（基础数学专业论文）完备李color代数的分解唯一性.pdf

摘要 相仿于李代数，中心为零且所有导子都是内导子的李c o f ”代数称为完 备李c o ? o r 代数。在完备李代数的基础上，我们研究了完备李c 0 2 ”代数的一 些性质和结构本文主要构成如下： 第一部分介绍了李c 0 2 0 r 代数的定义和一些性质说明了李c 0 2 0 r 代数的 导子代数也构成李c o l o r 代数，然后简单介绍了可解及幂零李c 。2 0 r 代数，最 后给出了李c o l ”代数的同态和同构的定义。 第二部分首先讨论了若李c 。f w 代数三可以分解为两个理想的直和，则 中心也可以分解为两个理想的直和，而且当中心为零时导子和内导子也有同 样的理想直和分解，并且工完备的充要条件是两个理想都完备然后给出了 单完备李蒯”代数的定义，并给出了一个李删。r 代数是单完备的充要条 件，即是不可分解的，同时引入了l 的l 自同态的定义最后给出了本文最 重要的一个定理一一完备李c o z ”代数的分解唯一性定理，指出有限维完备 李c 。f ”代数可以分解为单完备理想的直和，而且除这些单完备理想的次序 外，这种分解是唯一的 第三部分介绍了具有双线性垄b 的李c 0 2 0 r 代数，如果b 是c o f o r 对 称的。非退化的和c d f d r 不变的，则称( l ，b ) 是二次李c 。f 。r 代数，b 则称为 不变数量积给出了理想非退化的定义并指出如果，是l 非退化的蒯一 理想，那么，的正交补j 1 也是工非退化的c o f o r 理想然后给出了二次李 c d f o r 代数也可以分解为不包含非平凡的非退化的c d f o r 理想的直和，而且分 解除理想次序外是唯一的。 数 关键词：完备李c 。f ”代数； 导子代数； 双线性型；二次李捌o r 代 a b s t r a c t j nt h i st h e s i s ，w e 而us t u d yas p e c i a | k m go fl i ec o 】0 1 1 r 逝曲r ac a e dc o p l e t e w h o s ec e r 埔e r s8 r e2 e r oa n d8 l ld e r i 、，a t i o n sa r ei n n e r i ns e c t i o nl + s o m eb 硝i cc o n c e p t s 。fl l ec o l o u ra 培e b r aw mb er e c a l l e d t h e d e r i 、r a t i o na l g e b r ao fl i ec o l 0 1 1 ra l g e b r ac a nb el i ec o l o u ra l 驴b r a t h e nt h es o l v - a b kl i ea 培e b r aa n dn j l p o t e n tl i em g e b r aw mb ei n t r o d u c e d a tl a s tw eg i v et h e d e 丘n i t i o no fh o m o m o r p k s m 姐di s o m o r p hb e t w e e nl i ec o l o u ra 培e b r 8 ， i ns e c t i o 2 ，i fo n el i ec o l o u rd 培e b r ac a nb ed e c 。m p d s e dt od i r e c ts u mo ft w d i d e a s t h es a m ea st h ec e n t e r a n dw 】1 e t h ec e n t e ri sz e r o ，t h ed e r i v a t i o na n dt h e i n n e r d e r i v a t i o nc a b ea b od e c o m p 0 8 e d l i ec o l o i l ra 培e b r ali sc o m p l e t ei fa n d o n l yi fi t st w oi d e 晒a r eb o t hc o m p l e 钯a n dt h e n t h ed e 胁i t i o n s i m p l yc o m p l e t e l i e l g 8 工g e k 乱8 dl 甓擦h ( 氆越獬p h i 口l8 r e 舀v e n al i c o l o u ra 喀h a 沁 s i m p l vc o m p i e t ei fa 日do i l l yi fi t c a 工1n o tb ed e c o p o s e d a tl 衄tw ei n t r o d u c e t h em 0 9 ti m p 四t n tt h e o r y mt h i 8t h