（基础数学专业论文）几类时滞微分方程解的周期性与振动性.pdf

凡类时滞微分方程解的羼朔性搬动性 摘要 本硕上沦文由三章组成，主要讨沦儿类时滞微分方程解的周期性与 振动性 第一章讨论了两类中市截泛蛹微分方程 象) 一( t r ( t ) ) | 。n ( t ) 。( t ) + ，z ( f r ( 帆 塞陋一c l q ( 咖 + r ) d r = 叫蝴) + 6 钟) m ，础刊) d r 正周期解的存在性利用k r a q n o s e l s k i 不动点定理，得到了方程正周期解 存在的充分条件，改进了相关文献的结果，得到了一些新的结沦 第二章讨论了一类中市墩多时滞对数种群模域 型d t = 聊) r ( t ) 一喜啪) l n ( t 一乃) _ 壹i - - - - i ) 面di n 呻一椰) ) 正周期解的存在性问题，去掉相关文献中某些引理，利用“集压缩算子 的拓扑度抽象连续定理和某些分析技巧，建市了相应的准则保证方程正 周期解的存在性 第三章讨论了一阶非线传时滞微分方程 一( t ) + k ( t ) + p ( ) ，扛( 删) ) = 0 ， 一( t ) + x z c t ) + 风( t ) m ( q t ) ) = 0 解的振动性，给出了方程解振动的无穷积分条件，改进和推广了相关文 献的结果 关键词：时滞微分方程；正周期解；振动性；k r a s n o s e l s k i 不动点定弹； 一集压缩算子 i 几类时滞檄分方程解豹羼期性与搬动性 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d yt h e p e r i o d i c i t ya n do s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s i nc h a p t e ro n e , b ym e a n so ft h ek r a s n o s e l s k i if i x e d p o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt w ok i n d so fn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 夏dl ? ( t ) 一口 一r ( t ) ) l = 一b ( 扣( t ) + ，( f ，一下( t ) ) ) ， 丢卜( t ) 一c lq ( r ) z ( t + r ) d r = 一。( t 净( t ) + 吣) q ( r ) ，( t ，z p + r ) ) 打， a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d w ei m p r o v es o m ek n o w nr e s u l t ，a n d o b t a i ns o m en e wr e s u l t c h a p t e rt w om a i n l yc o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra n e u t r a lm u l t i - d e l a yl o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e l 百d n = 眦) r ( t ) 一妄q ( 州n | o 一乃( t ) ) 一喜) 面di n 往一们) ) w ee l i m i n a t es o m el e m m a si nr e l e v a n tp a p e r ，b yu s i n ga na b s t t a c tc o n t i n u a t i o n t h e o r e mf o rk - s e tc o n t r a c t i v eo p e r a t o ra n ds o m eo t h e ra n a l y s i st e c h n i q u e s ，e s t a b l i s h s o m ec r i t e r i at og u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nt h el a s tc h a p t e r w ei n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o no ff i r s to r d e rn o