（基础数学专业论文）二酉算子的线性组合与框架的分解和扰动.pdf

二酉算子的线性组合与框架 的分解和扰动 李祚 摘要本文主要讨论了舀) 中二酉算子的线性组合和闭值域算子的扰动， 并把上述结果应用于框架理论；得到了一系列有关框架分解和扰动的新结果全 文分四章 第一章：给出一些基本概念以及预备知识介绍了b e s s e l 序列、框架、r i e s z 基等概念，揭示了中的b e s s e l 序列、框架或r i e s z 基同8 ( ) 中的定义在正规正 交基上的有界线性算子，满射或可逆算子有着一一对应关系 第二章：研究了二酉算子的线性组合，并从算子论的角度对框架分解问题做 了一些讨论第一节主要讨论了二酉算予的线性组合，证明了t ( 1 ) a 矾当且 仅当d i r n n ( a ) = d m n ( a ) ；( 2 ) a g ( w ) 一当且仅当存在 l ，a 2 c 并且 a l i 入2 以及巩，巩u ( n ) 使得a = 1 u 1 + a 2 v 2 ；( 3 ) 集合“1 和集合阮相等；以及三个 等价条件，即( 4 ) a d g ( n ) 等价于d i m n ( a ) = d i m n ( a + ) 或者r ( a ) 不是闭的等 价于a c f 矾第二节把第一节的结果应用于框架分解，给出了一个b e s s e l 序列能 够表示成三组正规正交基的线性组合或一组正规正交基同r e i s z 基和的倍数的结 论；并得到框架成为r e i s z 基的一个充要条件是它可以表示成两组正规正交基的 线性组合 7。 第三章：讨论了t t z 的两种框架逼近第一节讨论了t t x 的线性框架逼近， 并具体构造了这样一列 札 。e ，使得对于任意的向量。“，当n _ o o 时有 “。_ t t z 第二节讨论了t f x 的非线性迭代框架逼近，构造了这样一列碗 l ， 使得对于给定的向量z ? - t 以及e 0 ，有0 t k 一；：o 瓠i l 南归并且在每节 最后运用已得结果讨论了框架算子的逆算子s _ 1 。的框架逼近。 第四章：研究了闭值域算子的扰动问题，并把结果应用于框架理论第一节 讨论了闭值域算子的扰动证明了；( 1 ) t 琬俄) ，s 是露上的个线性算子， 如果存在两个数a l 0 ，使得对于任意的向 量z 咒有佬i i 2sm m i n l i f 2 ，e l f p ) 关键词；酉算子闭值域算子框架逼近扰动 i i t w oc o m b i n a t i o n so fu n i t a r yo p e r a t o r sa n dr e p r e s e n t a t i o n s o rp e r t u r b a t i o no ff r a m e s l iz u o a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h et w oc o m b i n a t i o n so fu n i t a r yo p e r a t o r sa n d t h ep e r t u r b a t i o no fc l o s e dr a n g eo p e r a t o r si n 口( 丸) t h e nw ea p p l yt h e s er e s u l t st of r a m e t h e o r y ，a n dw eg e tas e r i e so fn e w r e s u l t sa b o u tt h er e p r e s e n t a t i o n sa n dp e r t u r b a t i o no f f r a m e s t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t ss u c ha sb e s e c ls e q u e n c e ，f r a m e ，r i e s zb a s i s ， a n ds oo n tt h e nw ed i s c u s ss o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e m w er e v e a lt h ec o n n e c t i o n s b e t w e e nf r a m e sa n do p e r a t o r s i nc h a p t e r2 ，w es t u d ya n dd i s c u s st h et w oc o m b i n a t i o n so fu n i t a r yo p e r a t o r s ，a n d f r o mt h eo p e r a t o rt h e o r yp o i n to fv i e w ，w ed os o m ed i s c u s s i o n sa b o u tt h er e