（基础数学专业论文）三维minkowski空间中的乘积曲面.pdf

at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s f a c t o r a b l es u r f a c e si n3 - m i n k o w s k is p a c e b ym e n gh u i h u i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y a p r i l2 0 0 8 l卜i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 古巴 思 学位论文作者签名：盏骞、慧 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：益案慧 签字日期： 导师签名： 签字日期： x 吖a 冷w t 7 东北大学硕士学位论文 摘要 三维m i n k o w s k i 空间中的乘积曲面 摘要 自爱因斯坦提出相对论以来，其时空模型m i n k o w s k i 空间一直备受数学界和物理学 界的关注相对于熟悉的欧氏空间，m i n k o w s k i 空间是一个全新的领域m i n k o w s k i 空间 度量的不定性导致其中的一些基本概念有质的不同，从而使得m i n k o w s k i 空间的一些问 题结论与欧氏空间相比差异很大这些结论可以更好的反映二者本质特征的区别其中 子流形的几何性质更是我们研究和关注的焦点而对w e i n g a r t e n 曲面的研究一直是古典 微分几何学的一个重要领域，得出了很多重要的结果 在m i n k o w s k i 空间中，由于度量的不定性可以得到三类向量：类空向量、类时向量 和类光向量，因此三维m i n k o w s k i 空间中的乘积曲面按其所沿的方向分为六类当平均 曲率h 和g a u s s 曲率k 确定时，可以确定一族曲面本文主要讨论m i n k o w s k i 空间中沿 类空一类光方向和类光一类光方向的几类w e i n g a r t e n 乘积曲面的存在性及表达式它们 的平均曲率、g a u s s 曲率分别满足如下关系：h = c o n s t a n t ；k = c o n s t a n t ；a l l + b k = 0 ； h 2 ：k 关键词：m i n k o w s k i 空间：w e i n g a r t e n 曲面：乘积曲面 i i ，篮1i ，、k厂 w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es p a c e t i m em o d e lo fe i n s t e i n sr e l a t i v i t y , m i n k o w s k is p a c e c a t c h e sm o r ea n dm o f gm a t h e m a t i c i a n s a t t e n t i o n c o m p a r e dw i t h e u c l i d e a n s p a c e ， m i n k o w s k is p a c ei saf i r e - n e wf i e l d b e c a u s eo ft h ed i f f e r e n c eo fi t sm e t r i cf r o me u c l i d e a n s p a c e ，m a n ye s s e n t i a lc o n c e p t si nm i n k o w s k is p a c ec h a n g eal o t t h i sm a k e st h ec o n c l u s i o n s o fs o m ep r o b l e m si nm i n k o w s k is p a c em u c hd i f f e r e n t ，e s p e c i a l l yt h ep r o p e r t i e so ft h e s u b m a n i f o l d sw h i c ha r et h ef o c u sp o i n t si nt h er e s e a r c h t h e s ec o n c l u s i o n sr e f l e c tt h e e s s e n t i a lp r o p e r t i e so fm i n k o w s k is p a c ew h i c hi sd i f f e r e n tf r o me u c l i d e a ns p a c e t h e r e s e a r c