e s i sw h i c hi st h eu n i q u e n e 嚣o fd e c o m p o s i t b n c o m p l e t el i ec o l o u rd l g e b r ao fa n y 丘m t ed i m e t l s i o nc a nb ed e c o m p 0 8 e dt od l r e c t s u mo fs i m p l yc o m p 王e t ei d e a sa n dt h ed e c o m p o s i t i o ni sl l l l i q u ee c c 印tt h eo r d e r o f t h e i d e a s i ns e c t i o 3 w ew i ui n t r d d u c eb i l i n e a rf b r mbo nl i ec o l o u r 出g e b r al ( l ，b ) bc a l l e dq u a d r a t i ci fbi sc o l o rs ) r m m e t r i c ，n o n - d e g e n e r a t ea n di n v a d a n t i nt h i s c a s e ，bi sc 越l e da 丑i n v 谢a n ts c a l a rp r o d u c t 。nl w e8 l s d 昏v et h ed e 丘i t i o no f t h en o m d e g e n e r a t ei d e a i fii san o m d e g e n e r a t ej d e ao fl ，t h e ni 8j 上t h e nw e s t u d yt h a tq u a d r a t i cl i ec 。1 0 u ra 1 孽出r aa l s 。c a nb ed e c o m p o s e dt od i r e c ts u m o f i d e a sw h oc o n t a 置n sn on a n t r m a ln o n _ d e g e e r a t ei d 魄o l a n dt h ed e c o m p o s i t i o n i 8 _ 【1 n i q u e 暇c e p t t h eo r d e ro f t h e i d e 皓 k e y w d r d s ：c o m p k t el i ec 0 1 0 u ra l g e b r a ； d e r i 、电t i o n 越g e b r a ； e 色rf o r m ；q u a d r a t i cl i ec o 】0 1 】r 越g e b r 8 i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均1 1 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 寓烫一 日期：2 翌：占。五 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构迷交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盟 日期：迎：曼：兰 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 指导教师猕殛丝威 日期：2 = 翌叁! ：l 电话 邮编 引言 李c 甜。r 代数最早出现在数学物理中，是一种推广的李代数和李超代数 l7 1 因为李c d 2 ”代数在物理学中有着重要的作用，并且与其他的数学分支 有着密切的联系，特别是李“”代数紧密地依赖于李代数，所以人们越来越 重视对李 ”代数的研究 中心为零且所有导子都是内导子的李代数称为完备李代数这是n j a c o b s o n 在1 9 6 2 年给出的定义【1 1 】8 0 年代以前所知完备李代数的寥寥无几，人 们对完备李代数的重要性以及对其本身的认识都很有限，所以完备李代数的 研究几乎没有进展从8 0 年代后期特别是近些年，完备李代数的研究又渐趋 活跃，它的一般理论也随着发展起来并取得了一些有趣的结果p 9 ，1 4 ，1 5 】 孟道骥对完备李代数的结构及分解唯一睫做了研究，得出了完备李代数的分 解及其唯一陛【7 】，又给出了李代数完备的一个判定定理，同时也构造了一 些完备李代数4 1 ，对特征为零的代数闭域上的完备李代数的工e “分解进行 了详细的讨论，给出了工e 们子代数，根基和极大幂零理想而且对于可解完 备李代数【l 鄯及幂零李代数可完备化【8 1 的研究也取得了很多成果。并且也 知道了复半单李代数的b ”e f 子代数和抛物子代数都是完备李代数虽然完 备李代数取得了很多重要的成果，但远远没有完成。