p r e s e n t a t i o n s o f 盘砌e s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ec h a r a c t e r i z et h et w oc o m b i n a t i o n so f u n i t a r yo p e r a t o r s ， t h em a i nr e s u l t sa r e ：( 1 ) a 矾i fa n do n l yi fd i m n ( a ) = d i m n ( a + ) ；( 2 ) a g ( n ) i f a n do n l yi ft h e r ee x i s t a l ， 2 cw h i c hs a t i s f y i n gi a l i l a 2 ia n d 仉，巩u ( n ) s u c h t h a ta = 入1 巩+ 沁如；( 3 ) t h es e t 矾i se q u a lt ot h es e t 地；( 4 ) t h e r ea r et h r e ee q u a l c o n d i t i o n sa sf o l l o w s ：a c l g ( 7 ) i fa n do n l yi fd i m n ( a ) = d i m n ( a + ) o r r ( a ) i sn o t c l o s e di fa n do n l yi fa c i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ea p p l yt h e s er e s u l t sw h i c hw eg e t i ns e c t i o no n et of r a m et h e o r y w eo b t a i nt h er e s u l tt h a te v e r yb e s e c ls e q u e n c ei sas u mo f t h r e e ( b u tn o tt w o ) o r t h o g o n a lb a s e so rc a nb ew r i t t e na sam u l t i p l eo ft h es u m o far i e s z a n da no r t h o n o r m a lb a s i s a n daf r a m ef o r7 tc a nb ew r i t t e na sal i n e a rc o m b i n a t i o no f t w oo r t h o g o n a lb a s e sf o r 州i fa n d o n l yi fi ti s ar e i s zb a s i sf o rw i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h et w of r a m ea p p r o x i m a t i o no ft t x i nt h ef i r s t s e c t i o n ， w ed i s c u s st h el i n e a rf r a m ea p p r o x i m a t i o no ft ? x w ec o n s t r u c ta s e q u e n c eo fo p e r a t o r s 曲n n e n ，s u c ht h a tf o re v e r yz w ，w eh a v e 九o t ? xw h e n 竹- e o i nt h es e c o n d s e c t i o n ，w ed i s c u s st h en o n l i n e a ri t e r a t i v ef r a m ea p p r o x i m a t i o no ft ? x w ec o n s t r u c ta s e q u e n c e g i h e n ，s u c ht h a tf o re v e r yf i x e d $ w a n de 0 ，w e h a v e | t 。一匙。