ho nw e i n g a r t e ns u r f a c e si sa l w a y sa ni m p o r t a n tf i e l do fc l a s s i c a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r y a n dm a t h e m a t i c i a n sg o tl o t so fi m p o r t a n tc o n c l u s i o n s b e c a u s eo ft h ei n d e f m i t e n e s so ft h em e t r i c ，t h e r ea r et h r e ek i n d so fv e c t o r si n 3 - m i n k o w s k is p a c e ：s p a c e l i k ev e c t o r s ，t i m e l i k ev e c t o r sa n dl i g h t l i k ev e c t o r s s ot h e r ea r es i x k i n d so ff a c t o r a b l es u r f a c e sa l o n gd i f f e r e n td i r e c t i o n s i nt h i st h e s i s ，t h ee x i s t e n c ea n dt h e e x p r e s s i o n so ft w ok i n d so fw e i n g a r t e nf a c t o r a b l e s u r f a c e si n3 - m i n k o w s k is p a c ea r e d i s c u s s e d t h e i rm e a nc u r v a t u r ea n dg a u s sc u r v a t u r es a t i s f yc e r t a i nr e l a t i o n s ：h = c o n s t a n t ； k = c o n s t a n t ；a h + 掀= 0a n d h 2 = k k e yw o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ；w e i n g a r t e ns u r f a c e ；f a c t o r a b l es u r f a c e i i i ，r-1il j-月刮 ，、ilr，l 壅皇垦盘鲎塑鲎焦迨塞 旦垂 目录 声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章预备知识1 1 1 引言1 1 2n 维空间2 1 2 1n 维欧氏向量空间2 1 2 2 仿射空间2 1 2 3 欧氏空间3 1 3m i n k o w s k i 空间3 1 3 1n 维m i n k o w s k i 空间3 1 3 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量4 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的内积和外积4 1 5 三维m i n k o w s k i 空间中的乘积曲面5 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面7 第3 章三维m i n k o w s k i 空间中的第四类乘积曲面2 3 第4 章总结3 7 参考文献3 9 致谢4 1 i v 鼻，it，【 ，t1j 因此研究m i n k o w s k i 空间中的曲线和曲面是有意义的而乘积曲面作为一类特殊的曲面， 有其重要的研究价值 1 8 6 1 年j u l i u sw e i n g a r t e n 在他的一篇文章中引入了w e i n g a r t e n 曲面，或称w 一曲面， 定义为两个主曲率向，屯满足一定非平凡关系( 矽( 向，如) = o ) 的曲面，也可等价地定义为 高斯曲率k 和平均曲率日满足一定非平凡关系( 矽( k ，h ) = o ) 的曲面w e i n g a r t e n 血面包 括很多类型，如常高斯曲率曲面、常平均曲率曲面以及高斯曲率k 和平均曲率h 分别满 足下列关系：a h + b k = 0 ；a h + b k = c o n s t a n t ；h 2 = k 的曲面等等文献 8 1 3 】中讨论 了欧氏空间和三维m i n k o w s k i 空间中的极小曲面、常高斯曲率曲面、给定高斯曲率曲面 并得出一些结论 本文的结论是将三维欧氏空间中w e i n g a r t e n 乘积曲面的研究思想推广到三维 m i n k o w s k i 空间得到的，主要讨论三维m i n k o w s k i 空间中的常高斯曲率乘积曲面；常平 均曲率乘积曲面；高斯曲率k 和平均曲率日分别满足a h + b k = 0 ；h 2 = k 的乘积曲面 第1 章预备知识 东北大学硕士学位论文 1 2n 维空间 1 2 1 n 维欧氏向量空间 定义1 2 1 1 1 假定v 是胛维向量空间，且在矿上给定一个对称的、正定的双线性函数 ( ，) ：v xv 寸r ， 即它满足下列条件： ( 1 ) ( v 1 + v 2 ，v ) = ( v 。