也不是短期就可以完成 的然而可以预期今后在完备李代数的结构，分类，实现，表示子代数等 方面以及完备李代数与李群，微分几何等分支的联系等方面都会有很大的发 展总之完备李代数理论正在日趋完善。 相仿于李代数，中心为零且所有导子都是内导子的李超代数称为完备李 超代数最近几年在完备李代数的基础上人们开始了完备李超代数的研究， 包括将完备李代数的分解及其唯一性推广到完备李超代数上，证明了完备李 超代数也可分解为单完备理想的直和并且这种分解除次序外是唯一的 9 i ， 并且对完备李超代数的性质和结构进行了研究l l 铷但到目前为止，完备李 超代数的研究主要是将完备李代数的结果进行推广，其具有创新意义的结果 还很少，有待于进一步的研究 相比较于完备李代数和完备李超代数，人们对于完备李c o 衙代数的研 究是少之又少，而且李c o f ”代数理论更多的是在李代数和李超代数理论的 基础上建立起来的因李代数和李超代数是特殊的李c o f ”代数。所以他们 的理论也有差异但李代数和李超代数的许多理论都可推广到李c o l ”代数 上，本文的大部分内容亦是如此 本文的结构如下：第一节介绍了与李c d f o r 代数相关的几个概念与性质； 第二节给出并证明了完备李c 0 2 一代数分解的唯一性定理；第三节在李c d 2 一 代数上引入双线性型b ，构成了二次李洲o r 代数 本文只研究有限维李c 。2 ”代数，假设是特征为任意的域，耳，= 耳 o 表示耳的单位群，用a ( 。) 表示李c 0 2 ”代数中非零齐次元素x 的次数。 2 1 预备知识 在这一部分，我们主要介绍几个定义和性质 定义l ，1设g 是m e 2 群，映射e ：g g - + 叫做斜对称双特征 是指如果对于v 9 ， g 都满足下面三式t ( 2 ) 0 + ，) _ e ( 9 ，扛( 壳，)( i 2 ) ( 3 ) e ( 冒， ) ( ，9 ) = 1 ( 1 3 ) 定义12 设l 是g 阶化向量空间且l 2 悬岛，并且有一个阶化的 双线性映射 ，】：三三一三对于k 川g 都满足限，三0 c 三抖目以及 陋，鲥= 一5 扣，g ) 昏，。】( 1 4 ) ( ：，z ) 扛，陟，司) + ( z ，9 ) b ，【z ，z ”+ ( 仉2 ) f k ，胡】= o( 15 ) 忱如，g 岛，z 厶，则称工是李c o f 。r 代数 例l 若令g = o ，( o ，o ) = l ，则任意一个李代数都是李烈”代数 例2 若令g = 忍= 6 ，d ，e ( 矗，功= ( 一1 ) 础，这里口，妒z ，那么每一 个李超代数都是李c 讲”代数 例3 设工= o 岛是g 阶化向量空闻，任取日g 令 9 “ e n d b ( l ) = 口_ e 札d ( l ) j 盯( l p ) l p + d ，甘0 g ) 则e n d ( 工) = o 眈幽( l ) 在眈d ( l ) 中定义如下运算： 口g l 口，r 】= d r 一( 盯，丁) 丁盯，丁e n d ( 工) 易证e n d ( l ) 是李c o z o r 代数我们一般简记为p ? ( 工) 定义1 3 b 称作是李c o f w 代数工的c d f o r 子代数是指b 是三的g 阶 化子空间并且满足 b ，捌 b ，称作是李c 0 2 0 r 代数l 的c 0 2 0 r 理想是指，是l 的g 阶化子空间并且 满足瓯卅c ， 3 定义1 ，4设m 是李c 0 2 d r 代数工的一个非空子集，称 c l ( m ) = 扛l l k m 】；o ，v m m )( 16 ) 为m 在工中的中心化子特别，称眈( 工) 为工的中心，简记为c ( 工) 性质u设l 是李烈o r 代数，a 是l 的i o r 理想，则魄( a ) 也是 三的c o z ”理想特别地，g ( l ) 与g ( a ) 都是的c d ! o r 理想 证明 设z 工，v c t ( a ) ，z a 由( 1 5 ) 有 l k ，舅，嗣；渖，陆，。】 + s ( 弘z ) p ，z 】，翻 = e ( 9 ，z ) z ，z 1 ，可 由于 是l 的c 0 2 ”理想，所以k ，：1 a ，又知 a ，c t ( a ) = o 】，所以 陋，z 1 ，1 ； o 即盼，乩z 1 = o ，因此p ，蚋吼( 且) 所以吼( a ) 是l 的c o j o r 理想 同理，c ) 是三的c o f o r 理想 已知l 是l 的c 。z 口理想，所以c ( 上) = 吼( l ) 也是的c 0 2 。r 理想 定义1 5若李积。r 代数l 只有平凡理想，并且瓯叫o ，则称工是 单李c o z o r 代数 定义1 6设l 是李c o f o r 代数，定义映射n d ：l e n d l 使满足 并且有等式 成立 d d ( z ) 9 = k ，v 比，l( 17 ) 矗出，n 刚= 口d z 。d 掣一e ( z ，掣) n 妇。