口k | l 冬 矗i t t m a n di nt h ef i n a lp a r to fe v e r ys e c t i o nw ed i s c u s st h ef l a m ea p p r o x i m a t i o no f f l a m eo p e r a t o rs - 1 z i n c h a p t e r4 ，w es t u d y t h e p e r t u r b a t i o n o f c l o s e dr a n g e o p e r a t o r s a n d a p p l y t h er e s u l t s t of l a m e t h e o r y i nt h e f i r s ts e c t i o n ，w ed i s c u s st h e p e r t u r b a t i o n o fc l o s e dr a n g e o p e r a t o r s i i i t h em a i nr e s u l t sa s e ：( 1 ) t 统) js i ss o m el i n e a ro p e r a t o ro n7 ，i ft h e r ee x i s tt w o n u m b e r sa 1 0 , s u c h t h a t f o r a l l 。7 w e h a v e t e i 1 2 m m i n _ i j 2 ，i i 阿 k e y w o r d s ：u n i t a r yo p e r a t o r ，c l o s e dr a n g eo p e r a t o r ，f t a m e ，a p p r o x i m a t i o n ，p e r - t u r b a t i o n i v 前言 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是2 0 世纪8 0 年代形成的一门应用学科，是f o u r i e r 分析发展史上一个里程碑式的进展，也是当前众多数学家广泛关注和研究的一个 热点一方面小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶， 另一方面它被广泛地用于数学领域的许多学科。如信号分析、图象处理、电子对 抗、机械故障诊断和监控、分形等方面因此它具有理论深刻和应用广泛的双重 意义，见 1 ，【2 】r 小波分析产生的历史渊源可以追溯到1 9 2 0 年左右，最初是由工程中的信号处 理问题引起的，其发展的历史大致分为四个阶段t 第一阶段，由f o u r i e r 到h a r t 这一阶段主要是对当时三个与级数有关的数学难题作了初步解答，同时打开了通 向小波的道路第二阶段，上世纪3 0 年代的开端这段时间主要出现了许多新的 研究方向第三阶段，原子分解与小波分析在此阶段，小波分析的定义有了新 的发展，并且有了框架概念的诞生第四阶段，真正的小波阶段此阶段出现了 多分辨分析以及分解和再构造算法 任何一门学科的发展都不是孤立的，学科交叉是推动科学发展的一个重要元 素，泛函分析是数学的一个古老分支，是研究许多问题的一个重要工具目前， 从泛函分析角度考察小波分析方面的若干问题引起了许多科学家的注意和兴趣， 这一部分的结果主要集中在框架理论方面框架理论是研究小波分析的一个重要 工具，它是由r d u f f i n 和a s c h a e f f e r 于1 9 5 2 年在研究非调和分析时提出的，见 【3 】近十几年来，由于算子理论和b a n a c h 空间理论的许多有用工具不断用于框架 理论的研究，从而在这方面获得了许多重要结论算子理论工作者把框架看成算 子，即在框架与层) 中的有界线性算子之间建立对应关系，通过研究预框架算 子来研究框架的性质注意到咒中的b e s s e l 序列与b ( n ) 中的有界线性算子有着 一一对应关系，而框架概念是正规正交基概念的推广，本身又与定义在正规正交 基上的有界线性满射有着一一对应关系由此，在第二章中我们通过对二酉算子 的线性组合的研究，得到了一些有界线性算子分解的结论，并自然地把这些结论 推广到框架分解上，得到了一个b e s s e l 序列( 或框架) 可以表示成三组正规正交基 的线性组合等一系列新结论，简化了f 4 】中的证明 算子广义逆的概念最早由t s e n g 、m u r r a y 和v o nn e u m a n n 于1 9 3 6 年和其他作 者一起提出其理论已被越来越多的国内外学者所重视，发展极为迅速，它对古 典的矩阵论、算子代数、微分方程、系统论与控制论、最优化等分支都有重要影 响，见【5 】在第三章中，我们讨论了t l x 的线性和非线性迭代这两种框架逼近 注意到在l 2 ( r ) 中某些序列只存在同一形式的框架，但不一定存在同一形式的正 规正交基，这就充分体现了框架在使用时的灵活性并且我们在每一节的最后运 用本节得到的结果讨论了框架算子的逆算子s _ 1 z 的两种框架逼近 关于框架扰动方面的研究，许多工作者做出了重要贡献1 9 9 7 年，o c h r i s t e n s e n 在 6 中讨论了h i l b e r t 空间中框架的稳定性，与此同时他和p g c a s a z z a 合作在 7 】 中推广了关于b a n a c h 空间算子u 可逆的扰动性，得出了一个更弱的扰动结果，并 把这个结果运用到h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间中框架的扰动性的研究1 9 9 9 年， o c h r i s