理1 相同，则方程( e ) 是振动的 证明设石( f ) 是方程( e ) 的一个非振动解不妨设工( f ) o ，t t o 由定理1 的证 明，w ( f ) 如( 4 ) 所定义，x c - - e y jt t o ，我们得到( 5 ) 下面分三种情形讨论，t ) ： 情形1 若一( f ) 是振动的，对_ 切r ；f o ，由( 1 1 ) 式有 百南竹) 一百南4 ( 胪w ”；r ) 纠r ) w ( 州( 丁) 上式令t 0 0 取极限，并利用( 1 7 ) 和( 1 8 ) 得 且( t ) - u b ：( t ) p ( r ) w ( 丁) 口( r ) ， 从而得 百南4 ( 一p ( 且鹊p ；，) 百南4 ( a i ”4 ；r ) ( 2 0 ) 另一方面，f l = l o o ) 有 南4 ( 一一啪。；，) 一丽1 w - ii t i i 口制 p ( 丁) 口( r ) w ( 丁) 一南a r ( a q ；) 由( 1 7 ) 知 掣万南4 ( m 旷啪。；f ) - 百南4 ( 矿i t i i a 蝴 p ( 丁) 口( r ) w ( r ) 一骂( 丁) s c o ( 2 0 其中c o 是币常数往证 缈r 百南4 ( 一一啪4 ；f ) t o 0 其中2 ，m ，口，是任意常数，r m so ，o 0 口 2 2 + 1 嘶一坤旺器寸， ( f ) f l c ( a ：- ；j 2 一2 - 1 ) t ( a - a ) a i t o - 2 , 1 - 1 ) o _ _ 矗a 一2 一1 ) ，4 一t 对任意的f s t t o ，有 和 脚哪南肛妒小) 郎) 凼 2 觋s 叩石匆( r s ) 2 。一f o p ”咖踮 r ”s i n t 嫩s 印南肛班刊r 凼 叫婴呻南肛广。矿8 尸一产卜 茎屯姆唧南肛s ) “s 书+ 1 ) 出 慨) 土2 - a 觋唧南t - t ) = 击2 - ，一( 。 口7 其中k 3 = 2 a + l ( 高厂 令妒( j ) = b j ( s ) 一岛( s ) = 哪”s i n s - e ， 其中占= 叫，存在一个正整数，使得：2 砌+ 三石( 1 + 厄严， 则对一切的n n ，有 心) 万1 肚卜三，r , 2 n f f + 料 l i m i n r 高批朔州沪刎s ) ) i “出 南砉群卜一c p ( 口- 2 x - o s 譬p 一产 。( 硝西 屯妻腔s 警出鸡 批：譬掣( # 参考文献 i l l l燕居让，常微分方稃振动理论，山西教育出版社1 9 9 0 ，太原。 1 2 ia e l b e r t ，ah a l f - l i n e n rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i nc o l l q u i am a t h s o c j a n o s b o l y a i3 0 ：q u a l i m d v e t h o e o r y o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s z e g e d , 1 9 7 9 , 1 5 3 1 8 0 a 1 3 lh j l i ，c c y v h ，s t u r m a i nc o m p a r i s o nt h e o r e mf o rh a l f - l i n e a rs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n