，v ) + ( v 2 ，v ) ； ( 2 ) ( 机，吃) = 兄( m ，v 2 ) ； ( 3 ) ( m ，v 2 ) = ( 吃，v 1 ) ，o ( 4 ) ( v ，v ) o 且等号只在1 ，= 0 时成立， 其中旯r ，m ，v 2 ， pev ，则称( y ，( ，) ) 为，z 维欧氏向量空间满足上述条件的双线性 函数( ，) 称为欧氏内积，通常记成 v 1 v 2 = ( v ，v 2 ) 设( 矿，( ，) ) 为，z 维欧氏向量空间，则在矿上能够取基底 4 ) ，使得 ( 巧，t ) = 岛= l ，：二? 这样的基底称为v 中的单位正交基底【2 1 1 2 2 仿射空间 设v 是，z 维向量空间，彳是一个非空集合，彳中的元素称为点如果存在一个映射 - - - ：axa 专v ，它把a 中任意一对有序的点p ，q 映为v 中一个向量一e q v ，且满足以 下条件： 2 1、l，j 设( y ，( ，) ) 为，z 维欧氏向量空间，则以v 为伴随向量空间的仿射空间称为，z 维欧氏 空间，记为e ”欧氏空间e ”中任意两点p ，q 之间的距离定义为【3 】： d ( e ，q ) ：丽 1 3m i n k o w s k i 空间 1 3 1n 维m i n k o w s k i 空间 假定v 是n 维向量空间，且在y 上具有一个对称的双线性函数 ( ，) ：v xvj r ， 则可选取一组标准正交基底 乞) ( 江1 , 2 ，以) ，使得 岛= ( 呼，勺) = 岛= 1 ，i = j = l ，2 ，m ， 0 ，i j ， - 1 ，i = j = m + 1 n ， 则( ，) 称为向量空间v 上的内积其中，g u 的值为1 的数目为m ，为一1 的数目为p ，且 聊+ p 5 刀 如果选定了度量空间的这种标准基底，其内积形式如下： ( x ，y ) = f r 7 一孝r p 7 埘 3 第1 章预备知识 东北大学硕士学位论文 若聊和p 中任意一个为零，则此时的空间为 维欧氏空间，记为e ”； 若朋和p 均不为零，则称向量空间y 为胛维伪欧氏空间( 或洛仑兹空间) ，记为群； 特别地，当p = 1 时，称向量空间v 为刀维m i n k o w s k i 空间： 当刀= 3 ，p = 1 时，称向量空间v 为三维m i n k o w s k i 空间，记为曰 1 3 2 n 维m i n k o w s k i 空间中的向量 设y 是n 维m i n k o w s k i 空间，任取v 中的非零向量口，则 若( 口，口) 0 ，则称口为类空向量； 若( 口，口) = o ，则称口为类光向量； 若( 口，口) 0 ，则称口为类时向量 m i n k o w s k i 空间中有两种常用标架：正交标架和伪正交标架 对于正交标架 q ， 体小岛= 兰1 ， i = j = 1 ，2 ，n 一1 ， i j ， z2 j2 n i = j = 2 ，n - 1 ；i = l ，j = n ；i = ，z ，j = 1 ， i j ( i ，j = 2 ，n - 1 ) ， z2 j2n 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的内积和外积 设日是三维m i n k o w s k i 空间，对于x = ( _ ，而，恐) ，y = ( y 。，y 2 ，咒) 曰， 在正交标架 q ，乞，e 3 下，有 4 ，11j l q o ，j、【 = 岛 = 、， 巳 ， 白 1 门 ( 呼 架标交正伪于对 从而在伪正交标架下有5 】 ( x ，y ) = x l y 3 + x 2 y 2 + x 3 y 1 本文度量表示为d s 2 = 2 d x d y + ( d z ) 2 ，此表示下有 ( z ，y ) = z l y 2 + x 2 y l + x 3 y 3 对应的外积为 x y = ( i 菱i 菱儿x 3 l , l i 1 5 三维m i n k o w s k i 空间中的乘积曲面 曰中的曲面s - i n r ( u ，v ) = x ( “，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，1 ，) 表示若曰中的曲面s 可写成 z = f ( x ) g ( y ) 或y = f ( x ) g ( z ) 或x = f ( y ) g ( z ) 5 第1 章预备知识 东北大学硕士学位论文 的形式，则称s 为辟中的乘积曲面 令m 是曰中的定向连通的2 维流形，：m 专日是曰中的乘积曲面，( “，v ) 为参数 这里我们设曲面s 表达式为 r ( u ，1 ，) = ，v ，z ( u ，v ) ) 或 r ( u ，v ) = ( x ( u ，v ) ，甜，v ) 曰中的乘积曲面可分为六种类型： 第一类：沿类空类空方向； 第二类：沿类空类时方向； 第三类：沿类光类光方向； 第四类：沿类光类空方向； 第五类：沿类时类光方向； 第六类：沿类时类时方向 文献【1 3 讨论了辟中沿类空类空方向和类空一类时方向的乘积曲面并给出了一些结 论本文对霹中的第三类、第四类乘积曲面，即沿类光- 类光方向和沿类光- 类空方向的 乘积曲面进行了讨论，并给出了它们的存在性和表达式 6 东北大学硕士学位论文 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的 第三类乘积曲面 本章主要讨论三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面，即沿类光- 类光方向的乘 积曲面，并给出其存在性和表达式 定理2 1 设s 是曰中的乘积曲面r ( x ，y ) = ( x ，y ，z ( x ，y ) ) = ( x ，y ，厂( x ) g ( y ) ) ( 1 ) 若曲面s 的高斯曲率k 恒为0 ，则曲面s 方程的形式为下列表达式之一： ( a ) z ( z ，y ) = q g ( y ) ( 1 ) ) z ( x ，y ) = q f ( x ) ( c ) z ( z ，y ) = e q 抖龟y 忆 上土 ( d ) z ( x ，y ) = ( q x + c 2 ) 1 一局( c 3 y + c 4 ) 南 ( 2 ) 若曲面s 是极小曲面，则曲面s 方程的形式为下列表达式之一： ( a ) z ( x ，y ) = q g ( y ) ( b ) z ( x ，y ) = q f ( x ) 其中c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，墨，也是常数，t 1 证明在三维m i n k o w s k i 空间霹中，度量为d s 2 = 2 d x d y + ( 出) 2 则乘积曲面 s ：r ( x ，y ) ：z ( x ，y ) = f ( x ) g ( y ) 的基本量为 7 箜三章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 它的高斯曲率和平均曲率为 即 其中 设 k = e = ( 。，) ， f = ( 名，勺) ， g = ( o ，o ) ， 三= ( t ，z ) ， m = ( ，z ) ， = ( ，z ) ， 。一- 0 肛两。 k ：丽l n - m z ，e g f 2 h ：e n + g l - 2 _ f - 一m 2 ( e g f 2 、 f ( x ) f ”( x ) g ( y ) g ”( y ) 一( f ( x ) g ( 1 + 2 f ( x ) f ( z ) g ( y ) g ( y ) ) 2 日：一l 1 ， 2 【1 + 2 f ( x ) f ( x ) g ( y ) g ( y ) 】2 4 = m 嘶( 矧饼g 聊+ u 槲厂酬g 2 - 2 f ( x ) ( f ( z ) ) 2g ( y ) ( g ( y ) ) 2 2 f ( x ) g ( y ) ( 1 ) 令k = 0 ，可知 f ( x ) f ”( x ) g ( y ) g ”( y ) 一( 厂( x ) g ( y ) ) 2 = 0 ( 2 1 1 ) p ( z ) ：d f ， 敷 g ( y ) ：d g ， a y 8 东北大学硕士学位论文 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 m m 旁舭( 力考七删2 _ 0 i 厂( x ) = c l ， 【g ( y ) 二阶可微， m ) 雾础) 考刊瑚( 儿 其中p ( 工) g ( ) ，) o ，从而有g ( y ) 粤o ，即 a y 譬= 帮 1 m ) 雾刊珐 b 考刊y x i f ( x ) = p 叩“， 【g ( y ) = e 刚忆， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 堑丰三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 东北大学 ( b ) 若k l 1 ，由( 2 1 3 ) 有 解方程组得 此时曲面方程为 z ( x ，y ) = e q 。