n l i n e a rd e l a y d i l i e r e n t i a le q u a t i o n s 一( t ) + x z ( t ) + p ( f ) ，扛( 口) ) = o ， n 一( t ) + 蛔( ) + a ( t ) m ( 酬) ) = 0 ，= l w ep r e s e n ti n f i n i t e - i n t e g r a lc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no fe q u a t i o n s ，i m p r o v ea n d g e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s 湖陌师范人半2 0 0 7 呵硕十学位论文 k e y w o r d s ：d e l a yd i f f e r e m i a le q u a t i o n ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ；o s c i l l a t i o n ； k r a s n o s e l s k i if i x e d p o i n tt h e o r e m ；k - s e tc o n t r a c t i v eo p e r a t o r i v 几类时滞微分方程解的周期性与振动性 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明z 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：可格卅年f 月忙日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密西 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 一4 7 一 日期：砷年歹月f 千日 日期动年j _ 月“日 几类时滞微分方程解的周期性与撮动哩 绪论 l 本课题产生的历史背景 微分方程足现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域有着非 常广泛的应用它在儿何学、力学、人文学，核物理，电子技术、夺间技 术和垦际航审等许多尖端科技领域内l 二成为强有力的杠杆，榷动这些学 科的发展在现代的生物学人工神经网络动力学和经济学等领域，微 分方程的理沦和方法也是不町缺少的随着科学技术的飞速发展，人们 发现在动力学系统中，时滞通常是不n f 避免的如电路信号系统生态 系统、化工循环系统，遗传系统流 ，病传染系统动物与植物的循环系 统，商q k 销售系统运输调度系统、生产管殚系统，自动控制系统等领域 中都普遍存在着时滞现象，很多的问题均n f 用时滞微分方程为数学模 饿来加以描述，这使得对时滞微分方程的研究更具有实用价值由于时 滞微分方程解的定性研究成果对预测书物未来的发展具有重要意义，因 而，科研工作嚣特别重视时滞微分方程解的定性研究自卜世纪六十午 代以来，时滞微分方程解的定性研究已引起了人们广泛的兴趣，并取得 了丰富的研究成果，参见文献1 1 - 9 ，1 2 2 2 ，2 5 - 4 4 ，4 6 ，4 7 1 下面就本文研究问题的历史背景作一简要概述 一两类中立型泛函微分方程正周期解的存在性 周期锯廿j 题一直是微分方程理沦的一个重要分支，是目前t - i t 较活跃 的研究领域，l 吸引了众多的学g - ，并有丰富的结果出现，参见文献【2 ， 3 ，5 - 7 ，9 ，1 2 1 ，其中文献f 5 ，6 】研究了两类时滞微分方程 蕊d z ( t ) 鄙冲) + 雄，z ( 一7 ( t ) ) ) ， ( 1 1 ) 五d 础) = 叫啦( t ) + 6 ( ) ) m + r ) 渺 ( 1 2 ) 湖阿师范人学2 0 0 7 硒硕十学位论文 正周期解的存在件问题受文献f 5 ，6 1 的启发，文献【1 6 l 考虑了下列两类 时滞微分方程 羞k ( o 一( t r ( f ) ) l 。