t e n s e n 在 8 中推广了j d i n g 和l j h u a n g 在 9 中关于h i l b e r t 空间中闭值 域算子扰动性的结论，得出了一个更弱的扰动条件，并把这个结果运用到子空间 中框架扰动性的研究2 0 0 3 年，j d i n g 在 1 0 】中讨论了b a n a c h 空间中闭值域算 子的扰动性，得到了一些新结果在此基础上，我们在第四章中推广了他的这些 新结果，给出了全新的证明，并进一步将这些结果应用于框架的扰动 2 第一章预备知识 在本章中用搋) 娓表示w 的一个序列，f e ) 诓表示7 - 上的一组正规正交 基首先给出几个以后经常要用到的概念： 定义1 1设 f d 诓n 是7 4 的一个序列，如果存在常数b 0 ，使得对于任意 的向量。“有 i 1 2 b i i z i l 2 i e n 成立，则称 ) l n 是w 的一个b e s s e l 序列 注1 1由b e s s e l 序列的定义知；如果( k 是咒的一个b e s s e l 序列，则 有 ) f n 2 ( ) ，并且对于任意的向量2 咒有 愀g ， i e n i i = 1 压i 1 2 sg - b i i x l l v i e n 下面我们给出w 中的一个序列成为b e s s e l 序列的充要条件： 命趣1 1 ( 1 1 j若似 n 是7 - 的一个序列。则矾，拒是 4 的一个b e s s e l 序 列的充要条件是存在g 0 使得对于1 2 ( n ) 中的任意序列 q ) 诧n 有 1 l q l i g 1 j q ) 圯m i 6 n 定义1 2 设 k i n 是丸的一个序列，如果存在两个常数0 0 ，使得诞i 1 2 b i i x l l 2 即h z = i i v 百i l z l l 因此t b ( 笼，1 2 ( ) ) 又由于上述过程均可逆，所以命题得证 注1 3 若 f d l n 是氍的一个b e s s e l 序列，则此时的t 就是我们通常所说 的预框架算子且对于任意的k ) i j 2 ( ) ， t + ：1 2 ( ) w t + ( c f ) t ) = c 讵 且 | | t + | | = t i i 、百 由此我们就建立了咒中的b e s s e l 序列同8 何，1 2 ( ) ) 中的有界线性算子的一 一对应而框架与b e s s e l 序列仅在框架下界上有区别，下面我们将建立框架同 尽，f 2 ( ) ) 中的下有界算子的一一对应 命题1 3若 h e 是“的一个序列，t 是如上定义的线性算子，则下列 说法等价： ( 1 ) l 是的一个框架 4 ( 2 ) t 8 ( 7 - t ，f 2 ( ) ) 且t 是下有界的 ( 3 ) t + 舀( z 2 ( ) ，7 ) 且t 4 是满射 ( 4 ) p t 8 ) 且r t 是可逆的 证明首先证明( 1 ) 与( 2 ) 等价如果f f i h n 是w 的一个框架，那么对于任 意的向量$ 7 t ，存在常数0 a 5 b ，使得 a l l x l l 2 i 1 2 b i i x l l 2 i e n 即 抠j i t = i ls 、，酉 因此t 8 ，z 2 ( ) ) 且t 是下有界的 由于上述过程均可逆，所以( 1 ) 与( 2 ) 等价 接着证明( 2 ) 与( 3 ) 等价因为t t ；( r t ，f 2 ( ) ) 等价于t + n ( t 2 ( ) ，7 t ) 而t 是下有界的等价于t 是单射，而t 是单射且r ( t ) 是闭的等价于p 是满射所以 ( 2 ) 与( 3 ) 等价 最后证明( 1 ) 与( 4 ) 等价若协) l e n 是w 的一个框架，则有p t 层) 因 为t t 是正算子，所以 i i t + t i i = s u p = s u pi i t x u 2 忙| | 茎li l x l l s l 于是 a i i = 1 1 2 l i t - 1 1 2 冬f i t + t = i | b l l x l l 2 因此t t 是可逆的 由于上述过程均可逆，所以( 1 ) 与【4 ) 等价 因此原命题成立 注1 4若 ) i n 是7 - 的一个框架，令s = t + z 则s 就是我们通常所说 的框架算子 一般地我们称 s 一1 ) l 是 ) f e 的对偶框架，并且如果a ，b 分别是框架 f h e n 的框架下界和框架上界的话，那么击，圭分别是其对偶框架 s _ 1 ， l 的框架下界和框架上界，见f 1 】且对于任意的向量。w ，有 s ：7 t _ + 7 t ，s x = t * t x = 讵n 5 又由于s 是可逆的，所以 茹= s s 一1 霉；主 = e t ， 于是我们得到了框架的一个最具吸引力的性质。即在取定一个空间的框架后，该 空间的任意向量均可由框架元素线性表示，这一点与正规正交基的性质极其类 似因此我们可以把框架看成是广义基 而对于她的一个稠子集v 来说，我们有如下的推论： 推论1 1 1 2 设 ) 拒是州的一个序列，v 是咒的一个稠子集，如果存在 两个常数0 0 ， pr a + z | | = l i 石叼。