+ 白y + 白 m ) 雾却， g ( y ) = l q g ( y ) d q ， a g 三三三：三二二兰莓1： 上土 z ( x ，y ) = ( q x + c 2 ) 1 。南( c 3 y + c 4 ) 毛 ( 2 ) 若乘积曲面s 是极小曲面，令 由h = 0 得 则 m ) ( m ) ) 2 ( 咖) ) 2 咖) 字a g w ( 砌2 p ( x ) 害础) ( 如) ) 2 够 一2 厂( x ) ( p ( x ) ) 2g ( y ) ( g ( y ) ) 2 - 2 p ( x ) q ( y ) = 0 ( 2 1 4 ) 若p ( x ) = 0 ，解得 若q ( y ) = 0 ，解得 f 厂( x ) = q ， 【g ( y ) 二阶可微， z ( x ，y ) = q g ( y ) z ( x ，y ) = q f ( x ) 1 0 矽一出匆一砂 = = 、， 烈 “ 东北大学硕士学位论文第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 若p ( x ) o ，q ( y ) 0 ，( 2 1 4 ) 变为 ( 厂( z ) p ( x ) ) g ( y ) ( g ( y ) ! a 至g q ( y ) ) + ( g ( y ) g ( y ) ) 厂( z ) ( 厂( x ) ! a j 娶一p ( x ) ) = 2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 ) 两边分别对x ，y 求导，可得到下面两式： ( 厂( x ) p ( z ) ) g ( y ) ( g ( y ) ! a 坚g g ( y ) ) + ( g ( y ) g ( y ) ) 厂( z ) ( ( x ) 粤a j p ( x ) ) = o ，( 2 1 - 6 ) ( 厂( x ) p ( x ) ) g ( y ) ( g ( 少) 鼍a g 里一g ( y ) ) 】+ ( g ( y ) g ( y ) ) ( x ) ( 厂( x ) 兰a 粤j p ( x ) ) = o ( 2 1 7 ) 其中( 厂 ) p ( z ) ) 0 否则，把( 厂( x ) p ) ) = 0 代e k ( 2 1 6 ) 得到p ( x ) = 0 ，与 p ( x ) q ( y ) 0 矛盾 ( g ( y ) g ( ) ，) ) 0 于是由( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 可得 兰一：一百g(y)蹇g-q(y)：毛， c 2 ，8 ， ( ( x ) p ( x ) ) g ( y ) 1 f ( x ) - 雾f r - p ( x ) ：一笺蔫d q 筹吨 卵 p ( x )( g ( y ) g ( y ) ) 其中k l ，砭为常数 比较上面两式得墨= 乞令 k l = k 2 = k ， 再由( 2 1 5 ) 可得 k f ( x ) p ( x ) g ( y ) q ( y ) = 1 ， 从而有 第2 章 或 矛盾 因 定 r ( x ，y ) 证 其 令 贝, u a ：a 3 0 由此( 2 2 1 ) 变为 口1 = g ( y ) g ”( y ) ， = ( g ( y ) ) 2 ， a 3 = g ( y ) g ( y ) ， k ：一a l f ( x ) f ( x ) - c t 2 ( f ( 一x ) ) 2 ：c 1 + 2 a 3 f ( x ) f ( x ) 】2 ( 2 2 2 ) 两端对y 求导，得 f ( x ) f ”( x ) + 厂( x ) 厂( x ) ( 2 口1 a 3 - 4 a 1 ) 】 = ( f ( x ) ) 2 【一f ( x ) f ( x ) ( 4 a 2 a 3 - 2 c t 2 a 3 ) 】 若口。+ 厂( z ) 厂( x ) ( 2 q 一4 q i ) = 0 ，由上式得 l f ( x ) f ( x ) ( 4 a 2 a 3l 2 a 2 a 3 ) = 0 ， 这里0 ，否则把= o 代入( 2 2 4 ) z 1 0g ( y ) = 0 ，与k o 矛盾 由0 与( 2 2 4 ) 得到 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 3 ) 变为 其中 口1 + 厂( x ) 厂( x ) ( 2 口1 吃一4 a 1 ) 0 ，( 2 2 6 ) 厂( x ) 厂”( z ) = ( 厂( x ) ) 2 暑亨 j 揣( 2 2 7 ) 层= 4 a 2 口3 l 2 口2 口3 ， 厦= 2 a q 一4 t 2 l ( z 3 ( 2 2 7 ) 两端对y 求导得 ( 厂( x ) 厂( x ) ) 2 ( 届。