出 ( 1 8 ) 性质1 2设l 是李c d ! o r 代数，则 。m ，副= 0 峨n 酬，妇，工( 1 9 ) 证明( 1 5 ) 式等价于 陋，叫，：】- 1 2 ，z 】一e ( z ，) 卧k z 】j ， ( 1 5 ) 4 任取z l ，而 o d k ，们( ：) = k ，乩z 】 = 扛，hz 】i s ( z ，g ) 眠陋，z = ( 。出d 幽一g ( z ，g ) d 妇。如) ( z ) = 陋出，。圳( z ) 因此( 19 ) 式成立 定义l ，7 设= o 三，是李c 。f 。r 代数，令 口“ d e r ( l ) g = ( d e n d ( 工) id 陋，鲥= d z ，引+ e ( d ，z ) k ，曲 ，z 三。，可上) ， v 9 g 定义 d e r ( l ) = od e r ( l ) f g g 称_ d e r ( l ) 中的元素为上的c 。j o r 导子 显然，我们有 d ( v ，司) = 口d z ( 可) ，：】+ s ，掣) 崮，口d z ( ：) 】，v z ，2 工，掣l 于是a d ) ( 也是l 的导子，称为l 的内导子 性质1 3 设上是李f d r 代数，则工的所有c 0 2 ”导子组成的集合 d e r ( l ) 在运算 d 1 ，d 2 = j d l d 2 一e ( d l ，d 2 ) d 2 d l ，v d l ，d o d e r ( l ) 下是李c d f ”代数，称其为l 的导子代数 证明由定义可直接证得 性质l ，4 李c o c w 代数l 的导子集d e r 工是p 2 ( l ) 的c o c o r 子代数又 若对d d e 儿，z l ，则有 d ，n d 现= n d d z( 11 0 ) 并且。d l = o 如l 。日是d e 儿的c d ! 。r 理想 证明显然d e r l 是g 阶化子代数。又设d l ，d 2 d e r l ，。，工由 d 1 ，d 2 ( z ，掣】) = d 1 d 2 ( 陋，引) 一( d 1 ，d 2 ) d 2 d 1 ( z ，掣】) = d l ，d 2 1 z ，引+ ( d l + d 2 ，z ) 扛，【d 1 ，d 2 】型1 5 知 d l ，d 2 】d e r l 故d e 儿是州( l ) 的c d z o r 子代数 又若d d e r 工，茁，可工，贝i i 有 d ，o d 叫( ”) = ( d 口d z e ( d ，茁) 口d z d ) ( y ) = d ( 【而胡) 一e ( d ，) p ，翻( 西 = d ( z ) ，g 】 = n d d ( z ) 因而d 上是d e r l 的c 。如r 理想 性质l5 l 是李以o r 代数，且g ( ) = 0 ，则d ( d e 儿) = o 证明 设d c ( d e r ) ，则有p ，。酬( y ) = 0 ，比，l ，由( 11 0 ) 可 得 口d d ( z ) ( 9 ) = d 缸) ，v 】= 0 ，l 又已知e ( l ) = 0 ，所以d ( 。) = 0 即d = o 。从而c ( d e r l ) = o 定义l ，8 设l l ，l 2 ，k 均为李c d l w 代数工的捌”理想，且l 有线 性子空间的直和分解： = l l l 2 阜牟l 。 ( 1 1 1 ) 则称工是c o ? 。r 理想l 1 ，l 2 ，l 。的直和，记为 n l = l - o l z o 0 k = o l ： i = 】 此时，我们也称l 有c 。r 理想直和分解( 1 1 2 ) 性质l ，6 设李c o f o r 代数工有c 0 2 0 r 理想直和分解( 1 1 2 ) 成立： ( 1 1 2 ) 则下面结果 1 ) ，l 】- o ，当l j 时； 2 ) 若i 是l l 的c o f o r 理想则i 也是l 的c d d r 理想； 证明仿照参考文献 1 】定理l ，6 l ，在此证明略 定义l9 工是李c d j o r 代数，定义工( o ) = l l n ) = 【l ( n 一1 1 ，l ( n 1 ) j ，v 凡 1 ，那么 l = 工( 0 ) l f l ) ) ，) 工) l ( n + 1 ) 一 称为工的导代数序列如果存在n 使得 l ( “) = o ) 6 则称l 为可解李c 讲。r 代数 定义1 1 0设工是李c d f d r 代数，定义l 7 = l p = 陋，工”1 】，机2 ， 那么 l = 工7 三l 2 l “三l ”+ 1 ， 称为的降中心序列、如果存在n 使得 p = o 则称工为幂零李c o f w 代数 特别地，l 2 = 暇盟= o ，此时称是可交换的显然有l = 伙) 定义1 1 l设l = o 岛与l ，：0e 是李c 。f 。