n ( ) z ( t ) 十弛，x ( t r ( f ) ) ) ， ( 1 3 ) 象一c f oq ( 咖( t + r ) d r = 叫籼) 州t ) ) ，( t ，雄+ r ) 涉( 1 4 ) 正周期解的存在件口j 题，其中c 【0 ，1 ) 为常数 方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 包括许多生物数学模坦和入1 ：i 模璎例如，h e m a t o - p o i e s i s 模璎( 参看文献【l 一4 i ) ，n i c h o l s o n 苍蝇模埠! ( 参看文献1 1 2 1 5 ) 和血细 咆产生模型( 参看文献【6 - 9 1 ) 由于根据不同的物种，一个正在成长的个体 有町能比成熟的个体消耗更多( 或荇墓少) 的食物，这导致了中市制泛蛹 微分方程的产生不仅如此，微分方程的周期解能描述一些系统的重要模 式，所以研究方程( 1 3 ) 和( 1 _ 4 ) 周期解的存在惟足很重要的当c ( 一1 ，0 ) 时，方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 没有讨论，因此我们自然会有下面的日j 题 问题1 当c ( 一l ，0 ) 时，方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 正周期解存在的条件是 什么? 二中立型多时滞对数种群模型正周期解的存在性 生态条统中，为了更真实地反映自然，时滞常足一种不应忽略的因 素具有时滞的种群模型反映了如下事实：所考虑系统的未来状态，不仅 取决于当前的状态，而还依赖于系统过去的状态在许多情况下，这 一书：实较微分方程更真实地反映着自然按这种观点所建市的动力学系 统，属于2 0 世纪5 0 年代发展起来的泛函微分方程，参见文献f 1 7 - 2 2 ，2 8 】_ 1 9 9 3 年，k u a n g 在文献【1 8 l 提出了一公开问题( 公开n j 题9 2 ) ：设法 得到如下中寺趣单种群模壤 d 万n = j 】、r ( t ) 。( ) 一口( t ) ( t ) 一6 ( t ) 0 一f ( t ) ) 一c ( t ) ( 一丁( t ) ) 1 ( 2 1 ) 一2 几类时诲徼分方程佛的厨朔佳搬动性 正周期解的存在性问题房辉和李继彬教授得到了方程( 2 1 ) 正周期解存 在的充分条件，参见文献1 2 9 】 文献【3 0 】讨论了下列方程 警= ( ) r ( t ) 一n ( t ) l n 。一盯) 一6 ( ) 面dl n ( t r ) 1 ( 2 2 ) 正周期解的存在性问题，其中叽r 为非负常数，得到如下结果 定理如果存在常数c 满足l c i 1 和q 0 使得l a ( t + a ) 一6 ，( t + r ) 1 2 嵋 v t l o , u 】1 3 趾篑兰 秽 i 1 ( 3 _ 2 ) 这些作者都足通过研究两数；孙或者广义特a e 方程来获得方程( 3 1 ) 振 动的有限积分条件很多作者利用如( 3 2 ) 这样的积分条件研究各种泛蛹 微分方程例如，参见文献 3 3 - 3 j 7 | ，其他的相关结果参见文献1 3 e - 4 5 1 文献【4 6 1 中，作者证明了如果下列条件成市： r 圭 p ( s ) d s 0 ，t t o 一3 一 湖粥师范人学2 0 0 7 哂硕十学位论文 和 肛m ( e j ( 出) 出一 则方程 一( t ) + p c t ) z ( a t ) = 0( 3 3 ) 的每个解都振动，其中p ( t ) 0 连续，t o 0 ，q ( 0 ，1 ) 为常数 据我们所知，将卜述关于方程( 3 3 ) 的振动结果进一步推广到更一般 的方程的工作甘前还很少 2 本文的主要工作 本硕上沦文基于卜述思想，其主要甘的足研究和回答卜述提出的叫 题， 第一章讨论两类中锣域泛两微分方程 五d ) 一( t f ( t ) ) 】n ( 州t ) + ，( t ，z ( t 一下( t ) ) ) ， 盖一c 批”叫一( t ) 雄) + 6 荆m ，雄+ r ) 渺 正周期解的存在性，其中l c l 0 和1 4 。，( 1 1 7 ) 湖i i 师范人学2 0 0 7 锰硕十学位论文 = 未卜a ( ( 。t ) ) z 一( t 。) + ! b 。( q t ) f ”) 。z o o ( t q + ( r 7 ) ) l d l x ( t + r ) j = d i ，。 。c - t s ， i d r ，n 。 灿。