+ 石叼刮i fi 石卜l 石| | 恻i 0 因此a 和a + 都是下有界的所以a 是可逆的，即a g ) 下面的定理2 1 1 揭示了集合和集合地的关系： 定理2 1 1集合坼和集合地相等 证明一方面，从矾和地的定义可以看出另一方面，因为由命题 2 1 1 和命题2 ，1 2 可以得到= u , u g ( n ) 并且g ( “) c l l l ，所以地= u 1 _ u g ( n ) “1 因此嘶= 地 若在舀( “) 中考虑集合m 和集合地的范数闭包，则根据定理2 1 1 ，显然有 c i l l - = d 阮下面我们刻画日似) 中两个酉算予线性组合，并且证明集合矾的范数 闭包等于集合阮的范数闭包等于全体可逆算子的范数闭包首先给出两个引理 引理2 1 1若且8 何) ，则 ( 1 ) r ( a ) = r ( i a 1 ) = r ( ( a a ) ) ( 2 ) r ( a + ) = r ( i aj ) = 矗( ( a + a ) ) 引理2 1 2 【1 1若a 日) ，则下列条件等价 ( 1 ) r ( a ) 是闭的 ( 2 ) r ( a ) = r ( a a + ) ( 3 ) 0 不是a ( a a + ) 的聚点 定理2 1 2设a 疗) ，则下列说法等价t ( 1 ) a a g ( n ) ( 2 ) d i m n ( a ) = d i m n ( a 4 ) 或者r ( a ) 不是闭的 ( 3 ) a c l l 4 1 证明首先证明( 1 ) 和( 2 ) 等价 ( 1 ) 辛( 2 ) ：我们将证明若a d 6 ( n ) 则 d i m n ( a ) = d i m n ( a + ) 或者r ( a ) 不是闭的，这两个结论中至少有一个成立因为 a c f 岔) ，所以存在一列可逆算子 a 。) 。n 9 ( 咒) ，使得a = h n h _ + o 。a 。一方 1 0 面，如果d i m n ( a ) d i r n n ( a ) 那么r ( a ) 不是闭的否则假设r ( a ) 是闭的，那 么a 是指标不为零的半一f r e d h o l m 算子但是由于a 是一列可逆算子的极限， 根据指标理论得到i n d a = 0 导出矛盾因此假定r ( a ) 是闭的不正确，所以r ( a ) 不是闭的另一方面，若r ( a ) 是闭的，因为a 是一列可逆算子的极限，则根据指 标理论得到i n d a = 0 ，即d i m n ( a ) = d i m n ( a + ) ( 2 ) 辛( 1 ) ：设a 的极分解是a = u p , p 的谱分解是p = 掣圳i a d e x 分两种情 况讨论 情况1 若d i m n ( a ) = d i m n ( a + ) ，则u 可以选成是从d r ( a ) o n ( a ) 到 c l r ( a ) on ( a 4 ) 上的酉算子，且 矿= ( 孑巩0 ) ， 其中厅是从e z r ( a ) 到a r ( a ) 上的酉算子，阢是从n ( a ) 到n ( a ) 上的酉算子 令p n = ；仃1 _ 0 螂+ 趔州i a d 毋及a 。= u r 则r 是可逆的，于是a 。也可逆 因为当n _ o o 时，有a 。_ + a ，所以a a g ( n ) 情况2 若r ( a ) 不是闭的，则r ( a + ) 不是闭的 2 7 】因为r ( p ) = r ( a + ) ( 引理 2 1 1 ( 2 ) ) ，所以r ( p ) 也不是闭的令r = 删刈ia d 毋及a 。= u r 则如= r u - ，并 且当n _ 。o 时有a n _ + a 因为n ( a n ) n ( p n ) = e ( ( o ，；) ) w ，所以由引理2 1 2 可 得d i m e ( ( o ，；) ) 丸= 因此d i m n ( a 。) = m 又因为u 是限制在c t n ( a + ) 上的酉算 子，及e ( ( o ，；) ) ca r ( p ) = d r ( a ) ，所以d i m r ( e ( ( 0 ，丢) 肌) = o o 并且 a 。( u ( e ( ( o ，；) ) w ) )= 只t u + u ( e ( ( o ，吉) ) = r ( e ( ( o ，；) ) = n 因此u ( e ( ( o ，：) ) 咒) c ( 啦) 于是d i m n ( a ：) = 。o 由d i m n ( a 。) = d i m g ( a ：) = o o 及情况l 知，对于任意的n n ，都有a 。a g ( n ) ，所以a c 孵似) 最后证明( 2 ) 和( 3 ) 等价( 2 ) 母( 3 ) ：假设d i m n ( a ) = d i m n ( a + ) 或者r ( a ) 不是 闭的，则由