r 代数，p ：工l g gg g 是线性映射若妒( 岛) l ；，并且 妒( z ) ，妒( y ) = 妒( 陋，鲥) ， v z ，耵l 则称妒是l 到的同态映射 若l 到l 的同态妒还是满映射，即妒( l ) = 工7 ，则称妒是满同态 若同态映射妒还是双射，则称妒是同构映射 7 2 完备李c o f 一代数的分解唯一性 本节我们将讨论完备李c 0 2 0 r 代数的分解及分解的唯一性，同时引入单 完备李c d i ”代数的概念 定义2 1李c o f ”代数工称为完备李c 硝 代数如果它满足 ( 1 )g ( 工) = 0 ( 2 ) d e r l = a d l 引理2 1设李c 。口代数分解为两个c 反。r 理想的直和，即 工= 工l 龟工2 ( 2 1 1 ) 则有 ( 1 ) c ( 工) 有分解 c ( l ) = e ( l 1 ) oe ( 三2 ) ( 21 2 ) ( 2 ) 若还有e ( 工) = o ，则 也= 8 d l lo d 工2( 2 1 3 ) d 凹l = d e r l l 0 d 盯l 2 ( 21 4 ) ( 3 ) l 完备当且仅当皿与l 2 都完备 证明 ( 1 ) 因为c ( l 1 ) 工l ，e ( l 2 ) 点工2 ，所以 g ( 工1 ) n e ( 工2 ) l l n 己2 = o 现设茁= 2 1 + 。2 g ( l 1 ) + e ( 工2 ) ，以c ( 厶) ，主：1 ，2 由已知【“，2 】= q ，则 k ，l 】= 陋l + 。2 ，工1 + 三2 = o 所以。e ( l ) 从而 c ( 1 ) o g ( 工2 ) o ( l ) 再设z = z 1 + z 2 e ( 工) ，其中工。，江1 ，2 ，我们有 陋h 1 1= b z 2 ，l l l = k ，三1 一 z 2 ，l 1 】 =0 8 故z 1 c ( l 1 ) ，同理z 2 c ( l 2 ) 即c ( l ) c ( 工1 ) o e ( 岛) 。因此( 2 1 2 ) 式 成立。 ( 2 ) 对d d e r 工1 ，将其扩充为l 的线性变换如下： d ( z 1 + 。2 ) = d ( z 1 ) ，v z l 工1 ，。2 l 2 显然d d e r 厶从而d e r l lcd e 儿，同理d e r l 2cd e r 工。所以d e r l l + d e r 工2c d e r l 并且d d e r 工1 当且仅当d z 2 = 0 ，b 0 2 工2 以及d d e r l 2 当且仅当d z l = 0 ，v z l l 1 设d d e r l l n d e r 二2 取z = 。1 + z 2 ， 厶，2 = 1 ，2 ，则有d ( 1 ) - 0 ，d ( z 2 ) = o ，从而d ( l + z 2 ) = d ( 工1 ) + d ( 。2 ) = o 所以d = o 即d e r 】n d e r 工2 = o 现证对i = l ，2 ，有 设盈l i ，z = 1 ，2 ，则 d ( 厶) cl 。，v d d e r d 魏，匏l = d ( p l ，2 2 ) 一( d ，观) 囟l ，d 磁 = 一e ( d ，z 1 ) b 1 ，d 。2 】 l l n 三2 =o 即 d q ，z 2 】= 陋l ，d z 2 】= o 从g ( 三) = o 及( 2 1 2 ) 得c ( 五) = o ( 如；= 0 故d ( 磊) c 幺 设d l d e 儿l ，d d e r l 和z 2 l 2 ，于是 f d ，d l 】( z 2 ) = d d l ( z 2 ) 一( d ，d 1 ) d l d ( 。2 ) = 0 所以【d ，d l 】d e r 三1 ，即d e r l l 是d e r 工的c o f 。r 理想同理， d e r l 2 也是 d e r l 的c 。2 理想。 最后，我们证睨d e r l l + d e r l 2 = d e r l 事实上，若d d e r l ，令 z = 茁l + z 2 ，。；厶， - 1 ，2 定义d 1 ，d 2 如下； d 1 ( z 1 + z 2 ) = d z l g d 2 ( z 1 + 2 2 ) = d z 2 则d l ( 2 2 ) = d 1 ( 0 + z 2 ) = d ( o ) 所以d i d c r 三j 同理，d 2 d e r 二2 并且有 d ( z ) = d ( z 1 + z 2 ) = d 茹1 + d 0 2 = d 1 0 1 + z 2 ) + d 2 ( 茁l + z 2 ) = ( d l 十d 2 ) ( 。l + z 2 ) = ( d l + d 2 ) ( z ) 即d = d 1 + d 2 这样我们就得到了( 2 1 4 ) 显然口d l ln o d l 2 = o 并且有n d l l o n d 工2 o d 三下面只需证明口d l 。