j 同时，根据不同的物种，一个正在成长的个体有叮能比成熟的个体 消耗更多( 或吝- 匿少) 的食物，这导致丁中市型泛瞬微分方程的产生 不仅如此，微分方程的周期解能描述一些系统的重要模式，所以研究方 程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的周期解存在件是很重要的 本章获得了方程( 1 1 ，1 ) 和( 1 1 2 ) 正周期解存在件的充分条件我们 的结果改进和推广了文献( 5 l ( 方程( 1 1 1 ) 的c = 0 ) 的相应结果同时，文 献1 1 6 1 必讨论了c 【0 ，1 ) 的情形，当c ( 一l ，o ) ，我们的结果足新的，证 明方法不同 由于c 0 ，文献f 5 j 的汪明方法不能直接应用于方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) ， 本章应用k r a s n o s e l s k i 不动点定理证明主要结果，最关键的足找到合适的 算子丁和s 满足不动点定理的条件 我们给出本文将要用到的引理和定义 引理1 i 1 ( k r a s n a s e l s k i 不动点定理) ( 参看文献【1 0 1 ) 设x 足b a n a c h 审间， 耳是x 中的有界闭凸集，t 和s 是映k 入x 的两个映射，如果满足下 州条件： ( i ) 蚀，f k ，有豫+ 勖k ， ( i i ) s 是一个压缩映射， ( i i i ) t 在k 是全连续的 则t + s 在k 卜j ! 少有一个不动点 引理l 1 2 ( a r z e l a a s c o l i 定理) ( 参看文献【1 1 1 ) 集合mcc ( z 冗) 相对列紧 的充分必要条件： 一8 一 几类时滞微分方程解的周期性撮动性 ( i ) m 中的函数一致有界，即存在k 0 ，使得对一切t ：“( f ) m 。 有j u ( t ) i s 七，v t j ( i i ) m 中的函数等度连续，即对任意的 0 ，存在非) 0 ，使当 t l ，如zi t l 一屯l m 不然，存在t 【0 ，“，】，使得 z ) = i n 由( 1 2 1 ) 得 ，l = g ( t ，8 ) 1 f ( 8 ，z ( s f 0 ) ) ) 一。口( s ) z 如一r ( 8 ) ) 1 d s + c z ( t 一r ( t + ) ) j f r - “g ( f 问吣) 警叫s 川) ) 卜c m 由于“g ( t ，s ) a ( s ) d s = 1 ，从而由卜式得 g ( r ，s 沁( s ) ( f 0 ，z ) 一( 1 一c ) m 】d ss 0 ( 1 2 9 ) 又由于f ( s ，z ) ( 1 - c ) m ，对任意的z m ，m i ，存在t o 【o ，u 1 满足f ( t o ，z ) ( 1 一e ) m ，g ，s 0 ，8 ( s ) 0 ，所以我们有 g ( t ，s ) n ( s ) 【f b ，刁一( 1 一c ) m d s 0 这与( 1 2 9 ) 矛盾，从而有对所有的t 【o ，u 1 ，m x ( t ) sm ，即z ( t ) 足方程 ( 1 1 1 ) 的正u 一周期解这就完成了定王! 1 11 2 1 的证明 1 2 几类时游徼分方程解的周期性与撮动性 雄卜搿巍# x 。s + r ) ) d r r ) d r d sq ( r ) x ( t r ) d r 地埘 c 8 ( 8 ) q ( r ) z d +i+ c + c 酬= 厂g c 抄，胁p ”州办 ，0 ( s z ) c t ) = c q ( r ) x ( t + r ) d r ，一 ( t ) 柏譬撕翠i d 嚣) y ( t + r ) d r 一( s ) q ( r ) z 和+ r ) d r s + c q p sz g c 少，胁p 卅” _ ( 1 一c ) “g ( f 咖( 8 ) 洲胁+ 谢 r t “r，0 ( n ) ( 。) + ( 勖) ( 。) z g ( 。：8 l 删妇( s q - r ) + ( 1 一。) ) 毋 _ ( 1 一c ) m j ( “g ( f ，咖e 肿+ 一 1 3 湖i 柯师范人学2 0 0 7 哂硕十学位论文 这就证明了对任意的z ，k ，t x + s y k 下血征明s 足严格压缩映 射对任意的甄g k ，我们有 r o，o 0 ( s z ) ( t ) 一( s ) ( t ) 0 = 0 c q ( r ) x ( t + r ) d r c q ( r ) g ( t 十r ) d r l l j 一j 一 sc q ( r ) d r x ( t + r ) 一0 + r ) l l d r sc 忙一洲 由于c 1 0 ，1 ) ，从而s 是严格压缩的接下来证明丁足全连续的因为 ，0 i ( r ) ( t ) l = i n ( t ) ( t ) + b ( t ) q ( r ) f ( t ，x ( t + r ) ) d r l j j 矿 i a ( t ) x ( t ) + a ( t ) q ( r ) c x c t + r ) + ( 1 一c ) m l d r l 2 m i i o i i 这表明? 