殷一l 屈) + 厂 ) 厂( x ) ( 口。屈l ”屈一”屈+ 尾i ) + 口l ”l ”= 0 ( 2 2 8 ) 由函数组1 ，f ( x ) f ( x ) ，( f ( x ) f ( x ) ) 2 的无关性得到 届屈一层孱= 0 ， q 屈一q ”届一”履+ 屐0 ， ( 2 2 9 ) 口l ”吃l 口l ”= 0 ， 一1 3 垡三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面东北大学硕士学位论文 其中吃届0 ，否则有g ( ) ，) = 0 ( a ) 若q = o ，由( 2 2 6 ) 有屈0 代入方程组( 3 3 9 ) 得c r l = 0 ，即g ( y ) = o ( b ) 若口。0 ，屐= 0 ，由方程组( 2 2 9 ) 可得 g ( y ) = c o n s t a n t 又由屈= 0 得到g ( y ) = 0 ，与k o 矛盾 ( c ) 若口l 孱0 ，解方程组( 2 2 9 ) 可得0 ，与k o 矛盾 所以不存在形如r ( x ，y ) = ( x ，y ，厂( x ) g ( y ) ) 且具有非零常高斯曲率的乘积曲面 ( 2 ) 若乘积曲面的平均曲率为非零常数c ，设 日：一l 1 ：c 0 ， 2 1 1 + 2 f ( x ) f ( z ) g ( y ) g ( y ) - 其中 4 = 厂( z ) ( 厂( z ) ) 2 ( g ( y ) ) 2g 飞力+ ( 厂( z ) ) 2f ”( x ) g ( y ) ( g ( y ) ) 2 再令 一2 f ( x ) g ( y ) 一2 f ( x ) ( f ( x ) ) 2g ( y ) ( g ( y ) ) 2 ，( 2 2 10 ) 则口1 0 ，否则h = 0 其中 = f ( x ) f ( z ) ， 吃= ( 厂 ) ) 2 f ”( x ) ， = f ( x ) ， ( 2 2 1 0 ) 两端对x 求导，可得 届( g ( y ) ) 3g ( ) ，) g ( ) ，) + 屈( g ( y ”2 ( g ( y ) ) 3 + f 1 3 9 ( y ) ( g ( y ) ) 2 + 屈( g ( y ) ) 2 9 ”( y ) - 2 a 3 g ( 少) = o ，( 2 2 1 1 ) 1 4 东北大学硕士学位论文 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 或 届= 2 5 1 2 5 3l 口1 5 1 5 3 ， 屈= 2 q l 3 5 1 一4 吼2 + 2 a 1 5 1 。a 3 ， t p 3 = 5 2 + 4 q 5 3 6 5 1 5 3 ， 屈= 呸a 3 + 口1 。 令p ( y ) = g ( y ) ，则( 2 2 1 1 ) 变为 ( g ( y ) ) 2 - 雯( f l l g ( y ) p ( y ) + 屈) = 2 5 3i f 1 2 ( g ( y ) p ( y ) ) 2 一石i g ( y ) p ( y ) “占 若f l l g ( y ) p ( y ) + 屈= 0 ，由( 2 2 1 2 ) 有 g ( ) ，) p ( ) ，) = c o n s t a n t ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 屈= 履= 屈= 屈= 5 3 0 ( 2 2 1 4 ) 将( 2 2 1 3 ) 式代a ( 2 2 1 0 ) 式，可得到g ( y ) = 0 ，与h 0 矛盾 解( 2 2 1 4 ) 得厂( 石) = 0 ，也与o 矛盾 因此届g ( y ) p ( y ) + 屈0 由届g ( y ) p ( y ) + 屈0 ，( 2 2 1 2 ) 变为 ( g ( 埘2 字a g = 笙墼p l 嘤g t y ) p 黑t y ) 斧型十p 4 ( 2 2 1 5 ) 两端对x 求导可得 ( 屈尾一屈殷) g ( y ) p ( y ) r + ( p l ；：3 一届屈+ 孱屈一履屈w g ( y ) p ( y ) 】2 + ( 屈屈一屈p 4 一2 5 3 ”屈+ 2 屈) g ( y ) p ( ) ，) + 2 ( 5 3 屈一a 3 ”屈) = 0 由函数组1 ，g ( y ) p ( y ) ，【g ( ) ，) p ( y ) 】2 ，【g ( y ) p ( y ) 】3 的无关性得 1 5 - ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 屈反一屈屈0 ， p 。