此l on d 如设n 如口d 厶z 上，则由( 2 1 1 ) 有z = z 1 + z 2 ，戤厶，l = 1 ，2 ， 于是l 有 。如( 0 ) = 陆，翻 = 囟l + 茹2 ，扪 = b 1 ，翊+ z 2 ，们 = 口d l ( ) + o 如2 ( 9 ) = ( o 如1 + n 出2 ) ( ) 而a 出l d l l n 出2 口d l 2 ，即n 如= 出1 + 础z 2 n 越1 0 d d l 2 从而( 2 13 ) 成立。 ( 3 ) 若l 是完备的，则c ( l ) = 0 且d e 儿= q d l 因而由结论( 1 ) 得 e ) = o ，一l ，2 ，又由结论( 2 ) 推出 口d l l o 。d 工2 = d e r 工l o d e r l 2 所以口d 工。= d e r 厶，( 江1 ，2 ) ，即h 0 = l ，2 ) 都是完备的 现假设厶( 江1 ，2 ) 都是完备的，从结论( 1 ) 有 e ( 工) = g ( l 1 ) o e ( 工2 ) = o 1 0 再由结论( 2 ) 有 d 日= d g r 岛o _ d e r l 2 = 口d l l o n d l 2 = 口d l 所以l 是完备的 定义2 ，2如果完备李c o f ”代数l 的任何非平凡c o f ”理想都不是完 备的，则称工是单完备李c 0 ”代数 定义2 3设三l ，工2 是李c d 。r 代数工的裴平凡c 。r 理想。如果有 l = 工1 0 如，则称二是可以分解的，否则l 是不可分解的 定理2 2( 1 ) 一个完备李“。r 代数是单完备的当且仅当它是不可分 解的。 ( 2 ) 任何完备李c 文”代数能分解为c o l o r 理想的直和，其中每个c d ! ”理 想均为单完备李c 0 2 口代数。 证明( 1 ) 等反证法若完备李c o 衙代数工可分解为l = l 1 0 2 ，l 1 ，c 2 都是l 的非平凡c o z o r 理想由引理( 2 1 ) ，工是完备的可知l 1 ，2 都是完 备的于是工不是单完备的，与已知矛盾，故工不可分解。 # 显然 ( 2 ) 设二是完备李蒯o r 代数若三不可分解，则由结论( 1 ) ，工本身就 是单完备的，于是结果成立 若l 本身不是单完备的，则l 必然存在完备的非平凡c 0 2 。r 理想，设为 j 下证等式l = f 0 既( j ) 成立由性质( 11 ) 知吼( j ) 也是工睁z o r 理 想，而且 吖 既( j ) = g ( ) g ( l ) = o 又v z 厶陆，明工故知d 出l ，d e r j = a 拼，即有z 1 j 使得盘如i j = n d z l 于是有k z 1 ，司= o ，即z 一l 既( n 故知工= j 0 吼( n 并且由引理( 2 1 ) 知g l ( ，) 也是完备的 不失一般性可设工= 厶o l 2 ，l ；0 = 1 ，2 ) 是l 的非平凡烈o r 理想，则由 引理( 21 ) ，l l ，l 2 都是完备的若l 1 ，l 2 都是单完备的，结论显然成立 假设l l 不是单完备的，则工l 可分解且工l = 如0 工4 ，其中工3 ，l 4 是l 的 c 。j o r 理想，从而也是l 的捌”理想反复使用l = 二1 0 l 2 的方法依此类推 下去，经过有限步后我们笪有工= l 1 0 岛o o k ，并且置；照= 1 ，2 ，n ) 都是单完备李c o f ”代数 引理2 3 若李洲o r 代数l = l o 2 ，三l ，2 都是工的c o f o r 理想f 是l 的c o f d r 哥叫屯数，且f 工l ，则 k 厶o ( l 2 n f ) 证明因为 陋1 ，f 1 【五1 ，】l l 五。n f ，目= l 2 ，日n 工2 n z 所以l l 和z n 都是z 的以理想并且 - n ( 岛n f ) = ( 工n 工2 ) n f = o ) n f = f o ) 显然 l 1 0 ( l 2 n 2 ) z 又v z f ，设z = z 1 + z 2 ，茁t 工i ，z = l ，2 贝9z 2 = z 卫1 f 从而z 2 f n 工2 所以z 1 0 ( 2 n2 ) 。即有 2 l 1 0 ( 如nz ) 因此结论成立。 定义2 4如果李c d f ”代数工的自同态妒满足 妒口出= n 如p ， 三 则称为l 的自同态 例设李c o l ”代数l 有分解( 2 ，1 1 ) ，又对此分解，工到岛的投影为 ，则“是三的l 自同态 事实上，对任何z = z 1 + 砚，v = 饥+ 眈，盈，玑厶，i = 1 ，2 ，我们有 丌，8 d z ( 掣) = ，r f ，科 = 7 r 陋1 + z 2 ，l + 9 2 1 2 =丌( 。1 ，剪l 】+ 【士2 ，抛1 ) = 陋l ，叭】 = k 1 + z 2 ，掣1 】 = o 出( 1 ) = 如”( ) 因此”是l 的工自同态 引理2 4设妒是李c 。