是等度连续的另外由t 的定义知? 是连续一致有界的 由引弹1 1 2 知，丁足全连续的 由引殚1 1 i 知，存在z k ，使得t x + s = z 成市类似定理1 2 1 的征明，我们n ，得m 0 和c i o ，1 ) 均为常数 ( i i ) 对任意的( z ) 【0 川【m ，m i ，s f ( 1 一咖n 0 和c i o ，1 ) 均为常数，q ( r ) c ( ( - o o ，o l ，i o ，o 。) ) ，f _ o 。q ( r ) d r = 1 ( i i ) 推沦1 3 3 的条件( i i ) 成市 则方程( 1 1 8 ) 全少有一个正”周期解z ( t ) ( m ，卅 当c ( 一1 ，o ) ，我们有类似以卜的结 仑，这里不一一列举 一1 6 凡獒时滞徼分方瞿船的厨期佳报葫往 第二章中立型多时滞对数种群模型正周期解的存在性 2 1 引言 设u 0 为常数， c o , = p ：z c ( 冠，r ) ，茁( t + ) ；z ( t ) ，其模定 义为h o = m 越蜒1 0 , 。1 i z ( t ) l ，c 已= p ：善c 1 ( r ，r ) ，z 0 + l ，) = z ( t ) ，其模 定义为i l x t = m a x l z l 。，p i o ，则c o , ，c 已均为b a n a c h 审间同时，我们记 ) i = ：爿h ( t ) d t ，v h 巳 本章讨沦一类中市镬多时滞对数种群模埋 d d n = n ( t ) r o ) 一妻a l ( t ) l n 一q ) ) 一姜k ( t ) 夏di n n ( t n ( t ) ) ( 2 1 1 ) 正周期解的存在件问题，其中r ( t ) ，q ( ) ，饥( t ) ，u a t ) ，zc t ) 口，i ； 0 ， o a t ) ，兀( t ) 20 ，y t 【0 ，】，坳 l ，n ，v i l ，m 而，a a t ) c 1 ( r ，r ) ，矗( t ) c a ( n ，兄) ，( t ) 0 1 6 a e ( b ) n _ r ( l ( b ) ) ，对任何有界集bcd o m l 现在，设l ：x y 足指抓为零的f r e d h o l m 算子，x ，y 足b a n a c h 审 问，qcx 足有界开集，n ：西一，足k 集压缩算子k j ( l ) 于是文 献【2 5 】利用k - 集压缩算子拓扑度d i ( l ，) ，叫的同伦不变性汪明了下列结 果 1 8 几类时滞教分方程解的周期性与振动性 引理2 2 1 ( 参见文献1 2 5 1 ) 设l ：x y 足指标为零的f r e d h o l m 算子， r y 足一i 古i 定点，假设：孬一y 是舡集压缩算子1 3 k f ( l ) qcx 足 有界的关于0 o 对称的升子集，并且满足 ( r 1 ) l a n x + a r ，v a ( 0 ，1 ) ，台a 2 n d o t a l ， ( 尼) q n ( x ) + 口r ，卅【q ( 一。) + q r , x 0 ，v a n n k e r l ， 其中【，】是y x 的某舣线性泛蛹，q ：y c o k e r l 的投影算子，c o k e r l 表示算千l 的余核则存在z 西满足k = n x + r 为了应用弓l 理2 2 1 研究方程( 2 1 2 ) ，我们设y = q ，x = 晓， l z = 警 ( 2 - 2 1 ) 和 - q ( t ) z ( t 一乃( 日) 一c ( t ) 抛一几( t ) ) ， ( 2 2 2 ) j = l l = l 则方程( 2 1 2 ) 等价于下列方程 l z = n x + r ， ( 2 , 2 3 ) 其中r = r ( t ) 显然，方程( 2 1 2 ) 存在u 一周期解当仅当方程( 2 2 3 ) 有解 。