| b 3 j p 。lp 3 + p 2 lp 4 一p 2 p 4 0 3 、p 4 8 3 8 4 、一2 a 3 ”p i + 2 晓2 屈一钙”屈= 0 经过计算可知届屈= 0 和= 0 不是方程组( 2 2 1 7 ) 1 懈 当届p 4 0 时，方程组( 2 2 1 7 ) 变为 解之得 届= c 1 6 t 3 ， a = q a 3 ， 2 口1 2 一q = c i c z 3 ， 口l + 口1 吧= 0 ， 三 f ( x ) = s ( 磊x + 乏) 2 ， 再由( 2 2 1 0 ) 式得厂。( x ) = 0 ，与h o 矛盾 所以，不存在形女i r ( x ，y ) = ( x ，y ，厂( x ) g ( y ) ) 且具有非零常平均曲率的曲面 证毕 定理2 3 在三维m i n k o w s k i 空间中不存在形如，( x ，y ) = ( x ，y ， ) g ( y ) ) 且高斯曲率 和平均曲率满足日2 = k 0 的曲面 证明令日2 = k 可得 【厂( z ) ( 厂( x ) ) 2 ( g ( y ”2g ”( y ) + ( 厂( z ) ) 2f ( x ) g ( y ) ( g ( y ) ) 2 - 2 f ( x ) ( f ( z ) ) 2g ( y ) ( g ( y ) ) 2 2 f ( x ) g ( y ) 】2 + 4 【l + 2 f ( x ) f ( x ) g ( ) ，) g ( y ) 】 厂( 石) 厂”( x ) g ( y ) g ”( y ) 一( 厂( x ) g ( y ) ) 2 】- 0 ( 2 3 1 ) 令 - 1 6 其中 屈( g ( y ) ) 4o ( y ) ) 2 ( 孚) 2 + 厦( g ( y ) ) 2o ( y ) ) 4 d 2 删咖) ) 3 似y 妒面d t + 肫( 艄删2 毒 一屈咖( 埘3 + 屈础m y ) 考_ o ， ( 2 3 3 ) 届= 口1 2 口2 2 ， 及= 2 ( 一2 t z 2 ) ， p 3 = 2 a 1 2 ( 一2 ) ， 屈= 8 a 1 一4 口1 2 ， 孱= 4 a 1 ， 屈= 4 哆， 令h = g ( y ) f ( y ) ，则( 2 3 3 ) 变为 【( g ( y ) ) z 工d t 】2 ( 屈j i z ) + g ( y ) ) 2 妥】( 屈向2 + a h + f 1 6 ) + f l e h 3 一p s h 2 = o ( 2 3 4 ) d g d g 设 1 7 第2 章三维m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面东北大学硕士学位论文 由( 2 3 4 ) 有 其中占= 1 对厂求导数得到 其中 于是有 4 = 屈向， 4 = g h 2 + 屈乃+ 孱， 4 = 履办3 - p , h 2 ， ( 删) 2 d，t=-4+gx2aa2=-4a,4ag 一， z 4 ( 4 4 一4 4 ) ( 4 以一4 49 + ( 4 4 一4 4 ) 2 = 0 ，( 2 3 5 ) 4 - = 等( i = 1 , 2 , 3 ) ( 属履。一屈履) 向3 + ( 届屈一层屈) 办2 】2 【( 届屈一层g ) h 3 + ( 屈屈一层f 1 4 ) h 2 + ( 屈屈一层孱) 办 【( 厦屈一屈g ) h 3 + ( p 3 】| 3 s t p 3 p s 七| b 2 p 4 一】b 2 jf 1 4 ) h 2 + ( | 3 2 8 6 一l b 2 8 。 + 屈屈l 屈屈) 向+ ( 屈屈一层屈i ) 】：0 ， 其中 肛等( 乩，6 m s t a n t 把h = 0 代入( 2 3 1 ) 得到g ( y ) = 0 ，与k 0 矛盾 由( 2 3 6 ) 中h 的系数得 ( 屈层一层成) ( 屈屈一屈屈) = 0 再由屈屈反0 可知 l b 。8 6 、一8 。、p 6 = 0 - 1 8 ( 2 3 6 ) 且满足h 2 = k 的曲面不存在 r ( x ，y ) = ( x ，y ，厂( x ) g ( y ) ) 证毕 定理2 4 在曰中不存在形如r ( x ，y ) = ( x ，y ，厂( x ) g ( y ) ) 且高斯曲率k 和平均曲率h 满足a h + b k = 0 的乘积曲面，这里h k 0 且口，b j r 一 0 ) 证明由a h + b k = 0 可得 即 其中 h k ：一一b ：c o n s t a l l t 口 旦生：一b k l a 。 h 。