l ”代数工的l 自同态，则存在k 使得 ( 1 拉有c 0 2 0 r 理想直和分解 l = k e r 矿o j m 扩 ( 2 ) 进而，若l 是不可分解的，则有 妒。= o 或妒且t 醇 证明 ( 1 ) 记妒的极小多项式为，( a ) = 9 ( ) ，这里a 与9 ( ) 互素 于是存在多项式( a ) ，u ( ) 使得 “( a ) g ( ) + ( a ) 舻= 1 因此 y = “( 妒) 雪( 妒) y + 剞( 1 p ) 妒掣，v l 且 l p ( u ( 妒) g ( 妒) ) = ( 妒2 9 ( 妒) ) ( u ( 妒) 可) = o 所以u ( 妒) g ( 妒) g k e r 矿显然 ( 妒) 妒2 j m 矿这样我们得到 l = k e r 矿+ j m 矿 如果k e r 矿n j m 矿，则有蛳工使得 矿y = o ，9 = 妒如 所以 可 =u ( 妒) g ( 妒) 掣+ ( 妒) 妒9 =豇( 妒) 宁( 妒) 妒。i 幻 = u ( 【p ) ，( 妒) 如 =0 3 因此 工= l 。e r 。阜j m 口 从妒是l 的l 自同态知矿也是工的l 自同态，则垤l 妒。陋，k e r 妒】= 妒“n d z ( k e r 妒) = a 出扩( k e r 矿) =0 所以瓯k e r 妒】k e f 矿即k e r 矿是三的c d 。r 理想下话，m 矿是五的f 。r 理想设9 ，m 矿，则有蛐l 使= 妒。蛳于是对忱l 有 p ，蚋= 陋，妒珈】 = n 妇矿( ) = 扩8 出( 枷) = 矿k y o 】，m 矿 至此，我们完成了( 1 ) 的证明 ( 2 ) 若三是不可分解的，贝4 从( 1 ) 知k e r 矿= 或如t 矿= l 前者意味 着矿= o ，后者意味着扩且m l ，所以妒a 眦l 。 引理2 ，5设工是不可分解李蒯o r 代数，又妒1 ，妒2 ，妒。与壹锑0 = 1 2 ，n ) 都是l 的工自同态，并且 妒1 + 妒2 + - + = d 则有i 使得忱a “儿 证明对n 用归纳法证明n = 1 时显然成立 诧= 2 时，因妒1 + 妒2 = i d 故妒l 妒l + 妒2 ) = ( _ p 1 + 匏) 妒1 ，于是妒l 钽= 妒2 妒1 现假设妒l ，p 2 茌a u 妃由工不可分解及引理( 2 4 ) 我们有，e = 1 ，2 使得 谚ko ，取& 1 + 乜，则 k 埘= ( 妒1 + 啪) = 噬妒p 弼= o j = o 矛盾因此有妒l a u 圯或p 2 a 圮 1 4 对于n 2 ，令妒= 忱，故妒，归。都是l 的l 自同态，且妒+ 妒。= 试因 而，由对n = 2 的讨论得a u 地或妒a u 缸对于第一种情形，引理自然 成立故假设妒且心显然妒，妒1 舻，一1 币一1 都是l 的工自同态， 且莹协咖一l ：i d 由归纳假设，有i 使得吼币一l a u 旺因此忱e 且u 江 引理2 6设三是中心平凡的李c d ”代数，又设上有c o f o r 理想直和 分解 l ；工l o 如o 0 工。 ( 2 61 ) 与 = e l ee 2 0 o 玩 ( 2 矗2 ) 其中l l ，工2 ，三。和马，局，晶都是不可分解的，则 ( 2 6 3 ) 并且，如必要经过重新排列后有 厶= b ，i = 1 ，2 ，一，m ( 2 6 4 ) 证明 对n 用归纳法证明n = l 时，即l 不可分解所以m = n = l ，三l = = 三 现设n 1 ，自然也有m l 。对于分解( 2 6 1 ) ，将在五1 上的投影 记为”，再将1 到l 的嵌入记为一又记对分解( 26 2 ) ，l 在巨上的投 影记为a ，b 到三的嵌入记为t ，则孔p l ，p 竹及壹麒，( j ；l ，2 ，n ) 都是l 的自同态，且 设 p 1 + 恕+ + p n = i d l = 7 r 气= 靠l 最：e l 硝= m 盯= 肌f l l ：l 1 ，最 对任何i = 1 ，2 ，n ，任取z ，9 l 1 砖瘁口如( f ) = 一( 所n 血( ) ) = - 。如以( ) 1 5 = 百o d z - 觑( 掣) = 订两，兜( 功j =【丌( 。) ，7 r m ( 可) = 陋，丌成( 掣) 】 = 口如( a ( 口) ) = 口d 。一西( 口) 于是砰店是l l 的l - 自同态定义如下 委几戊 c z ，= 妾矗胁c z ，比e l 的映射圭矗店是l 的l 自同态因而 。陛 m 1 ，：壹联 b = lj l = 1 是h 的l 1 自同态对每个? l l ，我们有 ! - w ( f ) = * l p i ( f ) l = w ：心( ) rn1 ” 即有 一心= 4 d i 。 = 1 因此由引理( 2 5 ) ，存在指数i 使得心a u 工1 如若需要经日，助，目 的排列，我们可认为i = l ，7 r f p i a 工l ，这就推出硝是一一映射设工7 = l 2 0 o 工。