晓 引理2 2 2 ( 参见文献f 2 6 ，引理3 ，2 】) 算子l 是指标为零的b - y e d h o l m 箅子， 满足t ( l ) 1 ”i 引理2 2 3 如果k = h o ，则n ：o a 是k - 集压缩算子 t 害l 由于引理2 2 3 与文献【2 6 1 的引理3 3 证明过程类似，在此我们将征 明过程省略 i 9 一 湖陌师范人学2 0 0 7 面硕+ 学位论文 引理2 2 4 ( 参见丈献【2 2 ，引弹4 】) 设f c 三，( t ) 1 ，v t 【0 ，u 1 ，! i ! | j 嘲 数t f ( t ) 有逆肛( t ) 满足肛c ( r ，r ) ，i i 肛缸+ u ) = p ( o ) + u ，v 0 r 注2 2 1 由引理2 2 4 叮知，如果9 a ，r q ，e ( t ) 1 ，v t 【o ，u 】， 则我们有g ( p ( t + u ) ) = 9 ( p ( t ) + “j ) = g ( _ 【( t ) ) ，v t 冗，其中肛( t ) 是甬数t f ( t ) 的逆，又因为p c ( r ，r ) ，从而有9 ( 肛( t ) ) 巴 2 3 主要结果及例子 由于( f ) 1 ，嘭( t ) 0 满足l r ( f ) f2 口，v t 【o ，。1 ，其中r ( t ) 如( 2 3 1 ) 所定 义， ( h 。) l a j l 。u + i b ；l o l l e , l y 2 1 和l 玩l 。1 1 一一l o 1 ! j l | j 方程( 2 1 1 ) j 三少存在一个正”周期解 注2 3 1 文献1 2 2 】中有一个类似结果( 参见交献1 2 2 的定弹) ，定弹的条 件( h ：) 如下： ( ；l 骞弓l 。) 1 2 u + ( 薹n 以l q i 。+ 薹i = ：1 i 堍i o i - 一i y 2 1 2 - 和蔓t = ：l i 堍t 一1 0 0 ，由积分中值定理町得，一定存在q 【o ，u 】 使得 i 2 南s ； 由于 h 幽) + t x , ( t ) 郴；+ f 敞 从而我们有 1 s ；+ f 舭) l d t ( 2 3 6 ) 在( 2 3 2 ) 两端同时乘卜：一( f ) ，然后在i o ，u 】卜积分得 p 阻= a 批肛o 奢沁磁蚓出 一上“”以卜“”矽o ) d 1 外l 。j - o ”川眦酗出j 。肛0 胁 ：= ： j + j cb o 矽 1 ( ”) | f ( t ) l 出 由c a u c h v - s c h w a r z 不等式寝价有 z “坝圳2 出s ( i r i 。+ 喜啦i 。) ( f 叭圳2 d t ) ”u m + 喜( 和帅叫洲2 a t ) 坍( 加圳2 疵) v 2 + 萎( j ih o ( 卜r i ( 洲2 出) ( f 帅叫 ( 2 3 7 ) 2 2 几爽时滞微分方程解的周期性振动性 ( 加帅训妒a 0 ” 2 皈高蒯馋肛( t ) 1 2 ( 2 3 8 ) = ( 1 卅俐荆j 2 d 广 i i - e , 怖i 。( 肛( t ) 1 2 矿 肛阳洲。曹批( 肛圳2 疵) m 2 + 善i l - 一l ：胆i b , i 。j c l e ( t ) 1 2 d t ”，u 即 + ( z 。i c ”1 2 d ) 1 肛s c i r i 。+ 砉i q j o i 刮。，u l 2 + 善m 卜们( 肛1 2 矿 将( 2 3 6 ) 代入 ：式得 ( 肛陬) 坍 nn 由条件f q l 叫+ i l 一咕肛i b i t o 0 使得 j = l i = 澶 ( 肛一2 m a x 蛳，尬，压垂葡 ，n = 扣：z 砚，1 1 2 1 1 0 满足l r ( t ) i 口，v t 【0 ，_ i ，其中r ( t ) 如( 2 _ 3 1 ) 定 义 ( 呸) i b _ i l o i l 一啪 o ( x o ) ，f ( o ) = 0 ，存在常数l 1 满足 i ，( z ) 一，细) l 之工b 一3 ，i ( 3 1 3 ) 对某个i ，如果对所有的t 蛹数霉c ( 【犀，c o ) ，只) 都满足方程 ( 3 11 ) ( 或者| 方程( 3 1 2 ) ) ，其中p = a ( 或荐p = 。r a i n a t ) ，则我们称z 是方程 ( 3 1 1 ) ( 或者方程( 3 1 2 ) ) 的解一般的，如果方程( 3 1 1 ) ( 或者方程( 3 1 2 ) ) 解有任意大的零点，则称此解足振动的 很多作者研究了带正系数的时滞微分方程 e ( t ) + p c t ) z ( r ( t ) ) = 0 ( 3 1 4 ) l a d a s 在文献1 3 1 1 ，k o p l t a d a z e 和c a n t u r u i a 在文献f3 2 l 中获得了方程( 3 1 ，4 ) 振动的署名准则 i mi n ff t p ( s ) d s i l l i r a i n f ( 3 1 5 ) ( s ) d s 一() e 、 这些作荐都是通过研究函数；筹赫或皙广义特征方程来获得方程( 3 1 4 ) 振 动的有限积分条件很多作吝利用