= 厂( x ) ( 厂( x ) ) 2 ( g ( y ) ) 2g ”( y ) + ( 厂( z ) ) 2 厂( x ) g ( y ) ( g ( ) ，) ) 2 - 2 f ( x ) ( f ( 工) ) 2g ( y ) ( g ( y ) ) 2 - 2 f ( 工) g ( y ) ， 三 h 2 = ( 1 + 2 f ( x ) f 。( z ) g ( y ) g ( y ) ) 2 ， 1 9 - ( 2 4 1 ) 其中 p l = 吃2 ( q a 3 - c r i e r 3i ) ， = 呸3 一口l 吃2 - q 2 + 4 c r l 2 a 3 + 口l - 6 c r l 2 a 2 2 吃， 屈= 3 0 r l q 2 口3 2 2 2 吃， 屈= 3 a 2 a 3 2 - 6 0 r 1 0 6 l a 2 2 a 3 2 0 r 1 a 3 2 + 4 0 r 1 2 2 吃- 3 0 r l 呸3 + 2 0 r 1 2 2 ， = - 4 2 吃+ 2 c r l a 2 2 a 3 2 a l 2 一q 口2 c r 3 2 + 口1 a 3 2 + 2 c r 口2 3 ， = 3 q 2 c r 3 + 2 q 2 2 c r 3l _ 6 0 r 1 0 f 1 a 2 3 + 4 0 r 1 2 2 - 4 c r l 2 ， 2 0 f ( y ) = g ( y ) ， 则( 2 4 2 ) 可变为 【( g ( y ) ) z 单 z ( 展+ 屈g ( y ) f ( y ) ) a g + 【( g ( y ) ) z 车】 岛一屐g ( y 弦( y ) + 尼( g ( y 弘( 夕) ) ：】 昭 + 卜屈( g ( y 弦( y ) ) + 屈( g ( y ) f ( y ) ) 2 一屈( g ( y 弦( y ) ) 3 】= 0 用定理2 3 的方法处理上式，得到 【( g ( y ) f ( y ) ) 3 ( 屈屈一屈屈- ) + ( g ( y ) f ( y ) ) 2 ( 届尼一屈屈+ 屈屈一孱屈- ) + ( g ( y ) t ( y ) ) ( f l f l 2 、一8 、0 ：j r8 3 、p 1 一p 3 d 1 、 - d f l ，一层岛) 】 ( g ( y ) f ( y ) ) 5 ( 屈屁一屈屈) + ( g ( y ) f ( ) ，) ) 4 ( 反成一屐屈+ 屈屈一屈屈) + ( g ( y ) f ( 少) ) 3 ( 屈届l 屈岛+ 属屈一屈屈+ 屈屈一反屈i ) + ( g ( 少) f ( 力) 2 ( 孱局一孱磊+ 屈屈+ 履孱) 一( g ( ) ，) f ( y ) ) ( 岛屈1 - - d , 屈) 】+ 【( g ( y ) f ( y ) ) 4 ( 屈屈一屈成) + ( g ( y ) f ( 少) ) 3 ( 屈屈一屈屈+ 届屈一层屈) + ( 届屈一屈孱+ 屈屈一层展) ( g ( y ) f ( y ) ) 2 + ( 屈屈一届展) g ( y ) f ( y ) 】2 = 0 ( 2 4 3 ) 由g ( y ) t ( y ) 的系数得到 2 1 婴三雏m i n k o w s k i 空间中的第三类乘积曲面 ( 屈岛一届岛) ( 岛屈一届屈) = 0 首先可得屈0 若届= 0 ，那么( 2 4 3 ) 中 g ( y ) f ( y ) 】2 的系 否则若屏= 0 ，可得到厂( x ) = 0 同理由历o 得到屈0 再由 ( 届岛一层岛) ( 岛孱。一岛屈) = 0 解得厂( x ) = 0 ，与k 0 矛盾 由此知不存在符合要求的曲面 2 2 东北大学硕士学位论文 第3 章三维m i n k o w s k i 空间中的第四类乘积曲面 这时( 3 2 2 ) 变成 若屈= 0 ，解得 代入( 3 2 1 ) 得到 其中c 3 是任意常数 屈一屈署咧等) 2 高一o ( 3 2 3 ) f ( y ) = ( c l y + c 2 ) ， z 邛而q 2 q g ( z ) 一2 劬一蜊， 若屈0 ，由( 3 2 3 ) 得 。等煽1 ：一晕 上式两端对y 求导得到 ( 屈屈一层屈t ) 哄一( i l l 屈一届屈i ) ：o g l z j 由于f l , ( i = 1 , 2 ，3 ) 为y 的函数，j a 而由( 3 2 5 ) 可得 8 2 lp 3 一p 2 p 3 = 0 ， l 届屈一层屈0 ， g ( z )厦屈一屈屈 = c o n s t a n t ， ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 由( 3 2 6 ) 和( 3 2 1 ) 有厂( y ) = 0 ，与k 0 的前提矛盾由( 3 2 7 ) 矛1 i ( 3 2 1 ) 式有g z ) = 0 ，也 与k 0 矛盾 由上述讨论知，当屈0 时，无符合要求的曲面 ( 2 ) 当乘积曲面s 的平均曲率为常数时，设 2 7 第3 章三维m i n k o