，_ e = 马o o 晶，则c ( l ) = q e ) = o ，且上，= 瓯( 三1 ) ，f = 吮温) ，c l ( l 7 ) = 工1 ，眈( e ) = e 1 以及e = k e rp 1 因此 o = k e r 硝= 工l n k e r p l = 工i n e 所以l l e l ( e ) = 西由引理( 2 3 ) ，我们有 e 1 = l l o ( e l n 工7 ) 但且是不可分解的，故岛= l 1 于是l = e ，由归纳假设便得到定理。 1 6 la 砖 ， 定理2 7设三是完备李c o c w 代数，则 三= l 1 0 l 2 0 o m 这里每个厶都是单完备李c o l ”代数并为l 的理想又这种分解除这些理想 的次序外是唯一的 证明定理的前一部分可以由定理2 2 ( 2 ) 得出，并且由定理2 2 ( 1 ) 知 工；都是不可分解的，再由引理2 6 即可得到定理的后一部分 1 7 3 二次李c 0 1 ”代数的分解唯性 本节我们将在李c 。妇代数上引入双线性型b ，构成了二次挛c 。! ”代 数，然后讨论它的一些性质 定义3 1l 是李”代数，上的双线性型b 叫做c 耐。r 对称的， 如果满足 b ( z ，可) = e ( z ，) b ( 掣，z ) v z l 。，l v 盆a q 傲c o f o r 不变的热果满足 b ( k ，掣 ，：) = b 0 ，b ，；】) v z ，掣，= l 昱叫做相容的，如果满足 b ( 。，封) = ；ov z 工。，v l ，盯( 。) 盯( y ) 定义32 l 是具有双线性型日的李c o z o r 代数，但，b ) 叫做二次李 c o z o r 代数，如果有b 满足c 0 2 d r 对称的，非退化的和c 0 2 ”不变的在这种 情况下，日叫做l 的不变数量积 定义3 3 ( l b ) 是二次李捌”代数，工的c 。z o r 理想j 称作是非退 化的( 或退化的) 如果b 限制在j 上是非退化的( 或退化的) 双线性型 引理3 1 设( 厶b ) 是二次李捌一代数，是工的洲口r 理想，则有 ( 1 ) ，1 是上的c o f o r 理想 ( 2 ) 如果，是非退化的，则l = j o 产，并且p 也是非退化的 证明( 1 ) j 上= 士l i b ( z ，纠) = o ，掣j ) 取上，冒j ，2 j 上，则有 b ( 陋，z 】，口) = 一0 ，z ) b ( k ，叫，) = 一e 0 ，：) b ( z ，p ，胡) =0 所以kz p ，即【l ，p p 从而p 是l 的2 ”理想。 1 8 ( 2 ) 设z ，n p ，则有b ( z ，j ) = o 又已知j 是非退化的，故x _ o 即 ，n p = o ) 又因为d m 工= d i m j + d m 一，所以工= ，o p 下证p 是非退化的反证法假设p 退化，则存在。0 且z p 使 b ( z ，p ) = o 又因为b ( 。，) = o 且c ；，0 p ，故 b 扛，l ) = b 0 ，j + j 上) = b ( z ，) + b 扛，j 1 ) =0 再由b 在l 上非退化可知z = o ，从而p 是非遐化的 定理3 2设( 厶b ) 是二次李c o f o r 代数，那么 ( 1 ) l = o 厶 t = 1 对1 i r 都满足 ( i ) 厶是非退化的c o f o r 理想 ( i i ) 厶不包含工的非平凡的非退化的c 。2 ”理想 ( i i i ) 对所有的i j ，厶与岛是正交的 ( 2 ) 若e ( 工) = o ，并且还有分解 0 l = o e i j = l v l 兰j s 也满足( 1 ) 中的三个条件，则有 如需要经适当调整顺序后必有 厶= 最，t ；l ，2 ，- ，r ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 ，4 ) 证明( 1 ) 如果工不包含非平凡的非退化的c d f o r 理想，则定理对于 r = l 时成立 假设二包含非平凡的非退化的c o j w 理想，我们对工的维数进行归纳 证明 1 若d i m 工= 1 ，那么 1 a l = l o ，并且( l o ，日) 是二次的 b 工= 岛，9 g 且9 o 。则 【五，工】= 岛，l ， l 2 口= o ) 于是定理成立 2 假设对于所有维数为p n 的二次李2 w 代数结论都成立，设( 厶日) 是维数为n + l 的二次李c d f d r 代数。如果l 不包含非平凡的非退化的c d f d r 理想，则定理显然成立如果工包含，可设j 是的非平凡的非退化的c d f o r 理想，则由引理( 3 1 ) 有三= j o p ，并且p 也是非退化的，此时有l d i m ，d i m p n + l ，继续对，和p 应用归纳法即可证得定理成立 ( 2 ) 由引理( 2 6 ) 可以直接得到证明